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ESERCITAZIONI DI MATEMATICA DEL CONTINUO ANNO ACC. 2015/16 1
ESERCITAZIONI DI MATEMATICA DEL CONTINUO
ANNO ACC. 2015/16
1
1. NUMERI COMPLESSI
Esercizio 1.1. Mettere in forma algebrica oppure in forma trigonometrica, equando possibile in entrambe le forme, i seguenti numeri complessi:
a)2 + i
i+ 1b) (1−
√3i)10 c)
(1− i)6
(1 + i)7
d)
(2√
3− i+
1
i
)10
e) (1 + i)5 f) (1 + i√
3)5 (i− 1)7
Esercizio 1.2. Usando la forma algebrica della variabile complessa, risolvere leseguenti equazioni:
a) 2z + z = 2 + i b) |z|2z = 1 c) z4 + 1 = 0
Esercizio 1.3. Risolvere le seguenti equazioni in campo complesso, rappresen-tando poi le soluzioni sul piano:
a) (z − 2)3 + i = 0 b) z2 + (1 + i)z + i = 0 c) z3 + z2 + 8z + 8 = 0
d) iz2 = z e) z + 2z−1 = 1 f) (1 + z)4 = (1− z)4
g) z4 + iz = 0 h) z4 = (1 + 2i)8 i) (z)3 = |z|j) z z−5 + 16 = 0 k) z4 + (2− i)z2 = 2i l) |z|4z = iz
Esercizio 1.4. Decomporre in campo reale i seguenti polinomi a coefficienti reali(tra parentesi e suggerita una radice complessa del polinomio)
a) x3 − 3x2 + 4x− 2 b) x6 + 1 c) x4 − 16
d) x4 − 2x2 − 8 e) (1− x2)3 + 1 f) x4 + x3 + 5x2 + 4x+ 4 [2i]
Esercizio 1.5. Decomporre i seguenti rapporti di polinomi a coefficienti reali infratti semplici:
a)2x+ 1
x3 + xb)
x
x4 + 1c)
1
x4 − 1
d)x− 1
x3 + x2e)
x+ 5
x3 − 1f)
2x2 + 3x
x3 + x2 − 2
Esercizio 1.6. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false (zindica una variabile complessa):
a) se |z| = 1 allora z = ±1b) z e immaginario puro se e solo se z2 e reale e negativoc) i27 e realed) z4 + 4 ha i± 1 come uniche soluzioni non reali
2. ELEMENTI DI CALCOLO COMBINATORIO
Esercizio 2.1. Semplificare le seguenti espressioni:
a)8!− 6!
(5!)2b)
36!13!
16!34!c)
(n+ 4)!
n!
Esercizio 2.2. Verificare le seguenti identita:
a)
(7
3
)=
(6
2
)+
(6
3
)b)
(6
3
)=
3∑k=0
(5− k
2
)c)
(8
4
)=
4∑k=0
(4
k
)2
Esercizio 2.3. Risolvere le seguenti equazioni (n ∈ N):
a)
(n
6
)=
(n
8
)b)
n!
(n− 3)!= 210 c)
(n
4
)−(n
3
)= n3 − 3n2 + 2n
Esercizio 2.4. Provare le seguenti identita (n ∈ N, 0 ≤ k ≤ n):
a)
(2n
2
)= 2
(n
2
)+ n2 b)
(n
k
)=
(n
n− k
)c)
(n+ 1
k
)=
(n
k
)+
(n
k − 1
)d)
(n
k
)=n
k
(n− 1
k − 1
)e)
(n− 1
k − 1
)(n
k + 1
)(n+ 1
k
)=
(n− 1
k
)(n
k − 1
)(n+ 1
k + 1
)
Esercizio 2.5. Sviluppare le seguenti potenze:
a)
(x+
1
x
)6
b)
(1
2x− 3y
)5
c) (√
3−√
2)4
Esercizio 2.6. Calcolare il coefficiente del termine in x3y5 nello sviluppo di(x+ y)8 e il coefficiente del termine in x18y3 nello sviluppo di (x− 2y)21.
Esercizio 2.7. Per mezzo della formula del binomio di Newton calcolare i valoridi 114 e 123.
