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Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

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Euclide e Diofanto Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Clessidre e Noci di Cocco Cocco
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Page 1: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

Euclide e DiofantoEuclide e Diofanto

Clessidre e Noci di Clessidre e Noci di CoccoCocco

Page 2: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

5 MARINAI e 1 5 MARINAI e 1 SCIMMIASCIMMIA

Page 3: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

da da ‘‘The Saturday Evening Post’The Saturday Evening Post’ del 6 ottobre 1926 del 6 ottobre 1926

Quesito posto ai lettori da Ben Ames WilliamsQuesito posto ai lettori da Ben Ames Williams

Cinque marinai naufragarono su un'isola. Passarono tutto il Cinque marinai naufragarono su un'isola. Passarono tutto il giorno a raccogliere noci di cocco, e andarono a dormire. giorno a raccogliere noci di cocco, e andarono a dormire.

Nella notte uno di loro si alzò e, non fidandosi troppo degli Nella notte uno di loro si alzò e, non fidandosi troppo degli altri, pensò di prendere subito quanto gli spettava. Una altri, pensò di prendere subito quanto gli spettava. Una scimma curiosa si era avvicinata, e il marinaio le gettò una scimma curiosa si era avvicinata, e il marinaio le gettò una noce. Le noci rimaste vennero divise in cinque mucchi uguali, noce. Le noci rimaste vennero divise in cinque mucchi uguali, senza che avanzasse nulla. Il marinaio prese la sua parte, un senza che avanzasse nulla. Il marinaio prese la sua parte, un quinto giusto, rifece un gran mucchio e tornò a dormire. quinto giusto, rifece un gran mucchio e tornò a dormire.

Gli altri quattro marinai fecero esattamente la stessa cosa, Gli altri quattro marinai fecero esattamente la stessa cosa, uno dopo l'altro, senza accorgersi di nulla. E ogni volta arrivò uno dopo l'altro, senza accorgersi di nulla. E ogni volta arrivò la scimmia, cui venne data una noce, proprio come nel primo la scimmia, cui venne data una noce, proprio come nel primo caso. caso. Arrivato il mattino i cinque si alzarono e, con incredibile Arrivato il mattino i cinque si alzarono e, con incredibile faccia tosta, divisero il mucchio rimasto in cinque parti faccia tosta, divisero il mucchio rimasto in cinque parti uguali, ovviamente dopo avere lanciato una noce uguali, ovviamente dopo avere lanciato una noce all'immancabile scimmia. all'immancabile scimmia.

Domanda:Domanda: quante erano le noci di cocco?quante erano le noci di cocco?

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N : numero delle noci. N : numero delle noci. A: numero di noci prese dal primo marinaio di notteA: numero di noci prese dal primo marinaio di notteB: numero di noci prese dal secondo marinaio di notte B: numero di noci prese dal secondo marinaio di notte C: numero di noci prese dal terzo marinaio di notte C: numero di noci prese dal terzo marinaio di notte D: numero di noci prese dal quarto marinaio di notte D: numero di noci prese dal quarto marinaio di notte E: numero di noci prese dal quinto marinaio di notte E: numero di noci prese dal quinto marinaio di notte F: numero di noci prese da ciascun marinaio al mattinoF: numero di noci prese da ciascun marinaio al mattino

N = 5A + 1N = 5A + 1 4A = 5B + 1 4A = 5B + 1 4B = 5C + 1 4B = 5C + 1 4C = 5D + 1 4C = 5D + 1 4D = 5E + 1 4D = 5E + 1 4E = 5F + 1 4E = 5F + 1

Sostituendo dal basso verso l'alto si ottiene l’Sostituendo dal basso verso l'alto si ottiene l’ equazione equazione diofantinadiofantina

(ENC)(ENC) 1024 N – 15625 F = 11529 1024 N – 15625 F = 11529Equazione delle Noci di CoccoEquazione delle Noci di Cocco

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EQUAZIONE DIOFANTINAEQUAZIONE DIOFANTINA di primo grado in due incognite di primo grado in due incognite

ax+by=cax+by=c• a,b,c interi a,b,c interi

• Si cercano soluzioni x,y intereSi cercano soluzioni x,y intere

Equazione diofantina: qualunque equazione polinomiale di qualunque grado,

in un numero qualsiasi di incognite a coefficienti interi (razionali) di cui

si cercano soluzioni intere.

