ESPERIENZA DEL PENDOLO

SCOPO: Misura della costante di accelerazione gravitazionale lo-cale mediante il pendolo reversibile

Il momento angolare rispetto a un punto O di una massa m a distanza ~r daO e che si muove su un piano con velocita ~v e dato da:

~L = ~r × ~p = ~r ×m~v = m(~r × ~v)

e in modulo:

| ~L| = mr v sinθ

Consideriamo una massa appesa a un punto di sospensione O per mezzo diun filo inestensibile di lunghezza l e in moto oscillatorio.

La variazione del momento angolare nell’unita di tempo vale:

1

d ~Ldt

=d

dt(m~r × ~v) = m

(d~r

dt× ~v + ~r × d~v

dt

)

Poiche ~r = cost la sua derivata rispetto al tempo vale 0 e quindi:

d ~Ldt

= m~r × ~a = ~r × ~F = ~M

dove ~M e il momento della forza e l’uguaglianza

d ~Ldt

= ~Me il teorema del momento della quantita di moto.

Consideriamo ora un corpo rigido vincolato a ruotare intorno a un asse disospensione.Chiamiamo S l’asse di sospensione, G il baricentro del corpo, m la massa delcorpo, θ l’angolo di inclinazione dalla verticale e infine as la distanza fra ilbaricentro e l’asse di sospensione.

Trascurando gli attriti, il momento della forza vale:

~M = ~Fg × ~as

e in modulo:

M = −mg as sinθ

dove il segno − indica che si tratta di una forza di richiamo.

2

Il momento angolare della massa infinitesima dm del corpo in oscillazione,che trova a distanza ~r dall’asse di sospensione, e:

d ~L = dm(~v × ~r)

Siccome ~v e ~r sono ortogonali, si ha:

dL = dmv r = dm (θr) r = θr2dm

Per ottenere il momento angolare totale, bisogna integrare sul volume delcorpo:

L =

∫

V

θr2dm = θ

∫

V

r2dm = Isθ

dove Is e il momento di inerzia del corpo rispetto all’asse di sospensione.Per il teorema del momento della quantita di moto si ha:

Isθ = −mg as sinθ

Dobbiamo risolvere questa equazione differenziale.Poniamo φ(θ) = θ, da cui:

θ =dθ

dt=

d

dtφ(θ) =

dφ

dθ

dθ

dt=

dφ

dθθ =

dφ

dθφ

Sostituendo si ottiene:

Isdφ

dθφ = −mg as sinθ

dφ

dθφ = −m g as

Is

sinθ

Chiamiamo A la quantita costante m g as

Is,

dφ

dθφ = −Asinθ

φ dφ = −Asinθ dθ

e integriamo

∫ φ

φ0

φ dφ =

∫ θ

θ0

−Asinθ dθ

3

ottenendo come risultato

1

2(φ2 − φ2

0) = A(cosθ − cosθ0)

ossia

1

2(θ2 − θ0

2) = A(cosθ − cosθ0)

Facciamo una breve considerazione su quest’ultima uguaglianza. Riscrivi-amola nel modo seguente:

1

2Isθ

2 −mg as cosθ =1

2Isθ0

2 −mg as cosθ0

L’energia cinetica dell’elemento infinitesimo dm del corpo oscillante e :

dK =1

2v2dm

E l’energia cinetica totale:

K =1

2

∫

V

v2dm =1

2

∫

V

(θr)2dm =1

2θ2

∫

V

r2dm =1

2Isθ

2

Mentre l’energia potenziale e:

U = −mg (ascosθ)

Per cui l’uguaglianza precedente di fatto equivale alla conservazione dell’energiatotale del sistema:

K + U = K0 + U0

Riprendiamo l’equazione differenziale e assumiamo che il corpo inizi a oscil-lare con velocita angolare nulla, sia cioe θ0 = 0.

θ2 = 2A(cosθ − cosθ0)

Usiamo le formule di bisezione:

cosθ = 1− 2sin2 θ

2

4

Da cui:

θ2 = 4A

(sin2 θ0

2− sin2 θ

2

)

dθ

dt= ±2

√A

(sin2 θ0

2− sin2 θ

2

)1/2

Delle due soluzione consideriamo quella con il segno −, poiche il corpo simuove in direzione opposta al senso in cui e definito l’angolo θ.