Esercizio 2.8. Provare le seguenti identita (n ∈ N, 0 ≤ k ≤ n):
a)
n∑k=0
(n
k
)= 2n b)
n∑k=0
(−1)k(n
k
)= 0 c)
n∑k=0
2k(n
k
)= 3n
3. MAGGIORANTI, INDUZIONE E DEFINITIVAMENTE
Esercizio 3.1. Si denoti con A∗ ed A∗ rispettivamente la classe dei maggiorantie quella dei minoranti dell’insieme A. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vereoppure false:
a) 0 ∈ x ∈ R : |x− 2| > 2x+ 1∗ b) 1 ∈
n2
6n− 5: n ∈ N+
∗
c) 1 ∈
1
n2
(n+ 2
n
): n ∈ N, n ≥ 4
∗d) 3 6∈ [1 + (−1)n]n : n ∈ N∗
e) 1 ∈
2x
x+ 1: x ∈ R, x ≥ 3
∗
f) 2 ∈
4n
2n + 4: n ∈ N, n ≥ 2
∗
g)7
2∈n ∈ N+ :
(n+ 3
n
)≥ n3 + 30n+ 6
6
∗
h) 7 6∈ n ∈ N : log2(1 + n) ≥ 3∗
Esercizio 3.2. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false, di-mostrando quelle vere ed esibendo un controesempio per quelle false:
a) ogni insieme limitato ammette massimo e minimo
b) se√
2 e un maggiorante di un insieme A, allora anche π lo ec) se l ∈ A∗ allora l + 1 6∈ A∗d) esiste A tale che A∗ = [3, 7]e) se l ∈ A∗ allora esiste un ε > 0 tale che anche l − ε ∈ A∗f) se 1 ∈ A∗ e 3 ∈ A∗ allora 2 ∈ Ag) se 3 ∈ A ∩A∗ allora A ammette massimo ed inoltre maxA = 3
Esercizio 3.3. Usare l’induzione per dimostrare le seguenti affermazioni (n ∈ N):
a) 12 + 22 + · · ·+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)/6 per ogni n ≥ 1b) 13 + 23 + · · ·+ n3 = (n(n+ 1)/2)2 per ogni n ≥ 1c) n < 2n per ogni n ≥ 1d) n! < nn per ogni n ≥ 2e) 3n < n! per ogni n ≥ 7f) 2n ≥ n2 per ogni n ≥ 4g) per ogni n ≥ 1, il numero n3 − n e divisibile per 3h) per ogni n ≥ 1, il numero n2 + n e divisibile per 2
Esercizio 3.4. Stabilire quali delle seguenti affermazioni sono definitivamentevere (n ∈ N):
a)104
n+ 1≤ 2 b)
(n
2
)< 10n+ 1 c) log3 n ∈ N
d) 9n − 3n > 10 e)n2
n3 + 1> 100 f)
(n+ 1
n
)≥ 5√n
g)√n 6∈ N h) log1/2
(n2
n+ 1
)> 7 i) log(1 + n) > 1
Esercizio 3.5. Stabilire per quali valori di C ∈ R le seguenti disuguaglianzevalgono definitivamente:
a) n2 + Cn− 1 > 0 b) C 4n − 2n ≥ 100 c) log2(1 + nC2) > 7
d)n2
2n+ 1≤ Cn e) n4 + n+ C > 0 f)
2n
1 + Cn< 1
Esercizio 3.6. Stabilire se le seguenti successioni sono limitate ed il tipo dilimitatezza (inferiore, superiore o entrambe):
a)2n− 1
3n+ 1b) log(1/n) c) 10n− 2n2
d)
(1− 1
n
)4
e) (−3)n f) (−3)n + 5n
g) n2 + (−1)nn h) [1 + (−1)n] n i)√n+
1
n
Esercizio 3.7. Stabilire se le seguenti successioni sono monotone, almeno defini-tivamente:
a)
(n+
10
n
)7
b)n− 5
1 + n2c) (−3)n + 5n
d)n3
2ne)
(2n
n
)f)
2n
1 + 2n−1
g)
(n+ 1
n− 1
)h) n2 + (−1)nn i) 2n2 − (−1)nn
Esercizio 3.8. Fornire dei controesempi alle seguenti affermazioni:
a) se una proposizione non e definitivamente vera, allora e definitivamente falsab) se una successione e definitivamente monotona, allora e anche monotonac) se una successione e definitivamente maggiore di 1, allora e ovunque positivad) se una successione non e definitivamente positiva, allora e definitivamente
negativa
4. LIMITI DI SUCCESSIONI
Esercizio 4.1. Usando la definizione di limite, stabilire se le seguenti affermazionisono vere oppure false:
a) 4n − 2n → +∞ b)1
n− n→ −∞ c)
n2
n+ 1→ +∞
d)n
n+ 2→ 0+ e) log1/2(n2 − 2n)→ −∞ f) 21/n → 0
g)
√n2 + 2
n2 + 1→ 0+ h) (−1)n → −∞ i)
5n
5n + 3→ 1−
Esercizio 4.2. Usando il criterio ritenuto piu opportuno, calcolare i seguentilimiti:
a)sin(n3)
n2 + 1b)n32n
n!c)
2n2
3n + 1
d)(2n)n
(n!)2e) (2 + sinn)n f)
(2n
n
)g) n+ (−1)n
√n h) 3−n
(n+ 1
n− 1
)i) 3−n lnn
Esercizio 4.3. Calcolare i limiti delle seguenti successioni:
a)3n2 + 5n+ 4
2 + n2b) n log(2n+ 1)− n log n c)
(−1)n + 2n
2n + n2
d) n√
10n + 2 e)4n2 − 4n+ 3
2n3 + 3n+ 4f)
2n3
2n2 + 3+
1− 5n2
5n+ 1
g)2n + n2√n+ log n
h) (n+ 2
n2 + 1)n+
2n i) n
√n
l)log(n2 + 3)
log n+ 5m)√
2n+ 3−√n− 1 n)
(0.5)n − n(0.3)n −
√n
Esercizio 4.4. Usando i confronti tra infiniti, stabilire per quali valori di C ∈ Rle seguenti disuguaglianze valgono definitivamente:
a) C 4n − 2n ≥ n3n b) 2n3 − n+ 3 < Cn3
c) n2 > eCn d)n4
2n+ 1≤ Cn3
Esercizio 4.5. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false, di-mostrando quelle vere ed esibendo un contro–esempio per quelle false (oppure sem-plicemente dimostrare vere / dimostrare false):
a) se an → L allora anche an+3 → Lb) se an+1 → L allora anche an → Lc) se an → +∞ allora 1/an → 0+
d) se an > 0 ed an → a allora a > 0e) se an → 1 allora an > 0 per tutti gli n ∈ Nf) se 2an → 1 allora an → 0g) se an e illimitata superiormente allora an → +∞h) se an e divergente allora e illimitata
5. SIMBOLI DI LANDAU
Esercizio 5.1. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false:
a) n5 + 7n = Θ(n) b) n lnn = O(n2)
c) sinn+√n ∼√n d) 1/
√n = Ω(1/n)
e) 3n2−n ∼ 3n
2
f) n3 − n = O(n2)
g) n+ 2−n = o(n) h) en3+(−1)n = Θ(en
3
)
Esercizio 5.2. Mettere in relazione a due a due le seguenti successioni, tramitei simboli di Landau ritenuti piu opportuni:
a) an = 2n + n2 bn = 2n cn = n2
b) an = n2 bn = n2 + lnn cn = n3
c) an = en2
bn = n!