La più studiata nei secoli

xxnn+y+ynn=z=znn

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Grande (ultimo) Teorema di Grande (ultimo) Teorema di FermatFermat

xxnn+y+ynn=z=znn

• Congettura di Fermat (1637): se n>2, non ha soluzioni

Lo provò per n=4 (metodo della discesa infinita) Per gli altri n : ’cujus rei demonstrationem mirabilem

sane detexi: hanc marginis exiguitas non caperet’ • Eulero (1722): se n=3, non ha soluzioni • Legendre (1784): se n=5, non ha soluzioni • Sophie Germain (1808): se n=2p+1, con n e p

primi (primi di Sophie Germain) , non ha soluzioni • Andrew Wiles (1993-1995): non ci sono

soluzioni (premio Paul Wolfskehl)

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Diofanto di Alessandria 200 - 284Diofanto di Alessandria 200 - 284 • DiofantoDiofanto fu un grande e prolifico matematico fu un grande e prolifico matematico

dell'antichità. E’ rimasto nella storia soprattutto per i suoi dell'antichità. E’ rimasto nella storia soprattutto per i suoi 13 libri dell'13 libri dell'Arithmetica Arithmetica (divulgati da (divulgati da HypatiaHypatia) e per ) e per l’indovinello matematico inciso sulla sua lapide tombale:l’indovinello matematico inciso sulla sua lapide tombale: ..

• Hunc Diophantus habet tumulum qui tempora vitae illius, mira Hunc Diophantus habet tumulum qui tempora vitae illius, mira denotat arte tibi. Egit sex tantem juvenie; lanugine malas denotat arte tibi. Egit sex tantem juvenie; lanugine malas vestire hinc coepit parte duodecima. Septante uxori post haec vestire hinc coepit parte duodecima. Septante uxori post haec sociatur, et anno formosus quinto nascitur inde puer. sociatur, et anno formosus quinto nascitur inde puer. Semissem aetatis postquam attigit ille paternae, infelix subita Semissem aetatis postquam attigit ille paternae, infelix subita morte peremptus obit. Quator aestater genitor lugere morte peremptus obit. Quator aestater genitor lugere superstes cogitur, hinc annos illius assequeresuperstes cogitur, hinc annos illius assequere. .

• HypatiaHypatia insegnò matematica, filosofia, astronomia e meccanica e la sua casa

diventò un centro intellettuale. Nessuno dei suoi scritti (nati come testi per gli studenti) si è conservato; alcuni dei suoi Commentarii all’Aritmetica di Diofanto pare siano inseriti nelle opere del padre Teone, , famoso matematico e astronomo. Pagana, seguace di un neoplatonismo più tollerante su base matematica, fu considerata eretica dai cristiani. Nel 412 ad Alessandria (con il patriarca Cirillo) iniziò una persecuzione contro i neoplatonici e gli ebrei; Hypatia si rifiutò di convertirsi e di abbandonare le sue idee, e, nel 415, fu assassinata in modo brutale.

Hypatia di Alessandria 370 - 415Hypatia di Alessandria 370 - 415

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• Traduzione:Traduzione:

Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia! dice Questa tomba rinchiude Diofanto e, meraviglia! dice matematicamente quanto ha vissuto. Un sesto della sua matematicamente quanto ha vissuto. Un sesto della sua vita fu l’infanzia, aggiunse un dodicesimo perché le sue vita fu l’infanzia, aggiunse un dodicesimo perché le sue guance si coprissero della peluria dell’adolescenza. Dopo guance si coprissero della peluria dell’adolescenza. Dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo un altro settimo della sua vita prese moglie, e dopo cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. L’infelice morì cinque anni di matrimonio ebbe un figlio. L’infelice morì improvvisamente quando raggiunse la metà dell’età improvvisamente quando raggiunse la metà dell’età paterna. Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro paterna. Il genitore sopravvissuto fu in lutto per quattro anni e raggiunse infine il termine della propria vitaanni e raggiunse infine il termine della propria vita..

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EuclideEuclide

Raffaello SanzioRaffaello Sanzio Scuola di AteneScuola di Atene ( (15091509))

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Euclide di AlessandriaEuclide di Alessandria (325 a.C. - 265 a.C. ) (325 a.C. - 265 a.C. ) στοιξειωτης στοιξειωτης (compositore degli Elementi), compose i 13 libri degli (compositore degli Elementi), compose i 13 libri degli ElementiElementi..

