exac02_esercizicircuitiac1_v1

7/25/2019 exac02_esercizicircuitiac1_v1

1/15

Vincenzo Tucci Esercizi di Elettrotecnica

Circuiti in regime sinusoidale 1

CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE

ESERCIZIO N.1Per il circuito in figura, con kcostante reale, si determini:

a) il valore di kper cui l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti puramente resistiva ed il valore

da essa assunto;

b) il valore di kper cui l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti pari a 500-j500 ;

c) il valore di kper cui l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti ohmico- induttiva.

SOLUZIONE

Applicando la L.K.T. all'unica maglia del circuito, con i riferimenti di figura 1, si ha:

jXVIVIjXV 1C1C1

=

)k1(k

figura 1

Applicando poi la L.K.C. al nodo 1 si ha:

jX

I

V

jX

V

R

VI+I=I 111CR

=

)k1(

R

1

1Z

)k1(eq

&

quesito a)La parte immaginaria di tale impedenza nulla, e quindi l'impedenza equivalente risulta puramente

resistiva, quando k=1; in tal caso l'impedenza misurata ai morsetti vale proprio R.

X=1000 ;

R=1000


2/15



quesito b)

Affinch l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti pari a 500-j500deve valere:

0k)k1(1

1000

)k1(

R

1

1500500Zeq =

=

j

jX

j&

quesito c)Affinch l'impedenza equivalente ai morsetti 1,1' risulti reattiva induttiva deve valere la seguente

disuguaglianza:

[ ]

[ ][ ]

1k0)k1(0)k1(1)k1(1

)k1(11000)ZIm( eq >

=

jj

j&

ESERCIZIO N.2

Per il circuito in figura, in condizioni di regime sinusoidale permanente, si determini:

a) il sistema delle correnti con il metodo delle correnti di maglia;

b) il sistema delle correnti con il metodo dei potenziali nodali;

c) il generatore equivalente di Thvenin ai capi della resistenza R.

SOLUZIONE

a) Metodo delle correnti di magliaA causa della presenza di un generatore di corrente (pilotato) che chiude un anello possibile

considerare due sole correnti di anello incognite. Per la corrente erogata dal generatore pilotato di

corrente, infatti, si pu scegliere arbitrariamente il percorso dal nodo B al nodo C attraverso il ramo di

impedenza R2+jX2 (figura 2).

Adottando per le correnti di maglia J1 e J2 i riferimenti indicati in figura 2.1, possibile scrivere il

seguente sistema di due equazioni in due incognite:

E1=100ej0V

R1=10 R2=20

R=25

X1=5 X2=10;

k=5 h=2


3/15



1222221222

12211121111

JjXRJjXRRJJjXV

JJjXJjXRVJjXRE

h)()()h(kk

)h(k)(k)(

figura 2.1

=

=

0)5(2)5(

5)10(

22221222

1221211

JjXjXRRJjXjXR

EJjXJjXjXR (1)

La cui soluzione :

A65.29.3

A64.278.1

jJ

jJ

2

1

Le correnti di lato risultano pertanto:

A66.2j9.3

Ah

A64.278.1

=

=

24

213

122

11

JI

j5.3A-5.7-JJI

j2.62-0.34IJI

jJI

b) Metodo dei potenziali di nodoScegliendo come nodo di riferimento il nodo C ed osservando che il potenziale del nodo A fissato dal

generatore pilotato di tensione, si ottiene il seguente sistema in cui la seconda equazione ottenuta

applicando la LKC al nodo B.

=

=

11

A11

22

BA

22

B22A

jX-R

V-EI

jX+RRV

RV

jX+R

VjXVV

22111

55

=

=

11

1

22

B

11

A

B

22

2A

jX-R

E

jX+RRV

jX-RRV

VjX+R

jXV

21121

05

(2)


4/15



Risolvendo tale sistema si ottiene:

=

V4933

V5.17131

V0

jV

jV

V

B

A

C

da cui:

A66.2j9.3VV

AV

A64.278.1V

BA

B

A

=

=

=

=

RI

j5.3A-5.7-III

j2.62-0.34jXR

I

jjX-R

EI

4

413

222

11

11

c) Generatore equivalente alla ThveninPer determinare la tensione a vuoto ai morsetti A-B si pu far riferimento al sistema di equazioni (2) in

cui si faccia tendere R ad infinito. Il sistema (2) diventa quindi:

