Appunti per il corso di
FISICA III
Corso di Laurea triennale in BiotecnologieUniversita degli Studi di Udine
A.A. 2008/09
Paolo Giannozzisulla base delle note degli anni precedenti di
Gilberto Giugliarelli
Versione del: November 25, 2008
Contents
Introduzione 1
1 Fondamenti di Termodinamica 31.1 Energia interna e I Legge della Termodinamica . . . . . . . . . . 4
1.1.1 I Legge della Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Stati di Equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Entropia: II Legge della Termodinamica . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 L’entropia come funzione di stato . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 La temperatura assoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Stati di equilibrio: massima entropia e minima energia . . 71.2.4 Applicazione: Equilibrio termico e temperatura . . . . . . 81.2.5 Raggiungimento dell’equilibrio termico . . . . . . . . . . . 81.2.6 Capacita termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.7 Potenziale chimico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.8 Potenziali termodinamici ed energie libere . . . . . . . . . 10
2 Meccanica statistica 112.1 Gas ideale: un semplice approccio statistico . . . . . . . . . . . . 112.2 Le basi della Meccanica Statistica: Dinamica e Microstati . . . . 12
2.2.1 Microstati e Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Ergodicita e Insiemi Statistici . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 L’ Insieme Microcanonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 Insieme Microcanonico: Entropia e Temperatura . . . . . 14
2.4 Insieme Canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.1 Funzione di Partizione Canonica . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Insieme Canonico: fluttuazioni di energia . . . . . . . . . 162.4.3 Applicazioni degli Insiemi Statistici . . . . . . . . . . . . . 172.4.4 Applicazione 2: Gas di Particelle Classiche (gas ideale) . . 182.4.5 Applicazione 3: Paramagnetismo . . . semplice . . . . . . . 19
2.5 Insieme Grancanonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.1 Fluttuazioni nel numero di particelle . . . . . . . . . . . . 232.5.2 Calcolo dell’energia libera: particelle indipendenti con
due livelli di energia e minimizzazione dell’energia libera . 23
i
3 Statistica di catene molecolari 263.0.3 Calcolo delle proprieta dipendenti dalle conformazioni . . 263.0.4 Distanza end-to-end e raggio di girazione . . . . . . . . . 27
3.1 Modelli di catene senza volume escluso . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.1 Il modello di freely jointed chain (o random walk chain) . 303.1.2 Catena con bonds ad angoli fissi . . . . . . . . . . . . . . 343.1.3 Catene reali e rotazioni intorno ai bond . . . . . . . . . . 36
3.2 Effetti di volume escluso: metodo di Flory . . . . . . . . . . . . . 36
4 Introduzione alle Proteine e al Protein Folding 384.1 Proteine: proprieta strutturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.1.1 Gli amino acidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.2 Livelli di struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.3 α-eliche e β-sheets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.4 Amino acidi Idrofobici e Idrofilici . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Il fenomeno del protein folding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.3 Protein Folding: modello mimimalista su reticolo . . . . . . . . . 42
4.3.1 Il metodo Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3.2 Mosse e metodo Monte Carlo nel modello di proteina su
reticolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.3 Proprieta di equilibrio di una catena generica . . . . . . . 444.3.4 Costruzione di un modello di proteina . . . . . . . . . . . 454.3.5 Proprieta di equilibrio di un buon folder . . . . . . . . . . 464.3.6 Cinetica di Folding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3.7 Folding e misfolding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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Introduzione
I grandi risultati ottenuti negli ultimi decenni nel campo delle life sciences (conle biotecnologie in prima fila) portano continuamente alla luce una miriadedi nuovi fenomeni la cui comprensione e analisi richiede gli sforzi congiunti dimolti approcci scientifici diversi. Allo stesso tempo il continuo sviluppo di nuovimodelli e approcci teorici in combinazione con l’avvento di sistemi per il calcolosempre piu potenti, permette oggi la concretizzazione di approcci computazion-ali un tempo impensabili. La combinazione di questi eventi sta portando oltreche verso una sempre piu veloce crescita delle conoscenze scientifiche, anche allanecessita che coloro che effettuano la ricerca abbiano una preparazione semprepiu interdisciplinare.
