ESERCIZI SULLA PARABOLA

ESERCIZI SULL' ELLISSE

ESERCIZI SULL' IPERBOLE

Esercizi della 8°lezione sulla Geomeria Linere

ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA

ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA

1. Determinare l’equazione della circonferenza che passa per il punto ( )3 , 1A , ( )0 , 2B − e

avente l’ascissa del centro in 2 .

2. Determinare l’equazione della circonferenza che ha per diametro il segmento di estremi ( )3 , 1P ,

( )0 , 2D − .

3. Determinare l’equazione della circonferenza che ha per centro il punto ( )2 , 0A − ed è tangente alla retta 2y x= − + .

4. Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti punti ( )1 ; 0A − , ( )2 ; 1B − ,

( )3 ; 2D − e disegnarne il grafico .

5. Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti ( )1 0 ; 3P − , ( )2 1 ; 0P − e con

raggio uguale a 6 .

6. Determinare l’equazione della circonferenza di centro ( )2 ; 3C − − e con raggio uguale a 2 .

7. Verificare se le seguenti equazioni rappresentano delle circonferenze e nel caso positivo disegnarle

2 2 2 2 2 22 3 2 2 0 , 2 2 1 0 , 2 2 4 2 0x y x y x y x y x y x y+ − + − = − − + + − = + + + + =8. Determinare l’equazione della circonferenza per i punti ( )1 ; 1P − − , ( )2 ; 1P e

con il centro sulla retta 2 2 0x y+ − = .

ESERCIZI SULLA PARABOLA

1. Determinare l'equazione della parabola passante per il punto ( )1 , 2P − + e avente il vertice nel punto

( )1 , 3V .

2. Determinare l'equazione della parabola di fuoco ( )1 , 1F − e direttrice 4y = .

3. Determinare l'equazione della parabola di fuoco ( )1 , 1F − e vertice ( )1 , 3F − .

4. Determinare l'equazione della parabola passante per i punti ( )2 , 0A , ( )2 , 1B − e il cui vertice si

trova sulla retta 2y x= .5. Determinare le coordinate del vertice , del fuoco e dell'asse di simmetria della parabola di equazione

22 3 2y x x= − − . Dopo aver determinato le intersezioni con gli assi e aver disegnato la circonferenza

determinare l'equazione della retta tangente nel punto ( )1 , 2B + − .

6. Determinare l'equazione della parabola incidente gli assi cartesiani nei punti ( )4 , 0A − ,

( )0 , 2B − e il cui vertice si trova sulla retta 4y = − .

7. Determinare l'equazione della parabola per il punto ( )1 , 3A , con il fuoco nell'origine degli assi e il

vertice sulla bisettrice del I° e III° quadrante .

ESERCIZI SULL’ELLISSE

1. Determinare l’equazione dell’ellisse per i punti ( )4 , 0A − , ( )0 , 2B + , determinandone le

coordinate dei vertici , dei fuochi , le misure degli assi ( maggiore e minore ) e il valore dell’eccentricità .

2. Determinare l’equazione dell’ellisse per il punto ( )2 , 1P + + , avente la misura dell’asse minore

uguale a 3 . Determinarne quindi le coordinate dei vertici , dei fuochi e il valore dell’eccentricità .

3. Determinare l’equazione dell’ellisse con un fuoco di coordinate ( )2 2 , 0F + ed un vertice di coordinate

( )1 0 , 3B − . Determinarne quindi le coordinate dei vertici rimanenti, del secondo fuoco e il valore

dell’eccentricità .

4. Determinare l’equazione dell’ellisse con un vertice di coordinate ( )4 , 0A e avente come retta

tangente 2 12y x= + .

5. Determinare a e b in modo che l’ellisse passi per i due punti ( )1 , 2A − e ( )2 , 1B + − .

6. Determinare l’equazione dell’ellisse avente la somma dei semiassi uguale a 6 e la distanza tra i duefuochi uguale a 8 .

ESERCIZI SULL’IPERBOLE

1. Determinare l’equazione dell’iperbole con semidistanza focale uguale a 4 e semiasse trasverso ugualea due .

2. Determinare l’equazione dell’iperbole con un fuoco nel punto ( )4 , 0F e con asse trasverso pari a 5 .

Calcolare inoltre il valore dell’eccentricità .

3. Determinare l’equazione dell’iperbole con un fuoco nel punto ( )0 , 6F − e con eccentricità pari a 2 .

Determinare inoltre le coordinate dei vertici e le equazioni degli asintoti .

