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STEFANO RUSSO

Corso introduttivo di fisica - volume 1

FONDAZIONEDEI PRINCIPI DELLA DINAMICA

Se le stelle comparissero una sola notte ogni mille anni, come gli uomini

potrebbero credere e adorare, e serbare per molte generazioni la rimembranza della città di Dio?

Ralph Waldo Emerson, “Nature”

Fondazione dei Principi della Dinamica

Stefano Russo

26 settembre 2011

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Se le stelle comparissero una sola notte ogni mille anni, come gliuomini potrebbero credere e adorare, e serbare per molte generazionila rimembranza della città di Dio?

Ralph Waldo Emerson, “Nature”

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INDICE INDICE

Indice

1 Introduzione 5

2 Cinematica e dinamica 7

3 Velocità relative 93.1 Osservatori e moto relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Legge di composizione delle velocità . . . . . . . . . . . . . . . . 143.3 Collisioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Esplosioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Quantità di moto 294.1 Accumuli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Trasferimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Conservazione della quantità di moto . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Spinta e inerzia - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5 Definizione operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6 Equazione costitutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.7 Collisioni ed esplosioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.8 Natura vettoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Correnti e Forze 565.1 Definizione operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.2 Forze e correnti - 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.3 Forze e correnti - 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4 Legge dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6 I principi della dinamica 746.1 Osservatori inerziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Primo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3 Secondo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.4 Terzo principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.5 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7 Esercizi 867.1 Collisioni ed esplosioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.2 Correnti e forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.3 I principi della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

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INDICE INDICE

Sir Isaac Newton è nato a Woolsthorpe-by-Colsterworth, il 4 gennaio1643, ed è morto a Londra, il 31 marzo 1727. Nel suo libro “Phy-

losophiæ Naturalis Principia Mathematica” ha esposto i tre principi cheregolano la dinamica dei corpi materiali.

PRIMO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

Gli osservatori inerziali esistono, e le leggi della fisica sono lestesse per ciascuno di loro.

SECONDO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

Per cambiare lo stato di moto di un corpo è necessaria la forzam~a, ed essa coincide con la somma di tutte le forze che agisconosul corpo:

m~a = ~Ftot

Questa è l’equazione centrale di tutta le dinamica.

TERZO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

Ad ogni azione corrisponde una reazione: le due forze hannosempre la stessa direzione, la stessa intensità e verso opposto:

~F1→2 = −~F2→1

Questo è anche conosciuto come il principio di azione ereazione.

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1 INTRODUZIONE

1 Introduzione

Se siamo comodamente seduti su una poltrona, magari davanti ad un cami-no acceso (o, se siamo particolarmente moderni, davanti all’ultima puntata

del nostro reality preferito), diciamo che siamo immobili, mentre se stiamo pre-cipitando dal ventisettesimo piano di un grattacielo di New York, riteniamosenz’altro di essere in movimento (e la cosa ci emoziona!).

Perché? Che cosa ci induce a ritenere scontato questo punto di vista?Del resto, se il pilota di un Mig sfrecciasse accanto alla finestra del nostro

salotto, noterebbe che stiamo seguendo il nostro reality muovendoci alla velocitàdi svariati Mach1 verso la coda del suo aereo; e se venissimo ripresi nella nostradefinitiva caduta verso i marciapiedi di New York da un intrepido giornalistatelevisivo che cade con noi per qualche piano (prima di aprire il paracadute),egli ci vedrebbe immobili, e vedrebbe marciapiedi e grattacielo sfrecciare versol’alto.

Se ci dimentichiamo per qualche istante quanto è comodo stare seduti inpoltrona, e quanto viceversa sia spaventoso cadere dal ventitreesimo piano, seaccettiamo per così dire di elevare il nostro pensiero di un gradino verso unpunto di vista meno soggettivo, possiamo facilmente vedere che lo stato di mo-to di un corpo (descritto univocamente dalla propria velocità) è in se relativoall’osservatore.

Nel libro “Spazio, tempo e gravitazione” l’astronomo britannico Sir ArthurStanley Eddington scriveva, nel lontano 1920:

A volte, per un’abitudine istintiva, a volte intenzionalmente, noi ten-tiamo di eliminare la parte che abbiamo nell’osservazione, e formarecosì una rappresentazione generale del mondo esterno a noi, che siacomune a tutti gli osservatori. Un puntolino che vediamo sul mareall’orizzonte viene interpretato come una grossa nave. Dal finestrinodel nostro scompartimento vediamo una mucca passarci accanto a80 chilometri all’ora, e notiamo che la bestia si sta godendo un mo-mento di riposo. Vediamo il cielo stellato rotare intorno alla Terra,ma decidiamo che in realtà è la Terra che si muove, e così rappresen-tiamo lo stato dell’universo in una maniera che sarebbe accettabileda un astronomo di qualunque altro pianeta.

Così abbiamo in un sol colpo introdotto due idee molto importanti, che provoa sintetizzare in questi termini:

1Il Mach è un’unità di misura della velocità utilizzata nella navigazione aerea, e corrispondealla velocità del suono nel mezzo considerato. Ad esempio, in aria a 20 ◦C il suono si muove allavelocità vsuono = 343 m

s; questo valore, d’altra parte, dipende sensibilmente dalla temperatura

e dalla pressione del fluido in cui il suono si propaga; se fissiamo come mezzo l’aria, possiamoporre pertanto 1Mach ∼= 3.4 · 102 m

s.

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1 INTRODUZIONE

1. Lo stato di moto di un corpo è relativo all’osservatore, e se ci limitiamoa questa considerazione possiamo ritenere ugualmente accettabili tutti ipossibili osservatori: si tratta solo di specificare, di volta in volta, a chistiamo riferendo le velocità rilevate.

2. D’altra parte, condividiamo questa idea comune che alcuni osservatori sia-no “migliori” di altri: ad esempio, per la nostra sopravvivenza, ci convienestabilire che un marciapiedi è immobile e che dobbiamo assolutamenteevitare di essere in movimento, rispetto ad esso, a velocità elevate.

Tutti i ragionamenti che hanno a che fare con la prima idea si possono esprimerepiù facilmente se definiamo il concetto di velocità relativa. Tutti i ragionamen-ti che hanno fare con la seconda idea, invece, trovano la loro base nel concettodi quantità di moto. Il nostro primo obbiettivo è proprio introdurre e definirequesti due concetti.

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2 CINEMATICA E DINAMICA

2 Cinematica e dinamica

Apartire da Kepler, Galilei e Newton nei secoli XVII e XVII e fino alla finedel XVIII secolo l’obbiettivo principale della Fisica era indagare il movi-

mento dei corpi: soprattuto pianeti in astronomia e proiettili in guerra. Questosoggetto viene tradizionalmente diviso in due parti: cinematica2 e dinamica. Lacinematica si occupa della descrizione matematica del movimento e la dinamicadelle cause che lo determinano.

In realtà la questione è un po’ più complessa e merita di essere approfondita.

1. Cinematica.La grandezza fondamentale della cinematica è la funzione posizione x (t)di un corpo che si muove in linea retta: dato il suo grafico, dovresteormai essere in grado di determinare, almeno qualitativamente, la suavelocità istantanea x (t) e la sua accelerazione, x (t); dovreste anche esserein grado di ripercorrere la stessa strada in senso inverso, dall’accelerazionealla velocità alla posizione; è altresì auspicabile che abbiate capito il sensofisico di queste grandezze. Questo è, a grandi linee, il contenuto dellacinematica dei corpi che si muovono in una dimensione.Naturalmente la cinematica è in grado anche di descrivere i movimentidei corpi che si muovono su un piano, quindi in due dimensione, o nellospazio, ossia in tre dimensioni. Tutto a questo punto diventa molto piùinteressante ma anche più difficile, quindi per ora vi dovrete accontentaredella cinematica unidimensionale.Avete forse notato che ho introdotto questo tema in un contesto più ampio,là dove, nel fascicolo “Evoluzione”, vengono spiegate le basi matematichenecessarie per descrivere l’evoluzione delle grendezze fisiche.

2. Dinamica.La dinamica studia le relazioni tra movimento dei corpi e azioni tra i corpida due diversi punti di vista:

(a) Le azioni reciproche tra i corpi materiali determinano il movimento.Un pattinatore scivola leggero e sereno su una pista di ghiaccio, muo-vendosi in linea retta a velocità costante (x (t) = costante). D’im-provviso osservate che si il suo movimento si arresta in modo alquantobrusco, e notate che rimbalza quasi indietro (x grande e di segno op-posto a x) e crolla sul ghiaccio in modo scomposto. Che cosa maisarà successo?, vi chiederete. Avviciniamoci al luogo dell’incidente:ecco, proprio lì, dov’è caduto, vedete che una corda tesa, difficile da

2La parola greca kínema-atos significa “movimento”: lungo i secoli essa si è trasformata nelfrancese cinematique e infine, in italiano, cinematica.

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2 CINEMATICA E DINAMICA

scorgere, attraversa la pista di ghiaccio. Ecco spiegato tutto: la cor-da ha esercitato una breve ed intensa azione, che ha fermato e quasiinvertito il movimento del pattinatore, precipitandolo infine a gambeper’aria. Questa è un’idea molto forte, ossia che un cambiamento divelocità debba necessariamente essere determinato dall’azione di unqualche corpo materiale, in questo caso la corda.Se avete capito questo esempio, è il momento di soccorrere il poverosventurato prima di passare al prossimo punto.

(b) Le velocità relative tra i corpi materiali determinano l’insorgere diazioni.Siete sul ciglio di una strada, un lungo rettilineo: il suo inizio e la suafine si perdono all’orizzonte. Le automobili procedono ordinatamenteda sinistra verso destra, tutte alla stessa velocità. In effetti vannomolto velocemente, ma nessun ostacolo ingombra la strada e quindiquesta è una scena molto tranquilla. Ma ecco, d’improvviso, notateuna piccola utilitaria che si avvicina placidamente ed una spider che latallona, e a qualche decina di metri di distanza, e che procede moltopiù velocemente (x1 > x2): istintivamente vi rannicchiate, perchéavete formulato una previsione nefasta: in pochi istanti la spidertoccherà l’utilitaria che la precede e, a causa della grande differenzadi velocità, si innescherà una spinta violenta (ossia un’azione) chepasserà dalla automobile che segue a quella che precede, e così facendodeformerà entrambe le carrozzerie. Questo fenomeno viene spessochiamato “incidente stradale”.Riconosciamo, da questo punto di vista, che la differenza di velocitàè la causa che può innescare l’interazione tra due corpi; dico “può”poiché l’innesco si verifica solo se le due traiettorie si intersecano: nelnostro esempio, niente accadrebbe se le due automobili procedesserosu traiettorie parallele.

Come vedete, nel primo caso l’azione è causa di una variazione di velocitàdi un corpo, mentre nel secondo caso la differenza di velocità tra i duecorpi è la causa che innesca un’azione.

Nella prossima sezione dobbiamo prepararci ad affrontare il secondo puntodi vista, il che ci porterà a introdurre i concetti di velocità relativa e diosservatore.

Nella sezione successiva, invece, ci prepareremo per affrontare il primo puntodi vista, il che ci porterà a introdurre i concetti di quantità di moto e diosservatore inerziale.

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3 VELOCITÀ RELATIVE

3 Velocità relative

Il suono viaggia alla velocità di 343 ms , che corrisponde approssimativamente Il suono si propaga

in aria sotto forma dionda.

a 1235 kmh .

Questa è una frase apparentemente innoqua, ma a guardar bene essa giàracchiude il succo dell’argomento che ci accingiamo ad affrontare.

Difatti, nel vostro ruolo di apprendisti della fisica, non potete accontentarvidell’informazione che vi ho comunicato, bensì dovete chiedermi rispetto a checosa è misurata la velocità che ho indicato.

Bene, ammettiamo che mi abbiate effettivamente posto questa domanda:dato che sono cortese, cercherò di rispondervi.

In prima battuta possiamo dire che il suono è una vibrazione dell’aria, ossiaun’onda che si propaga nell’aria. Quest’onda parte dal punto dove è collocatala sorgente (ad esempio uno strumento musicale), viaggia in aria e raggiungel’apparato ricevente (il timpano di un orecchio, ovvero la membrana di un micro-fono). La velocità con la quale l’onda si sposta dipende dalla densità del mezzoin cui viaggia: maggiore la densità, più grande la velocità. In acqua il suonoviaggia ad una velocità maggiore rispetto a quella che ho indicato, e nell’ariararefatta è più lento. Nel vuoto il suono non viaggia affatto: la velocità indicatasi riferisce alla propagazione del suono in un’atmosfera in condizioni standard.

Così, quando parliamo di suono, dobbiamo anche indicare il fluido in cui sipropaga, e la frase di apertura deve essere modificata in questo modo: il suonoviaggia alla velocità di 343 m

s rispetto all’aria nel quale si propaga.Poniamo il caso che la campana di una chiesa batta i dodici rintocchi del L’esempio del campa-

nile e della collinaci spiega il significatodella velocità relativa

mezzogiorno. Questo suono attraversa il villaggio e raggiunge una piccola collina(dove si sono radunati i cittadini per una festa). La sommità della collina distadal campanile 1250m.

In un giorno in cui l’aria è quieta, immobile, il suono impiega 1250 m343 m

s

∼= 3.6 s

a raggiungere la collina, e quindi le persone sentiranno il primo rintocco 3.6 s

dopo mezzogiorno.Le cose si fanno più interessanti in una giornata di vento; se, ad esempio,

il vento soffia dal campanile verso la collina e la velocità dell’aria (misuratarispetto al suolo) è di 30 m

s , la velocità del suono rispetto al suolo è 373 ms e il

rintocco giunge alla collina 1250 m373 m

s

∼= 3.3 s dopo essere partito. D’altro canto, seil vento soffia in verso contrario, dalla collina verso il campanile, la velocità delsuono rispetto al suolo è 313 m

s e il rintocco giunge alla collina solo 1250 m313 m

s

∼= 4.0 s

dopo.Che cosa possiamo imparare da queste considerazioni?Dobbiamo anzitutto chiarire un punto: non ha mai senso parlare di velo-

cità, ma solo di velocità relativa, ossia di velocità di qualchecosa rispetto a

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3.1 Osservatori e moto relativo 3 VELOCITÀ RELATIVE

qualchecosaltro.Le leggi della fisica del suono ci permettono di determinare la sua velocità

relativa al mezzo in cui si propaga. Se conosciamo questo velocità e quella delvento possiamo calcolare la velocità del suono relativa al suolo.

In questa introduzione ha fatto la sua comparsa la maggior parte dellequestioni che toccheremo nei prossimi paragrafi.

3.1 Osservatori e moto relativo

Se pronuncio la parola “osservatore”, probabilmente immaginerete un uomo in-Un osservatore è an-zitutto un corpo rigi-do rispetto al qualedecidiamo di misurarele velocità di tutti glialtri corpi

tento ad osservare una vicenda: se questo è il caso, fate male; o forse solo unpochino.

I Fisici, nonostante tutto, hanno spesso un’immaginazione spiccata, ed attri-buiscono titoli altisonanti a nozioni che altri ignorerebbero completamente; cosìin questo caso un osservatore è poco più che un corpo rigido rispetto al qualedecidiamo di misurare le velocità di tutti gli altri corpi: detto in altri termini,così facendo attribuiamo ad un corpo a nostra scelta il ruolo di riferire le nostreosservazioni sul movimento degli altri corpi.

Normalmente, in un discorso qualsiasi indichiamo le velocità dei corpi rispet-to al suolo. Ad esempio, se qualcuno vi dice che è stato multato perché circolavain automobile alla velocità di 168 km

h , non è certo il caso di chiedergli “rispetto acosa”! La scelta di misurare le velocità rispetto alla terra ferma è una convenzio-ne largamente condivisa (tranne dai marinai) e, come ho già avuto modo di dire,trova la sua giustificazione nella necessità della sopravvivenza della specie. Noiora ci poniamo di fronte a questa convenzione con spirito critico, e ci chiediamocome cambiano le cose se utilizziamo un osservatore diverso dal suolo.

Nella figura 1 vediamo un uomo che corre su un nastro trasportatore. IlL’esempio dell’uo-mo che corre su unnastro ci mostracome le velocità mi-surate dipendonodall’osservatore

nastro scorre da sinistra verso destra alla velocità di 4.5 ms rispetto al suolo,

mentre l’uomo corre da destra verso sinistra alla velocità di 5.6 ms rispetto al

nastro.Vediamo quindi che l’uomo corre in verso opposto rispetto al nastro. Se

lo state osservando e siete immobili rispetto al suolo, constatate che si sta af-fannando (dopotutto 5.6 m

s corrispondono più o meno a 20 kmh ) ma, allo stesso

tempo, si sta spostando lentamente rispetto a voi - e la scena potrebbe ancheapparirvi molto ridicola!

Come facciamo a calcolare la velocità dell’uomo rispetto al suolo? In unsecondo il nastro si è spostato di 4.5m verso destra, mentre il nostro atletaè arretrato di 5.6m sul nastro che lo sta trasportando, e così si è spostatocomplessivamente di 1.1m verso sinistra: in breve, la sua velocità rispetto alsuolo è pari a 1.1 m

s da destra a sinistra.

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3 VELOCITÀ RELATIVE 3.1 Osservatori e moto relativo

Figura 1: Un uomo corre su un nastro.

Ora eleviamo il nostro ragionamento speciale al rango di metodo generale:per far questo dovremo ricorrere ai simboli matematici.

Decidiamo di indicare con v le velocità misurate rispetto al suolo, e con u levelocità misurate rispetto al nastro. Così sappiamo dalla figura che vnastro =

+4.5 ms e uuomo = −5.6 m

s (i segni sono relativi all’orientamento consueto, dasinistra verso destra); ora dobbiamo trovare un modo veloce per calcolare vuomo.

Possiamo appoggiarci ad un semplice ragionamento: lo spostamento dell’uo-mo rispetto al suolo, in un dato intervallo di tempo, è uguale allo spostamentodel nastro rispetto al suolo più lo spostamento del uomo rispetto al nastro. Adesempio, se camminate sul ponte di una nave e vi spostate di 15m, e nello stes-so tempo la nave si è spostata di 45m rispetto al molo e nella stessa direzione,vedete facilmente che rispetto al molo vi siete spostati di 60m.

Dato che le velocità sono gli spostamenti nell’unità di tempo, possiamoconcludere che

vuomo = vnastro + uuomo (1)

e applicando questa formula scopriamo che vuomo = −1.2 ms , in accordo a quanto

già determinato. Questa relazione è valida in tutte le situazioni analoghe a quellapresentata, e si chiama legge di composizione delle velocità.

A che velocità dovrebbe correre l’uomo per essere fermo rispetto al suolo?

Se vogliamo stabilire quanto si sta affannando l’uomo che corre, dobbiamomisurare uuomo, mentre se vogliamo stabilire quanto si sposta rispetto al suolodobbiamo misurare vuomo. Come nel caso del suono, faremo riferimento divolta in volta alla velocità relativa adatta al problema che dobbiamo affrontare;d’altra parte questo esempio ci mostra che, in linea di principio, possiamo riferire

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3.1 Osservatori e moto relativo 3 VELOCITÀ RELATIVE

il movimento ad un qualunque corpo.

La stessa formula può essere manipolata e scritta in un modo diverso:

uuomo = vuomo − vnastro (2)

In questo modo contempliamo il suo significato da una diversa prospettiva:la velocità dell’uomo rispetto al nastro è uguale alla differenza tra la velocitàdell’uomo e quella del nastro, misurate entrambe rispetto al suolo. Si trattaquindi di una velocità relativa.

Più in generale, dati due corpi qualsiasi (chiamiamoli “1” e “2”) la velocitàrelativa del corpo 1 rispetto al corpo 2 si calcola così3:

v1(2) = v1 − v2 (3)

e vediamo facilmente che risulta v2(1) = −v1(2).

Consideriamo un secondo esempio.

Sandy e Danny corrono, una incontro all’altra, sul ponte di un translatlanticoL’esempio di Sandye Danny ci mostrache la velocità relati-va non dipende dal-l’osservatore

che segue una rotta parallela alla costa (vedi figura 2); per semplicità suppo-niamo che non ci sia corrente, così che le velocità misurate rispetto all’acquacoincidano con le velocità misurate rispetto alla terraferma; indichiamo conv tutte le velocità misurate rispetto alla terraferma e con u tutte le velocitàmisurate rispetto al ponte dell’imbarcazione.

La velocità del translatlantico è vtrans. = +15 ms ; inoltre uSandy = −3.5 m

s

e uDanny = +2.5 ms e in questo istante i due sono separati da una distanza di

18m. La velocità relativa di Danny rispetto a Sandy è u = +2.5 ms −(−3.5 m

s

)=

−6.0 ms e, se proseguono entrambi a questa velocità, si incontreranno dopo

18 m6.0 m

s= 3.0 s.

Riconsideriamo la stessa situazione da un altro punto di vista. Un osservato-re fermo rispetto alla riva osserva che vSandy = +11.5 m

s e vDanny = +17.5 ms ; la

velocità relativa del ragazzo rispetto alla ragazza è v = +17.5 ms −

(+11.5 m

s

)=

+6.0 ms : vediamo così che la velocità relativa non cambia, sia che venga misu-

rata rispetto al ponte, sia che venga misurata rispetto alla riva, e dato che ladistanza tra i due è la stessa anche per un osservatore fermo rispetto alla riva,ecco che questo osservatore prevede lo stesso intervallo di tempo di 3.0 s.

Questo è un punto molto importante: la velocità relativa di due corpi è lastessa per tutti gli osservatori.

3Il simbolo “1(2)” si può leggere “uno rispetto a due”.

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3 VELOCITÀ RELATIVE 3.1 Osservatori e moto relativo

Figura 2: Sandy e Danny si corrono incontro sul ponte della nave (dietro di loropotete vedere il Sole che si inabissa nel mare al tramonto).

