Misura di figure

Figure equivalenti e aree

Cosa vuol dire misurare

una figura geometrica?

� Possiamo misurare la parte di piano che occupa

cioè la sua estensione.

� Parlando di misura la parola “uguaglianza”,

“congruenza” non è più sufficiente.

� Infatti due figure che hanno la stessa estensione

non è detto che siano congruenti!

� Introduciamo il concetto di EQUIVALENZA tra

figure.

Figure equivalenti

Due figure si dicono EQUIVALENTI se vale

almeno una delle tre affermazioni che

seguono:

1) Sono congruenti

2) Sono equicomposte o equiscomponibili

3) Sono ottenute per sottrazione di figure

uguali da figure uguali in partenza

1) Congruenti

Perfettamente sovrapponibili mediante

movimento rigido (rotazione, traslazione, roto-

traslazione)

2) Equicomposte

o equiscomponibili

3) Ottenute per sottrazione di figure uguali da

figure uguali in partenza

� Due poligoni equivalenti hanno la stessa

estensione

� AREA = misura dell’estensione di una

superficie (parte di piano)

Quindi:

Due figure EQUIVALENTI

hanno la stessa AREA

Come misurare un’area?

� Misurare → confronto

� Come unità di misura conviene scegliere una

piccola area quindi una piccola figura

� Proviamo ad effettuare un RICOPRIMENTO

della figura da misurare

� Per avvicinarsi il più possibile alla misura

“reale”, le unità di misura che affianchiamo non

devono soprapporsi, non devono creare buchi,

non devono lasciare avanzi.

Ricoprimenti

� Ricopriamo un rettangolo con CERCHI

� Ricopriamo un rettangolo con PENTAGONI

� Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI

� Ricopriamo un rettangolo con ESAGONI e ROMBI

� Ricopriamo un rettangolo con ROMBI

� Ricopriamo un rettangolo con RETTANGOLI

� Ricopriamo un rettangolo con QUADRATI

Perché l’area si ottiene

da un prodotto di lunghezze?

� L’area come prodotto di lunghezze deriva dal fatto

che consideriamo come unità di misura un poligono

che si possa affiancare in modo tale da non lasciare

buchi e che abbia i lati sottomultipli dei lati della

figura da misurare.

� Affinché l’unità di misura sia la stessa sia per la

lunghezza sia per la larghezza, conviene scegliere

come unità di misura un QUADRATO di lato unitario.

Area di poligoni

Rettangolo

hbA ⋅=

N.B. Tracciando una diagonale del rettangolo, si

ottengono due triangoli rettangoli congruenti. Quindi

per il triangolo rettangolo vale

2

hbA

⋅=

Parallelogrammo

� Un parallelogrammo è equivalente ad un rettangolo

avente la stessa base e la stessa altezza

hbA ⋅=

Triangolo

� Ogni diagonale del parallelogrammo lo divide in

due triangoli congruenti (acutangoli o ottusangoli)

quindi per ogni triangolo

2

hbA

⋅=

Quadrato

2lA =

llA ⋅=

l

l

Rombo

d1

d2

2

21dd

A⋅

=

� Un rombo è equivalente

alla metà di un

rettangolo che ha per

lati le diagonali del

rombo

Osservazione:

Questo vale per qualsiasi

quadrilatero avente le

diagonali perpendicolari

Considerando il

quadrato come rombo

d

d

2

ddA

⋅=

� Le due diagonali sono

congruenti, quindi

2

2d

A =

Trapezio

� Un trapezio è equivalente alla metà di un parallelogrammo di uguale altezza ed avente per base la somma delle basi del trapezio stesso.

b1

b2 b1

b2

h

( )

2

21hbb

A⋅+

=