Teoria Dei Giochi: Esercizi

Sergio VergalliUniversità di Brescia

March 2, 2015

1 Dominanza iterata

Problem 1 Si trovi la soluzione per dominanza iterata del gioco fra tre personein forma strategica:

C2 N2C1 4,4,4 3,5,3N1 5,3,3 5,4,1

C3C2 N2

C1 3,3,5 1,5,4N1 4,1,5 2,2,2

N3dove il giocatore 1 sceglie la riga C1 o N1, il giocatore 2 sceglie la colonna

C2 o N2 ed il giocatore 3 sceglie la matrice C3 o N3.

2 Equilibrio di Nash

Problem 2 n individui possono decidere se partecipare o meno alla costruzionedi un’opera pubblica. L’opera pubblica viene effettuata se e solo se almeno k per-sone vi contribuiscono (dove (2 ≤ k ≤ n)). Qualora l’opera pubblica non vengacostruita i contributi versati non vengono restituiti. Ogni individuo ordina lesue preferenze (dalla migliore alla peggiore) nel seguente modo:

1. opera pubblica costruita e l’individuo non ha versato il suo contributo (pay-off=4);

2. opera pubblica costruita e l’individuo ha versato il suo contributo (pay-off=3);

3. opera pubblica non costruita e l’individuo non ha versato il suo contributo(payoff=2);

4. opera pubblica non costruita e l’individuo ha versato il suo contributo (pay-off=1).

1

Scrivere il gioco in forma normale nel caso di n = 3 e trovare gli equilibridi Nash. Esiste un equilibrio di Nash in cui tutti i soggetti contribuiscono allacostruzione dell’opera pubblica? Esiste un equilibrio di Nash in cui k < n indi-vidui contribuiscono? .

Solution 3 Soluzione

C2 N2C1 3,3,3 3,4,3N1 4,3,3 2,2,1

C3

C2 N2C1 3,3,4 1,2,2N1 2,1,2 2,2,2

N3

dove C1 significa che il giocatore 1 partecipa alla costruzione, N2 vuol dire cheil giocatore due NON partecipa alla costruzione. Le altre mosse rispondonoalla stessa logica.

• Equilibri di Nash

• Con K

Problem 5 Si determinino tutti gli equilibri di Nash in strategie pure del giocotra due persone in forma strategica:

b1 b2 b3 b4a1 0,3 2,2 1,3 1,0a2 2,1 3,1 2,3 2,1a3 5,1 1,4 1,0 2,2a4 1,0 0,2 0,2 3,1

3 Giochi dinamici

Nel caso di giochi dinamici l’equilibrio di Nash può indurre ad equilibri pocosoddisfacenti (credibilità delle minacce)

Problem 6 Si osservi l’albero della figura 16.3. Si definiscano le strategie delledue imprese, si costruisca la forma normale del gioco e se ne individui l’ equi-librio. Quanti equilibri di Nash esistono? Quanti equilibri perfetti esistono?Perchè?

3

Figure 16.3

Soluzione • Strategie dei giocatori: AIR LION: T, P; BETA: T,T; T,P;P,T; P,P dove le mosse di Beta sono consequenziali a quelle di AIRLION. Forma normale del gioco:

Solution 7

\ T,T T,P P,T P,PT 1000,1000 1000,1000 6000,2000 6000,2000P 2000,6000 5000,5000 2000,6000 5000,5000

• Equilibri di Nash: 1) G1= P, G2= T,T; 2) G1= T, G2= P,T; 3) G1: T,G2= P,P.

• Tuttavia la strategia P,P per G2 non è credibile.

Problem 8 Si osservi l’albero del gioco della figura 2.5. Quanti sottogiochiesistono?

Soluzione Nessun sottogioco proprio

4

4 Induzione a ritroso

Definition 9 L’induzione a ritroso è applicabile nei giochi in forma estesa econsta nella definizione delle strategie ottime dei giocatori definite a partiredall’ultima mossa eseguibile e tornando indietro (backward induction) seguendol’albero del gioco in modo da definire le risposte ottime degli altri giocatori. Ilrisultato perseguibile è l’equilibrio del gioco.

Problem 10 Si osservi ll gioco in forma estesa nella figura 2.6. Si determini:

• il numero di sottogiochi.

• l’equilibrio.

Soluzione 4 sottogiochi propri. Equilibrio:

• Giocatore 1 gioca R

• Giocatore 2 gioca a

• Giocatore 3 gioca: r se L, t se Ra, w se Rb

Problem 11 Dall’albero della Figura 2.7, si definiscano:

• Le strategie dei giocatori

• gli equilibri o l’equilibrio di Nash

• l’equilibrio/ gli equilibri perfetto/i nei sottogiochi.

Soluzione

• Strategie: G1= aA,aB,mA,mB,bA,bB; G2=aA,aM,aB,bA,bM,bB; G3=aA,aB,bA,bB.