Riepilogo

In questo paragrafo abbiamo introdotto i concetti di osservatore e divelocità relativa.

1. Un osservatore è un qualunque corpo rigido al quale decidiamo diriferire le misure delle velocità di tutti gli altri corpi.

2. Le velocità possono essere misurate rispetto ad un osservatorequalsiasi.

3. La velocità di un corpo, misurata da un dato osservatore, coincidecon la velocità relativa del corpo rispetto all’osservatore.

4. Tutte le velocità misurate sono velocità relative.

5. La velocità relativa di un corpo rispetto ad un altro si calcola così:v1(2) = v1 − v2.

6. La velocità relativa di due corpi è la stessa per tutti gli osservatori.

7. Se v1 e v2 sono le velocità di due corpi rispetto ad un osservatore, eu è la velocità relativa del corpo 1 rispetto al corpo 2, allora vale lalegge di composizione delle velocità: v1 = v2 + u.

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3.2 Legge di composizione delle velocità 3 VELOCITÀ RELATIVE

3.2 Legge di composizione delle velocità

Il vento che trascina il suono e il nastro trasportatore che trascina l’uomo checorre convogliano la nostra attenzione su una grandezza fisica importante: lavelocità di deriva.

Quando un oggetto inerte è immerso in un flusso di materia, che sia unacorrente d’aria, o d’acqua o altro, viene trascinato dalla corrente alla stessa suavelocità: in generale diciamo che questo è un moto di deriva.

I due esempi che abbiamo affrontato hanno permesso di introdurre un validoapproccio per trattare i moti di deriva: la legge di composizione delle velocità.Questa legge è proprio l’argomento principale del paragrafo che state leggendo;nell’equazione 1 vnastro è la velocità di deriva.

Ora, però, dobbiamo spostarci su un punto di vista più panoramico, checi consentirà di affrontare in modo esauriente la questione dei moti di deriva.Notiamo, infatti, che le velocità sono vettori, mentre fino a qui le abbiamotrattate come se fossero grandezze scalari; ciò è stato possibile perché ci siamolimitati a circostanze in cui i movimenti si sviluppavano in una sola dimensione.

È il momento di fare un tuffo nella seconda dimensione, di passare dallaL’esempio del nuota-tore ci mostra il con-tenuto vettoriale dellalegge di composizionedelle velocità.

linea retta al piano. Per lo spazio ci sarà tempo più avanti (molto più avanti,in effetti).

Un fiume scorre tra due rive rettilinee (vedi figura 3). Un nuotatore vuolepassare da una riva all’altra.

Supponiamo che la corrente d’acqua scorra alla velocità di 3.0 ms da sinistra

verso destra. Rispetto all’orientamento degli assi indicato in figura vediamo che

~vcorr. =

(+3.0 m

s

0

)

L’obbiettivo è ovviamente quello di percorrere la minor distanza possibile, equesto significa che il nuotatore cercherà di procedere perpendicolarmente alledue rive e quindi la sua velocità, misurata da un osservatore fermo sulle rive,dovrà avere la sola componenente orizzontale:

~vnuot. =

(0

v

)

Se avete già provato a nuotare in una corrente sufficientemente forte nonfarete fatica a capire che, per raggiungere il suo obbiettivo, il nuotatore dovràprocedere obliquamente rispetto alla corrente: in questo modo parte della suapotenza servirà per compensare l’effetto di deriva dovuto alla corrente, mentrequanto rimane servirà per spostarsi da una riva all’altra. La sua traiettoria deve

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3 VELOCITÀ RELATIVE 3.2 Legge di composizione delle velocità

Figura 3: Il nuotatore deve impiegare parte della sua potenza per vincere lacorrente, e quindi dispone il proprio corpo obliquamente rispetto alle rive. Infigura, il vettore ~unuot. ha la stessa direzione del corpo che solca le acque, mentre~vnuot. ha la stessa direzione della linea che percorre il nuotatore.Con un piccolo sforzo dell’immaginazione potete vedere il suo corpo spostarsiobliquamente.I dati del problema sono ~vcorr., la direzione di ~vnuot. e la lunghezza di ~unuot. esono sufficienti per determinare univocamente il triangolo: provate!

essere pertanto obliqua rispetto al flusso d’acqua, e così anche la sua velocitàmisurata da un osservatore trascinato dalla corrente; per ora possiamo diresoltanto che questa velocità deve avere entrambe le componenti:

~unuot. =

(ux

uy

)

In figura 3 ho disegnato i tre vettori velocità, traducendo nel linguaggio deivettori il nostro discorso: le tre frecce si combinano secondo la legge geometricadella somma vettoriale e quindi possiamo scrivere che

~vnuot. = ~vcorr. + ~unuot.

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3.2 Legge di composizione delle velocità 3 VELOCITÀ RELATIVE

La stessa equazione, scritta in componenti (e dopo una riflessione rispettoall’uguale) diventa (

+3.0 ms

0

)+

(ux

uy

)=

(0

v

)

Concentrandoci sulle componenti orizzontali dei vettori vediamo subito chedeve essere

ux = −3.0 m

s

Questo risultato, tra l’altro, è intuitivo: per non spostarsi orizzontalmen-te rispetto alla riva, il nuotatore deve spostarsi orizzontalmente rispetto allacorrente di tre metri ogni secondo, nel verso negativo.

Per determinare anche uy dobbiamo aggiungere una nuova informazione.Se conosciamo quantovelocemente è in gra-do di avanzare il nuo-tatore, possiamo de-terminare la compo-nente verticale dellasua velocità con ilteorema di Pitagora

Se, ad esempio, il nuotore procede alla massima velocità compatibile con la suapreparazione atletica, diciamo cinque metri ogni secondo, la freccia obliqua deveavere precisamente questa lunghezza. Qui abbiamo un triangolo rettangolo, delquale conosciamo il cateto orizzontale e l’ipotenusa, e così possiamo calcolare ilcateto verticale usando il teorema di Pitagora:

uy = +

√(5.0

m

s

)2

−(3.0

m

s

)2

= +4.0m

s

Il segno, ovviamente, deve essere scelto in accordo all’orientamento dell’assedelle x.

È il momento di passare da questo esempio specifico a considerazioni piùEstendiamo le consi-derazioni appena fat-te al caso di dueosservatori qualsiasi

generali. Nelle prossime righe leggerete simboli suggestivi che, per il momento,non hanno l’onere di giocare un ruolo nei calcoli.

Le rive del fiume e il flusso d’acqua sono due osservatori. Notate bene chel’acqua scorre uniformemente, ed ogni suo punto ha la stessa velocità: per questomotivo possiamo considerare l’intero fiume come se fosse un corpo rigido.

Indichiamo con il simbolo O l’osservatore “riva” e con il simbolo O′ l’osser-vatore “flusso d’acqua”4.

Da questo momento in avanti possiamo fare riferimento a due osservatoriqualsiasi, e al posto del nuotatore parleremo di un generico corpo in movimento.

La velocità del corpo rispetto ad O è ~v, mentre quella misurata da O′ è ~u.La velocità dell’osservatore O′ rispetto ad O è ~vderiva. La legge di composizionedelle velocità si scrive in generale così:

~v = ~vderiva + ~u (4)

4Questi simboli sono semplicemente la lettera “o” maiuscola, scritta in un corsivo elaborato.

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3 VELOCITÀ RELATIVE 3.2 Legge di composizione delle velocità

Siete pronti per cambiare punto di vista? Che lo siate o no, è proprio quantostiamo per fare.

Non esistono solide ragioni per privilegiare uno dei due osservatori. Se sietipigri vacanzieri, sdraiati da mattina a sera sulle rive di questo fiume, per voi sarànaturale identificarvi con l’osservatore O, mentre se amate percorrere il fiumecon uno di quegli sciocchi canottini confiabili dovrete confrontarvi piuttosto conl’osservatore O′: solo le circostanze specifiche possono dirci, di volta in volta,qual è la scelta più adeguata.

Se sceglieteO′ dovrete considerare l’acqua immobile e a questo punto vedretele rive in movimento alla velocità

~uriva =

(−3.0 m

s

0.0 ms

)

La riva va alla deriva! (ho fatto battute migliori, credetemi)

Dal punto di vista di O′ la legge di composizione delle velocità deve esserescritta così:

~u = ~uderiva + ~v (5)

l’equazione 4 può essere riscritta spostando i vari termini,

~u = −~vderiva + ~v (6)

e confrontando l’equazione 5 con la 6 concludiamo che

~uderiva = −~vderiva (7)

L’ultima equazione si interpreta facilmente osservando che la deriva di O′

rispetto ad O è opposta alla deriva di O rispetto ad O′.

Riepilogo

In questo paragrafo abbiamo elevato la legge di composizione dellevelocità al rango di relazione vettoriale.

1. Le velocità dei corpi sono vettori.

2. Due diversi osservatori misurano velocità diverse dello stesso corpo.

3. La legge di composizione delle velocità è ~v = ~vderiva + ~u.

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3.3 Collisioni 3 VELOCITÀ RELATIVE

3.3 Collisioni

Un masso precipita da una parete rocciosa e si schianta a fondovalle.Un rinoceronte infuriato carica un gruppo di turisti e conficca violentemente

il proprio muso sul fianco di una Jeep.Un blocco di roccia eruttato da un vulcano percorre un’ampia parabola in

cielo e si schianta su un treno in movimento duemilacinquecento metri più inbasso.

Un tennista colpisce violentemente la pallina da tennis con la propria rac-chetta.

Due palle da biliardo carambolano ad altissima velocità sul tappeto verde,le loro traiettorie si intersecano e dopo avere cozzato violentemente l’una control’altra proseguono in direzioni e con velocità diverse.

Tutti questi sono esempi di collisione. Prima di occuparcene dettagliatamen-te dobbiamo individuare le caratteristiche che hanno in comune.

1. Sono sempre coinvolti due corpi: il masso e il fondovalle; il rinoceronte ela Jeep; il blocco e il treno; la racchetta e la pallina; il pattinatore e ilbambino; le due palle da biliardo.

2. Le traiettorie dei due corpi si intersecano ed essi si scontrano.

3. La collisione è sempre violenta e la sua durata è relativamente piccolarispetto a tutti gli altri tempi in gioco: ad esempio, siete in grado diseguire nel dettaglio cosa succede quando la pallina da tennis colpisce laracchetta?

Gli esempi che ho esposto contengono anche alcune complicazioni che per ilmomento dobbiamo assolutamente ignorare:

– le traiettorie dei corpi, prima e dopo la collisione, sono complicate e sisviluppano nello spazio a tre dimensioni;

– i corpi si possono deformare in modo complesso: avete un’idea di che cosapuò fare un rinoceronte alla Jeep?

– prima e dopo la collisione ciascuno corpo può ruotare su se stesso: si pensiall’esempio delle palle da biliardo.

Se riduciamo all’osso la questione, ciò che rimane è un sistema costituito da dueoggetti che procedono in linea retta l’uno contro l’altro, verso un drammaticodestino: un urto5 violento. Il nostro obbiettivo è imparare a descrivere adegua-tamente questa classe di fenomeni e cominciare ad indagare le leggi fisiche cuiessi soggiaciono.

5A scanso di equivoci, vorerei sottolineare che i termini “urto” e “collisione”,sostanzialmente, sono sinonimi.

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3 VELOCITÀ RELATIVE 3.3 Collisioni

Consideriamo, per cominciare, l’esempio riportato in figura 4 . Un proiettile L’esempio del proiet-tile e del blocco orien-ta la nostra attenzio-ne verso il corpo uni-co che si forma dopo lacollisione

Figura 4: Urto anelastico: il proiettile rimane conficcato nel blocco e i dueformano un corpo unico

si conficca in un blocco di legno, che all’inizio appoggia su un tavolo orizzontale:dopo l’urto i due corpi rimangono collegati e procedono insieme nel verso cheaveva il proiettile. Se m1 ed m2 sono le masse dei due corpi, la massa totale delsistema, e quindi anche del corpo che si forma dopo l’urto, è mtot = m1 +m2.

Potete stabilire a priori, senza alcun calcolo, quale sarà la velocità del corpounico se la massa del proiettile e la massa del blocco sono uguali?

Nell’esempio appena affrontatato uno dei due corpi era immobile prima dellacollisione, il che semplifica la descrizione del fenomeno; in generale, d’altra parte,entrambi i corpi sono in movimento prima di scontrarsi.

In figura 5 potete osservare due automobili che procedono lungo la stessa L’esempio delle dueautomobili ci fa capireche la velocità relativadetermina la violenzadella collisione.

corsia; l’urto avverrà in entrambi i casi considerati.

Nella situazione considerata in figura 5a (un tamponamento) le due velocitàsono ugualmente orientate; la violenza dell’urto è determinata dalla velocitàrelativa dell’auto 1 rispetto all’auto 2, che in questo caso vale vrel = 120 km

h −80 km

h = 40 kmh . In figura 5b, invece, le due velocità hanno orientamento opposto

(uno scontro frontale): in questo caso la velocità relativa è vrel = 120 kmh −(

−80 kmh

)= 200 km

h e lo scontro sarà estremamente più violento.

Se ammettiamo che dopo la collisione le due automobili si deformino a talpunto da rimanere collegate vediamo che questo esempio appartiene alla stessacategoria del primo. In entrambi i casi i due oggetti procedono collegati dopo lacollisione, il che può essere formulato matematicamente in due modi equivalenti:

– le due velocità finali sono uguali ad un valore comune v: v1,fin = v2,fin (= v);

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(a) Le due macchine procedono nellostesso verso.

(b) Le due macchine procedono in versoopposto.

Figura 5: Urto tra due oggetti in movimento sulla stessa traiettoria rettilinea.

– la velocità relativa finale è uguale a zero: vrel,fin = 0.

Tutti gli urti con questa caratteristica vengono definiti anelastici: potretecapire il significato di questo termico tra poco.

In contrapposizione agli urti anelastici vi sono quelli elastici.

L’esempio più famoso è quello del gioco del biliardo: in figura 6 potete vedereL’esempio delle palleda biliardo ci portaa stabilire una leggedi riflessione per lecollisioni elastiche.

che la boccia bianca si avvicina ad una boccia immobile: in seguito all’urto laboccia bianca si ferma e quella che prima era immobile parte alla stessa velocitàche aveva la bianca prima di colpirla, ossia le due bocce si scambiano le velocità(figura 7a).Se osserviamo lo stesso urto da un sistema di riferimento in movimento (semprein figura potete osservare una cinepresa che si muove su un binario alla velocità+v

2 ) le velocità delle due bocce hanno altri valori, ma il risultato dell’urto èsempre lo stesso: le due velocità si scambiano (figura 7b). Questa regola moltosemplice è vera solo nel caso speciale che le due bocce abbiano esattamente lastessa massa6

Figura 6: La boccia bianca colpisce una boccia immobile e la scena è ripresa dauna cinepresa che si muove parallelamente alla boccia bianca a metà della suavelocità.

6Di solito nel gioco del biliardo vediamo una boccia proseguire anche dopo che ha colpito(esattamente in asse) una seconda, che all’inizio era ferma. In questo caso la situazione è piùcomplessa rispetto a quella descritta perché le bocce, oltre a muoversi in linea retta, ruotanosu se stesse.

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3 VELOCITÀ RELATIVE 3.3 Collisioni

Che cosa possiamo dire a proposito della velocità relativa prima e dopo lacollisione?

Dal punto di vista dell’osservatore solidale con il tavolo da biliardo, vrel,prima =

v − 0 = v e vrel,dopo = 0 − v = −v; dal punto di vista dell’osservatore solidalecon la telecamera il calcolo è diverso, ma il risultato è lo stesso: vrel,prima =v2 −

(−v

2

)= v e vrel,dopo = −v

2 −v2 = −v. Pertanto la velocità relativa do-

po l’urto è opposta e (per qualunque osservatore) opposta alla velocità relativaprima dell’urto.

(a) Le velocità vengono misurate rispettoal tavolo da biliardo: in seguito all’urto laboccia bianca si ferma e la boccia, che pri-ma era immobile, parte alla stessa velocitàche aveva la bianca prima di colpirla.

(b) Se la scena viene ripresa dalla cine-presa, vediamo le due bocce avvicinarsiad un centro comune con velocità oppo-ste di pari intensità, urtarsi e in seguitoallontanarsi ciascuna con la velocità cheprima aveva l’altra.

Figura 7: Palle da biliardo. Quando due oggetti con la stessa massa si urtanoelasticamente, le loro velocità si scambiano.

Notate bene che con il “Pertanto” con il quale ho aperto l’ultima frase hosorvolato fin troppo allegramente sul fatto che due esempi non bastano per trarreuna conclusione generale: siete in grado di dimostrare che la velocità relativafinale è opposta a quella iniziale per qualunque osservatore?

D’ora in avanti definiremo elastica qualunque collisione nella quale

vrel,dopo = −vrel,prima (8)

Possiamo decidere di chiamare l’equazione 8 con un’espressione suggesti-va: legge di riflessione (per capire il senso del termine “riflessione” osserva-te nuovamente la figura 7b). Questa legge è l’essenza stessa di una collisioneelastica.

Capiamo il perché dell’aggettivo “elastico” se pensiamo ad esempio che unapalla da basket che rimbalza su un terreno sufficientemente compatto è un esem-pio di collisione approssimativamente elastica. All’altro estremo dello spettrodelle collisioni vi sono quelle anelastiche7, nelle quali la velocità relativa vienecompletamente annullate: questi fenomeni intervengono quando uno o entram-

7Il prefisso “an”, in greco, indica negazione.

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bi i corpi sono plastici, ovvero mantengono la deformazione conseguente adun’azione esterna: il blocco di legno del primo esempio è sicuramente plastico.

Osserviamo che la velocità relativa è la grandezza cinematica adatta perPer comprendere ladinamica di un ur-to dobbiamo riferircia tre grandezze fisi-che: velocità relativa,quantità di moto edenergia.

caratterizzare gli urti, e troviamo una conferma nel fatto che essa è indipendentedall’osservatore, dunque è una caratteristica assoluta dell’urto, e non relativa achi lo osserva.

In un qualunque urto, che sia elastico, anelastico o un compromesso tra idue estremi, dobbiamo prendere in considerazione accanto alla velocità relati-va anche le masse dei due corpi coinvolti: quando sono uguali è molto facileprevedere l’esito della collisione.

In generale, però, esse saranno diverse. Si pone pertanto il problema diindividuare le leggi fisiche che regolano questi fenomeni e che permettono dideterminarne univocamente l’esito. Affronteremo la questione gradualmente, evedremo che sarà necessario introdurre due nuove grandezze fisiche: la quantitàdi moto e l’energia.

La prima delle due ci porterà nel regno della dinamica, le seconda in un con-testo molto più ampio che abbraccia tutti i fenomeni del mondo fisico. Entrambele grandezze soggiaciono ad un principio di conservazione.

Riepilogo (e un approfondimento)

Una collisione binaria unidimensionale è un evento che risponde aqueste caratteristiche:

1. Due corpi che si muovono lungo la stessa traiettoria rettilinea collidonoviolentemente.

2. La durata della collisione è talmente breve che non siamo interessati alsuo dettaglio. In rapporto ad essa distinguiamo un (immediatamente)“prima” e un (immediatamente) “dopo”.

3. In seguito all’urto, i due corpi possono:

(a) rimanere collegati e proseguire insieme: in questo caso parliamodi urto anelastico;la velocità relativa dei due corpi dopo l’urto, in questo caso, èuguale a zero.

(b) rimbalzare e proseguire su traiettorie divergenti: in questo casoparliamo di urto anelastico.le velocità prima e dopo l’urto sono soggette ad una legge diriflessione: vrel,dopo = −vrel,prima.

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3 VELOCITÀ RELATIVE 3.4 Esplosioni

4. Durante la collisione i due corpi costituiscono un sistema isolato, peruna o entrambe le ragioni qui elencate:

(a) questo sistema è effettivamente isolato, perché niente loinfluenza, prima, durante o dopo la collisione.

(b) le forze che si sviluppano durante la collisione hanno un’inten-sità tale che tutte le forze esterne al sistema possono esseresensatamente trascurate.

5. Supponiamo che tutti i dettagli sulla rotazione dei corpi su se stes-si o su eventuali deformazioni conseguenti all’urto possano venirecompletamente ignorati.

6. Il problema fondamentale che formuliamo a proposito delle collisioniè questo:determinare le velocità finali dei corpi, una volta note le velocitàiniziali.

7. Quali sono le leggi fisiche coinvolte in una collisione?

3.4 Esplosioni

Immaginiamo di filmare un’urto completamente anelastico e di proiettare il filmal contrario, ossia di far scorrere le immagini dall’ultima alla prima. In questocaso osserveremmo un corpo, un blocco unico, che ad un certo punto comincia adividersi (in modo repentino e senza ragione apparente) in due frammenti che siallontanano sempre di più l’uno dall’altro, ciò che potremmo chiamare esplosionespontanea (figura 8). Ora il punto è che a nessuno di noi è mai capitato diosservare qualcosa del genere, perché il fenomeno che ho descritto non può avereluogo nell’universo fisico che conosciamo! Il processo spontaneo di suddivisionein frammenti è impossibile; affinché un’esplosione abbia luogo è necessario cheun certo quantitativo di energia venga trasferito al blocco, esattamente la stessaenergia che era apparentemente scomparsa nell’urto elastico, quando in seguitoalla collisione la differenza di velocità tra le due parti si è annullata. L’energianecessaria per realizzare un’esplosione deve essere messa a disposizione da unaltro sistema, ad esempio da una carica esplosiva collocata all’interno del corpo.