=

=

11

1

22

B

11

A

B

22

2A

jX-R

E

jX+RVjX-RV

VjX+R

jXV

212

05

V5.3925

V11104

jV

jV

B

A

La tensione a vuoto VAB0pu dunque essere valutata come:

V5.50j79BAAB0 VVV

Limpedenza equivalente Zeqdella rete passivizzata, vista dai morsetti A-B pu essere valutata comerapporto tra la tensione a vuoto e la corrente di corto circuito I CCAB. Tale corrente pu essere calcolata

rapidamente utilizzando il sistema di equazioni (1), in cui si sostituisca ad R il valore 0 (si sostituisce

ad R un corto circuito). Essa coincide proprio con la corrente di maglia J2 del sistema (3) di seguito

riportato:

=

=

0)5(2)5(

5)10(

22221222

1221211

JjXjXRJjXjXR

EJjXJjXjXR (3)

la cui soluzione risulta:


5/15



A816

A48

jJ

jJ

2

1

E' ora possibile valutare l'impedenza del generatore equivalente di Thvenin:

Zeq = = V

IjAB0

CCAB

5 2 0 55. . ;

ESERCIZIO N.3Per il circuito in figura in cui V3=(40+j30)V si determini il valore di Z.

SOLUZIONE

La soluzione pu essere ottenuta attraverso utilizzando in modo opportuno il metodo dei potenziali

nodali. Infatti, indicati con A, B, C e D i quattro nodi del circuito (figura 3.1) e scelto D come nodo diriferimento, si osserva che risulta incognito il potenziale del solo nodo B. E possibile pertanto scrivere

la LKC a tale nodo:

figura 3.1

011111

=

22

C

2211

B

1

AjXR

VjXRjXR

VR

V

dove:

50100 jEVA e 3040 jVV 3C .

E=(100-j50)V

J=(30+j20)AR1=20

R2=12

X2=16

X3=10

X4=5


6/15



Si ottiene quindi che:

j2.04)V+(1.46VB=

da cui si ricava la corrente I2:

AI j4.7)+(-5.3jXR

V-V

22

CB2

Osservando che sul condensatore stata fatta la convenzione del generatore, si ottiene:

A14j3I

=

3

C3

jX

V

La corrente I nella impedenza Zrisulta pertanto:

A)( j10.7+27.7JIII 32

L'impedenza Z pu quindi essere valutata come:

)( j2.0+2.2I

VVZ AC =&

ESERCIZIO N. 4Per il circuito in figura, in condizioni di regime permanente, si determini il valore massimo

dellenergia immagazzinata in un periodo corrispondente alla pulsazione , rispettivamente nel

condensatore C e nellinduttore L.

SOLUZIONE

Per determinare la tensione vC(t) ai capi del condensatore e la corrente nell'induttore iL(t) a regime si

pu applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Si indicano rispettivamente con I e V i

contributi forniti, a regime, dal generatore di tensione stazionario E ad iL(t) e vC(t). Facendo riferimento

al circuito di figura 4.1, ottenuta spegnendo il generatore di tensione sinusoidale e sostituendo

all'induttore un bipolo corto circuito ed un bipolo circuito aperto al condensatore, si ha:

e(t)= 10sint V

=1000 rad/s

E=40V

R1=40

R2=10

C=40FL=0.25mH


7/15



figura 4.1

A

R+R

RR

EI

21

21

5 VEV 40

Per determinare i contributi a regime forniti dal generatore di tensione sinusoidale e(t) si applichi il

metodo fasoriale al circuito di figura 4.2 in cui il generatore stazionario costante risulta spento.

figura 4.2

Indicando con 210=E il fasore rappresentativo di e(t) e con

C1

C1C

jXR

jXRZ

=

)(& ,

L2

L2L

jX+R

(jXRZ

)=

&

ed applicando le formule del partitore di tensione e del partitore di corrente, si ha rispettivamente:

Ve3.23

rad3.1j=

LC

C

C ZZ

Z

EV &&

&

Ae06.9ZZ

06.0j

LC

=

L2

2L

jX+R

REI

&&

Antitrasformando tali espressioni si ottengono i contributi del generatore sinusoidale a iL(t) e vC(t).

