Universita' degli studi Roma Tre
Esame Scritto di Matematica Generale del 20/01/2014
Cognome e Nome......................................................................... Matr. .................Firma...........................................................................................
Voto
1) Studiare la funzione seguente: (Punti 9)
f(x) = ex
x+2 − 1.
a) Dominio:
b) Segno e intersezioni con gli assi:
c) Limiti e asintoti:
d) Derivata prima:
e) Segno della derivata prima. Crescenza, decrescenza, max e min relativi:
f) Derivata seconda:
g) Segno della derivata seconda. Concavità, convessità e �essi:
1
e) Gra�co della funzione:
2) Determinare, al variare del parametro k, le soluzioni del sistema: è un in-�nitesimo, in x0 = 0, di ordine 4. (Punti4)
−2x+ 2y − 3z = 0x+ 2ky + z = 0x+ 2y + kz = 0
2
3) Si risolva l'integrale de�nito seguente: (Punti 4)
∫ 3
0
3x
x+ 4dx
4) Si dica per quale valore del parametro k la funzione seguente risulta continuae, in corrispondenza di tale valore, si stabilisca se essa è derivabile. (Punti 4)
{ √3x+ k − 2 x ≥ 0
2x+ 1 x < 0
3
5) Si stabilisca se le a�ermazioni seguenti sono vere o false, giusti�cando larisposta con de�nizioni, esempi, teoremi, ed eventuali calcoli ritenuti utili (3punti ciascuno).
a) La serie
+∞∑k=2
(1
3)k
vale 32 .
vero � falso �
Perché:
b) Se f(x) è invertibile allora f(x) è strettamente monotòna.
� vero � falso
Perché:
c) La retta tangente in x0 = 0 di f(x) = e3x + 2 vale y = 3x+ 2
� vero � falso
Perché:
4