A.A. 2015 – 2016 Maurizio Piccinini

Fisica Generale A

Scuola di Ingegneria e Architettura

Cinematica del Cinematica del Cinematica del Cinematica del corpo rigidocorpo rigidocorpo rigidocorpo rigido

Scuola di Ingegneria e Architettura

UNIBO – Cesena

Anno Accademico 2015 – 2016

A.A. 2015 – 2016 Maurizio Piccinini

Gradi di libertà

Numero dei gradi di libertà (GdL) di un sistema meccanico: minimo numero di

parametri necessari per individuare una sua generica configurazione.

Per descrivere la posizione di un punto materiale sono necessari e sufficienti 3

parametri (p.es.: 3 coordinate cartesiane, cilindriche o sferiche). Si dice allora

che un punto materiale P ha 3 gradi di libertà.

Un sistema di n punti materiali liberi ha 3n gradi di libertà.

x

y

z

O

x

y

z

O x

y

z

O

P(t)

x(t)y(t)

z(t) P(t)

P(t)

Un sistema di n punti materiali liberi ha 3n gradi di libertà.

)(tϕ r(t)

z(t)

)(tϕ

r(t))(tϑ

Coordinate cartesiane

Coordinate polari cilindriche

Coordinate polari sferiche 2

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Vincolo: restrizione ai movimenti di un sistema meccanico.

Gradi di libertà

Un punto materiale vincolato a muoversi su di una superficie ha 2 GdL

3

Un punto materiale vincolato a muoversi su di una superficie ha 2 GdL

(p.es.: sulla superficie terrestre x2 + y2 + z2 = R2. Su di un piano z=0).

Un punto materiale vincolato a muoversi su di una linea ha 1 GdL (è

sufficiente il parametro s).

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r23

Un sistema di 2 punti materiali P1 e P2

vincolati a mantenere distanza inalterata

ha 5 GdL. Con 3 coordinate si individua

P1. Fissato P1, P2 si trova su di una

superficie sferica di raggio r = |P2 - P1| e

centro fissato P1, quindi bastano 2

parametri per determinarne la posizione.

zP1

P2

r12

H

Gradi di libertà

P3

r13

x

yO

Un sistema di 3 punti materiali vincolato a

mantenere inalterate le mutue distanze ha

6 GdL. Usate 5 coordinate per fissare P1 e

P2, occorre 1 sola coordinata per fissare P3

che si trova sulla circonferenza di centro H

e raggio |P3 - H|.

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 12( ) ( ) ( )x x y y z z r− + − + − =

4

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( ) ( ) ( )2 2 2 2

1 1 1 122 2 2

3 1 2 . . .

x y z r

incognite equazioni g

z

d l

x y− + − + − =

− =

P3

r13

r23

z

O

P1

P2

r12

H

Gradi di libertà( )1 1 11 , ,

3 0 3 . . .

P

incognite equazioni

x y z

g d l

≡

− =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

1 1 1 13

2 2 2 2

3 3 3x y zx y z r− + − + − =

− + − + − =

P4

r14

r24

r34

P3

x

yO

5

( ) ( ) ( )2 2 2 2

2 2 2 233 3 3

3 2 1 . . .

x y zx y z r

incognite equazioni g d l

− + − + − =

− =

Eventuali altri punti materiali del

sistema,vincolati a mantenere inalterate le

distanze tra loro e con i primi tre, hanno

posizioni completamente determinate una

volta fissate le posizioni dei primi tre

punti, quindi non aggiungono ulteriori

gradi di libertà!

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

4 4 4

4 4 4

4

2 2 2 2

1 1 1 14

2 2 2 2

2 2 2 24

2 2 2 2

3 3 34 4 34

3 3 0 . .

x y z

x y z

x y z

x y z r

x y z r

x y z r

incognite equazioni g d l

− + − + − =

− + − + − =

− + − + − =

− =

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Corpo Rigido

Un sistema di n ≥ 3 punti materiali vincolati a mantenere inalterate le

mutue distanze ha 6 GdL (la posizione del quarto punto e di quelli

successivi è fissata dai primi 3).

Corpo rigidoCorpo rigido

Sistema di n punti materiali

vincolati a mantenere inalterate le mutue distanze.

Un corpo rigido libero ha 6 GdL.

6

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z’

Corpo RigidoCome rappresentiamo il moto – la cinematica – di un corpo rigido?

