Formazione delle prime strutture in modelli cosmologici di ...

Alma Mater Studiorum · Universita di Bologna

FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea in Astronomia

Dipartimento di Astronomia

Formazione delle prime strutture in

modelli cosmologici di quintessenza

Tesi di Laurea in Cosmologia

Candidato:

UMBERTO MAIO

Relatore:

Chiar.mo Prof.

LAURO MOSCARDINI

Correlatore:

Dottor

KLAUS DOLAG

SESSIONE I

Anno Accademico 2004-2005

De l’infinito universo et mondi

G. Bruno

perch’io sia giunto forse alquanto tardo,non t’incresca restare a parlar meco;vedi che non incresce a me, e ardo!

Dante

They laughed at me as “Prof. Moon”,As a boy in Spoon River, born with the thirstOf knowing about the stars.They jeered when I spoke of the lunar mountains,And the thrilling heat and cold,And the ebon valleys by silver peaks,And Spica quadrillions of miles away,And the littleness of man.But now that my grave is honored, friends,Let it not be because I taughtThe lore of the stars in Knox College,But rather for this: that through the starsI preached the greatness of man,Who is none the less a part of the scheme of thingsFor the distance of Spica or the Spiral Nebulae;Nor any the less a part of the questionOf what the drama means.

E. L. Masters

Indice

Introduzione 1

Convenzioni ed Abbreviazioni 5

1 Il problema cosmologico 7

1.1 Le basi della Relativita Generale . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1 Equazioni di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.2 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Il principio cosmologico e la metrica di Robertson-Walker . . 11

1.2.1 Il principio cosmologico . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 La metrica di Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 La legge di Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Redshift e parametro di decelerazione . . . . . . . . . . . . . 17

1.4 Equazioni di Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Equazione di stato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Parametro di densita e relazione tempo-redshift . . . . . . . 21

1.7 Modelli di Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.8 Orizzonti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.9 Formazione delle strutture cosmiche . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.1 Cenni preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.9.2 I problemi del modello standard . . . . . . . . . . . . 30

1.9.3 Le prime perturbazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.9.4 Teoria di Jeans e crescita delle perturbazioni . . . . . 32

i

1.9.5 Simulazioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.9.6 Spettro di potenza, varianza e funzioni di massa . . . 46

2 Le prime stelle e la reionizzazione dell’universo 53

2.1 Formazione di oggetti di popolazione III . . . . . . . . . . . 55

2.1.1 Protogalassie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.1.2 Stelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.1.3 Osservabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2 Proprieta della popolazione III . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.1 Funzione di nascita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.2.2 Caratteristiche fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2.3 Evoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.3 Meccanismi di feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.3.1 Feedback radiativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3.2 Feedback meccanici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3.3 Feedback chimici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.4 Reionizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2.4.1 Reionizzazione dell’idrogeno . . . . . . . . . . . . . . 70

2.4.2 Reionizzazione dell’elio . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4.3 Arricchimento metallico dell’IGM . . . . . . . . . . . 73

3 Quadro osservativo 75

3.1 Parametri geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1.1 Costante di Hubble H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.1.2 Parametro di densita Ω0 . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2 Parametri spettrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.2.1 Ampiezza delle fluttuazioni σ8 . . . . . . . . . . . . . 86

3.2.2 Indice spettrale n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3 Spessore ottico τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.4 Parametro di stato per l’energia oscura wDE . . . . . . . . . 89

3.5 Sommario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4 Modelli di quintessenza 95

4.1 I problemi connessi con la costante cosmologica . . . . . . . 96

4.2 Quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.1 Azione per la quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.2.2 Dinamica della quintessenza . . . . . . . . . . . . . . 103

4.3 Proprieta della quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.3.1 Quintessenza con proprieta di tracker . . . . . . . . . 108

4.3.2 Potenziali Ratra & Peebles e SUGRA . . . . . . . . . 111

4.4 Alcune considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5 Simulazioni 123

5.1 Il codice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.2 I modelli cosmologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.3 Caratteristiche delle simulazioni . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.4 Indice spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.5 Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6 Risultati delle simulazioni 139

6.1 Tecniche di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6.2 Analisi degli aloni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.2.1 Densita numeriche: andamenti generali . . . . . . . . 142

6.2.2 Confronto con le predizioni teoriche . . . . . . . . . . 145

6.2.3 Funzioni di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2.4 Effetto della limitatezza del volume delle simulazioni

sulle funzioni di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.3 Analisi dei gruppi di gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

6.4 Considerazioni sulla reionizzazione . . . . . . . . . . . . . . 172

6.5 Oggetti piu grandi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

7 Implicazioni per la reionizzazione 181

7.1 Spessore ottico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

7.2 Formazione stellare dopo la reionizzazione: modello di SFR . 188

7.3 Considerazioni finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8 Conclusioni 199

Appendici 205

A Random Walk 205

A.1 Approccio generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

A.2 Barriera riflettente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

A.3 Barriera assorbente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

A.3.1 Distribuzione di probabilita . . . . . . . . . . . . . . 210

A.3.2 Tasso di probabilita di deposito sulla barriera

(velocita di arrivo sulla barriera) . . . . . . . . . . . 210

B Excursion Set e funzioni di massa 215

B.1 Cammini Browniani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

B.2 Modello degli Excursion Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

B.3 Funzione di massa differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . 221

B.4 Funzione di massa condizionale . . . . . . . . . . . . . . . . 223

C Formalismo generale nella Teoria dei Campi classica 225

C.1 Equazioni del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

C.2 Tensore energia-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Bibliografia 231

Ringraziamenti 239

Elenco delle tabelle

3.1 Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − PL . . . . . . 92

3.2 Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − RSI . . . . . 92

3.3 Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − RSI . . . . . 93

7.1 Vari modelli di quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

v

Elenco delle figure

1.1 Diagramma a cono della SDSS . . . . . . . . . . . . . . . . . 13



1.4 Andamenti della funzione di crescita . . . . . . . . . . . . . 35

1.5 Andamenti per δc in regime lineare e non lineare . . . . . . . 39

1.6 Spettro di potenza e ∆2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.7 Funzione di trasferimento di Bardeen . . . . . . . . . . . . . 49

1.8 Funzioni di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50


2.1 Evoluzione delle nubi di gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.2 Spettri sintetici di popolazioni stellari . . . . . . . . . . . . . 63

2.3 Collasso di una stella di popolazione III . . . . . . . . . . . . 64

3.1 Mappe bidimesionali delle fluttuazioni in temperatura nel

CMB ottenute da COBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2 Distribuzione angolare delle fluttuazioni in temperatura nel

CMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.3 Mappa bidimesionale delle fluttuazioni in temperatura nel

CMB ottenuta da WMAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.4 Spettro di potenza angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.5 Limiti su h− Ω0M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.6 Accelerazione e decelerazione dalle SN . . . . . . . . . . . . 83

3.7 Accelerazione e decelerazione dalle SN . . . . . . . . . . . . 84

vii

3.8 Limiti su Ω0M − Ω0Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.9 Limiti su Ω0M − Ω0Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.10 Spettro di potenza dedotto da WMAP . . . . . . . . . . . . 87

3.11 Verosimiglianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.12 Reionizzazione dallo spettro di potenza angolare . . . . . . . 88

3.13 Degenerazione tra Ω0M − w dalle SN . . . . . . . . . . . . . 89

3.14 Degenerazione tra Ω0M − w e h− w . . . . . . . . . . . . . . 90

3.15 Degenerazione tra Ω0M − w e h− w con il vincolo w > −1 . 91

4.1 Andamento per la quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2 Andamenti per la quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3 Equazione di stato per la quintessenza . . . . . . . . . . . . 112

4.4 Esempi dell’evoluzione in redshift del parametro di stato in

vari modelli di quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.1 Evoluzione in redshift del parametro di stato in un modello

di quintessenza con potenziale SUGRA e w = −0.85 al presente125

5.2 Differenze indotte su σ(M) da un indice spettrale costante

n = 1 ed uno variabile in k (RSI) . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.3 Differenze indotte su P (k) e ∆2(k) da un indice spettrale

costante ed uno variabile in k (RSI) . . . . . . . . . . . . . . 129

5.4 Dipendenze di P (k) e ∆2(k) dai parametri spettrali Γ e σ8 . 130

5.5 Mappe per tutti i modelli allo stesso redshift . . . . . . . . . 132

5.6 Mappe per il modello ΛCDM −RSI . . . . . . . . . . . . . 133

5.7 Mappe per il modello SUGRA-RSI . . . . . . . . . . . . . . 134

5.8 Mappe per il modello ΛCDM . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

5.9 Mappe per il modello SUGRA . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

5.10 Mappe per i redshift piu bassi . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.11 Mappe per i redshift piu bassi . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

6.1 Densita in numero degli aloni di materia oscura in funzione

del redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6.2 Densita in numero degli aloni di materia oscura in funzione

del redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

6.3 Varianze di massa nelle simulazioni . . . . . . . . . . . . . . 146













6.16 Densita in numero dei gruppi di gas in funzione del redshift . 165

6.17 Frazioni barioniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6.18 Evoluzione in redshift del clumping factor . . . . . . . . . . 169

6.19 Evoluzione in redshift del tempo di ricombinazione . . . . . 170

6.20 Evoluzione in redshift del rapporto tra il numero di clouds

ed il tempo di ricombinazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6.21 Evoluzione in redshift della massa per gli oggetti piu grandi 175

6.22 Profili di densita della materia oscura intorno all’ alone piu

grande per il modello ΛCDM − RSI . . . . . . . . . . . . . 177

6.23 Profili di densita del gas intorno all’alone piu grande per il

modello ΛCDM − RSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.24 Profili dell’energia interna del gas intorno all’alone piu grande

per il modello ΛCDM −RSI . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

7.1 Spessore ottico per il modello ΛCDM . . . . . . . . . . . . . 183

7.2 Spessore ottico per i modelli ΛCDM e SUGRA . . . . . . . 184

7.3 Spessore ottico integrato per vari modelli di quintessenza . . 186

7.4 Andamenti dello SFR per il modello ΛCDM . . . . . . . . . 194

7.5 Andamenti dello SFR per i modelli ΛCDM , ΛCDM −RSI,

SUGRA e SUGRA−RSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

7.6 Andamenti dello SFR per vari modelli di quintessenza . . . . 197

Introduzione

Intraturus es urbemdis hominibus communem,

certis legibus aeternisque devinctam,indefatigata caelestium officia volventem.

Seneca

La cosmologia e una delle discipline maggiormente presenti nella storia

del pensiero umano: a partire dalle filosofie orientali e dalle scuole della

Grecia Antica, l’uomo si e sempre posto il problema di capire l’essenza o

almeno giustificare l’esistenza di cio che lo circonda.

Da un punto di vista scientifico e matematico, la cosmologia nasce

relativamente tardi. Ufficialmente, il punto di svolta e segnato da un breve

articolo di Einstein, pubblicato nel 1917, in cui lo scienziato tedesco propone

di utilizzare la teoria della Relativita Generale per studiare l’universo.

Da lı, per tutto il corso del secondo ed, in parte, del terzo decennio del

XX secolo, si sviluppera un filone di pubblicazioni che portera all’analisi

dei vari modelli cosmologici ed alla loro sistemazione formale. I principali

autori dell’immane lavoro, oltre ad Einstein, saranno astronomi, fisici

e matematici del calibro di Friedmann, de Sitter, Lemaıtre, Robertson,

Walker, Eddington.

Parallelamente agli studi teorici, ci sono anche studi osservativi sugli spettri

delle nebulose extra-galattiche (ovvero le galassie esterne) che risultano

sistematicamente spostati verso il rosso. Nel 1929, nel tentativo di capire

quale fosse la causa di tale spostamento verso il rosso (redshift), Hubble

e Humason compiono una delle scoperte piu sconvolgenti della storia della

2

scienza: usando le Cefeidi come candele standard, essi si accorgono che

la velocita di recessione delle nebulose extra-galattiche e proporzionale alla

loro distanza dall’osservatore (legge di Hubble). L’interpretazione data dai

teorici era basata semplicemente sull’espansione cosmica: lo spazio si dilata

nel tempo in ogni direzione, trascinando con se tutti i punti dell’universo;

cosı ogni osservatore, in qualsiasi posizione si trovi, osserva tutti gli altri

punti allontanarsi da lui secondo la legge di Hubble.

Notiamo che l’idea appena proposta evita, copernicanamente, qualsiasi sorta

di antropocentrismo, perche ogni osservatore, in ogni punto dell’universo,

osserva lo stesso fenomeno. Ovviamente l’asserzione non e verificabile e va

pertanto assunta come un postulato.

A partire dagli anni quaranta, vennero elaborati anche modelli in grado di

descrivere l’evoluzione del “contenuto” dell’universo; i piu popolari erano il

Modello dello Stato Stazionario, di H. Bond e T. Gold e di F. Hoyle, ed il

Modello di G. Gamow, detto dagli oppositori, dispregiativamente, del Big

Bang.

Secondo il primo, l’universo si espanderebbe mantenendo le sue proprieta

invariate nel tempo attraverso una continua creazione di materia che

garantirebbe la costanza della densita cosmica.

Il secondo, invece, parte da una visione evolutiva secondo la quale

l’espansione dovrebbe provocare il raffreddamento e la rarefazione del fluido

cosmico facendolo passare, cosı, da temperature e densita spropositatamente

elevate nel passato, a quantita via via piu basse, fino a raggiungere i valori

attualmente osservabili. In particolare, dovrebbe essere esistita un’epoca1 in

cui la radiazione elettromagnetica e la materia erano, in tutto l’universo, in

equilibrio termico con uno spettro energetico di corpo nero. Al decrescere

della temperatura, a causa dell’espansione, gli elettroni liberi avrebbero

cominciato a ricombinarsi con i protoni per formare idrogeno neutro e,

quando si sarebbe giunti al di sotto di circa 3500K, avremmo assistito ad un

1A circa 300000 anni di vita, quando la temperatura media e di circa 5000 K.

3

“disaccoppiamento” (si dice pure ultima interazione o last scattering) che

avrebbe separato l’evoluzione della radiazione dalla materia e “congelato”

lo spettro energetico dei fotoni nella sua momentanea forma di spettro

di corpo nero. Tutto cio implicherebbe l’esistenza, ancora oggi, di quella

originaria radiazione come fondo cosmico; essa avrebbe uno spettro sempre

di corpo nero, ma piccato, per via dell’intercorsa espansione, a temperature

dell’ordine di alcuni gradi Kelvin.

La scoperta della radiazione cosmica di fondo (CMB) venne fatta,

casualmente, nel 1964, da A. Penzias e R. Wilson e giustificata teoricamente

l’anno seguente, da R. Dicke e P. J. E. Peebles. Essa sosteneva il modello del

Big Bang in manera palese e non poteva in alcun modo essere giustificata

dallo Stato Stazionario. Tuttavia, per avere il primo spettro completo, si

sarebbe dovuto aspettare il satellite COBE (Cosmic Background Explorer),

lanciato nel 1989.

Un problema oggi ancora del tutto irrisolto e quello dell’energia oscura

che sembrerebbe dominare la densita di energia dell’universo costituendo

una sorta di “quinto elemento”, omogeneo ed isotropo, almeno su scale

dell’orizzonte, a fianco della materia oscura, della materia barionica, della

radiazione e dei neutrini. La natura ultima di questa quintessenza non e

chiara, ma si pensa essa sia associabile ad un campo scalare lentamente

variabile originatosi subito dopo l’inflazione.

Lo scopo del presente lavoro di Tesi e proprio cercare di capire come

l’energia oscura influenzi la formazione e l’evoluzione delle strutture ad

alti redshift e vedere quali connessioni esistano con una fase di completa

reionizzazione ad un redshift pari a circa 15.

Abbiamo strutturato il lavoro come segue: dopo una introduzione generale

al problema cosmologico (capitolo I) e alla formazione dei primi oggetti

e delle prime stelle (capitolo II), presentiamo un sunto dei recenti dati

4

osservativi (capitolo III) ed un quadro globale sul formalismo matematico

con cui si tratta l’energia oscura o quintessenza (capitolo IV). Visto, poi,

che lo studio della formazione delle strutture si effettua numericamente,

abbiamo deciso di seguire delle simulazioni (capitolo V) e analizzarne i

risultati (capitolo VI). Infine, abbiamo cercato di desumere le implicazioni

circa la reionizzazione e gli effetti sulla successiva formazione stellare,

mediante un semplice modello analitico di formazione stellare (capitolo VII).

Il lavoro termina con un breve resoconto dei risultati (Conclusioni) e tre

appendici matematiche in cui si discutono i moti browniani o random walk

(appendice A), importanti per il calcolo corretto delle funzioni di massa

(appendice B), e il formalismo generale nella Teoria dei Campi classica

(appendice C).

Convenzioni ed Abbreviazioni

Ond’io per lo tuo me’ penso e discernoche tu mi segui, e io saro tua guida

. . .

Dante

Per quanto riguarda le convenzioni usate nel testo, per la metrica e stata

scelta la segnatura (+,−,−,−); si e indicato il d’Alambertiano covariante

con ≡ gµν∇µ∇ν = 1√−g∂µ(

√−ggµν∂ν ); il tensore di Riemann e

stato definito come segue: Rαβγδ = Γα

βδ,γ − Γαβγ,δ + Γα

sγΓsβδ − Γα

sδΓsβγ;

nelle equazioni di Einstein la costante cosmologia Λ e stata presa maggiore di

zero e con un segno tale da contribuire positivamente alla densita di energia

e negativamente alla pressione. La velocita della luce e stata indicata con c

e, per evitare confusione, quella del suono con vs; il parametro di espansione,

o fattore di scala, nella metrica FLRW e nelle equazioni di Friedmann, e

stato indicato con a, il redshift con z, mentre le metallicita con Z.

Tutte le grandezze che si riferiscono al Sole sono indicate con il pedice ⊙.

In alcuni casi (per esempio il quarto capitolo), sono state adottate le unita

naturali con ~ = c = 1.

Sono inoltre stati usati i seguenti simboli:

∂f∂xµ o ∂µf o f,µ derivata parziale di f

rispetto alla variabile xµ

∇µf o f;µ derivata covariante di frispetto alla variabile xµ

f derivata temporale di fkB costante diBoltzmannM⊙ massa solare≃ circa uguale∼ stima dell′ordine di grandezza,

andamento asintotico≈ approssimazione≡ uguale per definizione∝ proporzionale→ reagiscono per dare⇒ implicazione∀ per ogni∈ appartenenza

Le distanze tipiche, in cosmologia, sono dell’ordine del milione di parsec,

megaparsec, Mpc, dove 1Mpc = 106 pc; il parsec, pc, e definito come la

distanza alla quale si trova un osservatore che vede una lunghezza pari alla

distanza media Terra - Sole (una unita astronomica, AU) sotto un angolo

di un secondo d’arco (1′′): poiche 1AU ≃ 1.49 · 108 km e in un radiante ci

sono circa 206265′′, allora 1 pc ≃ 3.08 · 1018cm.

Nel corso della trattazione faremo spesso uso del parametro h: esso

rappresenta la costante di Hubble per unita di centinaia di km/s/Mpc e

vale approssimativamente 0.7 .

La densita critica dell’universo all’epoca attuale, ricordiamo, vale

ρ0cr ≃ 1.9 · 10−29h2 g/cm3 ≃ 2.775 · 1011h2M⊙/Mpc3, la massa del Sole

M⊙ ≃ 1.99 · 1033 g, la massa del protone mH ≃ 1.67 · 10−24 g e la costante

di Boltzmann kB ≃ 1.38 · 10−16 erg/K.

Capitolo 1

Il problema cosmologico

Sicelides Musae, paulo maiora canamus!Non omnes arbusta iuvant humilesque myricae.

Virgilio

In questo primo capitolo, ci proponiamo di illustrare, da un punto di

vista fisico-matematico, il problema cosmologico nel suo complesso. In

particolare, faremo riferimento ai metodi e alle teorie base che hanno

permesso, e permettono ancora, di sviluppare una conoscenza adeguata

dell’universo - inteso come spaziotempo - e delle strutture in esso presenti:

galassie, ammassi di galassie, etc.

Come e ovvio, su grande scala, l’unica forza apprezzabile e la gravita, quindi

adotteremo la teoria che meglio descrive i processi gravitazionali, la teoria

della Relativita Generale, e vedremo come essa, con l’assunzione di un

principio cosmologico, porti alla costruzione di modelli in grado di predire

l’evoluzione dell’universo.

La teoria di Jeans, invece, ci permettera di comprendere la crescita e lo

sviluppo delle strutture cosmiche, almeno in un regime che chiameremo

lineare; se desideriamo andare oltre, bisognera ricorrere all’ausilio di

simulazioni numeriche.

8 Il problema cosmologico

1.1 Le basi della Relativita Generale

L’idea fondamentale della teoria einsteiniana della gravitazione e cessare di

pensare alla gravita come ad una forza a distanza e sposare un approccio

geometrico delle interazioni fra i corpi. Il sunto di tutta la teoria e

spesso spiegato tramite il celebre motto di Misner, Thorne e Wheeler

(vedi le referenze [29], [4]): in Relativita Generale, la materia insegna

allo spaziotempo come curvarsi, lo spaziotempo insegna alla materia come

muoversi.

Il concetto che si vuole esprimere e il seguente: la teoria (vedi per esempio

[15]) suppone che ogni corpo massivo sia in grado, con la sua sola massa,

di modificare la struttura dello spaziotempo circostante e che un qualsiasi

corpo di prova (massivo e non massivo) si muova lungo le geodetiche della

geometria modificata. In tal modo, lo studio del moto di un corpo di prova

in un campo gravitazionale generato da una data distribuzione di massa

diventa un problema di determinazione di metriche, o meglio di tensori

metrici.

Ricordiamo che, per definizione, un tensore metrico di componenti gij ci

permette di scrivere l’elemento di linea infinitesimo come

ds2 = gijdxidxj (1.1)

e inoltre risulta essere simmetrico

gij = gji. (1.2)

1.1.1 Equazioni di campo

Per determinare le componenti del tensore metrico gµν1, nota la

distribuzione di massa che funge da sorgente del campo gravitazionale,

Einstein propose, in origine (1916), le seguenti equazioni di campo

Gµν = κTµν , (1.3)

1D’ora in avanti sottintenderemo gli indici variare tra 0 e 3 e li indicheremo con le letteredell’alfabeto greco; le lettere latine saranno usate per indicare solo le componenti spaziali evarieranno tra 1 e 3; la componente temporale e quella indicata con 0.

1.1 Le basi della Relativita Generale 9

dove Tµν e il tensore energia-impulso che descrive la distribuzione delle

sorgenti e Gµν e il tensore di Einstein che vale

Gµν = Rµν −1

2gµνR. (1.4)

Il tensore Gµν e una combinazione del tensore di Ricci Rµν e dello scalare

di Ricci R = gµνRµν . Il tensore di Ricci e definito come segue

Rµν = Rλµλν , (1.5)

cioe e il tensore di Riemann Rλµνρ contratto sull’unico indice contravariante

e sul secondo indice covariante2. La definizione del tensore di Riemann che

adotteremo e la seguente3 ,4:

Rλµνρ = Γλ

µρ,ν − Γλµν,ρ + Γλ

σνΓσµρ − Γλ

σρΓσµν , (1.6)

essendo

Γλµν =

1

2gλσ (gσµ,ν + gνσ,µ − gµν,σ) (1.7)

i coefficienti di connessione.

La (2.2) rappresenta sedici equazioni di cui solo dieci risultano indipendenti

data la simmetria dei tensori appena definiti. La costante di proporzionalita

κ viene calibrata in base al limite classico: si tratta di un limite non

relativistico, statico e di campo debole. In tal modo, le dieci equazioni

di campo si riducono all’equazione di Poisson

φ = 4πGρ (1.8)

scegliendo5

κ =8πG

c4. (1.9)

2E questa l’unica contrazione indipendente possibile.3Ci possono essere ambiguita sui segni a seconda degli autori.4Indichiamo con una virgola l’operazione di semplice derivazione e con un punto e virgola

l’operazione di derivazione covariante.5A volte si include un c2 nel tensore energia-impulso, ottenendo

κ =8πG

c2;

oppure, se si definisce il tensore di Riemann con il segno cambiato,

κ = −8πG

c4;

in ogni modo, per le varie convenzioni si veda pure [29], [26], [46], [4].


Le equazioni di campo in forma piu esplicita si riscrivono quindi:

Rµν −1

2gµνR =

8πG

c4Tµν . (1.10)

Notiamo che esse sono dieci equazioni differenziali alle derivata parziali del

second’ordine nelle componenti del tensore metrico (che fungono, pertanto

da potenziali); inoltre, calcolando la quadridivergenza covariante delle

(1.10) e sfruttando le identita di Bianchi Gµν;ν = 0, si trova T µν

;ν = 0,

corrispondente alla conservazione delle sorgenti.

A questo punto, assegnato il tensore energia-impulso si puo risalire al tensore

metrico.

1.1.2 Equazioni del moto

Noto il tensore metrico, e relativamente semplice stabilire il moto di un

corpo di prova: esso segue le equazioni della geodetica

d2xλ

dτ 2+ Γλ

µν

dxµ

dτ

dxν

dτ= 0 , (1.11)

essendo xλ le quattro componenti spaziotemporali del punto in moto e τ

il tempo proprio. Anche le equazioni del moto portano al corretto limite

classico

xi = −∂φ(x)

∂xi(1.12)

se imponiamo che il potenziale sia legato alla metrica general relativistica

dalla seguente condizione

φ(x) =c2

2h00(x) + costante (1.13)

con h00(x) perturbazione della metrica minkowskiana

ηµν = diag(1,−1,−1,−1) nel limite di campo debole:

gµν = ηµν + hµν (1.14)

e

|hµν | ≪ 1 (1.15)

1.2 Il principio cosmologico e la metrica di Robertson-Walker 11

Le equazioni (1.11) giustificano, tra l’altro, anche il principio di equivalenza

debole sull’uguaglianza delle masse inerziale e gravitazionale, in base al

quale il moto di un corpo di prova, nel vuoto, non dipende dalla sua massa.

1.1.3 Considerazioni generali

Vogliamo, in ultima analisi, osservare che, benche concettualmente il quadro

sia chiuso, in pratica, risulta molto complesso scegliere un tensore energia-

impulso adeguato per ogni corpo arbitrariamente scelto; inoltre, seppure

si possa superare questo primo ostacolo, rimane il problema di risolvere le

equazioni di campo (1.10): anche se esistono particolari soluzioni esatte

per il calcolo del tensore metrico6, in generale, bisogna procedere con

approssimazioni e/o ipotesi aggiuntive. In cosmologia, fortunatamente e

possibile arrivare ad una metrica esatta, seppure a costo di introdurre un

pincipio cosmologico.

1.2 Il principio cosmologico e la metrica di

Robertson-Walker

L’osservazione cruciale per la nascita della cosmologia moderna e dovuta

ad Hubble e Humason: essi, nel 1929, si accorsero che le galassie hanno

una velocita di recessione proporzionale alla loro distanza7 e questo poteva

essere giustificato solo ammettendo una espansione cosmica dell’universo,

in ogni direzione ([17],[18]). Contemporaneamente, erano stati ultimati

gia alcuni studi teorici basati sulla Relativita Generale e mostranti

una possibile evoluzione dell’universo in grado di rendere conto delle

osservazioni. I principali artefici di tali indagini erano stati, negli anni

venti del XX secolo, il matematico russo Friedmann, l’astronomo belga

Lemaıtre e, poco piu tardi, i due americani Robertson e Walker, i quali

6Basta pensare ai molteplici casi dei buchi neri.7La velocita di un oggetto astronomico si determina spettroscopicamente, invece, per le

distanze, bisogna avere dei ‘calibratori’ o ‘candele standard’, come le stelle variabili usate daHubble e Humason: le Cefeidi. Lo studio delle stelle variabili era cominciato a partire dai primianni del XX secolo; ci riferiamo, per esempio, all’articolo di Shapley del 1916, [36].


risistemarono in maniera formalmente migliore i risultati precedentemente

ottenuti da Friedmann e Lemaıtre. La conclusione fondamentale di quegli

anni di lavoro e rappresentata dalla metrica che porta il loro nome,

la metrica di Friedmann-Lemaıtre-Robertson-Walker (FLRW), piu spesso

detta semplicemente metrica di Robertson-Walker.

1.2.1 Il principio cosmologico

La teoria della Relativita Generale e una teoria di campo che

lega una distribuzione continua di sorgenti gravitazionali alla metrica

spaziotemporale circostante. Tuttavia, nell’universo, la materia si

distribuisce in modo ‘granulare’, percio l’unica via per usare la teoria

einsteiniana e trattarla come un fluido; allora, si assume8 che essa sia

distribuita, in tutto l’universo, con densita media costante, ad ogni fissato

tempo cosmico: cio risulta una buona approssimazione se si considerano

scale al di sopra di circa 300Mpc, come dimostrano le figure 1.1, 1.2 e 1.3.

L’ipotesi fatta e, a tutti gli effetti, equivalente a richiedere che le proprieta

del fluido cosmico siano:

- le stesse in ogni direzione, rispetto ad un dato punto, ovverosia

isotrope;

- isotrope rispetto ad ogni punto, ovverosia omogenee.

Le due proprieta suddette costituiscono il principio cosmologico o principio

di omogeneita ed isotropia dell’universo. Questo piu geometricamente si

puo enunciare come segue:

lo spaziotempo e foliato in ipersuperfici spaziali omogenee.

Osserviamo che uno spazio e omogeneo se conserva, in ogni punto, le stesse

proprieta, in particolare la curvatura, la quale risultera costante su tutta la

varieta.

8Notiamo che tale assunzione non e direttamente sperimentabile.


Figura 1.1: diagramma a cono della SDSS (Sloan Digital Sky Survey).




1.2.2 La metrica di Robertson-Walker

Possiamo considerare un sistema di riferimento solidale con un osservatore

localmente inerziale, che segue l’espansione dell’universo: le coordinate xλ

di un certo evento rispetto al sistema considerato sono dette coordinate

comoventi. L’intervallo spaziotemporale infinitesimo che soddisfa, nelle

equazioni di campo (1.10), il principio cosmologico, e del tipo

ds2 = (cdt)2 − a2(t)dl2 , (1.16)

essendo a(t) un opportuno parametro di espansione (o fattore di scala) e dl

l’elemento di linea infinitesimo misurato attraverso le coordinate comoventi

(in genere si usano coordinate polari). A seconda della geometria il termine

dl2 in (1.16) avra espressioni diverse: e possibile dimostrare che, sotto

il vincolo del principio cosmologico, esistono solo tre possibili forme per

l’elemento di linea comovente, corrispondenti ai soli tre spazi omogenei

possibili. In una scrittura molto compatta si ha

ds2 = (cdt)2 − a2(t)

[

dr2

1 −Kr2+ r2(dθ2 + sin2 θdϕ2)

]

(1.17)


dove

• K = 0 si riferisce al caso di spazi piatti (geometria euclidea)

• K > 0 si riferisce al caso di spazi chiusi (geometria ipersferica)

• K < 0 si riferisce al caso di spazi aperti (geometria iperbolica)

La forma quadratica (1.17) e la metrica FLRW. Inoltre, e sempre possibile

ridefinire simultaneamente K ed a(t) e ottenere 0,+1,−1, rispettivamante,

come valori del parametro geometrico K. Notiamo pure che la metrica

(1.17), per K = 0, e conformemente piatta, infatti basta introdurre un

tempo conforme τ in modo da avere

τ =

∫ t dt′

a(t′), (1.18)

per ricavare subito, dalla (1.17),

ds2 = a2(τ)

[

(cdτ)2 − dr2

1 −Kr2− r2(dθ2 + sin2 θdϕ2)

]

(1.19)

e, nel caso di curvatura spaziale nulla,

ds2 = a2(τ)[

(cdτ)2 − dr2 − r2(dθ2 + sin2 θdϕ2)]

; (1.20)

l’espressione precedente e proprio, come anticipato, la forma quadratica

associata ad una metrica conformemente piatta.

1.2.3 La legge di Hubble

A questo punto, studiare l’evoluzione dell’universo significa studiare,

essenzialmente, l’evoluzione nel tempo del parametro di espansione. Un

primo importante risultato lo si raggiunge facilmente analizzando come

variano le distanze cosmiche. La distanza propria percorsa dalla luce,

viaggiando su una geodetica nulla e, per ovvia definizione:

dp(t) ≡∫ r

0

a(t)

(1 −Kr′2)1/2dr′; (1.21)

ignoriamo la parte angolare, perche e sempre possibile scegliere un sistema

di coordinate in cui dθ = 0 e dϕ = 0. La formula (1.21) fornisce la distanza


propria di un punto posto alla coordinata comovente r: essa e la distanza

rispetto all’origine del riferimento, come misurata da una catena di regoli

infinitesimi congiungenti il punto in questione con l’origine stessa ( come si

evince dalla definizione, la distanza propria e funzione del tempo cosmico

t). A seconda della geometria, si trova

dp(t) = a(t)f(r), (1.22)

dove

f(r) =

∫ r

0

dr′

(1 −Kr′2)1/2(1.23)

ossia, risolto l’integrale,

f(r) =

arcsinr K = 1r K = 0arcsinhr K = −1

(1.24)

La dipendenza temporale e solo in a(t), quindi, qualunque sia l’espressione

di f(r), ovvero qualunque sia la varieta spaziale dell’universo, la velocita di

recessione di un punto dovuta all’espansione cosmica e

v(t) =d

dtdp(t) = a(t)f(r) =

a(t)

a(t)dp(t); (1.25)

definendo il parametro di Hubble

H(t) ≡ a(t)

a(t), (1.26)

possiamo scrivere

v(t) = H(t)dp(t) (1.27)

che letta al tempo presente t = t0 fornisce

v = H0dp (1.28)

essendo

H0 =a(t0)

a(t0)≡ a0

a0

(1.29)

la costante di Hubble. Spesso, si pone H0 = 100h km/s/Mpc, essendo h

il parametro che specifica il suo valore esatto. La relazione (1.28) e la ben

1.3 Redshift e parametro di decelerazione 17

nota legge di Hubble e, siccome non dipende dalle coordinate, ma solo dal

parametro di espansione, essa, fissato il tempo cosmico, e la stessa in ogni

punto dell’universo.

1.3 Redshift e parametro di decelerazione

Oltre al parametro di Hubble (2.15), la quantita utilizzata piu comunemente

in cosmologia e il redshift. Data una sorgente di radiazione che emette,

nell’istante te, ad una lunghezza d’onda λe, definiamo il redshift z di quella

sorgente come segue:

z ≡ λo − λe

λe(1.30)

dove λo e la lunghezza d’onda della stessa radiazione come misurata da

un osservatore che la riceve in un istante successivo to > te. Visto che la

radiazione segue le geodetiche nulle, deve valere la condizione

f(r) =

∫ r

0

dr′

(1 −Kr′2)1/2=

∫ to

te

cdt

a(t)=

∫ to+δto

te+δte

cdt

a(t)(1.31)

sia per un fotone emesso in te ed osservato in to che per uno emesso in

te + δte ed osservato in to + δto. Dalla (1.31), nell’ipotesi che gli incrementi

δte e δto siano, verosimilmente, piccoli rispetto a te e to, rispettivamente, si

trova:δteae

=δtoao

(1.32)

ovvero, passando alle frequenze,

aoνo = aeνe (1.33)

e passando alle lunghezze d’onda

ao

λo=ae

λe(1.34)

da cui

1 + z =ao

ae. (1.35)


Il redshift z e cosı legato ad a(t) e si usa spesso per parametrizzare

l’evoluzione temporale dei modelli cosmologici.

Per concludere, possiamo definire anche il parametro di decelerazione q :

q(t) = − a(t)a(t)a(t)2

; (1.36)

letto al tempo presente

q0 = − a0a0

a20

; (1.37)

esso e adimensionale e positivo quando l’espansione dell’universo e

decelerata e negativo quando e accelerata.

1.4 Equazioni di Friedmann

Le equazioni di Friedmann sono alla base dell’evoluzione dinamica

dell’universo: esse si ricavano a partire dalle equazioni di campo (1.10),

assumendo la metrica di Robertson-Walker e un tensore energia-impulso

per le sorgenti gravitazionali di fluido perfetto in spazi curvi:

Tµν = (P + ρc2)UµUν − Pgµν . (1.38)

Qui, ρ e la densita di energia, P la pressione, Uµ le componenti

della quadrivelocita e gµν le componenti del tensore metrico. Come

abbiamo accennato, la (1.10) rappresenta dieci equazioni differenziali,

mentre il nostro unico parametro e a(t), quindi il sistema di equazioni e

sovrabbondante; a conti fatti, troviamo che:

• l’equazione relativa ai soli indici temporali

G00 = κT00

porge

a = −4

3πG

(

ρ+3P

c2

)

a; (1.39)

1.4 Equazioni di Friedmann 19

• le tre equazioni relative agli indici spaziali omonimi

Gii = κTii

danno tutte la stessa espressione che con l’aiuto della (1.39) si puo

mettere nella forma

a2 +Kc2 =8

3πρGa2 (1.40)

• le sei equazioni relative agli indici misti

Gµν = κTµν , (µ 6= ν)

sono identicamente nulle.

Le (1.39) e (1.40) sono dette equazioni di Friedmann e dettano l’evoluzione

dinamica di a(t). Esse sono collegabili l’una all’altra attraverso la condizione

di adiabaticita

d(ρc2a3) = −Pda3, (1.41)

per cui, le (1.39) e (1.40) unite alla (1.41) formano un set di equazioni

dipendenti.

Considerando le equazioni di campo (1.10), e interessante notare che

aggiungendo un termine del tipo Λgµν si ottiene

Rµν −1

2gµνR− Λgµν =

8πG

c4Tµν (1.42)

ma le leggi di conservazione rimangono inalterate T µν;ν = 0, in virtu

del fatto che, essendo la metrica covariantemente costante, e ancora

(Gµν − Λgµν);ν = 0.

Einstein, nel 1919, volendo un universo statico ed ipersferico introdusse la

cosiddetta costante cosmologica Λ come una nuova possibile componente

geometrica dell’universo9 in grado di generare una sorta di repulsione

cosmica e di opporsi all’espansione. In seguito, con la scoperta della legge

9Le dimensioni di Λ sonoˆ

L−2˜

, come si evince facilmente dalla (1.42).


di Hubble, fu ‘ripudiata’ e considerata come un grave errore10; tuttavia,

in seguito, sarebbe stata comunque invocata piu volte per giustificare i

dati osservativi e ancora oggi sembra che nell’universo essa contribuisca,

in maniera non trascurabile, alla densita di energia.

In presenza di costante cosmologica, le equazioni di Friedmann cambiano

lievemente perche invece di Tµν , ρ, e P bisogna considerare rispettivamente

Tµν = Tµν +c4

8πGΛgµν ≡ Tµν + TΛ

µν , (1.43)

ρ = ρ+Λc2

8πG≡ ρ+ ρΛ , (1.44)

P = P − Λc4

8πG≡ P + PΛ (1.45)

e sostituire tali espressioni in (1.39) e (1.40). Cosı si ha:

a = −4

3πG

(

ρ+3P

c2

)

a +Λ

3c2a (1.46)

a2 +Kc2 =8

3πρGa2 +

Λ

3c2a2. (1.47)

In seguito, con la scoperta della legge di Hubble, fu di nuovo eliminata, ma

non definitivamente, perche, storicamente, sarebbe stata invocata piu volte

per giustificare i dati osservativi.

1.5 Equazione di stato

Per chiudere il sistema, serve ancora una equazione di stato. In genere, si

pone

P = wρc2 (1.48)

con w parametro che descrive il tipo di fluido cosmico, o parametro di stato:

una polvere - gas di particelle non interagenti - ha pressione nulla e w = 0;

un gas perfetto di protoni, con densita in massa ρ e densita in numero n,

ha come equazione di stato

P = nkBT = ρc2(

kBT

mpc2

)

≃ 0

10Einstein avrebbe parlato dell’errore piu grande della sua vita.

1.6 Parametro di densita e relazione tempo-redshift 21

essendo non relativistico; pertanto, anche in questo caso w = 0; la pressione

di radiazione e legata alla densita di energia ρ da

P =1

3ρc2,

percio

w =1

3;

un fluido di costante cosmologica e caratterizzato, per le (1.44) e (1.45), da

PΛ = −ρΛc2

e w = −1.

L’equazione di stato di un fluido ci permette di definire la velocita del suono

vs11 in quel fluido: e la radice quadrata della derivata parziale di P rispetto

a ρ calcolata ad entropia, S, costante:

v2s =

(

∂P

∂ρ

)

S

(1.49)

oppure grazie alla (1.48)

vs = c√w. (1.50)

L’equazione (1.50) ha senso solo se w ∈ [0, 1)12, quindi per la costante

cosmologica non risulta definita una velocita del suono.

1.6 Parametro di densita e relazione tempo-redshift

Sostituendo la (1.48) nella condizione di adiabaticita (1.41), si giunge alla

ρ(a) = ρ0

(

a

a0

)−3(1+w)

; (1.51)

in funzione del redshift, per la (1.35), diventa

ρ(z) = ρ0

(

1 + z)3(1+w)

. (1.52)

Vediamo che11Molto spesso la velocita del suono e indicata anche con cs.12Questo intervallo e chiamato intervallo di Zel’dovich.


• per sola materia

w = 0 ⇒ ρM(z) = ρ0M

(

1 + z)3

; (1.53)

• per sola radiazione

w =1

3⇒ ρR(z) = ρ0R

(

1 + z)4

; (1.54)

• per sola costante cosmologica

w = −1 ⇒ ρΛ(z) = ρ0Λ. (1.55)

In un fluido cosmico di materia e radiazione, ad alti z la densita di energia

e dominata dalla radiazione, a bassi z dalla materia.

E comodo definire alcuni parametri importanti:

la densita critica

ρcr(t) ≡3H2(t)

8πG; (1.56)

il parametro di densita per la generica componente di universo con equazione

di stato P = wρc2

Ωw(t) ≡ ρw(t)

ρcr(t); (1.57)

In particolare, il parametro di densita attuale per la costante cosmologica,

dalla (1.44), risulta essere

Ω0Λ =Λc2

3H20

. (1.58)

Con le precedenti definizioni e la (1.35), l’equazione (1.40) per una singola

componente dell’universo si scrive

H2(z) = H20 (1 + z)2

[

1 − Ω0w + Ω0w(1 + z)1+3w]

=

= H20

[

(1 − Ω0w)(1 + z)2 + Ω0w(1 + z)3(1+w)]

≡

≡ H20E

2w(z).

