Espressioni con funzioni trigonometriche e dilatazioni del piano cartesiano
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Ecco un’animazione per riflettere: una cosinusoide disegnata su un piano cartesiano che viene dilatato o contratto.
Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta2a
Espressioni con funzioni trigonometriche e dilatazioni del piano cartesiano
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Un’altra animazione per riflettere: una sinusoide disegnata su un piano cartesiano che viene dilatato o contratto.
Animazione Trigo_formule_Geo_Presenta2b
Funzioni trigonometriche e dilatazioni
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Attenzione alla lettura delle formule
A. La moltiplicazione per un numero intero indica un’addizione ripetuta
Con lettere e numeri affiancati è sottintesa la moltiplicazione
Ricordate perché non c’è moltiplicazione sottintesa fra sin e (2α) o fra sin e α?!
Definizione di sinα e cosα
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P percorre la circonferenza goniometrica in verso antiorario
sinα = yP
cosα = xP
P(cosα, sinα)
sin α è una sigla (come SIM, DVD, …) che sintetizza il procedimento per ottenere sin α. Analoga osservazione vale per cos α.
Funzioni trigonometriche e dilatazioni
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Attenzione alla lettura delle formule
B. Scrivere la moltiplicazione per un numero razionale
Con lettere e numeri affiancati è sottintesa la moltiplicazione
Funzioni trigonometriche e dilatazioni
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Attenzione alla lettura delle formule
In un’espressione dove compaiono funzioni trigonometriche, moltiplicazioni (e divisioni), i calcoli si eseguono in questo ordine stabilito: 1. funzioni trigonometriche; 2. moltiplicazioni (e divisioni).
Le parentesi cambiano questo ordine stabilito
€
2cosπ = 2 ⋅ (−1)prima il coseno
= −2
€
cos 2π( ) = 1prima la parentesi
Esempi
C. Funzioni trigonometriche e priorità delle operazioni
Funzioni trigonometriche e dilatazioni
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Le espressioni con funzioni trigonometriche si sono diffuse in Europa a partire dal Rinascimento; i lunghi calcoli con carta e penna hanno portato ad abbreviazioni di scrittura.
Attenzione alla lettura delle formule D. Abbreviazioni di scrittura per le funzioni trigonometriche
Funzioni trigonometriche e dilatazioni
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Attenzione alle formule abbreviate! In espressioni con funzioni trigonometriche e moltiplicazione troviamo convenzioni di scrittura per evitare errori di lettura.
10 Daniela Valenti, Treccani scuola
Formule di duplicazione Finora è chiaro che cosa NON si può fare in espressioni con funzioni trigonometriche e moltiplicazioni: - non posso dimenticare che sin 2α o cos 2α sono sigle,
perciò non posso immaginare una moltiplicazione sottintesa fra sin e 2α (o fra cos e 2α); - non posso dimenticare alcune convenzioni per
leggere e scrivere correttamente le formule.
Ma allora ci sono delle regole di calcolo per sviluppare formule come cos(2α) o sin(2α)? !
Sì. Prendono il nome di ‘Formule di duplicazione’ e le studiamo in questa lezione.
Attività 2. Ricavare le formule di duplicazione
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Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; ad ogni gruppo viene data una scheda di lavoro da completare.
Avete 40 minuti di tempo
Nel lavoro di gruppo sarete voi a partire dalle formule di addizione per ricavare le formule di duplicazione vederne immediate applicazioni.
Formule di duplicazione di seno e coseno
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sin(2α) = 2sinα cosα Effetto delle formule di duplicazione
Da un’espressione di 1° grado a un’espressione più lunga, di 2° grado.
Formule di duplicazione di seno e coseno
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Trasformare una funzione trigonometrica di 2° grado in una funzione trigonometrica di 1° grado.
Formule di duplicazione di seno e coseno
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Trasformare una funzione trigonometrica di 2° grado in una funzione di 1° grado.
Formule di bisezione di seno e coseno
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Nelle formule di bisezione compare il segno ± davanti al simbolo di radice quadrata; c’è un motivo algebrico: estrarre la radice quadrata nell’insieme dei numeri reali porta a due risultati opposti, ma c’è anche un motivo trigonometrico che ora vediamo.
C’è qualche valore di β per cui le formule perdono significato? No, perché le due espressioni sotto radice non diventano mai negative, dato che risulta -1 ≤ cosβ ≤ 1.
Formule di bisezione di seno e coseno
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€
cosβ2
= ±1+ cosβ
2 sin β
2= ±
1− cosβ2
Con le formule posso calcolare seno e coseno di β/2 anche se conosco solo cosβ ESEMPIO: conosco solo cosβ = ½ e potrei avere le seguenti situazioni:
Formule di bisezione di seno e coseno
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€
cosβ2
= ±1+ cosβ
2 sin β
2= ±
1− cosβ2
Se però conosco l’angolo β, non ho più l’indecisione del doppio segno ESEMPIO: conosco β = 45° e quindi β/2 = 22°30’
€
cos22°30'=1+
12
2
€
sin22°30'=1− 1
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Formula di bisezione della tangente
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C’è qualche valore di β per cui la formule perde significato? Sì, se β/2 = 90°, dato che non esiste tan90°. In questo caso anche il 2° membro perde significato, perché risulta: β = 180° e 1 + cos 180° = 0. Se pensiamo alla funzione periodica y = tan(x/2), questa situazione si ripete ogni volta che aggiungiamo a β = π multipli del periodo 2π.
Formula di duplicazione della tangente
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Non esiste tan90° perciò la formula perde significato se
α = 90° 2α = 90°α = 45°
Pensiamo alla funzione periodica y = tan(2x) e aggiungiamo a questi angoli multipli interi del periodo π/2.
Formule e tavole trigonometriche
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I calcoli appena eseguiti ci immergono in una storia che ha radici antiche, ma arriva fino a circa trent’anni fa, quando non erano diffuse le calcolatrici tascabili: per calcolare seno, coseno o tangente di un angolo si usavano le tavole e le formule.
Per questo erano molto importanti le formule di bisezione.