−∫ θ

θ0

dθ

2√

A

(sin2 θ0

2− sin2 θ

2

)1/2=

∫ t

t0

dt

t− t0 = − 1

2√

A

∫ θ

θ0

dθ

sin θ0

2

(1− sin2 θ

2

sin2 θ02

)1/2

Facciamo un’ulteriore sostituzione:

sinξ =sin2 θ

2

sin2 θ0

2

Gli estremi dell’integrazione diventano:

θ = 0 → sinξ = 0 → ξ = 0

θ = θ0 → sinξ = 1 → ξ = π/2

E inoltre:

cosξ dξ =12cos θ

2

sin θ0

2

dθ

dθ =2sin θ0

2cosξ

cos θ2

dξ

Da cui si ottiene:

t−t0 = − 1

2√

A

∫ ξ

π/2

2sin θ0

2cosξ

sin θ0

2cos θ

2

√1− sin2ξ

dξ = − 1√A

∫ ξ

π/2

dξ√1− sin2 θ0

2sin2ξ

5

A questo punto facciamo un’ulteriore sostituzione e poniamo:

sinθ0

2= k

t−t0 =1√A

∫ π/2

ξ

dξ√1− k2sin2ξ

=1√A

[∫ π/2

0

dξ√1− k2sin2ξ

−∫ ξ

0

dξ√1− k2sin2ξ

]

Poiche e il periodo del pendolo quello che stiamo cercando, possiamo concen-trarci solo sul primo dei due integrali, cioe quello da 0 → π/2 che corrispondea 0 → θ0, e moltiplicare il risultato per 4. L’integrale in questione non e disemplice soluzione analitica, si tratta di un integrale ellittico. E necessarial’applicazione della seguente trasformazione in serie binomiale:

(1− x)−1/2 = 1 +1

2x +

3

8x2 + ...

Quindi, se chiamiamo x = k2sin2ξ abbiamo:

1√1− k2sin2ξ

= 1 +1

2(k2sin2ξ) +

3

8(k2sin2ξ)2 + ...

E il periodo del pendolo diventa:

T =4√A

∫ π/2

0

dξ√1− k2sin2ξ

=4√A

[∫ π/2

0

dξ+

∫ π/2

0

1

2k2sin2ξdξ+

∫ π/2

0

3

8k4sin4ξdξ+...

]

Il primo integrale vale π/2, mentre per il secondo dobbiamo risolvere l’espressione:

∫ pi/2

0

sin2xdx

Per farlo, usiamo ancora le formule di bisezione:

sin2x =1− cos2x

2

da cui si ottiene:

∫ π/2

0

(1− cos2x

2

)dx =

1

2

∫ π/2

0

dx−1

4

∫ π/2

0

cos2xd(2x) =π

4−1

4[sin2x]

π/20 =

π

4

E quindi possiamo esprimere il periodo del pendolo nel modo seguente:

6

T =4√A

π

2

[1 +

(1

2

)2

k2 +

(3

8

)2

k4 + ...

]

Ossia:

T =2π√A

[1 +

∞∑n=1

(1 · 3 · . . . · (2n− 1)

2 · 4 · . . . · 2n)2

k2n

]

e infine:

T = 2π

√Is

mg as

F (k2)

Mettiamoci ora nella condizione di piccole oscillazioni. Sia cioe:

sinθ0

2∼ θ0

2sin

θ

2∼ θ

2

t− t0 = − 1

2√

A

∫ θ

θ0

dθ

θ0

2

(1− θ2/4

θ20/4

)1/2

t− t0 = − 1√A

∫ θ/θ0

1

d(θ/θ0)√1−

(θ/θ0

)2

t− t0 =1√A

[arc cos

(θ

θ0

)]θ/θ0

1

=1√A

arc cos

(θ

θ0

)

Da cui si ricava che:

θ

θ0

= cos[√

A(t− t0)] = cos(√

At−√

At0)

Posto√

A = ω e −√At0 = φ si ha:

θ

θ0

= cos(ωt + φ)

che e l’espressione per l’onda di periodo:

7

T ′ =2π

ω=

2π√A

e quindi in definitiva:

T = T ′F (k2)

Studiamo il comportamento della serie F (k2).

• Sia |k| < 1.

La serie F (k2) converge in quanto minorante della serie geometrica diragione k2:

F (k2) <

∞∑n=0

k2n

1 +

(1

2

)2

k2 +

(3

8

)2

k4 + · · · < 1 + k2 + k4 + . . .

Moltiplicando e dividendo il secondo membro della disuguaglianza per(1− k2) si ha:

∞∑n=0

k2n 1− k2

1− k2=

1 + k2 + k4 + . . . − k2 − k4 − . . .

1− k2=

1

1− k2

• Sia |k| = 1.