(1.59)

1.6 Parametro di densita e relazione tempo-redshift 23

La funzione Ew(z), definita implicitamente dalla (1.59), contiene tutte le

informazioni relative all’evoluzione temporale.

Qualora ci siano piu componenti, bisogna tenere conto di tutti i singoli

contributi: per un fluido di materia, radiazione e costante cosmologica, si

ha

H2(z) = H20 (1+z)2

[

1−Ω0TOT +Ω0M(1+z)+Ω0R(1+z)2+Ω0Λ(1+z)−2]

=

= H20

[

(1 − Ω0TOT )(1 + z)2 + Ω0M(1 + z)3 + Ω0R(1 + z)4 + Ω0Λ

]

≡

≡ H20E

2(z)

(1.60)

con Ω0TOT = Ω0M + Ω0R + Ω0Λ ≡ Ω0 ed E(z) avente significato analogo

al precedente. Inoltre, la (1.60) e la (1.39) ci dicono che, poiche l’universo

ora si sta espandendo, a(t0) > 0 e, dalla (1.39), a(t) < 0 per ogni t e per

ogni fluido con equazione di stato con −13< w < 1, il grafico di a(t) e

concavo ed intersechera l’asse dei tempi in un punto che definisce l’origine e

che individua una singolarita, in corrispondenza della quale si ha a(0) = 0.

A causa di tale singolarita iniziale, si parla di Big Bang.

Le equazioni che regolano l’evoluzione dell’universo sono utili per capire

come evolve il parametro di densita di una certa componente del fluido

cosmico. Dalle definizioni (1.56) e (1.57) e poiche valgono la (1.52) e la

(1.60), si deduce

Ωw(z) =Ω0w (1 + z)1+3w

1 − Ω0w + Ω0w (1 + z)1+3w (1.61)

ossia

Ω−1w (z) − 1 =

Ω−10w − 1

(1 + z)1+3w . (1.62)

Queste ultime formule ci mostrano che se Ω0w = 1, allora Ωw(z) = 1 per

ogni z, e se Ω0w > 1 (Ω0w < 1), anche Ωw(z) > 1 (Ωw(z) < 1) per ogni

z : la geometria rimane invariata nel corso dell’evoluzione cosmica.


Derivando rispetto a t la (1.35), risulta

z

1 + z= − a

a, (1.63)

ma il secondo membro, a parte il segno, e proprio il parametro di Hubble,

pertanto, usando le relazioni (1.59) e (1.60), si trova facilmente l’espressione

del tempo cosmico in funzione del redshift (basta esplicitare la dipendenza

da z in a(t) ):

t(z) =

∫ +∞

z

dz′

(1 + z′)H(z′)=

1

H0

∫ +∞

z

dz′

(1 + z′)E(z′); (1.64)

per universi dominati dalla materia si ottiene la seguente relazione

tempo-redshift:

t(z) =1

H0

∫ +∞

z

dz′

(1 + z′)2√

1 + Ω0z′. (1.65)

1.7 Modelli di Friedmann

L’equazione (1.60) rappresenta la forma piu generale per l’evoluzione di un

modello composto da un fluido cosmico di materia, radiazione e costante

cosmologica. Ci sono tuttavia dei casi che si risolvono analiticamente in

modo molto semplice, tra questi i primi modelli proposti da Friedmann

stesso tra il 1922 e il 1924.

Se ipotizziamo un universo piatto con K = 0, Ω = 1, dominato da una

polvere, il cui parametro di stato e w = 0, si trova una soluzione esatta per

a(t) crescente come

a(t) ∝ t2/3 (1.66)

ed il tempo cosmico scalera con z secondo

t ∝ (1 + z)−3/2 (1.67)

con

t0 =2

3H0. (1.68)

1.7 Modelli di Friedmann 25

Tale modello e detto anche di Einstein-de Sitter; ricordiamo pero che, in

letteratura, e chiamato in questo modo ogni tipo di modello con K = 0,

Ω = 1 e w qualsiasi; l’andamento risultante e

a(t) ∝ t2/3(1+w), (1.69)

l’eta dell’universo e

t0 =2

3(1 + w)H0

, (1.70)

la densita evolve seguendo la legge

ρ =1

6πG(1 + w)2t2(1.71)

e per H vale

H(z) = H0 (1 + z)3(1+w)/2 . (1.72)

In particolare, nel caso di universo dominato dalla radiazione si ha

a(t) ∝ t1/2 (1.73)

e

t ∝ (1 + z)−2 (1.74)

con

t0 =1

2H0

. (1.75)

Tra l’altro, l’equazione (1.40) ci dice subito che in ogni modello piatto

(K = 0) la densita dell’universo eguaglia quella critica in ogni istante:

ρ(t) = ρcr(t) ∀t ∈ R+, (1.76)

ovvero

Ω(t) = 1 ∀t ∈ R+. (1.77)

Nei modelli di Friedmann curvi, i conti analitici per il calcolo del fattore di

scala si complicano, ma qualitativamente ci si rende conto, in accordo con

l’andamento generale delle formule (1.61) e (1.62), che


• per spazi chiusi

K = 1 ⇒ ρ(t) > ρcr(t) ∀t ∈ R+ (Ω > 1) (1.78)

e a(t) ha un andamento periodico;

• per spazi aperti

K = −1 ⇒ ρ(t) < ρcr(t) ∀t ∈ R+ (Ω < 1) (1.79)

e a(t) ha un andamento asintotico del tipo a(t)t→+∞

∼ t.

Una proprieta del tutto generale degli spazi curvi ad alto redshift

(0 < a/a0 << 1) e che essi si comportano in modo analogo al modello di

Einstein-de Sitter, in quanto nelle (1.59), il termine tra parentesi quadre

proporzianale ad (1−Ω0w) diventa trascurabile13 ed il parametro di Hubble

soddisfa, asintoticamente,

H(z)z≫1∼ H0

√

Ω0w (1 + z)3(1+w)/2 , (1.80)

identica alla (1.72) in cui avevamo Ω0w = 1. In altre parole, ignorare

la curvatura quando si tende alla singolarita iniziale e una buona

approssimazione.

1.8 Orizzonti

Una domanda interessante e sensata da porsi e la seguente: come fare per

distinguere le relazioni causali fra le varie parti dell’universo e le regioni

che siamo in grado di osservare in un dato tempo cosmico? La risposta e

legata agli orizzonti.

In cosmologia, si definiscono comunemente due tipi di orizzonti: l’orizzonte

delle particelle e l’orizzonte cosmologico, altrimenti detto raggio della sfera

di Hubble.

13Ovviamente deve essere ancora w > −1

3.

1.8 Orizzonti 27

• Dato un insieme di punti ed un osservatore, definiamo orizzonte delle

particelle, e indichiamo con RH , la massima distanza propria dei punti

in connessione causale con l’osservatore stesso. Poiche la massima

distanza propria viene raggiunta muovendosi alla velocita della luce c,

quindi percorrendo una geodetica nulla ds2 = 0, avremo

dp,Max(t) = a(t)

∫ r

0

dr′

(1 −Kr′2)1/2= a(t)

∫ t

0

cdt′

a(t′)≡ RH(t) (1.81)

Se RH(t) e finito, non tutte le particelle possono essere in connessione

causale con l’osservatore.

• Il secondo tipo di orizzonte e l’orizzonte cosmologico o raggio della

sfera di Hubble, Rc: esso rappresenta, in ogni istante t, la distanza

dall’osservatore alla quale e giunto un punto che si e mosso con

velocita c per un tempo pari al tempo tipico dell’espansione cosmica

τH(t) ≈ H−1(t) :

Rc(t) = cτH(t) =c

H(t)(1.82)

La differenza sostanziale tra RH e Rc consiste nel fatto che Rc e una

misura puntuale di cio che vediamo in un dato istante e non considera

interazioni e/o connessioni causali tra le particelle in gioco, mentre RH ne

tiene conto; pertanto, una volta entrati nell’orizzonte delle particelle di un

certo osservatore, non si puo piu uscirne: esso e legato all’intera storia

passata di quell’osservatore e uscire da RH significherebbe cancellare la

precedente connessione causale!

Le espressioni (esatte se Ωw = 1 e approssimate se Ωw 6= 1,, ma z ≫ 1)

sono:

RH(a) =c

H0

√Ω0w

2

1 + 3w

(

a

a0

)3(1+w)/2

, (1.83)

in funzione del tempo cosmico:

RH(t) = 31 + w

1 + 3wct, (1.84)


per l’orizzonte delle particelle;

Rc(t) =3

2(1 + w)ct, (1.85)

per l’orizzonte cosmologico.

In entrambi i casi, la crescita e lineare in t e si annulla nella singolarita

iniziale del Big Bang.

1.9 Formazione delle strutture cosmiche

Con le equzioni fin qui derivate e possibile ricostruire tutta l’evoluzione

dell’universo e dipingere il quadro completo del cosiddetto modello standard

dell’ Hot Big Bang : i costituenti fondamentali sono la materia (in forme

oscura e barionica) e la radiazione (o meglio fotoni e materia relativistica

come i neutrini).

1.9.1 Cenni preliminari

La storia dell’universo e una storia termica in cui si passa da una divergenza

iniziale di temperatura e densita, in corrispondenza della quale a(0) = 0

(il Big Bang appunto) a valori via via piu bassi, indicanti, mediamente, un

progressivo raffreddamento e una continua rarefazione del fluido cosmico. La

condizione di adiabaticita ci dice, infatti, che oltre alle (1.52),(1.53),(1.54),

per l’evoluzione in densita, valgono (vedi per esempio [12])

TM = T0M (1 + z)2 (1.86)

TR = T0R(1 + z) (1.87)

per l’evoluzione in temperatura di materia e radiazione, rispettivamente.

Quando queste sono accoppiate risulta dominante l’andamento della

radiazione.

Per fissare dei capisaldi cronologici, definiamo le epoche dell’equivalenza,

del disaccoppiamento e della ricombinazione.

L’epoca dell’equivalenza e quella durante la quale le densita di energia di

1.9 Formazione delle strutture cosmiche 29

materia e di radiazione si eguagliano ρM(z) = ρR(z): dalle (1.53) e (1.54)

segue che il redshift dell’equivalenza zeq e dato da

1 + zeq =Ω0M

Ω0R

. (1.88)

L’uguaglianza tra le temperature fissa, invece, il disaccoppiamento. Esso

avviene ad un redshift zdec e per le (1.86) e (1.87) soddisfa la

1 + zdec =T0R

T0M. (1.89)

Dopo tale istante, le evoluzioni in temperatura sono del tutto indipendenti

e materia e radiazione sono disccoppiate, appunto.

Con il globale raffreddamento diventa sempre piu possibile una

ricombinazione tra protoni ed elettroni per formare idrogeno neutro (succede

a temperature inferiori a circa ∼ 104 gradi Kelvin); quando si giunge ad

una frazione di idrogeno ricombinato pari al 50%, si parla di epoca della

ricombinazione14 ed il redshift corrispondente e zrec.

I dati osservativi per la temperatura del fluido cosmico permettono di fissare

il tempo di disaccoppiamento, mentre, i dati osservativi per la densita

l’equivalenza; allora, si vede che i tre momenti precedenti si collocano nel

seguente ordine

teq < trec < tdec; (1.90)

in redshift, i valori tipici sono approssimativamente dell’ordine di 103 con

estremi:

zeq ≈ 3 · 103

zdec ≈ 1 · 103.

Poiche la ricombinazione non e un fenomeno istantaneo, essa avverra tra i

due limiti sopra riportati.

14Si dovrebbe dire combinazione, essendo questa la prima volta nel corso della vitadell’universo in cui protoni ed elettroni si combinano, prima sono sempre stati separati.


1.9.2 I problemi del modello standard

Tra tutti i possibili modelli cosmologici, quello maggiormente accreditato e

in grado di giusitficare le osservazioni a nostra disposizione e il modello

dell’Hot Big Bang: esso riesce a ricostruire le varie epoche di vita

dell’universo fino alle attuali condizioni evolutive.

Nonostante i molteplici successi, ci sono pero dei problemi la cui risoluzione

necessita di un ampliamento del semplice modello standard. Vediamo di

cosa si tratta.

Oltre alla singolarita iniziale, il principio di indeterminazione di Heisenberg

limita la conoscenza prima di un tempo minimo detto tempo di Planck

tP lanck

tP lanck =

(

G~

c5

)1/2

≈ 10−43s; (1.91)

tra l’altro, non e detto che in condizioni simili a quelle dell’universo

primordiale valga la fisica oggi nota: si pensa che in origine le forze

fondamentali della natura fossero tutte unificate e il successivo calo della

temperatura avrebbe potuto favorire processi di rottura di simmetrie e

transizioni di fase portando al graduale disaccoppiamento delle forze (epoca

delle transizioni di fase). Tra le principali questioni irrisolte del modello

standard vi sono:

• Problema dell’orizzonte: si osservano, oggi, con misure sulla radiazione

cosmica di fondo (CMB), regioni in equilibrio termico - e quindi

connesse causalmente - fuori dall’orizzonte delle particelle.

• Problema della piattezza o dell’eta dell’universo: misuriamo un valore

complessivo di Ω015 molto vicino all’unita; cosı dalle (1.61) e (1.62)

Ω0 = Ω(t) = 1, altrimenti dovrebbe essere o Ω0 ≫ 1, o Ω ≪ 1 e le

eta relative sarebbero, nel primo, caso t0 ≈ tP lanck ≈ 10−43s e, nel

secondo, t0 ≈ 10−11s: risultati in entrambi i casi assurdi. La difficolta

15Per motivi di praticita, indichiamo, con Ω0, Ω0TOT .


nell’accettare Ω = 1 e legata al fine tuning che necessariamente viene

originato.

• Problema dei monopoli magnetici: esistono teorie che prevedono

monopoli magnetici enormemente massivi, tanto da condurre ad un

Ω0,monopoli ≈ 1016, ma essi non sono mai stati osservati e sappiamo poi

che Ω0 ≈ 1 ≪ Ω0,monopoli!

• Problema della costante cosmologica: Il termine di costante

cosmologica nelle equazioni di campo (1.42) e di Friedmann, (1.46),

(1.47), porta ad un parametro di decelerazione

q0 =Ω0M

2− Ω0Λ (1.92)

e manifestamente Λ pesa molto sulla dinamica dell’universo, pero i

parametri che la individuano (massa, energia,etc.) sono estremamente

piccoli e legati a proprieta difficilmente giustificabili se non con un fine

tuning, come vedremo in dettaglio nel capitolo IV.

I primi tre punti sono risolvibili elegantemente introducendo una fase di

espansione accelerata dello spazio, detta di inflazione16, pochi attimi dopo il

Big Bang a t ≈ 10−37s17, durante l’era delle transizioni di fase e molto prima

dell’equivalenza. Durante la fase inflazionaria si assiste ad una forte crescita

del parametro d’espansione a(t) - almeno di e60 ordini di grandezza - che si

riflette, da un lato, in un notevole incremento dell’orizzonte delle particelle

RH con analogo decremento dell’orizzonte cosmologico Rc, e dall’altro, in

una vistosa diluizione del fluido cosmico accompagnata da conseguente

appiattimento della geometria e “scomparsa” di monopoli magnetici.

Il problema della costante cosmologica e ancora irrisolto. Mostreremo in

seguito una possibile soluzione legata alla cosiddetta energia oscura.

16Dall’inglese gonfiare.17Notiamo che 10−37s ≈ 106tPlanck.


L’inflazione prevede Ω0 = 1 a meno di una parte su 1060 e la diluizione

dello spazio smussa tutte le possibili disomogeneita preesistenti18, per cui e

ragionevole assumere la validita del principio cosmologico almeno dalla fine

di tale epoca.

1.9.3 Le prime perturbazioni

Per la formazione delle strutture e necessario che ci siano delle fluttuazioni di

densita di energia e/o di materia in grado poi di crescere. Vista la condizione

di omogeneita ed isotropia in cui l’universo cade durante l’inflazione, si

suppone che alla fine delle transizioni di fase il campo inflazionario ‘rotoli

lentamente’ fino al minimo del potenziale termodinamico e, in quell’intorno,

oscilli rilasciando energia sottoforma di calore latente19: l’energia liberata

provocherebbe la creazione delle prime particelle. Cosı si generano delle

disomogeneita da cui possono svilupparsi le successive strutture cosmiche.

Data la causalita del fenomeno, assumiamo una funzione di distribuzione

delle perturbazioni (PDF) gaussiana: per meglio specificare, definiamo il

contrasto di densita δ(x, t), funzione del tempo cosmico e del punto spaziale,

δ(x, t) =ρ(x, t) − ρb(t)

ρb(t), (1.93)

essendo ρ(x, t) la densita dell’universo nel punto x e nell’istante t e ρb(t) la

densita media (di background) allo stesso tempo cosmico.

Assumere una PDF, p(δ), gaussiana significa porre

p(δ)dδ =1√

2πσ2exp

(

− δ2

2σ2

)

dδ. (1.94)

Il valore medio di δ, 〈δ〉, e nullo per definizione e la varianza σ2 = 〈δ2〉.Il regime delle perturbazioni si dice lineare se δ ≪ 1, e non lineare se δ ≥ 1.

1.9.4 Teoria di Jeans e crescita delle perturbazioni

Una volta compresa l’origine delle prime fluttuazioni, bisogna vedere se esse

sono nelle condizioni di crescere e formare strutture cosmiche. L’approccio18No cosmic hair theorem.19Proprio come accade durante il passaggio da uno stato di aggregazione della materia ad un

altro, quando diminuisce la temperatura.


generale si basa sulla teoria classica dell’instabilita gravitazionale di Jeans e

la sua estensione relativistica: esse prevedono il collasso gravitazionale per

le strutture che hanno una massa superiore ad un certo limite MJ (detto

massa di Jeans) oltre il quale l’attrazione domina sugli effetti di pressione,

se la materia e collisionale, o di dispersione, se la materia e non collisionale.

Le dimensioni tipiche R della sovraddensita devono allora essere superiori

ad una scala RJ dell’ordine di

RJ ∼ vs√Gρ

(1.95)

ovvero

M > MJ =4

3πρR3

J . (1.96)

Se non vengono soddisfatte tali richieste, le fluttuazioni di fluidi collisionali

si propagano come onde acustiche, quelle di fluidi non collisionali subiscono

processi di dissipazione. L’impostazione del problema e la seguente: essendo

un fluido cosmico descritto da densita, velocita, pressione (o dispersione di

velocita), entropia e potenziale gravitazionale da esso generato, servono

sette equazioni per avere un sistema chiuso; esse sono le equazioni di

continuita, le tre equazioni di Eulero, l’equazione di Poisson, una equazione

di stato e l’equazione per la conservazione dell’entropia20.

Evoluzione lineare

La soluzione del sistema di equazioni appena descritto puo essere trovata,

linearizzando e passando nello spazio di Fourier. Si trova che, nel

caso di collasso (M > MJ), la soluzione per δ e esprimibile come

combinazione lineare di un modo crescente esponenzialmente ed uno

decrescente esponenzialmente e inoltre la pulsazione ω ed il numero d’onda

k seguono la relazione di dispersione

ω2 − v2sk

2 + 4πGρb = 0 (1.97)

20Di norma, si assume che l’entropia rimanga conservata o vari lentamente durante il collasso,benche in questi casi gli effetti dissipativi possano essere importanti.


dove k e la norma di k.

L’estensione relativistica, comprendente anche l’espansione dell’universo,

corregge l’andamento esponenziale con andamenti di potenza. In

particolare, la trasformata del contrasto di densita delle perturbazioni di

materia δk soddisfa l’equazione differenziale

δk + 2a

aδk +

(

v2sk

2 − 4πGρb

)

δk = 0. (1.98)

Se l’universo e dominato dalla radiazione, il regime relativistico prevede di

sostituire

ρ→ ρ+3P

c2

nell’equazione di Poisson e

ρ→ ρ+P

c2

nelle altre, come si verifica annullando la quadridivergenza covariante del

tensore energia-impulso di fluido perfetto T µν;ν = 0 (vedi ad esempio [25]).

In questo caso l’analoga della (1.98) e

δk + 2a

aδk +

(

v2sk

2 − 32

3πGρb

)

δk = 0. (1.99)

con

vs =c√3.

Le relazioni (1.97),(1.98) e (1.99) forniscono soluzioni dipendenti dal tipo

di fluido e dalla cosmologia, ma quest’ultima dipendenza e alquanto debole

per cui, come riferimento, diamo il modo crescente (altrimenti detto fattore

di crescita o growth factor), D(t) , per un universo di Einstein-de Sitter:

• per a < eeq, domina la radiazione:

D(a) ∼ a2 e D(t) ∼ t (1.100)

• per a > eeq, domina la materia:

D(a) ∼ a e D(t) ∼ t2/3 (1.101)


Figura 1.4: il grafico mostra l’andamento di g al variare del redshift z, calcolato per i

modelli individuati dai seguenti parametri:

Ω0M = 0.3, Ω0Λ = 0.7 (linea continua),

Ω0M = 0.3, Ω0Λ = 0.0 (linea a tratti),

Ω0M = 1.0, Ω0Λ = 0.0 o modello Einstein - de Sitter (linea a punti).

Per tutti si e assunto un parametro di Hubble pari a 70 km/s/Mpc (h = 0.7) al presente.

Il modo decrescente non e significativo, perche non porta alla crescita delle

perturbazioni per instabilita gravitazionale, ma si annulla asintoticamente

per t→ +∞.

Per una cosmologia con Ω0 6= 1, possiamo scrivere

δ(a) = δ0ag′(a)

g′(1)≡ δ0ag(a) (1.102)

in cui δ0 e il valore del contrasto di densita estrapolato al tempo presente e

g′(a) e la funzione di crescita lineare data dalla formula di fit numerico ([9])

g′(a; Ω0,Ω0Λ) =5

2Ω(a)

[

Ω4/7(a) − ΩΛ(a) +

(

1 +Ω(a)

2

)(

1 +ΩΛ(a)

70

)]−1

(1.103)

con l’evoluzione dei parametri di densita dati sempre dalle (1.61) e (1.62);

alcuni grafici esplicativi sono mostrati in figura 1.4.


Una analisi dettagliata dell’evoluzione delle strutture ([12], [46])

coinvolge lo studio non solo della massa di Jeans, ma anche delle

masse al di sotto delle quali c’e completa dissipazione e cancellazione

delle perturbazioni: la massa di Silk, per materia collisionale, e di free

streaming per materia non collisionale. Si trova che la massa di Silk

cresce fino a ∼ 1012M⊙, per poi tendere rapidamente a zero subito dopo

il disaccoppiamento, quando non c’e piu alcuna interazione tra fotoni e

barioni. Data il notevole valore raggiunto dalla massa di Silk, rispetto alle

dimensioni tipiche delle attuali strutture cosmiche, in un universo costituito

da sola materia collisionale, oggetti come ammassi globulari e galassie, con

masse variabili tra 105M⊙ e 1014M⊙, si possono formare solo per successiva

frammentazione di strutture primordiali molto piu massive. Lo studio

della radiazione cosmica rivela poi fluttuazioni in temperatura dell’ordine

di ∼ 10−5 corrispondenti, per l’effetto Sachs-Wolfe, a fluttuazioni in densita

dello stesso ordine, ma all’epoca della ricombinazione (sulla ‘superficie di

ultimo scattering’), quando arec ∼ 10−3. Cio vuol dire che, per la (1.101) le

attuali fluttuazioni dovrebbero essere dell’ordine di ∼ 10−2, pur osservando

oggi sovraddensita con δ ≫ 1. Questo e l’argomento principale con cui

si arriva ad ipotizzare la materia oscura: materia non collisionale che

risente dei soli effetti graviatazionali. Per questa componente, la massa

di free streaming cresce fino a ∼ 105M⊙, nell’epoca dell’equivalenza per poi

rimanere costante. Nel quadro di un universo con una componente oscura

si formano prima le strutture piu piccole, poi quelle piu grandi e i barioni

possono cadere nel loro campo gravitazionale avviando la formazione di

oggetti visibili. Ovviamente, bisogna considerare anche l’andamento della

massa di Jeans che discrimina fortemente le strutture che possono crescere

da quelle che non possono farlo; MJ dipende molto dal tipo di materia in

questione, in generale essa cresce monotonamente fino all’equivalenza, per

poi decrescere. I valori tipici che vengono raggiunti sono:


- materia oscura calda (HDM, relativistica al disaccoppiamento):

MJ,eq & 1012M⊙

- materia oscura fredda (CDM, non relativistica al disaccoppiamento):

MJ,eq ∼ 105M⊙

- materia barionica21:

MJ,eq ∼ 1016M⊙ .

Il modello piu verosimile sembra quello CDM e barioni; per il modello

HDM non c’e sostegno dei dati, in quanto prevederebbe una formazione

delle strutture per successiva frammentazione (top-down): in tal modo si

dovrebbe osservare che gli oggetti piu massivi, di almeno ∼ 1012M⊙, sono

anche piu vecchi, e quelli meno massivi piu giovani. Di fatto, pero, si sa che

gli ammassi di galassie (∼ 1014÷15 M⊙) sono gli oggetti virializzati piu grandi

e piu giovani a noi noti, mentre gli ammassi globulari (∼ 106M⊙) hanno

un’eta paragonabile alla vita dell’universo e, pertanto sono di formazione

precedente. Siffatte considerazioni portano ad escludere una presenza

sostanziale di materia oscura calda e a favorire un modello cosmologico

dominato da materia oscura fredda, in cui il processo di formazione e, come

prima accennato, del tipo ‘bottom-up’.

Evoluzione non lineare

La linearizzazione della teoria di Jeans vale finche δ(x, t) ≪ 1, quindi

appena si formano oggetti molto collassati bisogna procedere con altri

metodi. Descrivere matematicamente un collasso e cosa ardua; il modello

analitico di norma usato e quello del collasso sferico in cui si suppone che la

sovraddensita sia sferica ed evolva secondo le equazioni di Friedmann con

K = 1, su un background piatto di densita ρb. Allora, si puo vedere che la

contrazione gravitazionale e preceduta da una fase di espansione e seguita

21E la stima che si ottiene senza considerare gli aloni di materia oscura che si formanoprecedentemente.


da una fase di virializzazione del sistema. Il raggio massimo e raggiunto in

t = tMax, quando la densita della perturbazione vale

ρp(tMax) =

(

3π

4

)2

ρb(tMax). (1.104)

Il collasso cessa a tc = 2tMax e il processo di virializzazione a tvir = 3tMax;

dal teorema del viriale e facile calcolare il raggio di virializzazione

Rvir =RMax

2

e i parametri di sovraddensita, per una cosmologia di Einstein-de Sitter,

∆Max =ρp(tMax)

ρcr(tMax)=

(

3π

4

)2

≃ 5.6 ⇒ δMax ≃ 4.6 (1.105)

∆c =ρp(tc)

ρcr(tc)=

(

3π

4

)2

22 · 8 ≃ 178 ⇒ δc ≃ 177 (1.106)

∆vir =ρp(tvir)

ρcr(tvir)=

(

3π

4

)2

32 · 8 ≃ 400 ⇒ δvir ≃ 399. (1.107)

C’e notevole differenza con i valori estrapolati dalla teoria lineare, dalla

quale risulta (1.101):

δMax =3

5

(

3π

4

)2/3

≃ 1.07 (1.108)

δc =3

5

(

3π

4

)2/3

22/3 ≃ 1.68 (1.109)

δvir =3

5

(

3π

4

)2/3

32/3 ≃ 2.20. (1.110)

Per un confronto tra i due approcci - lineare e non lineare - si veda la figura

1.5, in cui sono mostrati, per vari modelli, i grafici del δc calcolati in regime

lineare (a sinistra), ed in approssimazione di collasso sferico (a destra).

Trattazioni dettagliate necessitano inevitabilmente di simulazioni

numeriche.

1.9.5 Simulazioni numeriche

I metodi numerici consistono nella risoluzione dell’equazione di Newton per

ogni particella e delle equazioni di continuita e di Eulero per la sola materia

barionica. Esistono vari metodi per affrontare il problema.


Figura 1.5: il grafico a sinistra mostra l’andamento per il δc estrapolato dal regime

lineare mentre il grafico a destra il δc calcolato in regime non lineare, per collasso

sferico. Sono stati considerati: una cosmologia standard di universo piatto dominato dalla

costante cosmologica, ΛCDM (linea continua: Ω0M = 0.3, Ω0Λ = 0.7), una cosmologia

di universo aperto senza costante cosmologica, OCDM (linea a tratti: Ω0M = 0.3,

Ω0Λ = 0.0), un modello Einstein-de Sitter (linea a punti: Ω0M = 1.0, Ω0Λ = 0.0).

Per tutti si e assunto h = 0.7.

Simulazioni N-body

E la tecnica usata per studiare i sistemi non collisionali; essi sono soggetti

all’equazione non collisionale di Boltzmann o di Vlasov:

df

dt=∂f

∂t+ v · ∇f −∇φ · ∇vf = 0 , (1.111)

in cui, ∇ e l’operatore gradiente definito da

∇ ≡(

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)

,

essendo r ≡ (x, y, z) il vettore delle coordinate di un dato punto di fluido;

∇v e il gradiente calcolato rispetto alle componenti della velocita del detto

punto di fluido:

∇v ≡(

∂

∂vx

,∂

∂vy

,∂

∂vz

)

;

f ≡ f(r,v, t) e la densita nello spazio delle fasi esteso

(r,v, t) ∈ R3 × R

3 × R, tale che la densita in massa ρ(r, t) risulti data


da

ρ(r, t) =

∫

f(r,v, t) d3v (1.112)

ed il potenziale φ(r, t) dall’equazione di Poisson

φ(r, t) = 4πG

∫

f(r,v, t) d3v . (1.113)

Data la difficolta nel risolvere le precedenti equazioni, si puo procedere,

equivalentemente, risolvendo il sistema

dv

dt= −∇φ

m(1.114)

dx

dt= v (1.115)

che individua proprio le curve caratteristiche dell’equazione (1.111).

Numericamente, fissate le condizioni iniziali, per ogni particella di massa

mi, va risolto il sistema di equazioni

dvi

dt=

Fi

mi

= −∇φmi

(1.116)

dxi

dt= vi (1.117)

φ = 4πGρ (1.118)

essendo φ il potenziale newtoniano agente sulla i-esima particella, xi le sue

tre coordinate e vi le tre componenti della velocita. Fissato un intervallo

temporale ∆t, si procede per differenze finite e ad ogni passo tn si usano i

risultati ricavati precedentemente:

vi(tn) = vi(tn−1) +Fi

mi

∆t (1.119)

xi(tn) = xi(tn−1) + vi(tn)∆t. (1.120)

Si possono avere approssimazioni sempre migliori usando passi temporali

sempre piu piccoli o sviluppi in ∆t ad ordini superiori. I vari metodi si

distinguono a seconda di come viene calcolata la forza gravitazionale agente

sull’i-esima particella.


- Metodo particle-particle (PP): si somma semplicemente su tutte le

particelle smussando le distanze con un opportuno parametro per evitare

possibili divergenze e

Fi = −∑

i6=j

Gmimj(ri − rj)

(|ri − rj|2 + ε2s)

3/2,

ε2s si chiama softening length. Per le particelle ‘vicine’, ovvero con

|ri − rj| < εs, Fi e calcolata alternativamente sostituendo la massa m = mj

con una massa avente un opportuno profilo di densita; spesso si usa un

profilo detto di Plummer

ρP lummer(r) =3m

4ε2s

(

1 + r2

ε2s

)5/2.

Il metodo PP e preciso, ma lento: infatti il tempo di calcolo scala come il

quadrato del numero delle particelle N2.

- Metodo particle-mesh (PM): si usa una griglia su cui si fissano

condizioni al contorno periodiche, in modo da poter usare la FFT. Per

prima cosa, si calcola la densita distribuita sulla griglia tramite opportuni

pesi per assegnare le masse al reticolo secondo la

ρ(xijk) =mM3

L3

N∑

l=1

W (xl − xijk)

dove L e il lato della scatola (box) in cui si effettua la simulazione, M il

numero di nodi per dimensione (pertanto i punti griglia saranno M3), xijk e

il vettore delle coordinate del generico punto griglia, xl e la posizione della

l-esima particella di massa m, W e la funzione che smussa la massa di ogni

particella sulla griglia. Calcolata la densita su tutti i punti griglia, si risolve

l’equazione di Poisson nello spazio di Fourier, dove il calcolo e molto piu

agevole,

φ(k) = −4πGρ(k)

k2,

si calcola la trasformata della forza

F(k) = −ikφ(k)


e si ritorna nello spazio delle configurazioni. Il metodo PM e sicuramente piu

rapido del PP, perche la complessita va come N lnN, ma e meno accurato,

non potendo risolvere distanze inferiori a L/M.

- Metodo particle-particle-particle-mesh (P3M): combina le due tecniche

precedenti applicando il metodo PP per le particelle ‘vicine’, in modo da

non perdere in risoluzione, e il metodo PM per quelle ‘lontane’, in modo

da non perdere in velocita. La distinzione tra particelle vicine e lontane

e arbitrariamente stabilita tramite la scelta di un opportuno parametro e,

alla fine, la forza totale agente sulla i-esima particella e

Fi = FiPP + Fi

PM ,

con ovvio significato delle notazioni.

- Codici ad albero (Tree codes): furono proposti, per la prima volta,

da Barnes & Hut, nel 1986; essi eseguono una suddivisione gerarchica della

regione da simulare in modo da generare cubetti con un numero di particelle

pari ad uno o zero. Quando si calcola la forza agente sulla i-esima particella,

si trattano le particelle vicine22 similmente al metodo PP, invece i gruppi

lontani sono approssimati dai loro momenti di multipolo piu bassi: cio e

come trattare ogni gruppo lontano alla stregua di una singola particella con

massa pari alla massa di tutto il gruppo, centrata nel baricentro.

Vediamo come si procede. Sia L il lato della regione da simulare (box);

questa viene suddivisa in otto cubi con lato L/2, poi ciascun cubo, se

contiene particelle, viene suddiviso in altri otto cubi di lato L/4 e cosı

via fino ad avere dei cubetti finali in cui si trova al massimo una particella.

Tale procedura permette di costruire una struttura ad albero i cui nodi sono

rappresentati dalle varie partizioni della ‘box’ (cioe dai cubetti interni). Per

calcolare la forza agente sull’i-esima particella, ‘percorriamo’ l’albero nel

seguente modo:

22Anche qui il concetto di vicinanza e legato alle necessita contigenti del programmatore.


si fissa un “angolo di apertura”, θ, con il quale si stabilisce

l’accuratezza del calcolo;

si calcola la distanza, r, dell’i-esima particella dal centro di massa del

nodo (cubo) in testa all gerarchia;

detta l la misura del lato del nodo, se viene soddisfatta la condizione

r >l

θ,

la forza viene calcolata attraverso lo sviluppo in multipolo, altrimenti si

continua ad “aprire” il cubo, scendendo nelle ramificazioni dell’albero,

e si itera la stessa procedura per tutti i cubetti piu interni23;

la forza complessiva si trova sommando il contributo di tutti i nodi.

Osserviamo che, per i nodi piu vicini e meno facile che sia soddisfatta la

condizione r > l/θ : bisogna, allora, procedere piu in profondita lungo la

struttura dell’albero, fino ai cubi piu piccoli, se necessario. Il contributo

delle particelle molto vicine viene, allora, calcolato direttamente, come

accade con le tecniche PP.

Codici simili sono rapidi e non limitati in risoluzione, pero necessitano di

notevoli risorse di memoria.

Simulazioni idrodinamiche

Sono necessarie per fluidi collisionali i quali, oltre alla gravita risentono delle

interazioni idrodinamiche a corto raggio dei singoli costituenti. Le equazioni

da risolvere, per un fluido descritto da un campo di densita ρ, pressione P ,

velocita v ed energia interna per unita di massa u, soggetto ad un potenziale

per unita di massa φ, sono scrivibili come segue:

23Alla prima iterazione, ovviamente l = L, visto che il primo nodo individua il box dellasimulazione; al passo successivo, l = L/2 e ci saranno 23 nodi da esaminare; al k− esimo passo,si avra l = L/2k e 23k nodi, al massimo, considerando la possibilita che alcuni ‘nodi genitori’non siano stati ulteriormente divisi in precedenza, perche gia vuoti.


(equazione di continuita)

∂ρ

∂t+ ∇ · (ρv) =

dρ

dt+ ρ∇ · v = 0 ,

(equazioni di Eulero)

dv

dt= −∇P

ρ−∇φ ,

(conservazione dell’energia)

du

dt= −P

ρ∇ · v − Λ

ρ,

(equazione di stato)

P = (γ − 1)ρu ,

con derivata lagrangiana data da

d

dt=

∂

∂t+ v · ∇ ,

γ indice o esponente adiabatico ed essendo Λ ≡ Λ(u, ρ) la funzione di

raffreddamento. Osserviamo che le relazioni appena scritte costituiscono

sei vincoli per le sei incognite che descrivono il fluido (ρ, P , v e u).

Numericamente, per risolvere tali equazioni, esistono due approcci:

l’approccio euleriano e quello lagrangiano.

- Metodi euleriani: Le varie quantita che descrivono il fluido vengono

calcolate su opportune griglie e la loro evoluzione segue le note equazioni

conservative; poiche esse sono tutte del tipo

∂

∂tw(x, t) =

∂

∂xf(x, t)

con w ed f funzioni generiche, si fissa ancora un passo temporale ∆t e si

ha, per l’i-esimo punto griglia e all’n-esimo passo:

wi(tn+1) ≡ wn+1i =

wni+1 + wn

i−1

2− fn

i+1 + fni−1

2∆x∆t


In questo schema, detto di Lax, ∆x e la risoluzione spaziale e ∆t = tn+1−tnil passo temporale.

- Metodi lagrangiani: Si seguono tutte le singole particelle che

compongono il fluido e, per ciascuna di esse, si calcolano, in ogni posizione,

le quantita desiderate ad un dato istante, senza fare uso di griglie.

La tecnica piu potente e probabilmente quella SPH (smoothed particle

Hydrodynamics). Essendo le forze idrodinamiche a corto raggio, l’idea di

base e smussare, punto per punto, le quantita di campo attraverso opportune

funzioni (kernel function)24. In tal modo, si tiene conto soltanto delle

interazioni che avvengono all’interno di un raggio tipico, h, (smoothing

length) ed ogni particella e come se sentisse solo gli effetti di quelle piu

vicine, cioe con distanza inferiore alla smoothing length. Con questo

metodo, il valore medio di una variabile di campo, f, in una certa posizione,

r, e dato da una convoluzione del suo valore in r con il kernel W , che e

tipicamente una funzione definita su un dominio compatto:

〈f(r)〉 =

∫

W (r − r′; h)f(r′)d3r′.

Il kernel e normalizzato in modo da avere:∫

W (r − r′; h)d3r′ = 1

limh→0

W (r − r′; h) = δ3D(r − r′)

δ3D e la delta di Dirac tridimensionale. Dovendo considerare un numero

finito di particelle, cioe quelle che cadono all’interno della smoothing length,

gli integrali si approssimano con sommatorie e

〈f(r)〉 =∑

j

W (r − rj; h)f(rj)mj

ρj

dove mj e ρj indicano la massa e la densita della j-esima particella. La

densita del fluido nel punto ri e

ρ(ri) =∑

j

W (ri − rj; h)mj

24Spesso gaussiane o polinomiali.


che e poi la densita nel punto in cui si trova la particella i-esima.

Relazioni analoghe possono essere scritte anche per le altre quatita

idrodinamiche.

1.9.6 Spettro di potenza, varianza e funzioni di massa

L’analisi statistica delle perturbazioni si basa su due postulati: il principio

cosmologico e l’ipotesi ergodica. Quest’ultima assunzione afferma che,

la media fatta su tutte le possibili realizzazioni statistiche di universo e

uguale alla media fatta su sottovolumi del campo delle realizzazioni25. Se le

fluttuazioni sono gaussiane, l’ipotesi ergodica e dimostrabile e cioe diventa

un teorema. Questi due assiomi, insieme, formano la cosiddetta ipotesi di

buon campionamento o di fair sample. E utile studiare le fluttuazioni nello

spazio di Fourier, percio definiamo lo spettro di potenza26

P (k) = 〈|δ(k)|2〉 (1.121)

essendo

δ(k) =

∫

d3rδ(r)e−ik·r (1.122)

e

δ(k) =

∫

d3k

(2π)3δ(r)eik·r. (1.123)

Comunemente, per lo spettro di potenza primordiale, si assume

P (k) = Akn (1.124)

con A costante di normalizzazione ed n indice spettrale: sono due valori da

determinare osservativamente . Uno spettro avente n = 1 si dice spettro di

Harrison-Zel’dovich.

Se definiamo la varianza come

σ2 = 〈δ2(r)〉, (1.125)

25Che, statisticamente, e come dire: la media fatta su tutta la popolazione e uguale alla mediafatta sui campioni.

26A seconda delle convenzioni ci puo essere una costante V∞.


allora, vale

σ2 =1

2π2

∫

dkk2P (k), (1.126)

avendo sfruttato le proprieta delle trasformate di Fourier.

La varianza di massa e definita da

σ2M =

〈(M − 〈M〉)2〉〈M〉2 =

1

2π2

∫

P (k)W 2(kR)k2dk, (1.127)

dove W e la funzione finestra nello spazio di Fourier; essa filtra la

distribuzione in massa su un raggio pari ad R e vale

W (kR) = 3sin(kR) − (kR) cos(kR)

(kR)3. (1.128)

Osserviamo che σM < σ e se x ≡ kR

W (x) ∼

1 per x 6 1x−2 per x≫ 1

(1.129)

Inoltre, la relazione per lo spettro di potenza (1.124) non tiene

conto della soppressione delle fluttuazioni che entrano nell’orizzonte prima

dell’equivalenza: esse subiscono una riduzione pari a(

ai

aeq

)

=

(

keq

ki

)

; (1.130)

essendo

ai =2π

ki

il parametro di espansione calcolato all’ingresso della perturbazione, avente

numero d’onda ki, nell’orizzonte.