• Si noti che a sinistra (cioè nella prima colonna, a partire dalla secondariga) sono evidenziate le strategie di G1; nella prima riga (cioè in cor-rispondenz adi tutte le colonne) sono evidenziate le strategie di G2 e nellacella in alto a destra, sono messe le strategie di G3 e vi sono tante bima-trici quante sono le strategie del giocatroe 3.

aA aA aM aB bA bM bB

aA 3,2,8 3,2,8 3,2,8 4,3,6 4,3,6 4,3,6aB 0,0,7 0,0,7 0,0,7 4,3,6 4,3,6 4,3,6mA 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6mB 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6bA 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0bB 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0

5

aB aA aM aB bA bM bB

aA 3,2,8 3,2,8 3,2,8 4,3,6 4,3,6 4,3,6aB 5,1,3 5,1,3 5,1,3 4,3,6 4,3,6 4,3,6mA 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6mB 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6bA 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0bB 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0 0,5,0

bA aA aM aB bA bM bB

aA 3,2,8 3,2,8 3,2,8 4,3,6 4,3,6 4,3,6aB 0,0,7 0,0,7 0,0,7 4,3,6 4,3,6 4,3,6mA 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6mB 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6bA 5,5,5 8,4,0 3,0,6 5,5,5 8,4,0 3,0,6bB 5,5,5 8,4,0 3,0,6 5,5,5 8,4,0 3,0,6

bB aA aM aB bA bM bB

aA 3,2,8 3,2,8 3,2,8 4,3,6 4,3,6 4,3,6aB 5,1,3 5,1,3 5,1,3 4,3,6 4,3,6 4,3,6mA 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6mB 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6 2,5,6bA 5,5,5 8,4,0 3,0,6 5,5,5 8,4,0 3,0,6bB 5,5,5 8,4,0 3,0,6 5,5,5 8,4,0 3,0,6

• Gli equilibri di Nash sono:

1. G1=aA,aB; G2=bA,bM,bB; G3=aA,aB;

2. G1=aA,aB; G2=bB; G3=bA,bB;

3. G1=bA,bB; G2=aA,bA; G3=bA,bB.

6

7

Problem 12 (Cournot): Siano q1 e q2 le quantità (di un bene omogeneo)prodotte rispettivamente dalle imprese 1 e 2. Sia P (Q) = a − Q il prezzo

8

di equilibrio del mercato quando la qualità aggregata domandata sul mercatoè Q = q1 + q2 (più precisamente, P (Q) = a − Q per Q < a, e P (Q) = 0 perQ ≥ a). Sia Ci(qi) = cqi il costo totale che l’impresa i (i = 1, 2) sostiene perprodurre una certa quantità qi (assumendo c < a). Ogni impresa sceglie simul-taneamente le quantità prodotte. Per risolvere l’esercizio si scrivano i profittidelle due imprese come πi = [a− qi − qj − c] qi (i, j stanno per 1, 2 o vicev-ersa). Si massimizzi il profitto rispetto alla variabile strategica di ogni impresa(ogni impresa sceglie la sua quantità ottima). Si calcolino le funzioni di rispostaottima e si determini l’equilibrio di Nash.

Soluzione

Risposte ottime

B2 (q1) =1

2(a− q1 − c) ; B1 (q2) =

1

2(a− q2 − c)

Equilibrio:

q∗1 = q∗

2 =a− c

3

Problem 13 (Bertrand): Siano p1 e p2 i prezzi (di beni differenziati) sceltirispettivamente dalle imprese 1 e 2 e la funzione di domanda per l’impresa i(i = 1, 2) sia qi(pi, pj) = a − pi + bpj (dove b > 0 riflette quanto il bene j siasostituto del bene i). Sia Ci(qi) = cqi il costo totale che l’impresa i (i = 1, 2)sostiene per produrre una certa quantità qi (assumendo c < a). Ogni impresasceglie simultaneamente i rispettivi prezzi. Per risolvere l’esercizio si scrivanoi profitti delle due imprese come πi = [a− pi + bpj ] (pi − c) (i, j stanno per1, 2 o viceversa). Si massimizzi il profitto rispetto alla variabile strategica diogni impresa (ogni impresa sceglie il proprio prezzo). Si calcolino le funzioni dirisposta ottima e si determini l’equilibrio di Nash.

Soluzione

Risposte ottime

B2 (p1) =1

2(a+ bq1 + c) ; B1 (p2) =

1

2(a+ bq2 + c)

Equilibrio:

p∗1 = p∗

2 =a+ c

2− b

Problem 14 (Stackelberg): Assumiamo che le imprese scelgano come variabilistrategiche le quantità ottime (come in Cournot) e che le mosse delle impreseseguano il seguente ordine temporale:

1. L’impresa 1 sceglie q1 ≥ 0;

2. L’impresa 2 osserva q1 e poi sceglie q2.

9

Sia P (Q) = a − Q il prezzo di equilibrio del mercato quando la quantitàaggregata domandata sul mercato è Q = q1+q2 (più precisamente, P (Q) = a−Qper Q < a, e P (Q) = 0 per Q ≥ a). Sia Ci(qi) = cqi il costo totale che l’impresai (i = 1, 2) sostiene per produrre una certa quantità qi (assumendo c

Definition 15 Grim trigger strategy: il giocatore i coopera se il giocatore j hacooperato il periodo precedente; il giocatore i punisce deviando per sempre se ilgiocatore j ha deviato il periodo precedente.

