13
Esercizio n°1
In condizioni di regime stazionario e unidimensionale possiamo calcolare la potenza termica di calore fluente
attraverso la parete multistrato mediante la seguente equazione, derivante dall’integrazione dell’equazione
rappresentativa del postulato di Fourier, lungo gli spessori dei materiali costituenti la parete, e dall’applicazione
dell’analogia elettrica alle resistenze termiche dei singoli strati costituenti la parete.
21 ttKq unitariospecifico
dove
Cm
W
Cm
W
ssssK
cls
cls
matt
mattn
i i
iunitario 22
int
int
1
823.3
46.0
01.0
93.0
08.0
65.0
1.0
111
221
int
int
45.761
m
Wtt
sssq
cls
cls
matt
mattspecifico
In condizioni di regime stazionario possiamo affermare che il flusso specifico di calore attraverso lo strato dei
mattoni dovrà essere uguale al flusso specifico attraverso lo strato di calcestruzzo e così uguale al flusso
attraverso l’intonaco. Il flusso di calore attraverso uno strato è pertanto uguale a quello relativo a qualsiasi altro
strato.
221 45.76m
Wqtt
stt
sTT
sq specificoy
intonaco
yx
cls
cls
x
mattoni
mattoni
mattoni
intonaco
La prima equazione ci permette allora di determinare la temperatura Tx nel punto di contatto tra mattoni e
calcestruzzo.
Cqs
TT specifico
mattoni
mattoni
x 24.81
Rappresentazione della stratigrafia della parete e delle grandezze definite e dedotte dal testo dell’esercizio
Andamento della Temperatura lungo la stratigrafia della parete multistrato
Esercizio n°2
Per semplicità ragioniamo considerando il sistema collettore solare in condizioni di regime stazionario.
All’instaurarsi di questa particolare condizione i flussi di potenza termica in ingresso e in uscita dal collettore sono
perfettamente bilanciati (uguali) e quindi il flusso netto è nullo1. L’obiettivo del’esercizio è quello di trovare quella
particolare temperatura dell’aria in corrispondenza della quale, al permanere delle condizioni al contorno, il
collettore solare si porta a 0°C in regime stazionario e quindi tutto il flusso di radiazione termica che il collettore, a
0°C, scambia con il terreno a 4°C e con la volta celeste a Tv.c.2 è interamente compensata dal calore scambiato per
convezione con l’aria.
Il collettore solare è un sistema termodinamico. Il primo principio della termodinamica, applicato al sistema
collettore solare, in generale porta scrivere:
LQUcollettore
1 In questo particolare caso in cui il sistema è costituito da un collettore solare termico il flusso di potenza meccanica in
ingresso o in uscita dal sistema non è presente, in quanto viene considerato un sistema che non è in grado di scambiare
lavoro con l’ambiente circostante. 2 La volta celeste la possiamo considerare come un corpo nero alla temperatura di 230,15K
ty 1.66
T(s) °C
S [cm]
20
tx 8.24
0
10 18 18,1
Temperatura Interfaccia Calcestruzzo - mattone ty=1.66
Intonaco
msmatt 1.0
mK
Wmatt 65.0
mscls 08.0
mK
Wcls 93.0
ms 01.0int
mK
W46.0int
Temperatura parete del mattone t1=20°C
Temperatura parete dell’intonaco t2=0°C
Temperatura Interfaccia Mattone - Calcestruzzo tx=8.24
Mattone
221
int
int
45.761
m
Wtt
sssq
cls
cls
matt
mattspecifico
Ct 02
Ct 201
Calcestruzzo
specificoqspecificoq
Il sistema termodinamico collettore solare termico può solo scambiare radiazione termica con il terreno e con la
volta celeste e anche calore per convezione con l’aria. Il primo principio della termodinamica applicato al sistema
collettore solare nelle condizioni di regime stazionario si particolarizza seconda la seguente equazione:
0 LQ
Il termine “Q “ rappresenta la quantità netta di calore che il collettore scambia per convezione con l’aria,
mentre il termine “ “ rappresenta la quantità netta di radiazione termica che viene scambiata con la volta
celeste e con il terreno. La prima sommatoria relativa allo scambio di calore è costituita da un solo termine visto
che il collettore solare è immerso completamente in aria alla temperatura ancora incognita di Taria.
collariaconvcoll TThAQ
La seconda sommatoria è invece costituita da due termini. Infatti il collettore scambia complessivamente
radiazione termica con due corpi. Il terreno e la volta celeste, rispettivamente alle temperature Tterr=277,15K e
Tv.c.. La volta celeste la possiamo considerare come un corpo nero alla temperatura di 230,15 K.