Esercizio 5.3. Scelta come an una delle seguenti successioni:
1) n− n2 2) n2 −(n+ 3
n
)3) 3n − n! + n5
stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false:
a) an e definitivamente negativa b) an ∼ n2
c) an = Θ(3n) d) an = Θ(n3)
e) an = O(n2) f) an = O(2n)
g) an = Ω(n) h) an = Ω(n4)
Esercizio 5.4. Stabilire per quali α ∈ R valgono le seguenti relazioni:
a) nα + lnn = o(n2) b) n lnn = O(nα)
c) eαn + n = Ω(n) d) neαn = O(en)
Esercizio 5.5. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false, di-mostrando quelle vere ed esibendo un controesempio per quelle false:
a) n3 + o(n) = O(n3) b) n3 + o(n4) = O(n3)
c) o(n2) · o(1/√n) = o(n) d) n lnn+O(n2) ∼ n lnn
e) o(√n) +O(n) = O(n) f) O(n+ n2) +O(n3) = O(n3)
g) n2 +O(o(n2)) ∼ n2 h) o(1/n) ·O(1/n3) = o(1/n4)
Esercizio 5.6. Utilizzando le proprieta formali dei simboli di Landau, svilupparele seguenti espressioni senza perdita di informazione:
a)(n3 + 2n2 +O(n)
)2b)(n−1 + n−2 + o(n−3)
)3c)
(2
n+
1
lnn+O(n−2)
)3
d)n+ n lnn+ o(n)
n3 + o(n+
√n)
e) o(n− 1) + (n+O(1/n))2
f)
1
n+
2
n2+ 2−n + o
(1
n2
)n+O(
√n
Esercizio 5.7. Quando possibile, semplificare le seguenti espressioni senza perditadi informazione:
a) Θ(n log n) + Θ(n) b) Ω(en) +O(n) + n5
c) O(n2) + Ω(n) d) n2 +O(n3) + Θ(n5/2)
e) Ω(3n) + Θ(n2n) +O(3n/n) f) Ω(n) + Θ(n) + n2
Esercizio 5.8. Fornire degli esempi di successioni che soddisfano le seguentiproprieta:
a) an = o(n2) ed an = Ω(√n)
b) an = o(n2) ma non e o(√n)
c) an = Ω(n) ma non e Ω(n log n)d) an = o(n log n) ma non e O(n)e) an = o(3n) ma non e O(n2 2n)f) an non e O(2n) e neppure Ω(n2n)g) an non e O(a2n)h) an = O(2n) ma an − 2n → +∞i) an ∼ bn ma |bn − an| = Ω(n3)
Esercizio 5.9. Fornire dei controesempi alle seguenti affermazioni:
a) se an = O(n2) allora an = o(n2)b) an = Ω(
√n) implica an = Ω(n)
c) se una successione e Ω(n4) allora e anche O(n5)d) an = O(n) implica O(a2n) = O(an)e) Θ(Ω(an)) = Θ(an)f) limn→∞ an = limn→∞ bn ∈ R implica an ∼ bn.
Esercizio 5.10. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false,dimostrando quelle vere ed esibendo un controesempio per quelle false:
a) se an ∼ bn allora ean ∼ ebnb) O(n log n) = o(n)c) o(n2) = o(n)d) o(n) = o(n2)
e) O(n3) = o(n20/7)f) an → +∞ implica an+1 ∼ ang) an ∼ bn implica an+1 ∼ bn+1
h) se an = Θ(bn) allora O(an) = O(bn) ed anche O(bn) = O(an)i) Θ(Ω(an)) = Ω(an)j) an = O(bn) implica O(an) +O(bn) = O(bn)k) an = 0(1) implica O(a2n) = O(an)l) an = O(bn) implica o(an) = o(bn)
m) an = O(bn) implica o(bn) = o(an)n) an = o(bn) implica an+2 = o(bn+2)o) an = o((an)3) implica |an| → +∞
6. LIMITI DI FUNZIONI
Esercizio 6.1. Usando la definizione di limite, dimostrare che le seguenti affer-mazioni sono vere:
a) limx→1+
x2 + 2
x2 − 1= +∞ b) lim
x→+∞
(5 cos(x)− x2
)= −∞
c) limx→+∞
x
x2 − 2= 0+ d) lim
x→0x arctan(1/x) = 0
Esercizio 6.2. Utilizzando i cambi di variabile ritenuti piu opportuni, determinareil valore dei seguenti limiti:
a) limx→0+
x2 3−1/√x b) lim
x→2−
x− 2√4 + x2 − 4x
c) limx→0+
(1√x
+ lnx
)d) lim
x→1−(x3 − 1) ln(1− x) e) lim
x→0−
e1/x
xf) lim
x→0+xx
Esercizio 6.3. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false:
a)√x2 − 1 = o(x− 1) per x→ 1+
b) x = Ω(ln(x2)) per x→ 0
c) lnx = O(1/x2) per x→ 0+
d) x− 3 = o( 3
√3x − 1) per x→ 3
Esercizio 6.4. Stabilire per quali valori di α ∈ R sono vere le seguenti affer-mazioni:
a) xα = Ω(x log x) per x→ +∞b) x2 + eαx = o(x3) per x→ +∞c) xα = O(x3) per x→ 0+ e contemporaneamente xα = Ω(