4. Determinare l’equazione dell’iperbole con un vertice nel punto ( )0 , 4V e passante per il punto di

coordinate ( )1 , 6P . Determinare quindi i fuochi e gli asintoti .

5. Determinare l’equazione dell’iperbole passante per il punto ( )3 , 2T e tangente alla retta di

equazione 6y x= − + .

1. Determinare l’equazione della circonferenza che passa per il punto ( )3 , 1A ,

( )0 , 2B − e avente l’ascissa del centro in 2 .

Ricordando che :

−−

2,

2ba

C , e l’equazione della circonferenza 022 =++++ cbyaxyx ,

−==

=

⇒

−=−=

=−++−

⇒

=−

=+−+

=++++

4

0

2

4

42

0422

22

024

0319

a

c

b

a

bc

bb

a

cb

cba

e quindi l’equazione della circonferenza : 02422 =+−+ yxyx .

5=r

( )1,2 −C

x

y

2. Determinare l’equazione della circonferenza che ha per diametro il segmento diestremi ( )3 , 1P , ( )0 , 2D − .

Ricordando la formula del punto medio

++

2,

22121 yyxx

M e la formula della distanza tra due

punti ( ) ( ) ( )212

21221 yyxxPPd −+− si ha :

coordinate del centro :

−⇒

−+

21

,23

221

,2

03CC

per la misura del raggio calcoliamo la distanza tra il centro e il punto ( )1,3P :

( )2

3

2

9

2

11

2

33

22

==

++

−=CPd

e quindi dall’equazione :

( ) ( ) 02329

21

23 22

22222 =−+−+⇒=

++

−⇒=−+− yxyxyxryx βα

2

3=r

−

2

1,

2

3C

x

y

3. Determinare l’equazione della circonferenza che ha per centro il punto ( )2 , 0A − ed è

tangente alla retta 2y x= − + .

Dall’equazione della circonferenza 022 =++++ cbyaxyx :

Le coordinate del centro :

==

⇒

=−

−=−⇒

−−

0

4

02

22

2,

2 b

a

b

aba

C

E sostituendo si ha : 0422 =+++ cxyx

Di qui il sistema tra la circonferenza e la retta :

( )

( ) 40480tan

2

042

2

042

2

04 22222

−=⇒=+−⇒=∆⇒

+−==++

⇒

+−==+++−+

⇒

+−==+++

ccgenzadicondizionelaper

xy

cx

xy

cxxx

xy

cxyx

e quindi l’equazione : 04422 =−++ xyx

2+−= xy

22=r

( )0,2−C

x

y

4. Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti ( )1 ; 0A − ,

( )2 ; 1B − , ( )3 ; 2D − e disegnarne il grafico .

Ricordando l’equazione della generica circonferenza 022 =++++ cbyaxyx , e imponendol’appartenenza dei singoli punti si ha :

( )( ) ( )

===

⇒

=+=+=

⇒

=+−−+++=+=

⇒

=+−++=+−++

+=⇒

=+−++=+−++

=+−

1

10

2

1

37

1

06141313

37

1

021313

0125

1

02349

0214

01

c

b

a

c

cb

ca

ccc

cb

ca

cbc

cbc

ca

cba

cba

ca

e quindi si ha : 0110222 =++++ yxyx

calcolando le coordinate del centro :

( )5,12

,2

−−⇒

−− C

baC e il raggio 54

2

1 22 =⇒−+= rcbar

( )5,1 −−C

5=r

x

y

5. Determinare l’equazione della circonferenza passante per i punti ( ),1 0 ; 3P −

( )2 1 ; 0P − e con raggio uguale a 6 .

Ricordando l’equazione della generica circonferenza 022 =++++ cbyaxyx , e imponendo

l’appartenenza dei punti 21 PeP insieme con la condizione del raggio cbar 42

1 22 −+= :

( ) ( ) ( )

+−=

−−=

−−=

−−=

+−=

+−=

⇒

±−=

−−=−−=

⇒

±−=

−−=−−=

⇒

=−+

−−=−−=

⇒

=++

−−=−−=

⇒

=−−−+−−

−−=−−=

⇒

=−−−+

=−−−−−=

⇒

=−+

=+−=++

21377

21373

213711

21377

21373

213711

21377

5

9

454814

5

9

044142

5

9

12100202

5

9

12948

8

9

1294

091

9

6421

01

09

21

21

22

222222

b

a

c

e

b

a

c

b

ba

bc

b

ba

bc

bb

ba

bc

bb

ba

bc

bbb

ba

bc

bba

ba

bc

cba

ca

cb

e quindi si ha :

02

137112

13772

137322 =

+−+

−−+

+−++ yxyx

02

137112

13772

137322 =

−−+

+−+

−−++ yxyx

6. Determinare l’equazione della circonferenza di centro ( )2 ; 3C − − e con raggio

uguale a 2 .