Ammettiamo, pertanto, che davanti ai nostri occhi vi sia una bomba, che La velocità relativadei due frammenti di-pende dall’energia li-berata nell’esplosione.

giace in apparente stato di quiete. Essa appoggia su un binario rettilineo (privodi attrito) che costringerà i due frammenti, prodotti dall’esplosione, a procederelungo il binario. La massa complessiva della bomba èm, mentre i due frammenti

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3.4 Esplosioni 3 VELOCITÀ RELATIVE

Figura 8: La fase dell’esplosione ha un inizio naturale: l’ultimo istante prima cheincominci la deflagrazione della carica all’interno del corpo; allo stesso modo, hauna fine altrettanto naturale: il primo istante in cui i due frammenti sono liberi,ovvero è terminata l’azione della carica esplosiva. È un errore considerare, comefine del processo, l’istante in cui i due frammenti, a causa di azioni esterne, sisono fermati.

hanno massa m1 ed m2: se si può trascurare la massa dei gas che si disperdonodopo la deflagrazione vediamo facilmente che deve essere m = m1 +m2.

Nel caso molto particolare in cui m1 = m2 è ovvio che i due frammentiverranno proiettati in verso opposto con uguali velocità: più esattamente, essiavranno velocità +v e −v. Tanto più è efficace la carica esplosiva, tanto piùè grande il valore di v: vedremo che questo valore, in effetti, è determinatodall’energia liberata nell’esplosione (e, ovviamente, dalla massa dei frammenti).Dobbiamo tenere presente che non esiste modo di determinare il valore di v finoa quando non sapremo l’esatta dinamica dell’esplosione.

Se il primo frammento si trova a sinistra, come in figura 8, la velocità relativasarà vrel = −v − v = −2v: ad esempio, se v = 25 m

s è vrel = −50 ms .

Che cosa succede se la stessa bomba, prima dell’esplosione, procedeva lun-Possiamo capire cosasuccede se la bom-ba è in movimen-to prima dell’esplosio-ne scegliendo l’osser-vatore solidale con labomba.

go il binario ad una determinata velocità, ad esempio+30 ms ? Se osserviamo

l’esplosione a cavallo di una telecamera che si muove parallelamente alla bom-ba alla stessa velocità (come nella situazione descritta in figura 6), vedremola bomba immobile e i due frammenti proiettati a velocità u1 = −25 m

s eu2 = +25 m

s ; applicando la legge di composizione delle velocità possiamo de-terminare le velocità dei frammenti rispetto ad un osservatore solidale con ilbinario: v1 = 30 m

s − 25 ms = 5 m

s e v2 = 30 ms + 25 m

s = 55 ms - e la velocità

relativa è 55 ms − 5 m

s = 50 ms anche rispetto a questo osservatore. In questo

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caso, dopo l’esplosione i frammenti proseguono nello stesso verso, ma il primo èstato rallentato, e il secondo accelerato.

L’esplosione, pertanto, si lascia descrivere più facilmente da un osservatorenel quale la bomba è inizialmente in stato di quiete.

Che cosa possiamo dire se i due frammenti hanno una massa diversa? Non è sufficiente cono-scere la velocità relati-va nel caso i due fram-menti abbiano massadiversa.

Dato che abbiamo stabilito che la velocità relativa è determinata dalla ca-rica esplosiva, ora dobbiamo capire in quale modo essa si ripartisce tra i due;per semplicità continuiamo a supporre che la bomba, prima dell’esplosione, siaimmobile.

È il momento di fare una piccola pausa, di prenderci un po’ di tempo perriflettere sul metodo scientifico.

Sapete, soprattutto perché vi è stato ripetuto più e più volte, che il fulcro dellaricerca è la sperimentazione. Di fronte ad un nuovo fenomeno, solo gli esperimenti,condotti e ripetuti con sistematicità, possono pronunciare la parola definitiva sulleleggi che lo governano.

Ad esempio, ripetuti esperimenti sulla caduta di un corpo, mostreranno che(nel caso l’attrito dell’aria sia trascurabile) l’accelerazione non dipende dalla mas-sa del corpo, ed ha un valore costante di 9.8 m

s2. Questa legge, che è stata stabilita

da Galileo, è nota anche come principio di equivalenza - e di questo principioci occuperemo diffusamente in un altra parte del corso.

Ciò che voglio puntualizzare è che Galileo non ha dovuto attendere l’esito ditutti i suoi esperimenti per cominciare ad intuire i contorni di questa legge. Possoimmaginare, ad esempio, che qualche osservazione preliminare sia stata sufficienteper concepire questo principio, per formulare un’ipotesi di lavoro che più o menosuonava in questo modo:

«Pare proprio che l’accelerazione sia la stessa per tutti i corpi! Que-sto è sorprendente, poiché pensavo che i corpi più massicci avesseroun’accelerazione maggiore! Vediamo un po’, qui devo progettare unaserie di esperimenti per dimostrare che le cose stanno proprio così...»

Dunque il processo di ricerca è articolato in questo modo:

1. Noi esseri umani siamo curiosi, osserviamo i fenomeni e formuliamointerrogativi su ciò che si manifesta ai nostri occhi.

2. Siamo inoltre in grado di ignorare ciò che disturba la nostra ricerca, e diconcentrarci di volta in volta su diversi aspetti: ad esempio, nella caduta deicorpi possiamo decidere in un primo tempo di indagare cosa succede quandol’attrito dell’aria è trascurabile, e solo in un secondo tempo potremo cercaredi comprendere il ruolo dell’attrito.

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3. Abbiamo la capacità di immaginare, di intuire la legge nascosta nei fenomeniche osserviamo: così abbiamo anche il dovere di esercitare questa facoltàe di formulare un’ipotesi di lavoro, ossia di proporre una legge fisica chedovrà essere sottoposta a verifica.

4. A questo punto dobbiamo programmare una serie di esperimenti, che hannoil compito di verificare la legge o di confutarla.

In questo processo hanno, secondo me, un ruolo ugualmente importante l’intui-

zione che segue la nostra curiosità, e la successiva sperimentazione sistematica.

Oggi eserciteremo la nostra intuizione proprio sull’esempio dell’esplosione.

Dunque, che cosa ne pensiamo della questione? Se i due frammenti sonouguali, le loro velocità dopo le esplosione avranno la stessa intensità e versoopposto. E se invece m1 fosse più piccola di m2? Senz’altro le due velocitàdovranno essere diverse, ma quale delle due sarà la più grande?

Ora interrompete la lettura quanto basta per trovare da soli la risposta. Dateun’occhiate anche alla figura 9, ma solo alla figura, non leggete la didascalia.

Siete tornati? Avete portato con voi la risposta? Speriamo di si: in tal casopossiamo confrontare le nostre conclusioni.

A me sembra intuitivo affermare che il frammento di massa maggiore dovràProviamo ad intuirequale legge fisica rego-la l’esplosione.

essere meno veloce. Vorrei spingermi oltre, e cercare di calcolare il rapporto trale due velocità.

(a) Magda ed Eric sono in piedi, im-mobili, sulla superficie liscia di un la-go ghiacciato. Possiamo considerli, inquesto istante, come se fossero un corpounico.

(b) Qualche cosa è successo: Magda daun violento spintone ad Eric, che si sbi-lancia e comincia a scivolare indietro. Maanche la ragazza viene proiettata in versoopposto e scivola sulla pista ghiacciata.

Figura 9: La massa del ragazzo è più grande della massa della ragazza, e l’effettodella spinta, pertanto, è maggiore su di lei.

Ritornando alla bomba con cui abbiamo aperto il paragrafo, diciamo che lacarica esplosiva è la stessa, così che la velocità relativa sarà −50 m

s in ogni caso.Per fissare le idee diciamo che m1 = 2.0 kg e m2 = 3.0 kg. Il rapporto tra le

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masse è m1

m2= 2

3 . Ora formulo l’ipotesi di lavoro: che esista una relazione diproporzionalità inversa tra masse e velocità:

v2

v1= −m1

m2(9)

(il segno “−” è necessario perché una velocità e negativa e l’altra positiva).Questa è l’ipotesi più semplice: non è detto che sia giusta, e solo gli esperimentipotrenno dircelo.

Procediamo cionondimeno ammettendo che l’equazione 9 sia vera e traiamo-ne le debite conseguenze. Otteniamo anzitutto la relazione v2

v1= − 2

3 , o anchev2 = − 2

3v1; dunque vrel = v1−(− 2

3v1

)= 5

3v1, ma è anche vero che vrel = −50 ms

e quindi5

3v1 = −50 m

s

e quindi v1 = −30 ms e v2 = +20 m

s .

Nel capitolo 4 riaffronteremo la questione da un’altro punto di vista, e saremoin grado di stabilire se la nostra ipotesi di lavoro è corretta o no. Nel frattemponotiamo che l’equazione 9 può anche essere riscritta in un’altra forma (che poteteottenere facilmente riarrangiando i termini):

m1v1 +m2v2 = 0 (10)

Personalmente ritengo che la 10 abbia un aspetto più gradevole della 9, eavrete modo voi stessi di decidere quale delle due è più interessante fra nonmolto.

Riepilogo

Un’esplosione è un evento che risponde a queste caratteristiche:

1. Un corpo si separa improvvisamente in due o più frammenti. Persemplicità ci limitiamo al caso che i frammenti siano due, e che dopoessersi separati procedano in linea retta.

2. Se pensiamo di scambiare tra loro il passato ed il futuro di unacollisione anelastica, otteniamo un’esplosione.

3. L’esplosione non può avvenire spontaneamente: deve esserci un qual-che meccanismo interno che metta a disposizione l’energia necessaria;questo meccanismo può essere

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(a) una carica esplosiva: in questo caso l’energia viene libera-ta, grazie ad un processo chimico, sotto forma di gas che siespandono;

(b) una spinta muscolare: in questo caso l’energia viene liberata,grazie ad un processo biochimico, attraverso il movimento dellebraccia;

(c) una molla compressa, interposta tra i due frammenti: in questocaso l’energia è accumulata nella molla e viene liberata attraversola sua espansione.

Provate a individuare altri possibili meccanismi.

4. La velocità relativa dei due frammenti dipende dalla quantità dienergia liberata.

5. Per studiare il caso di una bomba in movimento prima dell’esplosione,scegliamo l’osservatore solidale con la bomba.

6. Se i due frammenti hanno uguale massa, le loro velocità hanno stessaintensità e verso opposto.

7. Per determinare le due velocità nel caso che le masse siano diverse,abbiamo ipotizzato che v1

v2= −m2

m1e dobbiamo ancora verificare see

questa legge fisica sia effettivamente corretta.

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4 QUANTITÀ DI MOTO

4 Quantità di moto

Oggi contempleremo la genesi di un’idea. Il compito che ci attende puòsembrare strano, ma è un’attività che ha coinvolto molto i fisici teorici del

XX secolo: dobbiamo costruire una nuova grandezza fisica elencando anzituttole sue proprietà; in altri termini, questa grandezza dovrà soddisfare alcune nostrerichieste, così che essa possa descrivere adeguatamente le nostre esperienze e leintuizioni che, in quanto esseri umani, formuliamo sul mondo fisico.

L’incarico che ci proponiamo appartiene a quel corteo di attività che pren-de il nome di Fisica Teorica. L’attività del fisico teorico attinge alla sorgentedell’attività sperimentale: di fronte al abbondanza di esperienze sul mondo sen-sibile abbiamo il compito di filtrare ciò che vi è di essenziale, e per far questodobbiamo evidentemente disporre di un setaccio: e questo setaccio altro non èche la nostra capacità di intuire un ordine al di sotto della grande varietà deifenomeni.

In questa fase del nostro percorso ci stiamo interessando dei fenomeni della Il modello dei vasicomunicanti è la ba-se per comprendere ilruolo della quantità dimoto e della velocitànella dinamica.

dinamica dei corpi; abbiamo già individuato la grandezza cinematica adattaper descrivere i risultati degli esperimenti: la velocità relativa; ora dobbiamoindividuare il suo partner naturale, in un senso che possiamo capire ritornandoalle esperienze fatte nell’ambito dell’idraulica.

Quando due vasi colmi d’acqua sono collegati da un condotto posto alla lorobase, la differenza di pressione alle estremità del condotto è la spinta che mettein movimento una corrente di volume d’acqua. Le due grandezze fondamentalidell’idraulica, pertanto, sono la pressione e il volume d’acqua.

Se la differenza di pressione è uguale a zero i due vasi sono all’equilibrio:nulla accade.

Se due corpi hanno la stessa velocità, ossia se la loro velocità relativa èuguale a zero, nulla accade: diremo che il sistema dei due corpi è all’equilibriomeccanico.

Se vi è differenza di pressione - e il rubinetto del condotto è aperto - siinstaura una corrente d’acqua e del volume fluisce da un vaso all’altro.

Se vi è differenza di velocità potrà avvenire una collisione tra i due corpi -ovvero può esserci stata un’esplosione nel loro passato: in una collisione o inuna esplosione i due corpi si spingono reciprocamente.

Così ci poniamo una domanda: possiamo interpretare la spinta reciprocacome una corrente di un qualche cosa? E qual è la grandezza fisica che fluisceda un corpo all’altro in virtù di una differenza di velocità?

Stiamo cercando, in altri termini, di costruire la teoria della dinamica in ana-logia alla teoria dell’idraulica: dobbiamo in altri termini individuare le grandezzemancanti in questa tabella:

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4.1 Accumuli 4 QUANTITÀ DI MOTO

livello quantità corrente spinta

P V IV P1 − P2

v ? ?? vrel

Solo gli esperimenti potranno dirci se questo approccio è quello giusto: perora si tratta solo di un’idea guida.

La grandezza fisica analoga al volume d’acqua è la quantità di moto:essa deve soddisfare la richiesta di completare il quadro dell’analogia, oltrealla richiesta essenziale di potere essere misurata con una qualche proceduraoperativa.

Il setaccio che ci permetterà di filtrare le esperienze significative è que-Nel nostro camminoci concentreremo an-zitutto sui fenomeniche coinvolgono duecorpi che interagisco-no mutuamente.

sta idea, di studiare anzitutto cosa succede ad un sistema di due corpi cheinteragiscono.

In questo percorso dovrete fare spesso riferimento a ciò che già sapete. Inquanto esseri umani (presumo lo siate) possedete un intuito naturale per lequestioni elementari che riguardano la dinamica dei corpi: si tratta solo diorganizzare le vostre conoscenze in un tutto coerente e di convenire sul significatodelle parole che utilizziamo.

4.1 Accumuli

Immaginate di dover bloccare una palla da baseball. Si sta muovendo veloce ver-so di voi, l’afferrerete con la mano e nel volger di un batter di ciglia l’arresteretecompletamente. Possiamo esprimere questa circostanza in altri termini:

Quando la palla è in movimento possiede quantità di moto e perfermarla dobbiamo sottrargliela tutta.

La frase che abbiamo formulato contiene, in embrione, la definizione operativadella quantità di moto e, in pratica, tutte le sue proprietà.

Questa definizione è l’idea dalla quale vogliamo partire, e corrisponde adesempio al fatto che arrestare un rinoceronte che ci sta caricando è più difficileche bloccare la palla da baseball: l’uno possiede più quantità di moto dell’altra.

Il simbolo normalmente usato per indicare la quantità di moto è p.Notate ora che, se vogliamo attribuire a questa grandezza il compito di misu-

rare “quanto movimento” dobbiamo sottrarre ad un oggetto per fermarlo, ovveroquanto dobbiamo trasferirgliene quando è fermo per farlo muovere, dobbiamoriconoscere a p queste due proprietà:

1. Se dovete arrestare completamente il movimento di due oggetti, uno conquantità di moto p1 e uno con quantità di moto p2, dobbiamo sottrare alsistema dei due oggetti la quantità totale p = p1 + p2 (figura 10).

30

4 QUANTITÀ DI MOTO 4.1 Accumuli

Figura 10: L’uomo a sinistra deve bloccare il movimento del sistema: quandoil corpo all’interno del carrello avrà smesso di oscillare, egli avrà sottratto alsistema la quantità di moto p = p1 + p2 (scaricandola a terra, poiché in casocontrario dovrebbe mettersi in movimento egli stesso).

2. Se un oggetto possiede la quantità di moto pin e lo colpiamo, trasferendoglila quantità4p, esso possiederà alla fine la quantità pfin = pin+4p (figura11).

Figura 11: L’uomo a sinistra colpisce in volo quello a destra. Dopo la collisione,una certa quantità di moto 4p si è traferita dall’uno all’altro.Questo esempio contiene in germe tutti gli elementi che verranno sviluppatisotto i titolo “Conservazione” e “Trasferimenti”.

In altri termini p è una grandezza estensiva, e dal momento che il prototipo di La quantità di moto diun corpo è una gran-dezza fisica estensiva:può essere accumulatae trasferita.

tutte le grandezze estensive è il volume d’acqua, possiamo decidere di raffigurarcip con le stesse immagini dell’idraulica. In particolare, un corpo che contiene unadata quantità di moto p può essere rappresentato come in figura 12. Vedremo

31

4.2 Trasferimenti 4 QUANTITÀ DI MOTO

più avanti, inoltre, che c’è un ottimo motivo per disegnare un vaso di formacilindrica.

Figura 12: Un corpo in movimento possiede quantità di moto: possiamo raf-figurarci il “possesso” con l’immagine del vaso contenente un fantasioso liquido“quantità di moto”.

Questa è una grandezza fisica fondamentale e in quanto tale meriterebbe unasua unità di misura; putroppo nel SI alla sua unità di misura non viene datoalcun nome e così noi ci prendiamo la libertà di inventarcene una: prenderemoin prestito il nome di uno dei fisici che per primi si sono occupati di p, il mate-matico, fisico e astronomo olandese Christian Huygens, vissuto nel XVII secolo.Abbreviamo il suo nome con la sigla Hy e poniamo pertanto

[p] = Hy

L’unità di misura Hy è legata in un modo molto preciso alle unità ufficialidel SI: vedremo in qual modo fra non molto.

4.2 Trasferimenti

Per variare lo stato di moto di un corpo non c’è altro da fare che agire su diesso. Vi è mai capitato di osservare un qualche oggetto prendere il volo senzache niente lo colpisse, o che una mano lo scagliasse, o che una corrente d’aria lotrascinasse con se? Se vi è successo, vi consiglio di rivolgervi immediatamenteai Ghostbusters, sezione Poltergeist!

In termini più tecnici, possiamo esprimerci così:

Se la quantità di moto di un corpo sta aumentando o diminuendo,vuole dire che la quantità in più o in meno viene trasferita da o versol’ambiente.

Questa idea è illustrata nella figura 13.

32

4 QUANTITÀ DI MOTO 4.2 Trasferimenti

(a) Una corrente di quantità dimoto entra nel sistema e p aumenta.

(b) Una corrente di quantità di motoesce dal sistema e p diminuisce.

Figura 13: Un sistema può scambiare quantità di moto con l’ambiente. Iltrasferimento può essere più o meno veloce: Ip è la corrente di quantità dimoto.

La freccia verde rappresenta proprio il trasferimento di quantità di moto;notiamo che questo trasferimento può richiedere un tempo più o meno lungo.

Ad esempio, una persona molto forte potrà bloccare un oggetto massiccioe compatto che procede velocemente verso di lui afferrandolo con la mano efermandolo in un tempo molto breve, diciamo in 1/100 di secondo, mentre unapiù debole potrà ugualmente fermare lo stesso oggetto con un gesto più ampioe lento, della durata, diciamo, di 3/10 di secondo: la quantità di moto sottrattanei due casi è la stessa, ma il trasferimento è molto più rapido nel primo casoche nel secondo. Per completare l’esempio numerico, poniamo che prima dibloccare l’oggetto p sia pari a 75Hy: la prima persona sottrae questa quantitàalla velocità media 75Hy/0.01 s = 7500 Hy

s e la seconda alla velocità media75Hy/0.3 s = 250 Hy

s .

Con la freccia verde vogliamo proprio rappresentare la velocità istantanea deltrasferimento, e non la sua entità complessiva in un arco di tempo determinato:questo significa che con essa rappresentiamo una corrente di quantità dimoto, che indicheremo con il simbolo Ip; l’unità di misura della corrente è

[Ip] =Hy

s

Nei prossimi disegni, l’intensità della corrente sarà rappresentata dallo spes-sore della freccia: in altri termini, più veloce sarà il trasferimento e più spessasarà la freccia; naturalmente il valore di questa rappresentazione è soprattuttoqualitativo.

La freccia tratteggiata, invece, rappresenta la velocità istantanea di varia-zione della quantità di moto, p: se la corrente entra nel corpo p > 0 (figura 13a)mentre quando esce p < 0 (figura 13b).

33

4.3 Conservazione della quantità di moto 4 QUANTITÀ DI MOTO

Si stabilisce così questa idea molto forte della necessità di un tra-sferimento. Se un corpo è isolato, la sua quantità di moto non puòche rimanere costante: se è fermo rimane fermo, se si muove con-tinuerà a farlo nello stesso modo. Se invece il suo stato di motocambia, dobbiamo guardarci intorno e scoprire il meccanismo deltrasferimento.

Per quanto la fisica abbia la fama di occuparsi di questioni poco comprensibili,il punto che ho appena sottolineato è intimamente condiviso da tutti. Quandonel mondo di Harry Potter gli oggetti in movimento vengono fermati agitandola bacchetta e pronunciando le parole aresto momentum! ci è chiaro che siamoal cospetto della magia, ossia di una sfacciata violazione delle leggi che regolanoil mondo naturale8.

Notate che p ha la stessa unità di misura di Ip: questo non è un caso, difattila prima grandezza misura quanto velocemente cambia la quantità di moto diun corpo, mentre la seconda misura quanto velocemente essa viene trasferita dao verso l’ambiente.

Se, ad esempio, la corrente in figura 13 vale Ip = 250 Hys è chiaro che p =

+250 Hys nel primo caso (la corrente entra) e p = −250 Hy

s nel secondo caso (lacorrente esce).

In generale scriveremop = +Ip

se la corrente entra nel corpo e

p = −Ip

quando la corrente esce dal corpo.

4.3 Conservazione della quantità di moto

Alzi la mano chi non ha mai udito la frase “nulla si crea, nulla si distrugge”.In questo aforisma è contenuta una sorta di morale cosmica, nella quale nienteviene all’essere dal nulla: le quantità fisiche possono solo essere trasferite da uncorpo all’altro, ma il loro bilancio complessivo è costante.

