Extensividad de la información mutua en teorías...

TESIS DE LA CARRERA DE

MAESTRÍA EN CIENCIAS FÍSICAS

Extensividad de la Información Mutua enTeorías Relativistas

Lic. David D. Blanco

Autor

Dr. Horacio CasiniDirector

Diciembre de 2010

Instituto BalseiroUniversidad Nacional de Cuyo

Comisión Nacional de Energía Atómica

San Carlos de BarilocheArgentina

A mi mamá Noemí.

Contenidos

Contenidos 1

Resumen 5

Abstract 7

1. Introducción 9

2. Generalidades sobre la entropía en teorías cuánticas 13

2.1. Entropía en mecánica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1. Operador densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.1.1. Estados puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1.2. Operador densidad reducido . . . . . . . . . . 16

2.1.2. Entropía de von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Entrelazamiento cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. La Paradoja EPR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2.2. Medidas de entrelazamiento . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3. Entropía de entrelazamiento . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3.1. Cálculo de entropía de entrelazamiento . . . 22

2.3. Entropía en teorías relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.1. Problemas de la entropía en teorías de campos . . . . . 27

2.3.2. Ambigüedades de la entropía en la radiación de Haw-king . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3.3. Medidas de información en teorías de campos. Infor-mación mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3.3.1. Propiedades de la información mutua . . . . 31

3. Agujeros negros y radiación de Hawking 33

3.1. Métrica de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1. Coordenadas de Regge-Wheeler . . . . . . . . . . . . . 37

CONTENIDOS

3.1.2. Espacio de Rindler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.3. Coordenadas de Eddington-Finkelstein . . . . . . . . . 40

3.1.4. Coordenadas de Kruskal-Szekeres . . . . . . . . . . . . 42

3.2. Radiación de Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1. Cuantización del campo escalar real en espacio curvo . 43

3.2.2. Ecuación de ondas para un campo escalar no masivoen un fondo gravitatorio de Schwarzschild . . . . . . . 46

3.2.3. Creación de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Correladores en espacio curvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1. Cálculo del correlador INT-OUT . . . . . . . . . . . . . 52

4. Cálculo de entropía geométrica en espacio plano 554.1. Campo de Dirac en 1+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1. Estructura del operador densidad . . . . . . . . . . . . 58

4.1.1.1. Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.1.2. Cálculo del correlador de dos puntos . . . . . . . . . . 61

4.1.3. Campo no masivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.1.3.1. Separación en quiralidades . . . . . . . . . . . 62

4.1.3.2. Autovectores y resolvente del núcleo D . . . . 64

4.1.3.3. Algunas relaciones útiles . . . . . . . . . . . . 66

4.2. Cálculo de entropía para el campo de Dirac . . . . . . . . . . . 68

4.2.1. Campo no masivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2.1.1. Entropía del campo no masivo . . . . . . . . . 68

4.2.1.2. Información mutua del campo no masivo . . 69

4.2.2. Campo masivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.2.1. Expansión perturbativa en la masa . . . . . . 71

4.2.2.2. Un teorema para la traza de productos deoperadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2.2.3. Cálculo de entropía para conjuntos alabeados 75

5. Extensividad de la información mutua 875.1. Estudio del apartamiento de la extensividad . . . . . . . . . . 87

5.1.1. Análisis de proximidad a líneas nulas . . . . . . . . . . 88

5.1.2. Cálculo de apartamiento de la extensividad . . . . . . . 89

5.1.2.1. Configuración (a) . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1.2.2. Configuración (b) . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6. Conclusiones y comentarios finales 99

CONTENIDOS

A. Apendice: Programa utilizado para el cálculo numérico del aparta-miento de la extensividad 103

Referencias 105

Agradecimientos 109

CONTENIDOS

Dave

Rectangle

Resumen

La localización de un estado en una región del espacio en teorías de camposrelativistas conlleva la creación de pares partícula-antipartícula. Estos, im-piden la definición de ciertas magnitudes para el sistema localizado, comola entropía, que resultan divergentes. Es posible sustraer las contribucionesdebidas a las fluctuaciones del vacío que causan estas divergencias conside-rando magnitudes relacionadas; un ejemplo es la información mutua entredos regiones.

En este trabajo se muestran los primeros cálculos de entropía para conjuntosalabeados en teorías relativistas; en concreto, se analiza la extensividad dela información mutua entre conjuntos no planares, para el estado de vacíode un campo de Dirac en 1+1 dimensiones. Se encuentra extensividad de lainformación mutua en un límite geométrico particular que es relevante parala evaporación de Hawking de agujeros negros.

Palabras clave: entropía geométrica, información mutua, agujeros negros,

radiación de Hawking, entrelazamiento cuántico.

Abstract

In quantum field theory, the process of trying to locate a system in a regionof space leads to the creation of particle-antiparticle pairs. As a consequence,some magnitudes are ambiguous. For example, the entropy is divergent dueto the infinite amount of entanglement present in the vacuum fluctuacionsaround the boundary of the system. Nevertheless, it is possible to considerrelated quantities, as the mutual information, in which these divergencesare subtracted.

The first calculations of the entropy for non-planar sets in relativistic theo-ries are shown in this work; in particular, the extensivity of the mutual in-formation between non-planar sets for the vacuum state of the Dirac field in1+1 dimensions is analyzed. Extensivity of the mutual information is foundin a particular geometric limit that is relevant for the study of the Hawkingevaporation of black holes.

Keywords: geometric entropy, mutual information, black holes, Hawking

radiation, quantum entanglement.

CAPÍTULO I

Introducción

”Facts which at first seem improbable will, even on scantexplanation, drop the cloak which has hidden them and stand

forth in naked and simple beauty.”Galileo Galilei

Cuando el estado global de un sistema cuántico que está compuesto pordos o más subsistemas no es una combinación de productos de estados pa-ra cada subsistema por separado, se dice que dicho estado presenta entre-lazamiento 1. Las correlaciones estadísticas entre dos sistemas entrelazadostienen características propias en el caso cuántico y aunque este fenómenose conoce desde las primeras décadas del pasado siglo, su relevancia teóri-ca y práctica está en pleno proceso de comprensión con el desarrollo de lacomputación cuántica y la teoría de la información cuántica [1, 2]. El entrela-zamiento permite que un sistema cuántico pueda ser utilizado para realizartareas que ningún sistema clásico puede realizar [3]. Ejemplos notorios eneste sentido son bien conocidos: teleportación de estados, la llamada codifi-cación densa de información en una señal, códigos de encriptado cuánticos,entre otros.

Para hacer cuantitativo el grado de entrelazamiento entre dos subsistemasse han propuesto varias medidas, entre las que tiene especial importancia lallamada entropía de entrelazamiento, correspondiente a la entropía de vonNeumann de la matriz densidad reducida del subsistema en consideración.En sistemas cuánticos extendidos, la entropía de entrelazamiento correspon-diente al estado reducido a una región del espacio suele denominarse entro-pía geométrica. Esta mide la información compartida por distintas regionesdebida a las fluctuaciones de vacío.

Recientemente, se ha entendido que gran variedad de fenómenos en teoría

1Proveniente del término en inglés entanglement.

1. Introducción

de campos y sistemas de espines cuánticos tienen su correlato en propie-dades del entrelazamiento de su estado fundamental, y en particular de laentropía geométrica. Esto incluye transiciones de fase cuánticas [4, 5], ordentopológico [6] y confinamiento [7]. La entropía geométrica es también unaherramienta muy útil en la investigación en teoría de campos [8, 9, 10].

Otra interesante aplicación de la entropía geométrica se da en desarrollosrecientes a la dualidad de Maldacena (AdS/CFT), que relaciona una teoríade gravedad cuántica en espacio anti de Sitter con una teoría de camposconforme en el borde asintótico. Existe un anzats debido a Ryu y Takaya-nagi basado en estas ideas holográficas sobre cómo es la función entropíageométrica en la teoría conforme [11]. El análisis directo de esta cantidad enla teoría de campos correspondiente permitiría verificar esta conjetura.

Por otro lado, en este último tiempo, la entropía geométrica se ha converti-do en una de las herramientas más interesantes que podría utilizarse paraentender el origen estadístico de la entropía termodinámica que presentanlos agujeros negros [12]. La entropía localizada es divergente en teoría decampos. Sin embargo, existen varias cantidades finitas que dependen de laentropía geométrica y son de gran interés en espacios con gravedad, ya quesería posible que alguna de estas otras medidas de información tome el rolde la entropía en la teoría semiclásica. Una de estas cantidades de interéses la información mutua. Como consecuencia de la propiedad de monoto-nicidad que tiene la información mutua, en la aproximación semiclásica lainformación del estado inical se pierde monótonamente durante la evapo-ración, y no es posible recobrarla para observadores externos, independien-temente de las interacciones presentes en la teoría [13].

De acuerdo con la intuición física de la radiación de Hawking como la emi-sión de un gas térmico incoherente por parte del agujero negro es de esperarque la información mutua entre el agujero negro y la región de radiación seaextensiva en esta última. Un resultado en este sentido es la extensividad dela información mutua en la aproximación bidimensional [13]. Sin embargohay que notar que no existen argumentos matemáticos generales conocidosque impliquen la extensividad. En este trabajo se apunta a avanzar en el es-tudio de este problema, más allá de la aproximación bidimensional.

Para agujeros negros muy masivos, la geometría en zonas cercanas al ho-rizonte de eventos es aproximadamente la de Minkowski, al igual que enla región de radiación (y estas dos regiones se encuentran separadas por unboost muy grande). Esto sugiere que la contribución más relevante a la entro-pía está asociada a cálculos entre conjuntos alabeados en espacio plano [14].Además, si el agujero negro tiene simetría esférica y es estático, el problemapuede reducirse cualitativamente a uno de dos dimensiones. Los efectos debackscattering que sufre una partícula al incidir sobre el horizonte del agu-jero negro podrían simularse si se utilizase un campo masivo (de modo quehaya un acoplamiento de quiralidades). Por lo tanto, el entendimiento de loque sucede con la información mutua en la geometría plana sería un primeracercamiento a la resolución del problema. Eventualmente, debería tratarseel problema más complejo en cuatro dimensiones; estudiar la estructura decorreladores entre la región cercana al horizonte y la región de radiación,para poder reconstruir los operadores densidad reducido y luego evaluar lainformación mutua.

En este trabajo se realizan los primeros cálculos de entropía para conjun-tos alabeados en teorías relativistas y se analiza la extensividad de la infor-mación mutua en ciertas configuraciones geométricas que podrían ser deinterés particular (por ejemplo, para estudiar la evaporación de Hawkingde agujeros negros). En el capítulo 2 se presenta una introducción sobre có-mo tratar la entropía en teorías cuánticas. También se comenta el fenómenode entrelazamiento y se da una descripción de los inconvenientes existen-tes en el intento por definir una entropía en teorías relativistas. Además,se realizan cálculos de entropía para sistemas discretos utilizando el forma-lismo de tiempo real, con vistas a extender estos resultados para despuéspoder tratar el caso continuo. En el capítulo 3 se intenta dar una descripcióncompleta de la métrica de Schwarzschild que describe agujeros negros es-féricamente simétricos y estáticos y, posteriormente, se introducen aspectosrelacionados con la evaporación de agujeros negros, para lo cual se nece-sita dar una descripción de teorías cuánticas de campos en espacio curvo.También se hallan los correladores que resultarían relevantes para el estu-dio de la información mutua entre la región de radiación y el agujero negro.El capítulo 4 es enteramente dedicado a obtener la entropía de un campo deDirac en 1+1 dimensiones en espacio plano. Para ello se realiza una expan-sión en la masa del campo y se pone especial énfasis en el cálculo de hasta la

1. Introducción

primer contribución a la entropía que da una información mutua no exten-siva. Por último, el capítulo 5, describe situaciones geométricas particularesen las cuales se utiliza la forma de la entropía hallada en el capítulo 4 pa-ra estudiar el apartamiento de la extensividad de la información mutua. Seencuentra una interesante relación entre la extensividad de la informaciónmutua y la estructura geométrica del espacio de Minkowski, que permiteinterpretar a la información mutua como una cantidad que mide correlacio-nes.

CAPÍTULO II

Generalidades sobre la entropía enteorías cuánticas

”If someone points out to you that your pet theory of the universe is indisagreement with Maxwell’s equations - then so much worse for Maxwell

equations. If it is found to be contradicted by observation - well theseexperimentalists do bungle things sometimes. But if your theory is foundto be against the second law of Thermodynamics, I can give you no hope;

there is nothing for it but to collapse in deepest humiliation.”Sir Arthur Stanley Eddington

The Nature of the Physical World (1928), 74.

El concepto de entropía fue introducido por R. Clausius en 1865 al estu-diar sistemas termodinámicos. Sin embargo, el entendimiento moderno dela entropía como la cantidad que conecta las interpretaciones microscópicay macroscópica de un sistema es debido principalmente a L. Boltzmann y J.Gibbs. La entropía estadística de un sistema termodinámico se define como

S = kB ln(Ω) , (2.1)

donde kB = 1,38066 × 10−23JK−1 es la constante de Boltzmann y Ω es elnúmero de microestados posibles para un dado macroestado. El número Ω

es interpretado como el ”grado de desorden” que hay en el sistema, ya queen general para un dado estado macroscópico el sistema podrá adoptar di-ferentes configuraciones microscópicas.

En mecánica estadística clásica, el número de microestados de un sistemaes infinito, dado que las variables que se utilizan para describir a los sis-temas clásicos son continuas. Para poder contar el número de microestadosen mecánica clásica, se suele realizar una discretización en el espacio de fases,definiendo una ”celda unidad” en forma arbitraria. El número de microes-tados se define entonces como el cociente entre el volumen accesible del

2. Generalidades sobre la entropía en teorías cuánticas

espacio de fases y el volumen de la celda unidad. Nótese que dada la arbi-trariedad en la definición de la celda unidad, la entropía queda definida amenos de una constante. Estas ambigüedades pueden ser resueltas dandouna definición de entropía en mecánica cuántica.

2.1. Entropía en mecánica cuántica

En mecánica cuántica uno trata con observables y con estados. Los observa-bles, como el momento, la posición, etc., se describen matemáticamente poroperadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert. La entropía no es un ob-servable (es decir, no existe un operador con la propiedad de que su valorde expectación en algún estado sea la entropía) sino que es una función delestado. Los estados en mecánica cuántica se caracterizan en forma generalpor el llamado operador densidad.

2.1.1. Operador densidad

El estado de un sistema cuántico se conoce completamente si se puede re-presentar mediante un cierto vector |ψ〉 en el espacio de Hilbert. Si la infor-mación que se posee acerca del sistema es incompleta, el estado del mismono puede representarse por un vector único sino por una mezcla estadísticade vectores |ψ1〉, |ψ2〉,..., |ψn〉 y decimos que el sistema tiene probalidades p1,p2,..., pn (pi ≥ 0) de encontrarse en alguno de estos estados.

Supongamos que se realiza la medición de una magnitud física del sistemarepresentada por el operador A. El valor de expectación de A, suponiendoque cada |ψi〉 esté normalizado a la unidad, viene dado por

〈A〉 =∑n

pn 〈ψn |A|ψn〉 . (2.2)

Es común describir la mezcla estadística de los vectores |ψi〉, mediante elllamado operador densidad

ρ =∑n

pn |ψn〉〈ψn| . (2.3)

El valor de expectación de un observableA dado por (2.2) se reescribe ahora


en términos del operador densidad

〈A〉 = tr(ρA) . (2.4)

Si se toma A = Id, se obtiene la condición

tr(ρ) = 1 , (2.5)

que está asociada a que los números pi son pesos estadísticos y por lo tantodebe resultar

∑n

pn = 1 , (2.6)

ya que el sistema debe encontrarse en alguno de los estados |ψi〉.

Como se ha dicho, el operador densidad ρ es hermítico, tiene autovalorespositivos y traza igual a la unidad. Estas propiedades, permiten probar queel espectro de ρ es discreto y sus autovalores están comprendidos entre 0 y 1.

Puesto que es suficiente dar ρ para calcular todas las cantidades físicamentemedibles y valores de expectación, se dice que dos mezclas estadísticas sonidénticas si están representadas por el mismo operador densidad.

2.1.1.1. Estados puros

El formalismo del operador densidad permite estudiar los casos puros comocasos particulares de mezcla estadística. Si se sabe que el sistema se encuen-tra en un estado |α〉, se puede escribir el operador densidad como

ρ = |α〉〈α| , (2.7)

que no es más que un proyector sobre el estado |α〉, y por lo tanto deberesultar

ρ2 = ρ . (2.8)

En general, todo operador hermítico definido positivo de traza 1, posee lapropiedad trρ2 ≤ 1. De las ecuaciones (2.8) y (2.5) se ve trivialmente que si


el estado del sistema es puro, entonces debe ser

tr(ρ2) = 1 . (2.9)

Se prueba sencillamente que ρ representa un caso puro sí y sólo sí vale laecuación (2.9).

En conclusión, siempre es posible representar el estado de un sistema me-diante su operador densidad, conociéndose el estado completa o incomple-tamente. Dado este operador es posible determinar todas las cantidades fí-sicamente medibles utilizando la ecuación (2.4).

2.1.1.2. Operador densidad reducido

El concepto de operador densidad reducido fue introducido por P. Dirac en1930. Considérense dos sistemas A y B con espacios de Hilbert HA y HB

respectivamente y supóngase que el estado del sistema completo es |ψ〉 ∈HA ⊗ HB. Se introduce una base |i, j〉 = |i〉 ⊗ |j〉 del espacio HA ⊗ HB, conlo que |ψ〉 se escribe como

∑|ψ〉 = λkl |k, l〉, siendo

∑|λkl|2 = 1. En general,

no se puede decir que el subsistema A se encuentra en un estado puro. Sinembargo, puede definirse el operador densidad reducido al subsistema Acomo

ρA = trB |ψ〉〈ψ| =∑l

λklλ∗il |k〉〈i| , (2.10)

y los valores de expectación de operadores O : HA → HA vendrán dadospor

〈O〉 = tr(ρAO) . (2.11)

Es interesante notar que cualquier operador densidad puede expresarse co-mo estado reducido de un operador densidad puro. En efecto, consideremosun sistema caracterizado por el operador densidad ρ y supongamos que losautovalores del mismo son λi, con lo que podemos escribir

ρ = λi |i〉〈i| , (2.12)

perteneciendo los estados |i〉 al espacio de Hilbert H del sistema. Considé-


rese una base |i, j〉 = |i〉 ⊗ |j〉 ∈ HA ×HB (HA = HB = H). Se define

ρ1 =∑√

λiλj |i, i〉〈j, j| =(∑√

λi |i, i〉)(∑√

λj 〈j, j|), (2.13)

Es sencillo ver que tr(ρ12) = 1, por lo que el estado que representa ρ1 es puro

(describe al estado∑√

λi |i, i〉). Además, resulta

ρ = trBρ1 . (2.14)

donde trB indica que hay trazar sobre el espacio de Hilbert HB, como se hadefinido en (2.10).

Una propiedad interesante surge de considerar un sistema compuesto pordos subsistemas A y B. Si el estado total del sistema ρAB es puro, enton-ces, los autovalores no nulos de los operadores densidad reducidos ρA yρB son los mismos. Esto puede demostrarse viendo que vale la igualdadtr(ρnA) = tr(ρnB) para toda potencia n y consecuentemente, los autovaloresno nulos de ρ1 y ρ2 y sus multiplicidades coinciden.

2.1.2. Entropía de von Neumann

La forma más natural de definir la entropía de un sistema cuántico que seencuentra en un estado representado por el operador densidad ρ es

S(ρ) = −kBtr(ρ ln ρ) , (2.15)

o sea, S = −kB∑

i λi lnλi, donde λi son los autovalores de ρ. Esta fórmu-la es debida a J. von Neumann (1927) y generaliza la expresión (2.1) de laentropía del caso clásico al cuántico. Se comentó que la definición (2.1) esta-blecía una relación entre la variable de estado S y la ”cantidad de desorden”del sistema. Este grado de desorden está asociado a la cantidad de microes-tados posibles que pueden generar un estado con las mismas propiedadesmacroscópicas. En mecánica cuántica, el ”número de microestados” puedeinterpretarse como el número de estados puros en los que se puede encon-trar al sistema. Para ver esto, considérese por ejemplo un sistema cuánticoque puede hallarse con la misma probabilidad en un número Ω de estadospuros. El operador densidad del sistema es ρ = (1/Ω)P , donde P es unoperador que proyecta vectores sobre un subespacio de dimensión Ω. Laentropía resulta S = −kBtr(ρ ln ρ) = kB ln(Ω) y se observa la similitud entre


las ecuaciones (2.1) y (2.15).

La entropía de von Neumann es la única cantidad para la cual aparece estasemejanza con (2.1) y para la cual se cumplen ciertas propiedades1 que sedesea que ”herede” una entropía definida en un contexto cuántico, de laspropiedades conocidas para el caso clásico.

De la propia definición de la entropía de von Neumann, se sigue que lamisma sólo es nula cuando el operador densidad que describe el estado tie-ne sólo un autovalor no nulo e igual a la unidad, es decir, cuando el estadoes puro.

De ahora en adelante se considera kB = 1.

2.2. Entrelazamiento cuántico

El entrelazamiento es un fenómeno cuántico, sin equivalente clásico, en elcual los estados de dos o más subsistemas se deben describir haciendo refe-rencia a los estados del sistema total, incluso cuando la separación entre lossubsistemas es grande.

Las mediciones realizadas sobre algún observable de un sistema que es-tá entrelazado con otros parecen influenciar instantáneamente a estos. Porejemplo, si tenemos un sistema de dos fotones con espín total nulo y los se-paramos infinitamente, la medición del espín de uno de ellos determinaráde forma unívoca el espín del otro. Esto parecería sugerir que alguna in-fluencia debería estar propagándose "instantáneamente"entre los sistemas,a pesar de la separación entre ellos, lo que violaría la velocidad máxima depropagación de las interacciones.

El entrelazamiento cuántico fue en un principio utilizado por A. Einstein,B. Podolsky y N. Rosen (EPR) [15] como un argumento para intentar probarla incompletitud de la mecánica cuántica como teoría física, alegando quelas correlaciones predichas por la mecánica cuántica son inconsistentes conel Principio del Realismo Local 2.