1 - 4: 1 - 4: planimetriaplanimetria elementare elementare5 – 6: segmenti, poligoni,5 – 6: segmenti, poligoni, proporzioniproporzioni 7 – 10: 7 – 10: aritmeticaaritmetica, , numeri razionalinumeri razionali ed ed irrazionaliirrazionali 11 – 13: 11 – 13: geometria solidageometria solida..

• Ogni libro inizia con un gruppo di proposizioni che possono Ogni libro inizia con un gruppo di proposizioni che possono essere considerate come definizioni per chiarire i concetti essere considerate come definizioni per chiarire i concetti successivi; esse sono seguite da altre proposizioni, problemi o successivi; esse sono seguite da altre proposizioni, problemi o teoremi: questi si differenziano per il modo con cui vengono teoremi: questi si differenziano per il modo con cui vengono enunciati e per la frase rituale con cui si chiudono: "come enunciati e per la frase rituale con cui si chiudono: "come dovevasi fare" per i problemi, "come dovevasi dimostrare" per i dovevasi fare" per i problemi, "come dovevasi dimostrare" per i teoremi.teoremi.

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Algoritmo di EuclideAlgoritmo di Euclide Calcola il Massimo Comun Divisore di una coppia di interi Calcola il Massimo Comun Divisore di una coppia di interi

Si parte dalSi parte dal

TeoremaTeorema ( (Algoritmo di Divisione in Algoritmo di Divisione in Z Z ))

a a ZZ bbZZ \{0} \{0} !q !q ZZ ! r! rN : 00r<|b| a=bq+rr<|b| a=bq+r

Siano a > b > 0.Siano a > b > 0.- L’Algoritmo parte dall’osservazione che l'insieme dei divisori comuni di- L’Algoritmo parte dall’osservazione che l'insieme dei divisori comuni di{a, b} è identico all'insieme dei divisori comuni di {b, a - kb}, per ogni{a, b} è identico all'insieme dei divisori comuni di {b, a - kb}, per ogniintero k, dunqueintero k, dunque

    MCD(a, b) = MCD(b, a - kb)MCD(a, b) = MCD(b, a - kb) - Esegue divisioni successive, prima di a per b, poi di b per r, etc…- Esegue divisioni successive, prima di a per b, poi di b per r, etc…

- Inizializza- Inizializza la successione dei resti con: rr-1-1 = a r = a r00 = b = b

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Passo 0:Passo 0: (a=bq+r) r (a=bq+r) r-1-1=q=q0 0 rr00+r+r11 con 0 con 0 r r11 < r < r00 se r se r11=0 (a,b)=b=0 (a,b)=b se r se r11>0 (a,b)=(b,a-q>0 (a,b)=(b,a-q00rr00)=(b,r)=(b,r11))

Passo 2:Passo 2: r r11=q=q22rr22+r+r33 con 0 con 0 r r3 3 < r< r22< r< r11 < b < b se r se r33=0 (a,b)=(b,r=0 (a,b)=(b,r11)=(r)=(r11,r,r22)=r)=r22

se r se r33>0 (a,b)=(b,r>0 (a,b)=(b,r11)=(r)=(r11,r,r22)=(r)=(r22,r,r11-q-q22rr22)=(r)=(r22,r,r33))

…..

Passo n-1:Passo n-1: rn-2n-2=q=qn-1n-1rrn-1n-1+r+rnn con 0 con 0 r rnn< r< rn-1n-1<…< r<…< r11< b< b rrnn>0>0

Passo n:Passo n: r rn-1n-1=r=rnnqqnn+0 : +0 : rrn+1n+1=0=0

(a,b)=(b,r(a,b)=(b,r11)= (r)= (r00,r,r11)=(r)=(r11,r,r22) =…=(r) =…=(rk-1k-1,r,rkk)=…=(r)=…=(rn-1n-1,r,rnn)=r)=rnn

(a,b)=rn : l’ultimo resto non nullo

Passo 1:Passo 1: (b=) r (b=) r00=q=q11rr11+r+r22 con 0 con 0 r r22< r< r11 < b < b se r se r22=0 (a,b)=(b,r=0 (a,b)=(b,r11)=r)=r11

se rse r22>0 (a,b)=(b,r>0 (a,b)=(b,r11)=(r)=(r11,b-q,b-q11rr11)=(r)=(r11,r,r22))

Page 13: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

ESEMPIO di AE: ESEMPIO di AE: MCD(90,17)MCD(90,17)