Sommando per ciascuna variabile i due contributi determinati precedentemente, si ha:

V][vC )3.1t10000sin(3.23240)t(


8/15



A][iL )06.0t10000sin(06.925)t(

In definitiva, le energie massime WLmax (immagazzinata nell'induttore) e WCmax (immagazzinata nel

condensatore) valgono rispettivamente:

J9.06]2-[-5iW 22LmaxLmax 04.01025.02

1L

2

1 3

J.3]22-[-40vW 22CmaxCmax 1.0310402

1C

2

1 6

ESERCIZIO N.5

Per il circuito in figura si determini:

a)

il generatore equivalente di Thvenin ai morsetti A-B;b) il generatore equivalente di Norton ai morsetti C-D;

SOLUZIONE

a) generatore equivalente di Thvenin ai morsetti A-BPer il calcolo della tensione a vuoto VAB0si pu applicare la sovrapposizione degli effetti.

JEAB0 AB0AB0

VVV

Consideriamo dapprima il contributo dovuto al generatore di tensione.Indicando con Zs1la impedenza della serie tra R2e XL e con Zp1il parallelo tra Zs1e XC, si ha:

Vj3.98-6.74jXR

R

ZR

ZEV

L2

2

p11

p1E

AB0

&

&

Per calcolare il contributo dovuto al generatore di corrente, indichiamo con Zp2 limpedenza del

parallelo tra R1e XC:

VJ j12.33+13.17-jXZR

jXRV

Lp22

L2

J

AB0

&

La tensione totale risulta pertanto:

E=(10+j0)VJ=(1+j2)A

R1=5

R2=25

XC=20

XL=10


9/15



V10.54ej8.35+6.43-VVV -j0.91JEAB0 AB0AB0

Con le notazioni prima introdotte limpedenza equivalente data da:

j5.74+5.66jXZR

jXZ(RZ

Lp22

Lp22ABeq

=

&

&&

)

b) generatore equivalente di Norton ai morsetti C-DPer il calcolo della corrente di corto circuito ICCsi pu applicare la sovrapposizione degli effetti.

JECC CCCC

III

Osservando che la reattanza XL corto circuitata ed indicando con Zp3limpedenza del parallelo tra R2

e XCsi ha:

Aj2.69+1.59jXR

jX-

ZR

EI

C2

C

p31

E

CC

&

Per calcolare il contributo dovuto al generatore di corrente, indichiamo con Zp2 limpedenza del

parallelo tra R1e XC:

AJ j2+1IJCC

La tensione totale risulta pertanto:

V22.46ej17.96+13.48-VVV -j0.93JEAB0 AB0AB0

Limpedenza equivalente data da:

j9.08+3.09jXZR

RZ(jXZ

Lp22

2p2LCDeq

=

&

&&

)


10/15



ESERCIZIO N.6Per il doppio bipolo in figura, si determini:

a) la matrice delle impedenze del doppio bipolo visto ai morsetti 1-1, 2-2;

b)

il generatore equivalente di corrente ai morsetti 2-2 quando ai morsetti 1-1 collegato ilgeneratore di tensione;

c) la potenza complessa assorbita dal doppio bipolo quando alle due porte sono collegati il

generatore di corrente e tensione.

SOLUZIONE

Quesito a)Per la determinazione dei parametri Z si effettua la caratterizzazione in corrente. Per semplicit di

notazione indichiamo con

22

222

11

111

jXR

RjXZ;

jXR

RjXZ

=

&&

In particolare, alimentando dalla porta primaria, come mostrato in figura 6.1 si ottiene:

figura 6.1

Si osservi che la corrente che interessa il parallelo R2X2 proprio la corrente totale I1e che:

2

21bR

ZII

&

=

Si ha quindi:

j48

=

12

10I1

111 IZ

I

1

I

VZ

2

&&

R1=5 R2=10

X1=25 X2=20

k=0.5 r=5

Io=0+j5A Eo=100+j0V


11/15



j3.42+5.88

=

2

21111b1

10I1

221

R

ZZkZZIkV

I

1

I

VZ

2

&&&&&

Alimentando dalla porta secondaria, come mostrato in figura 6.2, si osserva che la corrente nel ramo

costituito dal parallelo R2X2 proprio la corrente totale I2. Pertanto, si ottiene:

figura 6.2

[ ] j2.46+0.69-

=

2

2121b2122

20I2

222

R

ZZkZZ)IkI(ZIZ

I

1

I

VZ

1

&&&&&&&

[ ] 4j3rZIZIrI

1

I

VZ 2222

20I2

112

1

=

&&&

Quesito b)Per determinare il generatore alla Norton quando ai morsetti 1-1 collegato il generatore di tensione

valutiamo la tensione a vuoto e la corrente di corto circuito alla porta secondaria. A tale scopo si

possono utilizzare i risultati conseguiti al punto a). Infatti, con riferimento alla figura 6.3, per valutare

la tensione a vuoto V0si pu porre:

