Eterogeneità ovvero misurare la variabilità di un carattere qualitativo (indici di mutabilità)

• È possibile misurare la variabilità dei caratteri quantitativi, in tal caso si parla di mutabilità. Essa è riferita alla differente numerosità osservata particolarmente quando un carattere qualitativo è politomico ossia si manifesta con diverse modalità.

• Se ciascuna modalità si manifesta con la medesima frequenza parleremo di «omogeneità», diversamente di «eterogeneità».

• È possibile costruire delle misure sintetiche, assolute e relative:

Data una variabile qualitativa X che presenta k modalità, sia la sua distribuzione di frequenze f1, f2, f3,.. fk l’indice di Omogeneità assoluta sarà:

Oass= ∑!"#$ 𝑓!%

Tale misura aumenta quanto più le frequenze sono concentrate su poche modalità e quanto minore è il numero delle modalità, il suo

massimo è 1 quando tutte le frequenze si concentrano su una modalità mentre il suo valore minimo è #$, quando tutte le frequenze sono uguali fra di loro; risente però dal numero k delle modalità per questo si propone un secondo indice di Omogeneità relativa:

Orel = $$&#

∑!"#$ 𝑓!%

Tale indice assume valore 1 quando tutte le osservazioni sono concentrate in un’unica modalità oppure quando tutte le modalità hanno uguale frequenza.

• Tutte le misure che abbiamo presentato possono essere ricalcolate come complementi (1 – O) e interpretate come misure di eterogeneità

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Indice di Eterogeneità di Gini

• In particolare tra gli indici di eterogeneità, viene menzionato quello proposto da Gini:

EG= 1- ∑!"#$ 𝑓!%

Esso è pari a 0 nel caso di perfetta omogeneità e cresce all’aumentare della eterogeneità tra le modalità. Il suo valore massimo è pari a 1- #

#&$ossia $

#&$.

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La misura di Entropia

• Una misura di omogeneità interessante, molto utilizzata in ambito economico e sociale, è quella di Entropia. La parola «entropia» (dal greco «rivolgimento») fu introdotta in fisica da Clausius: in accordo con il secondo principio della termodinamica l’entropia di un sistema isolato non diminuisce mai e aumenta nelle trasformazioni irreversibili, per esempio nei processi spontanei in cui il sistema raggiunge uno stato di equilibrio. È una misura del «dis-ordine».

• Nella teoria dell’informazione Claude Shannon ha proposto l’entropia come misura del cambiamento di stato in relazione al contenuto dell’informazione: l’entropia si riduce (ossia l’ordine aumenta) se il contenuto dell’informazione aumenta.

• In statistica l’entropia misura l’eterogeneità di un sistema (io suo dis-ordine). Essa ha tre diverse formulazioni:

E1 = ∑!"#$ 𝑓! ln(fj )

E2=-∑!"#$ 𝑓! ln(fj )

E3= $$%#

E2

• La formulazione maggiormente utilizzata è la seconda (E2) che ha un campo di variazione tra 0 e ln(k)

• Quando fj (=nj/N) =0, tale misura può essere calcolata grazie al calcolo asintotico poiché lim&!→(

&!)𝑙𝑛 &!

)= 0 44

Statistica per l’economia

(9 CFU)

Lezione 31 marzo e 1 aprile 2020

«Confronto tra grandezze: Rapporti statistici, Numeri Indice, variazioni e serie storiche »

Giuseppe Notarstefano

Confrontare i dati: leggere le informazioni in modo «relativo»

• Estrarre informazione dai dati spesso significa saperli mettere in relazione: ad esempio costruendo degli indici sintetici o rapporti oppure calcolando le variazioni per misurare il cambiamento rispetto al tempo o allo spazio.

• Confrontare i dati vuol dire ottenere delle misure sintetiche frutto di una relazione:• Tra intensità differenti di uno stesso carattere/variabile• Tra intensità di due caratteri/variabili osservate simultaneamente

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Le serie storiche

• La serie storica è una variabile osservata rispetto al tempo: studiare una serie storica equivale ad individuare la «traiettoria» che una variabile assume.

• Il tempo è considerato come una variabile quantitativa discreta.

• La rappresentazione grafica della serie storica è essenziale per valutare l’esistenza di una «legge temporale» che potrebbe spiegare l’andamento della serie. Tale legge può essere utilizzata per prevedere i valori futuri della serie.

• La tendenza (o trend)indica l’andamento in media della serie storica e corrisponde ad una approssimazione lineare che può essere ottenuta a livello globale o locale.

• L’approssimazione globale può essere fatta attraverso il metodo dei minimi quadrati (regressione) che vedremo in seguito. L’approssimazione locale della tendenza viene fatta attraverso le «medie mobili»

• La media mobile (MM) è un operatore lineare (filtro) che trasforma la serie in maniera tale da approssimare localmente il trend: i termini della MM definiscono l’ordine della serie e determinano anche la perdita di informazione che è connessa a tale trasformazione.

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Variazioni e Incrementi

• Le variazioni possono essere calcolate in termini assoluti o relativi (percentuali):

Data una variabile quantitativa Xt, la sua variazione assoluta Va è calcolata come differenza tra la variabile al tempo t e al tempo t-1, mentre la variazione relativa Vr viene calcolata come rapporto

Va = Xt – Xt-1

Vr = (" &("#$("#$

oppure in termini percentuali = (" &("#$("#$

x 100

I = ("("#$

oppure in termini percentuali ("("#$

x 100

• È possibile sintetizzare la variazioni (o incrementi) calcolando la variazione media totale e la variazione media annua: la prima è una semplice media aritmetica tra il primo e l’ultimo termine della serie, mentre la seconda è una media (del tipo) geometrica . Data una serie storica Xt = X1, X2, … Xn sarà:

Vmedia =("%&("$("$

che può anche essere espressa in termini percentuali &"#'&"$&"$

x 100

V media annua = "#$ ("("#$

x100-100 che è la media geometrica dei t-1 Incrementi

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Dimostrazione della variazione media annua con il metodo analitico di Chisini

• Abbiamo detto che il Tasso medio annuo è pensato come una media (che indicheremo con !𝑋). La quantità invariante deve essere la variazione o meglio l’incremento totale Xn/X1.