La serie F (k2) diverge in quanto maggiorante della serie armonica,moltiplicata per 1/4:

F (k2) >1

4

∞∑n=1

1

n

In effetti,

k = 1 ⇒ sinθ0

2= 1 ⇒ θ0

2=

π

2⇒ θ0 = π

che corrisponde a una posizione di equilibrio instabile.

8

• Il resto n−esimo della serie geometrica di ragione k2 vale:

ε =k2n

1− k2

Il limite superiore all’ampiezza massima θ0 in corrispondenza alla qualesi commette un errore non maggiore di ε trascurando il resto n−esimonello sviluppo in serie di F (k2), vale:

rn <k2n

1− k2= ε

k2n = ε(−k2) ⇒ k2 =ε

ε + k2n−2

Per n = 1 (piccole oscillazioni) si ha:

k2 =ε

ε + 1⇒ θ0 = 2arc sin

√ε

ε + 1

Per n = 2 si ha:

k4 + εk2 − ε = 0 ⇒ θ0 = 2arc sin

[√ε2 + 4ε− ε

2

]1/2

Da cui si ricava la seguente tabella:

ε θ0 (rad) θ0 (rad) tgθ0 tgθ0

n = 1 n = 2 n = 1 n = 210−2 0.20 0.63 0.20 0.7210−3 0.06 0.35 0.06 0.3710−4 0.02 0.20 0.02 0.20

Vediamo adesso due tipi di pendolo, il pendolo semplice e il pendolo com-posto.

9

• Pendolo semplice

Un massa m di forma sferica e raggio r e appesa ad un punto di sospen-sione S con un filo inestensibile di lunghezza l e di massa trascurabile.Sia G il baricentro del sistema che in questo caso coincidera con ilbaricentro della massa e sia as = l + r.

Per il teorema di Steiner:

Is = IG + ma2s IG =

2

5mr2

Il periodo del pendolo vale:

Ts =2π√A

F (k2)

Quindi,

Ts

2πF (k2)=

√Is

mg as

=

√ma2

s + 25mr2

mg as

=

√(l + r)2 + 2

5r2

g (l + r)

Ts

2πF (k2)=

√l

g

√(1 +

r

l

)+

25( r

l)2

1 + rl

10

Ts = 2π

√l

gF (k2)

√(1 +

r

l

)+

25( r

l)2

1 + rl

Il secondo termine sotto radice quadrata e un termine correttivo chediventa pari a 1 quando r ¿ l, per cui il periodo del pendolo ritornaquello del caso ideale.

• Pendolo composto

Consideriamo un corpo di massa m oscillante attorno a un punto disospensione S. Il baricentro del sistema si chiami G e sia collocato adistanza as dal punto di sospensione.

Per il teorema di Steiner:

Is = IG + ma2s

e il periodo del pendolo vale:

Ts

2πF (k2)=

√ma2

s + ma2G

mgas

=

√a2

s + a2G

gas

dove aG e il raggio giratore : relativamente ad un sistema rigidorotante intorno ad un asse fissato, e la distanza dal baricentro dovetutta la massa dovrebbe concentrarsi per ruotare intorno al baricentrocon un momento di inerzia pari a quello del sistema

Consideriamo adesso un secondo punto di sospensione S ′, avremo che:

11

a2G =

T 2s gas

[2πF (k2)]2− a2

s =T 2

s′gas′

[2πF (k2)]2− a2

s′

Da questa uguaglianza si ricava un’espressione per g:

g = [2πF (k2)]2a2

s − a2s′

T 2s as − T 2

s′as′

Supponiamo ora che S ′ sia tale da rendere uguali i periodi Ts e Ts′ . Ingenerale questo non implica l’uguaglianza delle distanze del baricentroda S e S ′, cioe as 6= as′ .

g =

[2πF (k2)

Ts

]2

(as + as′)

dove as + as′ viene chiamata lunghezza ridotta.

Da Ts = Ts′ si ottiene anche:

√a2

s + a2G

gas

=

√a2

s′ + a2G

gas′

a2sas′ + a2

Gas′ = a2s′as + a2

Gas

(as − as′)(asas′ − a2G) = 0

che ha come soluzioni:

1) as = as′ , cioe punti di sospensione simmetrici attorno al baricentro;

2) as′ =a2

G

as

Usando questa seconda soluzione, il periodo del pendolo composto di-venta:

Ts = 2πF (k2)

√a2

s + asas′

gas

= 2π

√as + as′

gF (k2)

che e praticamente il periodo del pendolo semplice assumendo comelunghezza la lunghezza ridotta del pendolo composto.

12

PENDOLO REVERSIBILE DI KATER

Il principio del pendolo reversibile di Kater consiste nel lasciare inalterati idue assi di sospensione e variare il momento di inerzia del sistema finche iperiodi relativi ai due assi, nei limiti di errore, coincidono.