È bene che sappiate che non tutte le grandezze fisiche obbediscono a questalegge: l’entropia non lo fa, né tantomeno la quantità chimica. Ma la quantitàdi moto si.

Abbiamo già osservato che un corpo isolato non può che mantenere il propriostato di moto, ossia, detto in termini più tecnici, la sua quantità di moto rimane

8È interessante notare che la parola “momentum” in latino significa appunto “movimento”,e che essa è anche stata il primo nome ufficiale della quantità di moto

34

4 QUANTITÀ DI MOTO 4.3 Conservazione della quantità di moto

costante: questo è gia un caso particolare del principio di conservazione chep deve rispettare. Quando un corpo viene sollecitato da più parti dobbiamotracciare una corrente per ciascuna di queste azioni: se un’azione porta ad unaumento di quantità di moto dobbiamo disegnare una corrente che entra, mentrenel caso l’azione faccia diminuire p dobbiamo disegnare una corrente che esce.

Se saliamo di un gradino la strada della complessità, il prossimo caso chedobbiamo prendere in considerazione è quello di un sistema isolato formato dadue corpi: in altre parole abbiamo due corpi che interagiscono tra loro, mentrenessuno dei due interagisce con il resto dell’Universo.

Prima di entrare nei dettagli, chiediamoci se esistono in natura sistemi isolati. I sistemi fisici cheinteragiscono debol-mente con il restodell’universo possonoessere consideratiisolati.

Consideriamo, ad esempio, il sistema Terra-Luna; questi due corpi celesti siattraggono, e questa attrazione è dovuta ad uno scambio di quantità di motoattraverso il campo di gravità che li lega; grazie a questa interazione la Lunaruota attorno alla Terra o, più precisamente, entrambi i corpi ruotano attornoad un campo di gravità comune molto vicino al centro della Terra, che dei dueè il corpo di massa maggiore.

La dinamica del sistema Terra-Luna, d’altra parte, è influenzata anzituttodal Sole e in secondo luogo dagli altri pianeti; queste influenze sono relativamentepiccole rispetto alla forza che lega il nostro pianeta al suo satellite, ma non sonodel tutto trascurabili (e infatti la Terra, assieme alla Luna, ruota attorno al Sole):questo sistema è isolato solo in prima approssimazione, mentre ad un’analisi piùdettagliata è evidente che ci sono azioni esterne che lo influenzano.

(a) Attraverso la molla compressa, la quan-tità di moto passa dal corpo 1 al corpo2.

(b) Attraverso la molla allungata, la quantitàdi moto passa dal corpo 2 al corpo 1.

Figura 14: La molla è un buon esempio di azione trasmessa attraverso il contattotra i due corpi.

In natura, quindi, esistono al massimo sistemi che interagiscono debolmentecon il resto dell’Universo, e che pertanto non sono del tutto isolati. Considerarlitali è utile per cominciare a capire il loro comportamento, mentre per uno studiopiù approfondito dovremo tenere in considerazione le influenze esterne.

35

4.3 Conservazione della quantità di moto 4 QUANTITÀ DI MOTO

Inoltre, come spesso capita in Fisica, il concetto di sistema isolato è moltoimportante per capire le leggi di Natura, anche se nell’Universo troviamo solosistemi che realizzano questa condizione in modo più o meno preciso.

Passiamo ad un’analisi più dettagliata del sistema a due corpi; possiamodividere l’enorme varietà di esempi che rientrano in questa categoria in duegrandi gruppi.

1. Repulsione

Figura 15: Il corpo 1 cede una corrente di quantità di moto al corpo 2: i duecorpi si respingono.

Quando i due corpi sono collegati da una molla compressa (figura ) ilcorpo sinistra cede quantità di moto al corpo a destra, come in figura 40,la quantità di moto del primo diminuisce (p1 < 0), mentre la quantitàdi moto del secondo aumenta (p2 > 0). Questo significa che il corpo asinistra rallenta, quello a destra accelera e pertanto i due si allontananol’uno dall’altro: in altri termini, si respingono, ovvero l’interazione tra idue è repulsiva. Rientrano in questo caso sia le collisioni sia le esplosioniche abbiamo studiato nella sezione 3. Tra le grandezze fisiche p1, p2 e Ipsussistono le relazioni

p1 = −Ipp2 = +Ip

nelle quali i segni a sinistra devono essere scelti tenendo conto del fattoche la corrente Ip esce dal corpo 1 ed entra nel corpo 2. Se Ip = 250 Hy

s ,p1 = −250 Hy

s e p2 + 250 Hys .

2. AttrazioneOra immaginiamo che i due corpi siano collegati da una molla allungata

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4 QUANTITÀ DI MOTO 4.3 Conservazione della quantità di moto

Figura 16: Il corpo 2 cede una corrente di quantità di moto al corpo 1: i duecorpi si attraggono.

(figura ). In questo caso la molla accelera il corpo di sinistra (p1 > 0) erallenta il corpo di destra (p2 < 0), ossia i due corpi, grazie alla molla,si attraggono, ovvero l’interazione tra i due è di tipo attrattivo. Nel casodell’attrazione la quantità di moto passa dal corpo di destra al corpo disinistra, come in figura 16. Tra le grandezze fisiche p1, p2 e Ip sussistonole relazioni

p1 = +Ipp2 = −Ip

nelle quali i segni a sinistra devono essere scelti tenendo conto del fattoche la corrente Ip esce dal corpo 2 ed entra nel corpo 1.

In entrambi i casi descritti le due grandezze p1 e p2 hanno, istante per istante,valori opposti (ad esempio +2.5 Hy

s e −2.5 Hys ) ossia

p1 (t) = −p2 (t) (11)

Dato che le velocità di variazioni delle due quantità di moto sono di ugualeentità e segno opposto, la quantità di moto totale del sistema

ptot = p1 + p2 (12)

rimane costante nel tempo.

Per capire meglio, elaboriamo un esempio nel contesto dell’economia spicciola.

Se una persona cede ogni mese 2500CHF ad una seconda persona, e nessuno

37

4.4 Spinta e inerzia - 1 4 QUANTITÀ DI MOTO

dei due spende o guadagna (sistema isolato) il capitale della prima diminuisce

costantemente e il capitale della seconda aumenta con la stessa velocità, ma il

capitale totale delle due persone rimane costante nel tempo. In questa analogia

2500 CHFmese

corrisponde alla corrente di quantità di moto e i capitali corrispondono

alla quantità di moto accumulata in ciascun corpo.

4.4 Spinta e inerzia - 1

È il momento di introdurre un esempio che lungo la strada che stiamo percorren-do acquisterà un importanza sempre più grande. Non aspettatevi però grandicose, perché qui ci cominciamo ad occuparci di una delle più umili attività cheun essere umano possa intraprendere.

Immaginate un uomo che spinge un blocco su un piano orizzontale. Que-st’uono potrebbe essere uno schiavo dell’antico Egitto, che spinge davanti a seun blocco di pietra, oppure un cercatore d’oro in Alaska, che spinge una slittacarica di viveri e attrezzi per scavare e settacciare; o ancora Z la Formica chespinge una briciola di pane. Inoltre i ragionamenti e le conclusioni alle qualiperverremo non cambiano in modo significativo se, anziché essere sospinto, ilcarico viene trainato.

All’inizio il blocco è immobile sul piano, e pertanto la sua quantità di motoè uguale a zero. Se non facciamo niente, rimarrà immobile per sempre (inaccordo al principio di conservazione della quantità di moto). Suddividiamol’azione successiva in quattro fasi.

1. Cominciamo a spingerlo: questo significa che una corrente di quantità dimoto, Ip,1, entra nell’oggetto; allo stesso tempo il piano rallenta il movi-mento dell’oggetto a causa dell’attrito, e quindi dobbiamo tracciare ancheuna corrente di quantità di moto in uscita, Ip,2: questa fase è illustrata infigura 18. Per fissare le idee diciamo che Ip,1 = 850 Hy

s e Ip,2 = 250 Hys e

che la durata di questa fase è 4t = 12 s.La velocità di variazione della quantità di moto è p = Ip,1−Ip,1 = 600 Hy

s

e quindi 4p = p4t = 600 Hys · 12 s = 7200Hy. Siccome il valore iniziale di

p è 0 ora sappiamo che p (12 s) = 7200Hy.Tenete presente, nei prossimi calcoli, che la corrente di attrito Ip,2 rimarràcostante finché il corpo sarà in movimento.

2. Nella seconda fase Ip,1 = Ip,2 e quindi il valore di p non cambia (vedifigura 19). Questo esempio ci dice che la quantità di moto può rimanerecostante in due casi: se nessuna corrente entra o esce dal corpo (corpoisolato) ovverso se le correnti in uscita compensano esattamente quelle in

38

4 QUANTITÀ DI MOTO 4.4 Spinta e inerzia - 1

Figura 17: Il possente Conan il Barbaro calca a terra i propri massicci calzari esospinge innanzi a se un blocco di pietra lungo il sentiero.

Figura 18: La spinta supera l’attrito e la quantità di moto del corpo aumenta.

ingresso: anche se il risultato è lo stesso, queste sono due situazioni moltodiverse.Per fissare le idee stabiliamo che la durata di questa fase è di un minuto.

3. Nella terza fase Ip,1 = 150 Hys e quindi p = −100 Hy

s (vedi figura 20). Sequesta fase dura un tempo 4t = 48 s la variazione di quantità di moto è4p = p4t = −4800Hy e quindi p (120 s) = 7200Hy−4800Hy = 2400Hy.

39

4.4 Spinta e inerzia - 1 4 QUANTITÀ DI MOTO

Figura 19: La spinta eguaglia l’attrito e la quantità di moto rimane costante.

Figura 20: La spinta è diventata più piccola dell’attrito e la quantità di motodel corpo diminuisce.

4. Nella quarta fase non c’è più spinta (vedi figura 21). Il corpo prosegue

Figura 21: Ora la spinta è cessata del tutto e la quantità di moto diminuiscepiù rapidamente.

per inerzia, ma viene rallentanto dall’attrito fino a quando non si fermacompletamente. Possiamo stabilire la durata di questa fase osservando

40

4 QUANTITÀ DI MOTO 4.5 Definizione operativa

che 4p = −2400Hy (perché la quantità di moto finale è uguale a 0) e chep = −250 Hy

s , e quindi 4t = 4pp = 9.6 s.

Ora possiamo rappresentare in grafico l’andamento nel tempo della quantità dimoto del corpo (figura 22). Notate che vi sono tre tratti orizzontali:

Figura 22: In questo grafico è rappresentata la funzione p (t) per il corpo spintosul piano.

1. il primo ci dice che prima della spinta il corpo ê immobile, perché eraimmobile all’inizio e niente agisce su di esso;

2. l’ultimo ci dice che quando l’attrito ha sottratto tutta la quantità di motoal corpo questa forza cessa di agire e il corpo rimane immobile;

3. il secondo tratto ci dice che la quantità di moto rimane costante perché laspinta eguaglia l’attrito.

Cosa succederebbe al corpo dopo essere stato messo in movimento, ossia dopoil primo tratto inclinato del grafico, se l’attrito non ci fosse?

4.5 Definizione operativa

Fino a qui abbiamo parlato di quantità di moto, abbiamo indicato le sue pro-prietà e le leggi a cui deve sottostare e abbiamo anche studiato una situazioneconcreta. Rimangono da sistemare due questioni importanti:

1. Introdurre una procedura che ci permetta di misurare la quantità di motodi un corpo.

41

4.5 Definizione operativa 4 QUANTITÀ DI MOTO

2. Definire l’unità di misura della quantità di moto, e stabilire la sue relazionecon le altre unità di misura del S.I.

3. Stabilire la relazione tra la quantità di moto e l’altra grandezza fisica chemisura il movimento di un corpo, la velocità.

Il punto più urgente è proprio il primo, perché in assenza di questa proceduranon siamo legittimati a considerare la quantità di moto una grandezza fisica.Immaginiamo ora un modo per misurare p; in seguito potremo cercare di allestireconcretamente l’apparato di misura necessario.

Un corpo procede in linea retta; se vogliamo fermarlo dobbiamo vincere lasua inerzia con una azione di un qualche genere; in alternativa, possiamo direche il corpo in movimento contiene una grandezza fisica chiamata quantità dimoto e che per fermarlo dobbiamo sottrargliela tutta.

Figura 23: Il cannoncino sparapiselli

Lasciamo briglia sciolta all’immaginazione e decidiamo di fermare il corposparandogli contro una raffica di proiettili tutti uguali e con la stessa velocità(figura 23); intuitivamente vediamo che ciascuno dei proiettili deve avere lastessa quantità di moto; se indichiamo con pu la quantità di moto di un proiettile,con p la quantità di moto del corpo e con N il numero di proiettili sparati perfermare il corpo, riconosciamo, esaminando la figura 23, che

1. p > 0, poiché il corpo procede nel verso positivo dell’asse x;

2. pu < 0, poiché i proiettili procedono nel verso negativo dell’asse x;

Ogni volta che un proiettile penetra nel corpo porta con se la quantità di motonegativa pu, e la quantità di moto del sistema corpo + proiettili diminuisce;quando tutti i proiettili sono stati sparati il corpo è fermo (assieme ai proiettiliche vi sono penetrati) e la quantità di moto totale del sistema è 0:

p+N · pu = 0 (13)

42

4 QUANTITÀ DI MOTO 4.6 Equazione costitutiva

Questa esperienza (ripetuta più e più volte durante l’epoca del Far West)può essere utilizzata per misurare la quantità di moto di un corpo; dobbiamoscegliere una volta per tutte quale cannoncino “sparapiselli” utilizzare e qualiproiettili, e a questo punto possiamo decidere anche che ciascun proiettile haquantità di moto unitaria; a questa unità assegneremo un nome per comodità,e come abbiamo già detto questo nome sarà Huygens (simbolo Hy), dal nomedi un ricercatore che tra i primi ha studiato la dinamica dei corpi; così

pu = −1Hy (14)

L’unità di misura Hy non esiste nel sistema internazionale come unità fonda-mentale; tuttavia è possibile introdurla come unità derivata ed è quanto faremotra poco; dovrete tenere presente che il nome che le abbiamo dato non è ufficiale:esso è soltanto un nomeo comodo e veloce che useremo in questo corso fino aquando non avremo raggiunto il livello giusto per farne a meno.

4.6 Equazione costitutiva

Non è difficile immaginare che, se il concetto di quantità di moto ha un senso,allora essa deve essere legata sia alla velocità del corpo sia alla sua massa. Perdeterminare la relazione tra p e v lanciamo di volta in volta lo stesso corpoa velocità differenti e misuriamo la sua quantità di moto con il procedimentodescritto nel paragrafo precedente; il risultato dell’esperimento concettuale chesto proponendo è descritto in figura 24.

La quantità di moto, pertanto, è proporzionale alla velocità; inoltre, e no-tate bene questa circostanza, il coefficiente di proporzionalità, la pendenza delgrafico, coincide con la massa del corpo; in altre parole

4p4v

= m (15)

e anchep = mv (16)

L’equazione 15 ci consente di dare una definizione dell’unità di misura Hyin relazione con le unità di misura fondamentali del S.I.:

1Hydef= 1kg · 1 m

s(17)

(ossia 1Hy è la quantità di moto di un corpo di massa 1 kg che procede allavelocità di 1 m

s ).Ora possiamo capire perché il vaso della quantità di moto ha le caratteristiche

di un cilindro: l’area di base corrisponde alla massa del corpo, mentre l’altezza

43

4.7 Collisioni ed esplosioni 4 QUANTITÀ DI MOTO

Figura 24: Relazione costitutiva. La pendenza delle rette è la massa inerzia-le del corpo: visto che la massa può solo essere positiva, le rette costitutiveattraversano tutte il I e il III quadrante.

è la sua velocità: così come il volume di un cilindro è V = Ah, così la quantitàdi moto di un corpo è p = mv; vedremo più avanti che la velocità di un corpoha caratteristiche tali da dover essere identificata proprio con il livello del vaso,e pertanto la massa non può che essere l’area di base.

Il vaso della quantitâ di moto ha un carattere relativo che lo rende diversoda un vaso idraulico, difatti:

1. il livello zero (v = 0) coincide con il caso in cui il corpo è fermo rispettoal sistema di riferimento;

2. il livello può essere sia positivo, sia negativo: dipende dal fatto che il movi-mento del corpo può svilupparsi nello stesso verso dell’asse di riferimentoo nel verso opposto (figure 25 e 26).

Questo significa, più in generale, che la quantità di moto di un corpo e il vasoche la rappresenta dipendono dal sistema di riferimento; approfondiremo laquestione nel paragrafo 4.8.

4.7 Collisioni ed esplosioni

Nel paragrafo 3.4, “Esplosioni”, abbiamo aperto una questione molto importante,Collisioni ed esplosio-ni sono eventi violen-ti, regolati dai prin-cipi di conservazione.Il nostro obbiettivo èstabilire la relazionetra passato e futuro diquesti eventi.

che ora ripercorriamo nei suoi punti essenziali:

44

4 QUANTITÀ DI MOTO 4.7 Collisioni ed esplosioni

Figura 25: Quantità di moto: analogia. La massa del corpo può essere interpre-tata come la capacità di un vaso cilindrico di altezza v; il contenuto del vaso èil prodotto della capacità e dell’altezza: p = mv.

Figura 26: Dato che la velocità può essere negativa rispetto all’orientamentoprefissato, anche la quantità di moto può essere negativa. Notate bene che unliquido reale non potrebbe avere un volume negativo!

1. Per determinare l’esito dell’esplosione, dobbiamo conoscere il valore fi-nale della velocità relativa dei due frammenti; per semplicità osserviamol’esplosione nel sistema di riferimento in cui la bomba è immobile.

2. D’altra parte sapere la velocità relativa non è sufficiente; abbiamo formu-

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lato, come ipotesi, la relazione di proporzionalità (equazione 9)

v2

v1= −m1

m2

che può anche essere riscritta nella forma

m1v1 +m2v2 = 0

(equazione 10).

3. Dato che l’equazione 9 è l’espressione di un’ipotesi, abbiamo lasciato aper-ta la questione, in attesa di un principio fisico che giustificasse la nostraidea.

A questo punto avete senz’altro riconosciuto, nell’equazione 10, la relazionecostitutiva p = mv, e non sarebbe male se con ciò cominciaste a intravedere laluce alla fine del percorso che abbiamo intrapreso con lo studio delle esplosioni.

Negli esempi che seguono utilizzeremo la relazione costitutiva e il principiodi conservazione della quantità di moto come strumenti per predirre l’esito delleesplosioni - e anche, per ampliare il contesto, delle collisioni. Questi fenomenihanno una natura violenta che ci consente di ignorare completamente i dettaglidell’interazione; non sarà necessario studiare le correnti che fluiscono da uncorpo all’altro, ci concentremo sul legame che esiste tra il passato e il futurodell’interazione violenta che coinvolge i due corpi, il prima e il dopo.

Da questo punto di vista collisione ed esplosioni sono la quintessenza deiprincipi di conservazione.

Per fissare le idee, supporremo sempre che il corpo 1 si trovi a sinistra delcorpo 2, e che l’asse delle x sia orientato come di consueto da sinistra versodestra.

Collisioni anelastiche

Quando due corpi si urtano anelasticamente formano un corpo unico. Indi-chiamo con v1 e v2 le velocità dei corpi prima dell’urto e con v la velocitàdel corpo che si forma. Il fenomeno è regolato esclusivamente dal principio diconservazione della quantità di moto.

1. Due corpi (m1 = 3.0 kg e m2 = 5.0 kg) procedono l’uno verso l’altro(v1 = +6.0 m

s e v2 = −2.0 ms ) su un binario orizzontale e liscio. Si urtano

e rimangono collegati.Problema. Determina la velocità del corpo che si è formato.Soluzione. Vediamo subito che p1,prima = +18Hy e p2,prima = −10Hy

e quindi la quantità di moto totale del sistema prima della collisione è

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pprtima = +8.0Hy. Dopo la collisione si forma un corpo di massa m =

8.0 kg e velocità (per ora sconosciuta) v; la quantità di moto di questocorpo è pdopo = 8.0 kg · v. Dato che il sistema è isolato pdopo = pprima

possiamo scrivere l’equazione 8.0 kg · v = +8.0Hy e quindi v = +1.0 ms .

2. Due corpi (m1 = 12 kg e m2 = 15 kg) procedono l’uno verso l’altro(v1 = −6.0 m

s e v2 = −8.0 ms ) su un binario orizzontale e liscio. Si ur-

tano e rimangono collegati.Problema. Determina la quantitâ di moto che si trasferisce da un corpoall’altro durante la collisione.Soluzione. L’idea è di determinare le variazioni 4p1 e 4p2; anzituttop1,prima = −72Hy e p2,prima = −120Hy; procedendo come prima vedia-mo che v ∼= −7.11 m

s .Ora immaginiamo di potere ancora individuare i due corpi originali nelcorpo che si è formato: ovviamente ciascuno dei due procede, dopo lacollisione, alla velocità v e quindi p1,dopo = m1v ∼= −85.3Hy e p2,dopo =

m2v ∼= −106.7Hy. Le variazioni che ci siamo proposti di calcolare so-no 4p1 = p1,dopo − p1,prima

∼= +13.3Hy e 4p2 = p2,dopo − p2,prima∼=

−13.3Hy.Constatiamo che 4p1 = −4p2, e questo significa che il corpo 1 cede13.3Hy al corpo 2.

In entrambi i casi (verificate!) la quantità di moto passa dal corpo che havelocità maggiore a quello che ha velocità minore.

Esplosioni

Quando una bomba esplode e si suddivide in due frammenti, assistiamo ad unfenomeno che è l’immagine speculare della collisione anelastica, nel senso cheun’esplosione è dinamicamente equivalente ad una collsione anelastica in cui ilpassato ed il futuro si sono scambiati i ruoli. L’esplosione è regolata dal principiodi conservazione della quantità di moto e dall’informazione sulla velocità relativadei due frammenti.