1Tales como la aditividad y subaditividad, y diversas propiedades de mezclado.2El Principio de Realismo Local es una conjunción entre el Principio de Localidad y la

asunción de que todas las magnitudes físicas tienen valores preexistentes para cada medi-


En 1964, un trabajo presentado por J. Bell [16] permitió cuantificar matemá-ticamente en forma de desigualdades las implicaciones teóricas planteadasen el trabajo de EPR. El hecho de que las desigualdades de Bell sean viola-das3 provee evidencia empírica a favor de la mecánica cuántica y en contradel Realismo Local.

2.2.1. La Paradoja EPR

En el trabajo original de Einstein, Podolsky y Rosen se hace un análisis delentrelazamiento que presenta un sistema de dos partículas, que interactua-ron durante un intervalo de tiempo determinado y luego son separadas es-pacialmente, en términos del momento lineal y la posiciones de las partí-culas. Una situación en la que se puede visualizar el fenómeno de entre-lazamiento en forma más sencilla fue introducida por D. Bohm en 1951, yconsiste en pensar en un sistema formado por dos partículas de espín 1/2en un estado inicial de espín total igual a cero. Supongamos que el estadode espín total inicial del sistema se puede escribir como

|χ〉 =1√2

(|↑↓〉 − |↓↑〉) , (2.16)

donde |↑↓〉 = |↑〉 ⊗ |↓〉 (este podría ser, por ejemplo, el caso de un par deelectrones con un estado orbital simétrico). Una de las partículas se alejalo suficiente de la otra como para asegurar que la interacción entre ambassea nula. Si un observador mide el espín de una de estas partículas y laencuentra, por ejemplo, en el estado de espín positivo, este observador sabeinmediatamente que la partícula que está alejada de él tiene que encontrarseen el estado de espín negativo. Esto está asociado al colapso de la funciónde onda total de las dos partículas después de la medición; si la partícula 1

tiene un espín positivo, entonces el estado inicial colapsa a

|χ〉 = |↑↓〉 , (2.17)

lo que indica que el espín de la partícula 2 tiene que ser negativo. A pesar de

ción incluso antes de que se realice la medición. En el contexto planteado en [15], se refierea que cada partícula debe tener un estado bien definido, sin que sea necesario hacer refe-rencia a otros sistemas distantes.

3Hecho que se ha comprobado experimentalmente, en primera oportunidad por A. As-pect en 1982 [17].


haber medido una propiedad de la partícula 1, la partícula 2 es ”afectada”por la medición. En realidad, esto dice que los sistemas de muchas partícu-las que estuvieron interactuando durante un tiempo no pueden ser descrip-tos luego como sistemas desconectados o independientes, aún a tiemposposteriores de que la interacción se suprima. Esto es lo que constituye elfenómeno del entrelazamiento cuántico.

2.2.2. Medidas de entrelazamiento

Hasta ahora se ha introducido una idea de lo que representa el fenómeno deentrelazamiento. Sin embargo, no se ha dado aún un criterio claro que per-mita decir si un sistema se encuentra o no entrelazado. Supóngase que setiene un sistema constituído por dos subsistemas A y B. Se dice que el esta-do del sistema total es separable si su operador densidad se puede escribircomo

ρAB =∑λ

pλρλA ⊗ ρλB , (2.18)

donde los números pi son pesos estadísticos; un estado separable descri-be sólo correlaciones clásicas entre A y B. Así, un sistema entrelazado esun sistema en un estado no separable, es decir, que no puede escribirse co-mo (2.18). Varias medidas de entrelazamiento cuántico entre dos sistemasA y B han sido propuestas y se denotan E(A,B). En general, E(A,B) esuna cantidad que es muy difícil de calcular, ya que su definición involucradeterminar ínfimos o supremos sobre conjuntos infinitos, que no son senci-llos de evaluar. Por este motivo, suele ser útil trabajar con otras cantidades(medidas de entrelazamiento) que guardan alguna relación conocida conE(A,B). Un ejemplo de estas cantidades es la información mutua I(A,B)

que es presentada en la sección 2.3.3. La información mutua es una medidade entrelazamiento muy importante dado que establece una cota máxima aE(A,B); además, si el estado ρAB es puro, para todas las medidas de entre-lazamiento resulta E(A,B) = 1

2I(A,B). Existen muchas otras medidas de

entrelazamiento tales como el entrelazamiento de formación, de destilado,condicional y el squashed entanglement. En este trabajo sólo se considera lainformación mutua por diversas propiedades que se destacan con detalleen la sección 2.3.3.


2.2.3. Entropía de entrelazamiento

Ya se comentó que el entrelazamiento se refiere a las correlaciones existen-tes entre dos sistemas aún luego de que los mismos no están interactuando,y también se discutió sobre algunas medidas de entrelazamiento. Una can-tidad que da cuenta del grado de entrelazamiento entre dos sistemas es lallamada entropía de entrelazamiento.

Supóngase que se tiene un sistema compuesto de dos subsistemas A y B, enun estado total puro. Todas las mediciones que se realizan sobre el subsiste-ma A (B) se pueden describir en términos del operador densidad reducidoρA (ρB). Se define la entropía de entrelazamiento SA entre el subsistema A yel B como la entropía de von Neumann (2.15) para la matriz densidad ρA

SA = S(ρA) . (2.19)

Es sencillo ver que la entropía de entrelazamiento SA coincide con la en-tropía de entrelazamiento SB, definida a partir de la matriz densidad re-ducida ρB, si el estado total del sistema compuesto es puro4. La igualdadentre SA y SB sólo es cierta cuando el estado del sistema compuesto es pu-ro, en cuyo caso la entropía SA∪B es nula. Esto pone de manifiesto el he-cho de que, en general, la entropía no es aditiva. En este caso puro se tieneS(A) = E(A,B) = 1

2I(A,B) para toda E.

Una motivación para decir que S(A) es una medida del entrelazamientoentre A y B es la siguiente. En la sección 2.1.2 se comentó que la entropíade von Neumann era nula sólo si el estado representado por el operadordensidad era puro. Si el estado total del sistema A+B es puro, y además elestado representado por ρA es puro, entonces, por la igualdad entre SA y SB,el estado representado por ρB también debe ser puro. En este caso, el estadototal es un estado producto

|ΨA+B〉 = |ΨA〉 ⊗ |ΨB〉 , (2.20)

que es separable, y el fenómeno de entrelazamiento no se manifiesta, dadoque no hay correlaciones entre el sistema A y el B. Este hecho, hace plausiblela definición (2.19) de la entropía de entrelazamiento como la entropía de

4Esta igualdad sale como una consecuencia directa de la igualdad de los autovalores deρA y ρB que se probó en la sección 2.1.1.2.


von Neumann asociada al operador densidad reducido ρA, ya que cuandono hay correlaciones entre los dos subsistemas (es decir, cuando los sistemasno están entrelazados) SA se anula.

2.2.3.1. Cálculo de entropía de entrelazamiento

En la literatura se exploran básicamente dos acercamientos para calcular laentropía de entrelazamiento en teorías cuánticas de campos libres: el forma-lismo de tiempo Euclídeo y el de tiempo real. En este trabajo utilizaremos elformalismo de tiempo real, que apunta a calcular directamente el operadordensidad reducido correspondiente al estado global de vacío en término decorreladores de los campos. Para ello, se comienza con una versión discretade la teoría de campos y luego se toma el límite al continuo. Los primeroscálculos de entropía de entrelazamiento utilizando el formalismo de tiem-po real fueron realizados en [12], varios años antes de que se desarrolaseel formalismo Euclídeo, y si bien aún no ha sido tan explorado como esteúltimo, se cree que es más adecuado para realizar generalizaciones [18]. Porejemplo, puede ser utilizado para realizar cálculos que involucren conjun-tos espaciales no contenidos en un único hiperplano espacial en espacio deMinkowski, para lo cual el formalismo Euclídeo no podría aplicarse.

A continuación, se pretende calcular la entropía de entrelazamiento parael estado fundamental de un sistema reducido a una región V utilizando elformalismo de tiempo real. Se recuerda que el operador densidad reducidoa una región V del espacio, representa al estado que reproduce los valoresde expectación en el vacío de operadores OV localizados en V , es decir

〈OV 〉 = tr(ρVOV ) . (2.21)

Bosones

Los operadores hermíticos coordenada φi y su momento conjugado πjsatisfacen las siguientes relaciones de conmutación

[φi, πj] = iδij , [φi, φj] = [πi, πj] = 0 . (2.22)

Supóngase que se conocen las funciones de correlación de dos puntos


dentro de V

〈φiφj〉 = Xij , 〈πiπj〉 = Pij , (2.23)

〈φiπj〉 = 〈πjφi〉∗ =i

2δij . (2.24)

La última ecuación podría parecer un poco arbitraria y en realidadpuede generalizarse. Sin embargo, a los efectos de trabajar con el es-tado de vacío es suficiente pedir que valga (2.24). De las ecuacionesen (2.23) se deduce que las matrices X y P son hermíticas y tienenautovalores positivos. Además, es sencillo demostrar que el producto

X · P ≥ 1

4, (2.25)

donde debe entenderse que la condición es para los autovalores delas matrices X y P . Los correladores de más de dos puntos puedenobtenerse a partir de estos, en virtud del teorema de Wick

〈Ofi1fi2 ...fi2k〉 =

1

2kk!

∑σ

⟨Ofiσ(1)

fiσ(2)

⟩...⟨Ofiσ(2k−1)

fiσ(2k)

⟩, (2.26)

donde la suma es sobre todas las permutaciones σ de índices, fi puedeser φi o πi y O es un operador de orden específico, por ejemplo, podríaindicar ordenar los productos dentro de los valores de expectación conlas coordenadas a la izquierda y los momentos a la derecha.

Se consideran operadores de creación y destrucción al, a†l , con [ai, a

†j] =

δij , que se expresan como combinaciones lineales de los φi y πj

φi = α∗ija†j + αijaj , (2.27)

πi = −iβ∗ija†j + iβijaj . (2.28)

Las relaciones de conmutación entre las coordenadas y los momentos


dan

α∗βT + αβ† = −1 . (2.29)

Se propone la siguiente forma para el operador densidad reducido

ρV = K eH = K e−∑εla

†l al , (2.30)

siendoK =∏

(1− e−εl) una constante de normalización. Con esta for-ma del operador densidad, se satisface la propiedad (2.26). Utilizandola ecuación (2.21) y la forma explícita del operador densidad reducido,se puede hallar, a partir de las relaciones (2.23) y (2.24)

α∗nβT − α(n+ 1)β† =1

2, (2.31)

α∗nαT + α(n+ 1)α† = X , (2.32)

β∗nβT − β(n+ 1)β† = P , (2.33)

siendo n la matriz diagonal dada por

nk =⟨a†kak

⟩= (eεk − 1)−1 . (2.34)

De estas ecuaciones, se obtiene que α = α1Uy β = β1U , siendo U

unitaria y diagonal, y α1 y β1 reales. La matriz U puede reabsorberseen la definición de los ai, por lo que ponemos U = 1. Así α = −1

2(βT )−1

y

α1

4(2n+ 1)2α−1 = XP . (2.35)

Al ser α14(2n+ 1)2α−1 semejante a 1

4(2n+ 1)2, de (2.35) se puede leer el

espectro del operador densidad reducido en términos del espectro deXP

1

2ctgh(εk/2) = νk , (2.36)


donde νk son los autovalores de

C =√XP . (2.37)

Invirtiendo las relaciones (2.27) y (2.28) y reemplazando en (2.30), eloperador densidad reducido queda

ρV = K e−∑

(Mijφiφj+Nijπiπj) , (2.38)

donde

M =1

4α−1T εα−1 =

P

2Cln

(C + 1/2

C − 1/2

), (2.39)

N = αεαT =1

2Cln

(C + 1/2

C − 1/2

)X , (2.40)

siendo ε la matriz diagonal de los εk. La entropía, dada por (2.15), que-da

S = tr [(C + 1/2) ln (C + 1/2)− (C − 1/2) ln (C − 1/2)] , (2.41)

que resulta positiva en virtud de la ecuación (2.25).

Para el estado fundamental de un hamiltoniano de la forma H =12

∑π2i + 1

2

∑φiKijφj , los correladores (2.23) están dados por

Xij =1

2(K−1/2)ij , (2.42)

Pij =1

2(K1/2)ij . (2.43)

Para el estado global, se tiene X · P = 1/4, que tiene entropía nula,como corresponde para un estado puro.

Esta formulación pone en evidencia el hecho de que para hallar lamatriz densidad reducida sólo es necesario conocer los correladores


dentro de V . La extensión al continuo del caso bosónico no ha sidomuy explorada aún, dado que el problema involucra núcleos más sin-gulares que los que aparecen en el caso fermiónico.

Fermiones

Los operadores ψ†i y ψj satisfacen las relaciones de anticonmutación

ψi, ψ

†j

= δij . (2.44)

Supóngase que los correladores de dos puntos son

⟨ψiψ

†j

⟩= Cij ,

⟨ψ†iψj

⟩= δij − Cij , (2.45)

〈ψiψj〉 =⟨ψ†iψ

†j

⟩= 0 . (2.46)

Se asume aquí también que el teorema de Wick es válido y todos loscorreladores de más de dos puntos que no se anulan se pueden obte-ner a partir de los correladores de dos puntos como

⟨ψi1 ...ψikψ

†j1...ψ†jk

⟩= (−1)k(k−1)/2

∑σ

εσ

k∏q=1

⟨ψiqψ

†jσ(q)

⟩, (2.47)

donde la suma se realiza sobre todas las permutaciones de los índicesj1, j2, ..., jk, y εσ es el signo de la permutación. De las ecuaciones (2.45)se ve que los autovalores de C se encuentran en el intervalo [0, 1]. Si Ves el espacio total, C es un proyector y sus autovalores son 0 y 1.

Al igual que en el caso bosónico, los correladores dentro de V cal-culados haciendo uso del operador densidad reducido satisfacen lapropiedad de Wick si se tiene

ρV = K e−H = K e−∑Hijψ

†iψj . (2.48)

Como ρV es hermítico, H también debe ser hermítico. El exponentede la ecuación anterior se puede diagonalizar entonces utilizando latransformación de Bogoliuvov dl = Ulmψm, siendo U unitaria (para

2.3. Entropía en teorías relativistas

que resulte di, d†j = δi,j . U se elije de modo que UHU † = ε, siendo ε una

matriz diagonal de los autovalores de H . Se tiene

ρV =∏ e−εld

†l dl

(1 + e−εl); (2.49)

nótese que de la ecuación anterior se obtiene el valor de la constanteK = det = (1 + e−H)−1. La relación entre los autovalores de C y los deH sale de las ecuaciones (2.21), (2.45), (2.48) y (2.49). Si se nota con νl alos autovalores de C se obtiene la siguiente relación

eεl =νl

1− νl, (2.50)

que se puede poner en notación matricial como

H = − ln(C−1 − 1) . (2.51)

El cálculo de la entropía de von Neumann para este operador densi-dad reducido puede evaluarse como una suma sobre cada modo inde-pendiente de H autovalor εl, obteniéndose

S = −tr [(1− C) ln (1− C) + C ln (C)] . (2.52)


2.3.1. Problemas de la entropía en teorías de campos

El estado relevante para el cálculo de valores de expectación de observablesen una región V es el operador densidad reducido ρV . A partir del operadordensidad reducido es posible evaluar la entropía geométrica en la región,definida a partir de la ecuación (2.15) para el estado de vacío. Cuando unoconsidera teorías relativistas, la entropía geométrica resulta ser divergente[12, 19]. Estas divergencias aparecen como consecuencia del entrelazamien-to presente en las fluctuaciones del vacío alrededor de la frontera de V (verfigura 2.1). El proceso de localización conlleva inevitablemente la creaciónde pares de partícula-antipartícula. Si una de las partículas se encuentradentro de V y la otra fuera, para hallar el operador densidad reducido ρV ,la partícula dentro de V queda como una partícula real mientras los grados


de libertad asociados a la otra se trazan. Dada la naturaleza ultravioleta delproblema, los términos divergentes aparecen en el cálculo de la entropía deentrelazamiento también para los estados excitados de energía finita redu-cidos a la región V .

Figura 2.1: Fluctuaciones del vacío. El proceso de localización en teorías relativistaslleva a la creación de pares de partícula-antipartícula. El entrelazamiento en estos pares esla causa de las contribuciones divergentes a la entropía geométrica.

En el capítulo 4 de este trabajo se calcula explícitamente la entropía geomé-trica para una teoría de campos y se encuentran estas divergencias. A modode ejemplo sin embargo, y para visualizar el rol de los términos divergen-tes y finitos en la entropía, se muestra la entropía de un fermión de masanula en 1 + 1 dimensiones a temperatura T . El cálculo fue realizado en [4],en un intervalo espacial de longitud L, utilizando el formalismo de tiempoeuclídeo. El resultado hallado en [4] para la entropía es

S =1

3ln

[1

πεTsinh (πLT )

], (2.53)

donde ε es un cutoff ultravioleta con unidades de distancia. En el límite enque LT →∞, la ecuación (2.53) da

S ≈ 1

3ln(ε) + ln

(1

T

)+π

3LT , (2.54)

donde el último sumando de (2.54) dice que la entropía crece en formaproporcional al volumen, como suele ocurrir para un estado térmico. Pa-ra LT → 0 se obtiene

S ≈ −1

3ln

(L

ε

), (2.55)


que es un resultado que también puede obtenerse independientemente uti-lizando el formalismo de tiempo real, para la misma teoría con temperaturanula (este cálculo, utilizando el formalismo de tiempo real, se realiza en elcapítulo 4). El término π

3LT se obtendría también si uno pusiera al sistema

en una caja con condiciones de borde a temperatura T , tomando el límite deL grande. De (2.54), se ve que en este límite, es posible separar el términoproporcional al volumen de la parte divergente. Se dice entonces que estetérmino es universal, o sea, independiente del cutoff o las condiciones deborde que se impongan en la caja.

2.3.2. Ambigüedades de la entropía en la radiación de Haw-

king

En d dimensiones espaciales, para cualquier teoría de campos se deberíatener

S(V ) = gd−1[∂V ]ε−(d−1) + ...+ g1[∂V ]ε−1 + g0[∂V ] ln(ε) + S0(V ) , (2.56)

siendo S0(V ) una contribución finita, ε un cutoff ultravioleta y las gi fun-ciones locales extensivas del borde ∂V 5. El coeficiente del primer términogd−1[∂V ] es entonces, en el caso sin masa, proporcional a la d − 1 potenciadel tamaño de V y suele asociarse a una ley del área para la entropía deentrelazamiento. Los términos proporcionales a gi para i > 0 no tienen unainterpretación física en teoría de campos, dado que no están asociados acantidades independientes de la regularización. Sin embargo, sí se esperaque el coeficiente g0 del término logarítmico sea universal, es decir, inde-pendiente de la regularización.

En general, estos términos divergentes son ambiguos. Sin embargo, porejemplo para el caso de un estado térmico, la diferente dependencia de laentropía térmica con el volumen ST ∼ V T permitiría extraer este términouniversal de la entropía. Una situación muy diferente se da en casos en loscuales la entropía se encuentra muy diluída, como ocurre con la entropíade la radiación de Hawking en los agujeros negros. Estos son objetos relati-

5Esto está asociado a que los modos de corta longitud de onda que se encuentran en-trelazados entre la región exterior y la interior a V sólo pueden aportar en el borde y demanera local, es decir como una integral sobre el borde.


vamente fríos, que emiten radiación a una temperatura T ∼ r−1S (siendo rs

el tamaño del agujero negro; en el capítulo 3, se dan más detalles acerca delos agujeros negros). La entropía emitida en este caso viene dada heurística-mente como

S ≈ T 3 · V = T 3 × área de emisión× tiempo =Rshell

rs, (2.57)

que no puede separarse de los términos divergentes S ∼ R2shell

ε2+ Rshell

ε+ ....

Este problema puede subsanarse utilizando alguna otra medida de infor-mación, como se verá en la siguiente sección.

2.3.3. Medidas de información en teorías de campos. Infor-

mación mutua

Se ha comentado que la localización estricta de un estado en una región delespacio, en teorías relativitas, da lugar a la formación de pares partícula-antipartícula y que en la aparición de estos modos de alta energía se en-cuentra el origen de las divergencias en la entropía de entrelazamiento. Unacontribución divergente similar aparecerá en cualquier cálculo de la entro-pía en una región separada de otra por un horizonte causal, como es el casode los agujeros negros. Sin embargo, la noción de entrelazamiento entre dosregiones distintas puede definirse de modo preciso en teoría de campos, aúnen presencia de gravitación. Las medidas de entrelazamiento entre regionesdisjuntas no presentan divergencias y son, en principio, calculables en lateoría semiclásica.

Es posible realizar una substracción en la entropía de entrelazamiento delvacío para eliminar las divergencias provenientes de las fluctuaciones delvacío. Sin embargo, no se puede simplemente llevar a cero el valor de estaentropía, dado que existen cantidades finitas universales (independientesde la regularización) que se pueden obtener a partir de ella. Una de esascantidades es la información mutua

I(A,B) = S(A) + S(B)− S(A ∪B) , (2.58)

entre dos conjuntos disjuntos (ver figura 2.2)A yB. Nótese que los términosdivergentes, que están asociados a los bordes de las regiones se sustraen en


(2.58). En estadística, la información mutua da una medida a la informacióncompartida por dos sistemas. La información mutua es una cantidad biendefinida en teoría de campos, con el único requerimiento de que exista unaseparación no nula entre las regiones A y B, y mide el grado de no extensi-vidad que tiene la entropía S.

Figura 2.2: Información mutua. Para dos regiones A y B disconexas, como las que semuestra en la figura, es posible definir una cantidad universal de la que puede inferirse laentropía de entrelazamiento.

Si la región B, por ejemplo, se extendiera a todo el espacio de modo detender a cubrir la región−A, y el contorno deB se aproximara al deA desdeafuera, se obtendría S(A) ≈ S(−B) = S(B) y S(A ∪B) ≈ 0 y, entonces

I(A,B) ≈ 2S(A) . (2.59)

Así, la información mutua diverge del mismo modo que la entropía cuandolos conjuntos se acercan uno al otro y, de algún modo, se reproducen lasdivergencias presentes en S(A), pero ahora en forma independiente de laregularización.