(90,17)=1(90,17)=1

PASSO k RESTO rk QUOZIENTE qk

-1 90 ***

0 17 5

1 5 3

2 2 2

3 1 2

4 0 ***

Page 14: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

Algoritmo di Euclide EstesoAlgoritmo di Euclide EstesoCalcola MCD(a,b) e lo esprime come combinazione lineare di a e bCalcola MCD(a,b) e lo esprime come combinazione lineare di a e b

Dal passo k-1 ricaviamo:Dal passo k-1 ricaviamo:

(^) (^) rrkk   =   r   =   rk-2k-2 - q - qk-1k-1rrk-1k-1 Ogni resto è c.l. dei due resti precedentiOgni resto è c.l. dei due resti precedenti

All'indietro, a partire da d=(a,b) = rAll'indietro, a partire da d=(a,b) = rn n = r= rn-2n-2 - q - qn-1n-1rrn-1n-1 si si ottiene d come combinazione lineare, con coefficienti ottiene d come combinazione lineare, con coefficienti interi, di a e b.interi, di a e b.

Cioè, vale la Cioè, vale la

Identità di BézoutIdentità di Bézout Esistono due interi u, v tali cheEsistono due interi u, v tali che

d = (a,b)  =  au + bvd = (a,b)  =  au + bv

Page 15: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

Idea per trovare u e vIdea per trovare u e v: aggiungere due colonne alla Tavola, inserire u: aggiungere due colonne alla Tavola, inserire uk k

e ve vkk ad ogni passo k, mantenendo sempre vera la condizione ad ogni passo k, mantenendo sempre vera la condizione rk = a uk+ b vk

Si parte dalle: Si parte dalle: rrkk = r = rk-2k-2 - q - qk-1k-1rrk-1k-1

rk = a uk+ b vk

Si sostituiscono le relazioniSi sostituiscono le relazioni rk-2 = auk-2 +bvk-2

rk-1 = auk-1 +bvk-1

Si ricavano:Si ricavano:

uk =  uk-2  -  qk-1uk-1

vk  =  vk-2 -  qk-1vk-1

PoichéPoiché

a = r-1 = a1+b0 =a u-1 + b v-1

b = r0 = a0+b1= a u0 +b v0

si inizializza con:si inizializza con: u-1 = 1,   v-1 = 0 u0 = 0,   v0 = 1

  

Page 16: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

PASSO k RESTO rk QUOZIENTE qk uk vk

-1 9090 *** 1 0

0 17 17 5 0 1

1 5 3 1 -5

2 2 2 -3 16

3 11 2 7 7 -37 -37

4 0 *** -17 90

1 = (90, 17)1 = 90 × 7 +17 × (-37)

ESEMPIO di AEE: (90,17)=90u+17v

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Soluzione dell’equazione Soluzione dell’equazione diofantinadiofantina

(*)(*) ax + by = cax + by = c

• d=(a,b)=au+bv• d divide qualunque c.l. di a e bd divide qualunque c.l. di a e b• La La (*)(*) ha soluzioni intere se e solo se d divide c ha soluzioni intere se e solo se d divide c• Se c=hdSe c=hd a(hu)+b(hv)=hd=ca(hu)+b(hv)=hd=c

• La coppia (xLa coppia (x00 ,y ,y00)=(hu,hv) è una soluzione di )=(hu,hv) è una soluzione di (*)(*)

• Se ha soluzioni, la Se ha soluzioni, la (*) (*) ha ha infiniteinfinite soluzioni: soluzioni: x = xx = x00 + t b/d    + t b/d   

y = yy = y00 - t a/d - t a/d dove t è un intero qualsiasi. dove t è un intero qualsiasi.

Page 18: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

EsempiEsempi• 10625x + 39457y = 44 10625x + 39457y = 44 Con AE:Con AE: (10625, 39457) = 17(10625, 39457) = 17

17 non divide 44: l'equazione non ha soluzioni17 non divide 44: l'equazione non ha soluzioni

• 10625x + 39457y = 34 10625x + 39457y = 34 Con AEE:Con AEE: (10625, 39457) = 17(10625, 39457) = 17

34= 2 × 17: l’equazione ha soluzioni34= 2 × 17: l’equazione ha soluzioni

17=10625 × (-765) + 39457×20617=10625 × (-765) + 39457×206Una soluzione è la coppiaUna soluzione è la coppia

(x(x00 , y , y00)=)= (2 × (-765), 2 × 206)= (2 × (-765), 2 × 206)= (-1530,412)(-1530,412)