1. Una bomba è immobile, e improvvisamente deflagra suddividendosi indue frammenti (m1 = 2.5 kg e m2 = 7.5 kg) che scivoleranno su un binarioorizzontale privo di attrito. La velocità relativa dei due frammenti è v1 −v2 = −44 m

s .Problema. Determina la velocità di ciascun frammento.Soluzione. La quantità di moto della bomba (ossia del sistema primadell’esplosione) è uguale a pprima = 0Hy, mentre dopo l’esplosione pdopo =

2.5 kg ·v1+7.5 kg ·v2 e quindi possiamo scrivere l’equazione 2.5 ·v1+7.5 kg ·

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v2 = 0Hy (il sistema è isolato); dato che ci sono due incognite abbiamobisogno di una seconda equazione, che corrisponde al dato sulla velocitàrelativa. Raduniamo le due equazioni in un sistema:{

2.5v1 + 7.5v2 = 0

v1 − v2 = −44

(possiamo ignorare temporaneamente le unità di misura per semplicità).La soluzione infine è {

v1 = −33 ms

v2 = +11 ms

(suppongo che sappiate risolvere i sistemi di equazioni di primo grado).Con la stessa tecnica possiamo determinare l’esito di una esplosione anchequando la bomba è in movimento. Nel prossimo esempio invece vedretecome si può risolvere il problema usando due osservatori diversi.

2. Una bomba si sta muovendo a velocità v = −25 ms rispetto all’osservatore

O. Dopo l’esplosione si divide in due frammenti (m1 = 52m2) che si

muovono alla velocità relativa v1 − v2 = −35 ms .

Problema. Determina la velocità di ciascun frammento.Soluzione. Rispetto all’osservatore O′ solidale con la bomba la quantità dimoto è p′ = 0Hy e quindi m1v

′1 +m2v

′2 = 0 =⇒ v′1 = − 2

5v′2; concludiamo

pertanto che v′1 = −10 ms e v′2 = +25 m

s . Usando la legge di composizionedelle velocità scopriamo infine che v1 = 15 m

s e v2 = 0 ms .

Verificate che in entrambi i casi la quantità di moto fluisce dal corpo con velocitàminore al corpo con velocità maggiore: questa è la caratteristica distintiva traesplosioni e collisioni anelastiche.

Collisione elastiche

In questo caso, al principio di conservazione della quantità di moto,

m1v1,fin +m2v2,fin︸︷︷︸pfin

= m1v1,in +m2v2,in︸︷︷︸pin

dobbiamo affiancare la legge di riflessione

v1,fin − v2,fin︸︷︷︸vrel,fin

= −(v1,in − v2,in)︸︷︷︸vrel,in

(notate che ho scritto entrambe le leggi nel modo più formale possibile,confidando sul fatto che siate ormai in grado di interpretare correttamente il

48


significato dei vari simboli). In effetti nella legge di riflessione si manifesta unaltro principio di conservazione, quello dell’energia.

Per vedere come lavorano congiuntamente le due leggi, affrontiamo un esem-pio di collisione elastica.

1. Due corpi (m1 = 3.0 kg e m2 = 5.0 kg) procedono l’uno verso l’altro(v1,in = +6.0 m

s e v2,in = −2.0 ms ) su un binario orizzontale e liscio. Si

urtano elasticamente.Problema. Determina le velocità finali dei due corpi.Soluzione. Come vedete, sono gli stessi dati del primo esempio: ciò checambia è il carattere della collisione. La velocità relativa iniziale è vrel,in =

+8.0 ms , mentre la quantità di moto iniziale è pin = +8.0Hy, quindi il

sistema di equazioni che risolve il problema è{3v1,fin + 5v2,fin = +8 m

s

v1,fin − v2,fin = −8 ms

(in questo caso, invece di tralasciare le unità di misura, ho semplificatol’unità di misura kg nella prima equazione).La soluzione del sistema è{

v1,fin = −4.0 ms

v2,fin = +4.0 ms

(il fatto che le due velocità siano l’una l’opposta dell’altra è casuale: dipen-de dai dati del problema e non è una caratteristica generale delle collisionielastiche).

2. Due corpi (m1 = 3.0 kg e m2 = 5.0 kg) procedono l’uno verso l’altro(v1,in = +4.0 m

s e v2,in = −4.0 ms ) su un binario orizzontale e liscio. Si

urtano elasticamente.Problema. Dimostra nel modo più semplice possibile che{

v1,fin = −6.0 ms

v2,fin = +2.0 ms

Soluzione. Se filmiamo la collisione dell’esempio precedente e proiettiamoil film al contrario, vediamo i due corpi procedere l’uno incontro all’altroproprio alle velocità v1,in = +4.0 m

s e v2,in = −4.0 ms , urtarsi elasticamente

e quindi allontanarsi con velocità v1,in = −6.0 ms e v2,in = +2.0 m

s . Chequesta sia effettivamente la soluzione del problema lo vediamo dal fatto chese cambiamo i segni di tutte le velocità il principio di conservazione dellaquantità di moto e la legge di riflessione continuano ad essere rispettate.

49

4.8 Natura vettoriale 4 QUANTITÀ DI MOTO

Provate in ogni caso a risolvere questo problema impostando il sistema diequazioni corrispondente.

NO!!!!Verificate che lungo l’intero arco della collisione la quantità di moto fluiscedal corpo con velocità maggiore ad il corpo con velocità minore. Da questo puntodi vista, la differenza fondamentale con gli urti anelastici risiede nel meccanismodi interazione tra i due corpi.NO!!!!

Riepilogo

1. Collisioni ed esplosioni sono eventi violenti, con una durata talmentebreve che non siamo interessati al dettaglio del processo.

2. L’obbiettivo è determinare la relazione tra passato e futuro di questiprocessi. Si procede così:

(a) Collisioni anelastiche.pdopo = pprima e i due corpi ne formano uno solo.

(b) Esplosioni.pdopo = pprima e un corpo unico si divide in due frammenti chesi allontanano con una certa velocità relativa.

(c) Collisioni elastiche.pdopo = pprima e vrel,dopo = vrel,prima

3. La quantità di moto fluisce dal corpo a velocità maggiore al corpo avelocità minore nelle collisioni, e nel verso opposto nelle esplosioni.

4.8 Natura vettoriale

Così come la velocità, anche la quantità di moto è un vettore, e non possiamoLa quantità di motoè un vettore, anchequando il movimentodi un corpo si svolge inuna sola dimensione.

più permetterci di ignorare questa sua caratteristica.Il fatto che questa grandezza sia un vettore, e non già uno scalare, come la

temperatura, emerge già da semplici considerazioni.Poniamo il caso che un corpo di massa si stia muovendo da sinistra a destra

e che la sua quantità di moto sia p = 75Hy (vedi figura 27); con il simbolo p,per essere precisi, stiamo indicando ora l’intensità della quantità di moto, e nonstiamo fornendo alcuna informazione sul suo segno9. Se misuriamo le grandezze

9È come se foste su una strada rettilinea (tanto lunga che si perde all’orizzonte in entram-be le direzioni) e vi dicessero che il prossimo villaggio è a soli 15 km di distanza: dovrestenecessariamente informarvi anche su quale direzione prendere.

50

4 QUANTITÀ DI MOTO 4.8 Natura vettoriale

fisiche rispetto all’asse x dobbiamo scrivere

~p = (+75Hy)

mentre la stessa grandezza, misurata rispetto all’asse x′, si scrive

~p = (−75Hy)

La grandezza in parentesi è solo la componente di ~p misurata rispetto adun preciso sistema di riferimento: questa informazione, difatti, non ha alcunsignificato fino a quando non indicate a quale asse vi state riferendo.

Figura 27: Lo stesso vettore quantità di moto è rappresentato da una quantitàpositiva rispetto all’asse x e da una quantitâ negativa rispetto all’asse x′.

Notate bene che non è così, ad esempio, per la temperatura del corpo: se mi-surate +20 ◦C rispetto all’asse x, saranno +20 ◦C anche rispetto all’asse x′: nonsuccede, difatti, che l’acqua tiepida in un bicchiere congeli solo perché osservoil bicchiere a gambe per aria!

Dunque d’ora in avanti indicheremo la quantità di moto di un corpo con ilsiimbolo ~p.

Facciamo un’altra considerazione. Gli esperimenti in cuidue corpi in movimen-to su un piano si ur-tano mostrano che ~p =m~v.

Due corpi (di masse m1 = 3.0 kg ed m2 = 7.0 kg) stanno scivolando liberosu un piano (completamente privo di attrito) e le loro traiettorie si intersecano:entro breve collideranno (vedi figura 28).

Supponiamo che il primo corpo abbia velocità

~v1 =

(+6.0 m

s

+1.1 ms

)

51


Figura 28: Due corpi si urtano anelasticamente. La direzione e la velocità delcorpo che si forma dipende sia dalle masse, sia dalle velocità, sia dalle direzionidei due corpi prima della collisione.

e che il secondo abbia velocità

~v2 =

(+6.6 m

s

+8.8 ms

)

Ci proponiamo di determinare la velocità del corpo che si forma nell’urto.

Ora lasciatemi sbagliare - valuterete voi la portata dell’errore tra non molto.

Potremmo decidere di determinare l’intensità di ciascuna velocità con ilteorema di Pitagora,

v1 = 6.1m

s

v2 = 11m

s

e di qui, con la formula costutiva, determinare l’intensità di ciascuna quantitàdi moto:

p1 = 18.3Hy

p2 = 77Hy

52


Fino ad ora abbiamo calcolato la quantità di moto totale del sistema som-mando p1 e p2 - perché non farlo ancora? Così forse è

p?= 95.3Hy

e quindi la velocità finale del corpo - casomai io avessi ragione - sarebbe

v?=

95.3Hy

10 kg∼= 9.5

m

s

Non resta altro che realizzare l’esperimento e vedere se le cose stanno cosìoppure no.

Ahinoi! Niente da fare: il risultato di questo esperimento sarebbe

v ∼= 9.1m

s

Che cosa succede qui?

In effetti, ho commesso una sbadataggine (chiudete un occhio, so che a voi Le quantità di mo-to dei corpi che com-pongono un sistemasi sommano vettorial-mente.

mai e poi mai sarebbe successo). Ho ignorato completamente la natura vettorialedella quantità di moto.

Sia ~p1 sia ~p2 hanno due componenti, l’una lungo l’asse x e l’altra lungo l’assey, e per ciascuna componente possiamo applicare la formula costitutiva:

(px

py

)=

(mvx

mvy

)(18)

ossia, utilizzando la il formalismo dei vettori

~p = m~v (19)

La relazione costitutiva è stata così elevata al rango di relazione tra vettori.L’equazione 19 ci dice, tra l’altro, che ~p è sempre parallela a ~v.

Applichiamo l’equazione 19 per determinare le quantità di moto dei duecorpi:

~p1 =

(+18.0Hy

+3.3Hy

)e

~p2 =

(+46.2Hy

+61.6Hy

)

A questo punto è ovvio che le quantità di moto devono essere sommate in

53


Figura 29: La somma vettoriale delle quantità di moto dei due corpi è la quantitàdi moto totale del sistema.

quanto vettori (vedi figura 29):

~p = ~p1 + ~p2 =

(64.2Hy

64.9Hy

)

e questa è la quantità di moto del sistema sia prima sia dopo l’urto: pertantola velocità del corpo che si è formato è

~v =1

m~p =

(6.42 m

s

6.49 ms

)

La lunghezza di questo vettore è proprio la velocità che ho cercato di calcolareprima in modo sbagliato:

v ∼= 9.1m

s

Così vediamo che in un processo che si sviluppa in due dimensioni non pos-siamo separare i due problemi, quello di determinare l’intensità della quantitâdi moto totale e quello di determinarne la direzione: possiamo solo determinarecontemporaneamente entrambi e ciò è dovuto proprio alla natura vettoriale di~p.

È il momento di ricordare che il teatro dei fenomeni fisici è lo spazio a tredimensioni; questo significa che ~v e ~p sono in realtà vettori tridimensionali: unavolta scelto il sistema di assi coordinati xyz queste due grandezze potranno

54


essere identificate con l’elenco delle loro componenti:

~v =

vx

vy

vz

, ~p =

px

py

pz

Per la maggior parte di questo corso, comunque, ci limiteremo a considerare

problemi in una o al più due dimensioni.

Riepilogo

1. La quantità di moto è un vettore.

2. La quantità di moto di un sistema è la somma vettoriale delle quantitàdi moto dei corpi che lo compongono.

3. La relazione costitutiva è ~p = m~v.

4. Il principio di conservazione della quantità di moto per un sistemaisolato è espresso dall’equazione vettoriale ~pdopo = ~pprima.

55

5 CORRENTI E FORZE

5 Correnti e Forze

Un facocero immerge le sue labbra in una pozzanghera fangosa, e suggeavidamente l’acqua torbida per dissetarsi. Una corrente d’acqua percorre

il suo esofago, messa in movimento dalla differenza di pressione tra esterno einterno, e riempe il suo stomaco.

L’acqua scorre nei condotti e riempie gli spazi disponibili: questa è la suanatura.

Un corpo in movimento possiede quantità di moto, ma questo non significache essa come un liquido riempa i suoi interstizi.

Quando agiamo su un corpo, una corrente di quantità di moto scorre da noiverso di esso: certamente, però, non c’è un condotto che incanala materialmentequesto flusso.

La quantità di moto, pertanto, non è un fluido: non è questa la sua natura.Essa è naturalmente qualche cosa di molto diverso, ma che si comporta in modoanalogo ad un fluido per il fatto che può essere accumulata e trasferita, nonchéper il fatto che è sempre e comunque conservata. Volume d’acqua e quanti-tà di moto sono i due termini di un’analogia, che trova la sua giustificazionesoprattutto nella matematica che descrive queste grandezze fisiche.

Qual è, allora, la reale natura della quantità di moto? Nel paragrafo 4.5abbiamo elaborato una procedura operativa per la misura di p, il che da sensofisico a questa grandezza. Ora è il momento di chiederci se esiste una definizioneoperativa anche per Ip. Vedremo che semplici constatazioni sperimentali cicondurranno ad associare intimamente le forze alle correnti di quantità di moto.Quando avremo completato questo percorso avremo sviluppato un concetto diquantità di moto che includerà sia il suo ruolo nell’analogia sia gli esperimentidi riferimento che ci consentono di misurare, dato un corpo qualsiasi, l’entitàsia di p sia di tutte le correnti associate.

5.1 Definizione operativa

Noi ora dobbiamo elaborare una procedura operativa che ci consenta di misurareAllestiamo un disposi-tivo che ci permetteràdi misurare le correntidi quantità di moto.

sperimentalmente le correnti di quantità di moto.Dato che fino a qui ci siamo limitati a indicare qual è il loro ruolo, e a

rappresentarle come frecce nei nostri diagrammi, dobbiamo anzitutto capire inqual modo sia possibile visualizzare materialmente queste correnti.

Per questo scopo ho deciso di allestire il semplice esperimento disegnato infigura 30.

Il corpo 2 cade per via della gravità, ma è parzialmente trattenuto, attraversoFacciamo un’anali-si preliminare dellasituazione applican-do l’equazione dicontinuità.

la corda, dal corpo 1. Questo significa che la sua quantità di moto non aumentatanto rapidamente quanto farebbe se la corda non ci fosse. Possiamo riformulare

56

5 CORRENTI E FORZE 5.1 Definizione operativa

(a) Il sistema dei due corpi si mette in mo-vimento nel senso indicato in figura a causadella forza di gravità che agisce sul corpo didestra.

(b) Se interponiamo un dinamometrotra i due corpi vediamo che esso vienesottoposto a tensione.

Figura 30: Definizione operativa delle correnti di quantità di moto

tutto ciò nel linguaggio delle correnti: una corrente Igravita entra nel corpo 2grazie al campo di gravità, e una corrente Itensione esce dal corpo 2 lungo lacorda tesa: la stessa corrente entra poi nel corpo 1. Le equazioni di continuitàper i due corpi, pertanto, sonoJN

p1 = +Itensionep2 = −Itensione + Igravita

Notate ora che, se orientiamo gli assi x e z come in figura 30a, p1 e p2 sonopositivi (entrambe le quantità di moto stanno aumentando) e questo ci dicetra l’altro che la corrente di tensione deve essere inferiore a quella di gravità(perché?).

Concentriamoci sul corpo 1, poiché esso è interessato da una sola corrente(e quindi è più semplice da studiare).

Per visualizzare Ip è sufficiente interporre un dinamometro lungo la cor-da (vedi figura 30b): si osserva all’inizio una dinamica abbastanza complessa,ma la cosa importante che in breve tempo tutto si stabilizza, il corpo 1 avràun’accelerazione costante e la forza misurata dal dinamometro è costante.

Per realizzare l’esperimento dobbiamo anzitutto collegare i due corpi con lacorda e con il dinamometro, disporre il corpo 1 sul piano (orizzontale e privo diattrito) e lasciare libero il corpo 2 di disporsi lungo la verticale. Prima che il tuttoparta, tratteniamo il corpo 1 con un qualche dispositivo - al limite con la mano.

Scegliamo i valori delle masse: m1 = 200 g e m2 = 300 g. Fino a quando

tratteniamo il sistema, il dinamometro con la mano esso misura una forza F ∼=2.0N; quando lasciamo libero il sistema di “cadere”, osserviamo nei primissimi

57

5.1 Definizione operativa 5 CORRENTI E FORZE

istanti che il dinamometro comincia ad oscillare, ma molto rapidamente queste

oscillazioni si smorzano fino a quando la misura si attesta su un valore inferiore

al precedente, F ∼= 1.2N; nel corso della stessa caduta possiamo misurare il

valore di v in diversi istanti (ricordiamo che la velocità è la stessa per i due corpi),

determinare il valore corrispondente p1 = m1v e risalire, tramite il metodo grafico,

al valore di p1: se gli attriti sono trascurabili il risultato è p1∼= 1.2 Hy

s.

Facciamo il punto della situazione.L’equazione di continuità ci mostra che la corda è attraversata da una

corrente di quantità di moto, che abbiamo chiamato Itensione.Durante la caduta, il dinamometro misura una determinata forza F .Se tagliamo la corda, la corrente cessa di scorrere, e al tempo stesso il

dinamometro si scarica e misura una forza di 0N.Così siamo indotti a formulare questa ipotesi: che ciò che il dinamometro staQuesta esperienza ci

conduce ad identifica-re forze e correnti.

misurando sia in effetti la corrente di quantità di moto. In termini matematici(e semplificando un tantino la questione) possiamo identificare forza e correntecon la relazione

Itensione = F (20)

L’esperimento mostra in effetti che se gli attriti sono trascurabili la misura dip, espressa in Hy

s , è sempre uguale alla misura di F , espressa in N, per qualsiasicombinazione delle masse dei due corpi. Ciò ci conduce anzitutto ad identificarele corrispondenti unità di misura, con questa relazione:

1N = 1Hy

s= 1 kg · m

s2(21)

e fatta questa identificazione possiamo esprimere il risultato dell’esperimentoin modo molto semplice:

p = F (22)

A questo punto, ricordando che p = Itensione, otteniamo proprio la relazione20.

Nella tabella 1 potete leggere i risultati dello stesso esperimento condottocon valori diversi di m2; non trovate la colonna di p1 perché, come abbiamo giàvisto, è sempre uguale alla forza F misurata in condizioni dinamiche.

Vi propongo due obbiettivi: interpretare i risultati per la misura statica eper quella dinamica di F ; potete articolare i vostri sforzi in tre momenti:

1. Spiegare i valori della misura statica della forza.

2. Spiegare perché la misura statica della forza è sempre inferiore di quelladinamica.

58

5 CORRENTI E FORZE 5.1 Definizione operativa

m1 [kg] m2 [kg] F [N] (statica) F [N] (dinamica)0.20 0.10 0.98 0.650.20 0.15 1.47 0.840.20 0.20 1.96 0.980.20 0.25 2.45 1.090.20 0.30 2.94 1.180.20 0.35 3.43 1.250.20 0.40 3.92 1.31

Tabella 1: Questa è una tabella dei risultati ottenuti per diversi valori di m2.L’aggettivo “statica” si riferisce alla forza misurata quando il sistema è trat-tenuto, mentre l’aggettivo “dinamica” si riferisce alla forza misurata quando ilsistema è libero di muoversi sotto l’azione del campo di gravità.

3. Spiegare i valori della misura dinamica della forza.

I primi due punti sono relativamente facili, il terzo un po’ meno, ma saretesenz’altro in grado di affrontare la questione tra non molto, quando avremocostruito un quadro esauriente dei principi che regolano la dinamica.

Vedete così che interpretare tutti i risultati dell’esperienza che ho propostonon è molto facile, ma ciò che conta ora è che abbiamo un modo concreto dimisurare le correnti di quantità di moto. D’ora in avanti potremo esprimerci indue modi diversi:

“Una corrente di quantità di moto Ip entra in (o esce da) un corpo”

“Una forza F viene esercitata su un corpo”

Queste espressioni equivalenti corrispondono a due diversi punti di vista. Nelprossimo paragrafo approfondiamo la questione.

Riepilogo

1. Possiamo trasferire quantità di moto ad un corpo attraverso un filo intensione.

2. Un dinamometro misura (in Newton) la corrente di quantità di mo-to che attraversa il filo in tensione. Possiamo identificare la forzamisurata dal dinamometro con la corrente: Itensione = F .

3. Abbiamo stabilito una relazione tra unità di misura.

59

5.2 Forze e correnti - 1 5 CORRENTI E FORZE

5.2 Forze e correnti - 1

Proseguiamo lungo la via che ci porterà a rappresentare le interazioni in duemodi equivalenti: con le correnti di quantità di moto, ovvero con le forze.

Perverremo ad una conclusione significativa: ad ogni corrente di quantitàdi moto è inevitabilmente associata una coppia di forze; inoltre, le due forzedi questa coppia sono indossolubilmente legate tra loro: l’una non può esisteresenza l’altra.