2.3.3.1. Propiedades de la información mutua

Para un sistema cuántico general, la función I(A,B) es simétrica, adimen-sional y positiva. Si se considera un estado producto, dado por ρA∪B =

ρA⊗ ρB, la información mutua I(A,B) se anula. Otra propiedad interesantees la de monotonía respecto al tamaño de los conjuntos

I(A,B) ≤ I(A,C) , si B ⊆ C . (2.60)

Esta propiedad, indica que la información mutua varía suavemente con elconjunto y es una consecuencia de la propiedad de subaditividad fuerte de


la entropía. También se tiene la siguiente desigualdad

I(A,B) ≤ 2 min(S(A), S(B)) . (2.61)

También es posible definir la información tripartita

I(A|B,C) = I(A,B) + I(A,C)− I(A,B ∪ C) , (2.62)

que mide la información compartida entre B y C respecto de A. Por la pro-pia definición de la información mutua (2.58), la información tripartita tienesimetría de permutación total

I3(A,B, C) ≡ I(A|B,C) = (2.63)

S(A ∪B ∪ C)− S(A ∪B)− S(B ∪ C)− S(C ∪A) + S(A) + S(B) + S(C) .

Así como la información mutua mide el grado de no extensividad de laentropía, la información tripartita, en virtud de la ecuación (2.62), mide elapartamiento de la extensividad de la información mutua. Nótese que a di-ferencia de I(A,B), I3(A,B,C) puede ser tanto positiva o negativa, y es nulaen particular cuando el estado total es puro. Sin embargo, la condición ge-neral que hace que la información mutua sea extensiva es aún desconocida.

CAPÍTULO III

Agujeros negros y radiación deHawking

”Consideration of particle emission from black holes would seemto suggest that God not only plays dice, but also sometimes

throws them where they cannot be seen.”Stephen Hawking

The Quantum Mechanics of Black Holes, ScientificAmerican, 1977, 236, 40.

De acuerdo al conocimiento actual que se tiene de las leyes de la Física, nadapodría prevenir que un objeto se convierta en un agujero negro si no exis-te alguna presión que pueda balancear la fuerza gravitatoria del mismo. Secree que las estrellas muy masivas terminan su evolución convirtiéndose enagujeros negros. Las colisiones que producen que dos estrellas se junten ha-cen suponer que los agujeros negros también podrían formarse en el centrode aglomeraciones globulares de estrellas y en los núcleos de las galaxias.

La emisión de energía proveniente de los núcleos activos de galaxias sugie-re que las estrellas y el polvo cósmico forman discos de acreción alrededorde agujeros negros con masas M ∼ 108M, siendo M = 1, 9891× 1030kg lamasa del Sol. La materia en caída hacia el agujero negro generaría la radia-ción electromagnética observada y sería la responsable también de los rayoscósmicos de más alta energía.

Las primeras ideas sobre la existencia de objetos masivos que impidieranque la luz escape de ellos se gestaron entre finales del Siglo XXVIII y co-mienzos del Siglo XIX [20]; sin embargo, el desarrollo de las ideas funda-mentales concernientes a los agujeros negros se produjo después de que K.Schwarzschild diera, en 1915, la solución para el campo gravitatorio gene-rado por un cuerpo masivo con simetría esférica, en el marco de la teoría de

3. Agujeros negros y radiación de Hawking

la relatividad general.

Varios años más tarde, en 1974 S. Hawking predijo [21, 22] que al tener encuenta efectos cuánticos, los agujeros negros deberían radiar y así tener untiempo de vida finito. De acuerdo a la mecánica cuántica, el espacio va-cío fluctua continuamente y la producción de un par de partículas virtuales(∆E = 2mc2) puede ocurrir siempre que las mismas se aniquilen en un tiem-po ∆t ∼

2mc2, de acuerdo al Principio de Incertidumbre. Esas fluctuaciones

del espacio vacío también suceden cerca de los agujeros negros y, en pre-sencia de un campo gravitatorio tan intenso, las partículas pueden ser sepa-radas suficientemente rápido de modo que una de ellas cruce el horizontede eventos (superficie del espacio-tiempo desde la cual ninguna partículapuede escapar de la atracción gravitatoria dada por el agujero negro). Así,no se produce la aniquilación y la partícula que no es atrapada detrás delhorizonte puede ser detectada fuera del agujero negro. En el proceso, partede la energía gravitatoria del agujero negro se convierte en energía cinéticay masa de la partícula, de modo que una cantidad de energía del orden de∆E se transfiere desde el agujero negro al exterior. Se dice que los agujerosnegros se evaporan.

Hawking, también mostró que la radiación emitida tiene un espectro térmi-co con temperatura inversamente proporcional a la masa del agujero negro

T =c3

8πkBGM≈ 10−7M

MKelvin , (3.1)

y el tiempo de vida resulta

τ ≈ 1010

(M

1015g

)3

años . (3.2)

Los agujeros negros con masas mucho menores a 1015g tendrían tiempos devida menores a la edad actual del universo. Para agujeros negros de masasestelares (o mayores) el ritmo de evaporación es despreciable, por lo que noresulta claro si se podrá en algún momento medir la radiación de Hawkingemitida por un agujero negro 1. De todos modos, los agujeros negros junto

1Sin embargo, se ha encontrado una gran variedad de sistemas físicos con horizontes deeventos análogos a los de los agujeros negros; desde condensados de Bose-Einstein hastamedios dieléctricos no lineales en los cuales se perturba el índice de refracción. Reciente-mente, en [23] se presentaron mediciones que podrían confirmar la existencia de la radia-ción de Hawking inducida por un análogo al horizonte de eventos en un sistema óptico.

3.1. Métrica de Schwarzschild

con sus particulares características (como la radiación de Hawking), consti-tuyen uno de los mejores ”laboratorios teóricos” para estudiar procesos queinvolucran elementos de relatividad especial y general, mecánica cuántica ytermodinámica, y son escenarios perfectos para poner a prueba ideas sobreposibles teorías cuánticas de la gravitación.


En coordenadas de Schwarzschild, la geometría de Schwarzschild es esféri-camente simétrica y estática. La métrica está dada por

ds2 = c2(

1− 2GM

c2r

)dt2 −

(1− 2GM

c2r

)−1

dr2 − r2dΩ2 , (3.3)

donde dΩ2 = dθ2 + sin2 θdφ. La coordenada t se llama tiempo de Schwarzs-child y representa el tiempo medido por un reloj en reposo en el infinitoespacial. La coordenada r es llamada coordenada radial de Schwarzschildy no mide la distancia espacial propia desde el origen de coordenadas sinoque está definida de modo que el área de una 2-esfera de radio r sea 4πr2.Las coordenadas θ y φ son los ángulos polar y azimutal usuales.

Se define lo que se denomina horizonte de eventos, como la región delespacio-tiempo para la cual se anula la componente g00 de la métrica (3.3), yel radio de Schwarzschild rs = 2GM/c2 ≈ 3(M/M) km. En el horizonte, lacomponente g11 es singular. Sin embargo, la singularidad está asociada a laelección del sistema de coordenadas y no a una singularidad real en la geo-metría; la única singularidad en la geometría del espacio-tiempo se encuen-tra para r = 0. Sin embargo, si bien no es singular, el horizonte de eventoses especial en el sentido de que para un observador distante representa ellímite del universo (o mejor dicho, la región límite del espacio-tiempo desdela cual se puede influenciar a los detectores ubicados con el observador).

Una forma de determinar si la geometría es singular o no en r = rs es calcu-lar el escalar de curvatura y ver que no diverge 2. También puede verse qué

2La definición de singularidad es en realidad más general y existen ciertas singulari-dades para las cuales el escalar de curvatura no diverge. En el caso de Schwarzschild, elescalar de curvatura R = RµνρσRµνρσ en el punto r = rs vale (48G2M2)/(c4r6

s) . El cálculoes trivial a partir de las componentes del tensor métrico dadas por la ecuación (3.3).


sucede con un observador que se envía hacia el agujero negro. Por simpli-cidad, considérese el caso de un observador en caída libre radial desde elpunto r = R. La trayectoria del observador en forma paramétrica está dadapor

r =R

2[1 + cos (η)] , (3.4)

siendo

τ =R

2

(R

2GM

)1/2

[η + sin(η)] , (3.5)

el tiempo propio medido por los relojes del observador en caída libre y

ct =

(R

2+

2GM

c2

)(c2R

2GM

)1/2

η +R

2

(c2R

2GM

)1/2

sin (η) +

+2GM

c2ln

∣∣∣∣∣∣∣(

c2R2GM

)1/2

+ tg(η2

)(c2R2GM

)1/2 − tg(η2

)∣∣∣∣∣∣∣ , (3.6)

para 0 < η < π. De estas ecuaciones, puede hallarse el tiempo que tarda elobservador en llegar a la singularidad en r = 0

∆τ =π

2R

(R

2GM

)1/2

. (3.7)

Evidentemente, el tiempo propio en el cual el observador llega al horizontey lo cruza es finito y menor al de la expresión (3.7).

Considérese ahora el punto de vista del observador en reposo en el infi-nito. De las ecuaciones anteriores, se ve que el observador en caída no cruzael horizonte para un tiempo de Schwarzschild finito; cuando r tiende a rs,t tiende a infinito. Supóngase que el observador en caída envía señales defrecuencia ν. El observador distante recibe esas señales con una frecuenciaque decrece a medida que el observador en caída libre se aproxima al hori-zonte. En todo el transcurso del tiempo t el observador distante recibe sóloun número finito de pulsos provenientes del observador en caída. A menosque el observador en caída aumente la frecuencia de los pulsos que envíaa medida que se acerca al horizonte, el observador distante dejará de reci-bir señales y perderá así el contacto con el observador en caída. Los límites


impuestos por la teoría clásica para la transmisión de información no sonseveros como los que impone la teoría cuántica. Clásicamente, el observa-dor en caída podría usar una frecuencia muy grande para enviar una grancantidad de información, utilizando una cantidad arbitrariamente pequeñade energía, sin perturbar así al agujero negro y su geometría. En ese caso,el observador distante podría obtener información sobre el observador encaída hasta el punto en que éste cae al horizonte. Sin embargo, la mecánicacuántica requiere que aún para enviar un bit de información se utilice un”cuanto” de energía. A medida que el observador en caída se aproxima alhorizonte, este ”cuanto” debe tener mayor frecuencia, por lo que el observa-dor debe disponer de mayor energía. Esta energía perturbaría la geometríadel espacio-tiempo en la región cercana a la frontera, alterándose así las mis-mas propiedades que querían medirse.

3.1.1. Coordenadas de Regge-Wheeler

Realizando un cambio de coordenadas adecuado es posible mapear el hori-zonte a menos infinito, de modo que el nuevo sistema de coordenadas cubrasólo la región r > rs. Se define la coordenada de Regge-Wheeler3 r∗ por mediode la siguiente ecuación

1

1− rs/rdr2 =

(1− rs

r

)dr∗2 , (3.8)

de modo que

ds2 =(1− rs

r

) [c2dt2 − dr∗2

]− r2dΩ2 , (3.9)

con lo que la parte temporal-radial de la métrica es conformemente plana.Se recuerda que un espacio es conformemente plano si la métrica puedeescribirse en la forma

ds2 = F (x)ηµνdxµdxν , (3.10)

siendo ηµν la métrica usual es espacio de Minkowski. Cualquier espacio dedos dimensiones es conformemente plano.

3También conocida en inglés como tortoise coordinate.


La forma explícita de la coordenada de Regge-Wheeler está dada por

r∗ = r + rs ln

(r

rs− 1

); (3.11)

nótese que r∗ → −∞ en el horizonte. En secciones posteriores se verá quelas ecuaciones de onda en el fondo gravitatorio de Schwarzschild tomanuna forma muy sencilla si expresan en coordenadas de Regge-Wheeler.

3.1.2. Espacio de Rindler

La región cercana al horizonte puede ser explorada reemplazando r por unacoordenada ρ que mida distancia propia desde el horizonte

ρ =

∫ r

rs

√g11(r′)dr

′ =√r(r − rs) + rssinh−1

(√r

rs− 1

). (3.12)

En términos de ρ y t la métrica de Schwarzschild (3.3) toma la forma

ds2 =

(1− rs

r(ρ)

)dt2 − dρ2 − r(ρ)2dΩ2 . (3.13)

Cerca del horizonte, la ecuación (3.12) da

ρ ≈ 2rs

√(r

rs− 1

), (3.14)

dando

ds2 ≈ ρ2

(dt

2rs

)2

− dρ2 − r2(ρ)dΩ2 . (3.15)

Si uno está interesado en una pequeña región angular del horizonte, arbi-trariamente centrada en θ = 0, pueden reemplazarse las coordenadas angu-lares por coordenadas cartesianas

x = rsθcos (φ) ,

(3.16)

y = rsθsin (φ) .

(3.17)


Se puede introducir el tiempo adimensional ω

ω =ct

2rs, (3.18)

y la métrica toma la forma

ds2 = ρ2dω2 − dρ2 − dx2 − dy2 . (3.19)

Viendo la última ecuación resulta evidente que ρ y ω son variables angulareshiperbólicas del espacio de Minkowski ordinario. Para recuperar la métricade Minkowski, se puede definir

T = ρ sinh (ω) ,

(3.20)

Z = ρ cosh (ω) ,

(3.21)

y se obtiene

ds2 = dT 2 − dZ2 − dx2 − dy2 . (3.22)

Debe recordarse que la ecuación (3.22) es válida cerca de r = rs y sólo parauna pequeña región angular. De todos modos, es útil ya que muestra que elhorizonte no es una región singular del espacio-tiempo y, para agujeros ne-gros muy masivos, es practicamente indistinguible del espacio-tiempo pla-no. En la figura 3.1 se muestra la relación entre las coordenadas ρ y ω, ylas del espacio de Minkowski. El espacio de Minkowski queda dividido encuatro regiones I , II , III y IV . Sólo una de estas regiones se encuentra fue-ra del horizonte del agujero negro. El horizonte se encuentra en el origenT = Z = 0.

La aproximación de la región cercana al horizonte por un espacio de Min-kowski se conoce como aproximación de Rindler. En particular, la porción delespacio de Minkowski aproximando el exterior del agujero negro (la regiónI en la figura 3.1), se denomina espacio de Rindler. La coordenada ω se cono-ce como tiempo de Rindler. Nótese que una traslación del tiempo de Rindlerω → ω + ω0 es equivalente a un boost de Lorentz en espacio de Minkowski,y de acuerdo con (3.18) a una traslación en el tiempo de Schwarzschild.


Figura 3.1: Espacio de Rindler. Se muestra la relación entre las coordenadas de Minkows-ki y las de Rindler.

3.1.3. Coordenadas de Eddington-Finkelstein

Las geodésicas radiales nulas verifican la siguiente ecuación

c2dt2 =dr2(

1− rsr

)2 , (3.23)

que utilizando la coordenada de Regee-Wheeler (3.11) puede escribirse co-mo

d (ct± r∗) = 0 . (3.24)

Se recuerda que para r variando desde 2M a +∞, r∗ varía desde −∞ a +∞.Una geódesica nula radial entrante puede parametrizarse fijando el valor dela coordenada

v ≡ t+ r∗ . (3.25)

La métrica de Schwarzschild puede entonces escribirse utilizando coorde-nadas (v, r, θ, φ)

ds2 = −(1− rs

r

)dv2 + 2drdv + r2dΩ2 , (3.26)

o usando coordenadas (v, t, θ, φ)

ds2 =(1− rs

r

) (dv2 − 2dvdt

)+ r2dΩ2 . (3.27)

En el primer caso por la presencia del término drdv no hay singularidad pa-ra la métrica en r = rS , mientras que en el segundo caso sí. Las coordenadas(v, r, θ, φ) se llaman coordenadas de Eddington-Filkelstein entrantes. En la


región interior r < rs y para curvas temporales o nulas (ds2 ≤ 0), se tiene larelación

2drdv = −[−ds2 +

(rsr− 1)dv2 + r2dΩ2

]≤ 0 . (3.28)

Dado que se tiene dv > 0 para geodésicas nulas y temporales, resulta dr ≤ 0.Nótese que cada geodésica nula en r = rS permanece en r = rS (dado quedr = 0. Esto indica que una partícula que ingresa en la región r ≤ rS nuncapuede escapar a la región exterior r > rs y por este motivo se llama agujeronegro a la región r ≤ rS . El borde de esta región r = rs, que separa estoseventos ”visibles” e ”invisibles” para un observador externo se llama hori-zonte de eventos futuros.

Así como se definió la coordenada v puede también definirse una coorde-nada u

u ≡ t− r∗ . (3.29)

La métrica de Schwarzschild en las coordenadas de Eddington-Finkelsteinsalientes (u, r, θ, φ) toma la forma

ds2 = −(1− rs

r

)du2 − 2drdu+ r2dΩ2 . (3.30)

Puede verse que la métrica en estas coordenadas no presenta ninguna sin-gularidad en r = rs. Los puntos con r = rs y u fijo corresponden a t = −∞.En el proceso de colapso gravitatorio, la condición inicial para t = −∞ esuna configuración regular que describe una estrella de radio r > rs. Estosignifica que la región r ≤ rs cubierta por (3.30) no es físicamente relevante(nótese que en cambio sí lo es para (3.26), dado que allí r = rs corresponde at = +∞). La región interior r < rs es ahora muy diferente al interior del ho-rizonte de eventos futuros descripto anteriormente. Aquí, para geodésicastemporales o nulas ds2 ≤ 0, se tiene

2drdu =[−ds2 +

(rsr− 1)du2 + r2dΩ2

]≥ 0 . (3.31)

Dado que para líneas de mundo hacia el futuro se tiene du ≥ 0 esto implicadr > 0. En el caso especial en que r = rs se tiene dr = 0 para geodésicasnulas radiales entrantes. Sin embargo, ahora una partícula en r < rs va a es-capar siempre hacia r > rs, atravesando la superficie nula r = rs; lo que setiene ahora es la inversión temporal de la situación anterior. Por estas pro-


piedades, la superficie r = rs no puede ser la misma que antes (el horizontede eventos futuros) y se conoce como horizonte de eventos pasados, mientrasque la región interior r < rs se denomina agujero blanco. Se remarca nueva-mente que esta región no existe en el proceso de colapso gravitatorio; sóloel horizonte de eventos futuros y la región del agujero negro se forman enese caso.

3.1.4. Coordenadas de Kruskal-Szekeres

Hasta ahora se han presentado varios sistemas de coordenadas. Las coor-denadas de Schwarzschild (t, r) cubren sólo la región exterior r > rs. Lascoordenadas de Eddington-Finkelstein entrantes (v, r) permiten cubrir laregión interior del agujero negro pero no el agujero blanco, mientras quecon las coordenadas de Eddington-Finkelstein salientes se logra parametri-zar la región interior del agujero blanco pero no al agujero negro. Podríapensarse entonces que utilizando simultáneamente las coordenadas u y v

sería posible parametrizar todos los eventos. Sin embargo, esto no es ciertoy se obtiene la siguiente forma para la métrica

ds2 = −(1− rs

r

)dudv + r2dΩ2 . (3.32)

Esta forma de la métrica tiene la misma desventaja que la forma original(3.3) de la métrica de Schwarzschild; no es posible alcanzar los dos horizon-tes de eventos (futuro y pasado) dado que están localizados en los puntosu = +∞ y v = −∞. Sin embargo, en término de nuevas coordenadas (U, V )

definidas por

V = 2rs ev/2rs

(3.33)

U = −2rs e−u/2rs ,

llamadas coordenadas de Kruskal-Szekeres, los puntos en el horizonte deeventos futuros se encuentran parametrizados simplemente por las coorde-nadas (U = 0, V, θ, φ), y aquellos en el horizonte de eventos pasados por(U, V = 0, θ, φ). El hecho de que U y V tengan valores finitos en los hori-zontes sugiere que la forma correspondiente de la métrica es regular en esos

3.2. Radiación de Hawking

puntos. En efecto

ds2 =rsre−r/rs

(dT 2 − dX2

)− r2dΩ2 , (3.34)

donde se han introducido las coordenadas temporal y espacial de KruskalT = (U + V )/2 y X = (U − V )/2 y r(T,X) está dado en forma implícita por

4r2s

(r

rs− 1

)er/rs = −UV = T 2 −X2 . (3.35)

Aquí también es posible observar que la métrica no es singular en r = rs. Laúnica singularidad que se encuentra describiendo la métrica en estas coor-denadas es la de r = 0, que no puede eliminarse eligiendo otro sistemacoordenado, dado que es una singularidad real en la curvatura del espacio-tiempo. La relación entre las coordenadas de Schwarzschild (t, r) y las deKruskal está dada por (3.35) y la siguiente ecuación

ct

rs= ln

(−VU

). (3.36)

Las fórmulas anteriores dan una descripción de lo que se denomina la máxi-ma extensión analítica del espacio-tiempo de Schwarzschild. El agujero negrodescripto por esta extensión no es producido por colapso gravitatorio; seasume que existe en todo momento y por este motivo se lo llama agujeronegro eterno. Las coordenadas U y V pueden tomar cualquier valor realsalvo que resulte UV = 4r2

s , que corresponde a la singularidad en r = 0.


3.2.1. Cuantización del campo escalar real en espacio curvo

Sea φ(x) un campo escalar real que satisface la ecuación de Klein-Gordon

( +m2

)φ(x) = 0 , (3.37)

donde = gµν∇µ∇ν . Es posible introducir una base compleja de solucionesde la ecuación de Klein-Gordon (3.37) con producto interno definido por

(ui, uj) = −i∫

Σ

dSµui(x)↔∂ u

∗j(x) , (3.38)


y elegir esa base de modo que resulte

(ui, uj) = δij , (u∗i , uj∗) = −δij ,(ui, u

∗j

)= 0 . (3.39)

El índice i varía sobre el conjunto necesario para poder identificar cada mo-do. Nótese que el producto interno (3.38) no es positivo, dado que, por ejem-plo, |u∗i |

2 = − |ui|2.

El campo, puede expandirse en los modos ui y u∗i

φ(x) =∑[

aiui(x) + a†iu∗i (x)

]. (3.40)

La cuantización covariante de la teoría se implementa imponiendo las si-guientes relaciones de conmutación

[ai, a

†j

]= δij , [ai, aj] =

[a†i , a

†j

]= 0 . (3.41)

Se elije el espacio de Hilbert como el espacio de Fock construído a partir delestado de vacío |0〉 definido a partir de

ai |0〉 = 0 ∀i , 〈0 |0〉 . (3.42)

El espacio de Hilbert tiene entonces la base|0〉 , a†i |0〉 , a

†ia†j |0〉 , ...