Le soluzioni sono tutte e sole le coppieLe soluzioni sono tutte e sole le coppie

(x, y) = (-1530 + 2321t, 412 – 625t)(x, y) = (-1530 + 2321t, 412 – 625t)

Page 19: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

(°)(°) 1024x - 15625y = 115291024x - 15625y = 11529Risolviamo finalmente l’equazione delle noci di coccoRisolviamo finalmente l’equazione delle noci di cocco

(ENC)(ENC) 1024 N – 15625 F = 115291024 N – 15625 F = 11529

• Risolviamo prima la (#)    1024x + 15625y = 11529.Risolviamo prima la (#)    1024x + 15625y = 11529. (x, y) è una soluzione della (°) se e solo se (x, -y) è una soluzione(x, y) è una soluzione della (°) se e solo se (x, -y) è una soluzione della (#). della (#). • Con AEE:   (1024, 15625) = 1 = 1024 × (-4776) + 15625 × 313Con AEE:   (1024, 15625) = 1 = 1024 × (-4776) + 15625 × 313

d = 1 divide 11529: (#) ha infinite soluzioni. d = 1 divide 11529: (#) ha infinite soluzioni.

Una soluzione è la coppiaUna soluzione è la coppia • (x(x 0 0, y, y00 )=(11529 × (-4776), 11529 × 313)= (-55062504, )=(11529 × (-4776), 11529 × 313)= (-55062504,

3608577) 3608577) Tutte le soluzioni della (#) sono le coppieTutte le soluzioni della (#) sono le coppie• (x, y)= (-55062504 + 15625 t, 3608577 – 1024 t) (x, y)= (-55062504 + 15625 t, 3608577 – 1024 t)

Tutte le soluzioni della (°) sono le coppie Tutte le soluzioni della (°) sono le coppie • (X, Y)= (-55062504 + 15625 t , -3608577 + 1024 t) (X, Y)= (-55062504 + 15625 t , -3608577 + 1024 t)

Page 20: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

Vogliamo i minimi valori positivi per cui (X, Y) Vogliamo i minimi valori positivi per cui (X, Y) è una soluzione della (°). è una soluzione della (°).

• X= -55062504 + 15625 t X= -55062504 + 15625 t 0 0 • Y=-3608577 + 1024 t Y=-3608577 + 1024 t 0 0

• [55062504/15625]=[3608577/1024] = 3524[55062504/15625]=[3608577/1024] = 3524Dunque il minimo t per avere X e Y positivi è 3525Dunque il minimo t per avere X e Y positivi è 3525

(N,F) = (15621, 1023)(N,F) = (15621, 1023) RispostaRisposta: All’inizio c’erano 15621 noci; al mattino i marinai: All’inizio c’erano 15621 noci; al mattino i marinai prendono ciascuno 1023 noci (oltre a quelle che già prendono ciascuno 1023 noci (oltre a quelle che già

avevano avevano preso di notte…)preso di notte…)

Page 21: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

ClessidreClessidreHo due clessidre CHo due clessidre C11, C, C22 : C : C11 misura 6 minuti e C misura 6 minuti e C2 2 misura 11 minuti. misura 11 minuti. Posso misurare un tempo di 163 minuti?Posso misurare un tempo di 163 minuti?

6x+11y=1636x+11y=163(6,11)=1, 1 divide 163: ci sono infinite soluzioni(6,11)=1, 1 divide 163: ci sono infinite soluzioni 1 =1 = 6 × 2 + 11 × (-1)6 × 2 + 11 × (-1) 163 = 6 × 326 + 11 × (-163)163 = 6 × 326 + 11 × (-163)

La soluzione La soluzione (x(x 0 0, y, y00 )=(326,-163) )=(326,-163) non funziona: non posso girare le clessidre non funziona: non posso girare le clessidre un numero negativo di volte!un numero negativo di volte!