Problem 16 Si definisca l’equilibrio di Cournot di due imprese aventi le seguentifunzioni: P (Q) = 6−Q, Q = q1+q2, Ci(qi) = 2qi.Si trovi ora il profitto (payoff)corrispondente. Si ipotizzi ora che le due imprese si accordino per massimizzareil profitto monopolistico di mercato e siano disposte a dividere equamente ilrisultato. Si quantifichi tale payoff. Si ipotizzino ora i seguenti casi:

1. le imprese colludono e si accordano nel vendere metà della quantità ottimadi monopolio;

2. le imprese competono à la Cournot;

3. l’impresa i produce la quantità di Cournot qCi e l’impresa j la quantità dicollusione qMj ;

4. l’impresa j produce la quantità di Cournot qCj e l’impresa i la quantità di

collusione qMi .

5. L’orizzonte temporale è infinito. Qual è il tasso di sconto che consenteall’impresa di deviare, qualora venga punita con la strategia grim triggerdal secondo periodo?

Soluzione 1.

qM1 = qM2 = 1

πM1 = πM2 = 2

2.

qC1 = qC2 =

4

3

πC1 = πC2 =

16

9

3. Impresa 1 gioca à la Cournot (DEVIA) e l’impresa 2 collude (collab-ora). Profitto impresa 1 se impresa 2 collude:

πD1 =

�6−

4

3− 1

�4

3− 2 ∗

4

3=20

9

4. Impresa 1 collude e impresa 2 gioca à la Cournot. Profitto impresache collude:

πCo1 =

�6−

4

3− 1

�1− 2 ∗ 1 =

5

3

Si noti che:

πCo1 < πC1 < π

M1 < π

D1

11

5. Il valore di δ tale per cui (qM1 ,qM2 ) è un equilibrio è:

18

9·1

1− δ20

9+16

9(δ + δ2 + δ3 + ....)⇐⇒ δ

1

2

Problem 17 Si definisca l’equilibrio di Cournot di due imprese aventi le seguentifunzioni: P (Q) = 10−Q, Q = q1+q2, Ci(qi) = 2qi.Si trovi ora il profitto (pay-off) corrispondente. Si ipotizzi ora che le due imprese si accordino per massimiz-zare il profitto monopolistico di mercato e siano disposte a dividere equamenteil risultato. Si quantifichi tale payoff. Si ipotizzino ora i seguenti casi:

Problem 18 1. le imprese colludono e si accordano nel vendere metà dellaquantità ottima di monopolio;

2. le imprese competono à la Cournot;

3. l’impresa i produce la quantità di Cournot qCi (Cournot) e l’impresa j laquantità di collusione qMj (Monopolio);

4. l’impresa j produce la quantità di Cournot qCj e l’impresa i la quantità di

collusione qMi .

5. Si rappresentino le soluzioni in un gioco simultaneo in forma normale(la bimatrice) e sidefinisca qual è l’equilibrio istantaneo ad un periodo(Equilibrio di Nash)

6. Si consideri ora che il gioco si ripeta all’infinito. Si ipotizzi ora che leimprese si accordino su una punizione del tipo Grim Trigger dal secondoperiodo (vale a dire che se una impresa devia nel primo periodo anche laseconda devierà dal secondo periodo). Per quale tasso di sconto l’equilibrioconverge verso la collusione, anzichè l’equilbrio di Cournot?

7. Dai medesimi dati si calcoli ora l’equilibrio di Stackelberg. Che tipo diequilibrio è a differenza dell’Equilibrio di Cournot?

8. Si rappresenti ora il seguente gioco simultaneo in forma normale: se tutti edue i giocatori colludono si consideri il payoff pari al profitto di collusione;se tutte e due competono, si considera il profitto di Cournot; se uno colludee l’altro compete, chi collude prende il profitto del follower dell’equilibriodi Stackelberg e chi compete prende il profitto del leader dell’equilibrio diStackelberg. Qual è l’equilibrio di Nash del gioco simultaneo ad un periodo?

Punteggio: 14 punti così suddivisi: 6 punti domanda 5; 3 punti domanda6; 3 punti domanda 7; 2 punti domanda 8.

Problem 19 Si osservi il seguente gioco in forma normale:

Giocatore 2a12 = s a

22 = d

Giocatore 1 a11 = S -1,3 2,4a21 = D 0,6 0,5

12

1. Se ne dia una rappresentazione in forma estesa, se ne definiscano le strate-gie dei giocatori e si dica se tale gioco è a informazione perfetta o imper-fetta.

2. Quali sono gli equilibri di Nash?

3. Qual è l’equilibrio perfetto?

Si consideri ora il seguente gioco:

4. Qual è l’quilibrio perfetto?

-2, 5

T

P

Entrare 6, 6

AIR

Impianto Piccolo

Non Entrare 0, 12

T

P

Beta 0, 8

T -2, 4

Impianto grande

Entrare

P

6, 3

AIR

Non Entrare 0, 11

T

P

0, 5

13