. Esta

base está determinada por la eleccíón del estado de vacío, que depende dela elección de la base compleja ui que satisface las relaciones (3.39). Sinembargo, esta base no es única [24]. Considérese, por ejemplo, un segundoconjunto de modos ui(x). El campo puede expandirse en esta base también

φ(x) =∑[

aiui(x) + a†i u∗i (x)

]. (3.43)

Esta descomposición de φ define un nuevo estado de vacío |0〉

ai |0〉 = 0 ∀i , 〈0 |0〉 , (3.44)

y un nuevo espacio de Hilbert. Como ambos conjuntos son completos, losnuevos modos pueden expandirse en término de los anteriores

uj =∑

(αjiui + βjiu∗i ) , (3.45)


y a la inversa

ui =∑(

α∗jiuj − βjiu∗j). (3.46)

Estas relaciones se conocen como transformaciones de Bogolubov y αij , βijson los coeficientes de Bogolubov. Los coeficientes de Bogolubov se pue-den obtener utilizando las ecuaciones (3.39) y (3.45)

αij = (ui, uj) , βij = − (ui, uj∗) . (3.47)

Es sencillo hallar también las siguientes relaciones

ai =∑(

αjiaj + β∗jia†j

), (3.48)

y

aj =∑(

α∗jiai − β∗jia†i

). (3.49)

Los coeficientes de Bogolubov tienen las siguientes propiedades

∑(αikα

∗jk − βikβ∗jk

)= δij , (3.50)

∑(αikβjk − βikαjk) = 0 . (3.51)

De la ecuación (3.48) se ve que los dos espacios de Hilbert que se obtienenutilizando los dos conjuntos de modos son distintos siempre que sea βji 6= 0.De hecho, el valor de expectación del operador Ni = a†iai para el número demodos ui en el estado |0〉 es

〈0|Ni |0〉 =∑j

|βji|2 , (3.52)

lo que dice que el vacío de los modos uj contiene∑j

|βji|2 partículas en el

modo ui.


3.2.2. Ecuación de ondas para un campo escalar no masivo

en un fondo gravitatorio de Schwarzschild

En la sección 3.2.3 se halla la cantidad de partículas que se producen porcolapso gravitatorio en un caso muy sencillo, considerando que las partícu-las están descriptas por campos escalares reales no masivos. En esta secciónse realiza un cálculo necesario para la sección siguiente y corresponde alestudio de la ecuación de ondas para este tipo de campo en un fondo gravi-tatorio de Schwarzschild.

La forma explícita de la métrica de Schwarzschild está dada por (3.3). Deallí se pueden hallar el tensor métrico covariante gµν y su forma contrava-riante. Se define

g.= det gµν = −r4 sin2 θ . (3.53)

La ecuación de Klein-Gordon (3.37) para un campo no masivo en esta mé-trica puede escribirse como

φ = gµν∇µ∇νφ = (−g)−1/2∂µ

[(−g)1/2

gµν∂νφ]

=1

r2 sin θ∂µ

[r2 sin θgµν∂νφ

]=

= −(1− rs

r

)−1∂20φ + 2

r

(1− rs

2r

)∂1φ +

(1− rs

r

)∂21φ− 1

r2 sin θ

[1

sin θ ∂22φ + ∂3 (sin θ∂3φ)

]Se propone la siguiente forma para el campo, dado que la métrica tiene si-metría esférica

φ (x) =∑l,m

φl (t, r)

rYlm (θ, ϕ) , (3.54)

y reemplazando en la ecuación de Klein-Gordon

φ =∑l,m

Ylm

−(1− rs

r

)−1 1r∂2

0φl +2r

(1− rs

2r

) (−φl

r2+ 1

r∂1φl

)+

+(1− rs

r

) (2φl

r3− 2

r2∂1φl +

1r∂2

1φl)− l(l+1)

r3φl

= 0 =⇒

=⇒

−(1− rs

r

)−1

∂20φl + 2

(1− rs

2r

)(−φl

r2+

1

r∂1φl

)+

+(1− rs

r

) (2φl

r2− 2

r∂1φl + ∂2

1φl)− l(l+1)

r2φl

= 0 =⇒

=⇒ ∂20φl + φl

(1− rsr )

r2

[rsr + l (l + 1)

]− ∂1φl

rs(1− rsr )

r2− ∂2

1φl(1− rs

r

)2 = 0


Se realiza un cambio a la coordenada de Regee-Wheeler dada por (3.11); setiene dr∗

dr=(1− 2M

r

)−1. Por lo tanto, la ecuación anterior se transforma en

−∂2φl∂t2

+∂2φl∂r∗2

−(1− rs

r

)[rsr3

+l (l + 1)

r2

]φl = 0 , (3.55)

con lo que finalmente resulta[− ∂2

∂t2+

∂2

∂r∗2− Vl (r)

]fl(t, r) = 0 , (3.56)

siendo

Vl(r) =(1− rs

r

)[ l (l + 1)

r2+rsr3

]. (3.57)

3.2.3. Creación de partículas

Considérese una esfera simétrica de materia en el espacio vacío. En la regiónexterior, la única solución con simetría esférica simétrica es la de Schwarzs-child, descripta por la métrica (3.3). Se sabe [25], que cuando la esfera se en-cuentre suficientemente compacta explotará para formar un agujero negro.La métrica exterior permanecerá inalterada por el colapso, pero los modosde cualquier campo propagándose a través del interior de la esfera seránafectados. Consecuentemente, se espera que haya creación de partículas 4.

Se asume que en el pasado la esfera se encontraba muy extendida de modoque el espacio-tiempo era aproximadamente plano. El estado de vacío es en-tonces el estado de vacío del espacio de Minkowski. Después del colapso, elespacio-tiempo tendrá la forma de Schwarzschild y en la región exterior, elvacío ya no corresponderá al vacío contruído en la región interior. Hallandola transformación de Bogolubov entre el estado de vacío entrante (|IN〉) yel estado de vacío en el espacio exterior de Schwarzschild (|OUT 〉) será po-sible calcular la cantidad de partículas que se crean debido al colapso.

Para simplificar el estudio del problema, se considera un campo escalar realno masivo. Se propone una solución para la ecuación de Klein-Gordon de la

4Lo inesperado es que el flujo de partículas no se detiene, a pesar de que a tiemposposteriores el agujero negro permanece en reposo.


forma

φ(x) =Rωl(r)

rYlm(θ, φ)e−iωt , (3.58)

y utilizando el desarrollo de la sección anterior, se obtiene para Rωl

d2Rωl

dr∗+[ω2 − Vl(r)

]Rωl = 0 . (3.59)

En la región asintótica r →∞, V ≈ 0 y la ecuación (3.59) tiene las solucionese±iωr, con lo que los modos quedan dados por

e−iωu

rYlm , (3.60)

y

e−iωv

rYlm , (3.61)

en término de las coordenadas nulas u y v definidas en (3.29) y (3.25) res-pectivamente. A causa del potencial Vl(r), las ondas entrantes (3.61) colisio-narán con el campo gravitatorio 5. Una parte podrá atravesar el potencialmientras otra parte se reflejará, por lo que se tendrá una superposición demodos entrantes y salientes. Como los efectos térmicos interesantes surgensólo de analizar lo que sucede cerca del horizonte, no resulta necesario (enuna primera aproximación) resolver (3.59) y puede por el momento despre-ciarse el potencial Vl 6. Las funciones radiales se reducen entonces a expo-nenciales ordinarias, y los modos se convierten en

Ylm(θ, φ)

(8π2ω)1/2 re−iωu , (3.62)

Ylm(θ, φ)

(8π2ω)1/2 re−iωv , (3.63)

que se reducen, para r grande, a los modos que se encuentran en espacioplano, donde

u = t− r∗ → t− r , v = t+ r∗ → t+ r . (3.64)

5Este fenómeno es conocido como backscattering.6Sin embargo, más adelante se verá cómo se pueden incluir estos efectos de backscatte-

ring, donde el campo escalar interactúa con la geometría del espacio-tiempo.


Figura 3.2: Creación de partículas. En la figura se muestra un agujero negro produci-do por una onda de choque en v = v0. El espacio-tiempo resultante se obtiene entonces”uniendo” una porción de espacio de Minkowski y una de Schwarzschild en v = v0. Estees el espacio-tiempo no estacionario más sencillo que permite que se creen partículas. En eltexto se denominan IN y OUT a las regiones de Minkowski y Schwarzschild, respectiva-mente.

Es posible demostrar [26] que cerca de vH = v0 − 2rs (ubicación del rayonulo que causará la formación del horizonte en uout = +∞ -ver figura 3.2-),y para u → −∞ y v fijo (región I− en la figura 3.2), las ondas salientes uoutω

en la región de Schwarzschild se comportan como

uoutω ≈ −Ylm(θ, φ)

(8π2ω)1/2 re−iω[vH−2rs ln( vH−v

2rs)] . (3.65)

Esto sucede debido a que las soluciones del potencial son ondas esféricasen la coordenada r∗ y no en la coordenada v, por lo que debe utilizarsela forma de la coordenada r∗ respecto de la r dada por la ecuación (3.11).Este último modo resulta ser una superposición de modos de frecuenciapositiva y negativa con respecto al tiempo inercial en la región I−. El vacío|in〉 ordinario se define con respecto a los modos (3.63). Los coeficientes de


Bogolubov que relacionan (3.63) y (3.65) están dados por

αωω′ =1

2π

v0∫−∞

dv(ω/ω′)(1/2)eiω′ve2irsω ln(v0−v) , (3.66)

y

βωω′ =1

2π

v0∫−∞

dv(ω/ω′)(1/2)e−iω′ve2irsω ln(v0−v) . (3.67)

El factor (ω′)−1/2 trae como consecuencia que la cantidad∫dω′ |βωω′|2 diverja

logarítmicamente. Por lo tanto, para v → +∞ y u fijo (región I+ en la figura3.2), hay un número infinito de partículas con frecuencia ω. Esta divergen-cia está asociada a la normalización de los modos continuos (3.62-3.65). Sinembargo, el flujo de partículas emitido a un tiempo dado es una cantidadfinita y puede calcularse, por ejemplo, confinando el sistema a una caja concondiciones de contorno periódicas para que los modos se discreticen [27].Utilizando la relación (3.50) adaptada a este caso

∑ω

(|αωω′|2 − |βωω′|2

)= 1 , (3.68)

y evaluando (3.66) y (3.66), se encuentra

|αωω′|2 = e8πGMω/c3 |βωω′|2 , (3.69)

con lo que el número de partículas por modo resulta

Nωlm =1

e8πGMω/c3, (3.70)

que coincide con una distribución de Planck de radiación térmica para bo-sones

1

e~ω/kBT − 1, (3.71)

con la temperatura dada por T = c38πkBGM

, con respecto al hamiltonianoque implementa la evolución temporal en el espacio de Schwarzschild. Deacuerdo a la relación entre el tiempo de Schwarzschild y el tiempo de Rind-ler dada por (3.18), se puede interpretar que el estado es término con res-pecto al hamiltoniano de Rindler con temperatura T = (2π)−1.

3.3. Correladores en espacio curvo

3.3. Correladores en espacio curvo

En la sección anterior se ilustró rápidamente cómo es que se obtiene el re-sultado de S. Hawking, referido a la radiación de partículas por un aguje-ro negro. Para ello se supuso que el potencial Vl se anulaba, con el fin desimplificar los cálculos. En general, los campos sentirán la geometría e inte-ractuarán con ella. Los modos que no tienen muy alta frecuencia como paracaer en un comienzo al agujero negro (que se denominan |UP 〉) son los queluego sienten el potencial Vl y hacen scattering, dando lugar a nuevos mo-dos que caen (|DOWN〉) y a los modos |OUT 〉 que ya han sido introducidos.Los modos que resultan relevantes para la radiación de Hawking son aque-llos de alta frecuencia que se encuentran entrelazados con los modos |INT 〉(que son los modos que caen al agujero negro a tiempos muy anteriores almomento en que caen los DOWN ).

El estado de vacío en el subespacio de momento angular definido puedeescribirse como

|0l1〉 =⊗ω

√1− e−8πMω

∞∑N=0

e−4πMNω |N,UP, ω〉 ⊗ |N, INT, ω〉 (3.72)

donde N es el número de ocupación y se ha realizado una discretizacióny normalización de los modos, cuyos detalles pueden seguirse en [26]. Lafunción radial correspodiente al modo UP se comporta como

RUPl (r∗, ω) ∼ eiωr

∗+ rl(ω)e−iωr

∗para r∗ → −∞ ,

(3.73)

RUPl (r∗, ω) ∼ tl(ω)eiωr

∗para r∗ → +∞ ,

donde rl(ω) y tl(ω) son las coeficientes de reflexión y transmisión de la ba-rrera de potencial, y cumplen

|rl(ω)|2 + |tl(ω)|2 = 1 . (3.74)

De acuerdo con (3.73), y como ya se ha comentado, los modos UP se des-


componen en los OUT y los DOWN

|N,UP 〉 =N∑p=0

(N

P

)1/2

tl(ω)prl(ω)N−p |p,OUT 〉⊗|N − p,DOWN〉 , (3.75)

y el espacio de Hilbert relevante para estudiar la radiación queda factoriza-do:H = HINT ⊗HUP = HINT ⊗HOUT ⊗HDOWN

En capítulos posteriores se comenta que es posible estudiar la informaciónmutua en la radiación de Hawking en forma más general. Para esto, seríanecesario contar con la forma explícita del correlador de los campos entrelas regiones entre los campos INT y OUT . La siguiente sección presenta elcálculo de este correlador para un campo escalar no masivo, y si bien el re-sultado no será utilizado explícitamente en desarrollos posteriores en estetrabajo, es útil contar con su forma explícita para futuras investigaciones.

3.3.1. Cálculo del correlador INT-OUT

Considérese un campo φ que cumple la ecuación (3.37) con m = 0, y sudescomposición en modos INT y OUT

φ(t, r) =

+∞∫0

dw∑l

aOUTwl uOUTwl (t, r) + aOUT †wl uOUT∗wl (t, r) , (3.76)

φ(t, r) =

+∞∫0

dw∑l

aINTwl uINTwl (t, r) + aINT †wl uINT∗wl (t, r) . (3.77)

Se desea hallar el siguiente correlador

⟨0l1∣∣φOUT (x)φINT (y)

∣∣ 0l1⟩ , (3.78)

donde x pertenece a la región asintótica I+, y pertenece a la región cercanadetrás del horizonte y el estado de vacío está dado por (3.72). Primero, severifica que el valor medio del campo en el estado de vacío es nulo

〈0l1 |φ(x)| 0l1〉 =

=+∞∫0

dw∑l

[⟨0l1∣∣aINTwl

∣∣ 0l1⟩uINTwl (t, r) +⟨0l1

∣∣∣aINT †wl

∣∣∣ 0l1⟩uINT∗wl (t, r)]

3.3. Correladores en espacio curvo ⟨0l1∣∣aINTwl

∣∣ 0l1⟩ =

=

⊗w′

∞∑N′=0

N′∑s′=0

∞∑N=0

N∑s=0

(1− e−8πMw′

)e−8πMN′w′

(N ′

s′

)1/2

t∗l1 (w′)N′−s′r∗l1 (w′)s′(Ns

)1/2

×

×tl1 (w′)N−srl1 (w′)s 〈N ′ − s′, OUT | |N − s,OUT 〉 δs,s′ 〈N ′, INT | aINTwl |N, INT 〉

=

=

⊗w′

∞∑N=0

N∑s=0

(1− e−8πMw′

)e−8πMN′w′

(Ns

) ∣∣tl1 (w′)∣∣2(N−s) ∣∣rl1 (w′)

∣∣2s 〈N, INT | aINTwl |N, INT 〉

=

=

⊗w′

∞∑N=0

N∑s=0

(1− e−8πMw′

)e−8πMN′w′

(Ns

)ΓN−s (1− Γ)s 〈N, INT | aINT

wl |N, INT 〉

=

=

⊗w′

∞∑N=0

N∑s=0

(1− e−8πMw′

)e−8πMN′w′

(Ns

)ΓN−s (1− Γ)s 〈N, INT,w| |N − 1, INT,w〉

=

=

⊗w′

∞∑N=0

N∑s=0

(1− e−8πMw′

)e−8πMN′w′

(Ns

)ΓN−s (1− Γ)s × 0

= 0

Entonces

〈0l1 |φ(x)| 0l1〉 = 0 , (3.79)

como era esperado.

Se procede a hallar el correlador de dos puntos

〈0l1 |φ(x)φ(y)| 0l1〉 =

=+∞∫0

dw+∞∫0

dw′∑

l,m

∑l′,m′

⟨0l1

∣∣∣[aOUTwl uOUT

wl (t, r) + aOUT†wl

uOUT∗wl (t, r)

] [aINT

w′l′ uINTw′l′ (t′, r′) + a

INT†w′l′ uINT∗

w′l′ (t′, r′)]∣∣∣ 0l1

⟩

Se desarrolla un poco más el producto interno

⟨0l1

∣∣∣∣∣[

aOUTwl uOUT

wl (t, r)aINTw′l′ u

INTw′l′ (t′, r′) + aOUT†

wl uOUT∗wl (t, r)aINT

w′l′ uINTw′l′ (t′, r′)+

+aOUTwl uOUT

wl (t, r)aINT†w′l′ uINT∗

w′l′ (t′, r′) + aOUT†wl uOUT∗

wl (t, r)aINT†w′l′ uINT∗

w′l′ (t′, r′)

]∣∣∣∣∣ 0l1

⟩=

=

⟨0l1

∣∣∣aOUTwl aINT

w′l′∣∣∣ 0l1

⟩uOUT

wl (t, r)uINTw′l′ (t′, r′) +

⟨0l1

∣∣∣aOUT†wl

aINTw′l′

∣∣∣ 0l1

⟩uOUT∗

wl (t, r)uINTw′l′ (t′, r′)+

+⟨0l1

∣∣∣aOUTwl a

INT†w′l′

∣∣∣ 0l1

⟩uOUT

wl (t, r)uINT∗w′l′ (t′, r′) +

⟨0l1

∣∣∣aOUT†wl

aINT†w′l′

∣∣∣ 0l1

⟩uOUT∗

wl (t, r)uINT∗w′l′ (t′, r′)

Tenemos que hallar cuatro valores medios similares. Calculamos el primerode ellos para ilustrar el procedimiento a seguir

+∞∫0

dw+∞∫0

dw′⟨0l1∣∣aOUTwl aINTw′l′

∣∣ 0l1⟩ =


=+∞∫0

dw+∞∫0

dw′

∞∑N=0

N∑s=0

∞∑N′=0

N′∑s′=0

⊗w′′

⊗w′′′

√1− e−8πMw′′e−4πMNw′′

(N

s

)1/2t∗l1

(w′′)N−sr∗l1(w′′)s×√

1− e−8πMw′′′e−4πMN′w′′′(

N′

s′

)1/2

tl1 (w′′′)N′−s′rl1 (w′′′)s′×

×⟨N − s, l1, w′′, OUT

∣∣ aOUTwl

∣∣N′ − s′, l1, w′′′, OUT⟩×

×⟨s, l1, w′′, DOWN|s′, l1, w′′′, DOWN

⟩ ⟨N, l1, w′′, INT

∣∣ aINTw′l′

∣∣N′, l1, w′′′, INT⟩

=

=+∞∫0

dw

∞∑N=0

N∑s=0

∞∑N′=0

N′∑s′=0

(1− e−8πMw

)e−4πMNw

(Ns

)1/2

t∗l1 (w)N−sr∗l1 (w)s×

×e−4πMN′w(N ′

s′

)1/2

tl1 (w)N′−s′rl1 (w)s′×

×〈N − s, l1, OUT | aOUTwl |N ′ − s′, l1OUT 〉×

×δs,s′ 〈N, l1, INT | aINTw′l′ |N

′, l1, INT 〉

=

=+∞∫0

dw

∞∑

N=0

N∑s=0

∞∑N′=0

N′∑s′=0

(1− e−8πMw

)e−4πMNw

(Ns

)1/2

t∗l1 (w)N−sr∗l1 (w)s×

×e−4πMN′w(N ′

s′

)1/2

tl1 (w)N′−s′rl1 (w)s′√N ′ − s′δN−s,N′−s′−1

√N ′δs,s′δN,N′

=

=+∞∫0

dwtl1(w)

1− e−8πMw

La contribución proveniente de considerar dos operadores de creación esla conjugada de esta y es sencillo ver que las otras dos (que mezclan unoperador de creación de modos IN con uno de destrucción de modos OUT ,uno de destrucción de modos IN con uno de creación de modos OUT ) seanulan. Por lo tanto, el correlador completo queda

〈0l |φ(x)φ(y)| 0l〉 =

+∞∫0

dωtl(ω)uOUTωl (x)uINTωl (y) + t∗l (ω)uINT∗ωl (x)uOUT∗ωl (y)

1− e−8πMω.

(3.80)Nótese que este correlador es proporcional al coeficiente de transmisión, conlo que si tl(w) se anula, el correlador también es cero, como es de esperar.

CAPÍTULO IV

Cálculo de entropía geométrica enespacio plano

”We are to admit no more causes of natural things than such as are bothtrue and sufficient to explain their appearances.”

Isaac NewtonPhilosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)

En el capítulo 1 se comentaron algunas motivaciones generales que existenpara estudiar la entropía de entrelazamiento en espacio de Minkowski. Enparticular, apuntando a estudiar la evaporación de Hawking de agujerosnegros, el cálculo de entropía en espacio plano resulta relevante dado que(como se ha visto en la sección 3.1.2) la geometría en el horizonte del agu-jero negro es prácticamente plana, así como también lo es en la región deradiación (lejos del agujero negro). Con este cálculo, se busca ver qué im-portancia tiene la geometría por sobre todos los otros efectos involucradosen el problema 1.

4.1. Campo de Dirac en 1+1

Habiéndose comentado la importancia de realizar cálculos en espacio planoes ahora natural preguntarse qué teoría de campos se debe utilizar. Las teo-rías cuánticas de campos libres suelen ser los modelos más simples con losque se cuenta para comenzar a estudiar un problema. Dada la dificultad delproblema (que usualmente reside en hallar el espectro de ciertos operado-res integrales), aún para el caso de campos libres, existen pocos resultadosexactos sobre la entropía de entrelazamiento.