Combinando la (1.124) con la (1.130), assumendo un indice n = 1 ed un

universo in cui le perturbazioni di materia sono dominate dalla cold dark

matter, troviamo l’andamento qualitativo

P (k) ∼

k per k ≪ keq

k−3 per k ≫ keq(1.131)

Tutta la crescita delle perturbazioni che altera lo spettro primordiale


Figura 1.6: il grafico a sinistra mostra lo spettro di potenza calcolato con il fit di Bardeen

et al.; il grafico a destra mostra il ∆2(k), ovvero la densita dello spettro di potenza per

intervallo logaritmico di k.

e descritta usando una funzione di trasferimento T ottenibile mediante

simulazioni numeriche; lo spettro complessivo risulta, quindi,

P (k) = AknT 2(k, aeq) (1.132)

dove, per fluttuazioni adiabatiche di CDM, si usa la seguente formula di fit,

graficata in figura 1.7 (si veda [3]):

T (k, aeq) =ln(1 + 2.34q)

2.34q

[

1 + 3.89q + (16.1q)2 + (5.46q)3 + (6.71q)4]−1/4

(1.133)

con

q =kBθ

1/2

ΩCDMh2Mpc−1e θ = 1,

considerando tre tipi di neutrini; il picco dello spettro si determina

attraverso il parametro Γ,

Γ = Ω0Mh , (1.134)

per sola CDM, ma se consideriamo anche i barioni una formula migliore e

quella di Sugiyama:

Γ = Ω0Mh exp

[

−Ω0b

(

1 +

√2h

Ω0M

)]

. (1.135)


Figura 1.7: il grafico mostra la funzione di trasferimento secondo il fit di Bardeen et al.,

vedi [3].

In figura 5.3, mostriamo un grafico dello spettro di potenza, P (k) (a

sinistra), e del ∆2(k) (a destra) definito come segue:

∆2(k) =1

2π2P (k)k3 : (1.136)

e la densita dello spettro di potenza per intervallo logaritmico di k.

Un’ultima funzione interessante e la funzione di massa: essa porge il

numero di oggetti collassati per unita di massa e di volume. In origine fu

proposta da Press & Schechter ([34]) e, in seguito, studiata da Bond et al.

([7]) con la tecnica dei moti browniani ([10]). Si mostra (vedi appendice)

che, per collasso sferico, la funzione di massa si puo scrivere

dN

dMdV=dn(M, z)

dM=ρb

M

df

dM=

√

2

π

ρb

M2

δc(z)

σ

∣

∣

∣

∣

d lnσ

d lnM

∣

∣

∣

∣

exp

−δ2c (z)

2σ2

.

(1.137)

Detta

df

dM


Figura 1.8: il grafico mostra le funzioni di massa, calcolate a z = 10, per i seguenti

modelli: una cosmologia standard ΛCDM (linea continua: h = 0.7, Ω0M = 0.3,

Ω0Λ = 0.7), una cosmologia OCDM (linea a tratti: h = 0.7, Ω0M = 0.3, Ω0Λ = 0.0), un

modello Einstein-de Sitter (linea a punti: h = 0.7, Ω0M = 1.0, Ω0Λ = 0.0).

la frazione di massa collassata e

ν =δc(z)

σM,

la (1.137) si lascia mettere nella forma piu elegante

df

dν=

√

2

πexp

(

−ν2

2

)

, (1.138)

essendodn

dM=ρb

M

df

dν

∣

∣

∣

∣

dν

dM

∣

∣

∣

∣

. (1.139)

Degli esempi di funzione di massa sono mostrati in figura 1.8.

Una descrizione migliore e fornita dal modello di collasso ellissoidale

elaborato da Sheth & Tormen (si veda [37] e [38]): essi trovano che la

frazione di oggetti collassati e esprimibile con la relazione

df

dν= C

√

2A

π

1 +1

(Aν2)q

exp

(

−Aν2

2

)

, (1.140)


Figura 1.9: il grafico mostra le funzioni di massa di Press&Schecter (linea continua),

Sheth&Tormen (linea a tratti), Jenkins et al. (linea a punti), calcolate a z = 10, per il

modello standard ΛCDM.

dove C = 0.3222, A = 0.707 e q = 0.3. La precedente si riduce alla Press &

Schechter per C = 1/2, A = 1 e q = 0.

Con l’uso di simulazioni numeriche, e stato possibile migliorare la descrizione

del collasso gravitazionale e si e giunti a fit migliori per le funzioni di massa:

ci riferiamo alla funzione di massa di Jenkins et al. che, statisticamente,

ha la stessa forma della Sheth & Tormen, ma il parametro A vale 0.75,

causando una piu ripida caduta esponenziale.

Come confronto, in figura 1.9 vediamo i tre tipi di funzione di massa per lo

stesso modello, ΛCDM , ed allo stesso redshift, z = 10.


Capitolo 2

Le prime stelle e lareionizzazione dell’universo

Io ritornai dalla santissima onda

rifatto sı come piante novellerinovellate di novella fronda,

puro e disposto a salire alle stelle.

Dante

Il modello standard prevede la formazione di oggetti barionici dopo che

questi sono caduti nelle buche di potenziale di materia oscura; non abbiamo

ancora detto pero come il gas possa formare le prime protogalassie e, in

seguito, le prime stelle; queste, dopo un tempo di vita relativamente breve,

potranno esplodere come supernovae e reionizzare di nuovo1 l’universo2.

Vedremo allora che il modello gerarchico prevede una formazione dei

primi oggetti guidata dal raffreddamento del gas (avente composizione

chimica primordiale) e indotto dall’idrogeno molecolare H2. Benche siano

attualmente sconosciuti i processi di formazione di stelle primordiali, a

causa dell’ignoranza gravante sui meccanismi di frammentazione delle nubi

protostellari e sulle loro correlazioni termodinamiche con il gas, e oramai

1Ricordiamo che le prime fasi di vita dell’universo sono dominate dalla radiazione e, date lealte temperature, la materia rimane completamente ionizzata fino all’epoca della ricombinazione.

2Si faccia attenzione al fatto che le prime stelle possono provocare una reionizzazione globale,non solo locale.

54 Le prime stelle e la reionizzazione dell’universo

accettata l’esistenza delle stelle di popolazione III3. Esse sarebbero stelle

molto massive (M ∼ 102M⊙) con composizione chimica primordiale. I

motivi per cui si reputa probabile la loro esistenza sono numerosi (vedi

[11]):

√Esiste un ‘vuoto’ (gap) tra le metallicita predette dalla nucleosintesi

primordiale, Z ∼ 10−12 ÷ 10−10 e quelle osservate nelle stelle di

popolazione II, Z ∼ 10−4 ÷ 10−3.

√Esiste il problema delle stelle di classe spettrale G, detto

G− dwarf problem, (si veda per esempio [8]): si rileva una mancanza

osservativa di stelle F e G poco metalliche nelle regioni vicino al Sole,

in contrasto con i modelli teorici di evoluzione chimica: in genere

le osservazioni evidenziano stelle con metallicita maggiori di quelle

previste.

√Esiste un eccesso di ossigeno ed elementi α nelle stelle galattiche povere

di metalli, oltre all’esistenza di stelle estremente povere di metalli che

mostrano, nei loro inviluppi esterni, elementi derivati da processi s.

√Esistono forti evidenze di una precoce (∼ 108 anni dopo il Big Bang)

reionizzazione globale dell’universo che non si spiega con le comuni

popolazioni stellari.

√Non si spiega, senza l’ausilio di stelle di popolazione III, la

contaminazione dell’IGM come dedotta, dalle righe di assorbimento

metalliche, nella cosiddetta Lyα forest, osservando la radiazione dei

quasar.

√Non si spiega l’attuale abbondanza cosmologica di elio.

√Non si spiega la formazione di buchi neri massivi.

3Le stelle si suddividono in popolazioni con proprieta molto diverse; indicativamente, diciamoche le stelle di popolazione I sono quelle piu giovani e metalliche, le stelle di popolazione II sonopiu vecchie e meno metalliche, ma con composizione chimica non primordiale.

2.1 Formazione di oggetti di popolazione III 55

2.1 Formazione di oggetti di popolazione III

Come abbiamo gia anticipato, finche il gas e ionizzato e accoppiato alla

radiazione non c’e possibilita di evoluzione per le fluttuazioni di materia

(fenomeno detto radiation drag), ma, dopo la ricombinazione, si formano

le prime buche di potenziale di materia oscura, il gas comincia a cadervi e

anche le perturbazioni barioniche possono crescere. I processi che portano

alla virializzazione delle componenti gassose sono simili a quelli per la

materia oscura, per cui ci aspettiamo anche in questo caso una prima

crescita lineare ed una successiva evoluzione non lineare. Il gas puo in

tal modo formare le prime protogalassie e, per successiva frammentazione,

le prime stelle.

2.1.1 Protogalassie

Perche ci sia la formazione di protogalassie, e necessario richiedere che il

tempo tipico di raffreddamento del gas, τcool, sia inferiore al tempo tipico di

espansione dell’universo, τH , altrimenti gli effetti disgreganti di quest’ultima

dominerebbero sulla condensazione dei barioni. Nel modello standard, i

primi oggetti hanno tipicamente temperature di virializzazione Tvir . 104K,

cio significa che, in un gas con composizione chimica primordiale e con

tale temperatura, il principale responsabile dei processi di raffreddamento

non puo essere altro che l’idrogeno, atomico e molecolare. Pertanto, la

condizione di formazione delle protogalassie si scrive

τcool(H,H2) < τH . (2.1)

Se essa viene soddisfatta si avvia la formazione di un oggetto di popolazione

III. Il processo di raffreddamento si puo schematizzare come segue:

- il gas in caduta nell’alone subisce un iniziale aumento di temperatura

dovuto all’incremento di energia cinetica (l’incremento di energia cinetica e

legato all’incremento degli urti tra gli atomi/molecole del gas);

- gli urti provocano eccitazione del gas;


- le componenti di gas eccitate si diseccitano emettendo radiazione;

- la radiazione emessa sottrae energia cinetica al gas (e la forma di energia

in cui si trasforma parte dell’iniziale energia cinetica);

- il gas si raffredda e la temperatura diminuisce.

L’abbondanza primordiale di H2 e dell’ordine di ∼ 10−7 a z > 400, ad

un redshift minore di circa 110, quando l’intensita del CMB cala in modo

da permettere la formazione di ioni H−, diventano probabili molte reazioni

chimiche che producono H2; in particolare, le catene piu efficienti sono (si

veda pure [1])

H + e− → H− + hνH− +H → H2 + e−

(2.2)

e

H+ +H → H+2 + hν

H+2 +H → H2 +H+ (2.3)

essendo h la costante di Planck e ν la frequenza della radiazione emessa

durante la reazione. L’efficienza massima viene di norma raggiunta intorno

a (2000 ÷ 3000)K, anche se la catena (2.3) e limitata dalla necessita di

protoni liberi dopo la reionizzazione. In aggiunta, durante il collasso si

puo avere una ulteriore formazione di H2 e la presenza di HD capaci di

incentivare il raffreddamento.

2.1.2 Stelle

Per la formazione delle prime stelle, la condizione (2.1) deve essere raffinata

introducendo il tempo di caduta libera (free fall) del gas nell’alone, τff ,

dato da

τff =

√

3π

32ρG, (2.4)

in cui ρ e la densita del gas. Il tempo di raffreddamento si calcola secondo

la

τcool =3nkBT

2Λ(n, T ), (2.5)


dove n e la densita numerica del gas, T la temperatura, Λ una funzione

quantomeccanica di raffreddamento radiativo avente le unita di una densita

di potenza (in c.g.s. sono erg s−1 cm−3)4.

Ovviamente, il gas, cadendo, si raffredda e condensa solo se

τcool ≪ τff (2.6)

con τff < τH . Durante tale fase, la nube si puo frammentare su scale RF

confrontabili con la scala di Jeans RJ , condizione che garantisce in ogni

istante l’equilibrio gravitazionale dei frammenti con le forze di pressione5:

RF ≈ RJ ∝ vsτff ∝ vs√ρG

∝ nγ/2−1, (2.7)

essendo γ l’indice politropico e vs la velocita del suono soddisfacente la

relazione

v2s =

RT

µmH

con T temperatura, µ peso molecolare medio, mH massa del protone ed R

costante universale dei gas perfetti.

La massa di frammentazione MF ha un andamento

MF ≈MJ ∝ nRηF ∝ n1−η+ηγ/2, (2.8)

η e un parametro che specifica la dimensione della struttura (sfera,

filamento, etc.).

Il processo di frammentazione termina quando il raffreddamento diventa

inefficiente a causa di

⋄ raggiungimento di equilibrio termodinamico locale (LTE), a causa del

quale materia e radiazione raggiungono la stessa temperatura e il

cooling cessa;

4Anche in questo caso ci possono essere ambiguita: a volte si trova invece di Λ in erg s−1 cm−3

il tasso rcool(n, T ) = n2Λ(n, T ) in erg s−1 cm−3 e Λ in erg s−1 cm3

5La massa di Jeans va come

MJ ∝ ρR3J ∝

T 3/2

ρ1/2

quindi, durante il raffreddamento e la condensazione del gas, diminuisce e diventa probabile laframmentazione della nube.


⋄ aumento dello spessore ottico con conseguente incremento della

temperatura del gas e calo delle perdite energetiche radiative;

in entrambi i casi viene meno la condizione (2.6) e si verifica

τcool > τff . (2.9)

Alla fine del processo di raffreddamento e frammentazione, la massaMF sara

costante o crescente, visto che la temperatura T ha un’inversione; percio si

richiede (si veda [11])

MF ∝ n1−η+ηγ/2 ∼

costante ⇒ 1 − η + ηγ2

= 0

crescente ⇒ 1 − η + ηγ2> 0

(2.10)

e in complesso

γ > 2η − 1

η. (2.11)

Se i frammenti sono sferici

η = 3 ⇒ γ >4

3.

Se i frammenti sono filamentari, cioe strutture bidimensionali,

η = 2 ⇒ γ > 1.

Appena finisce il processo, quando τcool ∼ τff , MF ∼costante e T ∼costante,

il gas e approssimativamente isotermo, per poi divenire asintoticamente

adiabatico o quasi adiabatico, quando il mezzo diventa otticamente spesso e

τcool ≫ τff : in questo caso, l’aumento di temperatura e, conseguentemente,

di pressione impediscono un ulteriore collasso. Una volta bloccata

la frammentazione, le simulazioni numeriche mostrano diverse possibili

evoluzioni a seconda dei meccanismi di cooling considerati (vedi immagine

2.1). Una nube (cloud) di massa Mcloud ∼ (105÷106)M⊙ puo frammentarsi

in diversi gruppi (clump), con massa Mclump < 1M⊙, in presenza di

♦ raffreddamento guidato da H o da H2 e HD;


M ~10 −10 M65

cloud

8 −3clumpn < 10 cm

clumpM ~10 −10 M2 3

n >10 cm−35cloud

n <10 cm5 −3cloud

clumpM < 1 M

.crit

.accM < M

.crit

.accM > M

starM ~Mclump starM <<Mclump

22 −3coren < 10 cm

coreM ~10 M−3

H2 cooling

H2+HD cooling

H cooling

collapse

accretion

Figura 2.1: immagine tratta da B.Ciardi, A.Ferrara, [11]: mostra le possibili evoluzioni

delle nubi di gas, a seconda del tipo di cooling considerato.

♦ raffreddamento guidato daH2 in un gas denso avente densita numerica

ncloud > 105 cm−3;

in alternativa, si possono formare aggregati di massa maggiore

Mclump ∼ (102 ÷ 103)M⊙ se il cooling e dettato da idrogeno molecolare

H2 ed il gas e abbastanza rarefatto: ncloud < 105 cm−3. I clump cosı

formati collassano in strutture dal nucleo molto piccolo, Mcore ∼ 10−3M⊙

e densita non superiore ad un valore di ∼ 1022 cm−3, in grado di accrescere.

Osserviamo che Mcore e alquanto indipendente dalle condizioni iniziali. La

successiva evoluzione e legata al tasso di accrescimento: detto Mcrit ≈4 · 10−3M⊙ yr

−1, e

Macc =v3

s

G

con vs velocita del suono isoterma, si trova che

- se Macc < Mcrit, cioe l’accrescimento e lento e dolce, i nuclei


protostellari possono accrescere tutta la materia dei ‘genitori’ fino alla

formazione di stelle di massa M⋆ ∼Mclump,

- altrimenti, si formano stelle molto meno massive del clump

M⋆ ≪Mclump, essendo la crescita inibita dagli effetti della pressione

di radiazione, molto piu significativi in questo caso, che non in quello

precedente.

2.1.3 Osservabilita

Stelle di popolazione III non sono mai state osservate ed e difficile che lo

siano in futuro, avendo queste un tempo di vita τ⋆popIII ∼ 107 yr ≪ τH , pero

si puo risalire alla loro esistenza se si individuano loro tracce; per esempio,

stelle poco massive, conM⋆ ∼ 0.8M⊙, non ancora del tutto evolute6, ma con

residui di elementi pesanti (Mg soprattutto) non sintetizzati direttamente

da queste. Cio si interpreterebbe con un precedente trasferimento di massa

da una stella di popolazione III o con una formazione stellare in un mezzo

pre-arricchito da oggetti di popolazione III.

2.2 Proprieta della popolazione III

Nelle prossime pagine discuteremo alcune proprieta delle stelle di

popolazione III: funzione di nascita, caratteristiche fisiche ed evoluzione.

2.2.1 Funzione di nascita

Per comprendere l’evoluzione di popolazioni stellari e galassie bisogna

conoscere le condizioni iniziali del sistema da studiare. Esse sono

rappresentate dalla funzione di nascita stellare o stellar birthrate function:

B(M, t) =d2n

dM dt; (2.12)

6Tali stelle hanno un’ eta confrontabile con la vita dell’universo e sono ancora in sequenzaprincipale.

2.2 Proprieta della popolazione III 61

B(M, t) e la densita numerica di oggetti formati per unita di massa e di

tempo. Comunemente, si fattorizza B(M, t) come segue

B(M, t)dMdt = ξ(M)dM ψ(t)dt, (2.13)

dove

ξ(M) =dn

dM

e la funzione di massa iniziale (o IMF) e

ψ(t) =dn

dt

e il tasso di formazione stellare (o SFR). Sia dalle osservazioni che dalle

simulazioni numeriche, sembra che lo SFR abbia un andamento crescente

con il redshift fino ad un certo valore di picco zpeak e poi cominci a decrescere.

Ancora non e ben stabilito il redshift esatto zpeak, ma grossomodo dovrebbe

essere intorno a 2 ÷ 3.

La funzione di massa iniziale, invece, ci dice qual e la distribuzione in massa

delle stelle in una data popolazione ed e molto importante, perche stelle di

massa diversa influenzano parametri diversi (luminosita totale, metallicita,

supernovae). Nelle regioni galattiche si trova una distribuzione di Salpeter

(1955):

M⋆dn

dM⋆

∼M−1.35⋆ . (2.14)

Per M > 1M⊙ e praticamente universale, per M < 1M⊙ ci sono deviazioni

dalla relazione (2.14). Per le prime stelle, si pensa ad una IMF leggermente

modificata: la cosiddetta IMF di Larson (1998)

M⋆dn

dM⋆

∼(

1 +M⋆

Mc

)−1.35

. (2.15)

la massa critica Mc e legata a quella di Jeans e puo essere stimata

Mc ≈ MJ ∝ ρ

(

T

ρ

)3/2

∝ T 3/2

ρ1/2∝ T 3/2

(

P

T

)−1/2

∝ T 2P−1/2


poiche Mc ∝ T 2P−1/2, ad alti z ci si aspetta Mc via via maggiore e IMF

spostata verso masse piu grandi; per z → 0, invece, la IMF di Larson tende

a quella di Salpeter.

Se la massa dei clump genitori dipendesse dalla densita della nube

collassante, si potrebbe avere una IMF bimodale piccata a circa 100M⊙

e 1M⊙; similmente, se le stelle massive emettessero radiazione in grado di

esaurire o scindere tutto l’idrogeno molecolare, si potrebbe avere una IMF

bimodale piccata a 40M⊙ e a 0.3M⊙. Il passaggio da una IMF primordiale

alla IMF attuale potrebbe essere causato dalla variazione della composizione

chimica dell’IGM.

2.2.2 Caratteristiche fisiche

Le stelle di popolazione III sono molto piu massive delle stelle standard e

con composizione chimica primordiale; nel loro core, pertanto, e possibile la

produzione di energia solo via catene protone-protone, inoltre nella fase

di ZAMS7 possono raggiungere temperature di ∼ 105K e conseguente

emissione nell’hard UV. Le principali righe identificatrici sono quelle

dell’elio, che sono piu assorbite di ben centomila volte rispetto a quanto

accade nelle atmosfere delle normali stelle di popolazione II.

Come esempio, la figura 2.2 fa vedere due spettri sintetici di popolazioni

stellari di tipo II (Z = 0.001) e III (Z = 0), con massa di 106M⊙ : si

nota chiaramente che lo spettro delle stelle di popolazione III e spostato

verso frequenze maggiori, rispetto allo spettro delle stelle di popolazione II

e, pertanto, anche i tassi di produzione di fotoni ionizzanti seguiranno lo

stesso andamento.

La naturale evoluzione spettroscopica verso il rosso e la breve durata di

vita (alcuni milioni di anni) fanno sı che la ‘durezza’ della radiazione

e l’assorbimento in HeII scompaiano rapidamente. La vita media di

ogni stella di popolazione III e pressoche indipendente dalla loro massa:

una spiegazione semplice e che, essendo molto massive ed emmettendo a

7Zero Age Main Sequence.

2.2 Proprieta della popolazione III 63

Figura 2.2: immagine tratta da B.Ciardi, A.Ferrara, [11]: mostra due spettri sintetici

di cluster di popolazione II (linea a punti e metallicita Z = 10−3) e popolazione

III (linea continua e metallicita nulla Z = 0) con massa di 106 M⊙. I numeri in

basso a sinistra sono i rispettivi ordini di grandezza dei tassi di produzione di fotoni

ionizzanti (fotoni al secondo) in corrispondenza delle bande di lunghezza d’onda indicate;

Tumlinson, J., Shull, J. M., ApJ, 528, 65; 2000.

luminosita confrontabili con il limite di Eddington, lineare in M⋆, il tempo

tipico di vita

τ⋆ =E⋆

E⋆

,

dove E⋆ e l’energia prodotta dalla stella ed E⋆ la sua luminosita, risulta

indipendente da M⋆.

2.2.3 Evoluzione

L’evoluzione di tali stelle e ancora alquanto incerta, in ogni caso e

probabile che, essendo le catene p-p non sufficienti per contrastare a lungo

l’attrazione gravitazionale, esse si contraggano fino al raggiungimento di una

temperatura centrale dell’ordine di Tcore ∼ 108K; a queste temperature si

innescano i processi 3α e le successive reazioni per la produzione di elementi

pesanti. Inoltre, ci potrebbero essere anche notevoli perdite di massa indotte


–

Figura 2.3: immagine tratta da Fryer, C.L., Woosley, S.E., Heger, A., ApJ, 550, 372

(2001), in [11]: Collasso di una stella di 300 M⊙. Mostra un proto-buco nero (proto-

BH) 0.5 s prima della formazione del buco nero propriamente detto. I colori denotano

la temperatura in unita di 109 K, i vettori sono relativi alla velocita delle particelle. In

questo istante, il proto-BH ha una massa di circa 78 M⊙ e una dimensione di 1100 km.

Il primo a formare il buco nero e il nucleo interno, ma non appena questo collassa, tutto

il proto-BH (che arriva a 90 M⊙ nel momento del collasso) accresce rapidamente sul BH

appena formato.

da pulsazioni delle regioni atmosferiche. Assunta una composizione chimica

primordiale, i modelli numerici mostrano che:

– 10M⊙ . M⋆ . 40M⊙ : vengono sintetizzati tutti gli elementi fino

al ferro. Quando il nucleo supera la massa limite di Chandrasekhar,

1.4M⊙, collassa provocando una esplosione di supernova SNII o, se

M⋆ & 30M⋆, riducendosi ad un buco nero;

– 40M⊙ . M⋆ . 100M⊙ : tutta la stella degenera in un buco nero e, se

c’e un momento angolare iniziale, si possono formare getti di γ−ray

burst (GRB);

100M⊙ . M⋆ . 260M⊙ : formano un core di elio che brucia in

2.3 Meccanismi di feedback 65

carbonio e, date le temperature, superiori a 5 · 108K, si avviano

i processi di creazione di coppie (γ → e+e−) che incrementano il

potenziale gravitazionale; il nucleo, collassando, innesca il bruciamento

di O e Si in modo esplosivo: si genera una Pair Instability Supernova

(PISN)8;

– M⋆ & 260M⊙ : la fotodisintegrazione del core precede il bruciamento

di O e Si e porta ad un collasso e alla formazione di un buco nero,

eventualmente con getti; nella figura 2.3 viene mostrato il collasso di

una ipotetica stella di popolazione III molto massiva (300M⊙) che

dovrebbe morire secondo tale scenario;

– M⋆ & 105M⊙ : la nube di gas e altamente instabile e collassa in

buco nero senza avviare il bruciamento di H, se Z < 0.005; altrimenti

esplode.

2.3 Meccanismi di feedback

I meccanismi di feedback sono dei processi i cui effetti agiscono direttamente

sulla causa che li produce; essi sono molto importanti perche influenzano

la formazione e l’evoluzione delle galassie, degli ammassi stellari e del

mezzo intergalattico (IGM); inoltre, sono fondamentali per modellare

correttamente tali sistemi, anche se va detto che attualmente i risultati

teorici sono ancora discrepanti. Un meccanismo di feedback puo essere

positivo o negativo: si ha feedback positivo quando l’effetto incentiva la sua

causa e, con questa, tutto il processo; si ha feedback negativo quando li

inibisce. In ogni caso, c’e una sorta di autoregolazione del meccanismo. A

seconda del tipo di processo coinvolto, distinguiamo i feedback radiativi, i

feedback meccanici e i feedback chimici.

8Vedi [47].


2.3.1 Feedback radiativi

Sono quelli associati ai processi di ionizzazione e dissociazione di atomi o

molecole, per via della radiazione prodotta da stelle massive o quasar. Gli

effetti possono essere locali (rimanere nella stessa galassia) o a lungo raggio

e formare un fondo radiativo in grado di alterare l’evoluzione di oggetti

vicini e lontani. Alcuni schemi di feedback radiativi sono i seguenti

- fotoionizzazione ed evaporazione: un oggetto collassato produce

radiazioni UV capaci di ionizzare l’idrogeno H e/o far evaporare il

gas, inibendo un ulteriore collasso, perche le reazioni (2.2) e (2.3) non

sono piu efficienti9 (feedback negativo);

- fotodissociazione di H2: come nel caso precedente, radiazione prodotta

da oggetti collassati, soprattutto se soft UV, puo dissociare l’idrogeno

molecolare H2 ed inibire il cooling nell’ambito della stessa nube o di

altre nubi esterne (feedback negativo);

- ricombinazione di H2 nelle regioni HII: nelle regioni di formazione

stellare ricche di protoni liberi e facile, in virtu della (2.3), formare H2

ed assistere a raffreddamento e collasso del gas (feedback positivo);

- ricombinazione di H2 nelle regioni con fondo X: i raggi X accelerano

gli elettroni facilitando la formazione di H2 via (2.2) ed il successivo

cooling (feedback positivo).

2.3.2 Feedback meccanici

I feedback meccanici sono legati, tipicamente, a processi meccanici, come

l’espulsione di massa ed energia da parte di sorgenti evolute: spesso stelle

nelle loro ultime fasi di vita che muoiono come supernovae o come PISN.

Tra i principali feedback meccanici citiamo:

9Infatti, nel primo caso viene a mancare l’idrogeno neutro indispensabile per la produzionedi H2, nel secondo, viene a mancare il gas stesso, in quanto allontanato dalla pressione diradiazione.

2.3 Meccanismi di feedback 67

- blowout/blowaway: sono fenomeni connessi alle esplosioni di SN

e soprattutto PISN che eiettano massa ed energia nell’ambiente

circostante; in tal modo, il gas galattico puo essere spazzato via

parzialmente (blowout) o totalmente (blowaway), a seconda della

potenza dell’esplosione, e i processi di raffreddamento risultare bloccati

(feedback negativo). Del resto vanno considerati anche i concomitanti

fenomeni che favoriscono il collasso gravitazionale. Difatti, nel

gas freddo dietro lo shock generato dall’esplosione, e favorita la

ricombinazine di H2, e, quindi, il cooling, mentre, davanti allo shock,

il gas viene spinto ad addensarsi in gusci in grado di frammentare,

se l’espansione non e troppo violenta, e di alimentare la formazione

stellare (feedback positivo);

- shock: possono essere prodotti non solo da esplosioni, ma anche dal

collasso stesso delle strutture. Gli esiti fondamentali sugli oggetti

investiti sono il riscaldamento e l’evaporazione del gas precedentemente

virializzato nell’alone di materia oscura e lo ‘stripping ’ di massa dalle

vicine nubi collassanti; in entrambi i casi vi e inibizione di formazione

stellare (feedback negativo);

- preheating: e un meccanismo che riguarda i flussi o venti di gas

e radiazione verso l’esterno delle galassie (outflow); questi fanno

incrementare la temperatura dell’IGM e con essa la massa di Jeans

ostacolando la formazione di nuove strutture (feedback negativo).

2.3.3 Feedback chimici

Come dice la parola stessa, sono effetti che coinvolgono la composizione

chimica del mezzo intergalattico. Le variazioni piu significative da questo

punto di vista riguardano il cambiamento di metallicita nel tempo:

- metallicita dell’IGM (ZIGM): secondo lo scenario gia descritto, le

prime stelle dovrebbero essere molto massive e morire essenzialmente


come PISN, eiettando materiale processato nel loro interno verso le

regioni circostanti e contaminando fortemente il mezzo. Le successive

stelle si formerebbero allora in un IGM non piu primordiale e avrebbero

composizione chimica simile alle attuali stelle di popolazione II; in

maniera analoga, la successiva generazione sarebbe costituita da stelle

di popolazione I. L’evoluzione in metallicita diventa importante anche

per descrivere la funzione di massa iniziale; si e visto che finche

ZIGM . Zcrit ∼ 10−5±1 Z⊙10 la IMF adeguata sembra quella di

Larson, nel regime in cui ZIGM > Zcrit la descrizione migliore viene

fornita dalla IMF di Salpeter. Ovviamente, le incertezze sono molte ed

inoltre la notevole disomogeneita dell’IGM fa pensare che i feedback

chimici siano essenzialmente locali e strettamente legati alla vicinanza

di regioni con formazione stellare, per cui zone particolarmente

isolate dell’universo potrebbero conservare una composizione chimica

originaria molto piu a lungo di altre.

2.4 Reionizzazione

La storia della reionizzazione e tuttora discussa e dibattuta, a causa delle

incertezze dei modelli riguardo le proprieta delle prime stelle e dei quasar;

esistono poi diversi studi per cercare di comprendere alcuni parametri

determinanti per la formazione delle strutture e la loro evoluzione: ad

esempio, il tasso di produzione di fotoni ionizzanti e la loro frazione di

fuga (escape fraction)11 verso il mezzo intergalattico, nonche le modalita

dell’inquinamento metallico provocato dall’evoluzione delle prime stelle.

Inoltre, non tutti gli elementi chimici reionizzano simultaneamente, per

cui si dovrebbe parlare (e lo faremo) di reionizzazione dell’idrogeno,

reionizzazione dell’ elio, e cosı via.

10La metallicita solare Z⊙ e pari a circa 0.02.11Ci sono diverse indagini per la stima di questa quantita e, pur se molti modelli convergono

verso valori non superiori al 15% esiste un sostanziale numero di oggetti e intervalli di redshiftper cui non e stato raggiunto un comune consenso.

2.4 Reionizzazione 69

Come per ogni mezzo composto da gas, polveri e radiazione, il parametro

che meglio descrive la struttura dell’IGM e lo spessore ottico Thomson12;

esso e definito, nella sua forma differenziale, come segue:

dτ ≡ σTncdt , (2.16)

dove n e la densita numerica di elettroni, c la velocita della luce, cdt il tratto

infinitesimo percorso dalla radiazione in un tempo dt e σT e la sezione d’urto

Thomson per l’interazione elettrone-fotone13 data da

σT =8π

3

(

e2

mec2

)2

≈ 6.65 · 10−25 cm2.

Esplicitando l’evoluzione in z delle varie quantita presenti nella (2.16),

supponendo completa ionizzazione, si ha

dτ(z) = σTn(z)c

∣

∣

∣

∣

dt

dz

∣

∣

∣

∣

dz =σT n(z) c

(1 + z)H(z)dz =

=σT n(0) (1 + z)2 c

H0E(z)dz . (2.17)

Qui, abbiamo fatto uso delle (1.35), (1.53), (1.59) e (1.60). Lo spessore

ottico calcolato tra due redshift z1 e z2 si ottiene integrando l’equazione

(2.17); per un modello piatto, con costante cosmologica, costituito

prevalentemente da materia, l’espressione di E(z) si riduce semplicemente

a

E(z) =[

Ω0M (1 + z)3 + Ω0Λ

]1/2

e l’integrale si risolve esattamente: sostituendo

ζ = (1 + z)3

si arriva a

∫ z2

z1

dτ(z) =2σTn(0)c

3H0

√Ω0M

[

(1 + z)3 +Ω0Λ

Ω0M

] 1

2

∣

∣

∣

∣

∣

z=z2

z=z1

. (2.18)

12Si pensi alle atmosfere stellari.13Il contributo di ioni, atomi, molecole e trascurabile perche la sezione d’urto e inversamente

proporzionale al quadrato della massa delle particelle ed e noto che la massa di un protone mH

vale quasi 2000 volte quella dell’elettrone me : mH ≃ 2000 me.


Considerando una ‘linea di vista’ da redshift 0 a z arbitrario

τ(z) =

∫ z

0

dτ(z′) =2σTn(0)c

3H0

√Ω0M

[

√

(1 + z)3 +Ω0Λ

Ω0M−√

1 +Ω0Λ

Ω0M

]

; (2.19)

usando le stime osservative ottenute da WMAP per i vari parametri della

relazione precedente (vedi il capitolo successivo, il capitolo VII e [39]), la

(2.19) diventa

τ(z) ≈ 0.0023[(1 + z)3 + 2.7]1/2 − 1.93. (2.20)

Dallo studio dello spessore ottico si riesce a capire quali sono le condizioni

del mezzo ad un dato redshift (se e otticamente sottile o spesso, per esempio)

e se e plausibile o meno una corrispondente reionizzazione cosmica.

2.4.1 Reionizzazione dell’idrogeno

Si pensa che la reionizzazione dell’idrogeno proceda tramite fasi

morfologiche diverse: nella fase iniziale (pre-overlap stage) esso e

completamente neutro, salvo qualche sporadica regioneHII, segue, poi, una

fase di espansione e sovrapposizione delle regioni HII durante la quale si

assiste alla reionizzazione del gas intergalattico diffuso e poco denso (overlap

stage); il processo si conclude con la successiva reionizzazione dell’idrogeno

neutro anche nelle rimanenti regioni piu dense (post-overlap stage). L’epoca

di completa ionizzazione e legata a cosa si intende con il termine ‘completa’:

in genere, la reionizzazione e considerata completa quando il cammino libero

medio dei fotoni ionizzanti uguaglia il raggio di Hubble; nelle simulazioni

numeriche, invece, si assume che la frazione in volume di idrogeno neutro

debba essere inferiore all’un per mille (10−3).

Per capire quali sono i meccanismi e le cause delle tre fasi precedentemente

descritte si adottano approcci semi-analitici e numerici coinvolgenti modelli

verosimili di formazione galattica ed un trattamento accurato del trasporto

radiativo dei fotoni. Benche l’evoluzione di strutture di sola materia oscura

sembri ben capita, per la materia barionica ci sono forti complicazioni legate

ai comportamenti idrodinamici del gas e ai numerosi effetti di feedback;


in aggiunta, le simulazioni devono coprire volumi notevoli (almeno diversi

Mpc3), per verificare la globalita del fenomeno, e una risoluzione molto

buona, per ‘vedere’ oggetti come stelle massive, minialoni e ministrutture

in grado di provocare o influenzare la reionizzazione del gas. Per quanto

riguarda la natura delle sorgenti, spesso si assumono proprio le stelle di

popolazione III, nell’ambito del modello standard.

I vincoli osservativi sulla temperatura dell’IGM a z ≈ 2÷4, sull’abbondanza

di idrogeno a z > 6 e sulla misura dello spessore ottico Thomson

suggeriscono che una semplice reionizzazione a z > 10 indotta da sole

sorgenti stellari non e accettabile, perche si avrebbero valori teorici della

temperatura del mezzo, TIGM , troppo bassi rispetto alle osservazioni.

Pertanto e necessario un incremento di TIGM ; lo scenario piu interessante per

raggiungere una prima reionizzazione ad alti redshift prevede una maggiore

emissione di radiazione attraverso:

- una maggiore produzione di fotoni ionizzanti da parte delle prime

sorgenti luminose;

- una maggiore quantita di stelle di popolazione III, ovvero una IMF

spostata verso masse maggiori (top-heavy IMF);

- una maggiore frazione di fuga per i fotoni, rispetto al presunto 15%.

Aggiungendo i feedback e considerando l’arricchimento metallico14, sarebbe

possibile una successiva caduta della produzione di fotoni e una totale o

parziale ricombinazione seguita da una seconda reionizzazione ad opera di

sorgenti stellari standard, a z ≈ 6.

Altre alternative per incrementare il contributo energetico dei fotoni

ionizzanti e, di conseguenza, TIGM , sono

- considerare uno spettro di potenza adiabatico standard piu uno spettro

isocurvo non scale free che determinerebbe una precoce formazione di

strutture e la nascita delle prime stelle a z > 10;

14Vedi i paragrafi seguenti.


- considerare fluttuazioni di densita non gaussiane;

- considerare il contributo degli ammassi globulari che hanno una alta

frazione di fuga;

- considerare il contributo alla radiazione UV da parte dei quasar;

- considerare il contributo nell’X proveniente dai quasar stessi, dai

residui di supernova e dallo scattering per effetto Compton inverso

tra elettroni relativistici accelerati dalle esplosioni di SN e fotoni;

- considerare i processi di decadimento di eventuali particelle esotiche.

Lo spessore ottico sarebbe concordante con quello osservato, ma se si

considera anche l’ultimo punto, ci potrebbero essere problemi, perche

le particelle dovrebbero produrre nuove fluttuazioni nello spettro di

polarizzazione del CMB.

2.4.2 Reionizzazione dell’elio

La ionizzazione dell’idrogeno puo essere accompagnata da quella dell’elio,

infatti le sorgenti stellari possono produrre fotoni con energia superiore a

24.6 eV , sufficiente per avere HeII; una successiva ionizzazione di HeII

porta alla formazione di HeIII, ma richiede fotoni con energia di almeno

54.4 eV . Le sorgenti capaci di emettere radiazioni simili sono ancora stelle

di popolazione III, quasar e gas riscaldato da onde d’urto. Quest’ultimo

contributo sarebbe confrontabile con quello dei quasar ad un redshift z ≈ 3

e dominante a z & 4.

La reionizzazione di HeII e trattata separatamente dalla reionizzazione di

HI e diHeI vista la differenza di energie in gioco. Fra l’altro, l’assorbimento

diHeII nella Lyα e tipicamente molto piu forte rispetto adHI di un fattore

η =NHeII

NHI,


dove N rappresenta il numero di atomi coinvolti; per righe otticamente

sottili, troviamo un’espressione per gli spessori ottici:

η ≈ 4τHeII

τHI.

La ragione e comprensibile poiche l’elio ionizzato HeII e piu difficile da

fotoionizzare rispetto all’idrogeno e, qualora cio accada, l’elio ionizzato due

volte HeIII si ricombina circa 5.5 volte piu velocemente; per questo, e

piu probabile osservare righe di assorbimento di HeII nella Lyα. Calcoli

numeri e semi-analitici mostrano che la reionizzazione dell’elio neutro, HeI,

avviene successivamente alla seconda reionizzazione dell’idrogeno, a z ≈ 5,

e che ci puo essere una doppia reionizzazione per HeII 15: la prima a z ≈ 15

e la seconda a z ≈ 3 Naturalmente, nel primo caso, sara dovuta a stelle di

popolazione III e ai primi miniquasar, nel secondo, a stelle di popolazione

II, alla popolazione di quasar oggi nota e al fondo radiativo.

Infine,

il corrispondente aumento della temperatura dell’IGM permetterebbe di

arrivare a

TIGM ≈ 10000K durante la reionizzazione di idrogeno;

TIGM ≈ 20000K durante le reionizzazioni di elio.

2.4.3 Arricchimento metallico dell’IGM

Le stesse strutture che ionizzano o reionizzano il mezzo intergalattico sono

responsabili del suo arricchimento metallico. Le perdite di massa sono

dipendenti pero dalla metallicita della sorgente e tanto maggiori quanto

questa e maggiore, quindi stelle primordiali di popolazione III, con Z

pressoche nullo, possono inquinare le zone circostanti solo tramite la loro

morte come SN e, soprattutto, PISN, mentre l’espulsione di materia via

vento stellare, guidata dalla pressione di radiazione, dalla rotazione o dalla

pulsazione superficiale, e poco importante.

15Ricotti, M. ,Ostriker, J. P., MNRAS, 350, 539 e 352, 547.


La rimozione dei metalli dalle regioni di formazione stellare e dalle galassie

che incrementa la metallicita dell’IGM avviene in diversi possibili modi:

· rimozione dinamica durante l’incontro tra galassie (non e chiaro se tale

meccanismo, da solo, possa giustificare i dati);

· eiezione di metalli per via dei venti galattici: e uno dei meccanismi

piu popolari basato sull’esistenza di outflow dagli aloni galattici

primordiali che ionizzano l’IGM e lo contaminano facendo crescere la

sua metallicita fino a Z & 10−3Z⊙; tale arricchimento dovrebbe essere

disomogeneo ed incompleto;

· esplosioni di PISN: e probabilmente il meccanismo principale

attraverso il quale le stelle arrivano ad espellere oltre il 90% dei loro

metalli entro un raggio di circa 1 kpc. Eventi di questo tipo possono

arricchire il mezzo fino a Z & 10−4Z⊙, gia ad un redshift di circa 15;

· espulsione, da parte della pressione di radiazione, di grani di polvere

(dust grain) in cui sono intrappolati elementi pesanti. Tale tipo

di arricchimento, in genere, non altera le proprieta strutturali e/o

termiche dell’IGM in modo significativo, ne provoca shock ed onde

d’urto, anche se puo dar conto delle abbondanze di carbonio e silicio

a z ≈ 3, ma non degli altri elementi, neanche a z piu bassi.