• Tale quantità può essere espressa come funzione dei dati f(X1, X2, …, Xn) e in particolare:#*#+

= #*#*,+

× #*,+#*,-

×⋯× #.#-× #-#+

(1) che possiamo scrivere anche come ∏$%&' #/

#/,+

• Poiché !𝑋 = #*#+

x 100-100, secondo l’invariante di Chisini potremo porre l’eguaglianza:

&$%&

'

!𝑋 =&$%&

'𝑋$𝑋$()

×100 − 100 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑖 !𝑋 =*,+

&$%&

'𝑋$𝑋$()

×100 − 100

Poiché dunque vale la (1) allora possiamo riscrivere che: !𝑋 = *,+ #*#+×100 − 100

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I Numeri indici semplici

• Un numero indice è il rapporto tra due intensità dello stesso fenomeno misurate di due occasioni temporali che vogliamo confrontare (o analogamente in due domini spaziali-territoriali).

• Se confrontiamo intensità di un unico fenomeno/carattere parleremo di numeri indici semplici, altrimenti parleremo di numeri indici complessi.

• I Numeri indici possono essere classificati a seconda del tipo di denominatore utilizzato detto «base»: avremo così Numeri Indici a base fissa (il denominatore non cambia mai all’interno della nostra analisi) oppure a base mobile (il denominatore cambia in genere progressivamente per occasioni contigue – a livello temporale periodi o lag).

• In genere i Numeri indici vengono espressi in termini percentuali.

• I Numeri indici ci offrono una misura relativa del fenomeno di cui sarà possibile osservare l’evoluzione nella misura della variazione calcolata sull’indice.

• Gli Incrementi sono Numeri Indice a base mobile!50

Proprietà teoriche dei Numeri Indici

• Proprietà di Identità: se si confrontano due intensità uguali il N.I. è sempre pari a 1 (100).

• Proprietà di reversibilità delle basi: Il numero Indice Is/t è l’inverso del numero indice It/s.

• Proprietà circolare: date tra intensità diverse t, s e k sarà sempre che It/s x Is/k x Ik/t . Tale proprietà consente di applicare il cambiamento della base

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Cambiamento della Base

• Per passare da una base ad un’altra, sarà sufficiente dividere il NI con la vecchia base con il NI delle nuova base e moltiplicare per 100.

• Per passare da una base fissa ad una mobile basterà dividere il NI con il precedente e moltiplicare per 100.

• Per passare da una base mobile ad una fissa, utilizzando la proprietà della reversibilità delle basi, si potrà derivare il la serie a base fissa utilizzando un semplice algoritmo di calcolo:• Viene fissata la nuova base e posta uguale a 100• Per i valori successivi basterà moltiplicare per il successivo a base mobile e dividere per

100• Per i valori precedenti basterà dividere per il corrispettivo a base mobile e moltiplicare

per 10052

I Numeri indici complessi

• I Numeri indici complessi sono l’estensione nel caso multivariato dei Numeri Indici. Molto utilizzati nell’ambio della teoria dei prezzi.• In questo caso le fasi di costruzione di un Numero Indice complesso

sono le seguenti:• Scelta degli indicatori elementari da sintetizzare• Scelta della base• Scelta di un eventuale criterio di ponderazione• Scelta del criteri di sintesi (somma o media)

• In genere i numeri indici dei prezzi vengono ponderati con le quantità consumate.

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I Rapporti statistici

• Un rapporto statistico è una relazione tra grandezze, possiamo classificarli come segue:• Rapporti di Composizione: ottenuti dividendo l’intensità(frequenza) di una parte del fenomeno

con l’intensità(frequenza) globale. Sono detti «di una parte al tutto» come ad esempio il Tasso di Occupazione (Rapporto tra occupati e forze di lavoro ossia popolazione in età lavorativa da 15 a 65 anni);

• Rapporti di Coesistenza: sono rapporti i cui termini non sono legati da un rapporto di causa effetto. Ci sono molti esempi in campo demografico come l’indice di vecchiaia (pop >65 anni / pop < 14 anni)o il tasso di mascolinità (# maschi su # femmine);

• Rapporti di Derivazione: sono relazioni tra grandezze di cui una è il presupposto dell’altro, dove c’è un legame causa-effetto in qualche modo. Ci sono tanti esempi in campo demografico ed economico come ad esempi le misure di mortalità o natalità delle imprese costruite sui dati camerali (# iscrizioni/imprese attive o #cancellazioni /imprese attive);

• Altri rapporti come i rapporti medi o i Rapporti di durata;• I Numeri Indici – semplici e complessi – sono rapporti statistici. Possono essere anche di natura

territoriale come quelli utilizzati per la valutazione delle PPA (Parità di Potere di Acquisto)54

Postilla su Indici e Indicatori

• Abbiamo presentato Indici e Rapporti come misure relative che adoperano dei confronti tra grandezze facilitandone la comparazione.

• Un Indicatore è una misura indiretta di un fenomeno, laddove questa non sia possibile da effettuare direttamente attraverso un carattere statistico.

• Un indice o un rapporto può diventare un Indicatore, ma non viceversa.

• Ci sono indicatori semplici e indicatori compositi. I Numeri Indice complessi sono un esempio di Indicatori compositi.

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