1Lógicamente, un análisis completo involucraría realizar el cálculo con los correladoresen espacio curvo, como los hallados en la sección 3.3.1.

4. Cálculo de entropía geométrica en espacio plano

Otro aspecto a comentar es que aún no resulta clara la diferencia, en tér-minos de la entropía de entrelazamiento, entre las teorías de campos libresy las interactuantes. Por este motivo, el estudio de teorías libres podría po-ner en evidencia aspectos comunes a todas las teorías cuánticas de campos.En particular, el comportamiento ultravioleta que se evidencia en la ecua-ción (2.56) es uno de ellos.

Entre los modelos de campos libres más sencillos disponibles se encuen-tra el de campo de Dirac no masivo en 1+1 dimensiones2. Sin embargo, parasimular los efectos de backscattering que aparecen en los agujeros negros,tener un campo no masivo no es suficiente, dado que las componentes qui-rales se encuentran desacopladas. Por este motivo, se estudiará el campo deDirac masivo en 1+1 dimensiones. La ecuación de Dirac fue formulada porP. Dirac en 1928 y da una descripción de las partículas elementales de espín1/2, tales como el electrón. El campo de Dirac libre en dos dimensiones Ψ

satisface la ecuación

(iγµ∂µ −m)Ψ = 0 , (4.1)

y las relaciones de anticonmutación para tiempos iguales

Ψi(t, x),Ψ

†j(t′, y)∣∣∣

t=t′= δ(x− y)δi,j . (4.2)

Los campos pueden expandirse en las soluciones de ondas planas u y v dela ecuación de Dirac, que satisfacen (kµγ

µ−m)u(k) = 0 y (kµγµ+m)v(k) = 0

u(k) =kµγ

µ +m√2m(m+ E)

(1

0

),

(4.3)

v(k) =−kµγµ +m√2m(m+ E)

(0

1

),

obteniéndose

2El campo escalar no es un caso sencillo para estudiar dado que presenta divergenciasinfrarrojas en el límite de masa nula y además, como se comentó en la sección 2.2.3.1, losnúcleos involucrados suelen presentar singularidades más importantes que las de los fer-miones.


Ψ(x) =

∫dk

2π

m

k0

[b(k)u(k)e−ik·x + d†(k)v(k)eik·x

],

(4.4)

Ψ(y) =

∫dq

2π

m

q0

[b†(q)u(q)eiq·y + d(q)v(q)e−iq·y

],

donde se ha definido Ψ(y) = Ψ†(y)γ0 y γ0 es una de las dos matrices deDirac

γ0 =

(0 1

1 0

), γ1 =

(0 −1

1 0

), (4.5)

que satisfacen el álgebra

γµ, γν = 2gµν . (4.6)

Los operadores de creación y destrucción b†, d†, b y d satisfacen las siguientesreglas de anticonmutación en dos dimensiones

b(k), b†(q)

= 2π

k0

mδ(k − q) ,

(4.7)d(k), d†(q)

= 2π

k0

mδ(k − q) .

Algunas propiedades útiles de los espinores (4.3) son

u(k)u(k) = 1 ,

v(k)v(k) = −1 ,

u(k)v(k) = 0 ,

v(k)u(k) = 0 ,

y

u(k)⊗ u(k) =kµγ

µ +m

2m,

v(k)⊗ v(k) = −−kµγµ +m

2m.


4.1.1. Estructura del operador densidad

Ya se ha presentado en la sección 2.2.3.1 el formalismo de tiempo real, quepermite hallar el operador densidad reducido a una región V del espacio, apartir de las funciones de correlación para un conjunto discreto de operado-res bosónicos y fermiónicos. En esta sección se desea realizar un cálculo si-milar, pero considerando un sistema con un continuo de grados de libertad,por lo que para poder utilizar las ecuaciones halladas en la sección 2.2.3.1 senecesita discretizar el álgebra (4.2). Esto se puede realizar definiendo opera-dores de campo ”suavizados” a tiempo constante

ψn =

∫V

dxΨi(t = 0, x)αin(x) , (4.8)

siendo αn(x) una base ortonormal de funciones espinoriales en V∫V

dxα†n(x)αm(x) = δnm , (4.9)

y los operadores de campo discretos satisfacenψm, ψ

†n

= δmn. Ahora, los

resultados concernientes a fermiones en la sección 2.2.3.1, se aplican a esteconjunto discreto de operadores. El lenguaje de campos se recupera utili-zando la ecuación (4.8) y su inversa

Ψi(x) =∑n

αn†i (x)ψn . (4.10)

Posteriormente, en el desarrollo, se encontrarán relaciones análogas a lashalladas en la sección 2.2.3.1 para C,H y H , pero ahora refiriéndose al cam-po de Dirac.

Por sus propiedades de hermiticidad y positividad, cualquier operador den-sidad puede escribirse en la forma

ρV = c e−H , (4.11)

donde H es un operador hermítico que se suele denominar hamiltonianomodular y c una constante de normalización. La expresión para el operadordensidad reducido a una región del espacio ρV en término de los correlado-res de dos puntos para el campo de Dirac libre es análoga a la que se vio enla sección 2.2.3.1; el hamiltoniano modular H es cuadrático en los campos


dentro de la región V para respetar el Teorema de Wick

H =

∫V

ds1 ds2 Ψ†i (s1)Hij(s1, s2)Ψj(s2) ; H∗ji(s2, s1) = Hij(s1, s2) , (4.12)

donde se eligió s1, s2 como parámetros de longitud a lo largo de la curvaespacial V . Las relaciones de anticonmutación (4.2) para los campos expre-sados en términos del parámetro s se traducen a

Ψi(s1), Ψj(s2)

∣∣∣V

= δ(s1 − s2)δij , (4.13)

donde

Ψj(s) = Ψ†j(s)η(s) , η(s) = γ0γµηµ(s) , (4.14)

siendo ηµ(s) el versor normal a la curva V en el punto s. η(s) resulta hermí-tico y de módulo cuadrado igual a la unidad.

Si el correlador de dos puntos restringido a la región V es

Cij(s1, s2) = 〈0|Ψi(s1) Ψj(s2)† |0〉 , (4.15)

entonces, debe tenerse

tr(ρV Ψi(s1) Ψ†j(s2)

)= Cij(s1, s2). (4.16)

Teniendo en cuenta las expresiones (4.11) y (4.12) para el operador densidady el álgebra de los campos dada por (4.13), la ecuación (4.16) nos conduce ala siguiente relación entre el núcleo del hamiltoniano modular y el correla-dor

H(s1, s2) = −η(s1) ln[(C η)−1 − 1)

](s1, s2) . (4.17)

Redefiniendo algunas cantidades, todo esto puede resumirse en las siguien-tes ecuaciones

ρV = c e−H , H =

∫V

ds1 ds2 Ψ(s1)H(s1, s2)Ψ(s2) , (4.18)

con

H = − ln(C−1 − 1) , (4.19)


y

C(s1, s2) = 〈0|Ψ(s1) Ψ(s2) |0〉 = C(s1, s2)η(s2) . (4.20)

4.1.1.1. Causalidad

Una propiedad interesante, y que se utilizará ampliamente en cálculos pos-teriores, es la de que el operador densidad reducido es el mismo para dosregiones V y V ′ que tienen el mismo dominio de dependencia causal, comolas que se muestran en la Figura 4.1. Esto se debe a que la información en V ′

no puede escapar de estar también en V , dado que por la causalidad se pro-paga dentro de un cono de luz. Para mostrar esto, considérese la siguienteecuación

Ψi(x) =

∫V

ds

Ψi(x), Ψj(s)

Ψj(s) , (4.21)

que vale para cualquier punto x con el mismo dominio de dependencia cau-sal de V , siendo s la distancia sobre la curva V . Esta ecuación se desprendede la unicidad de la solución de la ecuación de Dirac y de (4.13). Se define

GV ′Vi,j (s1, s2) =

Ψi(s1), Ψj(s2)

, (4.22)

siendo Ψi(s1) un campo en V ′ y Ψj(s2) uno en V . Se tienen las siguientesidentidades

ΨV ′ = GV ′V ΨV , (4.23)

ΨV ′ = ΨV GV V ′ , (4.24)

CV ′V ′ = GV ′V CV V GV V ′ , (4.25)

donde

GV V ′ = ηV (GV ′V )†ηV′, (4.26)

y debe entenderse que se utilizó una notación operatorial, con lo que, porejemplo, ΨV ′ = GV ′V ΨV significa Ψi(s1) =

∫V ′ds2G

V ′Vi,j (s1, s2)Ψj(s2). Ahora,

considerando el anticonmutador en la superficie V ′

1V′=

ΨV ′ , ΨV ′

= GV ′V

ΨV , ΨVGV V ′ = GV ′V GV V ′ . (4.27)


Figura 4.1: Causalidad. Dos conjuntos espaciales V y V ′ en espacio de Minkowski dedos dimensiones que tienen el mismo dominio de dependencia causal. Los rayos de luz semuestran a ±45.

Por lo tanto, GV ′V y GV V ′ son uno el inverso del otro. Entonces, la ecuación(4.25) expresa una transformación de similaridad entre CV ′V ′ y CV V , por loque el hamiltoniano modular H, definido en las ecuaciones (4.18-4.20) nopuede cambiar al tomar otra curva con el mismo dominio de dependenciacausal. Esto indica que es posible utilizar cualquier superficie espacial conigual dominio de dependencia causal para hallar el operador densidad.

4.1.2. Cálculo del correlador de dos puntos

Ya se ha visto que es posible escribir el operador densidad reducido a una re-gión V como una función del correlador de dos puntos de los campos (4.18),(4.19), (4.20). Consecuentemente, cualquier función del operador densidadreducido (como por ejemplo la entropía) se puede escribir en términos delcorrelador de dos puntos; por ello es de crucial importancia conocer la for-ma que tiene C. Para el campo de Dirac en 1+1 dimensiones, el correladorde dos puntos C se escribe

C(x, y) = 〈0|Ψ(x)Ψ†(y) |0〉 . (4.28)

Para hacer este cálculo, se utiliza la expansión (4.4) y las relaciones que sa-tisfacen los operadores de creación y destrucción b†, d†, b y d en dos dimen-


siones, dadas en (4.7). Se obtiene

C(x, y) =

∫dk

2π

√k2 −m2γ0 − k · γ +m

2√k2 −m2

e−i√k2−m2(x0−y0)eik·(x−y) . (4.29)

Como se está trabajando en 1+1 dimensiones, k resulta simplemente k1 ≡ k.Teniendo en cuenta esto el correlador queda

C(x, y) =1

4∂µ[θ(x− y)2sgn(x0 − y0)

]γµγ0+

+m

2πK0(m|x− y|)γ0 − im

2πK1(m|x− y|)

(x− y)µ|x− y|

γµγ0, (4.30)

donde Ka es la función de Bessel Modificada de Segundo Tipo de Ordena. La contribución del primer término a C da 1/2 δ(s1 − s2) para cualquiersuperficie.

4.1.3. Campo no masivo

4.1.3.1. Separación en quiralidades

El caso no masivo puede estudiarse descomponiendo el problema en quira-lidades. En 1+1 dimensiones, el operador de quiralidad se define como

γ3 = γ0γ1 . (4.31)

El operador de quiralidad γ3 es hermítico y además (γ3)2 = 1. Los proyec-tores de quiralidad se definen a partir del operador de quiralidad como

Q± =(1± γ3)

2. (4.32)

Introduciendo las coordenadas nulas

u± = t± x , (4.33)

puede verse que la ecuación de Dirac (4.1) para campos con m = 0 se trans-forma en

∂u±Ψ∓ = 0 , (4.34)


siendo Ψ± = Q∓Ψ las componentes del campo que tienen quiralidad defi-nida. El campo de Dirac completo se escribe ahora como una suma de lascomponentes de quiralidad definida que sólo dependen de una de las coor-denadas nulas (4.33)

Ψ = Ψ+(u+) + Ψ−(u−) . (4.35)

Además, de (4.2), se desprenden las siguientes relaciones de anticonmuta-ción

Ψ±(u1

±),Ψ†±(u2±)

= δ(u1± − u2

±) , (4.36)Ψ±(u1

±),Ψ†∓(u2∓)

= 0 . (4.37)

La ecuación (4.30) da el correlador de dos puntos para el caso general. Paraobtener el correlador entre campos de masa nula hay que tomar el límitem → 0. El comportamiento de las funciones de Bessel K0(z) y K1(z) paraz << 1 es el siguiente

K0(z) = −ΓE + ln(2)− ln(z) +O[z2] , (4.38)

K1(z) =1

z+

1

4[−1 + 2ΓE − 2 ln(2) + 2 ln(z)] z +O

(z2), (4.39)

ΓE es la constante de Euler (ΓE ≈ 0,57721566). A orden cero en la masa, y envirtud de las expansiones (4.38) y (4.39), el correlador (4.30) queda

C0(x, y) =1

4∂µ[θ(x− y)2sgn(x0 − y0)

]γµγ0 − i

2π

(x− y)µ|x− y|2

γµγ0 , (4.40)

donde el subíndice cero en C se ha introducido para enfatizar que la expre-sión corresponde al caso de masa nula.

Utilizando la descomposición en quiralidades y el correlador (4.40), el gru-


po de ecuaciones (4.18-4.20) se transforma a

ρ = ρ(u+)⊗ ρ(u−) = c e−H+ ⊗ e−H− , (4.41)

H = H+ +H− , (4.42)

H± =

∫V±

du1± du

2±Ψ†±(u1

±)H±(u1±, u

2±)Ψ±(u2

±) , (4.43)

H± = − ln(D−1± − 1) . (4.44)

Figura 4.2: Coordenadas nulas. Se muestra un conjunto espacial V y sus proyeccionesV+ y V− sobre las coordenadas nulas.

Con V± se indican las proyecciones de V sobre los ejes u± (Figura 4.2), y D±es el siguiente núcleo escalar

D±(ux±, uy±) =

1

2δ(ux± − u

y±)− i

2π

1

(ux± − uy±). (4.45)

4.1.3.2. Autovectores y resolvente del núcleo D

Se mostró que en el caso no masivo, el problema de hallar el operador den-sidad reducido es equivalente a hallar el espectro del operador D definidoen (4.45). La resolvente para el núcleo (x− y)−1 se conoce para un conjuntode segmentos en el eje real [28].

Considérese un conjunto V formado por n intervalos disjuntos: V = (a1, b1)∪(a2, b2) ∪ ... ∪ (an, bn), donde los ai, bi indican las proyecciones de los ex-tremos de los intervalos sobre el eje x, y además se cumple que ai < bi y


bi < ai+1. Como al aumentar x, la coordenada u+ crece pero la u− disminu-ye, se adopta la siguiente convención para nombrar las proyecciones de losextremos sobre las coordenadas nulas. Para las proyecciones sobre el eje u+,a los puntos que en x se identifican con ai y bi, se los identifica en u+ conlos puntos a+

i y b+i , respectivamente. Para las proyecciones sobre el eje u−, alos puntos que en x se identifican con ai y bi, se los identifica en u− con lospuntos b−n−i+1 y a−n−i+1, respectivamente. En la Figura 4.3 se ilustra el uso dela notación para un conjunto formado por tres intervalos.

Figura 4.3: Proyecciones sobre coordenadas nulas. Se muestra un conjunto espacialV formado por tres curvas y sus proyecciones V+ y V− sobre las coordenadas nulas. Seidentifican los intervalos (a+

i , b+i ) y (a−i , b−i ) sobre los ejes u+ y u−. Nótese que como al

aumentar la coordenada x, la u− disminuye, debe tenerse especial cuidado al identificar lasproyecciones de los puntos sobre el eje u−.

Por simplicidad en la notación, en esta sección se utilizan las letras u y v

para referirnos a las coordenadas en alguno de los ejes nulos, y ai, bi indicanlos puntos a±i , b±i según corresponda. La resolvente de D

R0(β) = (D − 1/2 + β)−1 ≡(− i

2π

1

u− v+ β δ(u− v)

)−1

, (4.46)


tiene la siguiente forma [28].

R0(β) =(β2 − 1/4

)−1

(β δ(u− v) +

i

2π

e−i

2πln(β−1/2

β+1/2) (z(u)−z(v))

u− v

), (4.47)

donde

z(u) = ln

(−∏n

i=1(u− ai)∏ni=1(u− bi)

). (4.48)

En [29] se obtuvo además el espectro completo de (u−v)−1 en V . El operadortiene n autovectores degenerados∫

V

dv1

u− vΨks(v) = λsΨ

ks(u) , (4.49)

k = 1, .., n, correspondientes al autovalor

λs = iπ tanh(πs) (4.50)

para cada s ∈ <. Los autovectores se pueden elegir, de modo que formenuna base ortonormal, del siguiente modo

Ψks(u) =

ΘV (u)∏

i6=k(u− ai)

Nk (∏n

i=1 |u− ai||u− bi|)1/2

e−i s z(u) , (4.51)

siendo ΘV (x) una función que toma el valor (−1)j+1 en el j-ésimo intervalo(aj, bj). El factor de normalización es

Nk =√π

(n∑j=1

∏l 6=k(bj − al)

(bj − ak)∏

l 6=j(bj − bl)−∏

j 6=k(ak − aj)∏nj=1(ak − bj)

) 12

. (4.52)

4.1.3.3. Algunas relaciones útiles

En posteriores cálculos serán de suma utilidad algunas relaciones que pre-sentaremos en esta sección. De la ecuación (4.52), resulta

n∑i=1

N−2i =

∑ni=1(bi − ai)

2π=Lt2π

, (4.53)

donde Lt es la suma de las longitudes de los n intervalos. Los autovectores


(4.51) son ortonormales

∫V

duΨk∗s (u)Ψk′

s′ (u) = δk,k′ δ(s− s′) , (4.54)

y forman una base completa

n∑k=1

∫ ∞−∞

dsΨk∗s (u)Ψk

s(v) = δ(u− v) . (4.55)

También se tienen las siguientes relaciones útiles

∫V

duΨks(u) = (−1)n+1π sech(πs)N−1

k , (4.56)

Im∫V

du uΨks(u) = (−1)nsπ sech(πs)N−1

k Lt , (4.57)

n∑k=1

1

N2k (u− ak)

=1

2π(1 + e−z(u)) . (4.58)

Todas estas identidades pueden verificarse numéricamente y la mayor partede ellas puede demostrarse extendiendo las integración al plano complejo.

Si se define

Λ(s, k) =

∫V

dxΨks(x) , (4.59)

a partir de las relaciones (4.53) y (4.56), sale que

N∑k=1

|Λ(s, k)|2 =π

2sech2(πs)Lt . (4.60)

También serán de utilidad las siguientes ecuaciones válidas para x ∈ (al, bl)

n∏i=1

|x− ai| =n∏i=1

(x− ai) (−1)l+1 (−1)n+1 , (4.61)

n∏i=1

|x− bi| =n∏i=1

(x− bi) (−1)l+1 (−1)n . (4.62)


4.2. Cálculo de entropía para el campo de Dirac

La expresión para la entropía de von Neumann (2.15) que se obtiene a partirde las ecuaciones (4.18-4.20) es la siguiente

S(V ) = −tr[(1− C) ln(1− C) + C ln(C)

], (4.63)

que se puede escribir convenientemente en términos de la resolvente R =

(C − 1/2 + β)−1 como

S(V ) = −∫ ∞

1/2

dβ tr[(β − 1/2) (R(β)−R(−β))− 2β

β + 1/2

]. (4.64)

El hecho de conocer la resolvente para el caso no masivo, permite podercalcular la entropía en este caso. Además, se verá en la Sección 4.2.2, quees también posible calcular contribuciones a la entropía perturbativas en lamasa para el caso masivo.

4.2.1. Campo no masivo

4.2.1.1. Entropía del campo no masivo

Para el caso no masivo ya se conocen todos los ingredientes necesarios pararealizar el cálculo de la entropía. Se utiliza la descomposición en quiralida-des y la resolvente (4.47). Al aplicar la ecuación (4.64) el término proporcio-nal a la identidad se cancela con la contribución proporcional a la δ(u − v)en la resolvente. Así, para cada componente quiral se tiene

S(V ) = − 1

π

∫ ∞1/2

dβ

∫V

du lımv→u

sin[

12π

ln(β−1/2β+1/2

)(z(u)− z(v))

](β + 1/2) (u− v)

, (4.65)

aquí V indica la proyección del conjunto espacial sobre uno de los ejes nulos,mientras que las variables u y v representan la correspondiente coordenadanula. Es conveniente realizar primero la integración sobre β, para luego ob-tener


S(V ) =

∫V

du lımv→u

z(u)−z(v)2

coth((z(u)− z(v))/2)− 1

(u− v)(z(u)− z(v))= (4.66)

=1

12

∫V

du

n∑i=1

(1

u− ai− 1

u− bi

)

En esta última ecuación es necesario introducir un cutoff ε, para evitar quela integral diverja. Reemplazamos la integración entre cada intervalo (ai, bi)

por una en intervalos (ai + ε, bi − ε). Finalmente, resulta

S(V ) =16

∑i,j

ln |bi − ai| −∑i<j

ln |ai − aj | −∑i<j

ln |bi − bj | − n ln ε

. (4.67)

La contribución total para un conjunto V (incluído en una única línea espa-cial) a la entropía será el doble de la expresada en (4.67), debido a que haydos contribuciones iguales, una por cada quiralidad.

4.2.1.2. Información mutua del campo no masivo

El término divergente en la expresión (4.67) está asociado a la existencia debordes en la región V ; más precisamente, el entrelazamiento entre las regio-nes exteriores e interiores al conjunto V debido a la existencia de modos dealta frecuencia es no acotado en el borde de la región. Aún así, es posible en-contrar magnitudes físicas que sean independientes del cutoff introducido,sustrayendo apropiadamente las contribuciones divergentes. Una de estascantidades, como ya se ha mencionado, es la información mutua (2.58). Enefecto, considérense dos conjuntos espaciales disjuntos V y V ′. Para cadauno de ellos se tendrá

S(V ) =13

∑i,j

ln |bi − ai| −∑i<j

ln |ai − aj | −∑i<j

ln |bi − bj | − n ln ε

, (4.68)

S(V ′) =13

∑i,j

ln |b′i − a′i| −∑i<j

ln |a′i − a′j | −∑i<j

ln |b′i − b′j | − n ln ε

. (4.69)

Es claro que la entropía diverge logarítmicamente con el cutoff y en formaproporcional al número de intervalos. Por lo tanto, al considerar ahora la


entropía de V ∪ V ′ se tendrá algo de la forma

S(V ∪ V ′) =13

∑i,j

ln |b′′i − a′′i | −∑i<j

ln |a′′i − a′′j | −∑i<j

ln |b′′i − b′′j | − 2n ln ε

. (4.70)

y al restar esta contribución de la suma entre (4.68) y (4.69), el término pro-porcional a ln ε se cancela, quedando una contribución finita a la informa-ción mutua.