Per concludere, metalli e polveri influenzano la formazione delle strutture,

come abbiamo gia detto, e potrebbero essere largamente prodotti da PISN,

perche una frazione compresa tra il 15% e il 30% della massa di stelle

di popolazione III condensa in grani. Inoltre, la prima generazione di

stelle e molto massiva: e, percio, probabile che nelle successive fasi di

formazione delle strutture ce ne siano state notevoli quantita. Gli effetti

sull’inquinamento del mezzo intergalattico sono, tra l’altro, debolmente

dipendenti dalla termodinamica.

Capitolo 3

Quadro osservativo

State contenti, umana gente, al quia;che se possuto aveste veder tutto,mestier non era parturir Maria.

Dante

Il modello standard ΛCDM e caratterizzato da un gruppo ben preciso

di parametri che si dividono in parametri geometrici e parametri spettrali.

I primi fissano la geometria e le modalita di espansione dello spaziotempo:

essi sono la costante di Hubble H0, o, equivalentemente, h se espressa in

unita di 100 kms−1Mpc−1, ed il parametro di densita Ω0, costituito da una

componente di materia oscura, Ω0DM , una di materia barionica, Ω0b, e,

presumibilmente, una di costante cosmologica, o dark energy, Ω0Λ.

Il secondo tipo di parametri fissa le modalita di crescita delle strutture

cosmiche ed e costituito dalla costante di nomalizzazione dello spettro di

potenza lineare, A, e dall’indice spettrale, n. Normalmente, essendo la

varianza di massa legata allo spettro tramite la relazione (1.127), si utilizza

σ8 - varianza di massa su una scala di 8Mpc h−1 - e da questa si risale ad

A; quindi, le quantita dello spettro che, di fatto, si forniscono sono σ8 ed n.

L’ultimo parametro misurabile e lo spessore ottico τ, legato ai processi di

formazione stellare e di reionizzazione cosmica.

Uno degli strumenti piu utili per determinare tutti i vari parametri

e lo spettro di potenza angolare del CMB: infatti, gli esperimenti sulla

radiazione di fondo sono in grado di darci i valori della temperatura in

76 Quadro osservativo

Figura 3.1: prime mappe bidimensionali delle fluttuazioni di temperatura nel CMB

ottenute da COBE. I principali esperimenti atti a determinare lo spettro del CMB sono

stati, cronologicamente, dopo COBE (lanciato nel 1989), BOOMERANG (vedi pure [32],

2001) e WMAP ([39], 2003).

La prima mappa dall’alto mostra la temperatura media del CMB in ogni punto pari a

∼ 2.7 K dovuta al termine di monopolo l = 0;

la seconda, invece, le fluttuazioni di temperatura di dipolo (l = 1) osservabili una volta

sottratto il contributo del monopolo: queste vengono interpretate come un effetto Doppler

dovuto al moto peculiare della Terra rispetto al riferimento comovente con la radiazione

di fondo; esse sono dell’ordine di 10−3;

la terza mostra le anisotropie di temperatura, dell’ordine di ∼ 10−5, dovute alle

fluttuazioni primordiali di materia: sono i semi da cui si svilupperanno tutte le strutture

cosmiche. Il contributo lungo l’equatore e dovuto alla nostra Galassia.

77

Figura 3.2: distribuzione angolare delle fluttuazioni in temperatura nel CMB ottenuta

da WMAP: i contributi del monopolo, del dipolo e della Galassia sono stati gia rimossi.

ogni posizione angolare (ϑ, ϕ) (vedi figura 3.2) e costruire con questi delle

mappe bidimensionali1, come quelle in figura 3.1 e 3.3. Sviluppando

le fluttuazioni della temperatura, punto per punto, secondo opportuni

coefficienti complessi, alm, si ha

δT (ϑ, ϕ)

〈T 〉 ≡ T (ϑ, ϕ) − 〈T 〉〈T 〉 =

+∞∑

l=0

l∑

m=−l

almYml (ϑ, ϕ), (3.1)

dove

Y ml (ϑ, ϕ) =

√

2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!Pm

l (cosϑ)eimϕ (3.2)

rappresentano le armoniche sferiche e Pml (cosϑ) i polinomi di Legendre.

Il termine con l = 0 viene detto di monopolo e individua il valore medio

della funzione in questione T (ϑ, ϕ), il termine l = 1 e detto di dipolo e

quello con l = 2 di quadrupolo. Le scale angolari corrispondenti sono,

rispettivamente, 3600, 1800 e 900; in generale, per ordini di multipolo l piu

alti, le corrispondenti scale angolari si approssimano con 600/l. ‘Grandi’

scale angolari, quindi, corrispondono a ‘bassi’ valori di l.

1Analoghe alle carte prospettiche ortografiche usate in geografia.


Figura 3.3: mappa bidimensionale ottenuta da WMAP, equivalente alla distribuzione

in figura 3.2: i contributi del monopolo, del dipolo e della Galassia sono stati gia rimossi.

Lo spettro di potenza angolare Cl si definisce come segue:

Cl ≡ 〈|alm|2〉 =1

2l + 1

∑

m

|alm|2, (3.3)

essendo 2l+1 le degenerazioni in m delle armoniche sferiche, per ogni fissato

l. La funzione Cl misura l’importanza delle fluttuazioni aventi una scala

angolare corrispondente al multipolo l ed ha un grafico come quello mostrato

in figura 3.4.

Il picco2 ad l ≈ 220 corrisponde alla scala di ingresso delle perturbazioni

nell’orizzonte, al momento del disaccoppiamento. Inoltre, su grandi scale la

quantita l(l+1)Cl dipende debolmente da l e su piccole scale la forma dello

spettro e influenzata essenzialmente da P (k) (per ulteriori dettagli si veda

[12]).

2I picchi sono detti acustici.

3.1 Parametri geometrici 79

Figura 3.4: confronto tra il best-fit per il modello ΛCDM e i dati di WMAP, [39].

3.1 Parametri geometrici

3.1.1 Costante di Hubble H0

Le misure della costante di Hubble si basano sulla ben nota legge di Hubble:

v = H0d. (3.4)

Visto che spettroscopicamante si riesce a determinare la velocita di

recessione di una galassia v, o di una qualsiasi sorgente luminosa, l’ostacolo

principale e misurare la sua distanza d da un osservatore terrestre. Bisogna

avere anche l’accortezza di scegliere sorgenti con moti propri trascurabili

rispetto alla recessione, per non alterare sigificativamente lo spettro, e

situate ad un redshift non troppo alto, essendo la (3.4) valida solo

localmente: difatti, deriva dalla (1.27), che, letta al tempo presente, ovvero

a z ≃ 0 , conduce alla (1.28).

Il metodo piu usato e quello delle ‘candele standard’: oggetti con proprieta

osservabili indipedenti dalla loro distanza. Le candele standard per


eccellenza sono le Cefeidi: si tratta di stelle variabili con periodo di

pulsazione P proporzionale alla luminosita:

Log10〈L〉L⊙

= 1.15Log10P(d) + 2.47 , (3.5)

con 〈L〉 luminosita media della variabile e P (d) periodo espresso in giorni;

una volta calibrata la relazione periodo - luminosita, su stelle vicine e note

(stelle campione), la si puo usare per calcolare le distanze di stelle piu

lontane:

d =

(

L

4πF

)1/2

; (3.6)

nella precedente equazione, L e la luminosita della sorgente nota misurando

il periodo di pulsazione3 ed F e il flusso ricevuto sulla Terra. Mediamente,

le distanze tipiche entro le quali si riesce a risolvere una stella con un buon

telescopio sono di qualche Mpc, ma con il telescopio spaziale Hubble si

giunge fino a circa 30Mpc, come dimostrato del Key Project (vedi [16]).

Per incrementare l’intervallo di misurabilita delle distanze, e possibile, a

partire dalle Cefeidi, costruire tutta una scala di indicatori secondari basata

su altre proprieta, non piu di stelle, ma di galassie. Per esempio,

– la relazione Tully - Fisher, valida per galassie a spirale,

L ∝ v4c , (3.7)

che lega la luminosita galattica L con la velocita circolare vc;

– la relazione del piano fondamentale, per galassie ellittiche,

L ∝ σ2.65r0.65e , (3.8)

in cui σ e la dispersione di velocita centrale e re il raggio effettivo, cioe

il raggio entro il quale si misura meta della brillanza superficiale;

– il picco di brillanza delle SNIa;

– le fluttuazioni di brillanza superficiale.

3Anche in questo caso le tecniche spettroscopiche sono molto potenti.


Oppure si sfruttano particolari fenomeni fisici come le esplosioni di

supernovae SNII che generano un’espansione dell’inviluppo esterno dalla

cui velocita lineare e angolare si risale alla distanza.

Il valore cui perviene il Key Project ([16]) e H0 = 72± 3± 7 kms−1Mpc−1,

in cui e indicato sia l’errore statistico di ±3 che quello sistematico di ±7.

Altre stime si ottengono combinando l’effetto Sunyaev - Zel’dovich4 ed

il flusso in banda X degli ammassi di galassie. Si trova un valore di

H0 = 66+14−11 ± 15 kms−1Mpc−1, [28].

Infine, il primo picco acustico del CMB fornisce la distanza conforme della

‘superficie’ di disaccoppiamento (o di ultimo scattering) ed essa e sensibile

alla costate di Hubble, come pure l’andamento di Cl a bassi ordini di

multipolo: il best-fit dei dati di WMAP da H0 = 72 ± 5 kms−1Mpc−1, vedi

[39].

3.1.2 Parametro di densita Ω0

I valori di Ω0 sono legati ai suoi diversi contributi. La materia visibile viene

stimata a partire dalla luminosita delle galassie o degli ammassi di galassie,

ma, se vogliamo misure piu dettagliate, dobbiamo ricorrere a misure di

dinamica, cioe a

• curve di rotazione delle galassie a spirale: esse sono prive di caduta

kepleriana nelle regioni esterne e cio si giustifica solo con una notevole

presenza di materia non luminosa, la materia oscura;

• studi di galassie ellittiche: sono sistemi tipicamente virializzati, come si

inferisce dalla loro forma, pressoche sferoidale; in questi, la dispersione

di velocita delle stelle equilibra la contrazione gravitazionale (si dice

che sono pressure - supported) e dal teorema del viriale si risale a tutta

la massa presente. Anche in tal caso, bisogna introdurre la materia

oscura, altrimenti la virializzazione non e giustificata;

4E un semplice Compton inverso tra i fotoni del CMB e gli elettroni liberi negli ammassi.


Figura 3.5: dati relativi alla degenerazione della costante di Hubble e del parametro

di densita della materia; l’eta dell’universo puo variare, consistentemente, tra 12 e 16

miliardi di anni, [39].

• studi di ammassi di galassie: sono gli oggetti virializzati piu grandi

e giovani esistenti in natura, con forma approssimativamente sferica;

possiamo usare il teorema del viriale o l’emissione di bremsstrahlung

del gas in banda X.

Ad ogni modo, comprendendo tutte le strutture (ammassi glubulari,

galassie a spirale, galassie ellittiche e ammassi di galassie), non si arriva ad

un valore di Ω0M maggiore di 0.3.

Anche lo spettro di potenza angolare del CMB risulta influenzato da Ω0M ,

benche in maniera degenere con la costante di Hubble (vedi il grafico 3.5).

Se Ω0M dimiuisce, all’epoca del disaccoppiamento, le buche di potenziale

gravitazionale saranno piu basse e i picchi spostati verso scale minori, ovvero

ordini di multipolo l maggiori.

L’abbondanza dei soli barioni e nota dalla nucleosintesi primordiale e dalla

posizione e altezza relativa dei picchi acustici nel CMB. I vari dati sono

consistenti con Ω0b ≃ 0.04 ÷ 0.05.


-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

∆(m

-M

) (

mag)

HST DiscoveredGround Discovered

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0z

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

∆(m

-M

) (

mag)

q(z)=q0+z(dq/dz)

Coasting, q(z)=0

Constant Acceleration, q0=-, dq/dz=0 (j0=0)

Acceleration+Deceleration, q0=-, dq/dz=++Acceleration+Jerk, q0=-, j0=++

Constant Deceleration, q0=+, dq/dz=0 (j0=0)

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

∆(m

-M

) (

mag)

HST DiscoveredGround Discovered

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0z

-0.5

0.0

0.5

∆(m

-M

) (

mag)

ΩM=1.0, ΩΛ=0.0

high-z gray dust (+ΩM=1.0)Evolution ~ z, (+ΩM=1.0)

Empty (Ω=0)ΩM=0.27, ΩΛ=0.73"replenishing" gray Dust

Figura 3.6: evidenza di una recente fase di accelerazione e di una precedente

decelerazione dell’universo; i diagrammi di Hubble sopra riportati sono tratti da Riess et

al., 2004, [35].

Infine, sia i valori desunti dall’analisi del CMB che quelli relativi agli studi

teorici ed osservativi sui flussi delle SNIa (citiamo [22], [35] e [44]) mettono

fortemente in rilievo l’esistenza di una costante cosmologica associata ad

una possibile e non ben determinata forma di energia oscura o dark energy,

causante l’accelerazione dell’universo a partire da un redshift circa unitario,

come si nota dalle figure 3.6 e 3.7. La geometria dell’universo sarebbe

praticamente piatta, essendo Ω0 = 1.02 ± 0.02 ([39]).

Nei due casi sopra menzionati, c’e una degenerazione per i parametri Ω0M

e Ω0Λ che viene rimossa unendo stime ottenute con metodi diversi. In

particolare, se consideriamo i valori per il solo Ω0M provenienti dagli studi

dinamici, i possibili valori degeneri per Ω0M − Ω0Λ dedotti dagli studi

sulle supernovae (vedi la figura 3.8) e quelli derivanti dal CMB, possiamo

costruire un grafico come quello in figura 3.9 e restringere l’intervallo di

variabilita di Ω0Λ a valori numerici appartenenti ad un intorno di Ω0Λ ≃ 0.7.


Figura 3.7: evidenza di una recente fase di accelerazione e di una precedente

decelerazione dell’universo. A sinistra, vengono mostrati tutti i dati sperimentali, a

destra, i valori medi per otto intervalli di redshift diversi. I punti del diagramma di Hubble

sono interpolati dalle curve relative ai modelli con, dall’alto verso il basso, (ΩM , ΩΛ) =

(0.3,0.7), (0.3,0.0), e (1.0,0.0), rispettivamente. I dati sono tratti da Tonry et al., 2003,

[44].

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5ΩM

-1

0

1

2

3

ΩΛ

68.3

%

95.4

%

99.7

%

No Big

Bang

Ωtot =1

Expands to Infinity

Recollapses ΩΛ=0

Open

Closed

Accelerating

Decelerating

q0=0

q0=-0.5

q0=0.5

^

Figura 3.8: a sinistra, sono mostrati i vincoli, ad un livello di confidenza di 1σ, 2σ e 3σ,

sulla degenerazione Ω0M − Ω0Λ ottenuti da due diversi studi di SN effettuati nel 2004

(contorni continui) e nel 1998 (contorni a punti); i dati sono tratti da Riess et al., 2004,

[35]. A destra, gli stessi vincoli ottenuti dagli studi di SN (contorni scuri) e dalla survey

2dF (contorni a punti) da Tonry et al., 2003, [44].


Figura 3.9: stime indipendenti di Ω0M e Ω0Λ. La linea continua rappresenta la retta

per universi piatti, Ω0M + Ω0Λ = 1 : il semipiano superiore, percio, e relativo ad un

universo chiuso, mentre quello inferiore ad uno aperto. La linea a tratti rappresenta la

retta q0(Ω0M , Ω0Λ) = 0, che separa un regime di universo in accelerazione (semipiano

superiore) e uno di universo in decelerazione (semipiano inferiore); al solito, q0 e il

parametro di decelerazione che vale q0 = Ω0M/2 − Ω0Λ.


3.2 Parametri spettrali

3.2.1 Ampiezza delle fluttuazioni σ8

L’ampiezza delle fluttuazioni e legata alla normalizzazione dello spettro di

potenza, ovvero a σ8; si misura con svariati metodi, come il lensing debole,

le velocita peculiari, i conteggi di ammassi, l’analisi del CMB, pero non c’e

comune convergenza dei risultati, variando questi tra 0.7 . σ8 . 1. Le

recenti determinazioni di WMAP suggeriscono σ8 ≃ 0.9.

3.2.2 Indice spettrale n

Lo spettro di potenza quantifica l’importanza, nella formazione delle

strutture cosmiche, delle perturbazioni aventi numero d’onda k.

Tipicamente, si assume uno spettro primordiale proporzionale a kn, essendo

n l’indice spettrale da determinarsi sperimentalmente; uno spettro con un

indice n = 1 viene detto anche di Zel’dovich. I dati osservativi non escludono

tale valore, in quanto, WMAP trova n = 0.99±0.04. Va detto pero che esiste

una degenerazione con lo spessore ottico τ nel fit dello spettro di potenza

angolare.

In aggiunta, il confronto con dati relativi a scale agolari piu piccole derivanti

da altri esperimenti sul CMB (CBI e ACBAR)5 e da altre osservazioni come

la survey di galassie 2dFGRS e la Lyα forest suggerisce un indice spettrale

variabile con il numero d’onda k (vedi figura 3.10).

Precisamente, il best-fit e dato da

n(k) = n(k0) +1

2

dn

d ln kln

(

k

k0

)

, (3.9)

con k0 = 0.05Mpc−1, n(k0) = 0.93 ± 0.03,

dn

d ln k= −0.031+0.016

−0.018.

Con questo indice, ci aspettiamo una minore potenza su piccole scale (grandi

k) e, quindi, un ritardo nella crescita delle perturbazioni.

5Ci riferiremo all’insieme di dati forniti da WMAP, CBI e ACBAR con il termine WMAPext.

3.3 Spessore ottico τ 87

Figura 3.10: spettro di potenza come dedotto dai dati di WMAP combinati con quelli

della survey 2dFGRS e dalle Lyα: il best-fit si ottiene con un indice spettrale dipendente

da k : il cosiddetto ‘running spectral index’ (RSI). La regione ombreggiata si riferisce ad

1σ di confidenza, la linea a punti delimita la regione a 2σ di confidenza, la linea a tratti

e il fit per un modello ΛCDM con indice spettrale costante (power-law spectrum); [39].

Figura 3.11: massima verosimiglianza relativa per lo spessore ottico; dati di WMAP,

[39].

3.3 Spessore ottico τ

Lo spessore ottico viene misurato direttamente dallo spettro di temperatura

- polarizzazione (TE power spectrum). Come accennato, i soli dati di

WMAP mostrano una degenerazione per l’indice spettrale e lo spessore

ottico, inoltre, la funzione di massima verosimiglianza ha un picco quasi

piatto in corrispondenza dei valori di τ compresi tra 0.11 e 0.19. Tuttavia,


Figura 3.12: andamento dello spettro di potenza TE ottenuto dai WMAP. I dati si

accordano con un modello ΛCDM in cui le fluttuazioni primordiali sono adiabatiche. Il

punto fuori dalla predizione, ad l = 0, viene interpretato come dovuto ad una possibile

reionizzazione globale dell’universo (a 3600); [39].

anche in questo caso, combinando i dati di WMAPext, 2dFGRS e Lyα

forest ci sono miglioramenti e la funzione di massima verosimiglianza si

stringe intorno a τ = 0.17, come mostrato in figura 3.11; in virtu della

formula (2.19), il redshift corrispondente e z ≃ 15. Notiamo pure che, nel

TE power spectrum, potrebbero esserci contributi dovuti ad una primordiale

reionizzazione, consistentemente con il valore dello spessore ottico (vedi la

figura 3.12).

3.4 Parametro di stato per l’energia oscura wDE 89

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8ΩM

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

w

68%95%99%

99%

ΩM=0.27+/-0.04

SNe Ia

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8ΩM

68%95%

95%99%

99%

WM

APext

2dFGRS

Figura 3.13: degenerazione tra Ω0M − w come appare dai dati delle SN.

A sinistra vi sono due pannelli: quello piu esterno mostra i contorni ad 1σ, 2σ e 3σ di

confidenza per i soli valori delle SN; quello piu interno mostra, per confronto, anche i

limiti derivanti dalla survey 2dF e da WMAPext. I dati sono tratti da Riess et al., 2004,

[35].

A destra, sono mostrati i contorni di probabilita (linea continua), dedotti dai dati delle

SN, ad un livello di confidenza di 1σ, 2σ e 3σ, assumendo Ω0 = 1; sono dati anche i

contorni ad 1σ, 2σ e 3σ, quando viene adottato ΩMh = 0.20 ± 0.03 (linea a punti): dati

della survey 2dF (Percival et al., 2001). Il diagramma e tratto da Tonry et al., 2003, [44].

3.4 Parametro di stato per l’energia oscura wDE

Riferendoci sempre ai dati di WMAP, si puo constatare che un buon fit

e raggiunto anche se, invece di adottare un modello standard ΛCDM,

si sostituisce la costante cosmologica con un potenziale di energia oscura

(quintessenza), il quale contribuisce al parametro ΩΛ con una densita di

energia variabile nel tempo. Nei modelli di quintessenza (cui sara dedicato

interamente il prossimo capitolo), le proprieta dell’energia oscura vengono

quantificate dal parametro dell’equazione di stato wDE, che, in unita

naturali, ovvero posto c = 1, vale

wDE =PDE

ρDE

,

in cui PDE e ρDE sono rispettivamente pressione e densita di energia del

campo di quintessenza.

Per semplicita, rinominiamo w il parametro wDE e, come di consueto,


Figura 3.14: degenerazioni del parametro di stato per l’energia oscura.

Pannelli in alto: degenerazione tra Ω0M −w. Il problema viene risolto combinando i dati

di WMAPext con quelli della 2dFGRS e con misure da SN.

Pannelli in basso: degenerazione tra h − w. Il problema viene risolto combinando i dati

di WMAPext con quelli della survey 2dFGRS e con i dati dell’ HST Key Project.

Il livello di confidenza e del 68% per le regioni chiare e del 95% per le regioni scure; [39].

indichiamo con h la costante di Hubble espressa in unita di centinaia di

kms−1Mpc−1, calcolata al tempo attuale, ovvero a z = 0.

Tuttavia, nell’analisi, il parametro di stato per l’energia oscura e soggetto

a due degenerazioni; esse sono:

la degenerazione tra il parametro di densita della materia e l’equazione

di stato (Ω0M − w);

la degenerazione tra la costante di Hubble e, di nuovo, l’equazione di

stato (h− w).

Le degenerazioni vengono rimosse attraverso l’aiuto di dati esterni alla

missione WMAP: la prima usando i dati di WMAPext, 2dFGRS e delle

supernovae (vedi la figura 3.13), la seconda con quelli di WMAPext,

2dFGRS e dell’HST Key Project (vedi figure 3.14 e 3.15). I vincoli cui

3.5 Sommario 91

Figura 3.15: degenerazione tra Ω0M −w e h−w: come nella figura precedente, ma con

il vincolo che sia w > −1. La confidenza e del 68% per le regioni chiare e del 95% per le

regioni scure; [39].

si perviene sono tali da limitare w, assunto costante, a valori minori di

−(0.7 ÷ 0.8), a seconda del livello di confidenza.

3.5 Sommario

Per terminare il nostro excursus sulle determinazioni dei parametri

cosmologici, presentiamo un quadro complessivo dei valori piu attendibili

tratti da Spergel et al., [39].

La tabella 3.1 riporta i parametri di fit ottenuti con i soli dati di WMAP

per un modello standard ΛCDM, assumendo che lo spettro segua una

semplice legge di potenza: ΛCDM − PL.

La tabella 3.2 mostra i valori che si ottengono interpolando i dati con

un modello standard ΛCDM avente un indice spettrale variabile con la

scala delle fluttuazioni, secondo il fit (3.9) - RSI, running spectral index:


Tabella 3.1: Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − PL

Parametri di fit WMAP

Ampiezza delle fluttuazioni A 0.9 ± 0.1Indice spettrale n 0.99 ± 0.04Costante di Hubble h 0.72 ± 0.05Densita dei barioni Ω0bh

2 0.024 ± 0.001Densita della materia Ω0Mh2 0.14 ± 0.02Spessore ottico τ 0.166 +

−0.0760.071

Tabella 3.2: Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − RSI

Parametri di fit WMAP

Ampiezza delle fluttuazioni A 0.92 ± 0.12Indice spettrale n 0.93 ± 0.07Costante di Hubble h 0.70 ± 0.05Densita dei barioni Ω0bh

2 0.023 ± 0.002Densita della materia Ω0Mh2 0.14 ± 0.02Spessore ottico τ 0.20 ± 0.07

ΛCDM −RSI.

La tabella 3.3, invece, riporta i parametri ottenuti combinando i dati di

WMAP e altri esperimenti sul CMB (WMAPext) con i dati delle survey

2dFGRS e Lyα relativi sempre ad un modello standard ΛCDM con spettro

avente indice dipendente dalla scala delle perturbazioni: ΛCDM −RSI.

Il valore complessivo di Ω0 si ottiene dai dati combinati di

WMAPext+2dFGRS + SNIa e risulta Ω0 = 1.02 ± 0.02, in buon accordo

con l’ipotesi di universo piatto.

3.5 Sommario 93

Tabella 3.3: Parametri di best-fit per il modello ΛCDM − RSI

WMAPext+2dFGRS+Lyα

Parametri fondamentali

Ampiezza delle fluttuazioni A 0.83 +−

0.090.08

Indice spettrale n, a k = 0.05Mpc−1 0.93 ± 0.03dn/d ln k −0.031 +

−0.0160.018

Costante di Hubble h 0.71 +−

0.040.03

Densita dei barioni Ω0bh2 0.0224 ± 0.0009

Densita della materia Ω0Mh2 0.135 +−

0.0080.009

Spessore ottico τ 0.17 ± 0.06

Parametri derivati

σ8 0.84 ± 0.04Ω0b 0.044 ± 0.004Ω0M 0.27 ± 0.04Eta dell’universo t0 13.7 ± 0.2 GyrRedshift di reionizzazione 17 ± 4Redshift di disaccoppiamento zdec 1089 ± 1Eta dell’universo a zdec 379 +

−87 kyr

Spessore ∆zdec 195 ± 2Spessore ∆tdec 118 +

−32 kyr

Redshift di equivalenza zeq 3233 +−

194210

Orizzonte sonoro a z = zdec, rs 147 ± 2 MpcAttuale densita numerica dei barioni 2.5 ± 0.1 · 10−7 cm−3

Rapporto barioni/fotoni η 6.1 +−

0.30.2 · 10−10


Capitolo 4

Modelli di quintessenza

Qual e ’l geometra che tutto s’affigeper misurar lo cerchio, e non ritrova,

pensando, quel principio ond’elli indige,tal era io a quella vista nova . . .

Dante

Nei capitoli precedenti abbiamo inquadrato il modello ΛCDM e fornito

i dati osservativi che lo sostengono. In particolare, abbiamo visto che i

parametri geometrici adeguati per descrivere l’universo sembrano essere

Ω0 ≃ 1 e Ω0M ≃ 0.3. Questo porta alla possibile presenza di una costante

cosmologica Λ che contribuisce alla densita con un parametro Ω0Λ ≃ 0.7.

Inoltre, lo spettro di potenza e ben “fittato” assumendo un indice, n,

variabile in k (running spectral index) che, pero, abbassa, su piccola scala, i

valori di P (k) e ∆2(k) rispetto al caso n = 1. Inoltre, i dati suggeriscono una

possibile reionizzazione in corrispondenza di uno spessore ottico τ ≃ 0.17,

quando z ≃ 15.

Con queste premesse e inevitabile tralasciare l’insorgere di alcune questioni.

Innanzitutto, l’introduzione di una costante cosmologica comporta, come

vedremo nei prossimi paragrafi, un problema di fine tuning e uno di cosmic

coincidence; inoltre, l’assunzione di un indice spettrale variabile contrasta

con la completa reionizzazione ad alti redshift, perche la formazione delle

strutture e notevolmente ritardata (vedi Yoshida et al., 2003 [45]). Cio

e confermato dalle simulazioni numeriche, le quali mostrano mancanza di

96 Modelli di quintessenza

oggetti in grado di reionizzare globalmente il mezzo intergalattico, a z ≃ 15.

Una possibile soluzione a tali problemi potrebbe essere rappresentata dai

modelli di “quintessenza”: ossia, modelli in cui l’energia mancante per

raggiungere la densita critica e, quindi, un universo piatto, potrebbe

consistere di “energia oscura” sotto forma di un campo scalare lentamente

variabile, spazialmente disomogeneo solo su grande scala1 e con pressione

negativa che fa le veci di una sorta di costante cosmologica evolvente nel

tempo.

Per meglio individuare il concetto, partiamo allora da alcune considerazioni

proprio su Λ.

4.1 I problemi connessi con la costante cosmologica

Gia e stato detto che, in presenza di costante cosmologica, le equazioni di

Einstein diventano

Rµν −1


8πG

c4Tµν (4.1)

e le equazioni di Friedmann si scrivono

a = −4

3πG

(

ρ+3P

c2

)

a+Λ

3c2a , (4.2)

a2 +Kc2 =8

3πGρa2 +

Λ

3c2a2 . (4.3)

E pure evidente che valori adeguati di Λ possono, in determinate fasi

di vita dell’universo, provocare un’accelerazione dell’espansione spaziale

(a > 0) con conseguente diminuzione e “restringimento” dell’orizzonte della

particella RH . Per rendersene conto, basta notare che se a(t) ∼ tp, con

p ∈ R e se l’universo si espande, allora p > 0; poiche

q = − aaa2

= −p− 1

ped RH(t) = a(t)

∫ t

0

c dt′

a(t′),

1Ovvero su scale superiori a quelle dell’orizzonte.

4.1 I problemi connessi con la costante cosmologica 97

• se p < 1 (p = 1), q > 0 (q = 0), si ha espansione decelerata (a velocita

costante) e

limt→+∞

RH(t) = +∞ ,

cioe un osservatore, dopo un tempo infinito, entrera in connessione

causale con tutto l’universo2;

• se p > 1, q < 0, si ha espansione accelerata e

limt→+∞

RH(t) < +∞ ,

l’orizzonte e finito e decrescente nel tempo con una legge di potenza

RH(t)t→+∞∼ t−(p−1).

Nei modelli con costante cosmologica, esso si potra contrarre sempre di piu

e zone prima visibili scompariranno.

Poiche i dati danno Ω0M ≃ 0.3 e Ω0Λ ≃ 0.7, sara pure

q0 = Ω0M/2 − Ω0Λ < 0: l’espansione e, all’epoca presente, accelerata!

Una seconda peculiarita della costante cosmologica riguarda la sua

equazione di stato:

PΛ = −ρΛc2 . (4.4)

Formalmente, e la stessa equazione che Zel’dovich mostro valere per

fluttuazioni quantistiche del vuoto. Un’idea intuitiva ed efficace e fornita da

Guth (1991): se consideriamo una scatola vuota, chiusa adiabaticamente , al

suo interno vale dUvac +PvacdV = 0, dove dUvac e il differenziale dell’energia

interna del vuoto, Pvac la pressione del vuoto e dV l’elemento di volume.

Introdotta la densita di energia ρvac, definita come dUvac = ρvacc2dV , si trova

subito Pvac = −ρvacc2, che e l’equazione del vuoto, formalmente simile alla

(4.4). Quindi, se pensiamo al termine Λgµν come un termine di sorgente

nelle equazioni di Einstein (4.1), il tensore energia-impulso associato,

TΛµν =

Λc4

8πGgµν ,

2E come dire, in modo molto suggestivo, che prima o poi ‘vedra’ tutto l’universo.


puo essere assimilato al “tensore energia-impulso del vuoto” e

ρΛ =Λc2

8πG= ρvac !

Tuttavia, le difficolta piu significative sono quelle di fine tuning e di cosmic

coincidence [33].

La prima sorge nello spiegare le quantita fisiche collegate a Λ. Infatti, se

oggi misuriamo un

Ω0Λ =ρ0Λ

ρ0cr≃ 0.7,

allora, necessariamente, ρΛ ≃ 10−123ρP lanck, essendo ρΛ = ρ0Λ ∼ 10−48GeV 4

e

ρP lanck =c5

G2~

l’ordine di grandezza delle scale energetiche tipiche dell’universo

primordiale3, inoltre, |Λ| . 10−55cm−2 e la massa associata

mΛ .

[

|ρΛ|(

~

c

)3]1/4

∼ 10−32 eV.

Queste scale sono estremamente piccole rispetto ai valori tipici nell’era di

Planck e a quelli della usuale fisica delle particelle: basti ricordare che i

valori inferiori per la massa di un fotone sono ∼ 10−27 eV e le dimensioni

di un elettrone - l’oggetto piu piccolo oggi noto e considerato puntiforme

- sono ∼ 10−17 cm. Eppure, esse giocano un ruolo determinante sotto il

profilo cosmologico, visto che oggi Λ domina i parametri di densita Ω0 e di

decelerazione q0. Perche avvenga tutto cio e necessario un enorme grado di

fine tuning (buona sintonizzazione) nella scelta delle condizioni iniziali!

L’altra questione e piu sottile: si tratta di capire come mai la densita di

energia di materia e della componente oscura siano, proprio oggi, cosı simili,

pur avendo avuto evoluzioni ed origini, a priori, completamente diverse. E

la nostra epoca privilegiata? E come mai le condizioni iniziali erano tali che

Ω0M ed Ω0Λ avrebbero raggiunto valori comparabili proprio oggi? Anche in

3ρPlanck ≃ 5 · 1093 g/cm3, ρ0cr ≃ 1.9 · 10−29h2 g/cm3≃ 2.775 · 1011h2M⊙/Mpc3.

4.2 Quintessenza 99

tal caso serve un notevole grado di fine tuning per giustificare questa vistosa

“coincidenza cosmica”. Tra l’altro i problemi di fine tuning peggiorano se

consideriamo tutte le componenti di Ω0: Ω0DM , Ω0b, Ω0RAD; esse, entro

qualche ordine di grandezza, sono tutte confrontabili con Ω0Λ!

Proprio questi sono i motivi principali per cui si e cominciato a studiare i

modelli cosmologici in cui una forma di energia oscura evolve nel tempo,

rimanendo trascurabile nelle fasi primordiali, e dominante nelle fasi piu

recenti e vicine all’epoca presente: i modelli di quintessenza.

4.2 Quintessenza

Per studiare i modelli di quintesenza usufruiremo di un approccio

lagrangiano (si veda l’appendice, in proposito), perche esso, a partire

da un principio di minima azione (C.5), rende logicamente semplice

derivare le equazioni del moto, il tensore energia-impulso e l’equazione di

stato, una volta assegnata una densita di lagrangiana L (si veda C.3).

Come mostrato in appendice, le equazioni che regolano un sistema fisico

descritto da opportune coordinate lagrangiane q sono note come equazioni

di Eulero-Lagrange; esse sono (C.6):

∂µ∂L

∂q,µ− ∂L

∂q= 0 , (4.5)

assunto che la metrica sia minkowskiana. Se l’ipotesi viene meno, l’elemento

di volume quadridimensionale dΩ = dx0 dx1 dx2 dx3 ≡ d4x non si conserva e

la quantita invariante che allora va usata e√−g dΩ, essendo

√−g la radice

del determinante della metrica dello spazio curvo in questione; si ottiene

(C.8)

∇µ∂L

∂(∇µq)− ∂L

∂q= 0 . (4.6)

Il tensore energia-impulso Tµν e definito come (vedi C.14)

√−g2

Tµν ≡ ∂(√−gL )

∂gµν− ∂λ

∂(√−gL )

∂gµν,λ

; (4.7)


e soddisfa la relazione (C.15)

δS =1

2c

∫

dΩ√−g Tµν δg

µν = (4.8)

= − 1

2c

∫

dΩ√−g T µν δgµν = 0 ; (4.9)

tra l’altro, la definizione precedente e equivalente a (C.17)

Tµν =2c√−g

δS

δgµν, (4.10)

oppure, in forma contravariante, ( C.18)

T µν = − 2c√−gδS

δgµν. (4.11)

L’equazione di stato si scrive di conseguenza, leggendo la densita dalla

componente T00 e la pressione dalle componenti diagonali Tii.

Naturalmente, i discorsi fatti finora valgono per un qualsiasi sistema

fisico per cui siamo in grado di specificare le coordinate generalizzate, in

particolare i risultati restano validi anche se tra le coordinate generalizzate

ci sono dei campi scalari; in tal caso si ha una utile semplificazione, perche

tutte le derivate covarianti di un campo scalare si riducono a derivate

ordinarie: ∇µΦ = ∂µΦ, essendo Φ il campo in questione.

4.2.1 Azione per la quintessenza

Quando studiamo problemi connessi con la gravita, la lagrangiana usata e

la lagrangiana di Einstein

LG = R , (4.12)

dove R e lo scalare di Ricci; infatti, se calcoliamo le equazioni di

Eulero-Lagrange imponendo

δS = δ

∫

R√−g d4x = 0 (4.13)

otteniamo

δS =

∫

δ(gµνRµν

√−g) d4x =

=

∫

(δgµνRµν

√−g + gµνδRµν

√−g + gµνRµνδ

√−g)d4x,

(4.14)

4.2 Quintessenza 101

poiche δRµν = 0 e δg = −ggµνδgµν , allora la precedente diventa

∫

δgµν

[

Rµν −1

2gµνR

]√−g d4x = 0, (4.15)

dandoci le equazioni di Einstein nel vuoto

Rµν −1

2gµνR = 0. (4.16)

Se consideriamo anche la materia, ci sara, nell’azione complessiva, un

termine dovuto alla lagrangiana di quest’ultima LM ; quindi

S =

∫

(LG + κLM)√−g d4x =

∫

(R+ κLM)√−g d4x ≡ SG + SM (4.17)

e dalla condizione δS = 0, insieme con le (4.8) e (4.10), segue

Rµν −1

2gµνR =

8πG

c4Tµν , (4.18)

essendo, nel limite newtoniano,

κ =8πG

c4.

Al primo membro compare il tensore di Einstein. Perche si abbia il termine

di costante cosmologica Λ, l’azione da considerare e

S =

∫

(R + 2Λ)√−g d4x , (4.19)

nel vuoto, da cui, variando, si trova

∫

δgµν

[

Rµν −1

2gµνR− Λgµν

]√−g d4x = 0. (4.20)

Di conseguenza, in presenza di sorgenti sara

S =

∫

[(R + 2Λ) + κLM ]√−g d4x (4.21)

e

Rµν −1


8πG

c4Tµν . (4.22)

Tutto questo preambolo formale non e inutile, perche e dalla relazione (4.21)

che si intuisce la possibilita di sostituire il termine in Λ con la lagrangiana di


un campo scalare Φ accoppiato minimalmente con la gravita e disaccoppiato

da altri campi: la quintessenza4.

Per spiegare meglio le nostre richieste, precisiamo che vogliamo un campo

di quintessenza che abbia un parametro di stato w < −13

al presente,

in modo da poter giustificare l’attuale accelerazione dello spazio cosmico.

Inoltre, poiche il campo evolve, ci aspettiamo anche che la quintessenza sia

spazialmente disomogenea su grande scala.

L’ipotesi di accoppiamento minimale esclude dalla lagrangiana

semplicemente la presenza di tutti i termini misti del tipo RΦ2, ovvero,

formalmente, nei termini ξRΦ2 prendiamo ξ → 0. Infine, dicendo che il

campo e disaccoppiato da altri campi, intendiamo che la lagrangiana non

contiene altri termini coinvolgenti altri campi, ma contiene soltanto termini

dipendenti da Φ. Nella seguente trattazione, sara comodo usare le unita

naturali in cui ~ = c = 1.

L’azione tipica da cui si comincia puo essere scritta, in analogia con la (4.21)

e mutatis mutandis, nel seguente modo:

S =

∫[

−MP lanch

16πR +

1

2gµν∂µΦ∂νΦ − V (Φ)

]

+ LM

√−g d4x , (4.23)

dove MP lanck e la massa di Planck, V (Φ) e il potenziale di autointerazione

del campo scalare di quintessenza Φ, LM la lagrangiana delle sorgenti e dei

campi disaccoppiati da Φ, R e lo scalare di Ricci che tiene conto degli effetti

gravitazionali. Notiamo che i termini

1

2gµν∂µΦ∂νΦ − V (Φ) (4.24)

individuano la lagrangiana di un campo scalare con massa associata, m,

data da

m2 =∂2V

∂Φ2, (4.25)

ovvero, e la lagrangiana di Klein-Gordon.

A causa della struttura dell’azione (4.23), l’unica equazione del moto

4Una sorta di quinta componente dell’universo, dopo la materia oscura, la materia barionica,la radiazione ed i neutrini, non direttamente osservabile al di sotto delle scale dell’orizzonte,quindi con una lunghezza d’onda Compton piu grande di RH .


e l’equazione di stato della quintessenza risulteranno completamente

indipendenti dalla gravita e dagli altri campi: la dinamica di Φ si disaccoppia

dal resto del fluido cosmico.