Ricordando la definizione , ( ) ( ) 222ryx =−+− βα con ( )βα ;C , si ha che :

( ) ( ) 0964432 2222 =++++⇒=+++ yxyxyx

( )3,2 −−C

2=r

x

y

La prima equazione non rappresenta una circonferenza in quanto i coefficienti dei termini di 2°grado non sono uguali tra loro .

Dividendo tutti i termini dell’equazione 012222 =−++−− yxyx per 1− e verificando la

condizione di realtà per una circonferenza : 0422 >−+ cba si ha che :

040444012222 >⇒>−+⇒=+−−+ yxyx

e quindi esprime una circonferenza di ( )1,1C e raggio 1=r .

Allo stesso modo dividendo tutti i termini dell’equazione 02422 22 =++++ yxyx per 2+ e

verificando la condizione di realtà per una circonferenza : 0422 >−+ cba si ha che :

04

104

4

1401

2

1222 >⇒>−+⇒=++++ yxyx

( )1,1C

1=r

x

y

7. Verificare se le seguenti equazioni rappresentano delle circonferenze e nel casopositivo disegnarle

2 2 2 2 2 22 3 2 2 0 , 2 2 1 0 , 2 2 4 2 0x y x y x y x y x y x y+ − + − = − − + + − = + + + + =

e quindi esprime una circonferenza di

−−

41

,1C e raggio 4

1=r .

8. Determinare l’equazione della circonferenza per i punti ( )1 ; 1P − − , ( )2 ; 1P e con il

centro sulla retta 2 2 0x y+ − = .

Dall'equazione 022 =++++ cbyaxyx e

−−

2;

2ba

C :

( )

−=

−=

=

⇒

=++++=

+−=⇒

=+++=

+−=⇒

=+++−+=

+−=⇒

=++=+++−+

+−=⇒

=−

−+−

=++++=+−−+

41549

21

0639

39

2

06

39

2

0422

39

2

042

0225

2

022

22

0214

011

c

b

a

cc

cb

cba

cb

cb

cba

bcb

cb

cba

ba

cbcb

cba

ba

cba

cba

e quindi si arriva a : 04

15

4

9

2

122 =−−++ yxyx

4

1=r

−−

4

1,1C

x

y

1. Determinare l'equazione della parabola passante per il punto ( )1 , 2P − + e avente il

vertice nel punto ( )1 , 3V .

Trattandosi di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate cbxaxy ++= 2 ,il vertice è dato da :

∆

−−aa

bV

4,

2 e quindi avremo che :

=+−

−=⇒

=∆

−

=−

aacb

ab

a

a

b

124

2

34

12

2

e imponendo l'appartenenza del punto P alla parabola : { cba +−=2 .

Passando alla risoluzione completa del sistema :

411

24:

411

41

21

32

332

2

32

3

2

22

1244

2

2

124

2

2

22

++−=

=

−=

=

⇒

−==−+−

−=⇒

−==+−

−=⇒

++==+−

−=

⇒

+−==+−

−=

xxy

c

a

b

ac

aa

ab

ac

ca

ab

caa

aaca

ab

cba

aacb

ab

2. Determinare l'equazione della parabola di fuoco ( )1 , 1F − e direttrice 4y = .

Trattandosi di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate cbxaxy ++= 2 ,il fuoco e la direttrice sono espressi da :

ay

aa

bF

41

,4

1,

2∆+

−=

∆−

− e quindi avremo che :

( )( )[ ]

( )[ ]

−=

=

=

⇒

=++−+=−

−=

⇒

=−+−

−=−−

−=

⇒

=∆+−

−=∆−

=−

101

5751

16411

4144

2

16441

4441

2

44

1

14

1

12

2

2

2

a

c

b

aa

aaca

ab

aaca

aaca

ab

a

a

a

b

e quindi si arriva a : 5

7

5

1

10

1 2 ++−= xxy .

3. Determinare l'equazione della parabola di fuoco ( )1 , 1F − e vertice ( )1 , 3F − .

Trattandosi di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate cbxaxy ++= 2 ,il fuoco e il vertice sono espressi da :

∆

−−

∆−

−aa

bV

aa

bF

4,

2,

41

,2

e quindi avremo che :

( )( )

( )

−=

=

−=

⇒

−=+=+−

−=

⇒

−=−−

−=−−

−=

⇒

−=∆−

−=∆−

=−

823

81

4

1

3

411244

2

1244

4441

2

34

14

1

12

22

2

2

c

a

b

ac

aaaa

ab

aaca

aaca

ab

a

a

a

b

e quindi si arriva a : 8

23

4

1

8

1 2 −−= xxy .

