1 esci Indice 1 a legge diKeplero Tuttiipianetisimuovono su orbite ellittiche, dicuiilSole occupa uno deidue fuochi 1 Legge Ilsegm ento che collega un pianeta alSole descrive (spazza)aree ugualiin tem pi uguali dA /dt=cost. 2 a legge diK eplero 2 Legge 3 a legge diK eplero (*) Ilquadrato delperiodo di qualunque pianeta è proporzionale alcubo della sua distanza m edia dalSole T 2 = k r 3 (*) Chiam ata anche legge arm onica 3 Legge (Fai click sulle pergamene per vedere l’ animazione)
Transcript
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esci 1 Le leggi di KEPLERO: Indice (Fai click sulle pergamene
per vedere l animazione)
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esci 2 Le leggi empiriche di Keplero Discipline coinvolte:
Storia Matematica Astronomia Fisica
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esci 3 Sommario Il problema generale delle Leggi di Keplero Il
problema storico Il problema matematico Il problema astronomico Il
problema fisico Sintesi Bibliografia
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esci 4 Il problema generale Fin dai tempi pi remoti i movimenti
dei pianeti, coi loro vagabondaggi sullo sfondo del cielo stellato,
hanno rappresentato un affascinante mistero per lumanit I volteggi
di Marte erano i pi sorprendenti La curva a cappio descritta dal
pianeta Marte sullo sfondo della Costellazione del Capricorno
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esci 5 1 a legge di Keplero o legge delle orbite Tutti i
pianeti si muovono su orbite ellittiche, di cui il Sole occupa uno
dei due fuochi 1 Legge
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esci 6 Orbita ellittica
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esci 7 Il segmento che collega un pianeta al Sole descrive
(spazza) aree uguali in tempi uguali A/t=cost. 2 a legge di Keplero
o legge delle aree 2 Legge
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esci 8 3 a legge di Keplero o legge dei periodi (*) Il quadrato
del periodo di qualunque pianeta proporzionale al cubo della sua
distanza media dal Sole T 2 = k r3r3 (*) Chiamata anche legge
armonica 3 Legge
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esci 9 Il problema matematico LELLISSE COME LUOGO GEOMETRICO
Dati nel piano due punti F 1 ed F 2, si dice ellisse E il luogo
geometrico dei punti P di per cui costante la somma delle distanze
da F 1 ed F 2 : E = (P \ PF 1 +PF 2 = 2a; 2a>F 1 F 2 ) I punti F
1 ed F 2 si dicono fuochi dellellisse
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esci 10 Equazione dellellisse Siano F 1 (c;0) ed F 2 (-c;0),
con c 0 +, i fuochi e P(x;y) il punto generico dellellisse che
verifica la condizione: PF 1 +PF 2 = 2a (a 0 + ) dovr naturalmente
risultare 2a>2c cio a>c
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esci 11 con a 2 -c 2 =b 2 Equazione canonica dellellisse
Lequazione canonica dellellisse assume la forma:
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esci 12 Propriet dellellisse Lellisse simmetrica rispetto agli
assi coordinati
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esci 13 Propriet dellellisse La curva compresa nel rettangolo
delimitato dalle rette x=a, x=-a y=b, y=-b
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esci 14 Eccentricit Si definisce eccentricit dellellisse il
rapporto e=c/a Essendo: b 2 =a 2 -c 2 cio c 2 =a 2 -b 2 con 0
esci 18 Il moto di un pianeta La figura mostra un pianeta di
massa m che si muove su unorbita ellittica intorno al Sole che ha
la massa M (M>>m)
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esci 19 La 2a legge in forma schematica
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esci 20 La 2a legge in termini qualitativi La 2 a legge afferma
che il pianeta si muove: pi lentamente quando pi lontano dal Sole
(afelio) pi rapidamente quanto pi vicino al Sole (perielio)
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esci 21 Dal punto di vista dinamico Larea dello spicchio
ombreggiato equivale quasi esattamente allarea coperta nel tempo t
dal segmento r che congiunge il Sole al pianeta. Larea A dello
spicchio uguale allarea di un triangolo mistilineo con base larco s
e altezza r: A=base altezza= sr=(r )r r 2 Questespressione di A
diventa sempre pi esatta quando t, e con esso, tende a 0.