Es posible hallar la información mutua entre dos regiones disjuntas A y B

constituídas por segmentos coplanares [30]. Esto permite obtener en formageneral la información mutua del campo no masivo, sumando las contri-buciones por cada quiralidad. La información mutua para una quiralidadda

I(A,B) =1

6

∫A

∫B

duAduB1

(uA − uB)2 , (4.71)

lo que pone de manifiesto la independencia con el cutoff de la informaciónmutua, la extensividad, la propiedad de positividad y además, el hecho deque I(A,B) crece monótonamente con los conjuntos A y B.

4.2.2. Campo masivo

En [29] se estudia el caso del campo Dirac masivo, perturbativamente enla masa, para el caso de segmentos en una misma linea espacial, es decir,no alabeados (Figura 4.4). Para ello, se realiza una expansión perturbativadel correlador para masa pequeña, que para segmentos en la misma lineaespacial toma la siguiente forma

C(x, y) =1

2δ(x− y) +

m

2πK0(m|x− y|)γ0 +

im

2πK1(m(x− y))γ3 , (4.72)

y también de la resolvente. En este trabajo se extienden los procedimientospermitiendo realizar cálculos para conjuntos con orientaciones relativas ar-bitrarias.


Figura 4.4: Conjuntos paralelos y alabeados. Se muestran dos conjuntos, cada unoformado por dos segmentos. Uno de los conjuntos es planar mientras que el otro es alabeado.

4.2.2.1. Expansión perturbativa en la masa

El correlador de dos puntos para el caso general está dado por la ecuación(4.30). Se puede realizar un trabajo similar al que se mostró en la sección(4.1.3.1) para hallar el correlador entre campos de masa nula, pero ahoraquedándose a algún orden no nulo en la masa, es decir, escribir

C = C0 + C1 + C2 + ... . (4.73)

Teniendo en cuenta la expansión de las funciones de Bessel K0(z) y K1(z)

para z << 1, y quedándose a orden 2 en la masa, se obtienen los siguientestres términos

C0 =1

4∂µ[θ(x− y)2sgn(x0 − y0)

]γµγ0 − i

2π

(x− y)µ|x− y|2

γµγ0 , (4.74)

C1 = −m2π

[ΓE + ln

(m |x− y|

2

)]γ0 , (4.75)

C2 = −im2

4π

[ΓE −

1

2+ ln

(m |x− y|

2

)](x− y)µγµγ0 , (4.76)

el ya conocido correlador de orden cero (4.40), y los correladores a primer ysegundo orden en potencias de la masa.

También es posible expandir la resolvente RV (β) = 1C−1/2+β


RV (β)(x, y) = R0V (β)(x, y)−

∫dudvR0

V (β)(x, u)C1(u, v)R0V (β)(v, y) +

−∫dudvR0

V (β)(x, u)C2(u, v)R0V (β)(v, y) + (4.77)

+

∫dudvdwdzR0

V (β)(x, u)C1(u, v)R0V (β)(v, w)C1(w, z)R

0V (β)(z, y)− ...

La ecuación (4.77) se obtiene telescópicamente teniendo en cuenta el hechode que C = C0 + C1 + C2 + ... y la definición de la resolvente. Nótese queR0V (β) = 1

C−1/2+β, donde A representa al operador A sobre la variable de

distancia en la curva, multiplicado a derecha por η. El primer sumando dela ecuación (4.77) da la contribución no masiva a la entropía (4.68), mientrasque el segundo es de primer orden en la masa y no contribuye ya que tienetraza nula (dado que es proporcional a la matriz de Dirac γ0 que tiene trazanula).

La expresión (4.64) para la entropía adquiere ahora la siguiente expansiónen términos de la masa

S =∞∑i=0

2i∑j=0

si,jm2i logj (m) . (4.78)

Se considera la siguiente representación (quiral) para las matrices de Dirac:

γ0 =

(0 1

1 0

), γ1 =

(0 −1

1 0

)=⇒ γ3 = γ0γ1 =

(1 0

0 −1

). (4.79)

En esta representación, la resolvente para m = 0 viene dada por una matrizdiagonal

R0V (β) =

(R0V −(β) 0

0 R0V +(β)

), (4.80)

siendo R0V ± la resolvente del núcleo D dada por la ecuación (4.47)

R0V ± =

(β2 − 1

4

)−1βδ(u1

± − u2±)− i

2π

ei

2πln(β−1/2

β+1/2)[z(u1±)−z(u2

±)]

u1± − u2

±

. (4.81)


Resulta útil expresar R0V −(β) y R0

V +(β) en términos de los autovectores de(u1± − u2

±)−1

R0V ±(β)(u1

±, u2±) =

n±∑k±=1

+∞∫−∞

dsΨk±s (u1

±)m(β, s)Ψk±∗s (u2

±) (4.82)

siendo m(β, s) =[β − 1

2tgh(πs)

]−1.

4.2.2.2. Un teorema para la traza de productos de operadores

Posteriormente, se verá que para realizar los cálculos de entropía, será ne-cesario resolver integrales de la forma

∫dsds′tr

[A (s, s′) B (s′, s)

]. En esta

sección, se mostrará que estas integrales siempre se pueden poner en tér-mino de integrales sobre las coordenadas nulas, con vistas a trabajar con laexpansión alrededor de m = 0 (donde al utilizar la representación quiral elproblema se diagonalizaba en las coordenadas nulas).

La cantidad η(s) fue definida en la Sección 4.1.1 como

η(s) = γ0γµηµ(s) , (4.83)

siendo ηµ = (coshα, sinhα) un vector normal a la superficie considerada.Es posible entonces escribir

dxµ = (sinhα, coshα) ds , (4.84)

y el tensor métrico resulta

gµν =

(1 0

0 −1

). (4.85)

La componente covariante del vector normal es entonces:

ηµ = (coshα,− sinhα) (4.86)

y se manifiesta claramente la ortogonalidad a la superficie: dxµηµ = 0.

Las coordenadas nulas u± fueron definidas en (4.33) y en términos de ladistancia sobre la curva se puede poner entonces


du+ = (sinhα+ coshα) ds = eαds

du− = (sinhα− coshα) ds = −e−αds(4.87)

Así, se puede poner η =

(e−α 0

0 eα

)

Teniendo en cuenta esto, se calcula

∫dsds′tr

[A (s, s′) B (s′, s)

]=∫dsds′tr [ A (s, s′) η (s′)B (s′, s) η (s)] =

=∫dsds′tr

[(e−αA11 (s, s′) eαA12 (s, s′)

e−αA21 (s, s′) eαA22 (s, s′)

)(e−βB11 (s′, s) eβB12 (s′, s)

e−βB21 (s′, s) eβB22 (s′, s)

)]=

=∫dsds′

e−αe−βA11 (s, s′)B11 (s′, s) + eαe−βA12 (s, s′)B21 (s′, s) +

+e−αeβA21 (s, s′)B12 (s′, s) + eαeβA22 (s, s′)B22 (s′, s)

=

=∫du−du

′−A11

(u−, u

′−)B11

(u′−, u−

)−∫du+du

′−A12

(u+, u

′−)B21

(u′−, u+

)+

−∫du−du

′+A21

(u−, u

′+

)B12

(u′+, u−

)+∫du+du

′+A22

(u+, u

′+

)B22

(u′+, u+

)=

=∑i,j=1,2

∫Vi

dui

∫Vj

du′jAij(ui, u

′j

)Bji

(u′j, ui

)(4.88)

Por lo tanto

∫dsds′tr

[A (s, s′) B (s′, s)

]=∑i,j=1,2

∫Vi

dui

∫Vj

du′jAij(ui, u

′j

)Bji

(u′j, ui

),

(4.89)

que es precisamente la relación que se buscaba. Ahora Vi indica la proyec-ción sobre el eje i (i = 1 = −, i = 2 = +) y la integración se hace entoncesen orden creciente en las coordenadas u±; esto permite cambiar los signos−por + para poner todo como una suma en (4.88). En general, se tiene:


∫ds1ds2...dsntr

[A1 (s1, s2) A

2 (s2, s3) ...An (sn, s1)

]= (4.90)∑

i1,i2,...,in=1,2

∫Vi1

dui1

∫Vi2

dui2 ...

∫Vin

duinA1i1i2

(ui1 , ui2)A2i2i3

(ui2 , ui3) ...Anini1

(uin , ui1)

4.2.2.3. Cálculo de entropía para conjuntos alabeados

La expresión (4.78) da las contribuciones perturbativas a la entropía, a partirde la expansión de la resolvente (4.77). Ya se ha calculado la contribución aorden cero en la masa y se ha comentado que a orden uno la contribución esnula. En esta sección se ilustrará cómo hallar las contribuciones dominan-tes a orden dos en la masa, es decir, aquellas proporcionales a m2 ln2(m) ym2 ln(m). Se llama a estos términos δS2,2 y δS2,1 respectivamente; los subín-dices i, j indican la potencia en mi lnj(m).

Contribución proporcional a m2 ln2(m)

Esta es la contribución más importante a segundo orden en la masa y pro-viene del cuarto sumando en (4.77), por lo que sólo interesa la siguienteparte de C1

−m2π

ln(m) γ0 (4.91)

La contribución completa es

δS2,2 = −m2

4π2ln2(m)

+∞∫1/2

dβ (β − 1/2) tr

[R0V (β)γ0ηR0

V (β)γ0ηR0V (β)+

−R0V (−β)γ0ηR0

V (−β)γ0ηR0V (−β)

].

(4.92)

Se trabaja primero con el cálculo de la traza. Por la relación (4.90) todo sepuede poner en término de integrales sobre las coordenadas nulas elimi-nando la multiplicación por η al lado de cada operador. Además, teniendoen cuenta la forma (4.80) de la resolvente y la representación quiral de γ0


queda

∫V −dx∫V −dy∫V +

du∫V +

dwR0V −(β)2(x, y)R0

V +(β)(u,w)+

+∫V +

dx∫V +

dy∫V −du∫V −dwR0

V +(β)2(x, y)R0V −(β)(u,w) .

(4.93)

En términos de Λ(β, s), definido en (4.59), esta expresión se transforma en

n,n′,n′′∑k,k′,k′′=1

+∞∫−∞

dsds′ds′′m(β, s)m(β, s′)m(β, s′′)δkk′′δ(s− s′′) |Λ−(β, s′)|2 |Λ+(β, s′′)|2 +

+n,n′,n′′∑k,k′,k′′=1

+∞∫−∞

dsds′ds′′m(β, s)m(β, s′)m(β, s′′)δkk′′δ(s− s′′) |Λ+(β, s′)|2 |Λ−(β, s′′)|2 .

(4.94)

Utilizando la propiedad (4.60) y la expresión explícita de m(β, s), definidaen (4.82), queda

(π2

)2

2L−t L+t

+∞∫−∞

dssech2(πs)[

β − 12tgh(πs)

]2+∞∫−∞

ds′sech2(πs′)

β − 12tgh(πs′)

, (4.95)

donde ahora L+ y L− son las sumas de las longitudes de las proyeccionesde los conjuntos sobre los ejes nulos u+ y u− respectivamente. Reinsertandola integración en β y resolviendo también las integrales en s y s′ se obtiene

δS2,2 = −m2

6ln2(m)L−t L

+t (4.96)

Este término da una contribución extensiva para la información mutua.

Contribución proporcional a m2 ln(m)

La contribución δS2,1 es la que sigue en importancia a δS2,2 a segundo ordenen la masa. Para realizar los cálculos en forma más ordenada, identificamosde qué parte del correlador proviene la contribución y la dividimos en

δS2,2 = ∆1 + ∆2 + ∆3 , (4.97)

donde ∆1 es la contribución de C1 que proviene de la parte constante, ∆2 la


proveniente de C2 y ∆3 involucra la parte ln |x− y| de C1. Es decir

∆1 −→ −m2

2π2(ΓE − ln 2) ln(m)

+∞∫1/2

dβ (β − 1/2) tr[(

R0)2

γ0ηR0γ0η − (β ←→ −β)]

,

(4.98)

∆2 −→ −im2

4πln(m)

+∞∫1/2

dβ (β − 1/2) tr[(

R0)2

(x− y)µ γµγ0η − (β ←→ −β)

],

(4.99)

∆3 −→ −m2

2π2ln(m)

+∞∫1/2

dβ (β − 1/2) tr[(

R0)2

γ0ηR0γ0 ln |x− y| η − (β ←→ −β)]

.

(4.100)

Contribución ∆1

El cálculo de esta contribución es muy similar al de δS2,1 por lo quesólo se esquematiza en pocos pasos cómo hallar el resultado

∆1 = −m2

2π2 [ΓE − ln(2)] ln(m)+∞∫1/2

dβ (β − 1/2) tr[R0 (β)2 γ0ηR0 (β) γ0η

]=

= −m2

2π2 [ΓE − ln(2)] ln(m)+∞∫1/2

dβ (β − 1/2)×

×

∫V+

dx∫V+

dy∫V−

dz∫V−

duR0V −(β)2 (x, y)R0

V +(β) (z, u) +

+∫V−

dx∫V−

dy∫V+

dz∫V+

duR0V +(β)2 (x, y)R0

V − (β) (z, u)

Las integrales dan

∫V+

dx∫V+

dy∫V−

dz∫V−

duR0V +(β)2 (x, y)R0

V −(β) (z, u) +

+∫V−

dx∫V−

dy∫V+

dz∫V+

duR0V −(β)2 (x, y)R0

V + (β) (z, u) =


=n,n′,n′′∑

k,k′,k′′=1

+∞∫−∞

dsds′ds′′m(β, s)m(β, s′)m(β, s′′)δkk′′δ(s− s′′) |Λ+(β, s′)Λ−(β, s′′)|2 +

+n,n′,n′′∑

k,k′,k′′=1

+∞∫−∞

dsds′ds′′m(β, s)m(β, s′)m(β, s′′)δkk′′δ(s− s′′) |Λ−(β, s′)Λ+(β, s′′)|2 =

=(π2

)2 (L+t L−t + L+

t L−t

) +∞∫−∞dsds′m(β, s)2m(β, s′)sech2(πs)sech2(πs′) =

= π2

2L−t L

+t

+∞∫−∞ds sech2(πs)

[β− 12

tgh(πs)]2

+∞∫−∞ds′ sech2(πs′)

β− 12

tgh(πs′)

Entonces

∆1 = − [ΓE − ln(2)]

3m2L−t L

+t ln(m) , (4.101)

que es explícitamente invariante de Lorentz y se reduce a la fórmulahallada en [29] cuando se consideran conjuntos planares.

Contribución ∆2

El cálculo de la contribución ∆2 es un poco más complicado que losanteriores. Esto es debido a la dependencia explícita en las coordena-das que introduce la parte relevante del correlador para este cálculo,es decir, el término proporcional a (x − y)µ. Se comienza resolviendoprimero la parte de la traza, pasando todo a integrales en término delas coordenadas nulas

∆2 = − im2

2π ln(m)+∞∫1/2

dβ (β − 1/2) tr[(

R0)2

(x− y)µ γµγ0η − (β −→ −β)

]=

= − im2

2π ln(m)+∞∫1/2

dβ (β − 1/2)×

×

∫V−

dux−duy−(ux+ − uy+

) (R0V −

)2 (β)(uy−, ux−

)+

+∫V+

dux+duy+(ux− − uy−

) (R0V +

)2 (β)(uy+, ux+

)− (β −→ −β)

La parte de las integrales queda


∫V−

dux−duy−(ux+ − uy+

)×

×

[n−∑k−=1

n−∑k′−=1

+∞∫−∞

ds+∞∫−∞

ds′Ψk−s (uy−)m(β, s)δk−k′−δ (s− s′) m(β, s′)Ψ

k′−∗s′ (ux−)

]+

+∫V+

dux+duy+(ux− − uy−

)×

×

[n+∑k+=1

n+∑k′+=1

+∞∫−∞

ds+∞∫−∞

ds′Ψk+s (uy+)m(β, s)δk+k′+δ (s− s′) m(β, s′)Ψ

k′+∗s′ (ux+)

]=

=∫V−

dux−duy−(ux+ − u

y+

) [ n−∑k−=1

+∞∫−∞dsΨk−

s (uy−) [m(β, s)]2 Ψk−∗s (ux−)

]+

+∫V+

dux+duy+

(ux− − u

y−) [ n+∑

k+=1

+∞∫−∞dsΨk+

s (uy+) [m(β, s)]2 Ψk+∗s (ux+)

]

Resulta conveniente utilizar la forma explícita de los autovectores (4.51)y las relaciones (4.61) y (4.62). También se utiliza la definición de z da-da en (4.48). Se trabaja en forma ilustrativa con el primer sumando dela última ecuación (la otra parte se resuelve en forma análoga)

∫V−


y+

) [ n−∑k−=1

+∞∫−∞dsΨk−

s (uy−) [m(β, s)]2 Ψk−∗s (ux−)

]=

=∫

V−

dux−du

y−

(ux+ − u

y+

) n−∑k−=1

(−1)n+1(−1)l+1Ψk−s (u

y−)θV (ux

−)n−∏i=1

√√√√−

(ux−−a

−i

)(

ux−−b

−i

)Nk−

(ux−−a−

k−

) +∞∫−∞

ds eisz(ux

−)

[β− 12 tgh(πs)]2

=

=∫

V−

dux−du

y−

(ux+ − u

y+

) n−∑k−=1

Ψk−s (uy

−)θV

(ux−

)(−1)n+1 (−1)l+1 e

z(ux−)

2

Nk−

(ux− − a

−k−

) +∞∫−∞

ds eisz(ux

−)

[β− 12 tgh(πs)]2

Reinsertando la integración en β y restando la resolvente en −β, estaparte contribuye a ∆2 como

∆(1)2 = − im2

2π ln(m)+∞∫1/2

dβ (β − 1/2)∫V−

dux−duy

−(ux

+ − uy+

)×

×

n−∑

k−=1

Ψk−s (uy

−)θV (ux

−)(−1)n+1(−1)l+1e

z(ux−)

2

Nk−

(ux−−a−k−

) +∞∫−∞

dseisz(ux−)×

×

1

[β− 12 tgh(πs)]2

− 1

[−β− 12 tgh(πs)]2

(f(m) =− im2

2π ln(m)

)=

= f (m)∫V−

dux−duy

−(ux

+ − uy+

)×


×

n−∑k−=1

Ψk−s (uy

−)(−1)n+1(−1)l+1θV (ux

−)e

z(ux−)

2

Nk−

(ux−−a−k−

) +∞∫−∞

ds.eis[z(ux−)−z(uy

−)]+∞∫1/2

dβ (β − 1/2)

=

= f (m)∫V−


y+

)×

×

n−∑k−=1

Ψk−s (uy−)

(−1)n+1(−1)l+1θV (ux−)e

z(ux−)

2

Nk−

(ux−−a

−k−

) +∞∫−∞ds.eisz(u

x−)×

×+∞∫1/2

dβ (β − 1/2)

1

[β− 12

tgh(πs)]2 − 1

[−β− 12

tgh(πs)]2

=

La integración en β se resuelve y se obtiene 2πs. Ahora se ve que

∫V−

dux−duy

−(ux

+ − uy+

) n−∑k−=1

Ψk−s (uy

−)θV (ux

−)e

z(ux−)

2

Nk−

(ux−−a−k−

) +∞∫−∞

ds.eisz(ux−) (2πs)

=

=

2π2 (−1)n+1 ∫V−

dux−u

x+

+∞∫−∞

dsn−∑

k−=1

θV (ux−)e

z(ux−)

2

N2k−

(ux−−a−

k−

) sech (πs) eisz(ux−)s

+

−2π2 (−1)n+1 ∫V−

duy−u

y+

+∞∫−∞

dsn−∑

k−=1

θV

(u

y−

)e

z(

uy−

)2

N2k−

(u

y−−a−

k−

) sech (πs) e−isz

(u

y−

)s

=

=

iπ2 (−1)n ∫

V−

dux−ux

+θV

(ux−)e

z(ux−)

2

(1 + e−z(ux

−))

sech(

z2

)tgh

(z2

)+

+ iπ2 (−1)n ∫

V−

duy−uy

+θV

(uy−)e

z(uy−)

2

(1 + e−z(uy

−))

sech(

z2

)tgh

(z2

) =

= 2iπ (−1)n∫V−

du−u+θV (u−) tgh(z2

)=

= 2iπ (−1)n∫V−

du−u+ (−1)l+1 (−1)n+1 (u−) tgh(

12ln[−

∏(u−−ai)∏(u−−bi)

])=

= 2iπ (−1)l∫V−

du−u+ (u−)

√−

∏(u−−ai)∏(u−−bi)−

√−

∏(u−−bi)∏(u−−ai)√

−∏

(u−−ai)∏(u−−bi) +

√−

∏(u−−bi)∏(u−−ai)

=

= −2iπ (−1)l∫V−

du−u+ (u−)∏

(u−−ai−)+

∏(u−−bi−)∏

(u−−ai−)−

∏(u−−bi−)


La contribución total ahora queda expresada sólo como una integralunidimensional

∆2 = −m2

2ln(m)

∫V−

du−u+ (u−)∏

(u−−ai−)+

∏(u−−bi−)∏

(u−−ai−)−

∏(u−−bi−)

+

+∫V+

du+u− (u+)∏

(u+−ai+)+

∏(u+−bi+)∏

(u+−ai+)−

∏(u+−bi+)

, (4.102)

y el cálculo explícito puede realizarse si se tiene la relación entre lasvariables u+ y u−. Por ejemplo, si la curva es un segmento recto, larelación entre u+ y u− está dada por

u+(u−) =an−l+1

+ − bn−l+1+

bl− − al−u− +

bn−l+1+ bl− − an−l+1

+ al−bl− − al−

(4.103)

y la contribución (4.102) se reduce a

∆2 = −m2

2 ln(m)×

×

n∑

l=1

∫I−l

du−

(an−l+1+ −bn−l+1

+

bl−−al

−u− +

bn−l+1+ bl

−−an−l+1+ al

−bl−−al

−

) ∏(u−−ai−)+∏(u−−bi

−)∏(u−−ai−)−∏(u−−bi

−)+

+n∑

l=1

∫I+

l

du+

(an−l+1− −bn−l+1

−bl+−al

+u+ +

bn−l+1− bl

+−an−l+1− al

+

bl−−al

−

) ∏(u+−ai+)+∏(u+−bi

+)∏(u+−ai+)−∏(u+−bi

+)

(4.104)

Para el caso coplanar, se obtiene

∆2 = −1

6L2tm

2 ln(m) , (4.105)

siendo Lt la longitud total de los segmentos. Esta fórmula coincidecon la hallada en [29] para segmentos no alabeados y además da unacontribución extensiva a la entropía. Sin embargo, se verifica que en elcaso alabeado se rompe la extensividad de este término.