4.2.2 Dinamica della quintessenza

Ormai, siamo in grado di scrivere l’equazione del moto ed il tensore energia-

impulso per il campo scalare di quintessenza, in uno spazio con metrica di

FLRW , la cui rappresentazione tensoriale e diagonale:

gµν =

1 0 0 00 −a2 0 00 0 −a2 00 0 0 −a2

, (4.26)

il determinante e dato da√−g = a3 (4.27)

e l’inverso del tensore metrico da

gµν =

1 0 0 00 −a−2 0 00 0 −a−2 00 0 0 −a−2

. (4.28)

Equazione del moto

E fornita dalle equazioni di Eulero-Lagrange (4.6)

∇µ∂L

∂(∇µq)− ∂L

∂q= 0 , (4.29)

per la lagrangiana (4.24) di un campo scalare:

L =1

2gµν∂µΦ∂νΦ − V (Φ) =

1

2gµν∇µΦ∇νΦ − V (Φ) , (4.30)

in quanto Φ e scalare. Ora,

∂L

∂Φ= −∂V

∂Φ; (4.31)

e∂L

∂(∇µΦ)= gµν∇νΦ , (4.32)


per la simmetria di gµν ;

∇µ∂L

∂(∇µΦ)= gµν∇µ∇νΦ ≡ Φ =

1√−g∂µ(√−g gµν∂νΦ) . (4.33)

Quindi, l’equazione che regola l’evoluzione del campo scalare e

Φ +∂V

∂Φ= 0 . (4.34)

Calcoliamo esplicitamente anche Φ, dalla relazione (4.33) e usando le

(4.26), (4.27) e (4.28):

Φ =1

a3∂µ

(

a3gµν∂νΦ)

=1

a3

∂0

(

a3∂0Φ)

−3∑

i=1

∂i (a∂iΦ)

=

= Φ + 3a

aΦ − ∇2Φ

a2; (4.35)

se ∇2Φ/a2 e trascurabile rispetto agli altri termini, cioe Φ varia, come

ipotizzato, su grande scala, l’operatore di D’Alambert agente su Φ da

Φ ≃ Φ + 3HΦ (4.36)

e l’equazione di Eulero-Lagrange per la quintessenza e5

Φ + 3HΦ +∂V

∂Φ= 0. (4.37)

Osserviamo che l’equazione appena scritta e pensabile come l’equazione che

regola un sistema ad un grado di liberta descritto dal campo Φ che “rotola”

sotto la forza

−∂V∂Φ

,

in presenza dell’attrito rappresentato dal termine 3HΦ e dovuto

all’espansione cosmica.

Tensore energia-impulso

Applicando la precedente definizione del tensore energia-impulso (4.10), in

unita naturali,

Tµν =2√−g

δS

δgµν=

2√−g

∂(L√−g)

∂gµν− ∂λ

∂(L√−g)

∂(∂λgµν)

, (4.38)

5Esistono anche altri modi per arrivare allo stesso risultato.


alla lagrangiana di Klein-Gordon (4.24), si trova

∂(L√−g)

∂(∂λgµν)= 0 , (4.39)

poiche non c’e dipendenza dalle derivate delle componenti del tensore

metrico;

∂(L√−g)

∂gµν=

√−g ∂L

∂gµν+ L

∂√−g∂gµν

=√−g ∂L

∂gµν+

L

2√−g ggµν, (4.40)

avendo usato la relazione δg = −ggµνδgµν . Esplicitando la forma della

lagrangiana, si ha

∂(L√−g)

∂gµν=

√−g2

∂µΦ∂νΦ +1

2√−g

[

1

2gρσ∂ρΦ∂σΦ − V (Φ)

]

ggµν , (4.41)

percio

Tµν = ∂µΦ∂νΦ −[

1

2gρσ∂ρΦ∂σΦ − V (Φ)

]

gµν . (4.42)

In generale, in uno spaziotempo curvo n−dimensionale, per un campo

scalare Φ, vale (vedi [5]),

Tµν = (1 − 2ξ)φ;µφ;ν +

(

2ξ − 1

2

)

gµνgρσφ;ρφ;σ − 2ξφ;µνφ+

+2

nξgµνφφ− ξ

[

Rµν −1

2Rgµν +

2(n− 1)

nξRgµν

]

φ2 +

+2

[

1

4−(

1 − 1

n

)

ξ

]

m2gµνφ2 , (4.43)

dove ξ e la costante d’accoppiamento con la gravita e

V (Φ) =1

2m2Φ2.

Equazione di stato

L’espressione (4.42) ci permette di scrivere la densita di energia della

quintessenza, nelle nostre unita, come:

ρΦ(x, t) = T 00 = T 00 = T00 =

1

2Φ2 +

(∇Φ)2

2a2+ V (Φ) ≃ 1

2Φ2 + V (Φ) (4.44)

e la pressione si puo calcolare secondo la relazione

P (x, t) = −1

3

3∑

i=1

T ii =

1

2Φ2 − (∇Φ)2

6a2− V (Φ) ≃ 1

2Φ2 − V (Φ) . (4.45)


In entrambi i casi, abbiamo supposto il termine di gradiente ininfluente.

Il parametro di stato allora diventa:

wΦ =PΦ

ρΦ

=12Φ2 − V (Φ)

12Φ2 + V (Φ)

. (4.46)

E interessante infine notare che l’equazione di stato dipende essenzialmente

dal potenziale del campo.

Equazioni di Friedmann

Una volta noto il tensore energia-impulso, lo si puo introdurre nelle

equazioni di campo di Einstein e vedere come si modificano le equazioni

di Friedmann; ovviamente, ci aspettiamo che alle densita e pressione del

fluido cosmico si aggiungano quelle del campo di quintessenza. Difatti, esse

risultano essere

a = −4

3πG(ρM + ρRAD + 3PRAD + ρΦ + 3PΦ)a (4.47)

= −4

3πG[

ρM + ρRAD + 3PRAD + 2Φ2 − 2V (Φ)]

a . (4.48)

a2 =8

3πG(ρM + ρRAD + ρΦ)a2 (4.49)

=8

3πG

[

ρM + ρRAD +1

2Φ2 + V (Φ)

]

a2 ; (4.50)

Combinando la (4.49) e la (4.47), si ottiene anche

H = −4πG

(

ρM +4

3ρRAD + Φ2

)

, (4.51)

avendo considerato PM ≃ 0, PRAD = ρRAD/3 e K = 0 (universi piatti).

Commento qualitativo

Da quanto detto, emerge chiaramente che la quintessenza e capace di

“generare” un termine di costante cosmologica se Φ2 ≪ V (Φ); in tal caso,

wΦ ≃ −1 e PΦ ≃ −ρΦ, proprio come accade per Λ. Inoltre, nelle fasi in cui

V (Φ) domina sul termine cinetico e sulle altre componenti dell’universo, la

(4.50) porge

a2 ≃ 8

3πGV (Φ)a2 (4.52)

4.3 Proprieta della quintessenza 107

con Φ lentamente variabile: la condizione Φ2 ≪ V (Φ) e detta di “lento

rotolamento” di Φ lungo il potenziale autointeragente V (Φ) e, anche qualora

il campo risulti intrappolato in un minimo di V (Φ), vale la condizione (4.52),

dalla quale si ha

a ∝ exp

√

8

3πGV t

: (4.53)

in entrambi i casi, l’espansione e esponenziale, ovvero accelerata.

Un’ultima nota tecnica: le equazioni da risolvere, una volta scelto il

potenziale, sono l’equazione di Klein-Gordon (4.37) che fornisce l’evoluzione

del campo Φ e l’equazione di Friedmann (4.50) che ci dice come evolve

a (ossia H); gli andamenti di ρM e ρRAD sono noti dalla condizione di

adiabaticita. Abbiamo pertanto un sistema di due equazioni differenziali

((4.37) e (4.50)) in due incognite (Φ ed a) la cui soluzione e, di norma,

cercata numericamente.

4.3 Proprieta della quintessenza

I modelli con quintessenza hanno molte caratteristiche, per esempio:

• poiche il campo scalare Φ non e uniforme, se Φ(x, t) = Φ0(x)+δΦ(x, t),

l’evoluzione delle perturbazioni, nello spazio di Fourier, segue la

relazione (Steinhardt & Caldwell, 1998):

δΦ′′k + 2aHδΦk +

(

k2 + a2∂2V

∂Φ2

)

δΦk = −1

2h′kΦ

′0 , (4.54)

dove h e la traccia della metrica di perturbazione di gauge sincrona e

l’apice indica la derivazione rispetto al tempo conforme;

• i campi scalari possono riprodurre ogni forma per w; in particolare, si

puo sempre ricostruire il potenziale che riproduce l’equazione di stato

del fluido cosmico;

• i modelli di quintessenza non producono variazioni drastiche sugli

osservabili;


• esistono modelli la cui evoluzione e quasi indipendente dalle condizioni

iniziali (proprieta di tracking).

Tra tutte, cosmologicamente, la piu intrigante e l’ultima, perche, come

vedremo a posteriori, permettera di attenuare fortemente il problema della

coincidenza cosmica.

4.3.1 Quintessenza con proprieta di tracker

Si parla di proprieta di tracking, o soluzione tracker, per quei modelli in cui

l’evoluzione finale del campo scalare Φ non dipende dalle condizioni iniziali

per un ampio intervallo di valori (fino a ∼ 100 ordini di grandezza in ρΦ).

Si puo combinare l’equazione di Klein-Gordon con il parametro di stato per

ottenere [43]

±V′

V= 3

√

8πG

3ΩΦ

√1 + wΦ

[

1 +1

6

d lnx

d ln a

]

, (4.55)

avendo definito

x ≡ 1 + wΦ

1 − wΦ

=Φ2

2V

e prendendo il segno positivo se V ′ > 0, quello negativo se V ′ < 0;

imponiamo che la soluzione abbia wΦ ≈ costante con wB < wΦ < −1

(tracker solution); qui wB e riferito al “background”. Con tale ipotesi,

Φ2 ≃ ΩΦH2 e la relazione (4.55) fornisce la condizione di tracking:

V ′

V≈ 1√

ΩΦ

≈ H

Φ. (4.56)

Per determinare se esistono o meno soluzioni di tracking e importante

definire il parametro

Γ ≡ V ′′V

V ′2 = 1+wB − wΦ

2(1 + wΦ)− 1 + wB − 2wΦ

2(1 + wΦ)

x

6 + x− 2

1 + wΦ

x

(6 + x)2(4.57)

con

x =d lnx

d ln ae x =

d2 ln x

(d ln a)2;

l’equazione (4.57) e detta equazione di tracking e ci permette di enunciare

il seguente teorema fondamentale:


1) per wΦ < wB si ha tracking per ogni potenziale per cui Γ > 1 circa

costante - ovvero,d(Γ − 1)

H dt≪ |Γ − 1|

su tutto l’intervallo dei possibili valori iniziali;

2) per wB < wΦ < (1 + wB)/2 si ha tracking se

1 − 1 − wB

6 + 2wB

< Γ < 1

e Γ e circa costante;

3) non si ha tracking se

Γ < 1 − 1 − wB

6 + 2wB.

L’utilita sta nel fatto che non serve risolvere l’equazione del moto per Φ, ma

basta calcolare Γ, a partire da V (Φ), per capire se c’e una tracker solution. Il

caso piu affine alla costante cosmologica e naturalmente il primo ed esistono

diversi potenziali che lo soddisfano: ad esempio, potenziali che vanno come

leggi inverse di potenza V (Φ) ∝ Φ−α (Ratra & Peebles, 1988), giustificati

nelle teorie delle particelle elementari. Per quanto concerne Γ, affinche nella

(4.57) sia costante, i termini contenenti derivate devono essere trascurabili

e, quindi,

Γ ≃ 1 +wB − wΦ

2(1 + wΦ),

che fornisce come equazione di stato

wΦ ≃ wB − 2(Γ − 1)

1 + 2(Γ − 1).

Se Γ > 1 allora wΦ < wB, per cui, in un universo dominato da radiazione,

wΦ < 1/3, mentre in un universo dominato da materia wΦ < 0; poi, la

condizioneV ′

V≈ 1√

ΩΦ

assicura che, rotolando il campo scalare giu lungo il potenziale, entrambi i

membri decrescono: la tracker solution produce un incremento di ΩΦ, fino


100

102

104

106

108

1010

1012

z+1

10-50

10-40

10-30

10-20

10-10

ρ (

GeV

4)

100

102

104

106

108

1010

1012

z+1

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

Equation-o

f-sta

te (

wQ

)

KE dominates

Q frozen

Q joins tracker sol.

Figura 4.1: andamento per la quintessenza.

Sulla sinistra, il grafico mostra la densita di energia del campo di quintessenza al variare

del redshift. Come nella referenza [43], per convenienza di calcolo, lo z iniziale e

stato posto pari a 1012 (piuttosto che all’epoca dell’inflazione). La barra sulla sinistra

rappresenta l’intervallo di valori iniziali ammessi per ρ0Φ: estrapolando fino all’inflazione,

si arriva a circa 100 ordini di grandezza. La parte bianca individua degli “undershoot”

(valori iniziali di ρ0Φ inferiori al valore asintotico) e quella grigia degli “overshoot”

(valori iniziali di ρ0Φ superiori al valore asintotico). Il cerchio nero rappresenta la sola

condizione iniziale accettabile se l’energia mancante e costituita da energia di vuoto

(costante cosmologica). Come esempio, la curva continua rappresenta un “overshoot: la

densita decresce rapidamente, subisce una fase di congelamento e alla fine si unisce alla

tracker solution.

A destra, c’e l’evoluzione del corrispondente parametro di stato, indicato con wQ: esso

cresce immediatamente verso +1 e la quintessenza diventa dominata dall’ energia cinetica

- vedi equazione (4.46); poi, il campo si congela e wQ precipita verso −1. Infine, quando,

di nuovo, c’e l’unione alla tracker solution, wQ cresce e si stabilizza sul valore asintotico

di tracker.


100

102

104

106

108

1010

1012

z+1

10-50

10-40

10-30

10-20

10-10

ρ (G

eV

4)

V ~ exp(1/Q)V ~ 1/Q6

V ~ 1/Q

0.20.40.60.8Ω m

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

wQ

V ~ exp(1/Q)

V ~ 1/Q6

V ~ 1/Q

Figura 4.2: andamenti per la quintessenza.

Sulla sinistra, in analogia alla figura precedente, il grafico mostra la densita di energia

del campo di quintessenza per i tre tipi di potenziale indicati.

A destra, sono mostrate le corrispondenti relazioni wQ−Ωm, avendo assunto un universo

piatto, con Ωm = 1 − ΩQ, dove wQ rappresenta il presente valore di wQ.

a renderlo dominante, durante la fase di convergenza.

Alcuni esempi, tratti da [43], sono dati in figura 4.1, in figura 4.2 ed in

figura 4.3.

4.3.2 Potenziali Ratra & Peebles e SUGRA

Casi molto particolari ed interessanti sono quelli in cui la densita di energia

del campo scalare di quintessenza evolve secondo una legge di potenza in a,

ossia in (1 + z)−1. Ci riferiamo alle cosiddette scaling solution (soluzioni di

scala), per prime notate da Ratra & Peebles (1988).

Al solito, l’idea e supporre un campo scalare soggetto ad un potenziale

V (Φ), in un universo che, per semplicita, supporremo piatto ed imporre

ρΦ ∼ a−n, per un opportuno n. Troveremo, cosı, l’andamento di Φ(a) e la

forma del potenziale che lo determina.

Dalla condizione di adiabaticita (vedi capitolo I), per il fluido cosmico di

fondo, possiamo scrivere (in unita c = 1)

d(ρa3) = −Pda3 (4.58)


100

102

104

106

108

1010

1012

z+1

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

Eq

ua

tio

n-o

f-sta

te (

wQ)

101

103

105

107

109

1011

z+1

0

2

4

6

8

10

P/P

0

Ω Q ~ t P

V ~ exp(1/Q)

V ~ 1/Qα

Figura 4.3: equazione di stato per la quintessenza.

A sinistra, si nota la convergenza, per diverse condizioni iniziali, alla tracker solution. Il

parametro wQ decade verso la tracker solution esponenzialmente, con piccole oscillazioni.

Entrambe le curve sono relative al potenziale V (Q) = M4/Q6: quella continua

rappresenta il caso di overshoot della figura 4.1, quella sottile e trattegiata con wQ ≈ 0 e

la tracker solution della curva a tratti e punti che, invece, e relativa ad un caso di debole

undershooting.

A destra, mostriamo un grafico di P/P0 versus t, dove ΩQ ∝ tP e P0 e il valore iniziale di

P . Il grafico confronta un potenziale (V ∼ 1/Qα), per cui P e costante, con un generico

potenziale (es., V ∼ exp(1/Q)) in cui P cresce nel tempo.


e percio

dρ+ 3(ρ+ P )da

a= 0 (4.59)

con ρ e P rispettivamente densita di energia e pressione del background.

Differenziando rispetto al tempo la condizione (4.58), si arriva all’equazione

di continuita

ρ+ 3a

a(ρ+ P ) = 0, (4.60)

ovveroρ

ρ+ 3

a

a(1 + w) = 0, (4.61)

essendo w il parametro di stato relativo al ‘background’. La soluzione della

(4.58) o, equivalentemente, della (4.61) sara

ρ = ρ0x−m,

avendo definito

x ≡ a

a0

, m ≡ 3(1 + w)

ed indicato con ρ0 la condizione iniziale (non necessariamente fissata al

tempo presente). A questo punto, imponiamo che anche per il campo scalare

sia ρΦ ∝ a−n, cioe,

ρΦ = ρ0Φx−n

e che Φ, con la sua pressione, PΦ, soddisfi le precedenti relazioni (4.58),

(4.60) e (4.61). Derivando rispetto al tempo ρΦ e sostituendo in queste

ultime, otteniamo, per il parametro di stato della quintessenza, wΦ,

l’espressione

wΦ =n

3− 1 , (4.62)

che porta all’equazione di stato

PΦ =(n

3− 1)

ρΦ. (4.63)

Dalle formule (4.44) e (4.45), si deducono le condizioni cui deve soddisfare


la scaling solution:

Φ2 = ρΦ + PΦ =n

3ρΦ =

n

3ρ0Φx

−n (4.64)

V (Φ) =ρΦ − PΦ

2=(

1 − n

6

)

ρΦ =(

1 − n

6

)

ρ0Φx−n. (4.65)

L’equazione di Friedmann per universo piatto (4.49), con l’ausilio della

(4.64) nell’esplicitare ρΦ in funzione di Φ (ρΦ = 3Φ2/n), puo essere posta

nella seguente formadΦ

dx=

A

x√

1 +B2xn−m, (4.66)

con

A ≡√

n

8πG

ρ0Φ

ρ0 + ρ0Φ=

√

n

8πGΩ0Φ , B ≡

√

ρ0

ρ0Φ,

avendo assunto ρ come densita di energia del fluido di fondo, avendo

considerato ρcr = ρ0cr = ρ0 + ρ0Φ e avendo definito

Ω0Φ ≡ ρ0Φ

ρ0cr

=ρ0Φ

ρ0 + ρ0Φ

.

Se m = n, la densita del background e del campo scalare scalano allo stesso

modo e la (4.66) diventa

dΦ

dx=

A

x√

1 +B2:

essa puo essere integrata in modo elementare per dedurre l’evoluzione del

campo in funzione del parametro di espansione riscalato, x, tramite la

relazione

Φ − Φ0 =A√

1 +B2ln x , (4.67)

dove Φ0 ingloba la condizione iniziale. Il potenziale corrispondente e noto

esplicitando x e sostituendo l’espressione trovata nella formula (4.65); si ha

V (Φ) =(

1 − n

6

)

ρ0Φeλ(Φ−Φ0) , (4.68)

essendo

λ =n√

1 +B2

A=

√n8πG

Ω0Φ

.

E palese che il campo in grado di produrre soluzioni di scala evolve

logaritmicamente con l’espansione cosmica ed il potenziale capace di


generarle e esponenziale in Φ.

Tuttavia, il caso m = n, in cui le densita di energia del fluido cosmico

e della quintessenza hanno lo stesso andamento, non e plausibile, perche

non riesce a conciliare la formazione delle strutture, nel passato (quando ρΦ

sarebbe dovuto essere trascurabile rispetto a ρ), con l’attuale accelerazione

(per avere la quale, ρΦ dovrebbe dominare su ρ). Oltretutto, se fosse ρΦ ∼ ρ,

non si potrebbe mai avere inversione di regime e transizione da una passata

fase di espansione decelerata ad una attuale fase di espansione accelerata,

come, invece, suggeriscono i dati sperimentali (si veda il capitolo III).

L’unica soluzione al problema e ipotizzare m 6= n. In tal caso, l’integrale

dell’equazione differenziale (4.66)

Φ − Φ0

A=

∫

dx

x√

1 +B2xn−m≡ I

si puo trovare, un po’ laboriosamente, sostituendo, prima,

y2 = B2xn−m, con y > 0, per avere

I =2

n−m

∫

dy

y√

1 + y2;

poi, z = y−1 e ricondursi a

I =2

m− n

∫

dz√1 + z2

;

infine, l’integrale si risolve per via elementare ponendo z = cosht e

ricavando

I =2

m− nt+ costante ;

la costante viene fissata dalla condizione iniziale.

Esplicitando la dipendenza da x di t = t(z(y(x))), si giunge alla soluzione

dell’equazione (4.66); essa e

Φ − Φ0 =2A

m− nln

[

B−1x(m−n)/2 +

√

1 + (B−1x(m−n)/2)2

]

. (4.69)


Nel limite B ≫ 1, il campo scalare e sottodominante rispetto al fondo

(ρ0 ≫ ρ0Φ) e l’andamento asintotico, al primo ordine in B−1x(m−n)/2, della

relazione precedente e

Φ − Φ0B≫1∼

2A

m− nB−1x(m−n)/2 , (4.70)

allora,

xB≫1∼

[

m− n

2AB (Φ − Φ0)

]2/(m−n)

(4.71)

e, dalla (4.65),

V (Φ)B≫1∼

(

1 − n

6

)

ρ0Φ

(

m− n

2AB

)−2n/(m−n)

(Φ − Φ0)−2n/(m−n) . (4.72)

Usualmente, i potenziali di questo tipo sono noti come potenziali di Ratra

& Peebles e si trovano altrimenti scritti come

V (Φ) =M4+α

Φα, (4.73)

dove M e un parametro libero dalle dimensioni di un’energia elevata

alla 1/4. Essendo l’espressione (4.72) valida quando la quintessenza e

sottodominante, essa dipendera debolmente dalle condizioni iniziali ρ0Φ e

Φ0, quindi i potenziali Ratra & Peebles producono soluzioni di scaling che

sono anche tracking solution: l’evoluzione asintotica di ρΦ segue una legge

di potenza alquanto indipendente dalle condizioni iniziali.

Osserviamo, poi, che dalle (4.72) e (4.73), possiamo scrivere α = 2n/(m−n),

da cui n = αm/(α + 2) e

wΦ =n

3− 1 =

α(m− 3)/3 − 2

α + 2: (4.74)

se il background e dominato dalla radiazione, m = 4 e

wΦ =α/3 − 2

α + 2; (4.75)

se il background e dominato dalla materia , m = 3 e

wΦ = − 2

α + 2. (4.76)


In linea del tutto generale, con potenziali del tipo (4.73), l’equazione del

moto (di Klein-Gordon, 4.37) diventa

Φ +3q

tΦ − αM4+α

Φ1+α= 0 , (4.77)

con il parametro d’espansione genericamente dato da a ∝ tq, q = 2/3 per

univesi di materia e q = 1/2 per universi di radiazione. L’equazione (4.77)

e un’equazione differenziale del secondo ordine di Eulero ed ammette come

soluzioni leggi di potenza date da Φ ∝ tp; il parametro p vale p = 2/(2+α).

Ora, per definizione, la densita di energia del campo e ρΦ = Φ2/2 + V (Φ)

e, poiche

Φ2 ∝ t2(p−1) ∝ t−2α/(2+α) , (4.78)

V (Φ) ∝ t−αp ∝ t2(p−1) ∝ t−2α/(2+α) , (4.79)

anche

ρΦ ∝ t2(p−1) ∝ t−2α/(2+α). (4.80)

Visto che per il background, sia esso dominato da radiazione o materia,

l’evoluzione della densita e ρ ∝ t−2 (vedi capitolo I), si deduce che

ρΦ

ρ∝ t2p ∝ t4/(2+α); (4.81)

tale rapporto e crescente per α > −2 : in questo limite, da un certo

istante in poi, ρΦ domina su ρ e provoca l’accelerazione dell’espansione.

Quando la quintessenza e sottodominante, in accordo con le (4.75) e (4.76),

il parametro di stato risulta

wΦ =wα− 2

2 + α,

ma quando si passa nel regime di dominio del campo, l’accelerazione dello

spaziotempo fa incrementare il termine di attrito dovuto all’espansione, il


termine cinetico Φ2 decresce (il campo rallenta) diventando trascurabile

rispetto al potenziale e il parametro di stato tende a −1,

wΦ → −1;

si veda la formula (4.46).

In corrispondenza di masse e campi paragonabili con MP lanck, vanno

considerate alcune correzioni indotte dalle teorie supergravitazionali

(SUGRA). Queste suggeriscono un potenziale dalla forma

V (Φ) =M4+α

Φαexp

(

k

2Φ2

)

. (4.82)

Il primo fattore e un potenziale Ratra & Peebles che viene naturalmente

giustificato dalle teorie supersimmetriche (SUSY), mentre il secondo e la

correzione SUGRA espressa in termini del rapporto Φ/MP lanck. Alcuni

andamenti sono mostrati in figura 4.4.

Notiamo che la correzione SUGRA al potenziale Ratra & Peebles fa

crescere notevolmente l’equazione di stato mantenendola piu vicina allo zero

e favorendo la formazione delle strutture - il confronto e tra la curva a punti

e la curva a tratti brevi. Ovviamente, variando w con z, varieranno di

conseguenza anche tutte le quantita in cui esso compare, in particolare,

risultera drasticamente influenzata tutta l’espansione dello spaziotempo;

invece, le quantita connesse con le sole modalita di crescita delle strutture

(spettro di potenza, varianza, etc.) rimarranno intatte.

Le quantita M ed α dipendono dai parametri delle teorie SUSY, in

particolare, imponendo che ci sia una rottura di simmetria che fa

disaccoppiare la gravita dalle altre interazioni ad energie maggiori6 di

102GeV, si ricava un valore minimo per α : α > 11. Tale valore e compatibile

con le considerazioni fatte in riferimento alla (4.81). L’evoluzione iniziale

del campo avviene in modo analogo a quanto accade con potenziali Ratra

& Peebles, essendo Φ/MP lanck ≪ 1, ma all’aumentare del tempo cosmico,

la correzione esponenziale comincia a dominare (si pensa che Φ ≈MP lanck,

6Perche e la soglia dell’unificazione elettrodebole.


Figura 4.4: esempi dell’evoluzione in redshift del parametro di stato in vari modelli di

quintessenza. Le curve, dall’alto verso il basso, si riferiscono a:

1) potenziale SUGRA normalizzato a w = −0.83 (linea a punti),

2) potenziale SUGRA normalizzato a w = −0.85 (linea continua),

3) potenziale SUGRA normalizzato a w = −0.90 (linea a tratti lunghi),

4) potenziale Ratra & Peebles normalizzato a w = −0.83 (linea a tratti corti),

5) potenziale SUGRA normalizzato a w = −0.95 (linea a tratti e punti).

Come detto nel testo, la correzione SUGRA al potenziale Ratra & Peebles fa crescere

notevolmente l’equazione di stato mantenendola piu vicina allo zero e favorendo la

formazione delle strutture - il confronto e tra la curva relativa al caso 1) e la curva

relativa al caso 4).


all’epoca presente) spingendo piu rapidamente il parametro di stato verso

−1 e alleviando ulteriormente la dipendenza da α : cosı, anche il possibile

fine tuning α > 11 viene rimosso dal fattore SUGRA.

4.4 Alcune considerazioni

Vogliamo fare alcune brevi considerazioni sui problemi di fine tuning.

I modelli di quintessenza propongono una visione ‘evolutiva’ della costante

cosmologica, sotto forma di campo scalare: essa aiuta a rimuovere il fine

tuning connesso con il problema della coincidenza cosmica e con le scale

energetiche di Λ.

In particolare, il problema della coincidenza cosmica e risolto dalle tracking

solution perche, ad alti z, le possibili condizioni iniziali per ρ0Φ che

conducono ad un valore attuale di ΩΦ ≡ ΩΛ = 0.7 possono variare

nell’intervallo [10−37GeV 4, 1061GeV 4], coprendo ben 98 ordini di grandezza!

Anche il fine tuning sulle scale energetiche viene attenuato: infatti, dalla

(4.44) e dalle equazioni di Friedmann, si ricava V ′′ ≈ ρΦ/Φ2 ed, in regime

di tracking, V ′′ = 9(α + 1)(1 − w2Φ)H2/2α. Combinando le due, si deduce

quanto gia accennato: attualmente, Φ ≈ MP lanck. Volendo determinare il

parametro M dei potenziali Ratra & Peebles, supponiamo, come sembra

essere, ΩΦ ∼ ΩM e V (Φ ≈MP lanck) ∼ ρM , per l’epoca presente, cioe

M4+α

MαP lanck

∼ ρM ,

da cui

M ∼ (ρM MαP lanck)

1/(4+α) ;

se α > 2, il parametro M assume valori dell’ordine del GeV, che e proprio

la scala energetica tipica delle particelle elementari7.

Concludiamo menzionando solo la possibilita di considerare campi

accoppiati alla gravita: si tratta dei modelli di quintessenza estesa governati

7Almeno di quelle note.

4.4 Alcune considerazioni 121

da un’azione leggermente diversa dall’espressione (4.23), ma nel presente

lavoro non ce ne occuperemo.


Capitolo 5

Simulazioni

Omnia mortalium operamortalitate damnata sunt.

Seneca

Per studiare in dettaglio la formazione delle prime strutture cosmiche

e per cercare di capire la discrepanza, accennata all’inizio del capitolo

precedente, tra i dati osservativi e le simulazioni numeriche, e stata

avanzata la proposta di effettuare, seguire ed analizzare delle opportune

simulazioni presso il CINECA (Centro Interuniversitario del Nord-Est per il

Calcolo). A questo fine e stato presentato un progetto (P.I.: Umberto Maio)

nell’ambito della “call” CINECA/INAF. Il comitato scientifico ha valutato

positivamente la richiesta, assegnando un numero di ore complessivo pari

a 20000 sul supercalcolatore SP4. Questo ha permesso di realizzare le

simulazioni per quattro modelli diversi.

Nelle prossime pagine, descriveremo il codice usato per eseguire le

simulazioni ed i modelli scelti: il progetto, proprio perche ha l’obiettivo di

investigare sulla nascita degli oggetti piu giovani, in cosmologie con energia

124 Simulazioni

oscura (quintessenza), e stato chiamato YODA - acronimo dell’inglese

Young Objects with DArk energy.

5.1 Il codice

E stato utilizzato il codice GADGET (Galaxies with Dark matter and Gas

Interact1: si veda a proposito [41]), nella sua versione parallela, adatta

alle esecuzioni su supercalcolatori. Esso segue un algoritmo ad albero per

calcolare le forze gravitazionali e adotta la tecnica SPH per seguire gli effetti

idrodinamici (descritti nel capitolo I).

Per quanto riguarda la fisica implementata, la materia oscura e le

stelle vengono trattate come fluidi non collisionali soggetti all’equazione

non collisionale di Boltzmann o di Vlasov; tuttavia, come detto nel

capitolo I, data la difficolta di tale trattamento si segue un equivalente

approccio N-body. Il gas, invece, seguira le tradizionali leggi dei

fluidi (collsionali): l’equazione di continuita, le equazioni di Eulero, la

conservazione dell’energia e l’equazione di stato per gas perfetti. Esse

forniscono densita ρ, pressione P , velocita v ed energia interna u, per ogni

particella SPH.

5.2 I modelli cosmologici

I modelli cosmologici che abbiamo scelto di seguire sono quattro.

Il primo e il modello standard, piatto e dominato da costante cosmologica,

con uno spettro primordiale che segue una legge di potenza avente indice

n, costante e uguale ad 1. Ci riferiremo a questo modello chiamandolo

semplicemente ΛCDM.

Il secondo modello e una variante del primo: si assume una cosmologia

standard, ma un indice spettrale variabile con la scala delle fluttuazioni,

come suggerito dai dati di WMAP (vedi capitolo III); lo indicheremo

1L’acronimo si riferisce alle origini del codice, usato inizialmente per lo studio di collisionifra galassie.

5.2 I modelli cosmologici 125

Figura 5.1: evoluzione in redshift del parametro di stato in un modello di quintessenza

con potenziale SUGRA e w = −0.85 al presente.

come ΛCDM − RSI. L’espressione per n e il fit dei dati di

WMAPext+2dFGRS+Lyα, secondo la formula (3.9).

Gli altri due modelli riguardano la possibile esistenza di energia

oscura. Come visto, l’effetto principale dell’introduzione di un campo

scalare soggetto ad un potenziale di autointerazione si sente soprattutto

sull’equazione di stato, in accordo con l’espressione (4.46).

Le simulazioni che abbiamo scelto di seguire coinvolgono un potenziale

SUGRA del tipo

V (Φ) =M4+α

Φαexp

(

k

2Φ2

)

,

per cui il parametro libero α viene fissato imponendo che il parametro di

stato valga, al tempo attuale, −0.85. Tale scelta e consistente con i dati ed

i vincoli sperimentali mostrati nel capitolo III (vedi figure 3.14 e 3.15 ), e

si discosta, evidentemente, dalla scelta di un parametro di stato relativo ad

una costante cosmologica. La figura 5.1 mostra l’evoluzione del parametro di

stato risultante. Esso tende a zero ad alti redshift per crollare bruscamente

a −0.85, quando z diventa minore di circa 10.

126 Simulazioni

Anche per il modello con potenziale SUGRA e parametro pari a −0.85

al presente distinguiamo due possibili varianti: chiameremo semplicemente

SUGRA quello con indice spettrale costante n = 1 e SUGRA-RSI quello con

indice variabile in funzione del numero d’onda k. Ricapitolando i quattro

modelli considerati sono i seguenti:

ΛCDM , ΛCDM − RSI, SUGRA e SUGRA-RSI.

5.3 Caratteristiche delle simulazioni

Tutte le simulazioni sono state inizializzate con un numero totale di

particelle uguale a 2 × 3243 = 68024448: precisamente, abbiamo assunto

3243 particelle di materia oscura e altrettante particelle di gas (particelle

SPH), in un volume comovente V di 1Mpc3 = (0.7Mpc h−1)3. Si e

assunto, poi, Ω0M = 0.3, Ω0b = 0.04, Ω0 = 1, h = 0.7, σ8 = 0.9. Questo

significa che la massa totale da considerare nelle nostre simulazioni deve

essere (Ω0Mρ0cr)V ≃ 2.855 · 109M⊙ h−1. Tale massa viene ridistribuita tra

3243 particelle di materia oscura e 3243 particelle di gas (SPH) identiche,

pertanto il valore della massa delle singole particelle di materia oscura e

mDM ≃ 728M⊙ h−1 e quello delle particelle di gas mgas ≃ 112M⊙ h

−1,

avendo rispettato anche il vincolo imposto dalla frazione barionica

fb =Ω0b

Ω0M

=Ω0b

Ω0DM + Ω0b

=mgas

mDM +mgas

≃ 0.133 .

Facciamo, poi, un’osservazione sulla limitatezza nella scelta del volume:

essa e dovuta al fatto che le simulazioni sono ad alta risoluzione;

infatti, i mezzi di calcolo attualmente disponibili non permettono di avere

contemporaneamente simulazioni ad alta risoluzione e che coprano i volumi

tipici della struttura su grande scala, dell’ordine di (102Mpc h−1)3. Bisogna

scegliere tra le due caratteristiche: la nostra preferenza e stata accordata

all’alta risoluzione, perche, in tal modo, e possibile seguire meglio i processi

di formazione stellare. Come vedremo meglio nel capitolo successivo,

cio comportera uno spostamento abbastanza evidente del numero d’onda

5.3 Caratteristiche delle simulazioni 127

minimo delle perturbazioni, nell’ambito delle simulazioni, con un leggero

abbassamento delle funzioni di massa, rispetto alle prescrizioni teoriche.

Oltre tutto, per quanto concerne la rappresentativita dell’universo di

un volume di ∼ 1Mpc3, essa e abbastanza soddisfacente: difatti, ci

interessiamo a processi avvenuti ad alti redshift (z > 15), quando il principio

cosmologico e verosimilmente accettabile su scale del Mpc. Ricordiamo che

oggi si osserva omogeneita ed isotropia su scale del centinaio di Mpc e che

le perturbazioni scalano, in regime lineare, ad alti z, come a ∼ (1 + z)−1.

Naturalmente, in accordo con il capitolo I, abbiamo sfruttato la convergenza

asintotica, del tutto generale, al modello di Einstein-de Sitter2, per un

qualsiasi modello cosmologico, a z ≫ 1. Questo ci permette di dire, che

se adesso c’e omogeneita ed isotropia su centinaia di Mpc, a z ≈ 20 ci

aspetteremo che ci sia stata omogeneita ed isotropia su scale dell’ordine di

alcuni Mpc. Oltretutto, si consideri pure che quando si passa in regime non

lineare la crescita delle perturbazioni diventa piu rapida: cio ci permette

di dire che, a a ≈ 20, volumi di ∼ 1Mpc3 sono in buona approssimazione

omogenei ed isotropi.

Inoltre, sono state seguite le reazioni di non equilibrio per diverse specie

chimiche: e−, H , H+, He, He+, He++, H2, H+2 e H− e considerati gli

effetti di raffreddamento radiativo.

L’evoluzione e stata seguita, passo passo, fino ad un redshift z ≃ 15, per le

simulazioni ΛCDM , ΛCDM − RSI e SUGRA-RSI e fino a z ≃ 19, per la

simulazione SUGRA, poiche, in questa, la crescita delle perturbazioni si e

mostrata molto rapida e abbondantemente superiore rispetto alle altre.

Il tempo di calcolo sfruttato da SP4 e stato di 5000 ore, grossomodo, per

ogni simulazione: precisiamo che il numero di ore e stato un po’ inferiore per

la simulazione ΛCDM−RSI, visto che essa ha mostrato scarsa formazione

di oggetti, e per la SUGRA, bloccata a z ≃ 19, anziche a z ≃ 15, come

abbiamo appena detto.

2La convergenza verso il modello di Einstein-de Sitter e gia buona a z ≈ 7 ÷ 10.

128 Simulazioni

Figura 5.2: differenze indotte sulla varianza di massa, σ(M), da un indice spettrale

costante, n = 1, ed uno variabile in k (RSI). La normalizzazione e data da σ8 = 0.9.

5.4 Indice spettrale

Infine, proponiamo dei commenti sull’indice spettrale che e stato scelto, a

seconda dei casi, come gia specificato. Per quantificare la differenza tra un

indice spettrale costante n = 1 e un “running spectral index” (RSI) con

n(k) = n(k0) +1

2

dn

d ln kln

(

k

k0

)

,

dove k0 = 0.05Mpc−1, n(k0) = 0.93 e dn/d ln k = −0.03, mostriamo, per

entrambi i casi, nelle figure 5.2 e 5.3, i grafici della varianza di massa σ(M),

dello spettro P (k) e della varianza per intervallo logaritmico di k

∆2(k) =k3

2π2P (k)

(utile per amplificare le differenze e anche perche rappresenta la quantita

fisicamente piu significativa e piu direttamente connessa con la potenza delle

perturbazioni). Si vede bene come, nel caso di indice variabile (RSI), la

varianza di massa (figura 5.2) sia sistematicamente spostata verso valori

5.4 Indice spettrale 129

0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

0.1 1 10 100 10000.1

1

10

100

1000

Figura 5.3: differenze indotte su P (k) (pannello in alto) e ∆2(k) (pannello in basso) da

un indice spettrale costante, n = 1, ed uno variabile in k (RSI). La normalizzazione e

data da σ8 = 0.9.

130 Simulazioni

Figura 5.4: dipendenze di P (k) e ∆2(k) dai parametri spettrali Γ e σ8.

piu bassi e come ci sia minore potenza su piccole scale, ovvero grandi

numeri d’onda (figura 5.3). Precisamente, un indice spettrale variabile fa

decrescere ∆2(k) di quasi il 50% a k ≃ 10Mpc−1 e di addirittura un sesto

a k ≃ 103Mpc−1; ovviamente, alle stesse scale, anche lo spettro si abbassa

di quantita analoghe. Pertanto, ci si attende una formazione delle strutture

ritardata rispetto ai modelli con n = 1. Per completezza, proponiamo

i grafici in figura 5.4, i quali mostrano le variazioni di P (k) e ∆2(k) al

variare dei parametri spettrali Γ e σ8. In generale, al crescere di Γ e di σ8

cresce anche la formazione delle strutture: infatti, nel primo caso c’e uno

spostamento del picco dello spettro su scale piu piccole e, nel secondo, un

5.5 Distribuzioni 131

aumento di potenza su tutte le scale.

5.5 Distribuzioni

Per concludere, nelle figure che chiudono il capitolo mostriamo alcune

mappe, a vari redshift, ottenute per i quattro modelli seguiti; gia cosı si

riesce ad individuare il modello che prevede maggiore formazione e quello

che ne prevede una minore: in ordine crescente, si susseguono in tal modo:

ΛCDM −RSI, SUGRA-RSI, ΛCDM e SUGRA.

Le mappe mostrano la distribuzione degli aloni di materia oscura e i gruppi

di gas individuati mediante un algoritmo friends-of-friends, con lunghezza di

legame linking lenght, rispettivamente, del 20 % e del 5 % della separazione

media delle particelle, ovvero di 0.432 kpc h−1 e 0.108 kpc h−1.

Come confronto, nella figura, 5.5, sono graficate le mappe complessive dei

nostri quattro modelli allo stesso redshift, z ≃ 19.

Le mappe nelle figure 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, rappresentano, per vari redshift, la

distribuzione dei soli aloni di materia oscura.

In relazione ai soli gruppi di gas, diciamo che essi si formano a redshift

relativamente bassi nei modelli con indice spettrale variabile: i primi

addensamenti di gas si manifestano a z ≃ 18, nel modello ΛCDM − RSI,

e a z ≃ 23, nel modello SUGRA-RSI; nei modelli con n = 1, la formazione

e anticipata a z ≃ 26, per il modello ΛCDM , e a z > 30, per il modello

SUGRA.

Nelle ultime figure, 5.10 e 5.11, mostriamo le mappe di tutti

gli addensamenti (materia oscura e gas) e dei soli gruppi di gas,

rispettivamente, relative ai redshift piu bassi raggiunti dalle simulazioni.

132 Simulazioni

Figura 5.5: mappe degli oggetti formati, per tutti i modelli, a z = 19.


Figura 5.6: mappe degli aloni di materia oscura, a vari redshift, per il modello

ΛCDM − RSI. Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 15, 16,

17, 18.