4. Determinare l'equazione della parabola passante per i punti ( )2 , 0A , ( )2 , 1B −

e il cui vertice si trova sulla retta 2y x= .

Trattandosi di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate cbxaxy ++= 2 ,per la condizione di appartenenza alla parabola e le coordinate del vertice si ha :

∆

−−aa

bV

4,

2 e quindi avremo che :

( )

+=

−=−=

−=

−=+=

⇒

=−−

−=+−=

⇒

+−−=−−=

+−=⇒

−=

=−−+−−=

⇒

−=

=++=++

⇒

−−=−

=++=++

⇒

∆−=−

=++=++

461

1

61

461

1

16

05816

1

24

24414

1

24

44

1244

24

44

14

024

44

14

024

422

14

024

21

2

222

a

b

c

e

a

b

c

aa

b

ac

aa

b

ac

acbb

baba

bac

acbb

cba

cba

a

acb

a

b

cba

cba

aa

b

cba

cba

e quindi si arriva a : 614

61,16

4

61 22 −+−+

=++−−

= xxyxxy .

5. Determinare le coordinate del vertice , del fuoco e dell'asse di simmetria dellaparabola di equazione 22 3 2y x x= − − . Dopo aver determinato le intersezioni con gliassi e aver disegnato la circonferenza determinare l'equazione della retta tangente peril punto ( )1 , 2B + − .

Trattandosi di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate cbxaxy ++= 2 ,le coordinate del vertice , del fuoco e l'equazione dell'asse sono :

−⇒

∆

−−85

,43

4,

2V

aa

bV ,

−⇒

∆−

−21

,43

41

,2

Faa

bF

asse di simmetria : 4

3

2=⇒−= x

a

bx .

Per le intersezioni con gli assi avremo :

==

=

−=⇒

==−−

⇒

=−−=

=−=

⇒

=−−=

0

2

021

0

0232

0

232

0

2

0

232

22

2

y

xe

y

x

y

xx

y

xxy

x

y

x

xxy

Dall'equazione del fascio di rette per un punto ( )0,1−B , si ha che :

( ) ( )100 +=⇒−=− xmyxxmyy e mettendo a sistema con l'equazione della parabola :

( )( ) ( )

( ) ( )

627,627

0251402830

0

0232

0

2321

1

232

11

22

222

+−=−−=⇒

=++⇒=−−−+⇒=∆

==−−+−

⇒

=−−=+

⇒

+=−−=

mm

mmmmcondizionelaimponendo

x

mxmx

x

xxxm

xmy

xxy

e le rette tangenti sono dunque : ( )( ) ( )( )1627,1627 ++−=+−−= xyxy

6. Determinare l'equazione della parabola incidente gli assi cartesiani nei punti( )4 , 0A − , ( )0 , 2B − e il cui vertice si trova sulla retta 4y = − .

Trattandosi di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate cbxaxy ++= 2 ,per la condizione di appartenenza alla parabola e le coordinate del vertice si ha :

∆

−−aa

bV

4,

2 e quindi avremo che :

+=

−=+=

−=

−=−=

⇒

=+−

−=

−=

⇒

−=

−=

−=

⇒

=

−=

−=

⇒

=

−==−−

⇒

−−=−

−==−−

⇒

∆−=−

−==+−

8223

2

21

8223

2

21

014864

22

14

21

48

22

14

8

221

4

8

2

02416

816

2

02416

44

2

0416

21

22

222

a

c

b

e

a

c

b

aa

c

ab

aa

c

ab

ba

c

ab

ba

c

ba

aba

c

ba

a

c

cba

e quindi si arriva a : ( ) ( ) 21218

23,221

8

23 22 −++++

=−−+−

= xxyxxy .

7. Determinare l'equazione della parabola per il punto ( )1 , 3A , con il fuoco nell'origine

degli assi e il vertice sulla bisettrice del I° e III° quadrante .

Trattandosi di una parabola con asse di simmetria la bisettrice del I° e III° quadrante ( )xy = ,

l'equazione della parabola è del tipo cbXaXY ++= 2 , essendoci stata una rotazione , di un angolo

pari a 4

πϑ −= , degli assi cartesiani ortogonali intorno all'origine .