Nomenclatura
Pedici:
terr. sta per “terreno”;
v.c. sta per “volta celeste”
coll. sta per “collettore”
)1(.1
con1
11
.. eqA
RR
JTEJTE
A
collcoll
collcollcollncollcolln
coll
collcollcvterrcoll
............ cvcollcvcollcollterrcollterrcollcollcvterrcoll FJJAFJJA
)2(.
1;
1con
....3
..2
3
...
2
. eqFA
RFA
RR
JJ
R
JJ
cvcollcollterrcollcoll
cvcollterrcoll
)3(.1
con1
55
.. eqA
RR
JTEJTE
A
terrterr
terrcollcollnterrterrn
terr
terrterrcvcollterr
)4(........ eqFJJAFJJA cvterrcvterrterrcollterrcollterrterrcvcollterr
....4
4
..
2
1con
cvterrterr
cvterrcollterr
FAR
R
JJ
R
JJ
.................... terrcvterrcvncvcollcvcollcvncvterrcollcv FJTEAFJTEA
)5(.
4
.....
3
... eqR
JTE
R
JTE cvcvncollcvn
Collettore Solare
corpo 1
Terreno corpo 2
1....... cvcvncv poichèTEJ
Possiamo osservare che abbiamo 5 equazioni 1), 2), 3), 4), 5) e 5 incognite
........... ,,,,, cvterrcollterrcollcvcvcollterrcvterrcoll JJJ .
Risolvendo il sistema lineare (nelle incognite su indicate), per l’espressione di ..cvterrcoll si trova che:
)6(323121
..2
54323121
..53
54323121
43
323121
23..
eqRRRRRR
TER
RRRRRRRR
TERR
RRRRRRRR
TERR
RRRRRR
TERR
cvn
cvnterrncollncvterrcoll
Ponendo 323121 RRRRRRH e 54 RRZ e aggiungendo e togliendo all’Eq. (6) la seguente quantità:
ZH
TERR
RRRRRRRR
TERR collncolln
53
54323121
53 , per ..cvterrcoll troviamo:
)7(;
11
11
.....
5
4
32
4
5
3
4
5
3..
5
4
3..
2..
eqTETE
R
RH
R
H
RTETE
R
RH
R
TETE
R
RH
RTETE
R
RH
RTETE
H
R
cvcollterrcollcvncollnterrncolln
terrncollncvncollncvncollncvterrcoll
Si osservi ora che ..
4
1
cvterrterr FAR
mentre terrterr
terr
AR
15 pertanto se approssimiamo il fattore di vista
..cvterrF circa ad uno 1.. cvterrF , approssimazione resa plausibile dal fatto che in effetti quasi tutta la radiazione
En(Tcoll)
Jv.c.
Jcoll Jterr
En(Tterr) collcoll
coll
AR
11
terrterr
terr
AR
15collterrterr
collterrcollcoll FA
AFA
R
1
3
2
112
En(Tsky)
....
..
..6 0
11cvncv
cvcoll
cv TEJA
R
collcvcvcoll
cvcollcoll FAA
FAR
......
3
1
3
1
11 terrcvcvcvterrterr FAFAR
......
4
11
che si libera dal terreno praticamente raggiunge la volta celeste, allora terr
terr
R
R
1
5
4 e terr
terr
R
R
14
5 . Il valore
numerico di ..cvterrcoll è pari a:
(7bis) eq.656.4W801.6W-145.1W ..... cvcollterrcollcvterrcoll
L’obiettivo dell’esercizio è quello di trovare quella particolare temperatura dell’aria in corrispondenza della quale
il collettore solare si porta a 0°C in regime stazionario e quindi tutta la radiazione che il collettore scambia quando
si trova a 0°C, con il terreno a 4°C e con la volta celeste a -43°C è interamente compensata dal calore scambiato
per convezione con l’aria.