Fino a poco tempo fa il tipo di attivita richiesta a ricercatori di formazione,ad esempio, fisica o biologica erano nettamente distinte. Oggi, sempre piuspesso, nascono gruppi di ricerca che lavorano in campi di ricerca multidisci-plinari e cio comporta la coesistenza di ricercatori con formazione biologica,biochimica, fisica, biotecnologica, informatica, ... In un tale contesto, unapreparazione di tipo interdisciplinare e un ingrediente essenziale affinche lespecifiche (diverse) conoscenze dei componenti del gruppo possono contribuireinsieme al raggiungimento degli obbiettivi della ricerca: i diversi componentidel gruppo possono far fruttare al meglio la propria preparazione, non sovrap-ponendo la proprie conoscenze a quella degli altri, ma avendo la capacita dicomprendere le diverse sfaccettature del problema scientifico in modo da potermeglio dialogare e collaborare con gli altri.
Obbiettivi e Organizzazione del Corso
Seguendo le linee di pensiero sopra esposte, il corso di Fisica 3 e stato costruitocon il primo intento di fornire agli studenti del corso di Biotecnologie i con-cetti fisici e la modellistica di base necessaria ad affrontare lo studio dei sistemimacromolecolari e biologici. L’obbiettivo principale del corso pero non e quelloche gli studenti diventino degli esperti simulatori di sistemi biologici o simili,ma che essi possano arrivare a comprendere l’essenza dell’approccio fisico, i suoipresupposti e le modalita con le quali e costruito, i risultati che esso puo dare e,molto importante, l’interesse che tali risultati possono avere in un contesto piuampio ai fini della comprensione globale del fenomeno studiato. Nella primaparte del corso vengono effettuati dei richiami di Termodinamica e dei fonda-menti della Meccanica Statistica necessari per lo studio di sistemi composti da
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molte particelle. Di seguito viene considerata una breve trattazione della sta-tistica di semplici modelli di catene molecolari disordinate che costituiscono labase di partenza per affrontare i modelli di proteina e DNA. Vengono quindiintrodotti due metodi numerici di ampio uso nello studio dei sistemi biologici(e non solo), ovvero il metodo Monte Carlo e la Dinamica Molecolare. Si in-trodurranno le possibili applicazioni biologiche di tali approcci, in particolareal problema del protein folding.
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Chapter 1
Fondamenti di Termodinamica
La conoscenza del tipo di interazioni con le quali interagiscono le particelle e/ogli elementi che compongono un sistema fisico e essenziale per il suo studio. Maanche se in linea di principio, la conoscenza completa delle leggi della natura cipotrebbe far pensare di poter ricavare in modo completo il comportamento delsistema, essa non e spesso sufficiente a rendere possibile il calcolo dettagliatodi tutte le quantita necessarie alla descrizione fisica dello stato di equilibrio delsistema. In un sistema di molte particelle coesistono, infatti, effetti legati sia alleenergie associate al sistema nel suo complesso che alle molteplicita che gli stati ele configurazioni che il sistema puo avere. Entra in gioco cioe una statistica nellaquale il peso dei diversi stati (configurazioni) e legato sia alle corrispondentienergie che alle diverse possibilita (spaziali e dinamiche) associate ad essi. Ledue branche della Fisica che affrontano tali problematiche sono:
• Termodinamica
• Meccanica Statistica
Quali sono i problemi affrontati da tali materie?Per meglio capire il diverso approccio seguitonelle due discipline proviamo a considerare ilsistema schematizzato in figura e proviamo aporci delle domande su di esso.
Ad esempio: supponiamo di voler determinare la pressione esercitata dalgas sulla parete del recipiente che lo contiene e chiediamoci:
• qual e il valore di tale grandezza e come e correlata ad altre grandezzecome temperatura, volume, quantita di sostanza, etc ...?
• possiamo ricavare tale grandezza da un modello molecolare?