√x) per x→ +∞
d) x+ o(√x) = O(xα) per x→ 0+
e) Θ(xα + x) = o(x2) per x→ +∞
Esercizio 6.5. Utilizzando le proprieta formali dei simboli di Landau, svilupparele seguenti espressioni:
a)(x− 2x2 + o(x)
)2[x→ +∞]
b) (3x+ x2 − 5x3 + 2x5 − x6 + o(x6))2 +O(x7) [x→ 0]
c) x+ x2 +1
2
(x2 − 2x3
)2+ o
((x2 − 2x3
)2)[x→ 0]
d)x2 + x lnx+ o(x)
x3 + o(x)
[x→ +∞]
e) (x+ x2 +O(x3))3 [x→ 0]
f)(3x+ x3 + 2x +O(x2)
)2[x→ +∞]
g) O(x2 + o(x3)) + x+ x2 [x→ 0]
h) 2x+ x2 +O((o(x+ x2) + x
)2)[x→ 0]
i)x−1 + x+O(x−2)
3[x→ +∞]
j)(x+ x lnx+O(x2)
)2[x→ 0]
Esercizio 6.6. Tra le funzioni esprimibili come potenze intere, polinomi o rapportidi polinomi nella variabile x, trovare delle f(x) che soddisfino le seguenti richieste:
a) f(x) = Ω(√x) ed f(x) = O(x5) per x→ +∞
b) f(x) = O(x) ed f(x) = Ω(x4) per x→ 0+
c) f(x) = o(x2) per x→ 0 ed f(x) = O(x) per x→ +∞d) f(x) = o(x) per x→ 0 ed f(x) = Ω(x3) per x→ +∞
Esercizio 6.7. Dopo aver determinato dominio e comportamento asintotico agliestremi del dominio, tracciare un possibile grafico per le seguenti funzioni:
a)log(x+ 1)
2x + 2b)ex − x2
x− 1c)x+ lnx√x− 1
d)
√x− 2
log x
e)|x| − 2
(x+ 2)2f)
x
log x+ 2x g)
x2 + x
x+ 2h)
lnx− 1
lnx+ 2
Esercizio 6.8. Dimostrare le seguenti affermazioni:
a) la funzione f(x) = −x2 + 2x ammette almeno un zerob) la funzione f(x) = x6+5x−1+sinx ammette almeno due zeri, uno positivo
ed uno negativoc) l’equazione x3 − 3x+ 1 = 0 ha esattamente tre soluzioni
7. DERIVATE, GRAFICI ED OTTIMIZZAZIONE
Esercizio 7.1. Usando la definizione, calcolare le derivate delle seguenti funzioni:
a) 2x2 + x b)1
x3c)
x
x2 + 1
Esercizio 7.2. Utilizzando le regole di derivazione, calcolare la derivata delleseguenti funzioni:
a)
(1 +
1
x
)xb)
1
sinxc)
1√1− e−
√x
d) e−1/x2
e)x√
2− x2f)
1
arctanxg) cos
(x2 + x)5
h)
1
x+ sin
1
x
Esercizio 7.3. Scrivere l’equazione della retta tangente alle seguenti funzioni nelpunto x0 indicato:
a)√
sinx x0 = π/2
b) ln |x− 4| x0 = 1
c) xsin x x0 = π/2
Esercizio 7.4. Tracciare i grafici qualitativi delle seguenti funzioni (non e richiestolo studio della derivata seconda), specificando gli eventuali punti di estremo relativoed assoluto:
a) |x2 − 4|ex b)3x+ 1
x+ 1− 2 arctanx c)
lnx
x
d)x3 − 2
x2 + 1e)
√lnx+ 2
lnxf)
√x2 − 3
x+ 1
g) f(x) = 2x+√x2 − 1 h)
|x+ 1| − x2
x2 − 2i) x
(2 lnx− 3
lnx− 2
)j)
lnx
x2 − 4k) |x− 1| 3
√2− x l) arctan
(√3x+ 1
|x| − 1
)
Esercizio 7.5. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false, di-mostrando quelle vere ed esibendo un controesempio per quelle false (f(x) denotauna funzione R→ R)
a) il prodotto di due funzioni con derivata positiva ha derivata positivab) se f ′(x) ≥ 1 per ogni x ∈ R, allora limx→+∞ f(x) = +∞c) la successione an = n+ 2n4 − n5 e definitivamente decrescented) la successione an =
√n− lnn e definitivamente crescente
e) la successione an = 2n− cos(πn) non e monotona neppure definitivamente
Esercizio 7.6. Determinare i punti di estremo relativo ed assoluto della funzione
f(x) = x2 − 3|x− 1|+ 2
sull’intervallo [−2, 3].
Esercizio 7.7. Studiare il segno della funzione ex − x2.
Esercizio 7.8. Determinare il numero di soluzioni positive delle equazioni:
x+ 1 = arctanx 2x+ 1 = 4 arctanx .
Esercizio 7.9. Determinare, al variare del parametro α > 0, il numero disoluzione della equazione:
xα = lnx .
Esercizio 7.10. Confrontare i grafici delle due funzioni y = ex ed y = ex2
.