Sia m la massa totale, mF la massa della parte fissa, mV la massa della partemobile, aw la coordinata del baricentro del sistema, awF la coordinata delbaricentro di mF , awV la coordinata del baricentro di mV , Iw il momento diinerzia di m, IwF il momento di inerzia di mF , IwV il momento di inerzia dimV e infine d la distanza fra i punti di sospensione S e S ′.Per la proprieta del baricentro:

(mF + mV )aw = mF awF + mV awV

e per il teorema di Steiner:

Iw = IwF + IwV = (mF a2wF + mF a2

GF ) + (mV a2wV + mV a2

GV )

13

dove aGF e aGV sono il raggio giratore relativo ad un asse parallelo all’asse disospensione e passante per il baricentro della parte fissa e della parte mobile,rispettivamente.Il periodo del pendolo reversibile sara :

Tw

2πF (k2)=

√Iw

mgaw

=

(mF a2

wF + mF a2GF + mV a2

GV + mV a2wV

g(mF + mV )mF awF +mV awV

mF +mV

)

Dopo aver semplificato la quantita mF +mV , conviene dividere e moltiplicareil numeratore per d2 e il denominatore per d, ed esprimere il periodo in fun-zione della distanza del baricentro della parte mobile dall’asse di sospensione:

Tw = 2πF (k2)

√d

g

√√√√ a2wV

d2 + kw1

awV

d+ kw2

dove:

kw1 =mF

mV

a2wF + a2

GF

d2+

a2GV

d2kw2 =

mF

mV

awF

d

sono termini costanti.

Chiamiamo x = awV

d. E chiaro che 0 < x < 1. Il periodo del pendolo diventa:

Tw = T ∗w

√x2 + kw1

x + kw2

Tw = T ∗w ⇒

x2 + kw1

x + kw2

= 1 ⇒ x =1

2

[1±

√1 + 4(kw2 − kw1)

]

Vi sono quindi 3 possibilita:

• se 1 + 4(kw2− kw1) > 0 , si hanno due coppie distinte di configurazionereciproche;

• se 1+4(kw2−kw1) = 0 , si hanno due coppie coincidenti di configurazionereciproche;

• se 1 + 4(kw2 − kw1) < 0 , non si ha alcuna coppia di configurazionereciproche

14

Studiamo la funzione fw(x) =√

x2+kw1

x+kw2. Essa e definita per x + kw2 > 0.

x + kw2 =awV

d+

mF

mV

awF

d=

(mF + mV )

mV daw

• se x + kw2 > 0 ⇒ aw > 0, e quindi si ha moto oscillatorio

• se x + kw2 = 0 ⇒ aw = 0, e quindi si ha moto rotatorio uniforme

• se x + kw2 < 0 ⇒ aw < 0, e quindi si ha moto rotatorio non uniforme

La funzione per x → +∞ tende a un arco di parabola con vertice nell’originee fuoco sull’asse delle ascisse.

limx→+∞

fw(x) = limx→+∞

√x = +∞

limx→−kw2

fw(x) = +∞

fw(x = 0) =

√kw1

kw2

Calcoliamo l’intersezione fra la funzione e la parabola:

√x2 + kw1

x + kw2

=√

x ⇒ x2 + kw1 = x2 + xkw2 ⇒ x =kw1

kw2

L’ordinata corrispondente vale√

kw1

kw2.

Calcoliamo i punti estremali:

f ′w(x) =1

2

(x2 + kw1

x + kw2

)−1/2[1− k2

w2 + kw1

(x + kw2)2

]= 0

La derivata si annulla per

x = −kw2 ±√

k2w2 + kw1

Delle due soluzioni possibili consideriamo solo

15

x∗ = −kw2 +√

k2w2 + kw1

perche l’altra e fuori dal dominio di esistenza della funzione.

Il valore della funzione in x∗ e:

fw(x∗) =

(x∗2 + kw1

x∗ + kw2

)1/2

=√

2x∗

cioe il punto estremale si trova sempre al di sopra della parabola.