Questo risultato ci dice che il collettore complessivamente cede radiazione termica al cielo in ragione di 654.4W
Nel momento in cui Tcoll è < di Tterr allora il primo termine è minore di zero significa che il collettore sta cedendo
una quantità negativa di radiazione al terreno quindi significa che il collettore guadagna radiazione dal terreno,
mentre ne cede alla volta celeste. La scrittura precedente è impostata dal punto di vista della quantità di
radiazione che il collettore cede all’ambiente circostante, quindi se complessivamente dovesse risultare positiva
allora significa che il collettore cede effettivamente radiazione all’ambiente circostante, se invece dovesse
risultare negativa allora significa che il collettore guadagna radiazione. Riscriviamo il primo principio:
0 Q
La quantità è quella appena determinata ..cvterrcoll dell’equazione (7) ed equazione (7bis)
Mentre il termine Q è così esprimibile
collariaconvcoll TThAQ
Il primo principio pertanto porge
04.654.. WTThA cvterrcollcollariaconvcoll
Eseguendo i calcoli si trova per ariaT il valore di C1.951.275 K . Questo è il valore limite in corrispondenza del
quale il fluido si trova in condizioni limite per il verificarsi del congelamento in regime stazionario. Per
temperature dell’aria, C1.951.275 KTaria allora l’acqua del collettore non arriva a congelare e se comunque
si trovava già allo stato di ghiaccio inizia la fase di liquefazione, se invece C1.951.275 KTaria allora l’acqua
del collettore inizia la fase di congelamento.
Esercizio n°3
Scopo dell’esercizio è determinare l’area della superficie di collettore solare termico che sia in grado di riscaldare
in 4 ore 200 kg di acqua da 10°C a 65°C sfruttando la disponibilità di un flusso di radiazione solare pari a 800W/m2.
L’esercizio viene risolto utilizzando il primo principio della termodinamica per sistemi aperti.
Dalla figura possiamo osservare che possiamo considerare il collettore solare come un sistema aperto in grado di
scambiare massa, radiazione e calore.
La scrittura del primo principio per fluosistemi, a partire dalle condizioni più generali porge:
p
ssshaft
m
j
l
kkjc
V
n
iiiii LQdVgzwiegzwhm
c 11 1
2
1
2 )2
1..(
2
1
quando viene applicato al caso del collettore solare in regime stazionario:
condconvIRriemessariflessaIRambincsoliuOpHiu QQttcmhhmhm 2
1
2
condconvIRriemessariflessaIRambinccolliuOpH QQAttcm
2
Il flusso di radiazione solare che complessivamente il collettore riesce a captare è pari a sol ,mentre il flusso
specifico di radiazione, cioè il flusso captato per unità di superficie di collettore è dato da collsolsol A . La
portata massica convertita in kg al secondo è pari a 200/(3600*4)=0.0139[kg/s];
Adesso possiamo considerare un collettore ideale, ovvero un collettore con efficienza unitaria, η=1, quindi in
grado di convertire tutta la radiazione solare, captata dalla superficie Acoll, in incremento di entalpia del fluido
termovettore. In questo caso l’equazione del collettore diventa:
solcolliuOpH Attcm 2
Per il collettore ideale la superficie di captazione necessaria è pari a 3.9970m2
Qualora invece venisse considerato un collettore reale con un valore di efficienza η<1 ad esempio η=0.6, allora
solo il 60% della radiazione solare incidente viene convertita in incremento di entalpia del fluido, mentre il
restante 40% della radiazione solare incidente viene dispersa in ambiente, in termini di calore e radiazione
dispersa, e va a costituire le perdite del collettore.
L’efficienza del collettore è rappresentata dalla seguente espressione:
solcoll
iup
A
ttcm
condconvIRriemessariflessaIRambincsolcolliuOpH QQAttcm 2
La quantità netta di radiazione solare che non viene convertita in incremento di entalpia è rappresentata dai
termini:
condconvIRriemessariflessaIRambinc QQ
Pertanto questa quantità, che possiamo indicare con dispQ è così esprimibile:
solcolldispcondconvIRriemessariflessaIRambinc AQQQ 1
solcollsolcolldispsolcollOpH AAQAttcm 1122
solcollOpH Attcm 122
In questo caso l’area della superficie di captazione dovrà essere uguale a 6.662m2
Esercizio n°4
Alle condizioni indicate possiamo considerare l’aria a comportamento di gas ideale. Il gas ideale è un sistema
p,v,T, ovvero è un sistema che per essere individuato in uno stato di equilibrio termodinamico necessita di sole
tre coordinate termodinamiche.
Lo stato iniziale (pi ,vi ,Ti ), la quantità di materia e di massa sono completamente definiti ed individuabili dai dati
del testo dell’esercizio. Infatti sono stati assegnati il volume, la pressione e la temperatura iniziale, da questi
possiamo determinare la quantità di materia (numero delle moli n) e di massa del sistema3, il volume specifico
iniziale.