Vediamo come.

Consideriamo la situazione descritta in figura 31: il diagramma rappresentaquanto sta accadendo al corpo 1 della figura 30a.‌

Nel corpo entra una corrente di quantità di moto Ip; al tempo stesso, ildinamometro è teso e indica l’intensità della forza che il filo esercita sul corpo:sappiamo già che questa intensità coincide con la corrente (ad esempio, se Ip =Quando la corrente

entra nel corpo, la for-za associata è orienta-tata nel verso positi-vo.

1.2 Hys l’intensità della forza è 1.2N).

Ora osserviamo che la forza in questione traina il carrello nel verso positivodell’asse x, e quindi essa deve essere rappresentata con una grandezza positiva(nel nostro esempio, F2→1 = +1.2N).

Figura 31: Una corrente di quantità di moto (positiva) entra nel sistema. Pos-siamo esprimere la stessa circostanza dicendo che una forza F , positiva rispettoall’asse delle x, agisce sul sistema.

Il diagramma in figura 32 rappresenta invece quanto sta accadendo al corpoQuando la correnteesce dal corpo, la forzaassociata è orientatatanel verso negativo.

2 della figura 30a; in modo analogo a quanto visto prima, possiamo constatarefacilmente che la stessa corrente sta uscendo dal corpo; il filo - come deve essere,è teso anche a questo capo e la misura del dinamometro può ugualmente riferirsiall’intensità della forza che il filo esercita su di esso.

Se osserviamo che la forza a questo capo del filo teso rallenta la cadutadel corpo, ovvero agisce nel verso negativo dell’asse z, concludiamo che essadeve essere rappresentata da una grandezza negativa (continuando con i datidell’esempio, F1→2 = −1.2N).

60

5 CORRENTI E FORZE 5.2 Forze e correnti - 1

Figura 32: Una corrente di quantità di moto (positiva) esce dal sistema. Pos-siamo esprimere la stessa circostanza dicendo che una forza F , negativa rispettoall’asse delle x, agisce sul sistema.

Figura 33: Una corrente di quantità di moto esce dal corpo 2 ed entra nel corpo1. Dal punto di vista del corpo 1, questo passaggio equivale all’azione di unaforza F2→1, positiva rispetto all’asse delle x. Dal punto di vista del corpo 2,questo passaggio equivale all’azione di una forza F1→2, negativa rispetto all’assedelle x.

Bene: abbiamo studiato quanto accade a ciascuno dei due corpi, prima l’unoe poi l’altro: ora allontaniamoci dall’allestimento quel tanto che basta per con-templare entrambi i corpi contemporaneamente - nonché il filo teso. Affinché ilfilo sia teso e necessario che sia collegato a tutti e due, al punto che non pos-siamo neanche immaginare di disconnetere l’uno o l’altro (magari troncando ilfilo a una delle due estremità): o il filo è teso, o è tagliato, in questa esperienzanon ci sono compromessi.

Il dinamometro, interposto lungo il filo, misura pertanto la corrente di quan- Il filo teso trasmetteuna corrente di quan-tità di moto ed eserci-ta una coppia di forze,una ad ogni estremità.

tità di moto che scorre lungo di esso, ovvero le forze che il filo esercita alle dueestremità, e dato che il filo è teso solo se entrambi i corpi sono collegati, ildinamometro misura sempre una coppia di forze.

Così le forze compaiono sempre a coppie; ogni forza, d’altra parte, è la

61


Figura 34: Una corrente di quantità di moto esce dal corpo 1 ed entra nel corpo2. Questa situazione è perfettamente analoga alla precedente, fatta eccezioneper i segni delle forze. Il primo caso è quello dell’attrazione, il caso attuale èquello della repulsione.

misura dell’azione di un corpo su un altro: ad esempio il simbolo F1→2 è lamisura dell’azione del corpo 1 sul corpo 2.

In figura 33 ho riunito i due diagrammi precedenti in uno solo. In figura 34osservate la situazione simmetrica.

La stessa corrente, per forza di cose, esce da un corpo ed entra nell’altro;e così, per forza di cose, registriamo una coppia di forze, di pari intensità, unapositiva ed una negativa.

Così, quando abbiamo detto che forze e correnti sono due aspetti diversidella stessa, cosa, avremmo dovuto piuttosto affermare che ad ogni correntecorrisponde un coppia di forze, di pari intensità e verso opposto.

Ancora una volta, possiamo appoggiarci ad un esempio economico per formarciun’immagine significativa dell’interazione tra due corpi.

Poniamo il caso che due persone, A e B, costituiscano un sistema economi-co: con questa espressione - che ho inventato di sana pianta - intendo che essiinteragiscono attraverso uno scambio di denaro.

Ammettiamo che esista un accordo tra i due, per il quale ogni mesi venganotrasferiti 2500CHF dal conto di A al conto di B. Nella propria contabilità, Asegna questo trasferimento con il numero −2500CHF, mentra B registra lo stessotrasferimento con il numero +2500CHF. Vi è un solo trasferimento, ma unadoppia registrazione.

Allo stesso modo, in una interazione tra due corpi vi à una sola corrente diquantità di moto, che esce da un corpo ed entra nell’altro: ma ciascun corposubisce gli effetti di questo trasferimento, il primo con una forza negativa ed ilsecondo con una forza positiva di pari intensità.

62


Riepilogo

Quando una corrente di quantità di moto, Ip, esce da un corpo (chiamia-molo “1”) ed entra in un altro corpo (chiamiamolo “2”), il corpo 1 subisce laforza F2→1 = −Ip e il corpo 2 subisce la forza F1→2 = +Ip. Questa coppiadi forze è indissolubile.

5.3 Forze e correnti - 2

La quantità di moto è un vettore; la forza è un vettore. Armiamoci per affron-tare la dinamica deicorpi nello spazio adue e tre dimensioni.

Tutto ciò, però, non emerge dalla relazione 22 che abbiamo stabilito nei dueparagrafi precedenti:

p = F

Pare infatti che questa sia una relazione tra due grandezze scalari, ma sap-piamo bene che le cose non stanno così, e così qui si impone di rielaborare quantoabbiamo appreso.

Cominciamo osservando che nelle situazioni proposte ciascun corpo si muo-veva in una sola dimensione.

In generale, però, un corpo può essere libero di muoversi su un piano (duedimensioni) o addirittura nello spazio (tre dimensioni). Poniamoci quindi unadomanda: in che modo cambia l’equazione 22 nel caso più generale possibile?

L’idea più semplice che possiamo concepire è che la stessa equazione regolila dinamica in ciascuna delle tre dimensioni :

px = Fx

py = Fy

pz = Fz

Questa è più che un’ipotesi, poiché è stata verificata sperimentalmente giàagli albori della storia della dinamica.

Riconsideriamo l’esempio della collisione anelastica affrontato nella sezione L’esempio delle colli-sioni sul piano ci mo-stra che vi è una cor-rente di quantità dimoto per ogni direzio-ne nello spazio.

4.8. Prima dell’impatto i due corpi hanno quantità di moto

~p1,in =

(+18.0Hy

+3.3Hy

), ~p2,fn =

(+46.2Hy

+61.6Hy

)

63


Dopo l’impatto la velocità del corpo che si forma, e quindi anche di ciascunodei due corpi originali, è

~vfin =

(6.42 m

s

6.49 ms

)Così, dopo l’impatto, i due corpi (che immaginiamo ancora vivi e vegeti

all’interno del blocco che si è formato), hanno quantità di moto

~p1fin =

(+19.3Hy

+19.5Hy

), ~p2,ffn =

(+44.9Hy

+45.4Hy

)

e questo significa che

4~p1 =

(+1.3Hy

+16.2Hy

), 4~p2 =

(−1.3Hy

−16.2Hy

)

Osservate, e questo è importante, che 4~p2 = −4~p1: questo significa chela quantità di moto orizzontale 4px = 1.3Hy fluisce dal corpo 2 al corpo 1, ealtresì che la quantità di moto verticale 4py = 16.2Hy fluisce dal corpo 2 alcorpo 1; tra l’altro il corpo 2 è il più veloce in entrambe le direzioni dello spazio.Potremmo così ripercorrere tutte le tappe che ci hanno portato all’equazione dicontinuità, e possiamo farlo sia per la quantità di moto lungo l’asse x sia perquella lungo l’asse y.

Non abbiamo ancora accennato alla durata dell’impatto, di quanto tempoè richiesto affinché i due corpi ne costituiscano uno solo: ora è il momento difarlo. Naturalmente questa durata dipende, in modo complesso, da come essisono fatti; qui non siamo interessati al dettagli della questione, così ê sufficienteindicare un valore ragionevole.

Supponiamo così che sia 4t ∼= 2.5 · 10−3 ms. Al trasferimento corrispondonoin questo caso la corrente media

Ip,x = 420Hy

s

associata alla coppia di forze orizzontali Fx,2→1 = +420N e Fx,1→2 = −420N,e la corrente media

Ip,y = 6480Hy

s

associata alla coppia di forze verticali Fy,2→1 = +6480N e Fy,1→2 = −6480N.Possiamo così anche ripercorrere tutte le tappe che ci hanno portato a sta-

bilire che per ogni corrente esiste una coppia indissolubile di forze, e possiamofarlo per entrambe le direzione del piano.

Ora il sipario del nostro spettacolo si leva su un’altra scena: quella delVediamo come pro-cedere per affronta-re la dinamica in duedimensioni.

dispositivo, descritto in figura 30. Dato che uno dei due corpi si muove in

64


orizzontale e l’altro in verticale questo è un semplice esempio di dinamica indue dimensioni.

La dinamica del corpo 2 si svolge interamente lungo l’asse z e l’equazione dicontinuità è

˙p2,z = −Itensione + Igravita,2

La dinamica del corpo 1 è più complessa: difatti esso si sposta lungo l’asse xma è sostenuto dal piano, con un’azione che si deve sviluppare lungo l’asse z:se non vi fosse questo sostegno, difatti, cadrebbe nel vuoto.

L’azione di sostegno si oppone a quella della gravità; in mancanza di soste-gno, la quantità di moto verticale del corpo 1 aumenterebbe secondo l’equazionep1,z = Igravita,1, ma qui il corpo non cade (ossia p1,z = 0) e questo significa cheuna corrente di quantità di moto di pari entità scorre dall’oggetto al piano.

L’equazione per la dinamica verticale del corpo 1, pertanto, è

0 = −Isostegno + Igravita,1

Che dire della dinamica orizzontale? Già sappiamo che la corrente Itensioneentra nel corpo attraverso la corda tesa; abbiamo supposto che il piano fossecompletamente privo di attrito, ma in pratica l’attrito è onnipresente, così in unasituazione realistica dobbiamo anche prendere in considerazione una correnteIattrito di quantità di moto orizzontale, che esce dal corpo ed entra nel piano; inaltri termini, il corpo perde attrito attraverso la sua faccia inferiore. L’equazioneper la dinamica orizzontale del corpo 1, pertanto, è

p1,x = +Itensione − Iattrito

Notate che tra la base del corpo 1 e il piano scorrono, verticalmente, due La corrente di attri-to è proporzionale allacorrente di sostegno.

correnti: quella di sostegno, che “trasporta” quantità di moto verticale, e quelladi attrito, che “trasporta” quantità di moto orizzontale. In un futuro approfon-dimento impareremo la legge di attrito, che stabilisce la proporzionalità traqueste due correnti:

Iattrito = µIsostegno

(la lettera µ indica il cosiddetto coefficiente di attrito). In parole povere, tantopiù il corpo è schiacciato sul piano sotto l’azione del peso, tanto più grande èl’azione dell’attrito. Si stabilisce così una connessione tra la dinamica orizzontalee quella verticale - il che rende più complessa, e indubbiamente più interessante,tutta la situazione.

65


Rimettiamo mano all’esempio della sezione 5.1. Supponiamo, per cominciare,che sia µ = 0 (piano liscio, completamente privo di attrito).

Abbiamo stabilito sperimentalmente che p1,x∼= 1.2 Hy

se quindi che Itensione

∼=1.2 Hy

s. In un secondo 4p1,x

∼= 1.2Hy e quindi 4v1,x =4p1,xm1

∼= +6.0 ms

(quiabbiamo usato la relazione costitutiva). Dato che il filo è in tensione la distanzatra i due corpi non cambia nel tempo, e questo significa che essi si spostanoalla stessa velocità. Così, nello stesso intervallo di tempo 4v2,z

∼= +6.0 ms

e4p2,z = m24v2,z

∼= +1.8Hy. Ricordando che il tutto avviene in un secondo,vediamo subito che p2

∼= 1.8 Hys.

Ora possiamo utilizzare l’equazione di continuità per determinare Igravita,2:

1.8Hy

s∼= −1.2

Hy

s+ I2,gravita =⇒ I2,gravita

∼= 3.0Hy

s

Alla corrente di gravità corrisponde la forza FTerra→2∼= +3.0N, lo stesso

valore della forza di gravità m2g. Impariamo così per via sperimentale che lagravità che agisce su un corpo in movimento è la stessa forza che misuriamo conla bilancia. D’ora in avanti (anche se torneremo sulla questione) dovremo ricordareche Igravita = mg per qualunque corpo, e quindi è anche Igravita,1 ∼= 2.0N.

Non abbiamo studiato la dinamica verticale del corpo 1 perché non ve ne èbisogno fino a quando il piano è privo di attrito.

I piani reali, però, sono più o meno scabrosi e l’attrito è sempre presente. Cichiediamo così come cambiano le cose se il coefficiente di attrito è diverso da 0,ad esempio µ = 0.25.

In questo caso Isostegno = Igravita,1 e quindi Iattrito = 0.25 ·m1g ∼= 0.5 Hys.

Le equazioni della dinamica sono

p1,x = −0.5 Hy

s+ Itensione

p2,z = −Itensione + 3.0Hy

s

Qui sembra che si siano troppo incognite, tre in tutto, ma in realtà ce nesono solo due, perché i corpi sono legati da una corda e quindi procedono comese fossero un sol corpo. La corrente di tensione non può avere lo stesso valoreche aveva prima, perché in presenza di attrito il corpo 1 viene trattenuto e diconseguenza la corda è sottoposta ad una tensione maggiore.

Potete (dovete) provare a risolvere il problema utilizzando la stessa tecnicache ho usato all’inizio di questa breve argomentazione. Ricordate che l’obbiettivoè determinare v e Itensione.

Passando al linguaggio delle forze, e ricordando che sono vettori, vediamodalla nostra analisi che il corpo 1 è soggetto alla forza totale

~F1,tot =

(−0.5 Hy

s+ Itensione

0 Hys

)

66

5 CORRENTI E FORZE 5.4 Legge dei nodi

e

~F2,tot =

(0 Hy

s

−Itensione + 3.0 Hys

)Il linguaggio dei vettori, in questo caso, permette di esprimere in modo compatto

i risultati delle nostre argomentazioni. In altri casi, invece, è fondamentale già

nella strada per la soluzione dei problemi.

Ci dovremo abituare molto presto a ragionare almeno in due dimensioni, aconsiderare le forze dei vettori sempre e comunque e a cercare di individuaretutte le correnti Ip,x, Ip,y e Ip,z.

Dalle nostre parti la gravità è onnipresente; potremo decidere talvolta chenon è essenziale per studiare un problema, o che può essere trascurata rispettoad altre forze, cionondimeno sarà sempre lì. In qualsiasi situazione, sia che ilcorpo stia fermo sia che si muova, essa è determinata dalla legge

~FTerra→oggetto = m~gTerra (23)

nella quale ~gTerra è il campo di gravità, verticale, orientato verso il basso edi intensità gterra ∼= 9.8 N

kg .Al campo di gravità dedicherò diversi approfondimenti - perché la sua natura

è talmente complessa che ancora oggi si dibatte in proposito. Per il momento,però è sufficiente che teniate a mente l’equazione 23.

Se ripercorrete con attenzione quanto abbiamo visto nelle sezioni 5.1, 5.2 e Per scrivere l’equazio-ne di continuità dob-biamo prima calcolarela forza totale.

5.3 (quella in cui vi trovate invischiati or ora), vedrete che la forza che comparenell’equazione p = F è spesso il risultato di diverse azioni.

Una volta individuate tutte le correnti e le coppie di forze corrispondenti,radunate le forze che agiscono su uno stesso corpo e sommatele (con i loro segni):il risultato è Ftot, la forza totale che agisce su un corpo.

Un momento, però: le forze sono vettori! Dovrete quindi ripetere la stessaprocedura per tutte le direzioni (due per il piano o tre per lo spazio) il checoincide con calcolare la somma vettoriale di tutte le forze.

5.4 Legge dei nodi

Avete mai giocato, in spiaggia, al tiro alla fune?Due gruppi si dispongono ai capi opposti di una fune, e l’obbiettivo è trasci-

nare il gruppo avversario nella propria metà campo. Chi vince?Il gruppo più forte, che diamine!In questa sezione ho un obbiettivo preciso: mettervi in crisi, costringervi

a riesaminare quanto avete appreso fino a qui, e infine mettere in discussione

67

5.4 Legge dei nodi 5 CORRENTI E FORZE

il senso che attribuiate al termine forza. È molto probabile, difatti, che gliattribuiate un significa diverso di quello convenuto in Fisica: se così stanno lecose, è davvero un bel pasticcio, perché se le mie parole non hanno lo stessosignificato delle vostre, sarà difficile capirci.

Figura 35: Danny e Sandy si alleano contro il bagnino per non soccombere inquesta sfida. Se non vi sembrano gli stessi protagonisti della vicenda sul lagoghiacciato, è solo perché sono uno scarso disegnatore.

Nel tiro alla fune tutte le azioni vengono esercitate lungo la stessa retta,quella materializzata dalla fune in tensione; qui voglio rendere un tantino piùinteressante la dinamica del problema, e così immaginiamo che vi siano tre funi,collegate ad un anello centrale, ed una persona al capo di ogni fune (vedi figura). Non vi sarà sfuggito che in questo caso dobbiamo ricordare fin dall’inizio chele forze sono vettori.

In figura 36 potete vedere i tre vettori che rappresentano la forza che ciascunafune esercita sull’anello centrale. Ora ci concentriamo proprio sulla dinamicadell’anello, e nient’altro. Per il momento.

Attraverso le loro corde, Sandy e Danny esercitano sull’anello le forzeLa forza totale sull’a-nello è uguale a ze-ro, qualunque sia ladinamica del sistema.

~FSandy→anello =

(250N

50N

)

e

~FDanny→anello =

(275N

350N

)

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Figura 36: La somma (vettoriale) di tutte le forze che agiscono su un nodo ènecessariamente uguale a zero, in qualsiasi circostanza. In figura potete vedereche la somma ~F1+ ~F2 si determina con la regola del parallelogramma, ed è ugualea −~F3 (la terza forza sembra più lunga della somma delle prime due, ma è uneffetto ottico: controllate con il righello). Possiamo esprimere la stessa relazionein modo più simmetrico, ~F1 + ~F2 + ~F3 = ~0: questa equazione è raffigurata daltriangolo delle forze in alto a sinistra. Per il mio modo di sentire, il modo piùefficace di raffigurare la legge dei nodi è proprio con il disegno del triangolodelle forze - o del poligono, se ce ne sono più di tre.

La forza totale che essi esercitano sull’anello è pertanto

~Fcoppia→anello =

(525N

400N

)

e l’intensità di questa forza è Fcoppia→anello∼= 660N. Supponiamo ora, per

amor di discussione, che nonostante il fatto che Sandy e Danny si siano alleatiil bagnino vincerà questa disputa. Quanto dovrà essere intensa la forza che egliesercità sull’anello? Di più di 660N?

69


L’equazione di continuità potra rispondere per noi alla questione. Se indi-chiamo con Ip,x e Ip,y le correnti di quantità di moto che escono dell’anelloattraverso la corda del bagnino, possiamo scrivere

px,anello = −Ip,x + 525N

py,anello = −Ip,y + 400N

Cosa possiamo dire della quantità di moto dell’anello? La sua massa, ovvia-mente, è molto piccola, così come la massa delle corde, e possiamo senz’altrotrascurarle rispetto alle masse dei tre attori. Al limite, possiamo porre cosìmanello = 0kg e questo significa che px = py = 0Hy.

Ribadiamo: la quantità di moto dell’anello è - in pratica - uguale a zero, siache esso stia fermo, sia che si muova a velocità costante, sia che acceleri.

In generale, se una qualsiasi grandezza fisica è costante nel tempo - e quindianche quando il suo valore è nullo - la sua velocità di variazione è uguale a zero:

px,anello = py,anello = 0Hy

s

Sostituendo queste due uguaglianze troviamo

Ip,x = 525N

Ip,y = 400N

e, dato che queste correnti escono dall’anello, ad esse corrisponde la forza

~Fbagnino→anello =

(−525N−400N

)

... e questa forza è uguale (segno a parte) alla forza totale esercitata daSandy e Danny, stessa direzione (e potevamo aspettarcelo) e stessa intensità.

Che dire allora della nostra convinzione, che al tiro alla fune vincesse il piùforte?

Prendiamoci un po’ di tempo e facciamo il punto della situazione.Con l’anello di massa trascurabile ho visualizzato concretamente un nodo,Il contenuto della

legge dei nodi puòsorprenderci, maè una conseguen-za dell’equazione dicontinuità.

un punto dove più correnti si incontrano, e dal quale altre correnti defluiscono.I nodi non hanno massa - nell’analogia idraulica diciamo che il vaso che li rap-presenta ha capacità zero - così non possono accumulare quantità di moto inalcun modo. Così cediamo che la somma di tutte le correnti che confluiscono inin un nodo, meno la somma di tutte le correnti che ne defluiscono, è necessaria-mente uguale a zero: questa è la legge dei nodi per la dinamica. Notiamo chepossiamo considerare un nodo un qualunque punto di una corda in tensione, le

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due superfici a contatto di due corpi, o una giunzione in un meccanismo, e cosìvediamo che stiamo parlando di qualche cosa di molto concreto.