Contribución ∆3

Al igual que para el cálculo de ∆2, se comienza resolviendo la partede la traza, pasando todo a integrales en las coordenadas nulas. Para


ello, debe escribirse |x− y| también en coordenadas nulas

|x− y|2 =(ux+ − u

y+

) (ux− − u

y−). (4.106)

Así

∆3 = −m2

2π2 ln(m)+∞∫1/2

dβ (β − 1/2) tr[(

R0)2

γ0ηR0γ0 ln |x− y| η − (β ←→ −β)]

=

= −m2

2π2 ln(m)+∞∫1/2

dβ (β − 1/2)×

×tr

(

RV −0(β)2 00 R0

V +(β)2

)γ0

(R0

V −(β) 00 R0

V +(β)

)γ0 ln |x− y|+

− (β ←→ −β)

=

= −m2

2π2 ln(m)+∞∫1/2

dβ (β − 1/2)×

×tr

(

R0V −(β)2R0

V +(β) 00 R0

V +(β)2R0V −(β)

)12 ln

[(ux

+ − uy+

) (ux− − uy

−)]

+

− (β ←→ −β)

=

= − m2

4π2 ln(m)+∞∫1/2

dβ (β − 1/2)×

×

∫duy

−duw−du

v+du

x+R

0V− (β)2

(uy−, u

w−

)R0

V + (β)(uv+, u

x+

)ln

(ux+ − u

y+

)+

+∫duy

−duw−du

v+du

x+R

0V− (β)2

(uy−, u

w−

)R0

V + (β)(uv+, u

x+

)ln

(ux− − u

y−

)+

+∫duy

+duw+du

v−du

x−R

0V + (β)2

(uy+, u

w+

)R0

V− (β)(uv−, u

x−

)ln

(ux+ − u

y+

)+

+∫duy

+duw+du

v−du

x−R

0V + (β)2

(uy+, u

w+

)R0

V− (β)(uv−, u

x−

)ln

(ux− − u

y−

)

+

− (β ←→ −β)

Se ve que quedan cuatro integrales que tienen la misma forma, por loque sólo trabajamos la primera de ellas

∫duy−duw−duv+dux+

(R0V −)2 (β)

(uy−, uw−

) (R0V +

)(β)(uv+, ux+

)ln(ux+ − uy+

).

(4.107)

Utilizando la expansión de la resolvente en término de los autovecto-res (4.82), la integral anterior queda


π2∫duy−

n−∑k−=1

∫dsΨk−

s (uy−) [m (β, s)]2 sech (πs)N−1k−

×

×

[∫dux+

n−∑k′′−=1

∫ds′′sech (πs′′)N−1

k′′+m (β, s′′) Ψ

k′′−∗s′′

(ux+)ln(ux+ − u

y+

)]=

=∫duy−

cosh

[z(uy

−)2

] ∫ds sech(πs)e

−isz(uy−)

[β− 12

tgh(πs)]2

×

×[∫

dux+cosh[z(ux

+)2

] ∫ds′′ sech(πs′′)e

is′′z(ux+)

β− 12

tgh(πs′′)ln(ux+ − u

y+

)]Se debe tener especial cuidado con la evaluación de estas integrales yaque el resultado depende del signo que tenga β. Se tiene

∫

dsSech (πs) e−isz[β − 1

2 tgh (πs)]2 =

4π

sgn (β)(

β + 1/2β − 1/2

)−iz/2π 2βπ − iz

(4β2 − 1)3/2Sech

(z

2

)(4.108)

∫

dsSech (πs) eisz

β − 12 tgh (πs)

= −2(

1− 1β + 1/2

)(π−iz)/2π 11− 2β

Sech(z

2

)(4.109)

Ahora, es conveniente reinsertar la integración en β y restar la contri-bución para β → −β. Haciendo además el siguiente cambio de varia-bles

t = ln

(β + 1

2

β − 12

), dt = − dβ

β2 − 1/4, (4.110)

queda

12π

+∞∫0

dt

∫duy−

∫dux+e

−itz(u

y−)

2π2βπ−iz(uy

−)(β2−1/4)1/2 e

−πt+itz(ux+)

2π ln(ux+ − u

y+

)+

−∫duy−

∫dux+e

itz(uy−)

2π2βπ+iz(uy

−)(β2−1/4)1/2 e

πt−itz(ux+)

2π e−t ln(ux+ − u

y+

) =


= − 1π

+∞∫0

dt

∫

duy−∫

dux+e−

itz(uy−)

2πctgh(t/2)π−iz(uy

−)(ctgh2(t/2)−1)1/2 e

−πt+itz(ux+)

2π ln(ux

+ − uy+

)+

−∫

duy−∫

dux+e

itz(uy−)

2πctgh(t/2)π+iz(uy

−)(ctgh2(t/2)−1)1/2 e

πt−itz(ux+)

2π e−t ln(ux

+ − uy+

) =

= 1π

∫duy−

∫dux+ ln

(ux+ − u

y+

)×

×Re+∞∫0

dt

e−

it[z(uy−)−z(ux

+)]2π [π + πe−t − iz (uy−) + iz (uy−) e−t]

=

La parte real de las integrales que hay que resolver se puede hallarsencillamente

Re

+∞∫0

dtπe−it[z(u

y−)−z(ux

+)]2π = 2π3δ

([z (uy−)− z

(ux+)])

(4.111)

Re

+∞∫0

dtπe−it[z(u

y−)−z(ux

+)]2π e−t =

π

1 +[z(uy

−)−z(ux+)]

2

4π2

(4.112)

Re

−+∞∫0

dte−it[z(u

y−)−z(ux

+)]2π iz (uy−)

= − 2πz (uy−)

[z (uy−)− z (ux+)](4.113)

Re

+∞∫0

dte−it[z(u

y−)−z(ux

+)]2π iz (uy−) e−t =

z (uy−)

2π

[z (uy−)− z

(ux+)]

1 +[z(uy

−)−z(ux+)]

2

4π2

(4.114)

Ahora debe realizarse lo mismo para las otras tres integrales simila-res a (4.107) (o reemplazar conveniente las variables adecuadas en elresultado, dado que la forma de las cuatro integrales es la misma).Luego, la contribución total queda


∆3 = − m2

4π2 ln(m)×

×

∫duy

−∫dux

+ ln(ux+ − u

y+

)

2π2δ(z

(uy−

)− z

(ux+

))+ 1

1+

[z

(u

y−

)−z

(ux+

)]24π2

+

−2z

(u

y−

)[z(

uy−

)−z

(ux+

)] +z(

uy−

)2π2

[z(

uy−

)−z(ux

+)]

1+

[z

(u

y−

)−z

(ux+

)]24π2

+

+∫duy

−∫dux

+ ln(ux− − u

y−

)

2π2δ(z

(uy−

)− z

(ux+

))+ 1

1+

[z

(u

y−

)−z

(ux+

)]24π2

+

−2z

(u

y−

)[z(

uy−

)−z

(ux+

)] +z(

uy−

)2π2

[z(

uy−

)−z(ux

+)]

1+

[z

(u

y−

)−z

(ux+

)]24π2

+

+∫duy

+

∫dux

− ln(ux+ − u

y+

)

2π2δ(z

(uy+

)− z

(ux−

))+ 1

1+

[z

(u

y+

)−z

(ux−

)]24π2

+

−2z

(u

y+

)[z(

uy+

)−z

(ux−

)] +z(

uy+

)2π2

[z(

uy+

)−z(ux

−)]

1+

[z

(u

y+

)−z

(ux−

)]24π2

+

+∫duy

+

∫dux

− ln(ux− − u

y−

)

2π2δ(z

(uy+

)− z

(ux−

))+ 1

1+

[z

(u

y+

)−z

(ux−

)]24π2

+

−2z

(u

y+

)[z(

uy+

)−z

(ux−

)] +z(

uy+

)2π2

[z(

uy+

)−z(ux

−)]

1+

[z

(u

y+

)−z

(ux−

)]24π2

= − m2

2π2 ln(m)×

×

∫duy

−∫dux

+ ln |x− y|

2π2δ

(z

(uy−

)− z

(ux+

))+ 1

1+

[z

(u

y−

)−z

(ux+

)]24π2

+

−2πz

(u

y−

)[z(

uy−

)−z

(ux+

)] +z(

uy−

)2π2

[z(

uy−

)−z(ux

+)]

1+

[z

(u

y−

)−z

(ux+

)]24π2

+

+∫duy

+

∫dux

− ln |x− y|

2π2δ

(z

(uy+

)− z

(ux−

))+ 1

1+

[z

(u

y+

)−z

(ux−

)]24π2

+

−2πz

(u

y+

)[z(

uy+

)−z

(ux−

)] +z(

uy+

)2π2

[z(

uy+

)−z(ux

−)]

1+

[z

(u

y+

)−z

(ux−

)]24π2

+

Nótese que en esta última expresión las variables x e y son mudas ylo que es relevante es el conjunto sobre el cual se integra, V+ o V−. Te-niendo en cuenta esto se tiene

∆3 = − m2

2π2 ln(m)∫duy

−dux+ ln |x− y|

4π2δ

([z

(uy−

)− z

(ux+

)])+ 2

1+

[z

(u

y−

)−z

(ux+

)]24π2

+

−2[z(

uy−

)+z(ux

−)]

[z(

uy−

)−z

(ux+

)] +

[z(ux

−)+z(

uy−

)]2π2

[z(ux

+)−z(

uy−

)]1+

[z

(ux+

)−z

(u

y−

)]24π2

La suma de los términos que no contienen la delta de Dirac en la úl-tima expresión puede evaluarse sencillamente y se encuentra que losmismos se cancelan, resultando simplemente

∆3 = −2m2 lnm

∫V−

duy−

∫V+

dux+ ln |x− y| δ(z (uy−)− z

(ux+))

(4.115)


Nótese que en la ecuación (4.115) aparecen dos integrales; sin embargo, unade ellas puede eliminarse utilizando la delta de Dirac. Para un sólo un seg-mento de longitud L, este término da

∆3 = −1

3m2 ln(m)L2 ln(L) +

4

9m2 ln(m)L2 ; (4.116)

sin embargo, debe notarse que para más de un intervalo la dependenciano es sólo con la longitud total. Puede verse que este término rompe la ex-tensividad aún en el caso plano y por este motivo, para hacer análisis deapartamiento de la extensividad el orden m2 ln(m) es el más relevante.

Es posible realizar una expansión para la entropía cuando los segmentosse encuentran muy alejados a una distancia d. El apartamiento de la exten-sividad de la entropía total, medido por la información tripartita (2.62), daen este límite

I3 ∼a

450d2

bc [−98a + 33(b + c)] + 120abc ln(a)− 30(2a− b)b2 ln(b)+

30c2(−2a + c) ln(c) + (2a− b− c)(b + c)2 ln(b + c)− bc [8− a− 3(b + c)] ln(d)

,(4.117)

siendo a, b y c las longitudes de los segmentos considerados.

A modo de resumen, se presenta la fórmula general de la entropía hastael orden calculado

S(V ) = 16

(∑i,j ln |b+

i − a+i | −

∑i<j ln |a+

i − a+j | −

∑i<j ln |b+

i − b+j | − n ln ε

)+

+16

(∑i,j ln |b−i − a−i | −

∑i<j ln |a−i − a−j | −

∑i<j ln |b−i − b−j | − n ln ε

)+

−m2

6 ln2(m)L−t L+t −

[ΓE−ln(2)]3 m2L−t L+

t ln(m)+

−m2

2 ln(m)×∫V−

du−u+ (u−)∏

(u−−ai−)+

∏(u−−bi−)∏

(u−−ai−)−

∏(u−−bi−)+

−m2

2 ln(m)×∫V+

du+u− (u+)∏

(u+−ai+)+

∏(u+−bi+)∏

(u+−ai+)−

∏(u+−bi+)+

−2m2 ln(m)∫V−

duy−∫V+

dux+ ln |x− y| δ(z(uy−)− z

(ux+))

.

(4.118)

CAPÍTULO V

Extensividad de la informaciónmutua

”The greatest challenge to any thinker is stating the problem ina way that will allow a solution.”

Bertrand Russell

En este capítulo se encuentra un caso límite específico, relevante para el estudio de

la evaporación de Hawking, para el cual la información mutua resulta extensiva.

También se estudia cómo afecta la geometría a la correlación entre los conjuntos

considerados y se analiza la relación con el comportamiento de la información mu-

tua.

5.1. Estudio del apartamiento de la extensividad

En la sección 4.2.2.3 se vio que, en general, la información mutua entre conjuntos

alabeados en 1 + 1 dimensiones para el campo de Dirac resulta no extensiva. Los

términos más relevantes que rompen la extensividad son las contribuciones ∆2 y

∆3 a la entropía. Sin embargo, sería plausible que en ciertos límites geométricos

el apartamiento de la extensividad de la información mutua pudiese anularse. La

información mutua da una cota superior a las correlaciones entre operadores [31]

I(A,B) ≥ 12

(〈OAOB〉 − 〈OA〉〈OB〉)2

‖OA‖2 ‖OB‖2, (5.1)

siendo OA y OB operadores acotados en las regiones A y B, de normas ‖OA‖ y

‖OB‖, respectivamente. De la ecuación (5.1), se puede inferir que cuando las corre-

laciones se hacen pequeñas o se anulan, también podría hacerse pequeña o anularse

la información mutua entre las regiones.

Ya se comentó en la sección 2.3.3.1, que la información tripartita I3(A,B, C) en-

tre tres regiones A, B y C, definida en la ecuación (2.62), mide cuánto se aparta de

la extensividad la información mutua I(A,B). Por otro lado, la contribución más

5. Extensividad de la información mutua

importante a la información mutua, para el campo de Dirac en 1 + 1, es la que pro-

viene de considerar el límite de masa nula, que se ha llamado I0. Esta contribución

ya fue calculada en 4.2.1.2 resultando

I0(A,B) =16

ln

[(a+

2 − a+1

) (b+2 − b+

1

)(a+

2 − b+1

) (b+2 − a+

1

)]+16

ln

[(a−2 − a−1

) (b−2 − b−1

)(a−2 − b−1

) (b−2 − a−1

)] , (5.2)

que es simplemente una suma de la información mutua entre dos segmentos en el

mismo plano (un sumando por cada quiralidad). El cociente I3/I0 es entonces una

buena medida de cuán extensiva es la información mutua; en el límite en que I3/I0

tienda cero, la información mutua será extensiva.

5.1.1. Análisis de proximidad a líneas nulas

Figura 5.1: Proximidad a líneas nulas. Se muestran dos conjuntos espaciales A y B quese encuentran muy próximos al eje nulo u+.

Un caso en el cual resulta relevante estudiar la extensividad de la información mu-

tua es aquel en el cual se consideran conjuntos que se ubican cercanos a una misma

línea nula, como los mostrados en la figura 5.1. El estudio de este tipo de geometría

podría tener importancia para el análisis de la evaporación de Hawking de aguje-

ros negros: si la información mutua de regiones asintóticas al agujero negro fuera

extensiva, entonces, se podría interpretar a la entropía en la radiación de Hawking

como la información mutua entre el gas de radiación y el agujero negro.

Para estudiar el comportamiento de I3/I0 en esta situación geométrica particular

en que los segmentos se acercan asintóticamente, resulta útil pensar que uno de los

segmentos se encuentra fijo mientras que el otro se va acercando a la línea nula del

primero, manteniéndose a una distancia K en el espacio de Minkowski, como se

muestra en la figura 5.2. Así, tomar el límite en el que los segmentos se encuentran

asintóticos es tomar el límite de w → ±∞. Nótese también que el límite de K → 0

y w → 0 corresponde al caso de tener a los dos segmentos paralelos y en contacto,


mientras que si w = 0 los segmentos se encuentran en el mismo plano, separados

por una distancia K.

Figura 5.2: Boost de un segmento respecto a otro. Para analizar la dependencia de lainformación mutua con la posición relativa de los conjuntos, se realiza un boost de uno delos segmentos respecto al otro con parámetros K y w.

5.1.2. Cálculo de apartamiento de la extensividad

En el estudio del apartamiento de la extensividad se consideran dos situaciones

geométricas particulares, que se muestran en las figuras 5.3 y 5.7. Se comienza pri-

mero haciendo un análisis de la figura 5.3, que se corresponde con la configuración

geométrica que se denominará configuración (a).

5.1.2.1. Configuración (a)

En la figura 5.3, cada segmento tiene longitud igual a la unidad. La posición relativa

entre segmentos puede ser descripta en término de los parámetros e y L. Al estar

trabajando en espacio de Minkowski, las distancias entre segmentos son

D2(A,B) ∼ 2eL ,

D2(B,C) ∼ 1 , (5.3)

D2(A,C) ∼ 2e(L + 1) + 1 + 2L .

Se indican también las proyecciones de los extremos de los segmentos sobre las

coordenadas nulas (siguiendo la misma notación introducida en la sección 4.1.3.2)


Figura 5.3: Configuración (a). Se muestra una configuración geométrica para tres seg-mentos A, B, C y se detallan las respectivas distancias entre los mismos.

a+1 = −1 , a+

2 = 2L + e , a+3 = 2(L + e) + 1 ,

b+1 = 0 , b+

2 = 2L + e + 1 , b+3 = 2(L + e + 1) ,

(5.4)

a−1 = −2(e + 1) , a−2 = −e− 1 , a−3 = 0 ,

b−1 = −2e− 1 , b−2 = −e , b−3 = 1 .

Es importante notar que los parámetros e y L, que caracterizan las posiciones rela-

tivas entre los segmentos, se pueden poner en términos de los parámetros del boost

K y w mostrados en la figura 5.2

L = Kcosh(w) ,

(5.5)

e = K e−w

Esto es particularmente útil dado que los parámetros K y w están asociados en for-

ma más directa a los límites geométricos que se analizan luego (por ejemplo, los

que se mencionaron al final de la sección anterior).


Figura 5.4: Diferentes caminos de integración. Para calcular la entropía, en virtud dela causalidad, puede utilizarse cualquier curva que tenga el mismo dominio de dependen-cia causal que el conjunto V considerado. En la figura se muestra en línea de puntos laparametrización lineal y en línea de trazos la parametrización nula.

Una vez definidos los conjuntos y sus proyecciones sobre los ejes nulos se cuenta

con todos los elementos necesarios para calcular el apartamiento de la extensivi-

dad, dado que las contribuciones a la entropía calculada se encuentran expresa-

das como integrales sobre las coordenadas nulas. Es importante recordar que, para

calcular la contribución de un orden dado a la entropía, se cuenta con la posibili-

dad de utilizar alguna curva con el mismo dominio de dependencia causal que los

conjuntos considerados. Esto es consecuencia directa de lo expuesto en la sección

4.1.1.1; el operador densidad reducido de conjuntos con el mismo dominio de de-

pendencia causal es el mismo. Para realizar el cálculo, resulta particularmente útil

considerar conjuntos con forma de diamante como se muestra en la figura 5.4, ya

que al integrar sobre las coordenadas nulas una de ellas cambia en forma lineal

mientras la otra permanece constante. En la figura también se muestra la parame-

trización lineal, que fue utilizada para corroborar la independencia de la entropia

a un orden dado con la parametrización elegida.

El cálculo se realizó en el programa Wolfram Mathematica 6.0 y los detalles del

código utilizado pueden ser encontrados en el Apéndice. Nótese que como los

únicos términos (al orden en perturbaciones considerado) que rompen la exten-

sividad de la información mutua son las contribuciones a la entropía dadas por

∆2 y ∆3, la función entropía total que se debe considerar para calcular I3 es sólo

la suma de estos dos términos (para las otras contribuciones, la información tri-

partita se anula). En las figuras 5.5 y 5.6 se muestra la dependencia del cociente

∆I/I0 ≡ I3/(m2 ln(m)I0) con los parámetros K y w del boost, para la disposición

geométrica presentada en la figura 5.3.


Figura 5.5: Apartamiento de la extensividad en función de la distancia para la con-figuración (a). ∆I/I0 tiende a cero cuando K es pequeño dado que la información tripar-tita se mantiene finita mientras que la contribución a orden cero de la información mutuadiverge al estar los bordes de los segmentos en contacto.

La figura 5.5 muestra un gráfico con la dependencia de ∆I/I0 respecto de la dis-

tancia K en escala logarítmica, para ciertos valores fijos del parámetro de boost.

Lo primero que se nota es que independientemente del valor de w, para K → 0,

resulta ∆I/I0 ≈ 0. Este límite corresponde al caso en que los segmentos A y B de la

figura 5.3 se encuentran paralelos y sus bordes están separados por una distancia

muy pequeña ε. En este caso, utilizando la ecuación (5.2) y teniendo en cuenta que

a+2 − b+

1 ≈ a−2 − b−1 ≈ ε, se obtiene I0 ∼ 2 ln(ε) (que diverge para ε→ 0). Sin embar-

go, la información tripartita es finita en este límite. Esto puede verse sencillamente

en virtud de la definición de I3; se recuerda que

I3(A,B, C) = I(A,B) + I(A,C)− I(A,B ∪ C) , (5.6)

y entonces, por la propiedad de monotonía (2.60) de la información mutua, se pue-

de acotar I3(A,B, C) ≤ I(A,C). Pero I(A,C) debe ser una cantidad finita, dado

que aún en el límite considerado de K → 0, los segmentos A y C son disjuntos (en


este límite se encuentran separados por una distancia igual a la longitud de B). Por

lo tanto, I3 es finita en este límite y como I0 diverge, el cociente ∆I/I0 tiende a cero.

El hecho de I3 es finita también puede verse sencillamente utilizando la definición

de la información tripartita en términos de la entropía, dada por la ecuación (2.63).