Le domande rispecchiano i due aspetti ai quali sono principalmente inter-essate la Termodinamica e la Meccanica Statistica, rispettivamente. Con laTermodinamica si considerano i legami tra grandezze macroscopiche attraverso
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cui poter definire in maniera univoca lo stato (che piu avanti definiremo di equi-librio), senza analizzare le relazioni con i processi microscopici responsabili dicio. Le leggi della Termodinamica sono spesso ricavate su base sperimentalee quindi sono valide in generale. Al contrario, con la Meccanica Statistica sivuole proprio stabilire la relazione tra il mondo macroscopico e quello micro-scopico, analizzando la natura microscopica del sistema e proponendo modelliil piu possibile adatti alla descrizione dei fenomeni in questione. Ovviamente,le leggi della Termodinamica, che non dipendono dal particolare modello uti-lizzato diventano lobbiettivo finale che deve essere raggiunto nella descrizioneeffettuata con la Meccanica Statistica.
Tornando al sistema introdotto sopra, si noti che, ovviamente, e possibiledare risposta ad entrambi i quesiti. Infatti, valutando il numero medio di urtiper unita di area che le particelle hanno con le pareti del recipiente e la lorovelocita media (la sua componente perpendicolare) possiamo determinare unapressione media. Infatti, gli urti delle singole particelle determinano delle forzeimpulsive (variazione di quantita di moto) sulla parete (mostreremo tale calcolopiu avanti). Quindi la pressione e una quantita media (dal punto di vistasperimentale, la misura della pressione effettua questa media). In altre parole:la pressione calcolata con il modello e quella misurata sperimentalmente.
1.1 Energia interna e I Legge della Termodinamica
La termodinamica permette di descrivere lostato di sistemi macroscopici e i relativi scambienergetici attraverso funzioni e quantita macro-scopiche. Essa fa uso di varie funzioni di stato.La prima funzione di questo tipo che prender-emo in esame e l’energia interna. L’energia in-terna corrisponde all’energia complessiva (cinet-ica + potenziale) posseduta da un sistema. Essae una quantita estensiva, cioe che soddisfa laproprieta di additivita seguente: dati due sis-temi indipendenti l’energia interna complessivaE e pari alla somma delle energie interne indi-viduali, E1 e E2:
E = E1 + E2. (1.1)
1.1.1 I Legge della Termodinamica
L’energia interna varia attraverso scambi di calore e lavoro. La I legge dellaTermodinamica in pratica generalizza la conservazione dell’energia. Quindi lavariazione di energia interna di un sistema deve essere pari alla somma di talienergie; in forma infinitesima
dE = d Q+ d L (1.2)
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cond L = lavoro infinitesimo fatto sul sistemad Q = quantita infinitesima di calore ceduto al sistema.
Il lavoro e definito comed L = f ·X (1.3)
dovef = ”forza” (generalizzata) applicataX = variabile meccanica estensiva.
Per esempio, il lavoro fatto durante l’espansionedi un gas sara espresso secondo la relazioned L = PextdV , mentre quello associatoall’allungamento dl di una striscia avra la (piuusuale) forma d L = fdl . In generale, il lavoropotra essere sempre espresso nel modo seguente:
d L = f1dX1 + f2dX2 + f3dX3 + ...(1.4)= f · dX (1.5)
dove f = (f1, f2, f3, ...) e X = (X1, X2, X3, ...).
Il calore scambiato puo essere controllato, per esempio, con pareti adia-batiche (pareti che non lasciano fluire il calore). Sia il lavoro che il calore sonoenergie che vengono trasferite. Una volta trasferite e impossibile distinguerlel’una dall’altra. Il calore scambiato puo essere visto anche come quella quantitadi energia trasferita dal sistema non attraverso lavoro.
1.1.2 Stati di Equilibrio
L’energia interna e una funzione di stato. In questa affermazione intendiamostato ≡ stato d’equilibrio. Dal punto di vista matematico questo significa che ildifferenziale dE (una variazione infinitesima dell’energia interna) e esprimibilecome il differenziale esatto di una funzione che per noi esprimera, appunto,l’energia interna del sistema. Cioe, esiste una funzione E, che dipende daglistessi parametri da cui dipende l’energia interna, il cui differenziale e pari a dE.