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1i i j j k k⋅ = ⋅ = ⋅ =

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0i j j k k i⋅ = ⋅ = ⋅ =

j

k

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0

di dj dj dk dk dij i k j i k

dt dt dt dt dt dt⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

ˆˆ ˆˆˆ ˆ 0

di dj dki j k

dt dt dt⋅ = ⋅ = ⋅ =

x’

y’O′

7

i

j

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Cinematica del Corpo Rigido

Il vettore ω

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ; ;

x y z

x y z

Si definisce i j k

dj dk dicon k i j

dt dt dt

ω ω ω ω

ω ω ω

= + +

= ⋅ = ⋅ = ⋅

�

dt dt dt

kdt

kdj

dt

jdi

dt

idessereRisulta ˆ

ˆ;ˆ

ˆ;ˆ

ˆ∧=∧=∧= ωωω���

8

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Cinematica del Corpo RigidoIl vettore ω – significato ˆ

ˆx

djk

dtω = ⋅

ˆ

k

1. Rotazione intorno all’asse y:

ˆ0 0x

dj

dtω= ⇒ =

�

2. Rotazione intorno all’asse z:

ˆ

j

k

ˆ 0dj =�

1.

2.

9

i

j

ˆdj

ˆ ˆˆ ˆ 0x

dj djk k

dt dtω⊥ ⇒ = ⋅ =

3. Rotazione intorno all’asse x:

i j

k

ˆdjˆ ˆ

ˆ ˆ 0x

dj djk k

dt dtω⇒ = ⋅ ≠�

i

ˆ 0dj =

misura la velocità di rotazione del

corpo rigido intorno all’asse x. x

ω

La direzione del vettore ωωωω individua l’asse di rotazione.

3.

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Cinematica del Corpo Rigido

…ancora ω

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

x

y

z

djk

dt

dki

dt

dij

dt

ω

ω

ω

= ⋅

= ⋅

= ⋅

ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ

x y z

di di dii j k

dt dt dt

= + +

kdt

kdj

dt

jdi

dt

idessereRisulta ˆ

ˆ;ˆ

ˆ;ˆ

ˆ∧=∧=∧= ωωω���

…ancora ω dt

ˆdi

dt

ˆˆˆ ˆ0

z y

dii j k

dtω ω= + −

iω ∧�

Formule di Poisson

ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆdi di di

i i j j k kdt dt dt

= ⋅ + ⋅ + ⋅

ˆˆ ˆ

ˆˆdet

1 0 0

x y z z y

i j k

j kω ω ω ω ω= = −

10

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Cinematica del Corpo Rigido

…ancora ωu

kujuiuu zyxˆˆˆˆ ++=

ˆˆ ˆˆdu di dj dku u u= + +

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

dii

dt

djj

dt

dkk

dt

ω

ω

ω

= ∧

= ∧

= ∧

�

�

�

ˆˆ ˆu i u j u kω ω ω= ∧ + ∧ + ∧� � �ˆ

x y z

du di dj dku u u

dt dt dt dt= + +

( )kujuiudt

udzyxˆˆˆ

ˆ++∧= ω

�u

dt

udˆ

ˆ∧= ω�

Il vettore ωωωω caratterizza (in ogni istante) il moto rotatorio di tutto il corpo rigido

11

ˆˆ ˆx y z

u i u j u kω ω ω= ∧ + ∧ + ∧� � �

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Cinematica del Corpo Rigido

P

u

urOOOPOOOP ˆ)'()()'(' +−=−+−=−

dt

udr

dt

dO

dt

dP ˆ+=

( )p Or r P O= + −� �

Posizione

u dtdtdt

urvurvv OOpˆˆ ∧+=∧+= ωω

�����

)( OPvv Op −∧+= ω���

Formula fondamentale della cinematica dei corpi rigidi

12

Velocità

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Cinematica del Corpo Rigido

ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆdj dk dik i i j j k

dt dt dtω

= ⋅ + ⋅ + ⋅

� ˆˆ ˆ

duu u

dtω= ∧ ∀�

ω�

Infatti è indipendente dalla terna solidale con il c. r. …

Se non fosse così:

P

Il vettore ωωωω caratterizza (in ogni istante) il moto rotatorio di tutto il corpo rigido

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆj k i k i j i j kω ω ω= ⋅ ∧ + ⋅ ∧ + ⋅ ∧ =

� � �( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆi i j j k kω ω ω= ⋅ + ⋅ + ⋅

� � �

1 1 1

1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

x y z

dj dk dik i i j j k i j k

dt dt dtω ω ω ω

= ⋅ + ⋅ + ⋅ = + +

�

( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 1ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆj k i k i j i j kω ω ω ω= ∧ ⋅ + ∧ ⋅ + ∧ ⋅ =

� � � �

Se non fosse così:

13

cbacba������

∧⋅=⋅∧

1 1 11 1 1ˆˆ ˆ

x y zi j kω ω ω ω= + + =�

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Cinematica del Corpo Rigido

( )p Ov v P Oω= + ∧ −

�� �

( )1 1Ov P O O Oω= + ∧ − + −

��y’

z’