Se ve que los términos de borde, que son los que están asociados a las divergencias,

se cancelan aún en el caso de conjuntos en contacto.

Otro aspecto interesante a destacar es que para distancia K grande el cociente

∆I/I0 crece como ln(K) (en la figura esto se manifiesta como un comportamien-

to lineal para valores de K dado que se está graficando en escala logarítmica). Para

el caso en el cual los segmentos se encuentran paralelos (w=0) fue posible reali-

zar una expansión para distancia d = K grande, dada por la ecuación (4.117). Se

recuerda esta expresión

I3 ∼a

450K2

bc [−98a + 33(b + c)] + 120abc ln(a)− 30(2a− b)b2 ln(b)+

30c2(−2a + c) ln(c) + (2a− b− c)(b + c)2 ln(b + c)− bc [8− a− 3(b + c)] ln(K)

, (5.7)

siendo a, b, c las longitudes de A, B y C, respectivamente, y K la distanciaentre A y B. Básicamente, la ecuación anterior da

I3 ∼α+ β ln(K)

K2, (5.8)

y haciendo una expansión también para I0 se obtiene

I0 ∼ab

K2, (5.9)

por lo que el cociente I3/I0 crece como ln(K).

En el gráfico de la figura 5.5 también puede notarse que, a diferencia de lainformación mutua, la información tripartita puede ser negativa (de hecho,para w = 0 se comprueba que es negativa). Resultaría interesante entenderpor qué el boost relativo entre los conjuntos hace que la información tripar-tita se haga positiva y qué tan general es este fenómeno.

En la figura 5.6 se grafica la dependencia de ∆I/I0 en función del paráme-tro del boost w, para valores fijos de la distancia K. Se puede ver que ∆I/I0

crece cuando w → ±∞. Esto está de acuerdo con que la geometría de laconfiguración (a) (ver figura 5.3) no permite mantener grande la distanciaentre B y C sin que la distancia entre A y C sea también grande. Es decir,


no se pueden tener correlaciones fuertes entre las regiones A y B, y A y C

y además que las correlaciones entre B y C sean pequeñas. En la siguienteconfiguración se verá que sí se puede lograr esta propiedad.

Figura 5.6: Apartamiento de la extensividad en función del parámetro de boostpara la configuración (a). Para la configuración (a) se ve que ∆I/I0 crece cuando hayun gran boost entre los segmentos. Esto sucede porque la geometría impide que se puedantener correlaciones fuertes entre las regiones A y B, y A y C manteniendo pequeñas lascorrelaciones entre B y C.

5.1.2.2. Configuración (b)

La figura 5.7 muestra una geometría particular en la cual las distancias rela-tivas resultan

D2(A,B) ∼ 2eL ,

D2(B,C) ∼ 2(e+ L) , (5.10)

D2(A,C) ∼ 2e ,

lo que indica que es posible hacer las distancias entre A y B junto con las


de A y C tan chicas como uno quiera, manteniéndose grande la distanciaentre B y C. Esto es en virtud de la geometría Lorentziana, en donde ya noes válida la desigualdad triangular, a diferencia del espacio Euclídeo. Estágeometría será llamada configuración (b)

Figura 5.7: Configuración (b). Se muestra una configuración de tres conjuntos en loscuales se evidencia claramente que en espacio de Minkowski la desigualdad triangular paralas distancias entre los conjuntos no es válida. Nótese que si por ejemplo, e ≈ 0 para algúnvalor de L fijo, las distancias entre A y B, y A y C se hacen pequeñas, mientras que ladistancia entre B y C aproximadamente 2L.

Por completitud, se presentan las proyecciones de los segmentos en los ejesnulos también para esta configuración

a+1 = −3

2− e , a+

2 = −1

2, a+

3 = 2L+ e ,

(5.11)

b+1 = −e , b+2 =1

2, b+3 = 2L+ e+ 1 ,

y a−i = a+i , b−i = b+i , dado que la configuración es simétrica respecto al eje t.

Al igual que para la configuración anterior, se presentan las figuras 5.8 y 5.9,para las cuales se muestra la dependencia del cociente ∆I/I0 ≡ I3/(m

2 ln(m)I0)

con los parámetros K y w del boost respectivamente, para la disposicióngeométrica (b).


La figura 5.8 presenta el mismo comportamiento que la 5.5 cerca del ori-

Figura 5.8: Apartamiento de la extensividad en función de la distancia para la con-figuración (b). Cuando K es grande, las distancias entre los tres conjuntos de la configu-ración (b) crecen del mismo modo, por lo que es razonable que ∆I/I0 crezca en este límite.

gen y el motivo es el mismo que anteriormente se expuso: ∆I/I0 cae como1/ ln(K) para K → 0. Nuevamente se evidencia que la información triparti-ta puede ser negativa. Otro aspecto a comentar es que en este caso, las tresdistancias entre los conjuntos crecen del mismo modo (básicamente como2L), por lo que no es inesperado que ∆I/I0 crezca con el parámetro K.El caso más interesante se encuentra al analizar la figura 5.9. Se ve que paravalores de w grandes, el cociente ∆I/I0 tiende a anularse independiente-mente del valor de K. Esto está de acuerdo con la lógica de que la informa-ción mutua mide en cierta forma las correlaciones entre regiones; se habíavisto que la geometría de la configuración (b) permitía hacer pequeñas lasdistancias entre A-B y A-C, manteniendo grande la distancia entre B y C

(lo que hace ”caer” las correlaciones entre B y C).


Figura 5.9: Apartamiento de la extensividad en función del parámetro del boostpara la configuración (b) El cociente ∆I/I0 tiende a anularse cuando hay un boost grandeentre los conjuntos, independientemente del valor de K. Esto sucede porque la geometríade Minkowski permite hacer grande la distancia entre B y C, sin importar cuál sea ladistancia de cada uno de estos conjuntos con A. Así, las correlaciones entre B y C caen,independientemente de cómo están correlacionados B y C por separado con A.

También vuelve a observarse el comportamiento del cambio de signo en lainformación tripartita. Hasta el momento, todos los análisis sugieren quedado un K fijo, existe algún valor determinado de w para el cual la infor-mación tripartita se hace positiva y ya no vuelve a ser negativa. Luego, laaparación de los máximos en la figura 5.9 es natural, dado que además exis-te una cota superior para la información tripartita

I(A,B,C) = I(B,C)︸︷︷︸≥0

+ I(A,B)− I(B,A ∪ C)︸︷︷︸≤0

≤ I(B,C) , (5.12)

siendo I(B,C) finito, ya que B y C son conjuntos disjuntos en esta confi-guración. La positividad de I(A,B,C) daría más que un máximo: diría queI(B,C) cae a cero para conjuntos B y C apartados, y en este límite geomé-trico I(B,C)/I0(A,B)→ 0.


Dave

Rectangle

CAPÍTULO VI

Conclusiones y comentarios finales

”There are fish in the sea better thanhave ever been caught.”

Irish Proverbs

En este trabajo se realizó el primer cálculo concreto de la entropía geomé-trica en conjuntos alabeados para campos relativistas, utilizando el forma-lismo de tiempo real (que a diferencia del formalismo euclídeo, se prestapara este tipo de cálculos que involucran conjuntos no planares). El cálculose concretó empleando un desarrollo perturbativo en la masa. A partir delas contribuciones a la entropía a un determinado orden en perturbaciones,fue posible calcular la información mutua entre conjuntos para ciertas con-figuraciones geométricas. Se encontró extensividad de la información mu-tua en una situación geométrica particular en la que esto era esperado porla estructura del espacio de Minkowski. La geometría Lorentziana permitemantener grande la distancia entre dos conjuntos, aún siendo pequeña ladistancia de estos dos a un tercero (a diferencia de la geometría Euclidea-na, en donde esto se encuentra prohibido por la desigualdad triangular).Las correlaciones están directamente relacionadas con las distancias entrelos conjuntos y por lo tanto son grandes entre los dos primeros y pequeñasentre cada uno de estos y el tercero; y lo mismo sucede con la informaciónmutua, lo que reafirma la idea de que esta cantidad también mide correla-ciones.

Por las ideas anteriores es admisible pensar que una configuración geomé-trica profundamente no euclideana podría dar lugar a que la informaciónmutua sea extensiva. En particular, el caso analizado en 1+1 dimensionesen este trabajo, es una primera aproximación al estudio de la radiación deHawking en un agujero negro, dado que cerca del horizonte del agujeronegro y en la región asintótica el espacio es aproximadamente plano. Lapropiedad de extensividad de la información mutua entre estas regiones

6. Conclusiones y comentarios finales

daría lugar a una interpretación natural de esta cantidad como la entropíaradiada por el agujero negro. Lógicamente, el ejemplo estudiado constituyeuna simplificación muy grande del problema y no permite garantizar queen cálculos en cuatro dimensiones también se encuentre extensividad de lainformación mutua en la región de radiación.

Sería interesante entender con profundidad qué situaciones hacen que lainformación tripartita (que mide el grado de no extensividad) sea pequeña.Una posibilidad para que esto ocurra es cuando se tiene

ρABC ∼ ρA1B ⊗ ρA2C . (6.1)

En este caso ρA ≈ ρA1 ⊗ ρA2 , ρAB ∼ ρA1B ⊗ ρA2 y ρAC ∼ ρA2C ⊗ ρA1 y secomprueba fácilmente que I3 → 0. Esto daría una ley de agrupamiento 1 paraciertos operadores en A de la forma OA = OA1 ⊗ OA2 ; explícitamente setendría

〈OA〉〈OAOBOC〉 = 〈OAOB〉〈OAOC〉 . (6.2)

Sin embargo, es sencillo ver que esta propiedad de agrupamiento no valdráen general, cuando sea una combinación lineal de la forma OA =

∑λ

OλA1⊗

OλA2

. La idea sería entonces buscar una base de operadores en donde la pro-piedad (6.2) sea válida, al menos en forma aproximada. Es posible ver quelos operadores de campos libres φ(x) que satisfacen el Teorema de Wick notienen esta propiedad, aunque sí la tienen los operadores exponenciales dela forma

OA = e

∫A

fA(x)φ(x)dx

, (6.3)

donde fA es una función que tiene soporte en A. Del Teorema de Wick, setiene

〈0|OA |0〉 = e12

∫fA(x)fA(y)C(x,y)dxdy , (6.4)

donde C(x, y) es el correlador de dos puntos. Utilizando esta forma par-ticular de OA en los lados izquierdo y derecho de la ecuación (6.2), se veque la misma se cumple si se puede decir que e

12

∫fB(x)C(x,y)fC(y)dxdy ≈ 1. Es-

to se puede asegurar si el correlador entre B y C cae a cero. Por lo tanto,

1Proveniente del término en inglés clustering.

los operadores exponenciales (6.3) constituyen el tipo de base que se de-seaba encontrar. A futuro, y siguiendo estas direcciones, se podría intentarobtener una cota general para la información tripartita en término de loscorreladores, utilizando la descomposición descripta. Luego, por ejemplo,sería posible aplicar esta cota a los correladores (entre el agujero negro y laregión de radiación) hallados en este trabajo y estudiar la extensividad dela radiación de Hawking.

Figura 6.1: Factorización A1×A2. Se muestra una configuración geométrica para la cualse espera que la factorización tipo A1×A2 pueda encontrarse trabajando con las proyeccio-nes del conjunto A en los ejes nulos.

Otra cuestión a resolver es encontrar cuál sería la factorización tipo A1×A2.Un indicio de cuál podría ser esta factorización puede encontrarse estudian-do por ejemplo el caso de un campo escalar, para la configuración geomé-trica representada en la figura 6.1. Se denominan A1 y A2 a las proyeccionesde A sobre los ejes nulos u+ y u−, respectivamente. Utilizando argumentos

6. Conclusiones y comentarios finales

similares a los presentados en la sección 4.1.1.1 se puede escribir

OA = e

∫A

fA(x)φ(x)dx

= e

∫A1

[fφA1

(x)φ(x)+fπA1π(x)]dx

e

∫A2

[fφA2

(x)φ(x)+fπA2π(x)]dx

= OA1⊗OA2 ,

(6.5)donde fφAi

y fπAise obtienen de fA(x) mediante la solución de la ecuación

de Klein-Gordon (en forma similar a lo visto para el fermión en la sección4.1.1.1). Se espera que esta partición del conjunto en sus proyecciones sobrelas superficies nulas pueda llevar óptimamente a la factorización A1 × A2,dado que en este caso la distancia entreA1 y C es muy pequeña, al igual quela distancia entre A2 y B, por lo que las correlaciones entre A y B estaríandominadas por las de A1 y B (y las de A y C serían prácticamente las dadaspor las correlaciones entre A2 y C).

APÉNDICE

Apendice: Programa utilizado parael cálculo numérico del

apartamiento de la extensividad

Se adjunta el programa utilizado para realizar los cálculos de apartamien-to de extensividad presentados en el capítulo 5. El mismo se realizó en elentorno Wolfram Mathematica. En el código que se presenta, los valores dea+i , b+i , a−i y b−i son los que corresponden a la configuración b estudiada en la

sección 5.1.2. La notación utilizada en el código es la siguiente: a1[i] indicaa+i , mientras que a2[i] indica a−i (y lo mismo para los puntos bi).

Código Utilizado

n = 1; ee = 10 ˆ (-10); xx = 40; yy = 12; zz = 30;

entro[a1, b1, a2, b2] := Module[,q = Solve[Product[(uy - a2[i]) (ux - b1[i]), i, 1, n] ==Product[(ux - a1[i]) (uy - b2[i]), i, 1, n], uy]; d3 = 0;Do[uyy = uy /. q[[i]][[1]];w = Sum[1/(uyy - a2[aa]), aa, 1, n] -Sum[1/(uyy - b2[aa]), aa, 1, n];Do[pp = uyy /. ux ->a1[j]; r = 0;Do[r = If[Abs[(pp - a2[q])] <ee, q, r], q, 1, n];d3 = d3 -2 (NIntegrate[1/2*Log[Abs[(b1[n - r + 1] - ux) (b2[n - j + 1] - uyy)]]/Abs[w], ux, a1[j], b1[j], WorkingPrecision ->xx,PrecisionGoal ->yy, MaxRecursion ->zz]), j, 1,

A. Apendice: Programa utilizado para el cálculo numérico del

apartamiento de la extensividadn], i, 1, n]; p1a = Product[(uxx - a1[i]), i, 1, n];p1b = Product[(uxx - b1[i]), i, 1, n];qx = (p1a + p1b)/(p1a - p1b);p2a = Product[(uyyy - a2[i]), i, 1, n];p2b = Product[(uyyy - b2[i]), i, 1, n];qy = (p2a + p2b)/(p2a - p2b);d2 = 1/2 (Sum[NIntegrate[b2[n - i + 1] qx, uxx, a1[i], b1[i],WorkingPrecision ->xx, PrecisionGoal ->yy,MaxRecursion ->zz], i, 1, n] +Sum[NIntegrate[b1[n - i + 1] qy, uyyy, a2[i], b2[i],WorkingPrecision ->xx, PrecisionGoal ->yy,MaxRecursion ->zz], i, 1, n]); d2 + d3]

mutual0[a1, b1, a2, b2] :=Module[,1/6 Log[(a1[2] -a1[1]) (b1[2] - b1[1])/((a1[2] - b1[1]) (b1[2] - a1[1]))] +1/6 Log[(a2[2] -a2[1]) (b2[2] - b2[1])/((a2[2] - b2[1]) (b2[2] - a2[1]))]];

extensiva[k_, t_] :=Module[, n = 3; L = 1/2 (k t - k/t); d = k/t; a1[1] = -1/2 - d - 1;b1[1] = a1[1] + 1; a1[2] = -1/2; b1[2] = 1/2;a1[3] = 1/2 + d + 2 L; b1[3] = a1[3] + 1; a2[1] = -1/2 - d - 1;b2[1] = a2[1] + 1; a2[2] = -1/2; b2[2] = 1/2; a2[3] = 1/2 + d + 2 L;b2[3] = a2[3] + 1; sabc = entro[a1, b1, a2, b2]; n = 2;a1[1] = -1/2 - d - 1; b1[1] = a1[1] + 1; a1[2] = -1/2; b1[2] = 1/2;a2[1] = -1/2; b2[1] = 1/2; a2[2] = 1/2 + d + 2 L; b2[2] = a2[2] + 1;sab = entro[a1, b1, a2, b2]; m0 = mutual0[a1, b1, a2, b2];a1[1] = -1/2 - d - 1; b1[1] = a1[1] + 1; a1[2] = 1/2 + d + 2 L;b1[2] = a1[2] + 1; a2[1] = -1/2 - d - 1; b2[1] = a2[1] + 1;a2[2] = 1/2 + d + 2 L; b2[2] = a2[2] + 1;sbc = entro[a1, b1, a2, b2]; (sabc - 2 sab - sbc + 3 * 5/18)/m0]

extensiva[k, t] → Da el apartamiento de la extensividad de la información mu-tua, normalizado respecto a la información mutua a orden cero en la masa.

Referencias

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Agradecimientos

"God could not be everywhere, and therefore he made mothers."Rudyard Kipling

Llegó el momento de cerrar esta tesis recordando un poco a aquellas perso-nas que fueron fundamentales en esta etapa de mi vida. Quiero agradecerprimero que nada a mi director, Horacio, por permitirme compartir con éleste tiempo de trabajo. Muchas gracias por tu excelente predisposición haciamí, por el buen ambiente de trabajo que generás y por tu constante motiva-ción. No podría haber tenido un mejor director. Gracias (¡y seguimos en eldoctorado!). Quiero agradecer también al plantel docente de la Facultad deCiencias Exactas de Rosario, donde comencé la carrera y también al del Ins-tituto Balseiro, y en particular a la División de Partículas y Campos del CAB,por la gran contribución a diversos aspectos de mi formación académica. Ungracias especial a mis compañeros de cátedra en Mecánica Cuántica I (Juan,Geraldina, Emilio y Néstor) por acompañarme en esta primera experien-cia en la docencia. No puedo olvidarme tampoco de aquel docente que meinició en la exploración de la Física: Juan Farina; gracias por mostrarme loapasionante de esta disciplina y por tu calidez humana.

Sin dudas, y a pesar del gran soporte que he recibido desde el lado aca-démico, mis amigos juegan un papel central en cada cosa que realizo; sinimportar que estén aquí en Bariloche o a la distancia. Muchas gracias a to-dos mis grandes amigos por acompañarme en todos mis momentos. GraciasJuanma por bancarme todos los días durante nuestra larga estadía en Bari-loche; fuiste una persona fundamental para mí estos años y sabés cuánto tequiero. Espero que donde sea que nos encontremos en unos años nuestraamistad siga intacta. Gracias Gus por escucharme cada vez que lo necesitéy por los breaks en las tardes con Coca Cola; espero que aunque sean menosfrecuentes podamos seguir repitiéndolos. Gracias Ro por tu fantástico senti-do del humor y por tu incondicional amistad. Es muy feliz recordar nuestros

comienzos en la secundaria y todavía verte y saber que cuento con vos paralo que sea. Gracias Diego por adoptarme como tu hermano menor y por lacantidad de cosas que me enseñaste (y ahora me olvidé porque tengo malamemoria al igual que vos, aunque en mi caso es en serio); la vida nos va aencontrar de vuelta muy pronto, lo sé. Gracias Equi por siempre mirar todode un modo diferente y ayudarme a solucionar las situaciones complicadasde forma sencilla; valoro mucho que a pesar de estar siempre ocupadísimoy muy lejos te hagas un lugar para acompañarme en todo. Gracias Cintiapor el aliento constante desde Rosario; siempre me hacés creer que soy elmejor (gracias también por el fantástico sillón de tu departamento; lo extra-ño mucho!). Gracias Fer por todas las salidas compartidas y por darme tantaconfianza cuando tengo que afrontar algo; ojalá te pueda visitar mucho elaño que viene para disfrutar de buenas pelis en un cine de verdad! GraciasNico por tantos años de charlas infinitas y por la constante sinceridad entus palabras; te aprecio tanto como te admiro (y eso es mucho). Gracias Pa-blo por depositar tanta confianza en mí en este último tiempo y por tu grancompañía; disfruto muchísimo cada momento que pasamos juntos y le dasmucho color y alegría a mis días. Un gracias muy especial a todos mis ami-gos LicFis07; la experiencia fue espectacular, son unas personas que aprendía valorar mucho y deseo de todo corazón que tengan éxito en todo lo que seproponen porque lo merecen por el gran esfuerzo realizado.

Por último, quiero agradecer a toda mi familia, que siempre me apoya contodo lo que hago. Empiezo por mi querido perro Niky, a quien no le voya escribir mucho porque no va a entender; pero es un amigo fiel. A mi pa-drino Gustavo, por preguntarme siempre lo que hago, siempre escuchar lomismo y siempre hacerme creer que le interesa lo que le cuento y motivar-me a ir por más. A mis primas Melina y Bárbara, gracias por haber venidohasta acá sólo para visitarme, espero que hayan pasado lindos momentos.Las quiero muchísimo y son como dos hermanas para mí. A mi tío Albertopor la constante comunicación vía Facebook, MSN, mensajes, etc, y por labuena música que me comparte. A mi tía Norma, que desde primer gradocontribuye a mi formación, y toda la vida a mi bienestar. Sos como mi se-gunda mamá (y lo compartimos con la abuela, así no se pone celosa). A miabuelo Mario, que me acompaña todos los días de mi vida, en cada segun-do, con cada palabra de aliento y motivación que me dio; nunca te voy aolvidar. A mi abuela Ángela, por las canciones a la mañana, la comida al

mediodía y los cuentos a la noche. Me hiciste crecer muy feliz y todavía mecuidás como cuando era chiquito. Te quiero mucho abuela, gracias. A mistres hermanos: Román, Federico y Ramiro. Cuando vuelvo me quejo y mepeleo con los tres, pero estando acá los extraño siempre; supongo que es al-go general que sucede entre hermanos. La cuestión es que nunca me fallanen nada. Los quiero mucho, gracias. A mi sobrino Tomás, a quien prontole voy a enseñar a leer esto (aunque para las integrales le falta un poco); teamo Tommy. Cierro con la persona que siempre va a ser la más importantede mi vida, porque todo lo bueno de mí es gracias a ella. Gracias Mamá; portodo. Te quiero con todo mi corazón.

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Extensividad de la información mutua en teorías...

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