8. SVILUPPI E COMPORTAMENTI ASINTOTICI
Esercizio 8.1. Tracciare i grafici qualitativi delle seguenti funzioni (non semprelo studio del segno della derivata e semplice o fattibile), determinando gli eventualiasintoti obliqui tramite gli sviluppi di Taylor noti:
a)
√x3
x+ 1b)x2 − 3x
|x− 1|c)
x2
(2−√x)2
d) ln(ex + e1−x
)e) x arctan(x+ 2) f) x+
√x2 − 9
g) |x|+ 3√x3 − 1 h)
√|x2 + 2x+ 3| − x i)
(|x| − 1
)e
1x+1
Esercizio 8.2. Calcolare i seguenti limiti delle seguenti funzioni, per x tendenteal valore indicato tra parentesi:
a) x−√x+ x2 [+∞] b) πx2 − 2x2 arctanx− 2x [+∞]
c)2x− x2 + 2 ln(1− x+ x2)
x3 − x4[0+] d) 2x3 + 2x2
√x2 − 3− 3x [−∞]
e)3√x3 + 3x2 + 1 +
√x2 + 2x [−∞] f) (1 + x)e1/x − ex+1/x [0+]
g) ln(x+ 2x)− ln(1 + 3x) [+∞] h)x2 + 2 ln
(cos(x+ 2x2)
)x3
[0]
Esercizio 8.3. Calcolare gli sviluppi di Taylor delle seguenti funzioni, nel puntoindicato nella prima parentesi ed agli ordini specificati nella seconda parentesi:
a) x2 − (sinx)2 [0][o(x4)
]b) 1/
√1 + x2 − x3 [0]
[O(x6)
]c) 1/(x2 + x) [1]
[O((x− 1)3)
]d) ln(x) [2]
[o((x− 2)4)
]Esercizio 8.4. Stabilire, per le funzioni sotto riportate, la natura del punto in-dicato tra parentesi:
a) x6 + x5 − x3 + 2 [0] b) 1/(1 + x2 +√x3) [0]
c) x2 − x3 + lnx [1] d) e−2x −√
1 + 4x− x2 [0]
e) ln(x2 − 3x+ 3) + 4− x [2] f)√x+ x2 − x/
√2 [1]
Esercizio 8.5. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false (x ∈ Red n ∈ N):
a) ln(1 + x2 − x) + x ∼ x2 per x→ 0
b) (1 +√n)n ∼ nn/2 per n→ +∞
c)3√x+ x3 = x+
1
3x+ o
(1
x3
)per x→ +∞
d)1
x+ 1=
1
x− 1
x2+O
(1
x3
)per x→ +∞
e)
(x+
1
x
)9
=1
x9+
9
x7+O
(1
x5
)per x→ 0
Esercizio 8.6. Determinare lo sviluppo asintotico delle seguenti espressioni, allimite indicato nella prima parentesi e con resto indicato nella seconda (x ∈ R edn ∈ N):
a)1
x− x2[x→ 0]
[o(x2)
]b)
√4 + x2 [x→ +∞]
[O
(1
x3
)]c)√n+ 1−
√n [n→ +∞]
[o
(1
n
)]d)
x3
x2 + 2[x→ +∞]
[O
(1
x5
)]e) ln(n+ n2) [n→ +∞]
[O
(1
n2
)]f) 2x+
√x2 + x [x→ −∞] [o(1)]
g)√x+ x3 [x→ +∞]
[O
(1
x2√x
)]h)
1
x2 + x3[x→ 0+] [o(x)]
i) (n+ 1)8√
1 + n2 [n→ +∞][O(n5)]
j)1
1 + x+ x2[x→ +∞]
[O
(1
x3
)]
Esercizio 8.7. Determinare, nel modo piu preciso possibile, il comportamentoasintotico delle seguenti espressioni, per x che tende al valore indicato tra parentesiquadra:
a) sin(x+ 2x2) +O(x4) [x→ 0] b)√x4 + 2x3 + o(1) [x→ +∞]
c) 3√x3 + x2 + 3x+O(1) [x→ +∞] d) ex+4x2+O(x4) [x→ 0]
e)
2x+ o(x2)√
1 + x [x→ 0] f)x2 + 2x3 + o(x3)
x+ x2 + x3 +O(x4)[x→ 0]
g)√x6 − x5 + 2x3 +O(x2) [x→ −∞] h)
√1− 2x+ x2
1 + x− x2 + o(x2)[x→ 0]
Esercizio 8.8. Calcolare la derivata sesta nell’origine della funzione ex sin(x)
Esercizio 8.9. Scrivere lo sviluppo al secondo ordine in x = 1 di una funzionedue volte derivabile f(x) soddisfacente:
f(1) = 2 f ′(x) = f(x)2 ∀x
9. CALCOLO INTEGRALE
Esercizio 9.1. Utilizzando le opportune sostituzioni, calcolare i seguenti integrali:
a)
∫ 3
2
x√x2 − 1
dx b)
∫x2
2 + x3dx c)
∫1√
x(1 +√x)
dx
d)
∫ √π0
x sin(x2) dx e)
∫ 1
0
x 4√x+ 1 dx f)
∫(3√x+ 1)8 dx
Esercizio 9.2. Utilizzando la tecnica di integrazione per parti, calcolare i seguentiintegrali:
a)
∫ 1
0
(x+ 1)2 e−x dx b)
∫2x ln(x− 5) dx c)
∫ −π/2π/2
x sinx dx
d)
∫x arctanx dx e)
∫ 2
1/2
ln
(1 +
1
x
)dx f)
∫sin(lnx) dx
Esercizio 9.3. Calcolare i seguenti integrali:
a)
∫x− 1
x2 + x+ 2dx b)
∫7x cos(3x2 − 5) dx c)
∫ 1/2
0
(1 + 2x)13 dx
d)
∫ 4
0
sin(π√x) dx e)
∫ √xe√x dx f)
∫1
(x+ 1)(1 + x2)2dx
g)
∫x
x+√x+ 2
dx h)
∫ 3
1
arctan(√x) dx i)
∫x
x4 + 1dx
j)
∫ −31
|x+ 2| dx k)
∫ ln 2
− ln 2
e|x| dx l)
∫ 2
3/2
√x− 1
xdx
Esercizio 9.4. Calcolare i seguenti integrali impropri:
a)
∫ +∞
1
x√(x2 + 5)3
dx b)
∫ 5
1
1√x− 1
dx c)
∫ +∞
12
1√2x(2x+ 1)
dx
d)
∫ +∞
−∞
1
x2 + 4x+ 9dx e)
∫ +∞
0
9x+ 8
(x+ 2)(x2 + 1)dx f)
∫ +∞
0
ex
e2x + 1dx
g)
∫ +∞
0
e−√x
√xdx h)
∫ e
1
1
x√
lnxdx i)
∫ +∞
2
x+ 1
x3 − 1dx
j)
∫ 1
0
lnx√xdx k)
∫ 0
−∞e
3√x dx l)
∫ 1
0
1
x+√xdx
Esercizio 9.5. Calcolare le aree delle seguenti figure piane:
a) (x, y) : y ≤ x, y ≥ x2 b) (x, y) : y ≥ 1
2, y ≤ ex, y ≤ 1− x
c) (x, y) : 1 ≤ y ≤ 3ex
1 + e2x d) (x, y) : 1 ≤ yx3 ≤ x
e) (x, y) : 0 ≤ y ≤ xe−x f) (x, y) : x ≥ 2, 0 ≤ y ≤ x+ 1
x3 − 1
g) (x, y) : x ≥ 1, − 1
x2≤ y ≤ xe−x h) (x, y) : 0 ≤ y ≤ arctanx
1 + x2
i) (x, y) : x ≥ 1,1
x+ 1≤ y ≤ 1
x j) (x, y) : −1 ≤ y ≤
√x− 1, x+ y ≤ 3
Esercizio 9.6. Stabilire per quali valori di α la funzione F (x) = (2 lnx−α)x2 euna primitiva della funzione f(x) = 4x lnx.