134 Simulazioni

Figura 5.7: mappe degli aloni di materia oscura, a vari redshift, per il modello SUGRA-

RSI. Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 15, 16, 17, 19, 22,

25.


Figura 5.8: mappe degli aloni di materia oscura, a vari redshift, per il modello ΛCDM .

Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 16, 17, 19, 20.6, 22, 25.

136 Simulazioni

Figura 5.9: mappe degli aloni di materia oscura, a vari redshift, per il modello SUGRA.

Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 19, 20.6, 22, 25.


Figura 5.10: mappe degli oggetti formati per i redshift piu bassi raggiunti dalle

simulazioni. Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 15 per il

modello ΛCDM − RSI, z = 15 per il modello SUGRA-RSI, z = 16 per il modello

standard ΛCDM , z = 19 per il modello SUGRA.

138 Simulazioni

Figura 5.11: mappe dei gruppi di gas formati per i redshift piu bassi raggiunti dalle

simulazioni. Da sinistra a destra e dall’alto verso il basso, essi sono: z = 15 per il

modello ΛCDM − RSI, z = 15 per il modello SUGRA-RSI, z = 16 per il modello

standard ΛCDM , z = 19 per il modello SUGRA.

Capitolo 6

Risultati delle simulazioni

...e di chi videSotto l’etereo padiglion rotarsi

Piu mondi, e il Sole irradiarli immoto,Onde all’Anglo che tanta ala vi stese

Sgombro primo le vie del firmamamento . . .

Foscolo

Nel presente capitolo, presentiamo i risultati dell’analisi delle simulazioni

precedentemente descritte. In particolare, dopo aver introdotto le tecniche

utilizzabili per analizzare gli output, discuteremo le varie proprieta degli

aloni di materia oscura, dei gruppi di gas (gas clouds) e faremo, poi, alcune

considerazioni sulla possibilita o meno che le nostre simulazioni giustifichino

una fase di reionizzazione intorno ad un redshift z ≃ 15, come suggerito dai

dati di WMAP .

Notiamo che, in alcuni casi, non consideriamo il modello SUGRA, in quanto

appare troppo evoluto.

6.1 Tecniche di analisi

L’analisi dei dati delle simulazioni si basa sulla ricerca degli aloni e delle

sovraddensita di gas formatisi ad un certo redshift, per ogni redshift. Allo

scopo, esistono due algoritmi principali: il friends-of-friends (o FoF, amici

degli amici) e quello basato sul calcolo delle “sovraddensita sferiche”, dette

140 Risultati delle simulazioni

anche Spherical overdensities (SO).

La prima tecnica consiste in quanto segue: si fissa un raggio tipico o

lunghezza di collegamento (linking length) per gli aloni e i gruppi di gas

e si controlla se la sfera centrata in ogni particella “tocca” o “interseca”

altre sfere vicine (cioe si verifica se c’e percolazione). In caso affermativo, le

particelle percolate individuano una struttura che viene catalogata come

oggetto collassato. Usualmente, e consuetudine fissare come lunghezza

di collegamento per gli aloni di materia oscura un valore uguale al 20%

della separazione interparticellare media; per i gruppi di gas, si fissa,

invece, il 5% della predetta separazione. Il numero minimo di particelle

che costituiscono i gruppi e, generalmente, assunto essere di 10, perche

valori inferiori producono gruppi con scarsa valenza statistica. Pertanto, il

risultato finale e un catalogo dei centri dei gruppi trovati e del numero di

particelle costituenti ogni gruppo.

Il secondo metodo consiste in un calcolo piu accurato del raggio di ogni

alone. Per ogni centro, si calcola la densita in funzione della distanza e la si

confronta con la densita media del “background”, per stabilire se l’oggetto

e collassato. Precisamente, una volta note ed ordinate le distanze, di, delle

singole particelle dal centro in questione, si considerano, ordinatamente,

sfere aventi quei raggi e, per ciascuna di esse, si calcola la densita media,

ρS,i. Se la densita della sfera con raggio di e maggiore di 180 volte

quella del “background”, ρb (ρS,i > 180 ρb), e la densita della sfera con

raggio di+1 (successivo a di) e minore di 180 volte quella del “background”

(ρS,i+1 < 180 ρb), allora, possiamo assumere che di e il raggio viriale, RV IR, e

la massa interna ad RV IR e la massa viriale, MV IR. Naturalmente, calcolato

RV IR, e possibile individuare tutte le varie componenti della massa di

virializzazione, MV IR: materia oscura, gas caldo e gas freddo. Per quanto

concerne la scelta di 180 nel computo dei raggi di virializzazione, essa e

6.2 Analisi degli aloni 141

legata al parametro di sovraddensita nella fase di collasso sferico, pari a

circa 180, per un modello di Einstein - de Sitter (si veda la teoria di Jeans

e i modelli di crescita delle perturbazioni, nel capitolo I). Spesso, invece

di 180, si trova anche 200, perche quest’ultimo valore e il contrasto di

densita utilizzato, di norma, nell’analisi dei dati: infatti, il ∆c dipende

dalla cosmologia adottata che, a priori, e sconosciuta, quindi, per evitare

di fare assunzioni arbitrarie, si sceglie il valore 200 essenzialmente come un

riferimento comodo per confrontare i risultati.

La differenza sostanziale tra i due metodi e che il secondo (SO) risulta

molto piu dettagliato, soprattutto nella trattazione delle sottodensita locali

non rivelabili con un semplice algoritmo FoF. D’altro canto, quest’ultima

tecnica da buone approssimazioni e, soprattutto, e molto piu rapida

richiedendo minor tempo di calcolo.

6.2 Analisi degli aloni

Il primo passo che abbiamo compiuto nello studiare gli output delle

simulazioni e stato ricercare gli aloni di materia oscura in grado di originare

una formazione primordiale delle strutture.

Nella figura 6.1, si mostrano i risultati ottenuti usando la tecnica del FoF;

per la precisione, si grafica il numero di oggetti con massa superiore alla

massa critica diMc = 7·105M⊙ per unita di volume, in funzione del redshift,

per tutti e quattro i nostri modelli. La motivazione per il predetto valore di

Mc e legata al fatto che vogliamo investigare se, ad un dato redshift, esiste

un numero sufficiente di strutture in grado di portare alla formazione di

stelle primordiali molto massive (di popolazione III). La teoria di Jeans ci

dice che gli aloni tipici in cui nascono tali stelle hanno una massa dell’ordine

di 105M⊙h−1 ÷ 106M⊙h

−1: la nostra massa critica e stata scelta proprio

perche cade in questo intervallo.


6.2.1 Densita numeriche: andamenti generali

Un primo sguardo alla figura ci rivela subito quali sono i modelli che

prevedono un maggior numero di strutture e una piu rapida formazione:

il modello SUGRA e quello in cui si raggiunge, per ogni redshift, il valore

massimo di densita numerica, seguito, nell’ordine, dal modello ΛCDM e

dal modello SUGRA − RSI; il modello in cui si trovano meno oggetti e il

ΛCDM − RSI. La differenza e peraltro sostanziale, visto che, a z ≃ 20, la

densita numerica del modello SUGRA supera di oltre cento volte il valore

relativo al modello ΛCDM − RSI. Vi e pertanto, una differenza di piu di

due ordini di grandezza. I primi aloni con massa M > Mc cominciano

a costituirsi a redshift z > 30 nel modello SUGRA, e a z ≃ 28 nel

modello standard; i modelli RSI prevedono una formazione ritardata: i

primi aloni sono individuati a z ≃ 25 per il SUGRA−RSI, e a z ≃ 19 per

il ΛCDM − RSI.

Inoltre, si nota che i modelli in cui si ha maggiore formazione sono quelli

con indice spettrale, n, costante ed uguale ad 1, mentre i modelli con indice

variabile (RSI) si mantengono sempre al di sotto dei primi; questa sorta

di “segregazione” conferma quanto anticipato in precedenza (capitolo V) a

proposito della mancanza di potenza su piccole scale nei modelli RSI.

Oltretutto, fissato l’indice spettrale, si osserva che i modelli con cosmologia

standard (ΛCDM e ΛCDM −RSI), in cui Ω0Λ = ΩΛ = 0.7, danno sempre

meno strutture degli analoghi modelli di quintessenza (SUGRA e SUGRA−RSI, rispettivamente), in cui la densita associata a Λ, interpretata come

densita di energia oscura, evolve nel tempo determinando una variabilita

monotona del parametro di stato tra 0 e −0.85 (vedi capitolo V e il

grafico 5.1). E difatti proprio questa la causa della maggiore formazione di

strutture nel modello SUGRA rispetto al modello ΛCDM e del modello

SUGRA − RSI rispetto al corrispondente modello ΛCDM − RSI: la

costante cosmologica, essendo caratterizzata da un parametro di stato pari a

−1 ad ogni redshift, si oppone al collasso piu fortemente dell’energia oscura,


Figura 6.1: densita in numero degli aloni di materia oscura con massa maggiore di

7 · 105 M⊙ in funzione del redshift per i modelli SUGRA, ΛCDM , SUGRA − RSI e

ΛCDM − RSI, rispettivamente dall’alto verso il basso. I punti e le linee tratteggiate

si riferiscono agli aloni trovati nelle simulazioni via FoF, le linee continue alle predizioni

teoriche ottenute con il formalismo di Press & Schechter.


Figura 6.2: densita in numero degli aloni di materia oscura con massa maggiore di

7 · 105 M⊙ in funzione del redshift per i modelli SUGRA, ΛCDM , SUGRA − RSI e

ΛCDM − RSI, rispettivamente dall’alto verso il basso, in ogni pannello. I punti e le

linee tratteggiate si riferiscono agli aloni trovati nelle simulazioni, le linee continue alle

predizioni teoriche; le curve nel pannello a sinistra sono le densita calcolate con una

funzione di massa di Sheth & Tormen, a destra si trovano quelle calcolate usando la

funzione proposta da Jenkins et al..

il cui parametro di stato giunge solo fino a −0.85, al presente, e assume valori

maggiori nel passato.

In pratica, possiamo dire che il grafico 6.1 si interpreta come la risultante

di due cause concomitanti: da un lato, la minore potenza su piccole scale

induce minore formazione nei modelli RSI; dall’altro, la quintessenza la

favorisce avendo sempre wΦ > −1. Cio spiega perche nel modello SUGRA

si hanno oltre il doppio di aloni (a z ≃ 20) rispetto al modello ΛCDM ,

perche in quest’ultimo se ne formano circa due ordini di grandezza in piu

rispetto al modello ΛCDM − RSI e perche il modello SUGRA − RSI

porta ad una formazione intermedia: rispetto al modello ΛCDM , esso ha

un indice variabile, che sposta verso il basso (cioe verso i valori del modello

ΛCDM −RSI) la densita numerica, ma il potenziale SUGRA contribuisce

a risollevarla portandola al di sopra del modello ΛCDM −RSI stesso.


6.2.2 Confronto con le predizioni teoriche

In riferimento alle figure 6.1 e 6.2, mostriamo anche il confronto dei dati

relativi alle simulazioni con le predizioni teoriche (linee continue), calcolate

con una funzione di massa di Press & Schechter, Sheth & Tormen e Jenkins

et al..

Focalizzandoci sulla figura 6.1, e palese una differenza alquanto evidente

a redshift relativamente alti, quando si cominciano a formare le prime

strutture che risultera riscontrabile anche dall’analisi delle funzioni di massa.

I motivi principali per cui non si trova accordo sono due.

Il primo, su cui ritorneremo nel paragrafo seguente, consiste nel fatto che

il “box” delle simulazioni e relativamente piccolo (solo 1Mpc) per studiare

in dettaglio la formazione delle strutture: esse campionano solo una parte

dei numeri d’onda e questo comporta un taglio nella varianza di massa

abbastanza significativo: nelle simulazioni, essa non e data semplicemente

dalla relazione (1.127)

σ2M =

1

2π2

∫

P (k)W 2(kR)k2dk , (6.1)

ma dalla relazione

σ2M =

1

2π2

∫ +∞

kmin

P (k)W 2(kR)k2dk , (6.2)

dove kmin e il numero d’onda corrispondente al lato del volume della

simulazione (nel nostro caso il lato e di 1Mpc e kmin = 2πMpc−1). Tra

l’altro, la correzione e indipendente dal tipo di cosmologia considerata, in

quanto coinvolge solo le proprieta dello spettro. Un grafico esplicativo e

mostrato in figura 6.3, in cui si mostra la varianza calcolata con il taglio

(cut) ad 1Mpc a confronto con il calcolo teorico fatto integrando lo spettro

su tutto il dominio: k ∈ [0,+∞]. Si nota che la differenza e del 10%

a masse dell’ordine di 103M⊙ e raggiunge il 20% a masse dell’ordine di

108M⊙. Il fatto che le curve con il taglio siano piu basse e ripide provoca


Figura 6.3: varianze di massa. Si mostra il calcolo con il taglio (cut) ad 1 Mpc a

confronto con il calcolo teorico fatto integrando su k ∈ [0, +∞].

sostanzialmente una minore formazione delle strutture (ricordiamo che la

varianza entra nella caduta esponenziale delle funzioni di massa in maniera

inversa e, tramite il modulo della derivata rispetto alla massa, influenza

direttamente anche il regime anteriore al “cut-off”, in cui questa decresce

seguendo, in buona approssimazione, una legge di potenza). Come esempio,

gli effetti del taglio sulle funzioni di massa teoriche sono mostrati nella figura

6.4, in cui si vede il forte calo nel regime esponenziale.

Il secondo problema riguarda la poca accuratezza con cui le funzioni di

massa teoriche descrivono la formazione delle strutture ad alti redshift o

per masse “piccole” (dell’ordine di 104M⊙÷108M⊙); nel nostro caso siamo

nella condizione di dover usare le predizioni teoriche proprio ad alti redshift

e per masse piccole, ben fuori dai limiti di validita entro cui esse sono state

calibrate. Tra l’altro, facciamo presente che masse di questo tipo, a redshift

di circa 20, cadono nel taglio esponenziale delle predizioni teoriche e percio,


Figura 6.4: funzioni di massa. Si mostrano le funzioni di massa calcolate integrando la

varianza sul dominio [kmin, +∞] (linea tratteggiata) a confronto con i calcoli teorici fatti

integrando la varianza su k ∈ [0, +∞] (linea continua), per i vari modelli considerati, a

z ≃ 19.


anche piccole deviazioni possono provocare effetti notevoli nel calcolo delle

densita e delle funzioni di massa, come vedremo subito.

Un’ultima osservazione riguarda il progressivo avvicinamento dei punti

simulati con le curve teoriche al decrescere del redshift e al crescere del

numero di strutture formate: infatti, il modello SUGRA e in buon accordo

gia a z ≃ 20, quando si trova nhalo(M > 7 · 105M⊙) ≃ 500Mpc−3, mentre

per il modello standard, allo stesso redshift, la differenza e solo di una

ventina di unita su circa 200 (il numero esatto di aloni trovati e 174 su 194

previsti, pari ad un errore del 10%).

Per il modello SUGRA− RSI, l’avvicinamento alle curve teoriche diventa

soddisfacente in tempi successivi: a z ≃ 18, ci sono, nella simulazione, 90

oggetti per Mpc3 rispetto ai 94 previsti, per un errore del solo 4%.

Il modello ΛCDM − RSI, nell’intervallo studiato, si trova ancora in

una fase di scarsa formazione per fare considerazioni significative, ma

presumibilmente, a redshift minori, tendera, come gli altri modelli, sempre

piu verso le soluzioni analitiche.

Questa convergenza e riscontrabile meglio in figura 6.2, dove si vede

piu chiaramente che i punti si avvicinano alle predizioni della relazione di

Sheth & Tormen, ma l’accordo, complessivamente peggiora, perche esse sono

piu alte della Press & Schechter. Riguardo alla densita numerica calcolata

integrando la Jenkins et al., essa crolla molto bruscamente al crescere del

redshift, fittando meglio i dati ad alti z. Tuttavia, il comportamento in

questi regimi, dove le prescrizioni teoriche sono meno affidabili, e inficiato

da errori sui conteggi che sono dominanti e va preso con cautela.

Il motivo principale per cui si puo constatare tale andamento globale e che

le funzioni teoriche, al decrescere del redshift, descrivono sempre meglio

le simulazioni ed anche il rumore poissoniano diminuisce, aumentando il

numero di aloni formati.


6.2.3 Funzioni di massa

Le funzioni di massa indicano il numero di oggetti collassati per unita

di massa e per unita di volume. Ai fini pratici, e comodo calcolarle per

intervallo logaritmico di massa e cosı faremo.

Anche le funzioni di massa, come le densita numeriche, possono essere

ricavate tramite l’algoritmo FoF o con le spherical overdensities. Nel seguito

mostreremo i risultati ottenuti con il secondo metodo.

Per cominciare, consideriamo il modello ΛCDM − RSI; in figura 6.5,

sono mostrate le funzioni di massa di Press & Schechter, Sheth & Tormen

e di Jenkins et al., per i redshift z = 22.23 (in alto) e z = 19.16 (in basso).

Possiamo constatare che ci sono notevoli differenze tra i valori dedotti dalla

simulazione e gli andamenti teorici. Sia la formula di Press & Schechter, che

quella di Sheth & Tormen sono piu alte di circa 3 e 20 volte rispettivamente,

a z = 22.23, in corrispondenza di 105M⊙h−1. Circa la stessa differenza

si trova anche a z = 19.16. Per quanto concerne la funzione di massa di

Jenkins et al., essa tocca appena gli istogrammi e, tenendo in considerazione

anche dell’errore poissoniano sui conteggi, per bassi valori di dn/dLogM,

l’accordo non puo essere considerato soddisfacente.

E degno di nota osservare concretamente che stiamo effettivamente

analizzando la caduta esponenziale delle funzioni di massa: ce ne rendiamo

conto dall’andamento della formula di Jenkins che decade piu rapidamente

della Press & Schechter e della Sheth & Tormen proprio perche ha un

taglio esponenziale piu marcato. In genere, nei loro regimi di validita, le

funzioni di massa di Press & Schechter sono tali da predire un numero

leggermente minore di oggetti rispetto a quelle di Sheth & Tormen e di

Jenkins et al.; inoltre, queste ultime due sono molto simili e si distinguono

significativamente essenzialmente per la diversa coda esponenziale. Poiche

il grafico mostra una funzione di massa di Jenkins piu bassa delle altre,

allora necessariamente saremo in tale regime (si veda pure il capitolo I).


Figura 6.5: funzioni di massa teoriche a confronto con le funzioni di massa estratte dalle

simulazioni via SO.


Nel grafico corrispondente al redshift z = 19.16, si nota bene l’intersezione

della curva relativa all’espressione della Press & Schechter con quella della

Jenkins, a masse ∼ 105M⊙h−1, e della Sheth & Tormen, sempre con la

Jenkins, a masse poco inferiori a ∼ 104M⊙h−1. A z = 22.23 invece, la

caduta comincia a masse inferiori ai valori trovati nella simulazione. Tra

l’altro, sottolineiamo che si tratta davvero di valori molto bassi, rispetto a

quelli cui si e abituati a pensare in corrispondenza del “cut-off”: a z ≃ 0,

esso e a masse dell’ordine di 1014M⊙h−1, mentre vediamo che, al nostro

redshift, cade tra 102M⊙h−1 e 103M⊙h

−1 !

Nei tre pannelli della successiva figura 6.6, e mostrata l’evoluzione in

redshift delle funzioni di massa di Press & Schechter, di Sheth & Tormen e

di Jenkins et al., per z =19, 20.5, 22 e 26, nella cosmologia ΛCDM −RSI.

Di nuovo, notiamo una forte discrepanza tra le funzioni di massa di Press &

Schechter e di Sheth & Tormen con i dati numerici fino ad oltre due ordini

di grandezza e l’accordo peggiora al crescere del redshift. Per la funzione

di Jenkins, vale quanto detto in precedenza: la situazione migliora rispetto

alle altre funzioni di massa (gli errori sono al piu di un “solo” ordine), ma

decisamente non vi e buon accordo con la simulazione.

La seconda simulazione da considerare e la SUGRA− RSI.

Anche per questa mostriamo le funzioni di massa di Press & Schechter, di

Sheth & Tormen e di Jenkins et al., per z = 22.23 e per z = 19.16, in figura

6.7, e l’evoluzione in redshift di tutte le funzioni di massa, in figura 6.8.

Il numero di oggetti trovato per ogni bin e superiore a quello della ΛCDM−RSI e gli errori di conteggio saranno presumibilmente minori, tuttavia la

funzione di Press & Schechter prevede ancora valori di circa 5 volte superiori

a quelli trovati, per z = 22.23 (pannello in alto), in corrispondenza di

105M⊙h−1 e quella di Sheth & Tormen di circa 15 volte. La formula di

Jenkins tocca l’istogramma tra circa 4 · 105M⊙h−1 e 106M⊙h

−1, ma se ne

allontana, man mano, per masse inferiori, fino ad assumere valori quasi 10



simulazioni via SO.



simulazioni via SO.



simulazioni via SO.

volte piu elevati. Analogamente si dica per z = 19.16, dove, sempre per la

stessa massa le funzioni teoriche superano di un fattore 6 i punti. Anche

in questo modello masse e redshift in gioco cadono nel taglio esponenziale,

essendo l’intersezione della curva di Jenkins et al. con quella di Press &

Schechter, piu o meno, a 105M⊙h−1, per z = 22.23, e a 106M⊙h

−1, per

z = 19.16. Le intersezioni con la Sheth & Tormen sono anticipate a meno

di 104M⊙h−1, per z = 22.23, e a circa 105M⊙h

−1, per z = 19.16.

La figura 6.8 conferma che l’accordo delle funzioni di massa per vari redshift

e solo approssimativo, limitatamente alla Jenkins, se non addirittura


insoddisfacente, per la Press & Schechter e la Sheth & Tormen.

Il modello standard ΛCDM evidenzia accordi migliori (si vedano le

figure 6.9 e 6.10).

I dati della simulazione, per z = 19.16, forniscono oltre duemila oggetti per

unita di volume a 105M⊙h−1 e la funzione di massa di Press & Schechter

da un corrispondente valore di quasi tremila; le altre due non si discostano

molto da questa. A z = 19.16, in corrispondenza della stessa massa, si

trovano all’incirca 7000 oggetti per unita di volume contro i 104 previsti

dalla Press & Schechter. A masse maggiori di 105M⊙h−1 ÷ 106M⊙h

−1

l’accordo e buono per tutte le funzioni di massa, in entrambi i casi, ma non

vale lo stesso per masse inferiori. L’intersezione del “cut-off” della Jenkins

con la Press & Schechter e con la Sheth & Tormen avviene, nell’ordine,

a valori di poco superiori a 105M⊙h−1 e a 106M⊙h

−1, quando siamo a

z = 22.23, e a 106M⊙h−1 e 107M⊙h

−1, per z = 19.16.

In figura 6.10, riportiamo l’evoluzione in redshift delle varie funzioni di

massa per il modello ΛCDM , confrontandolo con i dati. L’accordo migliora

al decrescere di z, infatti, per la Press & Schechter, la discrepanza passa

da un ordine di grandezza circa, a z = 25 e a 105M⊙h−1, a circa un

terzo per z = 19. Analogamente, lo stesso discorso vale per la Sheth &

Tormen e la Jenkins et al.. In generale, le funzioni di massa risultano

comunque sempre un po’ piu alte, soprattutto per basse masse; la Sheth &

Tormen e quella che si distacca maggiormente dagli istogrammi, mentre, la

Jenkins si avvicina di piu alle simulazioni nell’intervallo di masse superiori

a 106M⊙h−1, grossomodo, a partire da z = 25.

Gli ultimi grafici che proponiamo a questo punto sono i confronti allo

stesso redshift delle funzioni di massa per le varie simulazioni.

In figura 6.11, mostriamo i loro andamenti a z = 22.23, invece, in figura

6.12, gli andamenti a z = 19.16.



simulazioni via SO.


Figura 6.10: funzioni di massa teoriche a confronto con le funzioni di massa estratte

dalle simulazioni via SO.


SUGRA

LCDM

SUGRA-RSI

LCDM-RSI

SUGRA

LCDM

SUGRA-RSI

LCDM-RSI

SUGRA

LCDM

SUGRA-RSI

LCDM-RSI

Figura 6.11: funzioni di massa per i vari modelli allo stesso redshift.

In entrambi i casi, si nota che, per tutti i modelli, le funzioni di massa di

Sheth & Tormen (pannello in alto a destra in entrambe le figure) predicono

sempre un maggior numero di oggetti rispetto alle corrispondenti funzioni di

Press & Schechter (pannello in alto a sinistra in entrambe le figure) e che le

funzioni di Jenkins et al. (pannello in basso in entrambe le figure) tagliano

i grafici sempre nella coda esponenziale, in corrispondenza di un valore di

dn/dLogM ≈ 20Mpc3 h−3, quando siamo a z = 22.23, ed in corrispondenza

di un valore di dn/dLogM di alcune unita quando siamo a z = 19.16. In

ogni caso, non c’e sostanziale differenza tra i vari modelli.


SUGRA

LCDM

SUGRA-RSI

LCDM-RSI

SUGRA

LCDM

SUGRA-RSI

LCDM-RSI

SUGRA

LCDM

SUGRA-RSI

LCDM-RSI

Figura 6.12: funzioni di massa per i vari modelli allo stesso redshift.


Le discrepanze con la teoria, d’altro canto, sono diverse a seconda del

modello, in particolare, maggiori nel modello ΛCDM − RSI e minori in

quello SUGRA−RSI, per diminuire ulteriormente nel modello ΛCDM . Il

fenomeno si nota sia confrontando le funzioni di massa di Press & Schechter

che le funzioni di massa di Sheth & Tormen e di Jenkins et al..

6.2.4 Effetto della limitatezza del volume delle simulazioni sullefunzioni di massa

A questo punto, approfondendo il discorso accennato in precedenza, e

interessante vedere direttamente se la discrepanza tra i modelli teorici e

i risultati numerici possa essere completamente attribuita alla mancanza di

potenza su scale (in k) maggiori di quelle relative al volume delle simulazioni.

A questo fine, abbiamo calcolato le funzioni di massa utilizzando la varianza

espressa dalla (6.2).

In figura 6.13, sono mostrati i calcoli per il modello ΛCDM − RSI a

confronto con le funzioni estratte dalle simulazioni numeriche; in figura

6.14, quelli relativi al modello di quintessenza con indice spettrale variabile,

SUGRA− RSI; in figura 6.15, quelli per il modello standard ΛCDM .

In tutti i casi si nota che le funzioni di massa calcolate con il taglio sono

sistematicamente piu basse di quelle calcolate con k ∈ [0,+∞], tuttavia non

esiste un accordo soddisfacente con i valori delle simulazioni, soprattutto per

i redshift piu alti. Inoltre, si vede chiaramente che i problemi maggiori si

manifestano verso le “masse piu piccole”, mentre, man mano ci spostiamo

a masse maggiori, la situazione migliora lievemente: basta guardare gli

andamenti della funzione di Press & Schechter o di quella di Sheth &

Tormen (calcolate con il taglio in k - linee tratteggiate nelle figure) per

rendersene conto. Pertanto, anche con le correzioni suddette, non si riescono

ad accordare gli andamenti numerici con quelli analitici predetti dalla teoria.

La conclusione delle nostre considerazioni, quindi, e che, in questi regimi

(alti redshift e/o basse masse), le funzioni di massa di Press & Schechter,

di Sheth & Tormen e di Jenkins et al. non sono affidabili.


Figura 6.13: funzioni di massa a vari redshift per il modello ΛCDM − RSI. Le

linee continue si riferiscono alle funzioni di massa teoriche calcolate usando la varianza

integrata su tutte le scale, quelle tratteggiate usando la varianza integrata su [kmin, +∞].


Figura 6.14: funzioni di massa a vari redshift per il modello SUGRA − RSI. Le

linee continue si riferiscono alle funzioni di massa teoriche calcolate usando la varianza

integrata su tutte le scale, quelle tratteggiate usando la varianza integrata su [kmin, +∞].


Figura 6.15: funzioni di massa a vari redshift per il modello ΛCDM . Le linee continue

si riferiscono alle funzioni di massa teoriche calcolate usando la varianza integrata su

tutte le scale, quelle tratteggiate usando la varianza integrata su [kmin, +∞].


6.3 Analisi dei gruppi di gas

Una volta considerati gli aloni, possiamo passare agli addensamenti di

gas. Poiche per essi non e applicabile la teoria del collasso gravitazionale

valida per gli aloni di sola materia oscura, procediamo cercandoli tramite

l’algoritmo FoF.

In figura 6.16, facciamo vedere il numero di gruppi di gas (gas clouds) trovati

per unita di volume, in funzione del redshift, per tutte e quattro le nostre

simulazioni.

Osserviamo che, come per gli aloni di materia oscura, il modello in cui

si trova un maggior numero di strutture e il SUGRA, seguito a ruota dal

modello standard e dai modelli con indice spettrale variabile SUGRA−RSIe ΛCDM − RSI. Si ripropone quindi la “segregazione” di cui abbiamo

accennato in precedenza tra i modelli RSI e quelli con n = 1 anche per i

gas clouds che si addensano negli aloni.

Notiamo che pure la formazione di strutture barioniche e molto sensibile

al modello cosmologico; infatti, la differenza tra il modello che mostra la

massima formazione e quello che mostra la minore formazione di oggetti

gassosi e di oltre un fattore 300. Per la precisione, quando nel modello

SUGRA si sono costituiti circa 300 gruppi di gas, a z ≃ 19, nel

modello ΛCDM − RSI ancora non si sono riscontrati oggetti barionici,

che compaiono solo a z ≃ 18, invece, nel modello SUGRA − RSI si

manifestano per la prima volta a z ≃ 24 e nel modello standard a z ≃ 26.

Oltretutto, le modalita di crescita risultano molto simili. Il valore della

densita numerica all’ultimo redshift seguito e, in unita di Mpc−3, 12 per

il modello ΛCDM − RSI, 29 per il modello SUGRA − RSI, 70 per il

modello ΛCDM e 310 per il modello SUGRA. Va detto, pero, che, mentre

gli altri modelli arrivano fino a z ≈ 15 ÷ 16, quello SUGRA giunge solo

fino a z ≃ 19, quando la differenza nel numero di gas clouds con il modello

standard e di un fattore 6 e con il modello SUGRA−RSI di un fattore 30,

circa. Detto per inciso, il numero di gruppi di gas trovati in quest’ultima

6.3 Analisi dei gruppi di gas 165

Figura 6.16: densita in numero dei gruppi di gas in funzione del redshift per i modelli

ΛCDM , ΛCDM − RSI, SUGRA e SUGRA − RSI.


Figura 6.17: i grafici mostrano la percentuale di aloni (asse delle ordinate) aventi una

data frazione barionica (asse delle ascisse), per i vari modelli e a diversi redshift.

simulazione, allo stesso redshift di 19, e solo un quinto rispetto ai dati

relativi al modello standard. E interessante, poi, notare l’appiattimento

(particolarmente evidente per i modelli SUGRA − RSI e ΛCDM) della

densita numerica negli ultimi redshift: fenomeno questo che mostra una

certa saturazione nella formazione delle strutture barioniche.

Tipicamente, i gruppi trovati hanno centri che distano qualche kpc dal centro

dell’alone piu vicino. Osserviamo che le frazioni barioniche sono inferiori alle

partizioni cosmiche: gli aloni, quindi, risultano poveri di gas.

In figura 6.17, mostriamo i relativi grafici, per i vari modelli. Sull’asse


delle ascisse, sono riportate le frazioni barioniche, definite, per ogni alone

di massa totale MV IR e massa della sola componente gassosa Mgas, come

fb ≡Mgas

MV IR; (6.3)

sull’asse delle ordinate, riportiamo la percentuale di aloni con una data

frazione barionica. Le diverse curve, in ogni pannello, si riferiscono a diversi

redshift, e, tralasciando i dettagli, si verifica che l’andamento globale e molto

simile in tutti i modelli e abbastanza indipendente da z.

Si potrebbe fare anche una distinzione tra gas “caldo” e gas “freddo”, ma

si troverebbe un netto dominio del gas caldo, in quanto la presenza di gas

freddo e praticamente quasi sempre trascurabile, soprattutto nei due modelli

RSI. Il numero di aloni che lo contengono e limitato, considerando tutti i

modelli e i vari redshift, al piu ad una parte su 1000. Le frazioni barioniche

corrispondenti sono dell’ordine di 10−4 ÷ 10−2, quindi ci potrebbe essere

qualche alone che contiene gas freddo in misura sostanziale, ma sarebbe,

tutto sommato, un’occorrenza alquanto isolata ed improbabile.

Un ultimo problema che vogliamo affrontare, in relazione ai gruppi di gas

ed alla reionizzazione dell’universo e il calcolo del fattore di addensamento

(clumping factor), C, e del tempo di ricombinazione.

Spieghiamo brevemente. La reionizzazione cosmica puo essere descritta,

statisticamente, considerando che, durante tale fase, i fotoni liberi possono

anche essere riassorbiti da un atomo1 che si sta ricombinando e che diviene

nuovamente ionizzato. Il “fattore di riempimento” (filling factor), Q(t), in

un dato istante t, delle regioni di idrogeno ionizzato e allora semplicemente

dato dal numero totale di fotoni ionizzanti emessi per atomo di idrogeno

prima di quell’istante t cui viene sottratto il numero totale di ricombinazioni

per atomo, ([40]). Con questo argomento, Madau, Haardt & Rees (1999),

[27], derivano una semplice equazione differenziale che regola la transizione

1Il processo sara dominato dagli atomi di idrogeno, essendo quelli piu abbondanti nelle ereprimordiali.


da un universo neutro ad uno completamente ionizzato:

dQ

dt=nion

nH− Q

trec, (6.4)

dove nion rappresenta il tasso di emissione (comovente) di fotoni in grado

di ionizzare l’idrogeno, nH e la densita comovente media degli atomi di

idrogeno e trec il tempo di ricombinazione dell’idrogeno, mediato sul volume;

quest’ultimo vale

trec =1

αB C nH (1 + z)3 (1 + 2χ), (6.5)

in cui αB e il coefficiente di ricombinazione (si trova uno studio dei vari

coefficienti in [6]), χ l’abbondanza dell’elio rispetto all’idrogeno (helium-to-

hydrogen abundance) e C e il clumping factor dell’idrogeno ionizzato, ovvero

il rapporto tra la media quadratica ed il quadrato della media della densita

di idrogeno ionizzato:

C ≡ 〈n2H+〉

〈nH+〉2 . (6.6)

Come si evince dalla definizione, C e una quantita adimensionale. In genere,

il tempo di ricombinazione e una funzione del parametro di espansione (o

equivalentemente del redshift) e, assunta una temperatura di circa 104K,

si puo scrivere, in miliardi di anni:

trec(a) ≃ 588a3

C(a)[Gyr] . (6.7)

Nel calcolo del clumping factor tramite le simulazioni SPH, si approssima

C con la stima:

C =

∑

imiρ−1j

∑

j mjρj

(∑

k mk)2 , (6.8)

dove le sommatorie sono fatte su tutte le particelle di gas aventi massa mi

e densita ρi.

Nelle figure 6.18 e 6.19, mostriamo le nostre stime del clumping factor, C,

e del tempo di ricombinazione, trec, al variare del redshift, per i quattro

modelli considerati, ΛCDM , ΛCDM − RSI, SUGRA e SUGRA− RSI.

Innanzitutto, consistentemente con i risultati precedenti, gli aggregati piu


Figura 6.18: evoluzione in redshift del clumping factor, C, per i modelli ΛCDM ,

ΛCDM − RSI, SUGRA e SUGRA − RSI.


Figura 6.19: evoluzione in redshift del tempo di ricombinazione, trec, per i modelli

ΛCDM , ΛCDM − RSI, SUGRA e SUGRA − RSI.


densi si trovano nella simulazione SUGRA, seguiti, in ordine, da quelli delle

simulazioni ΛCDM , SUGRA− RSI e ΛCDM − RSI. La differenza tra i

due modelli con indice spettrale variabile e minima per praticamente tutti i

redshift rimanendo C limitato sempre ad un valore pressoche unitario. Nel

modello ΛCDM , invece, si cominciano a presentare le prime differenze, in

quanto il clumping factor ha una evoluzione che si separa da quella degli

altri due modelli precedenti a z ≃ 25 per crescere fino ad un valore finale

di oltre 2. Sicuramente, le differenze piu impressionanti sono relative al

modello SUGRA, il cui clumping factor comincia ad allontanarsi dall’unita

a z ≃ 30 e arriva a quasi 17 a z ≃ 19.

Tutto cio significa che il gas e molto piu aggregato e addensato in

quest’ultima simulazione rispetto a quanto accade nelle altre. In particolare,

nei modelli RSI, C ≈ 1, cioe vi sono scarse e poco dense sovraddensita

barioniche, visto che la densita quadratica media e circa uguale alla densita

media al quadrato.

Noto C, diventa facile calcolare il tempo di ricombinazione, trec, usando

la formula 6.7, che implica una proporzionalita inversa tra le grandezze in

questione.

I risultati per i quattro modelli SUGRA, ΛCDM , SUGRA − RSI e

ΛCDM − RSI sono presentati in figura 6.19. L’ordine di grandezza e

il miliardo di anni (Gyr) ed i valori per i vari modelli si cominciano a

distinguere in corrispondenza degli stessi redshift in cui comparivano le

prime differenze tra i clumping factor, ovviamente. Il valore massimo si

ottiene in corrispondenza del modello con meno addensamenti, il modello

ΛCDM −RSI, per cui la ricombinazione richiede un tempo piu lungo degli

altri: quasi 2.2Gyr (esattamente, 2.16Gyr) a z ≃ 15; si scende poi a quasi

1.9Gyr allo stesso redshift per il modello SUGRA− RSI, a 0.9Gyr per il

modello standard, a z ≃ 16, e a meno di 0.1Gyr a z ≃ 19, per il modello

SUGRA, in cui, essendo massimo il valore di C, e minimo trec, cioe la

ricombinazione e particolarmente veloce ed efficiente, perche c’e maggiore


concentrazione di gas.

6.4 Considerazioni sulla reionizzazione

L’analisi dei gruppi di gas e gia utile per determinare se le simulazioni sono

compatibili con un’epoca di reionizzazione primordiale.

In realta, per fare dei conti dettagliati si dovrebbero effettuare opportune

simulazioni di trasporto radiativo e trovare la frazione di volume ionizzato,

il cosiddetto filling factor (si veda [2] e [27]). Tuttavia, esistono studi

(come suggerito da [45]) i quali mostrano che affinche ci sia reionizzazione

e necessario trovare, ad un redshift di z ≃ 15, almeno un centinaio di stelle

massive per Mpc3, in un tempo di ricombinazione. Ovviamente, il numero

di stelle massive e determinabile dal numero di gas clouds mostrato in figura

6.16 ed il tempo di ricombinazione e quello graficato in figura 6.19. Da questi

dati possiamo estrapolare le seguenti conclusioni.

Nel modello ΛCDM − RSI, non ci aspettiamo reionizzazione (in accordo

con [45]) perche il numero dei gruppi di gas e troppo basso.

Nel modello SUGRA − RSI si trovano una trentina di clouds ed il tempo

di ricombinazione e circa 1.9Gyr: l’implicazione immediata e che neanche

in questo modello ci puo essere reionizzazione.

Invece, nel modello standard la prospettiva e diversa, avendo circa 70 oggetti

ed un tempo di ricombinazione corrispondente di 0.9Gyr, per z ≃ 16. Il

numero di stelle massive per Mpc3 e per tempo di ricombinazione si avvicina

molto a 100 ed inoltre, la caduta di trec e molto ripida a partire da redshift

18 ÷ 19 verso valori inferiori, pertanto tutto cio fa pensare che, giunti a

z ≃ 15, ci siano effettivamente le condizioni per avere una rionizzazione

globale del mezzo. Tra l’altro, i valori da noi individuati per C sono

compatibili con quelli ottenuti da [40].

Per concudere, anche il modello SUGRA, benche seguito solo fino a z ≃ 19,

da delle informazioni soddisfacenti: esso prevede oltre 300 (esattamente,

310) gruppi per un tempo di ricombinazione minore di un decimo di Gyr

6.4 Considerazioni sulla reionizzazione 173

Figura 6.20: evoluzione in redshift del rapporto tra il numero di clouds ed il tempo di

ricombinazione per i modelli ΛCDM , ΛCDM − RSI, SUGRA e SUGRA − RSI. La

stella rappresenta il limite per avere reionizzazione a z ≃ 15.

(precisamente 0.086Gyr), a z ≃ 19; cio vuol dire che si aspettano ben piu

di tremila stelle massive per Mpc3, in un tempo di ricombinazione, ad un

redshift z ≃ 19. La condizione e pertanto in palese accordo con la possibilita

di una globale reionizzazione a quei redshift.

Un quadro riassuntivo e fornito dal grafico in figura 6.20.

Vedremo meglio, nel capitolo seguente, che i dati di WMAP e calcoli

analitici dello spessore ottico (integrato lungo la linea di vista, τ),

indipendenti dallo spettro di potenza, possono limitare il possibile intervallo


in redshift per la reionizzazione in una cosmologia SUGRA con parametro

di stato w0Φ = −0.85, tra circa z ≃ 15 e z ≃ 22 (si vedano le figure 7.2 e

7.3).

Anche per il modello standard valgono analoghe conclusioni: l’analisi dello

spessore ottico mettera in luce che l’intervallo di redshift compatibile con la

reionizzazione cosmica e, grosso modo, [14, 20].

In entrambi i casi, i due diversi discorsi portano a risultati ragionevoli e

non discordanti tra loro, anche se le considerazioni fatte sul numero di gas

clouds sono solo qualitative: cio e incoraggiante.

Alla fine della nostra analisi sui gruppi di gas e sui tempi di ricombinazione,

possiamo affermare che nessuno dei modelli RSI e compatibile con la

reionizzazione dell’universo a z ≃ 15, mentre i modelli ΛCDM e SUGRA

lo sono.

6.5 Oggetti piu grandi

Come studio complementare, abbiamo ricercato, nelle simulazioni, l’oggetto

piu grande e visto come cambiano, in redshift, alcune sue caratteristiche.

Innanzitutto, le dimensioni variano, mediamente da poco meno di 1 kpc/h

ad alti redshift (z ≃ 25) ad alcuni kpc/h agli ultimi redshift seguiti.