Gli stati di equilibrio sono stati semplici, che possono essere determinati (especificati) attraverso pochi parametri (per esempio E ed X). Cio significa cheuno stato di equilibrio macroscopico e determinato da un piccolo numero divariabili. Possiamo includere le composizioni fra le variabili di stato ”tipiche”:
E, V, n1, .., nr (1.6)
dove r e il numero di specie presenti, ni e il numero di moli per la specie i−esima.(Il numero di variabili e piccolo rispetto all’enorme numero di gradi di liberta
meccanici che sono necessari per descrivere un arbitrario stato di non-equilibrioo un microstato di un sistema di molte particelle.)
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1.2 Entropia: II Legge della Termodinamica
Il concetto di entropia puo essere introdotto in vari modi. Storicamente l’entropiae stata introdotta per via empirica, giustificandone l’esistenza sulla base delleevidenze sperimentali. Qui la introduciamo per via assiomatica postulandonel’esistenza, controllando poi che le conclusioni derivanti dalle sue proprieta sianoin linea con le leggi della termodinamica.
Postulato: Esiste una funzione di stato estensiva, S(E,X), crescente in E,che soddisfa la seguente proprieta: se lo stato B e accessibile adiabaticamentedallo stato A, allora SB ≥ SA.
Notare: se B e reversibilmente accessibile da A, anche la trasformazioneB → A e possibile, e dovra essere SA ≥ SB. Segue che SA = SB. In generale:
(∆S)adiabatic ≥ 0 (1.7)
Un processo (trasformazione) e reversibile quando e possibile ripercorrereesattamente i cambiamenti infinitesimi delle variabili di controllo (processi quasi-statici). I processi spontanei coinvolgono stati di non-equilibrio molto piu comp-lessi. Non e possibile invertire (esattamente) un processo spontaneo: il processoe detto irreversibile.
La funzione S(E,X) e detta entropia.
1.2.1 L’entropia come funzione di stato
Come l’energia interna E, anche l’entropia S e una funzione di stato. Il suodifferenziale e
dS =(∂S
∂E
)XdE +
(∂S
∂X
)E· dX (1.8)
dove (∂S
∂X
)E· dX =
(∂S
∂X1
)EdX1 +
(∂S
∂X2
)EdX2 + ... (1.9)
Per una trasformazione reversibile dalla I legge abbiamo
dE = (d Q)rev + f · dX (1.10)
edS =
(∂S
∂E
)X
(d Q)rev +[(
∂S
∂X
)E
+(∂S
∂E
)X
f]· dX (1.11)
Se il processo e anche adiabatico, allora dS = 0, (d Q)rev = 0, e(∂S
∂X
)E
= −(∂S
∂E
)X
f (1.12)
Le quantita in questa relazione sono funzioni di stato: essa e quindi valida ancheper processi non-adiabatici.
La relazione appena ottenuta e solo un esempio delle tante relazioni cheintercorrono tra le diverse funzioni di stato termodinamiche. Il modo in cui estata ricavata illustra bene come e possibile sfruttare il fatto che sia E che Ssono funzioni di stato al fine di ottenere relazioni tra esse valide anche per statifinali di processi anche irreversibili.
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1.2.2 La temperatura assoluta
S e una funzione crescente di E. Quindi deve valere la seguente relazione:(∂S
∂E
)X≥ 0
[oppure
(∂E
∂S
)X≥ 0
]. (1.13)
Definiamo la temperatura (assoluta) la quantita
T =(∂E
∂S
)X
[o anche
1T
=(∂S
∂E
)X
]. (1.14)
Essendo E ed S estensive, T e intensiva. Il suo valore infatti non dipende,in generale, dal numero di particelle che compone il sistema.