Esercizio 9.7. Determinare la primitiva di f(x) = ln(x2 + 1) che vale 7 in x = 1
Esercizio 9.8. Dimostrare che se f(x) e una funzione continua e pari allora:∫ a
−af(x) dx = 2
∫ a
0
f(x) dx
per ogni a ≥ 0.
Esercizio 9.9. Sapendo che f(x) e continua e che l’uguaglianza:∫ x
0
f(t) dt = x2(1 + x)
vale per ogni x reale, determinare il valore di f(1).
Esercizio 9.10. Determinare la natura del punto x = 0 per la funzione:
F (x) =
∫ x4
x3
ln(1 + t) dt .
10. SOMME E SERIE NUMERICHE
Esercizio 10.1. Calcolare le seguenti somme:
a)
4∑n=0
log2(n+ 1) b)
124∑k=16
(−1)k c)
45∑n=7
(n− 5)
d)
17∑j=0
(1 + (−1)j
)e)
10∑k=2
(1 + 2(−3)k
)f)
9∑n=1
(2n+2 − 2n)
Esercizio 10.2. Calcolare il valore delle seguenti somme, in funzione del numeronaturale n, specificando poi il loro comportamento asintotico per n→ +∞:
a)
n+7∑j=n−1
(1 + (−2)j+1
)b)
n+1∑k=1
3
k2 + 2kc)
n−1∑k=0
q2k+1
Esercizio 10.3. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure false,indipendentemente dai valori numerici attribuiti alle successioni coinvolte:
a)
n∑j=0
aj+2 −n∑j=1
aj = an+2 + an+1
b)
n∑j=0
a3n−j =
3n∑j=2n
aj
c)
n+1∑k=1
(ak + ak−1) = a0 + 2
n∑k=1
ak + an+1
d)
n∑k=0
(ak + an−k) = 2
n∑k=0
ak
Esercizio 10.4. Usando il confronto integrale, stabilire il carattere delle seguentiserie. Quindi esibire un minorante ed un maggiorante per le ridotte o per i resti,a seconda del carattere, ed infine determinare la rapidita di approssimazione dellerelative somme.
a)
+∞∑k=2
k
k2 − 1b)
+∞∑k=0
1
k + 2c)
+∞∑k=2
k log k
d)
+∞∑k=1
ke−k/3 e)
+∞∑k=0
1
2 + 2k + k2f)
+∞∑k=1
k arctan k
g)
+∞∑k=1
k√
1 + k2 h)
+∞∑k=0
2k
22k + 1i)
+∞∑k=1
k
k3 + 1
Esercizio 10.5. Usando il confronto integrale, trovare un minorante ed un mag-giorante per le seguenti somme, esplicitanto la dipendenza da n ∈ N. Studiare poiil comportamento asintotico delle somme per n→ +∞.
a)
2n+1∑k=2
ln k b)
n+3∑k=n
1
(2k + 1)2c)
n2∑k=n
√k
d)
∞∑k=3n
1
k ln3 ke)
2n−1∑k=n
1
k −√k
f)
n∑k=1
e3√k
Esercizio 10.6. Dopo aver determinato il comportamento asintotico del terminegenerico, stabilire il carattere della serie e stimare la rapidita di approssimazionedella relativa somma.
a)
∞∑k=1
2k + k
k2 + 3k+1b)
∞∑k=1
√k + 1 + ln k
k +√k
c)
∞∑k=0
(1
1 + k− 1√
1 + k2
)d)
∞∑k=1
1
(1 +√k)2− 1
k
e)
∞∑k=1
(√k + k3 − k
√k)
f)
∞∑k=1
1
k
(k
k + 2
)k
Esercizio 10.7. Usando il criterio del rapporto o quello della radice (eventual-mente preceduto da opportuni confronti asintotici) stabilire il carattere della seriee stimare la rapidita di approssimazione della relativa somma.
a)
∞∑k=0
k!