Nei primi tre pannelli da sinistra verso destra e dall’alto verso il basso, in

figura 6.21, viene mostrata, per i vari modelli, l’evoluzione della massa totale

(linea nera), della sola componente oscura (linea rossa), della componente

di gas caldo (linea blu) e di quella di gas freddo (linea verde). Come

ovvio, gli aloni crescono al decrescere del redshift, con valori caratteristici

corrispondenti, circa (per il confronto vedi pure il pannello in basso a destra),

quando z ≃ 20, a quasi 7·105M⊙h−1 per l’alone piu grande della simulazione

ΛCDM − RSI, a 3 · 106M⊙h−1 per quello individuato nella simulazione

SUGRA−RSI, a quasi 6·106M⊙h−1 per la simulazione del modello ΛCDM .

Se poniamo l’attenzione a z ≃ 25, le masse sono di quasi 6 · 104M⊙h−1 per

l’alone della simulazione ΛCDM − RSI, di quasi 7 · 105M⊙h−1 per quello

6.5 Oggetti piu grandi 175

Figura 6.21: evoluzione in redshift della massa per l’oggetto piu grande trovato nelle

simulazioni ΛCDM −RSI (pannello in alto a sinistra), SUGRA−RSI (pannello in alto

a destra), ΛCDM (pannello in basso a sinistra). Le diverse curve mostrano l’andamento

per le diverse componenti:

massa totale (M-tot) − linea continua; materia oscura (M-dm) − tratteggio lungo;

gas caldo (M-hot) − tratteggio corto; gas freddo (M-cold) − puntini.

Nel pannello in basso a destra, si confrontano le masse totali al variare del redshift, nelle

varie simulazioni.


della simulazione SUGRA − RSI, di oltre 106M⊙h−1 per la simulazione

ΛCDM .

E evidente il netto dominio della componente oscura che costituisce la

stragrande maggioranza della massa degli aloni considerati, mentre il gas

caldo risulta sistematicamente piu basso di almeno un ordine di grandezza;

quello freddo, se presente, anche di due.

In figura 6.22 mostriamo i profili di densita della componente oscura

dell’alone piu grande per il modello ΛCDM − RSI a diversi redshift ed

in figura 6.23 i corrispondenti profili di densita del gas. Il pannello in basso

a destra mostra, in entrambi i casi, tutti i profili in funzione della distanza

dal centro dell’alone espressa in unita del raggio viriale.

Si nota come i profili della materia oscura siano piu alti di quelli del gas, ad

alti redshift, di almeno un ordine di grandezza, ma gia a z ≃ 18 la situazione

cambia, perche la densita del gas raggiunge i valori della densita di materia

oscura. Tale processo segnala l’avvento del cosiddetto catch-up dei barioni,

dovuto alla caduta del gas nelle primordiali buche gravitazionali degli aloni

oscuri, e diventa fondamentale per la formazione delle prime nubi barioniche

(che avviene proprio in questa epoca, come abbiamo visto dal grafico in

figura 6.16).

Naturalmente, ci aspettiamo che per gli altri modelli gli andamenti siano

simili e spostati verso redshift piu alti.

Nella figura 6.24, vediamo l’andamento dell’energia interna del gas per unita

di massa, u, al variare della distanza dal centro dell’alone in questione.

Dall’energia interna si puo ricavare la temperatura tramite alcune semplici

conversioni: per ogni particella SPH, sia XH la frazione in massa

dell’idrogeno e YHe quella dell’elio, allora si ha

YHe =1 −XH

4XH. (6.9)

Per conoscere la temperatura, serve sapere quanto vale il peso molecolare

medio, µ.

Nel caso in cui si considerino processi adiabatici (ovvero simulazioni


Figura 6.22: profili di densita della materia oscura intorno all’alone piu grande per il

modello ΛCDM − RSI. Le unita della densita sono M⊙h2pc−3.


Figura 6.23: profili di densita del gas intorno all’alone piu grande per il modello

ΛCDM − RSI. Le unita della densita sono le stesse del grafico precedente.


Figura 6.24: profili dell’energia interna del gas intorno all’alone piu grande per il modello

ΛCDM − RSI.

adiabatiche),

µ =1 + 4YHe

1 + 3YHe + 1. (6.10)

Se ci sono anche processi di raffreddamento radiativo che possono far

ionizzare il mezzo, allora andra considerata anche la frazione elettronica,

xNe, nella relazione (6.10): il peso molecolare medio diventa

µ =1 + 4YHe

1 + YHe + xNe. (6.11)

Una volta noto µ, si puo calcolare la temperatura di una particella, T ,

secondo la consueta uguaglianza

(µmH)u =3

2kBT , (6.12)

in cui, mH e la massa del protone, u, come abbiamo detto, l’energia interna

per unita di massa e kB la costante di Boltzmann. Di fatto, percio, i grafici in

figura 6.24 sono a tutti gli effetti dei profili di temperatura. Essi evidenziano

un nucleo isotermo a T ≈ 3 · 103K, cioe la temperatura ideale per la

formazione di stelle di popolazione III, tramite raffreddamento guidato da

H2 (si veda pure il capitolo II, in proposito).


Capitolo 7

Implicazioni per lareionizzazione

Nil igitur fieri de nilo posse fatendumst,semine quando opus est rebus quo quaeque creatae

aeris in teneras possint proferrier auras.

Lucrezio

L’analisi portata avanti fino ad ora ha messo in luce chiaramente che i

modelli con indice spettrale variabile (RSI) hanno un’evoluzione piu lenta

e ritardata rispetto ai corrispondenti modelli con indice costante n = 1.

Difatti, nei primi, le strutture cominciano a formarsi, mediamente, a redshift

minori di quasi dieci unita. Piu precisamente, nel modello standard ΛCDM ,

le prime concentrazioni di gas in grado di generare stelle di popolazione III si

manifestano quando l’eta dell’universo e di circa 100 milioni di anni, mentre,

nel modello ΛCDM −RSI, esse si manifestano quando l’universo ha circa

170 milioni di anni. Un discorso analogo vale per le due varianti SUGRA,

in cui l’eta dell’universo alla formazione delle prime strutture barioniche e

di circa 65 milioni di anni, per il caso n = 1, e di circa 120 milioni di anni,

per il caso RSI.

Tali dati permettono di concludere che la reionizzazione viene giustificata

solo nei modelli ΛCDM e SUGRA e non nei modelli con indice spettrale

variabile. E interessante notare che queste considerazioni non sono in

contraddizione con i tempi tipici di vita delle stelle di popolazione III (circa

182 Implicazioni per la reionizzazione

cento milioni di anni, come abbiamo detto nel capitolo II): se vogliamo

una reionizzazione globale dopo ∼ 200 milioni di anni di vita dell’universo,

le prime stelle si devono necessariamente formare, al piu tardi, dopo 100

milioni di anni e cio non accade nei modelli RSI.

Inoltre, la rionizzazione nel modello SUGRA risulta anticipata rispetto

al modello standard; non si tratta di un fenomeno inatteso, perche un

andamento simile era prevedibile anche dallo studio dello spessore ottico

Thomson, come vedremo subito nel prossimo paragrafo.

7.1 Spessore ottico

In sintonia con quanto accennato nel capitolo II, lo spessore ottico

differenziale, per completa ionizzazione, e definito dalla relazione (2.16),

la quale e stata, poi, scritta nella forma (2.17), che qui riportiamo, per

comodita:

dτ(z) =σT n(z) c

(1 + z)H(z)dz ; (7.1)

in forma integrata, essa diventa

dτ(z) = σT c

∫ z

0

n(z′)

(1 + z′)H(z′)dz′ . (7.2)

Nelle equazioni (7.1) e (7.2),

σT =8π

3

(

e2

mec2

)2

≈ 6.65 · 10−25 cm2

e la sezione d’urto Thomson, c la velocita della luce, H(z) e il parametro

di Hubble ed n(z) e la densita numerica di elettroni in funzione del redshift

z: per completa reionizzazione, essa coincide con la densita numerica dei

barioni.

Come si vede sempre dalle formule (7.1) e (7.2), la dipendenza e solo dai

parametri cosmologici geometrici, non da quelli spettrali, quindi l’esistenza

o meno di un indice variabile (RSI) e, per lo spessore ottico, del tutto

ininfluente. Per questo motivo, noi ci interesseremo solo ai casi relativi

al modello ΛCDM ed al modello SUGRA; lo spessore per i modelli

7.1 Spessore ottico 183

Figura 7.1: andamenti degli spessori ottici differenziali (pannello a sinistra) ed integrati

(pannello a destra) per una cosmologia ΛCDM ; sono stati considerati due diversi valori

di Ω0M : 0.3 (linea continua) e 0.27 (linea a tratti lunghi e tratti brevi). La banda

orizzontale delimitata dalle linee a punti nel pannello a destra si riferisce all’intervallo di

confidenza pari ad 1σ dei dati di WMAP, che forniscono τ = 0.17 ± 0.04.

ΛCDM − RSI e SUGRA-RSI sara identico, rispettivamente, alle predette

cosmologie. Ricordiamo che lo spessore ottico τ(z), per il modello ΛCDM ,

ammette una forma analitica esatta data dalla (2.19)

τ(z) =

∫ z

0

dτ(z′) =2σTn(0)c

3H0

√Ω0M

[

√

(1 + z)3 +Ω0Λ

Ω0M−√

1 +Ω0Λ

Ω0M

]

. (7.3)

I calcoli per il modello SUGRA vanno, invece, svolti numericamente.

Nella figura 7.1, forniamo gli andamenti dello spessore ottico differenziale

ed integrato per due valori diversi di Ω0M : Ω0M = 0.3 ed Ω0M = 0.27.

Abbiamo scelto tali valori perche il primo e quello usato nelle simulazioni,

invece il secondo e quello suggerito da WMAP (come dibattuto nel capitolo

III). Si nota come, fissata la densita numerica attuale dei barioni, n(0),

dτ e τ variano inversamente rispetto ad Ω0M , che compare, tramite il

parametro di Hubble, al denominatore delle equazioni (7.1) e (7.2). Cio

si spiega in quanto, al crescere del parametro di densita della materia,

la formazione delle strutture diventa maggiore e la reionizzazione risulta,

conseguentemente, anticipata. La linea orizzontale a tratti brevi e la misura


Figura 7.2: grafici degli spessori ottici differenziali (pannelli in alto) ed integrati

(pannelli in basso) per una cosmologia ΛCDM (linea continua) ed una cosmologia

SUGRA (linea a tratti); sono stati considerati due diversi valori di Ω0M : 0.3 (colonna

sinistra) e 0.27 (colonna destra). In entrambi i casi, i grafici si riferiscono alle soluzioni

numeriche; per il modello ΛCDM , l’accordo con i risultati analitici mostrati in figura

7.1 e migliore di alcune parti per migliaia.

di WMAP e la banda delimitata dalle linee a punti rappresenta l’intervallo

di confidenza pari ad 1 σ dei dati.

In relazione ai corrispondenti calcoli relativi al modello SUGRA, bisogna

considerare quanto segue.

Per un fluido cosmico di materia, radiazione e costante cosmologica con


wΛ = −1, l’espressione di H(z) e la (1.60),

H2(z) = H20 (1+z)2

[

1−Ω0+Ω0M(1+z)+Ω0R(1+z)2+Ω0Λ(1+z)−2]

.

(7.4)

Nei modelli di quintessenza, abbiamo visto che il campo scalare produce

un parametro di stato diverso da −1 e variabile in z, quindi, H(z) e una

funzione che dipendera dal redshift anche attraverso wΦ = wΦ(z), dove Φ e il

campo scalare in questione. Naturalmente, tutto cio si traduce nel sostituire

il termine Ω0Λ(1 + z)−2, nella (7.4), con Ω0Φ(1 + z)1+3wΦ(z).

Assumendo un universo piatto, in cui la radiazione e trascurabile rispetto

alla materia, ed un potenziale SUGRA normalizzato in modo che

w0Φ = −0.85, si ottengono i risultati mostrati in figura 7.2. Come paragone,

sono stati graficati anche gli analoghi andamenti per il modello ΛCDM

calcolati, stavolta, numericamente: l’accordo con la soluzione analitica e di

alcune parti per migliaia. E chiaro che il modello ΛCDM ha uno spessore

ottico piu alto del modello SUGRA dell’un per cento circa a z ≃ 17,

implicando questo un’epoca di completa reionizzazione un po’ ritardata.

Il risultato e compatibile con le simulazioni numeriche, in quanto (vedi

capitolo VI) nei modelli SUGRA considerati viene favorita la formazione

delle strutture, in confronto con i modelli ΛCDM . Essendo il numero di

oggetti formati maggiore, anche la reionizzazione sara agevolata e spostata

verso epoche precedenti. Va comunque detto, pero, che lo spostamento e

solo di qualche unita di redshift, ovverosia, in tempo, si tratta di “soli” 15±5

milioni di anni, circa, avendo considerato anche l’intervallo di confidenza dei

dati di WMAP.

Per completezza, abbiamo considerato anche l’ipotesi che il campo

di quintessenza sia soggetto a potenziali diversi da quello descritto in

precedenza: la figura 7.3 mostra i risultati delle integrazioni numeriche, oltre

che per il modello standard ΛCDM , anche per diversi potenziali SUGRA

variamente normalizzati e per un potenziale Ratra & Peebles; per tutti i

modelli sono stati considerati i seguenti parametri cosmologici geometrici:


Figura 7.3: il grafico mostra il risultato delle integrazioni numeriche dello spessore ottico

per vari modelli; essi sono indicati, in ordine, dall’alto verso il basso, nella didascalia e

descritti nella tabella 7.1.


Tabella 7.1: Vari modelli di quintessenza

Modello Descrizione

ΛCDM modello standard(linea continua)

SUGRA − 0.95 potenziale SUGRA con w0Φ = −0.95(linea a punti)

RP − 0.83 potenziale Ratra & Peebles con w0Φ = −0.83(linea a tratti brevi)

SUGRA − 0.90 potenziale SUGRA con w0Φ = −0.90(linea a tratti brevi e tratti lunghi)

SUGRA − 0.85 potenziale SUGRA con w0Φ = −0.85(linea a tratti lunghi)

SUGRA − 0.83 potenziale SUGRA con w0Φ = −0.83(linea a tratti e punti)

h = 0.7, Ω0M = 0.3, Ω0Φ = 0.7. Per ulteriori dettagli si veda la tabella

esplicativa 7.1.

Un breve commento alla figura: si vede come, al tendere di w0Φ a −1,

i potenziali tendano a riprodurre lo stesso andamento del modello ΛCDM ,

in cui w0Φ ≡ wΛ = −1, come e naturale che sia.

Inoltre, il paragone tra lo spessore ottico integrato, τ(z), determinato con

un potenziale Ratra & Peebles normalizzato da w0Φ = −0.83 (linea a

tratti brevi), e il corrispondente spessore ottico determinato da un modello

SUGRA, normalizzato sempre in modo da avere w0Φ = −0.83 (linea

a tratti e punti), ci permette di constatare gli effetti della correzione

supergravitazionale, la quale fa anticipare la reionizzazione di oltre una

unita in redshift, ossia di circa 20 milioni di anni. L’effetto e comunque

comparabile alle incertezze su Ω0M .


7.2 Formazione stellare dopo la reionizzazione:modello di SFR

Dopo la fase di reionizzazione dovuta alle stelle di popolazione III, si

svilupperanno le successive generazioni stellari oggi osservabili. Una delle

principali quantita necessarie per determinare l’evoluzione delle popolazioni

stellari, come gia anticipato nel capitolo II, e il tasso di formazione stellare

o star formation rate (SFR).

In generale, capire l’andamento dello SFR di una data popolazione stellare

e un’impresa ardua, vista la dipendenza non solo dai vari parametri

cosmologici, geometrici e spettrali, ma anche dai parametri chimici ed

evolutivi dell’insieme in questione. Oltre tutto, ci sono forti dipendenze

dalle caratteristiche contingenti e locali del mezzo interstellare. Da un punto

di vista cosmologico, si puo pensare di prescindere da questi e tentare di

misurare o calcolare uno SFR medio per tutto l’universo, al variare del

redshift.

Di seguito, proporremo un modello analitico semplice e del tutto generale,

il cui studio e stato avviato da Springel & Hernquist (si veda [19] e [42] ):

noi lo generalizzeremo per i nostri modelli di energia oscura.

Lo scopo e identificare i meccanismi cosmologici di base che guidano

l’evoluzione della formazione stellare, senza pretendere di entrare nei

dettagli tecnici. Per cominciare, possiamo scrivere lo SFR, ρ⋆(z), come

segue:

ρ⋆(z) = ρ(z)〈M⋆〉M

= ρ0

∫ 〈M⋆〉M

dF (M, z) = ρ0

∫

g(M, z) s(M, z) d lnM ,

(7.5)

dove 〈M⋆〉 e la massa stellare media formatasi nell’unita di tempo, ρ(z) e la

densita media dell’universo ad un redshift z, ρ0 vale

ρ0 ≡3H2

0

8πGΩ0M ,

conH0 costante di Hubble e Ω0M attuale parametro di densita della materia,

F (M, z) e una funzione di massa, le funzioni g(M, z) e s(M, z), dipendenti

7.2 Formazione stellare dopo la reionizzazione: modello di SFR 189

dalla massa degli aloni, M , e da z, sono definite nel seguente modo:

g(M, z) ≡ dF

d lnM(7.6)

e

s(M, z) ≡ 〈M⋆〉M

. (7.7)

La funzione s(M, z), definita dalla (7.7), e la frazione di formazione stellare

per alone. Definiamo, poi, in modo autoconsistente,

v2V IR ≡ GM

R, (7.8)

ponendo

M =v3

V IR

10GH(z)(7.9)

e

R =vV IR

10H(z); (7.10)

qui, H(z) rappresenta il parametro di Hubble in funzione del redshift. La

temperatura di virializzazione TV IR, espressa in gradi Kelvin, e

TV IR =µ v2

V IR

2 kB≃ 36

(

vV IR

[km/s]

)2

K (7.11)

avendo considerato, brutalmente, ma senza sbagliare per le stelle che si

cominciano a formare dopo la reionizzazione, µ ≃ 0.6 come peso molecolare

medio. Esprimendo TV IR in funzione della massa e facendo uso della

definizione (7.8), si trova

TV IR ≡ T (M, z) = 9.5 · 107

(

M

[1015M⊙h−1]

)

χ(z) K , (7.12)

con

χ(z) ≡[

H(z)

H0

]2/3

= E2/3(z) .

Il calcolo di s(M, z), come definito in (7.7), e complicato dai processi di

raffreddamento considerati. E comodo sfruttare l’ansatz

s(M, z) ≡ s (T (M, z)) q(z) ,


separando la dipendenza esplicita del redshift dalla temperatura: questo e

suggerito anche dalle simulazioni, come mostrato in [19]. Tra l’altro, esse

confermano che lo SFR diventa efficiente, tipicamente, a T & 104K, qualora

si consideri raffreddamento guidato da H ed He (ipotesi molto verosimile

per le stelle di popolazione II); percio, assumiamo

s(M, z) ≡ s (T (M, z)) q(z) =

s0q(z) T > 104K0 altrimenti

(7.13)

con s0 costante da determinare sperimentalmente. Detta M4 la massa

corrispondente a TV IR = 104K e σ24 la varianza corrispondente ad M4,

σ24 = σ2(M4(z), z), dalla relazione (7.5) e dall’ansatz (7.13), segue

ρ⋆(z) = ρ0s0q(z) [F (+∞, z) − F (M4, z)] ; (7.14)

questa espressione puo essere scritta come

ρ⋆(z) = ρ0s0q(z)

[

1 − erf

(

δc√2σ4

)]

, (7.15)

usando una funzione di massa di Press & Schechter, oppure, come

ρ⋆(z) = ρ0s0q(z)

[

1 − Aerf

( √aδc√2 σ4

)

− A√23/5π

Γ

(

1

5,a δ2

c

2 σ24

)]

≈ ρ0s0q(z)1

1 + 52

√π

√aδc√2σ4

exp(√

aδc√2σ4

)2 , (7.16)

usando una funzione di massa di Sheth & Tormen, in cui

A = 1 +

[

Γ(

15

)

√23/5π

]−1

≈ 0.3222 ,

a = 0.707, δc ≃ 1.686; la funzione Γ di Eulero e la funzione Γ incompleta di

Eulero, Γ, sono definite, rispettivamente, come

Γ(a) =

∫

ta−1e−t dt

e

Γ(a, x) =

∫ x

0

ta−1e−t dt .


Ad alti z, per la funzione di massa di Sheth & Tormen, si ha l’andamento

ρ⋆(z)z≫1∼ q(z)σ4(z) exp

(

− aδc2σ2

4

)

. (7.17)

Detto D il fattore di crescita ed n l’indice spettrale efficace, la varianza

scala come σ2(z) ∼ D2(z) ed, inoltre, σ2(z) ∼M−(n+3)/3, quindi,

σ24(z) ∼ D2(z)M

−(n+3)/34 ∼ D2(z)χ(n+3)/3(z) . (7.18)

Per universi piatti, all’ordine piu basso, D(z) ∼ χ−1(z) e, dalla (7.18),

σ24(z) ∼ χ(n−1)/4(z).

Il comportamento di q(z) e piu complesso. Il calcolo del tempo di

raffreddamento, tcool, per una massa di gas, Mgas, a simmetria sferica, ad

una temperatura T , in un alone di massa MV IR e raggio RV IR,

tcool(r) =3kBTρgas(r)

2µn2H(r)Λ(T )

,

con profilo di densita isotermo,

ρgas(r) =(3 − η)Mgas

4πR3−ηV IR r

η,

in cui η e un opportuno parametro di fit che vale circa η ≈ 1.65 (vedi [19]),

ci porge un tasso di raffreddamento o cooling rate

rcool =

[

(3 − η)MgasRη−2V IR

4πf(T )vV IR

]1/η

,

con

f(T ) = tcool(r)ρ(r) =3m2

HkBT

2µX2Λ(T ),

essendo X la frazione di idrogeno, µ il peso molecolare medio, kB la costante

di Boltzmann, Λ la funzione di raffreddmento, mH la massa dell’atomo di

idrogeno,

dMcool

dt= 4πρgas(rcool)r

2cool

d rcool

dt=

3 − η

ηfbMV IR

[

(3 − η)fb

4πGf(T )

](3−η)/η

[10H(z)]3/η

la massa raffreddata nell’unita di tempo e fb ≡ Mgas/MV IR la frazione

barionica. Ora, in virtu della definizione (7.7), ci aspettiamo che q(z)


dipenda da η ed infatti, un buon fit dei risultati delle simulazioni e fornito

da [19]

q(z) ≃[

χχ

(χm + χm)1/m

]9/2η

,

con χ = 4.6 e m = 6. Sostituendo nella (7.17),

ρ⋆(z) = ρ0s0

[

χχ

(χm + χm)1/m

]9/2η1

1 + 52

√πu exp(u2)

, (7.19)

dove

u ≡ u(z) =

√aδc√

2σ4(z)∼ 0.21χ7/8 .

Il modello puo essere complicato incorporando gli effetti di feedback e dei

venti galattici: essi fanno crescere mediamente di tre volte s(M, z), per

T > 106.5K. In tal caso, assumiamo

s(T )q(z) =

s0q(z) 104 6 T/[K] < 106.5

3s0q(z) T/[K] > 106.5

0 altrimenti(7.20)

e

ρ⋆(z) = ρ0s0q(z) 3 [F (+∞, z) − F (M6.5, z)] + F (M6.5, z) − F (M4, z)(7.21)

che si esplicita come segue

ρ⋆(z)=ρ0s0

[

χχ

(χm + χm)1/m

]9/2η1

1+ 52

√πu exp(u2)

+2

1+ 52

√πw exp(w2)

,

(7.22)

essendo u come definito in precedenza e

w ≡ w(z) =

√aδc√

2σ6.5(z)∼ 0.67χ0.78 .

E interessante notare gli andamenti asintotici:

per bassi redshift,

ρ⋆(z)z<1∼ H4/3(z) ,

per alti redshift,

ρ⋆(z)z≫1∼ χ−1(z) exp

−βχ7/4(z)

,


con β = u2(0).

C’e, pertanto, un picco dipendente dal parametro libero χ: se χ → +∞,

allora zpeak ≃ 8.67; per valori finiti di χ, si sposta a redshift piu bassi; il

valore adatto di χ va calibrato ad hoc.

Nella figura 7.4, mostriamo le dipendenze dello SFR dai vari parametri

cosmologici e nelle figure 7.5 e 7.6 il calcolo per il modello ΛCDM e per

vari modelli di quintessenza. In generale, si vede come a bassi redshift ci

sia un declino dovuto all’espansione dell’universo che inibisce i processi di

raffreddamento; ad alti redshift, invece, le densita sono piu alte e, quindi, i

tempi di raffreddamento piu bassi, pero, benche le condizioni chimiche siano

molto favorevoli, c’e comunque un decremento, oltre il picco, col crescere

di z. Esso e dovuto essenzialmente al taglio esponenziale delle funzioni di

massa, dominante sulla crescita secondo legge di potenza dell’efficienza del

raffreddamento. In altre parole, ad alti redshift, anche se ci sono tutte le

prerogative per la formazione stellare, mancano gli aloni di materia oscura1

in cui essa possa avvenire: i siti per avviare significativamente la nascita

delle stelle non si sono ancora formati o, in ogni caso, la loro formazione e

scarsa.

Analizzando i parametri coinvolti nel nostro semplice modello (vedi sempre

la figura 7.4), si possono constatare diversi comportamenti:

• lo SFR cresce al crescere di σ8: il motivo e semplicemente che,

aumentando σ8, aumenta la normalizzazione dello spettro di potenza

e cio favorisce la crescita delle strutture su tutte le scale;

• lo SFR cresce al crescere di Ω0b: l’interpretazione ovvia e che maggiore

e Ω0b, maggiore e la quantita di gas a disposizione per formare

stelle, in particolare, come si vede dalla definizione (7.5), la crescita e

direttamente proporzionale ad Ω0b;

• lo SFR cresce al crescere di Γ: il motivo e banalmente connesso al1Nel capitolo I abbiamo discusso come gli aloni guidino la formazione delle strutture, anche

di quelle barioniche (ad esempio tramite il catch-up).


0 5 10 15 200.001

0.01

0.1

0 5 10 15 200.001

0.01

0.1

0 5 10 15 200.001

0.01

0.1

0 5 10 15 200.001

0.01

0.1

Figura 7.4: andamenti dello SFR per il modello ΛCDM . Si mostra come esso varia al

variare dei parametri cosmologici σ8 (pannello in alto a sinistra), Ω0b (pannello in alto

a destra), h0 (pannello in basso a sinistra) e Γ (pannello in basso a destra). I valori

considerati per il nostro modello sono σ8 = 0.9, Ω0b = 0.04, h0 = 0.7, Γ = 0.17 (linea

continua in tutti e quattro i pannelli); essi sono stati singolarmente variati come segue:

σ8 = 1.2, 1.0, 0.9, 0.8, 0.6 (nell’ordine, linea a tratti e punti, linea a punti, linea continua,

linea a tratti brevi, linea a tratti lunghi );

Ω0b = 0.06, 0.05, 0.04, 0.03, 0.02 (nell’ordine, linea a tratti e punti, linea a punti, linea

continua, linea a tratti brevi, linea a tratti lunghi );

h0 = 0.8, 0.7, 0.6, 0.5 (nell’ordine, linea a tratti lunghi, linea continua, linea a tratti

brevi, linea a punti );

Γ =0.21, 0.20, 0.19, 0.18, 0.17 (nell’ordine, linea a tratti e punti, linea a tratti lunghi,

linea a tratti brevi, linea a punti, linea continua ).


picco dello spettro di potenza; incrementando Γ, il picco sposta piu

potenza verso scale piu piccole favorendo la formazione delle strutture

e quindi aumentando lo SFR;

• lo SFR cresce al decrescere della costante di Hubble: questa e una

proprieta un po’ controintuitiva, ma va considerato che la costante

di Hubble gioca un duplice ruolo. Essa e direttamente coinvolta

sia nell’espansione cosmica, in virtu della legge di Hubble, sia nella

determinazione del picco dello spettro di potenza, in virtu dei fit su Γ

citati nel capitolo I, formule (1.134) e (1.135). Quando h aumenta, da

un lato, aumenta anche l’espansione sfavorendo la formazione stellare,

dall’altro, cresce Γ spostando la potenza delle perturbazioni su scale

piu piccole, a vantaggio della formazione stellare. L’effetto risultante

e dominato dall’ultima causa; del resto, la crescita delle perturbazioni

ad alto redshift e fortemente determinata dai parametri spettrali, piu

che dai parametri geometrici che sottostanno alla teoria di Jeans.

Interessante e notare come piccole variazioni dei parametri portino a

variazioni dello SFR anche notevoli, soprattutto ad alti z (si vedano

ad esempio gli effetti su σ8 e Γ). Anche questo fenomeno e dovuto al

decadimento esponenziale delle funzioni di massa che domina nel regime

in cui z ≫ 1.

In figura 7.5, mostriamo i risultati del calcolo dello SFR per i modelli

da noi seguiti. Di nuovo, troviamo una conferma degli andamenti globali

nella formazione delle strutture: il modello in cui si verifica la maggiore

formazione stellare e il SUGRA, seguito dal modello ΛCDM e dalle due

varianti con indice spettrale variabile (RSI), in ordine decrescente, SUGRA-

RSI e ΛCDM − RSI.

La figura 7.6, infine, riporta i risultati del calcolo dello SFR anche per

gli altri modelli di quintessenza gia discussi nel paragrafo precedente:

tre varianti del modello SUGRA con w0Φ = −0.85 normalizzate,

rispettivamente, da w0Φ = −0.83 (linea a punti ), −0.90 (linea a tratti


Figura 7.5: andamenti dello SFR per i modelli da noi considerati. La linee continue si

riferiscono ai modelli con Γ = 0.21, quelle a punti ai modelli con Γ = 0.17. In ordine,

dall’alto verso il basso, le curve si riferiscono ai seguenti modelli cosmologici: SUGRA

con w0Φ = −0.85, ΛCDM , SUGRA − RSI con w0Φ = −0.85 e ΛCDM − RSI.


Figura 7.6: andamenti dello SFR per vari modelli di quintessenza.

In entrambi i pannelli, mostriamo lo SFR per i modelli SUGRA con w0Φ = −0.85,

ΛCDM , SUGRA−RSI con w0Φ = −0.85 e ΛCDM −RSI (linee continue, nell’ordine,

dall’alto verso il basso) e, in aggiunta, abbiamo:

nel primo pannello − varianti del modello SUGRA normalizzate a w0Φ = −0.83 (linea

a punti ), −0.90 (linea a tratti brevi), −0.95 (linea a tratti lunghi), modello Ratra &

Peebles con w0Φ = −0.83 ed indice spettrale costante n = 1 (linea a tratti e punti);

nel secondo pannello − varianti del modello SUGRA−RSI normalizzate a w0Φ = −0.83

(linea a punti ), −0.90 (linea a tratti brevi), −0.95 (linea a tratti lunghi), modello Ratra

& Peebles con w0Φ = −0.83 ed indice spettrale variabile (linea a tratti e punti).


brevi) −0.95 (linea a tratti lunghi), e un modello Ratra & Peebles con

w0Φ = −0.83 (linea a tratti e punti); per tutti si considera sia il caso

di indice spettrale costante, n = 1, che di indice variabile (RSI). Cio

che ritorna e il graduale avvicinamento al modello standard man mano

che il parametro di stato si avvicina a −1. In particolare, i modelli di

quintessenza con indice n = −1 tendono al modello ΛCDM , mentre se

consideriamo un indice variabile (RSI), i modelli di energia oscura tendono

al modello ΛCDM − RSI, come e giusto che sia. Inoltre, confrontando

lo SFR del modello SUGRA con w0Φ = −0.83 (SUGRA-0.83) e il Ratra

& Peebles con w0Φ = −0.83 (RP-0.83) si ritrova l’effetto della correzione

supergravitazionale che fa incrementare la formazione delle strutture e anche

lo SFR di oltre due volte a z ≃ 15 e di ben tre volte se consideriamo gli

analoghi modelli con RSI, allo stesso redshift.

7.3 Considerazioni finali

Teniamo a sottolineare come i risultati dei calcoli analitici dello spessore

ottico e dello SFR siano compatibili tra di loro e seguano l’andamento

suggerito dalle simulazioni. Inoltre, vale la pena dire che i modelli

cosmologici di quintessenza da noi considerati portano tutti a risultati molto

vicini tra di loro, limitatamente al calcolo dello spessore ottico (si veda la

figura 7.3), ma le differenze possono essere notevoli in relazione alla crescita

delle strutture e allo SFR, come dimostrano i grafici in figura 7.5 ed in figura

7.6.

Capitolo 8

Conclusioni

E tu, Cielo, dall’alto dei mondisereni, infinito, immortale,

oh! d’un pianto di stelle lo inondiquest’atomo opaco del male!

Pascoli

La teoria della formazione delle strutture cosmiche, in ambito

cosmologico, permette di capire e descrivere l’evoluzione delle proprieta

medie dell’universo e del suo “contenuto”. Intendiamo con “contenuto”

non solo gli oggetti piu grandi e massivi osservabili, come ammassi e

superammassi di galassie, nettamente dominati dalla materia oscura, ma

anche oggetti relativamente piu piccoli, quali le galassie e le stelle. Questi

ultimi sono soggetti ad una fisica molto piu delicata e sottile, essendo

costituiti, in maniera non trascurabile, anche dal gas. E proprio il gas

sarebbe il principale responsabile di quella che viene normalmente detta

reionizzazione cosmica: un fenomeno per cui, dopo la neutralizzazione

dell’universo e la nascita dei primi oggetti, si avrebbe, ad opera proprio

delle prime strutture, un nuovo periodo di ionizzazione globale, a z ≃ 15,

circa duecento milioni di anni dopo il Big Bang.

Lo scopo del presente lavoro di Tesi e stato, appunto, indagare se tutto cio

sia stato possibile e come sia avvenuto.

Dopo aver rivisitato gli studi astrofisici che stanno alla base dei modelli di

200 Conclusioni

evoluzione delle strutture, abbiamo mostrato quali sono i dati osservativi a

sostegno dell’ipotesi precedente e spiegato come essa possa essere giustificata

attraverso la possibile esistenza di stelle di popolazione III.

Inoltre abbiamo parlato del contrasto esistente tra i dati di WMAP , che

suggeriscono una reionizzazione a z ≃ 15 ed un indice spettrale variabile

(RSI), e le simulazioni di Yoshida et al. (2003), che, assumendo gli stessi

dati, ne mostrano l’impossibilita.

Per tentare di risolvere la discrepanza, abbiamo cercato di studiare,

attraverso opportune simulazioni numeriche, la formazione delle strutture

in modelli con energia oscura. Essa sarebbe associata ad una non

ben determinata componente dovuta ad un campo scalare, detto di

“quintessenza”, originantesi dall’inflazione e soggetto ad un opportuno

potenziale di autointerazione. Il campo, evolvendo nel tempo, produrrebbe

un parametro di stato variabile secondo una relazione, al primo ordine, del

tipo wΦ(z) = w0Φ + w′Φ(z) z, con wΦ(z) > −1.

I modelli considerati sono stati: il modello standard ΛCDM , con indice

spettrale n = 1; il modello ΛCDM − RSI, variante del modello

standard, avente uno spettro di potenza con indice variabile; un modello di

quintessenza descritto da un potenziale supergravitazionale normalizzato da

un parametro w0Φ = −0.85 e con indice spettrale n = 1 (modello SUGRA);

infine, la corrispondente variante SUGRA− RSI.

Per questi sono state eseguite le relative simulazioni di formazione delle

strutture presso il supercomputer SP4 del centro di calcolo CINECA e ne

sono stati analizzati i dati.

Il processo di riduzione ha messo in evidenza, in primo luogo, che il

modello in cui c’e maggiore formazione di strutture e il SUGRA, seguito dal

modello ΛCDM , dal modello SUGRA−RSI e dal modello ΛCDM−RSI,sia dal punto di vista degli aloni di materia oscura, sia dal punto di vista

dei gruppi di gas.

201

Si e visto, poi, che le classiche funzioni di massa di Press & Schechter,

di Sheth & Tormen e di Jenkins et al. non sono adeguate per descrivere

bene il numero di oggetti collassati ad alti redshift (z > 15) e piccole

masse (∼ 104÷8M⊙h−1); inoltre, le strutture che dovrebbero portare alla

reionizzazione intorno a z ∼ 15 hanno masse appartenenti al regime di

“cut-off” delle predette funzioni.

Abbiamo verificato anche che le frazioni barioniche relative agli aloni,

mediamente, non corrispondono alla frazione barionica cosmica, ma sono

decisamente piu basse. Uno studio interessante e stato il calcolo, al variare

del redshift, del clumping factor, C, e del tempo di ricombinazione del gas:

esso ha messo in evidenza che le nubi piu concentrate sono riscontrabili nel

modello SUGRA per cui C ≃ 20 a z ≃ 19: non si tratta di un caso, essendo

questo il modello in cui c’e la maggiore e piu precoce formazione di oggetti;

nello stesso ordine precedente, si trovano concentrazioni via via decrescenti

nei modelli ΛCDM , SUGRA−RSI e ΛCDM −RSI con i rispettivi valori

di C poco maggiori dell’ unita, per tutti i redshift di interesse.

Al crescere del clumping factor, diminuira il tempo di ricombinazione che,

infatti, risulta massimo per il modello ΛCDM−RSI (in cui e pari a 2.2Gyr

circa a z ≃ 15) e minimo per il SUGRA (in cui vale meno di 0.1Gyr a

z ≃ 19).

Per raffinare l’analisi delle simulazioni, abbiamo anche studiato l’evoluzione

delle principali caratteristiche degli oggetti piu grandi e alcune loro

proprieta strutturali (distribuzione delle varie componenti della massa di

virializzazione, densita, temperatura).

Abbiamo, infine, calcolato lo spessore ottico differenziale ed integrato per

una varieta di modelli cosmologici di quintessenza variamente normalizzati

e confrontato i risultati con i dati osservativi, concludendo che un potenziale

di quintessenza porta ad una reionizzazione tanto piu anticipata quanto piu

il parametro di stato risulta maggiore di −1.

202 Conclusioni

L’analisi compiuta ci permette di affermare, a proposito dei quattro modelli

seguiti, che quelli con indice spettrale variabile (RSI) non sono compatibili

con la reionizzazione dell’universo a z ≃ 15, mentre i modelli ΛCDM e

SUGRA lo sono, sia dal punto di vista delle simulazioni, sia dal punto di

vista dello spessore ottico.

Finiamo col menzionare il semplice modello analitico di SFR costruito

per capire i processi fisici di base della formazione stellare, per vedere, dopo

la reionizzazione, come potrebbe svilupparsi la successiva generazione di

stelle (stelle di popolazione II) e per evidenziare i parametri cosmologici

coinvolti. I calcoli, compiuti per vari modelli, mostrano, al crescere di z,

un generale incremento, un succesivo raggiungimento di un valore massimo

(picco) ed un finale decremento. La caduta ad alti redshift e connessa

alla decrescita esponenziale delle funzioni di massa e quindi, alla graduale

mancanza di siti in cui avere formazione di stelle; invece, per bassi redshift,

quando z → 0+, lo SFR segue una legge di potenza: al decrescere del

redshift, l’espansione rallenta i processi di raffreddamento e, di conseguenza,

anche la formazione di strutture barioniche. In relazione alle dipendenze dai

parametri cosmologici, troviamo che lo SFR cresce al crescere di σ8, di Ω0b,

di Γ e, forse un po’ controintuitivamente, della costante di Hubble. Per

quanto riguarda il redshift di picco, invece, esso dipende da un parametro

libero, ma, in ogni caso, non puo assumere valori arbitrari, essendo limitato

superiormente dal vincolo z < 8.67 e, inferiormente, da z > 0: per z = 0, si

avrebbe una funzione nulla durante tutta l’evoluzione cosmica.

Per quanto riguarda le prospettive future, sarebbe interessante estendere

la nostra analisi anche ad altri modelli di energia oscura e studiare i processi

di reionizzazione, in modo molto piu dettagliato, tramite simulazioni di

trasporto radiativo.

Ovviamente, gli sviluppi possibili dipendono anche da eventuali conferme o

203

smentite degli attuali dati osservativi riguardanti lo spessore ottico e l’indice

spettrale.

Infine, va sottolineata la necessita di capire meglio gli andamenti delle

funzioni di massa ad alti redshift e basse masse, regimi in cui, abbiamo

visto, esse hanno dei chiari limiti di applicabilita.

. . . “Istra ten va, piu non t’adizzo”

Dante

204 Conclusioni

Appendice A

Random Walk

E poi che gli occhi a quelle luci appunto,ch’a lor sembrano un punto,

e sono immense, in guisache un punto a petto a lor son terra e mare

veracemente; a cuil’uomo non pur, ma questo

globo ove l’uomo e nulla,sconosciuto e del tutto; . . .

Lo scopo della presente appendice e studiare il moto casuale di N passi,

per semplicita assunti di lunghezza unitaria, in una dimensione, ognuno

con probabilita 1/2 di essere fatto in avanti o indietro. La probabilita che

si arrivi alla posizione m, dopo N passi, assunti indipendenti, oltre che

equiprobabili, e data da

w(m,N) =

(

1

2

)N

W (m,N) , (A.1)

dove W (m,N) e il numero delle possibili sequenze distinte che conducono

fino ad m. Vediamo come possiamo calcolare W (m,N) e, con questo, la

probabilita w(m,N) .

206 Random Walk

A.1 Approccio generale

Per essere in m, dopo N passi, e necessario percorrere (N + m)/2 passi

verso m ed (N −m)/2 nel verso opposto, per un numero totale di passi

(N +m)

2+

(N −m)

2= N . (A.2)

Il numero di sequenze possibili e percio

W (m,N) =N !

(

N+m2

)

!(

N−m2

)

!(A.3)

e quindi

w(m,N) =N !

(

N+m2

)

!(

N−m2

)

!

(

1

2

)N

=

(

NN+m

2

)(

1

2

)N

, (A.4)

essendo(

NN+m

2

)

l’abituale coefficiente binomiale.