Ricordando quindi le formule di rotazione per un sistema di assi

+=−=

ϑϑϑϑ

cossen

sencos

YXy

YXx

( dal vecchio al nuovo ) e

+−=+=

ϑϑϑϑ

cossen

sencos

yxY

yxX ( dal nuovo al vecchio) :

La distanza tra il fuoco F e il punto ( )3,1A è 10

il punto ( )3,1A si trasforma in :

−+

−−=

−+

−=

⇒

+−=+=

4cos3

4sen

4sen3

4cos

cossen

sencos

ππ

ππ

ϑϑϑϑ

Y

X

yxY

yxX

( )22,2−A nel sistema OXY .

L'equazione della direttrice è del tipo qxy +−= , essendo una retta parallela alla bisettricexy −= del II° e IV° quadrante .

La distanza del punto ( )3,1A dalla direttrice è per definizione la distanza del fuoco dal punto

( )3,1A stesso .

Quindi dalla formula della distanza di un punto da una retta ( )22

000

ba

cbyaxrPd

+

++= si ha che :

( )

−−=

−=⇒=+⇒=

++=

452

45252410

2

31

q

qq

qArd

Quindi risulta evidente come esistano due direttrici e di conseguenza due parabole soddisfacenti lecondizioni date .

Il primo punto di intersezione della direttrice con la bisettrice è data da ( )452 −=q :

−=

−=⇒

=−=

⇒

=−+−=

⇒

=−+−=

25

2525452452

y

x

xy

x

xy

xx

xy

xy

Il secondo punto di intersezione della direttrice con la bisettrice è data da ( )452 −−=q :

−−=

−−=⇒

=−−=

⇒

=−−−=

⇒

=−−−=

25

2525452452

y

x

xy

x

xy

xx

xy

xy

E dunque le coordinate del vertice sono date dalle coordinate del punto medio tra il fuoco e il puntodi intersezione tra la direttrice e la bisettrice xy = .

−−=

++

225

,2

252

,2

2121 Vyyxx

M coordinate di V in Oxy .

−−−−=

++

225

,2

252

,2

2121 Vyyxx

M coordinate di V in Oxy .

Nel sistema OXY le coordinate di V sono :

−=

=⇒

−+

−

−−=

−

−+

−=

22210

0

22

225

22

225

22

225

22

225

Y

X

Y

X

−−=

=⇒

−−+

−

−−−=

−

−−+

−−=

2

2210

0

22

225

22

225

22

225

22

225

Y

X

Y

X

ricordando le coordinate del fuoco e del vetrice :

∆

−−

∆−

−aa

bV

aa

bF

4,

2,

41

,2

si ha :

( )

−=

+=

−−=

=

⇒

=−

−==

⇒

∆−=

−

−=

=−

2

1022

4

1022

10222

1

0

21022

14

0

422210

41

02

2

c

a

b

c

ac

b

a

acb

a

b

e quindi si arriva a : 2

1022

4

1022 2 −+

+= XY .

( )

+=

−=

+−=

=

⇒

=+

−==

⇒

∆−=

−−

−=

=−

2

1022

4

1022

10222

1

0

21022

14

0

422210

41

02

2

c

a

b

c

ac

b

a

acb

a

b

e quindi si arriva a : 2

1022

4

1022 2 ++

−= XY .

Per l'equazione della parabola rispetto al sistema 0xy :

+−=+=

ϑϑϑϑ

cossen

sencos

yxY

yxX

21022

22

22

41022

22

22

21022

41022

2

2 −+

−

+=

+⇒

−+

+= yxyxXY

2

1022

2

2

2

2

4

1022

2

2

2

2

2

1022

4

10222

2 ++

−

+=

+⇒

++

−= yxyxXY

Allo stesso risultato si arrivava più semplicemente con le seguenti considerazioni :

Trattandosi di una parabola con asse di simmetria la bisettrice del I° e III° quadrante ( )xy = ,

l'equazione della parabola è del tipo caXY += 2 , essendoci stata una rotazione , di un angolo pari

a 4

πϑ −= , degli assi cartesiani ortogonali intorno all'origine .

Ricordando quindi le formule di rotazione per un sistema di assi

+=−=

ϑϑϑϑ

cossen

sencos

YXy

YXx

( dal vecchio al nuovo ) e

+−=+=

ϑϑϑϑ

cossen

sencos

yxY

yxX ( dal nuovo al vecchio) :

il punto ( )3,1A si trasforma in :

−+

−−=

−+

−=

⇒

+−=+=

4cos3

4sen

4sen3

4cos

cossen

sencos

ππ

ππ

ϑϑϑϑ

Y

X

yxY

yxX

( )22,2−A nel sistema OXY .