2k2b)
∞∑k=1
k!
k32kc)
∞∑k=0
42k + (k!)2
3k2 + k8
d)
∞∑k=0
k2 + 32k
k! + 2ke)
∞∑k=1
√kk
k!f)
∞∑k=1
k! 2k
kk
Esercizio 10.8. Stabilire il carattere delle seguenti serie e studiare con qualerapidita approssimano le rispettive somme:
a)
∞∑k=1
k + ln k
k32k + ekb)
∞∑k=1
(k2 − 2k ln k) c)
∞∑k=2
ln k
k
d)
∞∑k=1
k
k2 + 1e)
∞∑k=0
(√k + k2 − k
)f)
∞∑k=1
arctan√k√
k
g)
∞∑k=1
1
ln(k + 2k)h)
∞∑k=0
2 + sin k
3ki)
∞∑k=0
(2k)!
(k!)2
Esercizio 10.9. Dimostrare che le seguenti affermazioni sono vere:
a)
∞∑k=2
ke−k < 2/e b)
n∑k=3
ln2 k
k= O( 3
√n) c)
n∑k=2
1√ln k
= O(n)
d)
∞∑k=2
1
k2 − 1=
3
4e)
n2∑k=n
k ln k = Θ(n4 lnn) f)
n2∑k=2
1
ln k= Ω(n)
g)
2n∑k=2
1
ln k= Ω(
√n) h)
n2∑k=2
k2 = Θ(n6) i)
2n∑k=n+1
k2
3k= O(2−n)
Esercizio 10.10. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere oppure falsenella classe delle serie a termini positivi, dimostrando quelle vere ed esibendo uncontroesempio per quelle false:
a) se∑∞k=1 ak diverge allora anche
∑∞k=1 k ak diverge
b) se ak = Ω(1/k) allora∑∞k=15 ak = +∞
c) se ak = Θ(1/k2) allora∑nk=1 ak = Θ(1/n)
d) se ak = O(ln k) allora∑nk=1 ak = o(n2)
e) se ak = Ω(k) allora∑nk=1 ak = Θ(n2)
f) se∑∞k=1 ak converge allora anche
∑∞k=1(ak)2 converge
11. SERIE DI POTENZE E DI TAYLOR
Esercizio 11.1. Calcolare il raggio di convergenza delle seguenti serie di potenze:
a)
∞∑n=0
2n
n!xn b)
∞∑n=1
√n! xn c)
∞∑n=1
n22−n xn
d)
∞∑n=0
e√n xn e)
∞∑n=0
(n
2
)xn f)
∞∑n=1
lnn
n2 4nxn
g)
∞∑n=1
(8
n
)xn h)
∞∑n=1
(2n)!
n!xn i)
∞∑n=1
(2n
n
)xn
Esercizio 11.2. Calcolare la serie di Taylor (centrata in x = 0) delle seguentifunzioni:
a) x8 + x3 b) (x+ x2)81 c)x2
3− x
d)x3
1 + 3xe) 3√
1− 2x f)x+ 1
(1− x)2
g)x
1− x3h)
x2
(1− x)3i)
ex − 1
x
j)1
xln(1− x) k)
ex
1− xl) x arctanx
m)x√
4 + x2n)
x
1− 3x+ 2x2o)
x2 + x
x3 − x2 + x− 1
Esercizio 11.3. Determinare una funzione f(x) che abbia∑∞n=0 anx
n come seriedi Taylor (centrata in x = 0):
a) an = 5 b) an = 2n c) an =
(7
n
)d) an = n e) an = 2n+ 3 f) an = (−1)n + n− 1
g) an =1
n+ 1h) an =
2
n+ 2+
(n
2
)i) an =
1 n pari0 n dispari
j) an = (−1)nn k) an = n2 l) an =(−1)n + 1
2
m) an =
n∑k=0
k(n− k) n) an =
n∑k=0
3k o) an =
n∑k=0
1
k!
12. RICORSIONE E FUNZIONI GENERATRICI
Esercizio 12.1. Stabilire se la successione an (n ≥ 0) risolve o meno l’equazionedi ricorrenza:
an = 8an−1 − 16an−2 (n ≥ 2)
a) an = 0 b) an = 1 c) an = 2n
d) an = 4n e) an = (n+ 1)4n f) an = n24n
g) an = (−4)n h) an = n4n i) an = 2 · 4n + 3n4n
Esercizio 12.2. Trovare un’equazione di ricorrenza (lineare) che sia soddisfattadalla successione an (n ≥ 0):
a) an = 2n+ 3 b) an = 3n c) an = n2
d) an = n4n e) an = n+ (−1)n f) an = n!
Esercizio 12.3. Se f(x) e la funzione generatrice della successione an (n ≥ 0)qual’e la successione generata dalle seguenti funzioni?
a) (x+ 1)f(x) b)f(x)− f(0)
xc) x f ′(x)
d) (f(x))2
e) ln(1− x) f(x) f)f(x) + f(−x)
2
g) f(x) f ′(x) h) f(x2) i)f(x)
1− x2
j)f(x)
(1− x)2k) x2f ′′(x) l)
x
1− xf(x)
Esercizio 12.4. Se f(x) e la funzione generatrice della successione an (n ≥ 0)qual e la funzione generatrice di ciascuna delle seguenti successioni?
a) an + 1 (n ≥ 2) b) an+1 + 1 (n ≥ 1) c) an−1 (n ≥ 2)
d) 2an−1 + 3 (n ≥ 1) e) nan (n ≥ 0) f) nan+1 (n ≥ 0)
g) (n+ 1)2nan (n ≥ 0) h) (−1)nnan (n ≥ 0) i) 0, a1, a2, a3, . . .