Combinando le ultime relazioni si ottiene
dS =dE
T−(
fT
)· dX (1.15)
odE = TdS + f · dX (1.16)
Quindi l’energia interna puo essere espressa come funzione di S ed X, cioeE = E(S,X).
1.2.3 Stati di equilibrio: massima entropia e minima energia
Le funzioni di stato Entropia ed Energia Interna di un sistema soddisfano leseguenti due affermazioni.
a) Tra tutti gli stati vincolati con E costante lo stato di equilibrio e quellodi entropia massima;
b) Tra tutti gli stati vincolati con S costante, lo stato di equilibrio e quellodi energia minima.
Nelle due affermazioni si ipotizza, per un dato sistema termodinamico, dipoter variare lo stato di un sistema mantenendo, per esempio, l’energia internao l’entropia fissa. Questa operazione e possibile, come risultera piu chiara-mente nel prossimo capitolo (insiemi statistici), e cio ci permette di compren-dere meglio le proprieta di queste funzioni. Non daremo qui una dimostrazionedelle affermazioni a) e b). In effetti, questo comporterebbe l’utilizzo del calcolodelle variazioni che va al di la degli scopi di questo corso. Tuttavia, sara benenotare che le due affermazioni, usualmente citate anche come principio di mas-sima entropia e principio di minima energia, sono una diretta conseguenza dellaII Legge della Termodinamica. Inoltre si noti che se per un sistema vincolatoa energia costante ed entropia costante valgono rispettivamente i due principienunciati, per un sistema non vincolato (libero) e ragionevole pensare che lostato di equilibrio raggiunto sia un buon compromesso tra gli stati che seguonole due spinte sintetizzate dai due principi.
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1.2.4 Applicazione: Equilibrio termico e temperatura
Consideriamo un sistema cherisulta suddiviso in due partiche possono scambiare solocalore. All’equilibrio qualisaranno le temperature deidue sistemi?
Si noti che facendo un piccolo spostamento dall’equilibrio con il vincolointerno E =cost. (supponiamo di poter cambiare lo stato mantenendo l’energiainterna costante), avremo (δS)E,X ≤ 0. Inoltre, essendo
E = E(1) + E(2) = cost. ⇒ δE(1) = −δE(2) (1.17)
si avra
δS = δS(1)+δS(2) =
(∂S(1)
∂E(1)
)X
δE(1)+
(∂S(2)
∂E(2)
)X
δE(2) =(
1T (1)
− 1T (2)
)δE(1)
(1.18)e percio (
1T (1)
− 1T (2)
)δE(1) ≤ 0 → T (1) = T (2) (1.19)
Cio sta a significare che all’equilibrio termico le due parti del sistema sono allastessa temperatura. Ovviamente, questa conclusione e in pieno accordo conl’osservazione sperimentale, ma cio ci conferma anche che il modo in cui si eintrodotta la funzione entropia produce conclusioni corrette.
1.2.5 Raggiungimento dell’equilibrio termico
Ancora una volta consideri-amo un sistema analogo aquello considerato nel para-grafo precedente. In questocaso pero supponiamo cheinizialmente le temperaturedelle due parti siano diverse:T (1) 6= T (2).
Lasciamo quindi evolvere spontaneamente il sistema e cerchiamo di valutarein quale direzione fluisce l’energia. Per la II legge, l’entropia deve aumentarenel processo: ∆S > 0, e quindi possiamo scrivere
∆S =
(∂S(1)
∂E(1)
)X
∆E(1) +
(∂S(2)
∂E(2)
)X
∆E(2) > 0 (1.20)
Percio
∆E = ∆E(1) + ∆E(2) = 0 ⇒(
1T (1)
− 1T (2)
)∆E(1) > 0 (1.21)
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dalla quale, a seconda dei casi, otteniamo
∆E(1) < 0 ⇒(
1T (1)
− 1T (2)
)< 0 −→ T (1) > T (2) (1.22)
∆E(1) > 0 ⇒(
1T (1)
− 1T (2)
)> 0 −→ T (1) < T (2) (1.23)
Questo risultato ci dice che il calore fluisce dal corpo piu caldo a quello piufreddo. Ancora abbiamo pieno accordo con le osservazioni sperimentali.