Quantità di materia (numero di moli “n”)
iuniviiiiunivimolareiiunivimolarei nRVpvnRnvpgasdimolinperRvpgasdimoleunaper
kmol
J
kmolNm
KkgmoleK
J
mm
N
R
Vpn
iuniv
ii 00832.000832.0
2938314
1.0101325*20 3
2
Quantità di massa “m”
kg
KkgK
J
mm
N
R
VpmmRVp
iaria
ii
iariaii 413.2
65.286
1.0101325*20 3
2
Volume specifico iniziale
kg
m
kg
m
m
Vv
i
i
ispec
33
0414.0413.2
1.0
Condizioni finali del sistema
Le condizioni finali del sistema si determinano calcolando la pressione e il volume specifico finale del sistema,
visto che il volume totale, massa e numero di moli rimangono invariati e la temperatura finale del sistema è
assegnata
3 è un sistema chiuso dove si esclude la possibilità di reazioni nucleari quindi massa e materia rimangono costanti nel tempo
Pa
m
KkgK
Jkg
VV
mRpmRVp
if
faria
ffariaff
6
310458.3
1.0
50065.286413.2
Calore scambiato.
Possiamo determinare la quantità di calore scambiata utilizzando il primo principio della termodinamica
LQU gas
per processi finiti quasi statici, di gas ideale, nell’ipotesi che risultino adiabatici alla radiazione:
f
iifv pdvmQmc
Se il processo isovolumico è quasi statico allora il lavoro scambiato quasi staticamente è nullo, pertanto:
kcalJJmcQ ifariav 55.853581105002936.717413.2
Si ricordi che per i calori specifici di un gas ideale vale la relazione
kgK
JRccRcc ariaariavariapeparticolarvp 65,286
Ricordando che il calore specifico a pressione costante dell’aria è pari a 0.24[kcal/kgK], oppure 1004,6[J/kgK],
allora
kgK
J
kgK
JRcc ariaariapariav 9.71765,2866,1004
Variazione di Energia Interna
Ricordando che per un gas ideale la dipendenza dell’energia interna dalle coordinate termodinamiche è limitata
alla sola temperatura e che la variazione può essere espressa dalla seguente relazione:
ifvig mcU .
abbiamo che
JmcU ifariavaria 358110
Variazione di Entalpia
Ricordando che per un gas ideale la dipendenza dell’entalpia dalle coordinate termodinamiche è limitata alla sola
temperatura e che la variazione può essere espressa dalla seguente relazione:
ifpig mcH .
abbiamo che
JmcH ifariaparia 501450
Variazione di Entropia
ΔUgas
Q L
φ
A partire dalla scrittura del primo principio della termodinamica per un sistema costituito da una massa unitaria di
gas ideale relativamente a processi quasi statici infinitesimi reversibili:
pdvTdspdvqdTcv
T
pdvds
T
dTcv
Quando il processo è isovolumico abbiamo:
kgK
cal
kgK
J
kgK
J
T
TcssdsdT
Tc
i
f
vif
i
i
f
iv 54.9119.383
293
500lg6.1004lg
1
La variazione di entropia subita da tutta la massa del sistema è pari
K
cal
K
JssmSS ifif 87.22057.92419.383413.2
Lavoro
Qualora si concepisca il processo come quasi statico, per il postulato di stato4 del lavoro quasi statico valido per i
sistemi pvT, posso affermare che in assenza di variazione di volume il lavoro scambiato è nullo. Infatti se il lavoro
è quasi statico allora qualsiasi lavoro L scambiato con il sistema deve essere così esprimibile:
f
ipdvmL
Quindi se il processo è isocoro il “dv” è identicamente nullo lungo il processo:
0L
Se invece il processo non è quasi statico, possiamo pensare di giungere isovolumicamente allo stato finale in
modo non quasi statico, scambiando lavoro d’elica, in modo adiabatico al calore e alla radiazione. Allora per il
primo principio abbiamo che la variazione di energia interna ci fornisce il valore del lavoro d’elica scambiato con il
sistema.
elicaVolume LLQU
elicaVolume
f
iig LLQU .. (2)
elicafv Limc
JLelica 358110
Processo adiabatico.