O′ i

j

k

( )1 1p Ov v P Oω= + ∧ −

�� �

… ed è indipendente dal punto O solidale con il c. r. prescelto

x’

y’

z’

O′i

j

k1

14

( )1 1 1O

v P O O Oω= + ∧ − + −

( ) ( )1 1 1 1O

v P O O Oω ω= + ∧ − + ∧ −� ��

( )1 11O O O

v P O v vω= + ∧ − + −�� � �

( )1P Ov v P Oω= + ∧ −

�� �

1ω ω=� �

( )1 1 1O O

v v O Oω= + ∧ −�� �

x’( )

1 1 1p Ov v P Oω= + ∧ −

x’

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Cinematica del Corpo Rigido

Casi particolari

Op vvPSe����

=∀⇒= 0ω

Moto traslatorio

( )p Ov v P Oω= + ∧ −�� �

( )0O p

Se v v P Oω= ⇒ = ∧ − ⇒� �� �

Moto rotatorio

:Retta passante per O e parallela a Asse istantaneo di rotaz .ioneω

15

Se a un dato istante un punto è fermo,

lo sono tutti i punti della retta parallela

ad ωωωω che contiene quel punto.

( ) '' ' 0O

O tale che O O vω⇒ ∀ − =�� �

�

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Cinematica del Corpo Rigido

( )p Ov v P Oω= + ∧ −�� �

:Retta passante per O e parallela a Asse istantaneo di rotaz .ioneω

16

( ) ( )' '' ' 'O O O OO tale che O O v v O O v vω ω∀ − ⇒ = + ∧ − ⇒ =� �� � � ��

Istante per istante il moto di un corpo rigido è la

somma di un moto di traslazione più uno di rotazione

NB: l’asse istantaneo di rotazione dipende dal punto O prescelto!

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Cinematica del Corpo Rigido

Esempio

Cilindro che rotola su un piano:

punto O scelto sull’asse di simmetria del cilindro

oppure sulla sua superficie.

17

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Cinematica del Corpo Rigido

Moto rotatorio – Velocità angolare

( )iP iv P Oω= ∧ −

��

( )ip iv P Oω= ∧ −��

ϕrs =

1rirω=

uω ϕ=�ɺ

tsv iPi

ˆɺ�

=

iP i iv s r ϕ= =�

ɺɺϕω ɺ=

ϕii rs =

18

ˆNB.: Se è predefinito ˆ u uω ϕ=�ɺ

2r

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Cinematica del Corpo Rigido

Accelerazione

ˆ( )

P p

O

a v

v P O ruω ω

=

= + ∧ − + ∧ =

� �ɺ

� �� ɺɺɺP

)( OPvv Op −∧+= ω���

urOP ˆ)( =−

ˆ( )Ov P O ruω ω= + ∧ − + ∧ =ɺɺɺP

u

[ ])()( OPOPaa OP −∧∧+−∧+= ωωω��ɺ���

19

ˆ( ) ( )Ov P O r uω ω ω= + ∧ − + ∧ ∧ =� � �� ɺɺ

ˆ( ) ( )O

v P O ruω ω ω= + ∧ − + ∧ ∧� � �� ɺɺ

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y

z

OP1P2

r12

Gradi di libertà (appendice)

2 2 2 2

2 1 2 1 2 1 12( ) ( ) ( )x x y y z z r− + − + − =

1 1 1 1( , , ) 0 0 0( , , )P x y z≡ =

… passo passo …

3 GdL.

2 2 2 2( , , )P x y z≡ 12 2( , )0 ,r z=

2 1(x x− 2

2 1) (y y+ − 2

2 1) (z z+ − 2 2

12) r=2 2 2

12 2 12 2 0r z r z= ⇒ =+

2 GdL.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2 2

3 1 3 1 3 1 13

2 2 2 2

3 2 3 2 3 2 23

x x y y z z r

x x y y z z r

− + − + − =

− + − + − =P3

x

yO

h

20

rh

3 3 3 3( , , )P x y z≡

3 hy r=

2 2 2

3 3x z h+ =

3 3( , , )x y h−=

3

3 0

hy r

x

=

=

1 GdL.

P4

r14r24

r34

( ) ( ) ( )2 2 2 2

4 1 4 1 4 1 14x x y y z z r− + − + − =

( ) ( ) ( )2 2 2 2

4 2 4 2 4 2 24x x y y z z r− + − + − =

( ) ( ) ( )2 2 2 2

4 3 4 3 4 3 34x x y y z z r− + − + − =

4 4 4 4( , , )P x y z≡ ( )

( ) ( )

2 2 2 2

4 4 4 14

22 2 2

4 4 12 4 24

2 22 2

4 4 4 34h

x y z r

x y r z r

x y r z h r

+ + =

+ − + =

+ − + + =

Tre equazioni in

tre incognite:0 GdL.