Cerco la soluzione con i minimi valori positivi tra le soluzioniCerco la soluzione con i minimi valori positivi tra le soluzioni

(x, y)= (326 + 11 t , - 163 – 6 t)(x, y)= (326 + 11 t , - 163 – 6 t)

t=-28 con soluzione (18,5) , oppure t=-29 con soluzione (7,11)t=-28 con soluzione (18,5) , oppure t=-29 con soluzione (7,11) Posso girare 18 volte CPosso girare 18 volte C1 1 e 5 volte Ce 5 volte C2 2 , oppure 7 volte C, oppure 7 volte C1 1 e 11 volte Ce 11 volte C22

Page 22: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

Problemi propostiProblemi proposti

Scout, gatti e scatolette Scout, gatti e scatolette • Un gruppo di 21 scout porta 6 zaini Un gruppo di 21 scout porta 6 zaini

uguali colmi di scatolette di tonno. uguali colmi di scatolette di tonno. Quante scatolette deve contenere Quante scatolette deve contenere ciascuno zaino affinché, dopo averle ciascuno zaino affinché, dopo averle ripartite in parti uguali, avanzino 15 ripartite in parti uguali, avanzino 15 scatolette per i gatti?scatolette per i gatti?

Page 23: Euclide e Diofanto Clessidre e Noci di Cocco. 5 MARINAI e 1 SCIMMIA.

Le giaccheLe giacche

• Faccio compravendita di giacche .Faccio compravendita di giacche . Acquisto una giacca a 27 euro e la rivendo Acquisto una giacca a 27 euro e la rivendo

a 40 euro. a 40 euro. All'inizio della giornata ho in cassa 30 All'inizio della giornata ho in cassa 30

euro. Alla fine ne ho 130.euro. Alla fine ne ho 130. Qual è il minimo numero di giacche che ho Qual è il minimo numero di giacche che ho

venduto? venduto?

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Tre amici a pescaTre amici a pesca

• Tre amici vanno a pesca e riescono a catturare un buon numero di pesci. Data l’ora tarda, decidono di non tornare Tre amici vanno a pesca e riescono a catturare un buon numero di pesci. Data l’ora tarda, decidono di non tornare direttamente a casa, ma di riposare in un albergo. direttamente a casa, ma di riposare in un albergo.

Il mattino seguente, il primo dei tre amici si sveglia, divide i pesci in tre parti uguali, ne avanza uno e lo butta. Prende Il mattino seguente, il primo dei tre amici si sveglia, divide i pesci in tre parti uguali, ne avanza uno e lo butta. Prende la sua parte e se ne va.la sua parte e se ne va.

Poco più tardi, il secondo amico si sveglia e, pensando di essere il primo, divide i pesci rimanenti in tre parti uguali, ne Poco più tardi, il secondo amico si sveglia e, pensando di essere il primo, divide i pesci rimanenti in tre parti uguali, ne avanza uno e lo butta. Prende la sua parte e se ne va.avanza uno e lo butta. Prende la sua parte e se ne va.

Di lì a poco, il terzo amico si sveglia e pensando di essere il primo, divide i pesci rimanenti in tre parti uguali, ne Di lì a poco, il terzo amico si sveglia e pensando di essere il primo, divide i pesci rimanenti in tre parti uguali, ne avanza uno e lo butta. Prende la sua parte e se ne va.avanza uno e lo butta. Prende la sua parte e se ne va.

Quanti pesci avevano preso i tre amici?Quanti pesci avevano preso i tre amici?

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Secchi d’acquaSecchi d’acqua

• Andate al fiume con un recipiente da Andate al fiume con un recipiente da 12 litri e uno da 17 litri, e volete 12 litri e uno da 17 litri, e volete riportare 8 litri d’acqua. Come fate?riportare 8 litri d’acqua. Come fate?

• Andate al fiume con un recipiente da n Andate al fiume con un recipiente da n litri e uno da m litri (n, m interi con n litri e uno da m litri (n, m interi con n m>0), e volete riportare z litri d’acqua m>0), e volete riportare z litri d’acqua (0<z<n+m). Per quali z potete farlo, e (0<z<n+m). Per quali z potete farlo, e come fate?come fate?

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Marinai e Noci di cocco: generalizzazione

•Ci sono 5 marinai che raccolgono N noci, si comportano come i 5 amici del primo racconto, ma sono più generosi e ogni volta danno alla scimmia k>1 noci di cocco. Determinare un N e un k per cui al loro risveglio al mattino i marinai non trovano nessuna noce.

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Noci negative?Noci negative?

• Ci sono 5 marinai che raccolgono N noci, si comportano come i 5 amici del primo racconto, e ogni volta danno alla scimmia k noci di cocco, con k numero intero negativo.

• Che cosa significa?• Porre k = -1 (ogni volta arriva la scimmia e … 1 noce al

marinaio). Trovare in questo caso il minimo N.

• Si dice che il grande fisico Dirac risolse il problema dei marinai pensando ad un numero di noci N negativo.

• Trovare la minima soluzione N negativa del problema originario


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