j) 0, 1, a1, a2, . . . k) a0, 0, a2, 0, a4, 0, . . . l) n2an (n ≥ 1)
m) n2an+2 (n ≥ 0) n) n2an−1 (n ≥ 1) o)
n∑k=0
k ak (n ≥ 0)
p) n
n∑k=0
2n−kak (n ≥ 0) q) n
n−1∑k=0
ak (n ≥ 1) r) n
n∑k=0
kak (n ≥ 0)
Esercizio 12.5. Tradurre le seguenti equazioni di ricorrenza in equazioni per lafunzione generatrice (quando possibile, esplicitare la funzione generatrice):
a)
an = an−1 + n (n ≥ 1)a0 = 0
b)
an+2 + an + n = 0 (n ≥ 0)a0 = 2 a1 = 0
c)
an+1 − an = (−1)n + n2 (n ≥ 1)a1 = 0
d)
an = an−2 + n2n (n ≥ 2)a0 = a1 = 1
e)
n(an+2 − an+1) = an (n ≥ 0)a0 = 0, a1 = 1
f)
an + an−1 =
∑nk=1 1/k (n ≥ 1)
a0 = 1
g)
an+1 =
∑nk=0 kan−k + 2n (n ≥ 0)
a0 = 1h)
an+2 =
∑nk=0 ak+1an−k (n ≥ 0)
a0 = 1, a1 = 0
Esercizio 12.6. Usando le funzioni generatrici, risolvere le seguenti equazioni diricorrenza, precisando il comportamento asintotico della soluzione:
a)
an = 6an−1 (n ≥ 1)a0 = 3
b)
an+2 = an+1 + 2an (n ≥ 0)a0 = 0 a1 = 1
c)
an = 6an−1 + 9an−2 (n ≥ 2)a0 = 1 a1 = 4
d)
an = 5an−1 − 6an−2 (n ≥ 2)a0 = 1, a1 = 3
e)
an+1 = 2an + 3 (n ≥ 0)a0 = 1
f)
an+1 = an + 2n+1 (n ≥ 0)a0 = 0
g)
an = an−1 + n2 (n ≥ 1)a0 = 1
h)
an+2 = 4an+1 − 4an + n2 (n ≥ 0)a0 = 2, a1 = 5
i)
an+1 = an + n2n (n ≥ 0)a0 = 0
j)
an = an−2 + (−1)nn (n ≥ 2)a0 = 0, a1 = −1
k)
an = an−1 + 1/n (n ≥ 1)a0 = 1
l)
an+1 = 2an + (n+ 1)3−n (n ≥ 0)a0 = 1
m)
an = 1− an−2 (n ≥ 2)a0 = a1 = 0
n)
an = 1 + an−2 (n ≥ 2)a0 = a1 = 0
o)
an+1 =
∑nk=0 ak + 1 (n ≥ 0)
a0 = 0p)
an+3 = −3an+2 − 3an+1 − an (n ≥ 0)a0 = 1, a1 = a2 = 0
Esercizio 12.7. Tradurre i seguenti problemi di conteggio di stringhe in equazionidi ricorrenza, complete di dati iniziali, e quindi risolvere tali equazioni usando lefunzioni generatrici:
a) stringhe binarie di lunghezza n che contengono almeno uno 0b) stringhe binarie di lunghezza n che contengono almeno due 0 consecutivic) stringhe binarie di lunghezza n che non contengono 0 consecutivid) stringhe ternarie di lunghezza n che contengono almeno due 0 consecutivie) stringhe ternarie di lunghezza n che non contengono 0 consecutivif) stringhe binarie di lunghezza n che contengono un numero pari di 0g) stringhe decimali di lunghezza n che contengono un numero pari di 0h) stringhe binarie di lunghezza n che contengono la stringa 01
Esercizio 12.8. Dare una formulazione ricorsiva al problema di trovare il numerodi sottoinsiemi di un insieme di n elementi, e quindi calcolare tale numero.
Esercizio 12.9. Salendo delle scale, non sempre faccio un gradino alla volta:a volte allungo il passo e ne faccio due. In quanti modi diversi posso salire unascalinata di n gradini?
Esercizio 12.10. Un modello per il numero di aragoste catturate in un annoprevede che tale numero sia uguale alla media di quelle catturate nei due anniprecedenti. Scrivere l’equazione di ricorrenza che corrisponde al modello, trovandopoi la soluzione in dipendenza dai dati inziali.
Esercizio 12.11. Vogliamo investire i nostri soldi in un fondo che prevede duedividendi ogni fine anno, la cui consistenza e cosı definita:
• 2% del capitale dell’ultimo anno• 3% della media dei capitali degli ultimi due anni
Nell’ipotesi che che il capitale iniziale venga investito ad inzio anno, e che il cap-itale non venga mai intaccato da prelievi, stabilire a quanto ammonta il capitaletotalizzato dopo n anni.
Esercizio 12.12. Abbiamo a disposizione un apparato di trasmissione, che in-via messaggi composti da tre diversi segnali. La trasmissione di ciascun segnalenecessita di:
• 1 microsecondo per uno dei tre• 2 microsecondi per gli altri due
Quanti sono i messaggi che necessitano di n microsecondi per essere trasmessi?
Esercizio 12.13. I conigli di un allevamento sono stati geneticamente modificati,per ottenere una riproduzione regolata dal seguente schema: ogni coppia
• ad 1 mese dalla nascita, produce 1 coppia• a 2 mesi dalla nascita, e per ogni mese successivo, produce 3 nuove coppie
Dovendo far partire un nuovo allevamento, una coppia neonata viene portata suun’isola deserta: nell’ipotesi che nessun coniglio muoia, quante coppie di conigli cisaranno sull’isola dopo n mesi?
Esercizio 12.14. All’inizio di questa storia, su un’isola si trovano due capre. Ilnumero di capre sull’isola raddoppia ogni anno per riproduzione naturale ed inoltre:
• durante ogni anno vengono portate sull’isola 10 nuove capre• trascorsi due anni, durante ogni anno vengono rimosse dall’isola tante capre
quanti sono gli anni trascorsi dall’inizio della storia
Quante capre ci sono sull’isola dopo n anni?