Di qui imponendo le condizioni espresse dalle coordinate del fuoco e dall'appartenenza di un puntoad una curva :

( )

−=

+=

=

+=

−=

=

⇒

−=

=−−

=

⇒

−=

−=−

=

⇒

−=

−==

⇒

+=

−=

=−

2

1022

41022

0

2

1022

41022

0

222

01288

0

222

12224

0

222

14

0

222

41

02

22

c

a

b

e

c

a

b

ac

aa

b

ac

aa

b

ac

ac

b

ca

acb

a

b

e quindi le parabole : 2

1022

4

1022 2 ++

−= XY ,

2

1022

4

1022 2 −+

+= XY .

1. Determinare l’equazione dell’ellisse per i punti ( )4 , 0A − , ( )0 , 2B + ,

determinandone le coordinate dei vertici , dei fuochi , le misure degli assi ( maggiore eminore ) e il valore dell’eccentricità .

Ricordando l’equazione tipo di un’ellisse 12

2

2

2

=+b

y

a

x si ha per l’appartenenza di un punto ad una

curva :

±=±=

⇒

=

=

2

4

14

116

2

2

b

a

b

a

da cui l’equazione : 1416

22

=+ yx .

Le coordinate dei vertici sono :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2,0,0;2,0,0

0,40,;0,40,

2211

2211

+⇒+−⇒−

+⇒+−⇒−

BbBBbB

AaAAaA

dalla relazione 222 cba += si ha : 124162 =−=c

Le coordinate dei fuochi sono :

( ) ( ) ( ) ( )0,320,;0,320, 2211 +⇒+−⇒− FcFFcF

la misura dell’asse maggiore e dell’asse minore è data da : 42,82 == ba

il valore dell’eccentricità 23

==a

ce

La rappresentazione grafica dell’ellisse è la seguente :

2. Determinare l’equazione dell’ellisse per il punto ( )2 , 1P + + , avente la misura

dell’asse minore uguale a 3 . Determinarne quindi le coordinate dei vertici , dei fuochi eil valore dell’eccentricità .

Ricordando l’equazione tipo di un’ellisse 12

2

2

2

=+b

y

a

x si ha per l’appartenenza di un punto ad una

curva :

11422 =+

ba

e poichè l’asse minore è dato da : 32 =b

risolvendo il sistema dato dalle due condizioni :

=

±=⇒

=

=⇒

=

=+⇒

==+

⇒

=

=+

23

5

6

23

536

23

49

49

4

32

4

32

114 222

222222

b

a

b

a

b

aa

b

baab

bba

( )2,02 +B

( )2,01 −B

( )0,41 −A ( )0,321 −F ( )0,322 +F ( )0,42 +A

da cui l’equazione : 1

49

536

22

=+yx

.

Le coordinate dei vertici sono :

( ) ( )

( ) ( )

+⇒+

−⇒−

+⇒+

−⇒−

23

,0,0;23

,0,0

0,5

60,;0,

5

60,

2211

2211

BbBBbB

AaAAaA

dalla relazione 222 cba += si ha : 20

99

20

45144

4

9

5

362 =−

=−=c

Le coordinate dei fuochi sono :

( ) ( )

+⇒+

−⇒− 0,

511

23

0,;0,511

23

0, 2211 FcFFcF

il valore dell’eccentricità 4

11==

a

ce

La rappresentazione grafica dell’ellisse è la seguente :

( )2,02 +B

( )2,01 −B

− 0,

5

61A

− 0,

511

23

1F

+ 0,

511

23

2F

+ 0,

5

62A

3. Determinare l’equazione dell’ellisse con un fuoco di coordinate ( )2 2 , 0F + ed un

vertice di coordinate ( )1 0 , 3B − . Determinarne quindi le coordinate dei vertici

rimanenti, del secondo fuoco e il valore dell’eccentricità .