La distribuzione ottenuta e la distribuzione di Bernoulli : essa porge la

probabilita che, su N eventi ciascuno con probabilita 1/2, ne vengano sortiti

esattamente (N +m)/2; infatti, l’espressione (A.4) puo essere scritta come

w(m,N) =

(

N

km

)

pNqN−km , (A.5)

con

p = 1/2 , q = 1 − p = 1/2km = (N +m)/2

. (A.6)

Ora, se x e un certo evento che segue la distribuzione di Bernoulli, si avra

〈x〉 =

n∑

x=1

xw(x) =

n∑

x=1

xn!

x!(n− x)!pxqn−x = np , (A.7)

〈x2〉 =

n∑

x=1

x2w(x) =

n∑

x=1

x2 n!

x!(n− x)!pxqn−x = np+n(n−1)p2 ,(A.8)

δ2 ≡ 〈(x− 〈x〉)2〉 = 〈x2〉 − 〈x〉2 = np(1 − p) = npq . (A.9)

A.1 Approccio generale 207

In particolare,

〈(

N +m

2

)

〉 =N

2, (A.10)

〈[(

N +m

2

)

− 〈(

N +m

2

)

〉]2

〉 = 〈(

N +m

2

)2

〉 − 〈(

N +m

2

)

〉2 =1

4N,

(A.11)

da cui segue

〈m〉 = 0 e 〈m2〉 = N . (A.12)

Consideriamo allora

w(m,N) =N !

(

N+m2

)

!(

N−m2

)

!

(

1

2

)N

(A.13)

e cerchiamone l’andamento asintotico, quando m ≪ N e N ≫ 1. Saranno

utili i seguenti sviluppi:

lnN !N≫1∼

(

N +1

2

)

lnN −N +1

2ln 2π +O

(

1

N

)

(A.14)

(formula di Stirling) e

ln(

1 ± m

N

)

N≫1∼ ±m

N− m2

2N2+O

(

m3

N3

)

(A.15)

(sviluppi in serie di Mc Laurin).

Risulta

lnw(m,N)N≫1∼

(

N +1

2

)

lnN −(

N +m+ 1

2

)

ln

[

N

2

(

1 +m

N

)

]

+

− 1

2ln 2π −N ln 2 −

(

N −m+ 1

2

)

ln

[

N

2

(

1 − m

N

)

]

N≫1∼

N≫1∼

(

N +1

2

)

lnN − 1

2ln 2π −N ln 2 +

−(

N +m+ 1

2

)[

lnN

2+m

N− m2

2N2

]

+

−(

N −m+ 1

2

)[

lnN

2− m

N− m2

2N2

]

N≫1∼

N≫1∼ −1

2ln 2π − m2

2N− 1

2lnN + ln 2 = ln

2√2πN

− m2

2N,

(A.16)

208 Random Walk

e quindi

w(m,N)N≫1∼

√

2

πNe−

m2

2N . (A.17)

Finora abbiamo considerato m, N ∈ N; effettuiamo il cambio di variabile

x = ml =⇒ dx = l dm (A.18)

con l ∈ R, anche x ∈ R e passiamo nello spazio dei reali, in cui l ed x

possono variare tra ] −∞,+∞[. Percio1

w(x,N)∆x =1

2w(m,N)

∆x

l=⇒ w(x,N) =

1√2πNl2

exp

(

− x2

2Nl2

)

(A.19)

e la densita di probabilita che una particella si trovi in [x, x+ ∆x].

Se vengono fatti N passi nell’unita di tempo t, n ≡ N/t, allora

def.: D = 12nl2 =⇒

w(x, t) =1

2√πDt

exp

(

− x2

4Dt

)

, (A.20)

sul dominio (x, t) ∈ R×R+ e la distanza quadratica media percorsa, 〈L2〉,

risulta pari a 〈L2〉 = 2DNt; con un calcolo diretto, si verifica poi che viene

soddisfatta l’equazione

∂w

∂t= D

∂2w

∂x2; (A.21)

essa e nota come equazione di diffusione e D e detto coefficiente di

diffusione. La generalizzazione in 3 dimensioni e immediata e conduce

all’equazione

∂w

∂t= D∇2w . (A.22)

1Per m sufficientemente grande, si puo passare al “limite del continuo”, supponendo m variare

con continuita, e scrivereR +∞0

w(m,N)dm =R +∞0

q

2

πNe−

m2

2N dm = (x = ml) =

= 1

2

R

+∞−∞

q

2

πNe− x

2

2Nl2dxl

=R

+∞−∞

1√2πNl2

e− x

2

2Nl2 dx ≡

R

+∞−∞ w(x, N)dx

A.2 Barriera riflettente 209

A.2 Barriera riflettente

Il punto di partenza e sempre la distribuzione

w(m,N) =N !

(

N+m2

)

!(

N−m2

)

!

(

1

2

)NN≫1∼

N≫1∼

√

2

πNexp

(

−m2

2N

)

, (A.23)

dove m, N ∈ N.

In presenza di una barriera riflettente situata nella posizione m1, una

particella che parte dall’origine puo essere riflessa prima di arrivare in un

punto P , posto in m 6 m1: la probabilita w(m,N)∆m di trovarla in

quel punto percio aumenta. In particolare, per ogni punto P , possiamo

considerare il punto P ′, immagine2 di P , rispetto ad m1; allora la densita

di probabilita e data da3:

w(m,N) + il contributo relativo aP ′, che ha coordinate (2m1 −m,N) ,

ovvero

w(m,N ;m1) = w(m,N) + w(2m1 −m,N)N≫1∼

N≫1∼

√

2

πN

exp

(

−m2

2N

)

+ exp

[

−(2m1 −m)2

2N

]

.

(A.24)

Come prima, effettuando le sostituzioni

x = ml, x1 = m1l, D =1

2nl2, n =

N

t, (A.25)

con l, x, x1, D ∈ R e n, t ∈ R+, abbiamo

w(x, t; x1)N≫1∼

1

2√πDt

exp

(

− x2

4Dt

)

+ exp

[

−(2x1 − x)2

4Dt

]

,

(A.26)

2P ′ e la posizione che raggiungerebbe la particella, se non ci fosse la barriera.3Facciamo la somma dei due eventi, perche si puo arrivare in m o direttamente o urtando la

barriera; non serve che i due eventi si verifichino entrambi e simultaneamente.

210 Random Walk

essendo w(x, t; x1)∆x la probabilita di trovare la particella in [x, x+ ∆x] e

avendo considerato l’effetto della barriera tramite P ′.

Osserviamo che sulla barriera:

∂

∂xw(x, t; x1)

∣

∣

∣

∣

x=x1

= w(x, t; x1)

− 2x

4Dt+

2(2x1 − x)

4Dt

∣

∣

∣

∣

x=x1

= 0 . (A.27)

A.3 Barriera assorbente

A.3.1 Distribuzione di probabilita

Qualora vi sia una barriera assorbente sita inm1, calcoliamo la distribuzione

di probabilita escludendo la traiettoria che arriva al punto immagine

(proprio perche la particella viene assorbita in m1): essa viene detta

“traiettoria proibita”. Avremo:

w(m,N ;m1) = w(m,N) − w(2m1 −m,N)N≫1∼

N≫1∼

√

2

πN

exp

(

−m2

2N

)

− exp

[

−(2m1 −m)2

2N

]

.

(A.28)

Di nuovo, effettuando le sostituzioni

x = ml, x1 = m1l, D =1

2nl2, n =

N

t(A.29)

con l, x, x1, D ∈ R e n, t ∈ R+, abbiamo

w(x, t; x1)N≫1∼

1

2√πDt

exp

(

− x2

4Dt

)

− exp

[

−(2x1 − x)2

4Dt

]

, (A.30)

essendo w(x, t; x1)∆x la probabilita di trovare la particella in [x, x+ ∆x] e

avendo considerato l’effetto della barriera tramite P ′.

Osserviamo che:

∂

∂xw(x, t; x1)

∣

∣

∣

∣

x=x1

= w(x, t; x1)

− 2x

4Dt+

2(2x1 − x)

4Dt

∣

∣

∣

∣

x=x1

= 0 . (A.31)

A.3.2 Tasso di probabilita di deposito sulla barriera (velocita diarrivo sulla barriera)

Vogliamo conoscere la probabilita a(m1, N) di arrivo della particella in

m = m1, in N passi, senza aver mai precedentemente toccato la barriera.

A.3 Barriera assorbente 211

Osserviamo che se m1 e pari (dispari), allora N e pari (dispari) e

necessariamente N > m1.

Indichiamo con (m1, N) la generica posizione nello spazio (m,N) ∈ N2.

Allora:

A - tra le traiettorie che giungono in (m1 − 1, N − 1), sono permesse solo

quelle che non toccano (m1−1) in meno di (N−1) passi, ossia toccano

(m1 − 1), per la prima volta, dopo il passo (N − 1)−esimo;

B - le traiettorie che arrivano in (m1 + 1, N + 1) sono proibite, perche

superano la barriera assorbente in (m1, N); ovviamente, le traiettorie

che giungono in (m1 + 1, N + 1) passano anche, necessariamente, per

(m1 − 1, N − 1).

In riferimento al caso A, facciamo presente che il numero di traiettorie che

giungono in (m1 − 1, N − 1), avendo toccato gia la barriera in m1 e uguale

al numero di traiettorie che giungerebbero in (m1 + 1, N − 1) in assenza

di barriera (metodo del punto immagine). Se W e il numero di modi per

costruire le traiettorie, cioe W (m,N) e tale che w(m,N) = W (m,N)2−N ,

allora nel computo totale andranno sottratti i contributi delle traiettorie

proibite: il numero di modi con cui una particella puo giungere in m1, dopo

N spostamenti, senza aver mai toccato la barriera, e dunque

W [a(m1, N)] = W (m1, N)−W (m1 +1, N−1)−W (m1−1, N−1), (A.32)

dove il secondo termine si riferisce alle traiettorie proibite del caso A e il

terzo a quelle del caso B; il primo e il termine relativo alla libera diffusione

delle particelle. La precedente relazione diventa poi

W [a(m1, N)] = W (m1, N) − 2W (m1 + 1, N − 1) =

=N !

(

N+m1

2

)

!(

N−m1

2

)

!− 2

(N − 1)!(

N+m1

2

)

!(

N−m1−22

)

!=

=N !

(

N+m1

2

)

!(

N−m1

2

)

!− 2

N

N !(

N+m1

2

)

!(

N−m1

2− 1)

!=

=N !

(

N+m1

2

)

!(

N−m1

2

)

!

(m1

N

)

, (A.33)

212 Random Walk

da cui ricaviamo

a(m1, N) =m1

Nw(m1, N) . (A.34)

Per N ≫ 1:

a(m1, N)N≫1∼

m1

N

√

2

πNexp

(

−m2

2N

)

. (A.35)

Definiamo:

x = ml, x1 = m1l, D =1

2nl2, n =

N

t, (A.36)

con l, x, x1, D, ∈ R e n, t ∈ R+; allora

a(x1, t)N≫1∼

x1

nt

1

2√πDt

exp

(

− x21

4Dt

)

. (A.37)

Se vogliamo la probabilita q(x1, t)∆t che la particella arrivi in x1,

nell’intervallo [t, t+ ∆t] per la prima volta, allora q(x1, t)∆t = a(x1, t)n∆t,

ovvero

q(x1, t)N≫1∼

x1

t

1

2√πDt

exp

(

− x21

4Dt

)

. (A.38)

La quantita q(x1, t) e interpretabile come la frazione per unita di tempo di

un gran numero di particelle che inizialmente sono in x = 0 e che si sono

depositate sullo schermo, posto in x1 dopo che e trascorso un tempo t: in

altre parole, q(x1, t) e la probabilita per unita di tempo che una particella si

trovi in x = x1, dopo un tempo t, essendo partita da x = 0 quando t→ 0+.

Notiamo che

q(x1, t) = −D(

∂w

∂x

)∣

∣

∣

∣

x=x1

(A.39)

con

w(x, t; x1) =1

2√πDt

exp

(

− x2

4Dt

)

− exp

[

−(2x1 − x)2

4Dt

]

; (A.40)

infatti:

∂

∂xw(x, t; x1) =

1

2√πDt

− 2x

4Dtexp

(

− x2

4Dt

)

− 2(2x1−x)4Dt

exp

[

−(2x1−x)2

4Dt

]

,

(A.41)

da cui(

∂w

∂x

)∣

∣

∣

∣

x=x1

=1

2√πDt

(

− x1

Dt

)

exp

(

− x21

4Dt

)

= − 1

Dq(x1, t) . (A.42)

A.3 Barriera assorbente 213

Osserviamo, infine, che:

q(x1, t) = a(x1, t)n = a(x1, t)N

t∼ a(x1, t)N , (A.43)

ovvero, q(x1, t) ∼ probabilita che una particella sia in (x1, t)× “velocita ”

della particella: esso e un tasso di probabilita di deposito delle particelle sulla

barriera, essendo il prodotto della “velocita” di diffusione delle particelle, N

(numero di spostamenti effettuati nell’unita di tempo), per la probabilita

che esse arrivino sulla barriera.

214 Random Walk

Appendice B

Excursion Set e funzioni dimassa

. . . e quando miroquegli ancor piu senz’alcun fin remoti

nodi quasi di stelle,ch’a noi paion qual nebbia, a cui non l’uomo

e non la terra sol, ma tutte in uno,del numero infinite e della mole,

con l’aureo sole insiem, . . .

La crescita delle perturbazioni e descritta dal contrasto di densita

δ(x, t) legato allo spettro di potenza P (k); quando si studia la teoria

della formazione delle strutture si trova che il valore in corrispondenza

del quale avviene il collasso e circa δc ≃ 1.686 (con deboli dipendenze

da ΩM , ΩΛ →vedi il modello di collasso sferico). In genere, si puo

trasferire la dipendenza temporale di δ(x, t) su δc secondo la relazione

δc(t) = δcD(t0)/D(t). Nel modello di collasso, ipotizziamo che un elemento

di massa m nella posizione x fara parte di un alone con massaM , nell’istante

t, se e solo se la fluttuazione lineare, centrata in x e filtrata su una sfera di

raggio R ∝ M1/3, δf (x, R), ha valore maggiore o uguale alla soglia critica

in quell’istante, ovvero: m(x) ∈M ⇐⇒ δf(x, R) > δc(t).

216 Excursion Set e funzioni di massa

B.1 Cammini Browniani

Il contrasto δf (x, R) si puo scrivere, matematicamente, come convoluzione

di δ(x) con una funzione finestra (dipendente da R) W (x, R),

δf (x, R) = (δ ∗W )(x, R) : (B.1)

usando il teorema di Parseval (〈f, g〉 = (2π)−n〈f , g〉, dove n e la dimensione

dello spazio), e sfruttando le proprieta delle trasformate di Fourier, in tre

dimensioni, possiamo scrivere

δf (x, R) = (δ ∗W )(x, R) =1

(2π)3

∫

d3kδ(k)W (kR) =

=1

2π2

∫ +∞

0

δ(k)W (kR)k2dk ≈ 1

2π2

∫ kf

0

δ(k)k2dk ≡ δf (x, kf).

(B.2)

Nell’ultimo passaggio, abbiamo usato per W una funzione gradino, ma in

generale, si avrebbe avuto un andamento analogo anche per filtri diversi e

δf (x, R) ≈ δf(x, kf); kf = 2π/R e il numero d’onda del raggio del filtraggio.

Pertanto, ad ogni punto x possiamo associare una coppia (kf , δf (x, kf)) che

descrive il filtraggio e la fluttuazione corrispondente al numero d’onda del

filtraggio stesso. Pero e comodo usare, anziche kf , una coordinata ad essa

legata, la varianza di massa filtrata su scala R(kf) nello spazio di Fourier:

σ2 = (σ2 ∗W 2)(x, R) =1

(2π)3

∫

d3k P (k)W 2(kR)

=1

2π2

∫ +∞

0

P (k)W 2(kR)k2dk ≈ 1

2π2

∫ kf

0

P (k)k2dk ≡ S(kf) .

(B.3)

Di solito, S(kf) e una funzione monotona di kf , con S(0) = 0 ed

S(+∞) = +∞, percio

• se kf ր=⇒ S(kf) ր: molta dispersione su scale piccole,

• se kf ց=⇒ S(kf) ց: poca dispersione su scale grandi.

B.1 Cammini Browniani 217

Nello spazio (S, δf ), per ogni punto x si puo costruire una traiettoria

filtrando (quindi variando S) su scale diverse la distribuzione di massa

intorno al punto x e “misurando” il corrispondente valore di δf (x, Rf).

Partendo da R −→ +∞, ovvero S(kf) −→ 0, δf(x, kf) −→ 0, l’evoluzione

della traiettoria al decrescere della scala di filtraggio sara tale da allontanarsi

dall’origine (S = 0, R → +∞, δf = 0) in modo stocastico, a seconda di come

la massa si distribuisce attorno a x. Pertanto, la distribuzione di probabilita

delle traiettorie che hanno un certo valore di δf , fissato S, e gaussiana e

soddisfa l’equazione di diffusione. In pratica, c’e una forte analogia con i

cammini browniani classici: infatti, in termini matematici, per un cammino

browniano libero avremo

Q(δf , S) dδf =1√2πS

exp

(

−δ2f

2S

)

dδf . (B.4)

Essa e la frazione numerica di traiettorie, ovvero la probabilita di trovare

una traiettoria, nell’intervallo [δf , δf + dδf ], dato S; si noti che Q(δf , S) e

normalizzato all’unita (come deve essere per avere consistenza con il suo

significato):∫

Q(δf , S)dδf = 1 . (B.5)

E facile verificare che Q(δf , S) soddisfa l’equazione di diffusione

∂Q

∂S=

1

2

∂2Q

∂δ2f

. (B.6)

Osserviamo che, cosı come la distribuzione dall’origine di una particella

varia casualmente nel tempo, anche le fluttuazioni in densita su una data

scala sono stocastiche e scorrelate, pertanto i contributi dei vari modi k

al campo δf (x, kf) sono tra di loro indipendenti. Tutto cio fa sı che la

traiettoria descritta da δf nello spazio bidimensionale (S, δf) sia un moto

browniano con S che “imita” il parametro temporale dei cammini classici:

l’equazione (A.20), con la posizione 2Dt = S e x = δf , diventa identica alla

(B.4) e l’equazione di diffusione (A.21) identica alla (B.6).


B.2 Modello degli Excursion Set

Dal formalismo dei cammini browniani (vedi [10]) si puo derivare la funzione

di massa di Press & Schechter per collasso sferico (vedi Bond et al.(1991),

[7]).

In ogni istante, l’esistenza di δc(t) segna una ordinata limite oltre la quale

c’e collasso. All’aumentare di S, quando il cammino supera per la prima

volta tale soglia, la perturbazione raggiunge una sovraddensita maggiore di

quella critica: cio avverra in corrispondenza di una certa ascissa S∗ (legata

ad un numero d’onda, che chiamiamo k∗, e ad una massa M∗ ∝ k−3∗ ); ovvero,

la traiettoria δf(x, kf) corrispondera ad un elemento di fluido appartenente

ad un alone di massa M(S∗), al tempo considerato.

Il motivo per cui si richiede che il cammino superi “per la prima volta” δc e

dovuto alla possibile esistenza di sottodensita locali su scale piu piccole di

M(S∗) (S > S∗). In ogni caso cio non inficia l’appartenenza dell’elemento

di fluido centrato in x all’alone.

Per calcolare la funzione di massa degli aloni di materia oscura, in un dato

istante, bisogna “contare” i vari tipi di traiettoria in riferimento alla soglia

critica δc(t). Ci sono tre possibilita:

1) traiettorie integralmente al di sopra della barriera, da un certo kf in

poi; cioe,

∃ k∗f : δf(kf) < δc(t) , ∀ kf < k∗f e δf (kf) > δc(t) , ∀ kf > k∗f

(kf e la scala tipica di riferimento);

2) traiettorie che superano la barriera per un certo k′f e passano al di

sotto per k′′f > k′f ; cioe,

∃k′′f : δf (kf) < δc(t) , ∀ kf > k′′f ,

∃k′f : δf(kf) > δc(t) , ∀ kf ∈ [k′f , k′′f ] e δf (kf) < δc(t) , ∀ kf < k′f ;

3) traiettorie che sono sempre al di sotto della barriera; cioe,

δf(kf) < δc(t) , ∀ kf .

B.2 Modello degli Excursion Set 219

In particolare, fissata una scala kf = k0, ovvero S(kf = k0) = S0, e

utile contare le traiettorie di tipo 3: quelle relative a elementi di fluido

appartenenti ad aloni di massa M < M(S0). Successivamente passeremo a

quelle complementari.

Calcoliamo la densita di probabilita di traiettorie che non hanno mai

raggiunto la barriera, cioe relative ad oggetti non collassati: essa sara

data dalla densita delle traiettorie di tipo 3 cui viene sottratta la densita

delle traiettorie di tipo 2 che sono scese al di sotto della barriera (queste

infatti corrispondono a strutture che vanno considerate gia collassate su

scale piu grandi, in R, e devono essere escluse dal computo degli oggetti

non collassati). La distribuzione del numero totale delle traiettorie e

semplicemente

QT (δf , S) =1√2πS

exp

(

−δ2f

2S

)

. (B.7)

La distribuzione di tipo 2 puo essere ricavata considerando la tecnica dei

punti immagine discussa nella precedente appendice: quando il cammino δf

incrocia δc(t) ha uguale probabilita di spostarsi verso l’alto o verso il basso

e i due cammini saranno simmetrici rispetto all’asse δf = δc(t). Questo vuol

dire che per ogni traiettoria che parte da (0, 0), ce ne sara una speculare

che parte da (0, 2δc) (vedi [10]); questa seconda possibile traiettoria virtuale

scende poi fino ad intersecare la prima in δf = δc(t). In altri termini la

traiettorie di tipo 2 sono una combinazione di traiettorie in parte ascendenti

- da (0, 0) - e in parte discendenti - da (0, 2δc). La densita di probabilita

associata alle traiettorie virtuali centrate in (0, 2δc) e

QV (δf , S, Sc(t)) =1√2πS

exp

(

− [δf − 2δc(t)]2

2S

)

, (B.8)

in analogia con quanto detto nell’appendice sui cammini stocastici (random

walk) e con [10]. Queste sono da sottrarre nel calcolo della densita totale,

perche descrivono un campo δf che, originariamente, e gia al di sopra della

soglia e che per questo dobbiamo escludere. Le traiettorie che partono da

(0, 0), invece, vengono considerate - finche δf < δc(t) - quando “contiamo” le


traiettorie totali al di sotto della soglia tramite la distribuzione precedente

QT (δf , S). Praticamente, il problema e molto simile a quello delle barriere

assorbenti, in particolare, nel nostro caso, l’assorbimento di una traiettoria

da parte della barriera equivale al collasso della perturbazione sulla scala in

corrispondenza della quale la traiettoria viene assorbita. Lo stesso vale per

tutte le traiettorie relative ad oggetti collassati.

La distribuzione risultante delle traiettorie che, al tempo t, non hanno mai

toccato la barriera e, allora,

Q(δf , S, δc(t)) = QT (δf , S) −QV (δf , S, Sc(t)) , (B.9)

ossia, in forma esplicita:

Q(δf , S, Sc(t)) =1√2πS

exp

(

−δ2f

2S

)

− exp

(

− [δf − 2δc(t)]2

2S

)

.

(B.10)

L’espressione per Q soddisfa l’equazione di diffusione (B.6) delle traiettorie

stocastiche, relative agli elementi di fluido, con la condizione che quelle

intersecanti la soglia δc(t) vengano assorbite. Formalmente essa e simile a

quella derivata nella precedente appendice (vedi equazioni (A.30), (A.39),

(A.42)). E proprio questo discorso che risolve il problema di Press &

Schechter del fattore 2 mancante: esso nasce perche ci si limita ad integrare

la distribuzione gaussiana da δc(t) fino a +∞, senza considerare l’addendo a

destra della (B.10), che deriva, come detto, da oggetti che vanno considerati

gia collassati (traiettorie di tipo 2.) ed esclusi dal calcolo di quelli non

collassati.

La frazione (probabilita) di traiettorie che, al tempo t, ancora non hanno

superato la barriera δc(t) e quindi

P (S, δc(t)) =

∫ δc(t)

−∞Q(δf , S, Sc(t)) dδf (B.11)

e la frazione (probabilita) di traiettorie che, al tempo t, hanno invece

superato la barriera e semplicemente la quantita complementare:

P (S, δc(t)) = 1 − P (S, δc(t)) =

∫ +∞

δc(t)

Q(δf , S, Sc(t)) dδf . (B.12)

B.3 Funzione di massa differenziale 221

spesso indicata come segue:

P (< S, t) ≡ P (S, δc(t)). (B.13)

Osserviamo che

S = S(kf) = S(kf(R)) = S(kf(R(M))) = S(M) . (B.14)

B.3 Funzione di massa differenziale

Consideriamo la distribuzione di probabilita delle traiettorie che, al tempo

t, hanno superato la barriera, per unita di varianza S:

p(S, δc(t)) ≡∂P

∂S(S, δc(t)) = − ∂

∂S

∫ δc(t)

−∞Q(δf , S, δc(t)) dδf . (B.15)

Sfruttiamo l’equazione di diffusione (B.6), dopo aver portato la derivata

sotto il segno di integrale,

p(S, δc(t)) = −1

2

∫ δc(t)

−∞

∂2Q

∂δ2f

dδf = −1

2

∂Q

∂δf

∣

∣

∣

∣

δc(t)

−∞=

=δc(t)√2πS3/2

exp

[

−δ2c (t)

2S

]

, (B.16)

ossia

P (σ, δc(t)) =δc(t)√2πσ3

exp

[

−δ2c (t)

2σ2

]

. (B.17)

Poiche, dalla (B.14), S e funzione di M , effettuiamo un cambio di variabile

come segue:

p(S, δc(t)) =∂P

∂S(S, δc(t)) ≡

df(S)

dS, (B.18)

cioe passiamo dalla variabile P alla variabile f , perche cosı si ha la derivata

totale dfdS

anziche la derivata parziale ∂P∂S

; a parte i dettagli matematici, P ed

f rappresentano la stessa distribuzione di probabilita, scritta esplicitando

le dipendenze in due modi diversi (ma consistenti). Scriviamo

df(M)

dM=df(S)

dS

∣

∣

∣

∣

dS

dM

∣

∣

∣

∣

=df(S)

dS

S

M

∣

∣

∣

∣

d lnS

d lnM

∣

∣

∣

∣

; (B.19)


allora, per la (B.18),

df(M)

dM= p(S, δc(t))

S

M

∣

∣

∣

∣

d lnS

d lnM

∣

∣

∣

∣

=δc(t)√2πS

exp

[

−δ2c (t)

2S

]

1

M

∣

∣

∣

∣

d lnS

d lnM

∣

∣

∣

∣

=

=δc(t)√

2π σ(kf)exp

[

− δ2c (t)

2σ2(kf)

]

2

M

∣

∣

∣

∣

d lnσ(kf)

d lnM

∣

∣

∣

∣

=

=

√

2

π

δc(t)

σ(kf)

1

M

∣

∣

∣

∣

d ln σ(kf)

d lnM

∣

∣

∣

∣

exp

− δ2c (t)

2σ2(kf)

(B.20)

La (B.20) e la frazione di massa collassata (frazione di oggetti collassati

per intervallo di massa). La densita numerica di aloni con massa M , in

un volume V , in un certo istante t (o se vogliamo ad un certo redshift z),

contenente una massa totale MTot, e, banalmente,

dn

dM≡ df

dM

1

V

MTot

M=

df

dM

ρ

M, (B.21)

essendo ρ la densita del volume considerato; quindi

dn

dM(M) =

√

2

π

ρ

M2

δc(t)

σ(kf)

∣

∣

∣

∣

d lnσ(kf)

d lnM

∣

∣

∣

∣

exp

− δ2c (t)

2σ2(kf)

. (B.22)

Essa e nota comunemente come funzione di massa.

Il modello degli excursion set ha problemi nel contare aloni poco massivi,

ma per M > M∗, con M∗ opportuno, e in ottimo accordo con i dati delle

simulazioni N -body e, inoltre, la funzione di massa differenziale e molto

poco sensibile alle particolari scelte dei filtri.

Modi alternativi di scrivere la funzione di massa

Def.:

ν =δc(t)

σ(M)=⇒ df

d ln ν=

√

2

πν exp

(

−ν2

2

)

; (B.23)

da cui

df

dν=

√

2

πexp

(

−ν2

2

)

=⇒ dn

dν=

√

2

π

ρ

Mexp

(

−ν2

2

)

(B.24)

B.4 Funzione di massa condizionale 223

e in funzione di σ e σ2:

dn

dM=

√

2

π

ρ

M2

δc(t)

σ(kf)

1

2

∣

∣

∣

∣

d lnσ2(kf)

d lnM

∣

∣

∣

∣

exp

− δ2c (t)

2σ2(kf)

=

=

√

2

π

ρ

M

δc(t)

σ2(kf)

∣

∣

∣

∣

dσ(kf)

dM

∣

∣

∣

∣

exp

− δ2c (t)

2σ2(kf)

=

=

√

2

π

ρ

M

δc(t)

2σ3(kf)

∣

∣

∣

∣

dσ2(kf)

dM

∣

∣

∣

∣

exp

− δ2c (t)

2σ2(kf)

. (B.25)

B.4 Funzione di massa condizionale

Con il formalismo sopra introdotto si puo costruire un insieme di risultati

utili a studiare le proprieta di merging (si veda ad esempio [23] e [24]). Esse

costituiscono quello che e comunemente detto modello di Press-Schechter

esteso. Perche si abbia merging, bisogna richiedere che un alone di massaM1

e varianza S1, al tempo t1, abbia massa M2 e varianza S2, al tempo t2, con

t1 < t2, M1 < M2, S1 > S2. In uno scenario di merging, nel piano (S, δf),si avra una evoluzione delle traiettorie δf(S) verso sinistra all’aumentare del

tempo, visto che si aspetta un aumento delle dimensioni, e un conseguente

decremento di kf e S(kf) = σ2(kf) dell’oggetto collassato, in virtu di eventi

di merging fra aloni diversi. Ora, dato un alone di massa M2 e varianza S2,

nell’istante t2, determiniamo come tale massa sia stata precedentemente

distribuita in aloni di massa M1 < M2, in un certo istante t1 < t2: allo

scopo, basta calcolare la probabilita condizionata p(in.|fin.):

p(S1, δc(t1)|S2, δc(t2)) =df

dS(S1, δc(t1)|S2, δc(t2)) =

=δc(t1) − δc(t2)√2π(S1 − S2)3/2

exp

− [δc(t1) − δc(t2)]2

2(S1 − S2)

.

(B.26)

Osserviamo che: S1 − S2 > 0, δc(t1) − δc(t2) > 0.

In funzione della massa dell’alone progenitore M1, si ha

p(M1, t1|M2, t2) = p(S1, δc(t1)|S2, δc(t2))

∣

∣

∣

∣

dS1

dM1

∣

∣

∣

∣

, (B.27)


dovedS1

dM1

= 2σ2

1

M1

∣

∣

∣

∣

d lnσ1

d lnM1

∣

∣

∣

∣

, (B.28)

e, come nel caso precedente, si arriva alla funzione di massa dei progenitori :

sia p(S1, S2) = dfdS1

, allora, come prima,

dn

dM1

(M1) =df

dM1

ρ

M1

=

=

√

2

π

[δc(t1) − δc(t2)]

2(σ21 − σ2

2)3/2

σ21ρ

M21

∣

∣

∣

∣

d lnσ1

d lnM1

∣

∣

∣

∣

exp

− [δc(t1) − δc(t2)]2

2(σ21 − σ2

2)

.

(B.29)

Appendice C

Formalismo generale nellaTeoria dei Campi classica

. . . le nostre stelleo sono ignote, o cosı paion come

essi alla terra, un puntodi luce nebulosa; al pensier mio

che sembri allora, o proledell’uomo?

Leopardi

Esistono vari modi di studiare evoluzione e proprieta di un dato

processo fisico, in particolare, il formalismo piu adatto, soprattutto nelle

teorie di campo, e quello lagrangiano (vedi, ad esempio, [26] e [13]).

Classicamente, assegnata una funzione lagrangiana che descrive, tramite

opportune coordinate generalizzate, il sistema fisico considerato, e possibile,

a partire da un principio di minima azione, derivare le equazioni del moto

per ciascuna quantita coinvolta.

C.1 Equazioni del moto

Esprimiamo matematicamente il concetto appena discusso. Se L(qi, qi) e la

lagrangiana e qi sono le coordinate generalizzate, allora si definisce l’azione

come

S ≡∫

L(qi, qi) dt (C.1)

226 Formalismo generale nella Teoria dei Campi classica

e si impone che la sua variazione δS sia nulla (δS = 0) lungo un cammino

con estremi fissi. In tal modo si ricavano le equazioni di Eulero-Lagrange

che regolano l’evoluzione del sistema:

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0 . (C.2)

Per generalizzare la procedura e semplificare i conti, puo essere comodo

considerare non una lagrangiana, ma una densita di Lagrangiana L che

possa dipendere dalle coordinate e dalle loro derivate:

L(q, q,µ) ≡∫

L (q, q,µ) dV , (C.3)

con dV elemento di volume spaziale dx1dx2dx3, q vettore delle coordinate

lagrangiane e gli indici greci variabili, al solito, da 0 a 3; in tal caso l’azione

e definita da

S ≡∫

L (q, q,µ) dV dt ; (C.4)

la precedente si mette, spesso, nella forma piu elegante

S ≡ 1

c

∫

L (q, q,µ) dΩ , (C.5)

dove l’elemento infinitesimo spaziotemporale e dΩ = dx0dx1dx2dx3 ≡ d4x,

con x0 = ct e xi indicanti le coordinate spaziali. Nel nostro caso, le

coordinate xα sono quelle che parametrizzano la varieta. L’annullamento

della variazione dell’azione porge

δS =1

c

∫

Ω

dΩ

∂L

∂qδq +

∂L

∂q,µδq,µ

= 0 ,

ovvero1

c

∫

Ω

dΩ

∂L

∂qδq + ∂µ

(

∂L

∂q,µδq

)

− ∂µ∂L

∂q,µδq

= 0 .

Nell’espressione precedente, per semplicita e stato posto L ≡ L (q, q,µ);

il secondo addendo non contribuisce alle equazioni del moto, essendo una

quadridivergenza1 e per il teorema fondamentale del calcolo variazionale, le

1Possiamo pensare al teorema di Gauss: dato un campo f , il flusso di f attraversol’ipersuperficie orientata dSµ vale

Φ(f) =

Z

∂Ω

f dSµ =

Z

Ω

∂µf dΩ;

C.1 Equazioni del moto 227

equazioni di Eulero-Lagrange diventano

∂µ∂L

∂q,µ− ∂L

∂q= 0 . (C.6)

Queste generalizzano le equazioni (C.2).

Fino ad ora, abbiamo implicitamente assunto che la metrica sia

minkowskiana, pero se cio non e vero l’elemento di volume non si conserva.

La quantita invariante che allora va usata e√−g dΩ e l’azione e

S ≡ 1

c

∫

L (q, q,µ)√−g dΩ . (C.7)

Il riflesso nelle equazioni (C.6) e la sostituzione di L con L√−g o,

equivalentemente, delle derivate con le derivate covarianti: si ottiene

∇µ∂L

∂(∇µq)− ∂L

∂q= 0 . (C.8)

Osserviamo, in riferimento alle integrazioni dei tensori, che queste, di per se,

non hanno senso, visto che non e possibile sommare tensori in punti diversi e

ottenere ancora un tensore. Le integrazioni sono sensate solo se l’integrando,

nel suo complesso, si comporta da scalare, infatti in tal caso, possiamo

calcolare l’integrando in punti diversi e, sommando, ottenere ancora uno

scalare che soddisfa la condizione φ′(x1) + φ′(x2) = φ(x1) + φ(x2), essendo

φ lo scalare calcolato nei punti x1 e x2 della varieta e φ′ il suo trasformato.

In generale, una densita di peso p e tale se, per definizione, l’espressione

della sua derivata covariante ∇cTa...b... coincide con l’espressione valida per

tensori piu il termine additivo −pΓddcT

a...b... , cioe

∇cTa...b... =

∂T a...b...

∂xc+ Γa

dcTd...b... − Γd

bcTa...d... + · · · − pΓd

dcTa...b... . (C.9)

Il peso p e determinato dalla potenza dello Jacobiano della trasformazione:

per una densita vettoriale di peso +1 risulta ∇aTa = ∂aT

a; per le metriche

gµ′ν′ =∂xµ

∂xµ′

∂xν

∂xν′ gµν (C.10)

in quattro dimensioni si ha

dSα =1

3!ǫαβγδdxβdxγdxδ.

Esplicitamente, le componenti della superficie orientatasono (dx1dx2dx3, dx0dx2dx3, dx0dx1dx3, dx0dx1dx2). In pratica, essa e la proiezione sul pianoxα = costante dell’elemento di volume quadridimensionale dΩ.


e il loro determinante, g = det gµν , segue la legge di trasformazione

g′ =

∣

∣

∣

∣

∂xµ

∂xµ′

∣

∣

∣

∣

2

g , (C.11)

quindi e una densita tensoriale di peso 2, mentre, supposto −g > 0,√−g ha peso p = 1. Ora in quanto scalare, la lagrangiana non ha

peso, invece l’elemento di volume dΩ ha peso p = −1; la combinazione

L√−g dΩ, globalmente, ha peso nullo, si comporta cioe da scalare ed ha

senso farne l’integrale su tutta la varieta o su regioni di questa. Cio giustifica

ulteriormente l’estensione fatta con la definizione (C.7).

C.2 Tensore energia-impulso

Oltre alle equazioni del moto, dall’azione si puo risalire anche al tensore

energia-impulso, dal quale si ricava immediatamente l’equazione di stato di

un dato sistema fisico: vediamo come.

Variando l’azione, si ha:

δS = δ

1

c

∫

dΩ√−gL

=1

c

∫

dΩ δ(√−gL ) =

1

c

∫

dΩ

∂(√−gL )

∂gµνδgµν +

∂(√−gL )

∂gµν,λ

δgµν,λ

. (C.12)

I termini variati rispetto alle coordinate forniscono le equazioni di Eulero-

Lagrange, quindi la loro somma e complessivamente nulla. Manipolando il

secondo addendo nella (C.12) ed integrando per parti (ovvero sfruttando il

teorema di Gauss), si ha

δS =1

c

∫

dΩ

∂(√−gL )

∂gµν− ∂λ

∂(√−gL )

∂gµν,λ

δgµν = 0 ; (C.13)

definiamo il tensore energia-impulso Tµν :

√−g2

Tµν ≡ ∂(√−gL )

∂gµν− ∂λ

∂(√−gL )

∂gµν,λ

; (C.14)

C.2 Tensore energia-impulso 229

allora

δS =1

2c

∫


µν = (C.15)

= − 1

2c

∫

dΩ√−g T µν δgµν = 0 , (C.16)

avendo usato gµνgµν = 1, da cui δgρσ = −gρµgσνδgµν . Grazie alle precedenti

uguaglianze, il tensore energia-impulso viene anche scritto come:

Tµν =2c√−g

δS

δgµν, (C.17)

oppure, in forma contravariante,

T µν = − 2c√−gδS

δgµν. (C.18)

Le espressioni (C.14), (C.17) e (C.18) sono definizioni equivalenti del tensore

energia-impulso Tµν . Inoltre, esse non sono arbitrarie, perche danno un

tensore simmetrico e covariantemente conservato; infatti, sviluppando gµν

in un intorno “piccolo” del generico punto xλ si ha

gµν(xλ + ξλ) ≃ gµν(xλ) + ξλgµν,λ (C.19)

con ξλ ≪ xλ, e sotto una trasformazione di coordinate abbiamo (evitando

di esplicitare la dipendenza da xλ):

gµ′ν′= gµν + gµβξν

,β + gανξµ,α − ξλgµν

,λ ≡ gµν + δgµν , (C.20)

essendo

δgµν = gµβξν,β + gανξµ

,α − ξλgµν,λ = ξν,µ + ξµ,ν − ξλgµν

,λ ; (C.21)

si verifica, poi, che

δgµν = ξµ;ν + ξν;µ . (C.22)


Usando la relazione (C.22) nell’espressione (C.15), troviamo

δS =1

2c

∫


µν =

=1

2c

∫

dΩ√−g Tµν (ξµ;ν + ξν;µ) =

=1

c

∫

dΩ√−g Tµν ξ

µ;ν =

=1

c

∫

dΩ√−g T ν

µ ξµ;ν =

=1

c

∫

dΩ√−g

[

(

T νµ ξµ

)

;ν− T ν

µ ;νξµ]

=

= −1

c

∫

dΩ√−g T ν

µ ;νξµ = 0 , (C.23)

dove si e tenuto conto della simmetria di Tµν , fra il secondo e terzo passaggio,

e del teorema di Gauss, per l’ultimo passaggio. In conclusione, il lemma

fondamentale del calcolo variazionale ci permette di scrivere

T νµ ;ν = 0 , (C.24)

che rappresenta le quattro equazioni di conservazione del tensore energia-

impulso.

Ovviamente, noto Tµν , e banale risalire all’equazione di stato, essendo il

termine di componenti (0, 0) la densita di energia e i termini diagonali

relativi alla pressione.

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The University of Chicago Press (1971)

238 BIBLIOGRAFIA

Ringraziamenti

...falsus honor iuvat quem?Orazio

Desidero ringraziare il Professor Lauro Moscardini ed il Dottor Klaus

Dolag, per la supervisione al lavoro, per gli utili consigli e per le stimolanti

discussioni.

Un ulteriore ringraziamento va al “neo” fisico teorico Michele Maio, per

aver dato un importante contributo alla stesura del testo, e ai miei genitori,

per il supporto morale e la continua presenza.

Infine, voglio ricordare tutti coloro che, direttamente o indirettamente,

hanno partecipato al mio lavoro ed i miei amici che, purtroppo,

presto abbandonero; in particolare, Gerardo, Giuseppe, Ruggero, Lorenzo,

Sebastian, Marco, Antonio, Carmelo, Giuseppe, Andrea, Federica, Filomena,

Nicoletta e (soprattutto) Annamaria: essi con il loro sorriso hanno di certo

aggiunto qualcosa a questo “frammento di vita”.

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Formazione delle prime strutture in modelli cosmologici di ...

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