12102

11101

IZVV

IZEV

&

&

=

=

figura 6.3

Ricavando I1dalla prima equazione e sostituendo nella seconda si ottiene:

4.81Vj+75.9611

2100Z

ZEV

&

&

Per valutare la corrente di corto circuito ICC, con riferimento alla figura 6.4 si pu porre:


12/15



2221212

21211101

IZIZ0V

IZIZEV

&&

&&

figura 6.4

Ricavando I1dalla seconda equazione e sostituendo nella prima si ottiene:

j1.29A8.72

22112112

2102cc

ZZZZZEII

&&&&

&

Limpedenza equivalente risulta pertanto:

j1.66-11.22j1.298.72

81.4j96.75

I

EZ

cc

0eq

&

Quesito c)Per determinare la potenza complessa assorbita utilizziamo ancora i parametri del doppio bipolo

valutati al punto a). Si osservi infatti che nella espressione della potenza complessa assorbita dal

doppio bipolo:

2211 I

VI

VS &

risultano incognite la corrente I1e la tensione V2. Esse possono essere ricavate dalla caratteristica del

doppio bipolo:

o221212

o1211101

IZIZV

IZIZEV

&&

&&

Dalla prima equazione si ottiene:

j7.5A-11.25=

11

o1201

ZIZEI

&

&

sostituendo nella seconda si ricava

j47.85V+79.572V

Pertanto la potenza complessa assorbita risulta:

VAj352+1.3642211 IVIVS&


13/15



ESERCIZIO N.7

Per il doppio bipolo in figura si determini la matrice delle ammettenze.

SOLUZIONE

Per la determinazione di y11 e y21 bisogna far riferimento al circuito in figura 7.1 in cui la porta

secondaria in cortocircuito e il generatore controllato di tensione risulta spento.

figura 7.1

Per definizione si ha:

S1.0R

1

R

V

V

1

V

Iy

11

1

10V1

111

2

=

=

&

S1R

Vh

V

1

V

Ih

V

Iy

1

1

11

1

0V1

221

2

==

=

&

Per determinare y12ed y22bisogna invece far riferimento alla rete di figura 7.2 in cui la porta 1 stata

chiusa in cortocircuito e tenuto conto che:

1

21

R

VkI

=

C

221

L

22

jX

VVkIh

jX

VI

figura 7.2

XL=10 XC=5R1=10

k=0.5 h=10


14/15



Applicando le definizioni si ha:

S05.0R

k

R

Vk

V

1

V

Iy

11

2

20V2

112

1

==

=

&

S5.0jX

k1

R

hk

jX

1

jX

VVk)

R

Vk(h

jX

V

V

1

V

Iy

C1LC

22

1

2

L

2

20V2

222

1

=

=

&

In definitiva si ha:

[ ]

S0.51-

0.05-0.1

=Y

ESERCIZIO N.8

Per il circuito in figura si determini la matrice delle ammettenze doppio bipolo complessivo.

SOLUZIONE

Con riferimento alla figura 8.1 possibile definire i seguenti vettori:

[ ]

=

2

1

I

II [ ]

=

'I

'I'I

2

1 [ ]

=

''I

''I''I

2

1 [ ]

=

2

1

V

VV

figura 8.1

Si ottiene:

R=10 XC=10

[ ]

105.0j

= j0.3j0.2

j0.2Ya


15/15



I ' Y Va= ;

[ ] [ ]

[ ]

[ ];VYV

j10-10

1

j10-10

1

j10-10

1

j10-10

1

''I b

=

Da cui si ricava che

[ ] [ ] [ ]

105.0

= j0.35+0.05j0.15+0.05-

j0.15+0.05-jYYY ba

Date post:	13-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	francesco
View:	216 times
Download:	0 times

exac02_esercizicircuitiac1_v1

Documents