Ricordando l’equazione tipo di un’ellisse 12

2

2

2

=+b

y

a

x con un vertice ( ) ( )3,0,0 11 −=− BbB e

un fuoco ( ) ( )0,20, 22 +=+ FcF si ha che 2,3 == cb :

E ricordando che 222 cba += 13492 =+=⇒ a

Si arriva all’equazione dell’ellisse : 1913

122

2

2

2

2

=+⇒=+ yx

b

y

a

x

Le coordinate dei vertici sono :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )3,0,0;3,0,0

0,130,;0,130,

2211

2211

+⇒+−⇒−

+⇒+−⇒−

BbBBbB

AaAAaA

Le coordinate dei fuochi sono :

( ) ( ) ( ) ( )0,20,;0,20, 2211 +⇒+−⇒− FcFFcF

il valore dell’eccentricità 13

2==

a

ce

La rappresentazione grafica dell’ellisse è la seguente :

( )2,02 +B

( )2,01 −B

( )0,131 −A ( )0,21 −F ( )0,22 +F

4. Determinare l’equazione dell’ellisse con un vertice di coordinate ( )4 , 0A e avente

come retta tangente 2 12y x= + .

Ricordando l’equazione tipo di un’ellisse 12

2

2

2

=+b

y

a

x con un vertice ( ) ( )0,40, 22 AaA = si

ha :

116 2

22

=+b

yx

Impostando il sistema tra l’ellisse e la retta tangente :

( ) ( )

( )

+==−+++

⇒

+==++⇒

+=

=++⇒

+=

=+

122

016230476864

122

1612216

122

1122

16122

116

222

22222

22

2

22

xy

bxxb

xy

bxxb

xyb

xx

xyb

yx

Imponendo la condizione di tangenza si ha : 0=∆

( ) ( )( ) ( ) 080012801601623046438404

2224222 =−⇒=−⇒=−+−⇒=∆

bbbbbb

dalla risoluzione dell’equazione si ha : 0=b valore chiaramente non accettabile e 54±=b .

Di qui l’equazione dell’ellisse : 18016

22

=+ yx

( )54,02 +B

( )63,02 +F

( )63,01 −F

( )54,01 −B

( )0,41 −A ( )0,42 +A

5. Determinare a e b in modo che l’ellisse passi per i due punti ( )1 , 2A − e ( )2 , 1B + −.

Ricordando l’equazione tipo di un’ellisse 12

2

2

2

=+b

y

a

x

Impostando il sistema di appartenenza di un punto ad una curva :

=

=⇒

=+

=⇒

=+

=⇒

=+

=+⇒

=+

=+⇒

=+

=+

5

5

520

5

4

315

4

4164

4

4

114

141

2

2

22

2

2222

2

2222

2222

2222

2222

22

22

a

b

aa

b

baab

b

baab

baab

baab

baab

ba

ba

Di qui l’equazione dell’ellisse ( con a = b circonferenza ) : 155

22

=+yx

( )5,02 +B

( )5,01 −B

( )0,51 −A ( )0,52 +A

6. Determinare l’equazione dell’ellisse avente la somma dei semiassi uguale a 6 e ladistanza tra i due fuochi uguale a 8 .

Ricordando l’equazione tipo di un’ellisse 12

2

2

2

=+b

y

a

x e poichè 6=+ ba , 82 =c

Impostando il sistema dato dalle due condizioni :

( )

=

=

=

⇒

−=−=

−=⇒

+=−

=−=

⇒

+=

==+

35

43

13

2012

4

6

166

4

6

4

6

22222

b

c

a

b

c

ba

bb

c

ba

cba

c

ba

Di qui l’equazione dell’ellisse: 1

925

9169

22

=+ yx

+

3

5,02B

−

3

5,01B

− 0,

3

131A ( )0,41 −A ( )0,41 −A

+ 0,

3

132A

1. Determinare l’equazione dell’iperbole con semidistanza focale uguale a 4 e semiasse trasverso uguale a due .

Ricordando l’equazione tipo di un’iperbole 12

2

2

2

=−b

y

a

x e poichè 2=a , 4=c

Impostando il sistema dato dalle due condizioni :

=

=

=

⇒

=+

=

=

⇒

=+

=

=

12

4

2

164

4

2

4

2

22222 b

c

a

b

c

a

cba

c

a

Di qui l’equazione dell’ellisse: 1124

22

=− yx

Le equazioni degli asintoti sono fissate in : xy 3±=

( )0,21 −A ( )0,22 +A

( )0,41 −F ( )0,42 +F

xy 3=xy 3−=

x

y

Ricordando l’equazione tipo di un’iperbole 12

2

2

2

=−b

y

a

x e poichè 52 =a , 4=c

Impostando il sistema dato dalle due condizioni :

=

=

=

⇒

=+

=

=

⇒

=+

=

=

439

425

16425

425

425

22222

b

c

a

b

c

a

cba

c

a

Di qui l’equazione dell’ellisse: 1

439

425

22

=−yx

L’ eccentricità è data da : 58

254

===a

ce

xy5

39=xy

5

39−=

− 0,

25

1A

+ 0,

2

52A

( )0,41 −F ( )0,42 +F x

y

.