La stessa legge può essere espressa in un altro modo: la forza totale su unnodo è sempre uguale a zero.

Torniamo al gioco in spiaggia. Non vi sono alternative: il bagnino non potràesercitare una forza più intensa della forza totale esercitata dalla coppia.

Per semplificare la questione possiamo occuparci del gioco alla fune tradi-zionale. Una sola fune, due antagonisti.

Una sola corrente scorre lungo la corda, da un capo all’altro. La stessacorrente scorre attraverso le braccia dei due antagonisti.

La condizione necessaria affinché il gioco possa proseguire è che il corpodi ciascuno dei due sia in grado di sopportare l’intensità della corrente che losta attraversando. Naturalmente una persona “forte”, nel senso comune, è ingrado di sostenere una corrente più grande di una meno “forte”, ma in questasituazione - e in altre analoghe, come il “braccio di ferro”, la corrente che passada uno all’altro non potrà in ogni caso essere più intensa del valore massimo chepuò sostenere la persona più debole.

Sorpresi? Ma, si potrà chiedere a questo punto, come si può spiegare il fatto La vittoria e la scon-fitta si decidono tra legambe e il suolo, nonsulle braccia.

che uno dei due, effettivamente, vincerà?

Figura 37: La persona più massiccia e forte, a destra in figura, riesce a “caricare”una maggior quantità di moto dal suolo.

Osservate la scena rappresentata in figura 37. La persona a destra ha unamassa maggiore (m2 > m1).

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Ciascuno di due spinge sul terreno, ma (a parità di attrito tra le suole delleloro scarpe e il suolo) la corrente di quantità di moto che entra nella persona adestra - dovuta all’attrito - è più grande della corrente che esce dalla persona disinistra: I2 > I1. Scriviamo le equazioni di continuità per la quantità di motoorizzontale:

p1 = −I1 + I

p2 = −I + I2

e se sommiamo le due equazioni la corrente I (quella che scorre lungo la corda)si elimina ed otteniamo

ptot = I2 − I1 > 0

La quantità di moto totale del sistema delle due persone aumenta nel tempo,e ciò significa che il sistema si sposta - a velocità crescente - verso destra e vincela persona a destra.

Ora osservate il circuito delle correnti. La corrente in ingresso in ciascunocorpo supera sempre la corrente in uscita, e la differenza viene accumulata e simanifesta in un aumento di quantità di moto di ciascuno dei due: p1 e p2 sonopositivi. Concludiamo così anche per questa via che i due corpi accelerano versodestra.

Dunque in questo gioco si vince o si perde sulla base della nostra capacitàdi caricare quantità di moto dal suolo, e non sulla base della “forza” delle nostrebraccia.

Che cosa intendiamo con la parola forza?Scegliamo una voltaper tutte il significatodella parola “forza”.

Molti, con questa parola, si riferiscono (senza saperlo con chiarezza) all’in-tensità massima della corrente di quantità di moto che può attraversare i nostriarti.

In Fisica, viceversa, con la parola forza si indica uno dei due vettori del-la coppia associata a ciascuna corrente. Con questa definizione, è chiaro chenessuno dei due può esercitare, attraverso le braccia, una forza maggiore dell’al-tro, perché queste due azioni corrispondono alla medesima corrente, quella chescorre lungo la corda.

Ritornate all’introduzione del capitolo 3, la dove avevo dichiarato un ob-Completiamo l’analo-gia tra l’idraulica e lameccanica.

biettivo: stabilire le basi per l’analogia tra i fenomeni idraulici e i fenomenimeccanici.

La tabella era incompleta, poiché non avevamo ancora identificato la gran-dezza estensiva analoga al volume d’acqua.

Ora che abbiamo introdotto la quantità di moto, è arrivato il momento dicompletare il quadro.

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livello quantità corrente spinta continuità

P V IV P1 − P2 V = IV,totv p Ip vrel p = Ip,tot

Il punto importante è che abbiamo una procedura operativa sia per misurarep (il cannoncino sparapiselli) sia per misurare Ip (il dinamometro), e pertantosiamo legittimati a considerare entrambe grandezze fisiche. Notate anche che hoaggiunto una colonna, quella dell’equazione di continuità: così come si conservail volume d’acqua, si conserva anche la quantità di moto.

Per risolvere i problemi concreti possiamo, d’ora in avanti, tracciare i dia-grammi in cui indichiamo i trasferimenti e gli accumuli di quantità di moto,e in un secondo tempo scrivere le equazioni di continuità per tutti i corpi checostituiscono il sistema.

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6 I PRINCIPI DELLA DINAMICA

6 I principi della dinamica

Il cammino oggi è stato lungo, è scesa la sera e ora possiamo sederci insiemeI tre principi della di-namica hanno il com-pito di riorganizzarele nostre esperienzee di proiettarci versonuovi obbiettivi.

attorno al fuoco a ripercorrere le tappe della giornata.La retrospettiva ha il ruolo essenziale di distaccarci dalle emozioni e dalla

confusione, dai dubbi e dalle vittorie che hanno caratterizzato una qualsiasiimpresa, per consentirci di stabilire, in pochi punti, il senso di quanto abbiamoappreso.

Per noi, oggi, si tratta di rintracciare l’ordine che soggiace agli svariati espe-rimenti concettuali che vi ho proposto. In altri termini, si tratta di costituireun corpus di principi - pochi e chiari - che ci guideranno quando affronteremonuovi problemi di dinamica.

Naturalmente, possono e devono emergere anche nuovi interrogativi, chedaranno il via a ulteriori ricerche.

Il nostro obbiettivo, ora, è gettare le fondamenta della dinamica. Vedreteche al centro di tutto vi sono tre principi, che in origine sono stati formulati daIsaac Newton.

Organizziamo questa retrospettiva seguendo tre criteri diversi: secondo leesperienze che abbiamo studiato, secondo i termini del nostro discorso e infinesecondo i metodi che abbiamo impiegati per risolvere i problemi.

1. Criterio delle esperienze.Che cosa c’è in comune nelle situazioni che abbiamo affrontato?

(a) Collisioni ed esplosioni.

Due corpi si scontrano, ovvero un corpo unico esplode e si divide indue frammenti che si allontano. Il fenomeno è caratterizzato dallavelocità relativa dei due corpi: questa grandezza fisica è la spinta chemette in movimento una corrente di quantità di moto.

(b) Spinta e traino.

Un uomo sospinge innanzi a se un blocco. Il suo apparato locomoto-re è necessario per stabilire ed eventualmente mantenere la velocitàrelativa tra il blocco e il piano - o, detto in modo più maestoso, trail blocco e l’intero pianeta Terra.

(c) Misura delle correnti.

Un sistema di due corpi, collegati da un filo in tensione, viene messoin movimento da un’azione esterna, la corrente di quantità di motodovuta alla gravità: questa corrente entra nel corpo che cade, e partedi questa corrente viene trasmessa attraverso il filo teso al corpo che

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si muove sul piano orizzontale. In questo caso la velocità relativa checi interessa è quella tra il blocco che cade e il pianeta Terra.

(d) Tiro alla fune.

Si stabilisce un circuito di quantità di moto che scorre dal suolo allaprima persona, fino alla seconda attraverso la fune tesa e dalla secon-da ancora al suolo. Parte della corrente viene trattenuta in ciascuncorpo che accelera nel verso positivo dell’asse delle x. Le due personeformano un sistema che si muove relativamente al suolo.

In tutti questi casi abbiamo osservato correnti di quantità di moto, accu-muli di quantità di moto nei corpi e velocità relative tra corpi diversi.

2. Criterio dei termini.Abbiamo constatato quanto sia importanto convenire sul significato deitermini che usiamo.

(a) Osservatori.Un osservatore è un corpo rigido, sufficientemente esteso, al qualeriferiamo le posizioni di tutti i corpi. Questo corpo deve possedereun sistema di assi coordinati e un orologio.

(b) Corpi.Qualsiasi oggetto, o essere vivente, può essere considerato “corpo”.La fisicità dei corpi risiede nel fatto che occupano una posizione nellospazio (e di qui i concetti di velocità e velocità relativa), che possiedeun’inerzia (misurata dalla sua massa), che può accumulare quantitàdi moto e scambiare quantità di moto con l’ambiente.

(c) Sistema.Un insieme di due o più corpi. Siamo noi a decidere quali corpi in-cludere nel sistema, dipende dalla natura del problema e dalla nostrastrategia di soluzione.

(d) Ambiente.Detto anche “resto dell’universo”, è tutto ciò che non fa parte delsistema. Le correnti di quantità di moto che fluiscono dal sistemaall’ambiente o dall’ambiente al sistema sono l’origine di tutte le azioniesterne.

(e) Corpo isolato.Un corpo che non interagisce con l’ambiente: non scambia correnticon l’ambiente, oppure queste correnti sono trascurabili.

(f) Forza.Ad ogni corrente di quantità di moto corrisponde una coppia di forze.A questo termine non potremo dare nessun altro significato.

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3. Criterio dei metodi.Per quanto i problemi fossero di natura disparata, possiamo individuareun insieme di procedure da applicare in tutti i casi.

(a) Scelta dell’osservatore.Fino a quando non scegliamo un corpo e lo consideriamo immobile,non possiamo neanche cominciare a parlare di movimento. Ci pos-siamo chiedere se tutte le scelte siano ugualmente valide, o se alcunicorpi vadano esclusi a priori.

(b) Scelta delle coordinate.Una volta scelto l’osservatore, dobbiamo tracciare i tre assi coordi-nati (o due, o uno, a seconda delle dimensioni spaziali coinvolte nelproblema): solo così potremo scrivere i vettori velocità, quantità dimoto e forza con le loro componenti.

(c) Identificare il sistema.Un confine ideale divide il sistema, con tutti i corpi che lo compon-gono, e lo separano idealmente dal resto dell’universo; la scelta delconfine, di ciò che va escluso e ciò che va incluso, dipende da noi. Èsempre possibile operare più di una scelta, e di volta in volta identi-ficheremo il sistema nel modo più conveniente per risolvere il proble-ma. Riassiumiamo i sistemi che abbiamo individuato nei problemiincontrati fino a qui:

i. il sistema dei due corpi, nei problemi sulle collisioni e sulle esplo-sioni;

ii. il sistema Terra + oggetto, nel problema della spinta;

iii. il sistema dei due oggetti, nella definizione operativa delle cor-renti;

iv. il sistema dei due contendenti, nel problema del tiro alla fune.

(d) Leggi delle forze.Dobbiamo individuare tutte le correnti scambiate dal sistema conl’ambiente; quelle che conosciamo fin’ora sono:

i. la corrente di gravità;

ii. la corrente di attrito;

iii. la corrente di spinta per contatto;

iv. la corrente che scorre lungo un filo in tensione;

v. la corrente di sostegno.

Uno degli obbiettivi della dinamica è di determinare le leggi che rego-lano queste correnti, e le altre che possiamo incontrare in situazioniconcrete.

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6 I PRINCIPI DELLA DINAMICA 6.1 Osservatori inerziali

(e) Equazione di continuità.A questo punto siamo in grado di scrivere l’equazione di continuitàper il sistema, ed eventualmente per tutti i corpi che lo compongono,includendo le correnti interne.

Ora dobbiamo stabilire con chiarezza i principi che regolano la dinamica; do-vranno necessariamente essere pochi, poiché il loro compito è di fare ordine nellagrande varietà dei fenomeni della dinamica.

Cominciamo.

6.1 Osservatori inerziali

Il corpo che domina le esperienze di tutta l’umanità è la Terra; la massa inerzialedel nostro pianeta è impressionante10: mTerra

∼= 5.96 · 1024 kg. Possiamo raffi-gurarci il tutto come un vaso di capacità enorme, un oceano di quantità di moto;ecco, immaginate di essere sulle rive dell’Oceano Pacifico e di versare nelle sueacque l’intero contenuto di un grosso secchiello d’acqua: senz’altro il livello delPacifico sale...! E senz’altro sale molto poco, non dobbiamo così preoccuparcidi tragiche conseguenze: l’Adriatico non sommergerà Venezia.

Allo stesso modo, tutti gli eventi più drammatici che si verificano sulla su-perficie della Terra trasferiscono ad essa quantità di moto, ma lo stato di motodel pianeta non cambia sensibilmente. Quando da piccoli siamo caduti dall’al-talena e abbiamo colpito il suolo ci siamo fatti male, ma la Terra non ne è statavisibilmente scossa; ma ugualmente i terremoti più devastanti, né l’esplosio-ne del vulcano Krakatoa, né l’impatto dei meteoriti, hanno avuto un’influenzasignificativa.

Definizione

Gli osservatori “migliori” hanno pertanto una grande massa inerziale, ele correnti di quantità di moto che in essi eventualmente fluiscono cambianosolo in minima parte il loro stato di moto. Nella misura in cui non sonoinflluenzati da queste correnti, essi sono detti inerziali. Vi è pertanto unaqualche nozione di “inerzialità”, in base alla quale alcuni osservatori sono“più” inerziali di altri. La Luna, ad esempio, lo è meno della Terra, che asua volta lo è meno del Sole, che a sua volta lo è meno della nostra Galassia,che...

10Chiedetevi in qual modo sia stato possibile determinarla: senz’altro non collocando ilnostro pianeta su una bilancia!

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6.1 Osservatori inerziali 6 I PRINCIPI DELLA DINAMICA

Dato che lo stato di moto di un riferimento inerziale non cambia, possiamoconvenire per semplicità che esso sia immobile, anzi che sia la quintessenzadell’immobilità; per noi esseri umani la Terra è il campione fondamentale diimmobilità.

Secondo il punto di vista della fisica, d’altra parte, la considerazione appenaesposta è ingenua. Per dirla con Sir Eddington, dobbiamo cercare una rap-presentazione dello stato dell’universo che sia accettabie da un astronomo di unqualunque altro pianeta (e poco importa se sia un omino grigio con grandi occhi,o verde con le antenne). Consideriamo allora due diversi osservatori inerziali.

Per definizione, ciascuno dei due nota che lo stato di moto è costante, ossiache l’altro si muove di moto rettilineo uniforme: difatti ciascuno dei due constatache l’altro non è perturbato dal resto dell’universo.

Ciascuno dei due misura lo stato iniziale dei corpi e, dopo avere stabilito uncerto numero di leggi fisiche fondamentali, è in grado di prevedere l’evoluzionesuccessiva. Se i due osservatori sono un laboratorio sulla Terra e uno sul terzopianeta di Alpha Centauri, non vi è motivo per ritenere che uno dei due debbaessere più importante dell’altro (a meno di non volere insistere con un punto divista antropocentrico) e così le leggi fisiche stabilite dai due osservatori devonoessere le stesse: questo è il contenuto del principio di relatività Galileiana.

Così la caratteristica fondamentale di un sistema di riferimento inerziale nonè l’immobilità, ma il fatto di muoversi in linea retta e a velocità costante rispettoad un qualsiasi altro osservatore inerziale.

Possiamo più facilmente comprendere tutto ciò con un esempio e una piccolaidea. Permettetemi di introdurre la nozione di “sistema di riferimento precaria-mente inerziale”: un autobus in movimento a velocità costante lungo una stradarettilinea, priva di irregolarità, è inerziale in modo precario: un qualunque ostaco-lo sulla carreggiata, ad esempio, potrà alterarne lo stato di moto. Se idealizziamoquesta situazione fino ad ammettere che i passeggeri non avvertano alcuno scos-sone, all’interno dell’autobus ogni attività potrà essere svolta così come verrebbesvolta a terra: ad esempio, potremmo giocare a ping pong, a biliardo, o anche,se ci stiamo annoiando e abbiamo bisogno di attivitâ fisica, potremmo saltare lacordicella. Le leggi delle fisica determinate all’interno dell’autobus sono le stes-se determinate da un osservatore solidale con la Terra. Questa situazione, però,cesserà di essere vera non appena il conducente frenerà, ovvero inizierà a curvare:a questo punto i passeggeri constateranno la presenza di effetti che turberanno ilnormale svolgersi delle cose, e si accorgeranno che qualcosa non va. Un passeg-gero preparato, magari, pronuncerà le parole: “Attenti ragazzi, non ci troviamopiù in un sistema di riferimento inerziale!”, qualcun altro, meno competente mapiù umano, soccorrerà la signora anziana che stava giocando a bridge e che sta

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6 I PRINCIPI DELLA DINAMICA 6.1 Osservatori inerziali

tentando di recuperare le carte da gioco che vengono trascinate via dal tavolo daqualche misteriosa forza.

Un sistema realmente inerziale deve possedere una tale inerzia che i trasfe-

rimenti di quantità di moto da o verso l’esterno non perturbino il suo stato di

moto.

Figura 38: Venti alisei . Sono raffigurate schematicamente le masse d’aria che, muo-vendosi inizialmente lungo una traiettoria parallela all’equatore, un po’ più a nord o asud di esso, subiscono una deviazione verso i Poli causata dalla rotazione della Terrasul proprio asse. Quella descritta sommariamente è la circolazione dei venti alisei.

Per afferrare il punto è interessante considerare anche l’esempio della circo-lazione dei venti alle latitudini comprese tra i due tropici. Una massa d’aria chesi sposta da est a ovest lungo un parallelo leggermente a nord dell’equatore, purnon essendo soggetta a forze esterne dovute a corpi situati in prossimità (altremasse d’aria, ad esempio, o montagne), devia verso nord e percorre una traietto-ria curva, dunque non si muove di moto rettilineo uniforme; analogamente, unamassa d’aria inizialmente in movimento lungo un parallelo leggermente a suddell’equatore devia verso sud (vedi fig. 38). Possiamo attribuire il fenomeno amisteriose forze di deriva, oppure possiamo notare che la velocità del vento vienemisurata rispetto alla superficie terrestre e che la Terra ruota attorno al proprioasse, pertanto la superficie terrestre non può essere considerata esattamenteun sistema di riferimento inerziale, e la deviazione rispetto ad un osservatoreinerziale ideale si manifesta sulla scala di lunghezze dei fenomeni atmosferici.Questo moto di rotazione fa si che rispetto alla superifcie terrestre venga rile-vata una forza di deriva, chiamata forza di Coriolis, che agisce su tutti i corpiin movimento; si tratta della stessa forza che abbiamo sperimentato quando, da

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6.2 Primo principio 6 I PRINCIPI DELLA DINAMICA

bambini, lottavamo per mantenere una traiettoria rettilinea camminando sullapiattaforma di una giostra in rotazione.

6.2 Primo principio

Come facciamo a riconoscere un osservatore inerziale?La discussione svolta nel paragrafo precedente può essere riassunta in due

punti:

– deve possedere una grande massa, così che le azioni esterne non lo scuo-tano;

– dato che un sistema inerziale non ruota, non è scosso, non sussulta, ladescrizione che esso dà dei fenomeni deve essere la più semplice possibile;

Ora, immaginiamo che un corpo sia così lontano da tutti gli altri che possiamosenz’altro trascurare tutte le azioni che il resto dell’universo esercita su di lui.

Che cosa fa questo corpo?La risposta potrebbe essere: niente, niente del tutto!E questa risposta è giusta, ma in un senso decisamente diverso da ciò che

normalmente si suppone.Dunque, potremmo pensare, se non fa niente, significa che sta fermo del tut-

to. Questa, però, è una concezione ingenua (pensate alle parole di Sir Edding-ton): difatti dovremmo precisare anzitutto rispetto a quale osservatore inerzialeriferiamo le misure.

Così, se in un dato riferimento inerziale il corpo è fermo, rispetto ad un altro,senz’altro, non lo è.

Non possiamo pertanto affermare che un corpo isolato sia senz’altro fermo:lo sarà per certi osservatori, ma non per altri.

Dobbiamo piuttosto ritenere che esso si comporti nel modo più semplicepossibile: nessuna curva, nessuno scossone, nessun cambiamento dello stato dimoto. Ma questo significa, in generale, che si muoverà seguendo la traiettoriapiù semplice, la retta, e che procederà a velocità costante. Ecco così una secondadefinizione di osservatore inerziale:

Definizione

Un osservatore è inerziale se tutti i corpi isolati si muovono, rispetto adesso, di moto rettilineo uniforme (ossia se non fanno cose strane, perché intal caso la colpa potrebbe essere solo dell’osservatore, avendo in principioescluso che le azioni esterne siano significative).

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6 I PRINCIPI DELLA DINAMICA 6.3 Secondo principio

Ora siamo pronti per formulare il primo principio della dinamica. Ci siamodovuti preparare molto, poiché dei tre è il più difficile, il più elusivo. Questa pre-prazione, in effetti, è tanto imponente quanto è concisa, in modo imbarazzante,la frase che ne esprime il contenuto. Tutto ciò assomiglia ai grandi razzi a trestadi che, agli albori dell’astronautica, servivano per mettere in orbita satellitipoco più grandi di un arancia.

PRIMO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

Gli osservatori inerziali esistono, e le leggi della fisica sono lestesse per ciascuno di loro.

D’ora in avanti supporremo di riferire tutte le misure ad un osservatoreinerziale (salvo quando esplicitamente indicato il contrario).

6.3 Secondo principio

Se tutti i corpi fossero isolati e se ne andassero a spasso per l’universo procedendo Quando un corpo ab-bandona lo stato dimoto rettilineo uni-forme, sappiamo cheha subito l’azione delresto dell’universo.

imbelli lungo le loro traiettorie rettilinee - e per di più, il colmo della noia, avelocità costante - tutto sarebbe veramente desolante.

Noi però costatiamo che, tutt’attorno, le cose accadono: i corpi curvano,accelerano, rallentano, rimbalzano.

Ora, noi abbiamo convenuto di scegliere sempre, per le nostre misure, unosservatore inerziale: questo significa che qualsiasi deviazione dal moto rettilineouniforme deve essere attribuita ad azioni esterne.