Lo stato iniziale in termini di pi, vi e Ti è lo stesso del caso precedente. Stavolta però il processo termodinamico
anziché essere descritto dall’equazione del processo isocoro
fi VVcostV
È descritto dall’equazione di un processo adiabatico: ffii vpvpcostpv
Siamo in possesso di pi e vi e ci manca pf e vf
4 In positivo: per un sistema pvT l’unico modo che il sistema ha di scambiare lavoro con l’ambiente circostante in modo quasi statico è
quello per variazione di volume. In negativo: il lavoro scambiato senza variazione di volume non può essere quasi statico quando è eseguito
su o da un sistema di tipo pvT
SISTEMA ADIABATICO
S.E.M. L∞ Lavoro ’elica
Aria a comportamento
ideale
Dello stato finale abbiamo assegnata sola la temperatura finale Tf=500K, quindi dobbiamo chiederci quale è quello
stato finale di gas ideale che muovendoci adiabaticamente dallo stato iniziale assegnato (pi vi) ci porta alla
temperatura Tf=500K?
Per risolvere basta seguire attentamente come è stata formulata la precedente domanda:
siccome è uno stato finale di gas ideale allora potrò scrivere per questo stato l’equazione di stato di un gas ideale
f
faria
ffariaffv
TRpTRvp
Questo risultato ci permette di esprimere la pf in funzione di Tf e vf. Siccome raggiungiamo lo stato finale
muovendoci adiabaticamente allora stato finale e iniziale devono obbedire all’equazione dell’adiabatica,
kg
m
TR
vpvvTRvpvp
faria
ii
fffariaffii
31
1
1 0109.0
Ritorniamo alla precedente equazione per calcolarci pf:
Pav
TRp
f
faria
f
710314.1
Vf
3
ff mmvV 0263.0
Calore scambiato Q
Essendo un processo adiabatico il calore scambiato risulta essere nullo.
0Q
Variazione di energia interna e di entalpia
Le variazioni di energia interna e di entaplia sono numericamente uguali a quelle che si stabilivano nel processo
isovolumico, questo a causa del fatto che l’energia interna e l’entalpia di un gas ideale dipendono solo dal valore
della temperatura. Temperatura iniziale e finale dei due processi coincidono
JmcU ifariavaria 358110
JmcH ifariaparia 501450
Variazione di Entropia
Nell’ipotesi di processo adiabatico reversibile la variazione di entropia è nulla in quanto per processi reversibili è
lecito scrivere
T
QdS rev
Essendo nel processo adiabatico Q=0, allora anche dS è nullo.
Qualora invece il processo pur essendo adiabatico non sia reversibile allora non avremmo potuto calcolare la
corrispondente variazione di entropia con i soli dati assegnati, in quanto non siamo in grado di conoscere lo stato
finale del sistema. Infatti lo stato finale appena calcolato è il frutto di un processo adiabatico ed anche reversibile
l’aggiunta di questo aggettivo (reversibile) identifica il processo adiabatico con l’equazione pvγ=cost e questo ci ha
permesso di individuare lo stato finale. La non reversibilità del processo adiabatico, non ci avrebbe mai potuto
portare nel medesimo stato del processo adiabatico reversibile.
Lavoro
Il lavoro del processo adiabatico coincide con la variazione di energia interna
LQU
JLimc fv 358110
Esercizio n°5
Il sistema pompa di calore,macchina frigorifera, viene caratterizzato da due indici a seconda di quale sia la
funzione utile che si vuole considerare.
La funzione di macchina frigorifera desta interesse la quantità di calore che si riesce a rimuovere dal serbatoio a
temperatura inferiore a parità di lavoro meccanico somministrato al sistema.
1
1
1F
C
F
CF
F
FC
F
mecc
Ffrig
Q
Q
Q
Q
Q
L
Q
trattandosi di una macchina frigorifera di Carnot
5787.640
15.303
15.26315.303
15.263
1
1
1
1
FC
F
F
C
F
C
frigTT
T
T
T
Q
Q
Mentre nella funzione di sistema pompa di calore l’interesse è rivolto alla quantità di calore che si riesce a
immettere nel serbatoio a temperatura superiore a parità di lavoro meccanico somministrato al sistema.
PC;/;
MF
T1s=30+273.15
Lmecc
T2s=-10+273.15
QC
QF
15787.740
15.303
15.26315.303
15.303
1
1
1
1
frig
Fc
C
C
F
C
F
pdcTT
T
T
T
Q
Q
kcalkcalkwhLQ meccfrigF 7.5657186.4
106.315787.615787.6
3
kcalkcalkwhLQ meccpdcC 8.6517186.4
106.315787.715787.7
3