2. Determinare l’equazione dell’iperbole con un fuoco nel punto ( )4 , 0F e con asse

trasverso pari a 5 . Calcolare inoltre il valore dell’eccentricità .

3. Determinare l’equazione dell’iperbole con un fuoco nel punto ( )0 , 6F − e con

eccentricità pari a 2 . Determinare inoltre le coordinate dei vertici e le equazioni degliasintoti .

Ricordando l’equazione tipo di un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate 12

2

2

2

−=−b

y

a

x ,

e con 2=b

c , 6=c

Impostando il sistema dato dalle condizioni :

=

=

=

⇒

=+

=

=

⇒

=+

=

=

27

3

6

369

3

6

2

6

22222 a

b

c

a

b

c

cba

b

c

c

Di qui l’equazione dell’ellisse: 1927

22

−=− yx

Le coordinate dei vertici sono date da :

( ) ( )3,0,0 11 −⇒− BbB , ( ) ( )3,0,0 22 +⇒+ BbB

Le equazioni degli asintoti : xy31

±=

xy3

1−= xy

3

1=( )6,02F

( )3,02B

( )3,01 −B

( )6,01 −F

x

y

4. Determinare l’equazione dell’iperbole con un vertice nel punto ( )0 , 4V e passante

per il punto di coordinate ( )1 , 6P . Determinare quindi i fuochi e gli asintoti .

Ricordando l’equazione tipo di un’iperbole con i fuochi sull’asse delle ordinate 12

2

2

2

−=−b

y

a

x ,

e imponendo le condizioni di appartenenza di un punto ad una curva si ha :

=

=⇒

−=−

=⇒

−=−

=⇒

−=−

−=−

54

16

163616

16

116361

16

1361

116

2

2

22

2

2

2

22

2

a

b

aa

b

a

b

ba

b

Di qui l’equazione dell’iperbole : 116

54

22

−=− yx

Le coordinate dei fuochi sono date da :

( )

−⇒−

521

2,0,0 11 FcF , ( )

+⇒+

521

2,0,0 22 FcF

poiché : 5

8416

542222 =+=⇒+= cbac

Le equazioni degli asintoti : xyxa

by 52±=⇒±=

xy 52=

5

212,02F

( )4,02B

( )4,01 −B

−

5

212,01F

x

y

xy 52−=

5. Determinare l’equazione dell’iperbole passante per il punto ( )3 , 2T e tangente alla

retta di equazione 6y x= − + .

Ricordando l’equazione tipo di un’iperbole 12

2

2

2

=−b

y

a

x , imponendo le condizioni di

appartenenza di un punto ad una curva si ha :

{ 222222 491

49baab

ba=−⇒

=−

allo stesso modo impostando il sistema curva – retta , e imponendo la condizione di tangenza si ha :

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

+−=

=+−=∆⇒

+−=

=+−=∆⇒

+−=

=−−−−−=∆

⇒

+−==−−+−

⇒

+−==+−−

⇒

+−=

=+−

−⇒

+−=

=−

6

03604

6

03604

6

036604

6

03612

6

6

6

16

6

1

22422422

22222222222222

2222222

2

2

2

2

2

2

2

xy

ba

xy

bababa

xy

baaaba

xy

baaxaxab

xy

baxaxb

xyb

x

a

x

xyb

y

a

x

Di qui il sistema dato dalle due condizioni :

( ) ( ) ( ) ( )

+−=

±=⇒

+−=

±=⇒

+−==−−=

⇒

−=

=−−⇒

+−=−

−=⇒

+−=−

−=⇒

+=

+=+−⇒

=−

+=+−⇒

=−

−=−

62153741

62153741

6

03641

36

03641

14436365

36

14436365

36

1445

14444

49

14444

49

36

222

22

24

222

22

222

22

222

22

2222

22

2222

22

21

xy

a

xy

t

xy

ttta

ab

aa

aaa

ab

aaa

ab

bab

ab

baab

ab

baab

ab

l’equazione dell’iperbole : 116

54

22

−=− yx

Le coordinate dei fuochi sono date da :

( )

−⇒−

521

2,0,0 11 FcF , ( )

+⇒+

521

2,0,0 22 FcF

poiché : 5

8416

542222 =+=⇒+= cbac

Le equazioni degli asintoti : xyxa

by 52±=⇒±=

xy 52=

5

212,02F

( )4,02B

( )4,01 −B

−

5

212,01F

x

y

xy 52−=