A questo punto consideriamo due configurazioni coniugate a parita di ampiezzainiziale dell’oscillazione: xs e xs′ , con xs + xs′ = d.Avremo che le espressioni per i periodi saranno:

Ts = T ∗s

√x2

s + ks1

xs + ks2

Ts′ = T ∗s′

√x2

s′ + ks′1

xs′ + ks′2

Come si vede le due curve hanno 3 punti di intersezione: uno di essi cor-risponde alla configurazione dove il baricentro del sistema e equidistante daidue assi di sospensione, mentre le altre due corrispondono alla configurazionireciproche tali per cui si ha:

Ts = Ts′

16

OPERAZIONI DI MISURA

Assicurarsi di essere nelle condizioni in cui vale l’approssimazione di piccoleoscillazioni, per rendere trascurabile la dipendenza del periodo dall’ampiezzadi oscillazione.

h indica la distanza tra il punto di sospensione e il banco preso come rifer-imento e b lo spostamento del pendolo dall’asse verticale sempre rispettoal banco. Si sceglie un riferimento sul banco e si individuano i due valorib e h a cui corrisponde un angolo iniziale θ0 in modo che l’errore mas-simo nell’approssimazione delle piccole oscillazioni sia dell’ordine di 10−2

(θ0 < 0.20rad).

17

Prima serie di misure:

• Si pone la massa mobile sui 10 cm della scala graduata e si determinail tempo di 10 oscillazioni

• Per minimizzare l’incertezza sull’intervallo di tempo che intercorre tra ilpunto massimo dell’oscillazione e l’avvio del cronometro si cronometraa partire dalla seconda oscillazione

• Si inverte l’asse di sospensione e si ripete la misura del tempo di 10oscillazioni

• Si ripetono le misure precedenti per un’altra posizione della massa mo-bile di 10 cm in 10 cm fino a 90 cm che e a fondo scala

Esistono coppie di configurazioni coniugate corrispondenti a coppie di confi-gurazioni reciproche? I periodi corrispondenti coincidono nei limiti di er-rore?

Seconda serie di misure:

• Le intersezioni tra le due curve del grafico precedente permettono dideterminare graficamente le configurazioni reciproche. Si consideral’intersezione piu nitida, che in questo caso si ha attorno a x0 ≈ 21cm.

18

• Si eseguono altre 6 determinazioni di tempi di oscillazione nell’intornodi questa posizione della massa mobile, in modo tale che 3 cadano asinistra e 3 a destra dell’intersezione delle due curve. In questo caso, x= 18,19,20,22,23,24 cm

• Si ripetono le misure del tempo di oscillazione (in questo caso per 50oscillazioni) per la configurazione dritta e rovescia. In questo modo sidetermina con maggiore precisione la configurazione reciproca.

Dal grafico risulta che l’intersezione tra le due curve e localizzata per x ≈20.51 cm ossia 20.51 ± 0.05 cm. Considerando il quadrilatero d’errore deipunti piu vicini all’intersezione con i loro errori si individuano le rette dimassima e minima pendenza e proiettando sull’asse delle ordinate il minimoe il massimo valore dei tempi (nel caso in cui con le rette di massima eminima pendenza non si riuscisse a risolvere lintersezione si utilizzano lerette parallele).Noto il periodo del pendolo possiamo calcolare l’accelerazione di gravita.Dalla relazione che lega il periodo T alla lunghezza ridotta del pendolo siricava:

g = 4π2 d

T 2F 2(k2)

l’errore di g e dovuto all’errore di T , a quello della misura di d distanza trai due assi di sospensione e a quello di F (k2):

∆g =

∣∣∣∣∂g

∂d∆d

∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∂g

∂T∆T

∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∂g

∂F∆F

∣∣∣∣

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Nell’ipotesi di piccole oscillazioni si consideri F (k2) arrestata a n = 1 :

F (k2) = 1 +1

4sin2 θ0

2= 1 +

1

4

1− cosθ0

2= 1 +

1

8

(1− h

b2 + h2

)

Quindi l’errore di F (k2) va valutato considerando gli errori massimi su h e b.Verifichiamo, infine, la dipendenza del periodo dall’ampiezza dell’oscillazione.

• Si posiziona la massa mobile nella posizione individuata dall inter-sezione delle due curve

• Si determina il tempo necessario per compiere 50 oscillazioni per ampiezzedi oscillazione che soddisfano l’approssimazione di piccole. Si consideraun intervallo di ampiezze (ad esempio tra b = 3 cm a b = 15 cm) incui compiere le misure

• Si calcola il periodo per ogni ampiezza in rapporto al periodo determi-nato precedentemente:

T ′ = TF (k2) ⇒ T ′

T= F (k2)

e si calcola l’errore di ∆(T ′/T ) propagando l’errore associato a F (k2).

Come al solito, si crea un grafico mettendo in ascissa F (k2) e in ordinataT ′/T , si riportano i punti con i rettangoli di errore e si determinano il

20

coefficiente angolare della generica retta che passa per tutti i rettan-goli d’errore e la relativa incertezza. Verificare nei limiti di errore ladipendenza lineare di T ′/T da F (k2).

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