1.2.6 Capacita termiche
In un processo quasi-statico (reversibile) le capacita termiche possono esseredefinite tramite la seguente espressione:
C =d Q
dT= T
(d Q/T )dT
= TdS
dT. (1.24)
Distinguendo tra le diverse condizioni in cui le variazioni possono avvenire,potremo distinguere vari tipi di capacita termica,
Cf = T
(∂S
∂T
)f; CX = T
(∂S
∂T
)X
(1.25)
Esempio: le capacita termiche a pressione costante ed a volume costante sono
Cp = T
(∂S
∂T
)p; CV = T
(∂S
∂T
)V. (1.26)
Notare che le capacita termiche cosı definite sono grandezze estensive.
1.2.7 Potenziale chimico
Scriviamo una espressione piu generale per il lavoro:
f ·X = −pdV +r∑
i=1
µidni (1.27)
dove ora p corrisponde alla pressione interna del sistema (pdV e il lavoro com-piuto dal sistema), e le quantita
µi =(∂E
∂ni
)S,V,n1,...,ni−1,ni+1,...,nr
(1.28)
sono i potenziali chimici delle varie componenti del sistema. I potenziali chimicicontrollano la massa o la quantita di particelle che compongono un sistema.Gradienti di potenziale chimico inducono flussi di massa e/o rimescolamentodegli atomi o delle molecole. In queste condizioni possiamo dire che E e funzionenaturale di S, V, n1, n2, ..., nr dove le ni, i = 1, r sono le quantita di sostanza(espressa per esempio in moli) delle varie specie componenti.
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1.2.8 Potenziali termodinamici ed energie libere
A partire dalle funzioni di stato energia interna ed entropia possiamo costruirealtre nuove funzioni di stato, note come potenziali termodinamici. Ad esempio,sottraiamo ad E(S, V, n) la quantita TS e definiamo
A = E − TS = A(T, V, n) (1.29)
Questa e l’energia libera di Helmholtz: il suo differenziale e
dA = dE − TdS − SdT = TdS − pdV +r∑
i=1
µidni − TdS − SdT (1.30)
e infine
dA = −SdT − pdV +r∑
i=1
µidni. (1.31)
E’ importante notare che l’introduzione di questa nuova funzione di stato noncambia la natura del sistema, ma semplicemente permette di descriverlo in ter-mini di diversi parametri. Infatti, nel passaggio dall’energia interna E all’energialibera A le variabili naturali con le quali viene descritto il sistema passano dalle(S, V, n) alle (T, V, n) che spesso sono assai piu pratiche. Di fatto, in termodi-namica si usa assai piu spesso A che E. Per l’energia libera di Helmholtz A valeun principio di minimo simile a quello per l’energia E: in un sistema tenuto aT e V costanti, A assume il valore minimo.
In modo analogo possiamo costruire l’energia libera di Gibbs, G, definitasecondo la seguente espressione:
G = A+ pV = E − TS + pV = G(T, p, n) (1.32)
e il cui differenziale e
dG = −SdT + V dp+r∑
i=1
µidni. (1.33)
Anche per G vale un principio di minimo: in un sistema tenuto a T e p costanti,G assume il valore minimo. L’energia libera di Gibbs e molto usata in chimicae in biologia, dove spesso si ha a che fare con reazioni in sistemi in contattotermico e meccanico con l’ambiente. E’ da notare che sia T che P sono variabiliintensive, mentre G e ovviamente estensiva. Si puo allora dimostrare che
G(T, p, n) =r∑
i=1
µi(T, p)ni (1.34)
ovvero, per una sola specie di particelle, µ = G/n: il potenziale chimico e ugualeall’energia libera di Gibbs per particella.
Infine, l’entalpia, H, e data da
H = E + pV = H(S, p, n) (1.35)
con
dH = TdS + V dp+r∑
i=1
µidni. (1.36)
Meno utile delle energie libere, l’entalpia e soprattutto usata in termochimica(come ∆H di una reazione).
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