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esci 22 Durante lintervallo t il raggio r ruota intorno a S di
un angolo
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esci 23 La rapidit istantanea (velocit areolare) =dA/dt con la
quale viene descritta larea : =dA/dt=r 2 d /dt=r 2 dove la velocit
angolare del segmento rotante r che congiunge il pianeta al
Sole.
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esci 24 Ecco laspetto vettoriale del moto Il vettore p la
quantit di moto del pianeta Il vettore L il momento angolare del
pianeta rispetto al Sole, cio: L=r p=r mv L=rm(v sin)=rmv =rmr=mr 2
Eliminando r 2 fra le due equazioni si ottiene: = dA/dt=L/2m
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esci 25 Significato della 2 a legge =dA/dt=L/2m Se il sistema
isolato L non varia e il secondo membro L/2m costante. Viceversa,
se il secondo membro costante, allora la velocit areolare costante
e vale la 2 a legge di Keplero.
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esci 26 La 3 a legge Consideriamo unorbita circolare di raggio
r: per la 2 a legge di Newton: F=ma per pianeta in orbita.
Sostituendo a F lespressione della legge di gravitazione F=GMm/r 2
e allaccelerazione centripeta a= 2 r si ottiene:
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esci 27 quindi: (F) = m (a) (GMm/r 2 )=m ( 2 r) Confrontando e
sostituendo a =2 /T, (con T periodo del moto) si avr: T 2 /r 3 =(4
/GM)=cost.
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esci 28 Limiti di validit I ragionamenti sono validi nel nostro
caso solo se le orbite sono circolari ma le leggi sono
universalmente valide anche per orbite ellittiche La nostra
dimostrazione stata svolta nel caso di pianeti che ruotano intorno
al Sole ma le leggi sono universali e valide in ogni rivoluzione
planetaria o galattica Lassunzione di base che la massa M del Sole
sia molto pi grande della massa m del pianeta in modo tale che il
cento di massa del sistema pianeta-Sole (M+m) sia praticamente al
centro del Sole Il sistema di riferimento preso rispetto al
Sole
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esci 29 Lesattezza delle tre leggi di Keplero Le leggi di
Keplero sono state confermate sperimentalmente in modo
irrefutabile. Ma ci vollero ancora pi di 50 anni prima che se ne
potessero conoscere anche le cause: si dovuto aspettare Isaac
Newton per avere il quadro completo della teoria
meccanico-gravitazionale
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esci 30 Proposte di attivit sperimentali per la costruzione di
unellisse Metodo della moneta obliqua Metodo della deformazione del
cerchio Metodo del disco rotante in una teglia Metodo del filo teso
Metodo della torcia inclinata
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esci 31 1. Ellisse = moneta obliqua
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esci 32 2. Ellisse = deformazione di un cerchio Si avvolge un
foglio di carta su una bottiglia e si traccia una circonferenza con
un compasso. Distendendo il foglio si ha unellisse, la cui forma
dipende: dallapertura del compasso dal diametro della bottiglia
cilindrica
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esci 33 3. Ellisse = disco rotante in una teglia Si ha una
teglia con un foglio da disegno incollato sul fondo. Un disco
circolare di cartone, di diametro d=D avente un foro non nel
centro, si fa rotolare senza strisciare nella teglia. La punta nel
foro disegna unellisse. La forma dipende: dalla posizione del foro
dal diametro della teglia
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esci 34 4. Ellisse = filo teso Si fissano due puntine su
unasticella di legno su cui vi fissato un foglio. Si fa un anello
di filo e si disegna lellisse tenendo teso il filo. La forma
dipende: dalla distanza tra le puntine dalla lunghezza del
filo
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esci 35 5. Ellisse = torcia elettrica inclinata Avvolgete
attorno a una torcia elettrica un foglio di alluminio con un
forellino di circa 0,5 cm. Dirigete sul piano il cono di luce
uscente dal forellino. Se la torcia perpendicolare al piano
otterrete un cerchio. A mano a mano che inclinate la torcia, il
cerchio si trasforma in unellisse. La forma dipende: dal diametro
del foro dalla distanza della torcia dal piano