In tutto questo lavoro abbiamo identificato le azioni esterne con le correntidi quantità di moto, e in effetti abbiamo già indicato qual è l’effetto di questecorrenti quando abbiamo costruito l’equazione di continuità px

py

pz

=

Fx

Fy

Fz

In questa equazione, però, il ruolo della velocità non è chiaro, poiché essa è,

per così dire, incapsulata nella quantità di moto.Per portarla alla luce, ripartiamo della relazione costituiva: px

py

pz

= m

vx

vy

vz

81

6.3 Secondo principio 6 I PRINCIPI DELLA DINAMICA

Osservate che la massa di un corpo è un parametro costante, quindi la va-riazione nel tempo della quantità di moto è dovuta solo dalla variazione dellasua velocità: più precisamente, la velocità di variazione della quantità di motoè proporzionale all’accelerazione del corpo, e il coefficiente di proporzionalità èproprio la massa: px

py

pz

= m

vx

vy

vz

(24)

L’equazione 24 è molto interessante. Essa ci dice che per variare la velocità diun corpo, dobbiamo trasferigli quantità di moto in proporzione alla sua massa:in altre parole, la 24 racchiude le intuizioni che abbiamo esposto nel capitolo 4.

Dato che usiamo i diagrammi con le frecce per rappresentare la dinamicadei sistemi, ho pensato di a un’immagine che racchiuda, in modo intuitivo, ilcontenuto dell’equazione 24: è quella che potete vedere in figura 39.

Ora possiamo tornare all’equazione di continuità e riscriverla alla luce diquanto abbiamo appena appreso. Il risultato che otteniamo ha avuto un’impor-tanza straordinaria nella storia della Fisica.

SECONDO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

Per cambiare lo stato di moto di un corpo è necessaria la forzam~a, ed essa coincide con la somma di tutte le forze che agisconosul corpo:

m~a = ~Ftot

Questa è l’equazione centrale di tutta le dinamica.

(ricordate che ~a è il vettore accelerazione del corpo).

Ora abbiamo uno strumento in più per la soluzione dei problemi di fisica.Riconsiderate, a titolo di esempio, l’apparato sperimentale per la misura del-le correnti di quantità di moto. La fune in tensione impone una condizionemolto semplici: in ogni istante le velocità dei due corpi, e quindi anche le loroaccelerazioni, devono essere uguali; questo ci consente di scrivere immediata-mente due equazioni di continuità, una per ciascun corpo, con due incognite:l’accelerazione e la corrente che scorre lungo la fune.

82

6 I PRINCIPI DELLA DINAMICA 6.4 Terzo principio

Figura 39: La freccia che rappresenta la velocità di variazione della quantità dimoto è larga in proporzione alla massa del corpo (la misura dell’inerzia) e altain proporzione all’accelerazione.

6.4 Terzo principio

Un corpo solo nell’universo non combina un gran che, ormai è chiaro.Le cose si fanno interessanti quando di corpi ce ne sono due, e i due intera-

giscono.Questo significa che una corrente di quantità di moto scorre dall’uno all’altro;

ne abbiamo parlato in diverse circostanze: l’effetto della corrente su ciascunodei due equivale all’azione di una forza.

Ad ogni corrente, quindi, è associata una coppia di forze, che sono vettoricon stessa direzione, uguale intensità e verso opposto.

Figura 40: In questo caso l’interazione è di tipo repulsivo.

Nelle figure 40 e 41 ho illustrato i due casi possibili di interazione. Sonosostanzialmente le stesse figure che avete già visto nella sezione 5.2, ma in que-sto caso ho aggiunto l’indicazione della velocità dei corpi e della massa, per

83

6.5 Conclusioni 6 I PRINCIPI DELLA DINAMICA

Figura 41: In questo caso l’interazione è di tipo attrattivo.

ricordarvi che d’ora in avanti dovremo esprimere la quantità di moto dei corpiattraverso la relazione costitutiva, e ciò ci condurrà inevitabilmente a parlaredell’accelerazione.

Se rompiamo la simmetria tra i due corpi e ci concentriamo su uno deidue, osserviamo che esso subisce un’azione, ed essa è dovuta all’altro corpo. Laforza speculare, esercitata dal primo corpo sul secondo, si chiama reazione: perquesto motivo le due forze associate ad una stessa corrente formano la cosiddettacoppia azione-reazione.

TERZO PRINCIPIO DELLA DINAMICA

Ad ogni azione corrisponde una reazione: le due forze hannosempre la stessa direzione, la stessa intensità e verso opposto:

~F1→2 = −~F2→1

Questo è anche conosciuto come il principio di azione ereazione.

6.5 Conclusioni

I tre principi di Newton costituiscono il quadro sintetico della dinamica, e sonouniversalmente considerati un poderoso risultato dei primi passi della ricerca

84

6 I PRINCIPI DELLA DINAMICA 6.5 Conclusioni

scientifica.Il linguaggio delle correnti di quantità di moto, che ci ha accompagnato fino

a qui, ha soprattutto il ruolo di darci una base intuitiva, alla quale potremotornare ogni volta che la rigida applicazione delle idee di Newton ci risulteràdifficile da capire.

Il terzo principio potrebbe talvolta metterci in imbarazzo, come è successoquando abbiamo studiato il tiro alla fune: se questo sarà il caso, basterà ricorda-re che la coppia azione e reazione non è altro che il modo in cui si manifesta unacorrente di quantità di moto, nei suoi effetti sui corpi che interagiscono graziead essa.

Il secondo principio è conosciuto anche come il principio del determini-smo: vedremo che attraverso la sua applicazione è possibile, in linea di principio,prevedere l’evoluzione futura di un sistema. I limiti di questo potere di previ-sione, d’altra parte, sono enormi, e in un’epoca più recente, nel passaggio dalXIX al XX secolo, la scoperta di questi limiti ha aperto le porte della fisica adun nuovo campo di ricerca.

La nozione di osservatore inerziale, introdotta dal primo principio, ha accom-pagnato la fisica fino alla fine del XIX secolo ma ha dovuto cedere il passo allaTeoria della Relatività. Oggi sappiamo che il punto di vista della Fisica di New-ton deve essere completamente stravolto, se desideriamo fornire una descrizionesoddisfacente dei fenomeni elettromagnetici e dei fenomeni gravitazionali.

85

7 ESERCIZI

7 Esercizi

Ora che abbiamo terminato, ricominciamo. Che cosa ci aspetta di qui inavanti?

Potremmo ritenere che adesso, ogni volta che ci troveremo confrontati conun problema, sarà sufficiente applicare i principi per trovare la soluzione. Maquesto, se da una parte è senz’altro giusto, è tutt’altro che facile.

Difatti sarà necessario allenare la nostra percezione per scoprire, di voltain volta, dove opera ciascuno dei principi nei problemi concreti che dovremoaffrontare.

Ora la domanda è: sarete in grado di cogliere l’unità negli esercizi che pro-pongo in questo capitolo? È sufficientemente allenato il vostro occhio per rico-noscere le correnti che scorrono tra gli oggetti, e sarete in grado di imporre iprincipi della dinamica nelle situazione che incontrerete?

7.1 Collisioni ed esplosioni

1. Un corpo ha massa m = 2.5 kg e velocità x = vx = +12m/s; determina lasua quantità di moto.

(a) Un corpo ha massa m = 3.6 kg e velocità vx = −5.0m/s; determinala sua quantità di moto.

(b) Un corpo ha quantità di moto px = +56 kg ·m/s e massa m = 3.5 kg;determina la sua velocità.

(c) Un corpo ha quantità di moto px = −17 kg ·m/s e velocità vx =

−3.4m/s; determina la sua massa.

2. Un serie di misure effettuate con il cannoncino sparapiselli ha fornito irisultati riportati nel grafico di figura 42. Determina la massa del carrello.

3. Due corpi si muovono su un piano orizzontale privo di attrito sulla stessalinea retta (questo vuol dire che possono urtarsi). I due corpi si urtano erimangono collegati, formando un corpo unico; determina la velocità finaledi questo corpo, in ciascuno dei casi indicati (N.B. il corpo “1” si trova asinistra, il corpo “2” si trova a destra e l’asse x è orientato da sinistra adestra come di consueto).

(a) m1 = 48 kg; m2 = 70 kg; v1,x = +6.4m/s e v2,x = 0m/s.

(b) m1 = 52 kg; m2 = 85 kg; v1,x = +4.8m/s e v2,x = 3.0m/s.

(c) m1 = 1200 kg; m2 = 950 kg; v1,x = +8.0m/s e v2,x = −5.0m/s.

86

7 ESERCIZI 7.1 Collisioni ed esplosioni

Figura 42: L’unità di misura della velocità è m/s, quella della quantità di motokg ·m/s

(d) m1 = 45 kg; m2 = 45 kg; v1,x = −4.5m/s e v2,x = −6.0m/s.

4. In ciascuno dei casi dell’esercizio 3, determina la quantità di moto che sitrasferisce dal corpo più veloce al corpo più lento. Suggerimento. Que-sto esercizio è del tutto analogo a quello della quantità d’acqua che sitrasferisce dal vaso in cui il livello è più alto all’altro.

5. Due corpi si muovono l’uno contro l’altro con le velocità v1,x = +5.0m/s

e v2,x = −2.0m/s; in seguito all’urto il corpo che si forma è immobile.Determina il rapporto tra le velocità.

6. Una bomba, inizialmente immobile, esplode separandosi in due frammentiche si muovono sullo stesso binario rettilineo priva di attrito. Si studinole seguenti varianti del problema.

(a) La velocità relativa dei due frammenti è vrel = +250 ms ; i due fram-

menti hanno massa m1 = 12 kg ed m2 = 18 kg. Determina le velocitàfinali dei due frammenti.

(b) La velocità relativa dei due frammenti è vrel = +180 ms ; il rapporto

tra le masse dei due frammenti è m1

m2= 2.5; determina il rapporto tra

le velocità finali.

(c) La massa della bomba è m = 350 kg, la velocità relativa è +320 ms

e il rapporto tra le due velocità finali è v1,fin

v2,fin= − 3

2 ; determina lemasse dei due frammenti e la velocità finale.

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7.2 Correnti e forze 7 ESERCIZI

7. Questa è una variante dell’esercizio precedente un po’ più macchinosa.In seguito all’esplosione, uno dei due frammenti collide anelasticamentecon un blocco di massa m = 108 kg ed il corpo che si forma in seguitoall’urto si muove con la velocità di −25 m

s ; il rapporto tra le masse dei dueframmenti è m1

m2= 0.4. Determina le velocità di entrambi i frammenti.

8. Un cannoncino sparapiselli è appoggiato su una slitta che si muove sullasuperficie ghiacciata di un laghetto. Il cannoncino espelle ogni 0.84 s. Lamassa del sistema slitta+cannoncino+proiettili è uguale a 36 kg (all’istantet = 0) e la massa di ogni proiettile è pari a 540 g. Ogni proiettile vieneespulso alla velocità vrel = −2.4 m

s misurati relativamente alla slitta.

(a) Determina la velocità della slitta dopo che sono stati espulsi 9 pro-iettili.

(b) Rappresenta in grafico la velocità della slitta in funzione del tempo(è sufficiente il calcolo di 9 punti).

9. Due corpi si muovono sullo stesso binario rettilineo privo di attrito, l’unocontro l’altro, e collidono elasticamente. Determina le velocità finali deicorpi nei seguenti casi:

(a) m1 = 48 kg; m2 = 70 kg; v1,in = +6.4m/s e v2,in = 0m/s.

(b) m1 = 52 kg; m2 = 85 kg; v1,in = +4.8m/s e v2,in = 3.0m/s.

(c) m1 = 1200 kg; m2 = 950 kg; v1,in = +8.0m/s e v2,in = −5.0m/s.

(d) m1 = 45 kg; m2 = 45 kg; v1,in = −4.5m/s e v2,in = −6.0m/s.

Rappresenta in grafico le velocità dei due corpi in funzione del tempo, inun intervallo che abbracci le tre fasi, prima, durante e dopo l’urto.

7.2 Correnti e forze

7.3 I principi della dinamica

1. Un corpo di massa m = 7.5 kg è immobile su un piano.

(a) Determina tutte le forze che agiscono sul corpo lungo la direzioneverticale.

(b) Determina l’intensità della forza totale che agisce sul corpo lungo ladirezione orizzontale.

2. Un corpo di massa m = 12 kg viene accelerato su un piano orizzontaleliscio (privo di attrito); l’accelerazione è v = +1.2 m

s2 . Determina la forzatotale che agisce sul corpo.

88

7 ESERCIZI 7.3 I principi della dinamica

3. Un corpo di massa m = 8.5 kg viene trascinato, a velocità costante, su unpiano orizzontale ruvido. La corrente di attrito è Ip = 6.5 Hy

s . Determinae rappresenta in un disegno tutte le forze che agiscono sul corpo lungo ladirezione orizzontale.

4. Un corpo di massa m = 4.5 kg viene trascinato su un piano orizzontaleruvido. La sua accelerazione è v = +2.5 m

s2 e la forza con la quale vienetrascinato è F = +24N. Determina la forza di attrito e rappresenta in undisegno tutte le forze che agiscono sul corpo.

5. Un corpo di massa m = 25 kg scivola su un piano orizzontale liscio. Lasua velocità passa da vin = +4.5 m

s a vfin = +1.5 ms in un intervallo di

tempo 4t = 1.5 s. Determina la forza che rallenta il corpo e rappresentala situazione in un disegno.

6. Un corpo di massa m = 18 kg scivola su un piano orizzontale liscio. Lasua velocità passa da vin = −4.5 m

s a vfin = −7.5 ms in un intervallo di

tempo 4t = 1.5 s. Determina la forza che agisce sul corpo e rappresentala situazione in un disegno.

7. Una forza orizzontale F = +84N agisce su un corpo di massa m = 14 kg,che si muove su un binario orizzontale privo di attrito. Il corpo, all’istanteiniziale, è fermo.

(a) Determina l’accelerazione del corpo.

(b) Rappresenta in grafico la legge oraria x (t).

8. Una forza orizzontale F = −72N agisce su un corpo di massa m = 16 kg,che si muove su un binario orizzontale privo di attrito. La velocità delcorpo, all’istante iniziale, è v (0) = +5.4 m

s .

(a) Determina l’accelerazione del corpo.

(b) Determina l’istante di tempo in cui la velocità del corpo è uguale azero.

(c) Rappresenta in grafico la funzione v (t) e determina lo spostamentodel corpo in questo arco di tempo .

9. Osservate che un corpo di massa m = 4.8 kg si muove su un binario oriz-zontale (privo di attrito). La legge oraria del suo movimento è x (t) =

−8.0m + 5.0 ms t+ 1.2 m

s2 t2.

(a) Determina la sua posizione e la sua velocità all’istante iniziale.

(b) Determina la forza totale che agisce sul corpo.

89

7.3 I principi della dinamica 7 ESERCIZI

10. Osservate che un corpo di massa m = 5.4 kg si muove su un binario oriz-zontale. La corrente di attrito è Iatt = 2.4 Hy

s . La legge oraria del suomovimento è x (t) = 4.5 m

s t + 2.7 ms2 t

2. Determina l’intensità della forzache trascina il corpo lungo il piano.

11. Osservate che un corpo di massa m = 2.5 kg viene trascinato su un binarioorizzontale. La corrente di attrito è Iatt = 5.0 Hy

s La legge oraria del suomovimento è x (t) = 8.5 m

s t− 1.2 ms2 t

2.

(a) Determina la forza con la quale viene trascinato il corpo.

(b) Determina quanto tempo è necessario affinché il corpo si fermi.

12. I due corpi in figura 43 accelerano solidali (ossia: come fossero un solcorpo). Il piano è privo di attrito. Si conoscono i valori delle masse(m1 = 32 kg e m2 = 18 kg) e i valori dell’accelerazione (v = 3.2 m

s2 ).

(a) Determina la forza F e rappresentala in grafico.

(b) Determina l’intensità della corrente di attrito che scorre tra i duecorpi.

(c) Rappresenta nel disegno la coppia azione-reazione associata alla cor-rente di attrito.

Figura 43: L’attrito è sufficiente per mantenere solidali i due blocchi. La fune,evidentemente, è messa in tensione da una persona o da una macchina, ma inquesta fase non è necessario occuparci di questo ulteriore elemento.

13. Due blocchi poggiano l’uno sopra l’altro su un piano, e sono immbili (fi-gura 44). L’uomo mette in tensione la fune e si stabilisce la situazionedescritta in figura 45. Si conoscono i valori delle masse (m1 = 25 kg em2 = 12 kg) e i valori delle due accelerazioni (v1 = 2.4 m

s2 e v2 = 1.6 ms2 ).

Notate che in figura 45 ho rappresentato solo le correnti di quantità di

90


moto orizzontale.

(a) Determina la forza di sostegno esercitata dal blocco inferiore su quellosuperiore, e quella esercitata dal piano sul blocco inferiore (N.B. Que-sta domanda, per ora, non verrà collegata alle domande successive.Ricordate comunque che, in generale, tanto più grande è il sostegno,tanto più intenso è l’attrito).

(b) Determina l’intensità della corrente di tensione che scorre lungo lafune, sapendo che la corrente di attrito tra il blocco superiore e ilpiano è pari a 42 Hy

s .

(c) Determina l’intensità della corrente di attrito tra i due blocchi.

(d) Rappresenta sul disegno tutte le coppie di azione-reazione associate,una per ciascuna delle correnti di quantità di moto orizzontale.

Figura 44: I due blocchi poggiano l’uno sull’altro e le superfici a contatto sonosufficientemente rugose da garantire un attrito sensibilmente grande.

Figura 45: L’uomo mette la fune in tensione e comincia a trainare il bloccoinferiore accelerandolo. La trazione è talmente potente che il blocco superiorecomincia a slittare su quello inferiore, e così “rimane indietro” sempre più.

91


Figura 46: Il blocco superiore scivola su quello inferiore fino a quando collidecon la battuta a sinistra. La collisione è completamente anelastica e quindi, daquesto momento in avanti, i due blocchi proseguono come se fossero uno solo.

14. Vi propongo una variante del problema precedente (figura 46). I dati delproblema sono: m1 = 8.5 kg, m2 = 1.5 kg; v1 = 4.5 m

s2, v2 = 1.5 m

s2.

(a) Determina la corrente di tensione e la corrente di attrito tra i dueblocchi, sapendo che la corrente di attrito tra blocco inferiore e pianoè pari a 12 Hy

s.

(b) Determina e rappresenta sul disegno tutte le coppie azione-reazione.

(c) Spiega perché la corrente che scorre tra il piano e l’uomo è necessa-riamente più grande di quella che scorre lungo la corda.

(d) Il blocco superiore colpisce la pastiglia (gommosa e appicicaticcia)collocata sulla battuta e rimane collegato al blocco inferiore. De-termina l’accelerazione del sistema dei due blocchi, supponendo chel’uomo continui a trainare il tutto con la stessa forza di prima.

(e) Rappresenta le velocità dei due blocchi in un diagramma velocitàtempo, prima e dopo la collisione.

15. Il corpo in figura 47a cade libero in verticale. Il corpo in figura 47b vienelanciato verticalmente. In entrambi i casi gli effetti dell’aria possono esseretrascurati.

(a) Determina l’accelerazione dei due corpi.

(b) Scrivi la legge oraria del primo corpo, sapendo che z(0) = 45m.

92


(a) Un masso cade liberonel campo di gravità.

(b) Un proiettile viene lanciato verticalmentenel campo di gravità.

Figura 47: Caduta libera.

(c) Scrivi la legge oraria del secondo corpo, sapendo che z (0) = 30 ms .

16. Le masse dei corpi in figura 48 sono m1 = 4.5 kg e m2 = 9.5 kg.

Figura 48: Il piano orizzontale è privo di attrito, e la carrucola ha massatrascurabile e ruota sul proprio perno senza attrito.

(a) Determina l’accelerazione del sistema.

(b) Determina la tensione della fune.

(c) Rappresenta tutte le forze sul disegno.

17. Le masse dei corpi in figura 49 sono le stesse dell’esercizio precedente:m1 = 4.5 kg e m2 = 9.5 kg .


(b) Determina la tensione della fune.

93


Figura 49: La carrucola ha massa trascurabile e ruota sul proprio perno senzaattrito.


Che cosa cambia rispetto al caso in cui il blocco 1 scivola sul pianoorizzontale?

18. Le masse dei corpi in figura 50 sono m2 = 2.5 kg , m1 = 7.5 kg e m3 =

5.0 kg .


94


Figura 50: Come nei casi precedenti, potete ignorare completamente gli attritie la massa delle carrucole. Il corpo centrale aggiunge inerzia al sistema.

(b) Determina la tensione di ciascuna delle due funi.


Perché le tensioni delle due funi devono essere necessariamente diver-se tra loro?

Figura 51: Questo esempio deve indicarvi come distinguere tra massa, peso eforza di gravità.

19. Rispondi di nuovo alle domande dei problemi 16 e 18, tenendo contodell’esistenza, tra blocco e piano orizzontale, della corrente di attritoIatt = 5.4 Hy

s .

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20. La massa della ragazza in figura è m = 58 kg. Determina (esprimendo ilrisultato in Newton!) il peso misurato dalla bilancia nei tre casi seguenti:

(a) L’ascensore sale a velocità costante.

(b) L’ascensore scende a velocità costante.

(c) L’ascensore ha un’accelerazione v = +2.5 ms2 .

(d) L’ascensore ha un’accelerazione v = −2.5 ms2 .

Siete riusciti a rispondere a tutte le domande che vi ho rivolto?Se questo è il caso, vi propongo una particolare retrospettiva sul vostro

lavoro. Riprendete in esame tutti i problemi ed indicate esplicitamente qualiidee avete messo in atto; dovrete in particolare individuare i passaggi nei quali

– è coinvolta, più o meno esplicitamente, la nozione di osservatore;

– è necessario applicare il secondo principio;

– è necessario applicare il terzo principio.

Se porterete a termine tutti gli incarichi, sarete senz’altro pronti per prepararevoi stessi nuovi problemi.

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