Frattali

alunni della classe IIB a.s 2004-2005I.C. “G.Rodari” Baranzate (MI)

Insegnante Susanna Abbati

Ricerca azione promossa dall'OPPI “Metodi per lo studio dei frattali”

• scienza che si occupa dei frattali ossia di figure geometriche che si ripetono sino all’infinito su scala sempre più ridotta.

• è stato Mandelbrot matematico francese a creare nel 1975 il termine frattale dal latino fractus (irregolare frastagliato)

• in natura esistono forme irregolari, che non possono essere studiate con la geometria euclidea nasce così la geometria frattale

classe IIB I.C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati2004/05

caratteristiche

• sono autosimili il piccolo riproduce il grande

• si ottengono per iterazione

• hanno dimensione frazionaria


Con il software Cabrì II plus abbiamo costruito i seguenti frattali

• Triangolo di Sierpinski

• Albero di Pitagora

• Curva o merletto di Kock

• Fiocco di neve

Abbiamo calcolato la dimensione frattale con Excel


• prende nome dal matematico polacco Waclaw Sierpinski che ne ha studiato la costruzione attorno al 1915• uno dei primi oggetti frattali della storia della matematica •caratteristica fondamentale delle figure frattali è l'autosimilarità• la figura si ottiene rimuovendo sempre il triangolo centrale• ogni triangolino che si ottiene ad un dato passo della costruzione è rimpicciolito di un fattore omotetico 2, rispetto triangolo al passo precedente

classe IIB I.C. Rodari di Baranzate (MI) docente Susanna Abbatia.s. 2004/05

passo figura N triangoli misura lato perimetro rapporto perimetro rispetto al precedente

0 1= 30 1 3x1=3

1 3= 31 1/2= 1/2 3x3x1/2= 32 /2 32 /2x1/3 = 3/2

2 9= 32 1/4 = 1/22 32x3x1/4= 33 /22 33 /22x2/32= 3/2

3 27= 33 1/8 = 1/23 33x3x1/8= 34/23 34/23 x 22 /33 = 3/2

n 3n 1/2n 3nx3x1/2n= 3n+1x1/2n 3/2

PERIMETRO TRIANGOLO SIERPINSKI

classe IIB I.C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati

2004/05

passo figura Area Rapporto area rispetto alla precedente

0 1

1 3/4 3/4

2 9/16 = 32 /42 32 /42 x4/3= 3/4

3 27/64= 33 /43 33 /43 x42/32= 3/4

n 3n /4n 3/4

AREA TRIANGOLO SIERPINSKI

classe IIB I.C. Rodari di Baranzate docente Susanna Abbati

2004/05

CHE COSA ABBIAMO OSSERVATO

Ad ogni passo• il numero dei triangoli triplica• la misura dei lati dimezza• il perimetro aumenta secondo un fattore costante 3/2• l’area diminuisce secondo un fattore costante 3/4

CARATTERISTICHE DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKI • perimetro infinito • area nulla• dimensione frattale 1,585 (calcolata con Excel)


passo figura N quadrati misura lato perimetro Rapporto perimetro rispetto al precedente

0 2=2 1 2x4x1

1 4=22 1/1,414 4x4 1/1,414 1,414=

2 8=23 1/2 8x4x1/2

n …=2n+1

2

2

2


Poiché il triangolo rettangolo isoscele è la metà di un quadrato, di cui l’ ipotenusa ne è la diagonale, per calcolare il lato dei quadrati, che a ogni iterazione diventano diagonale, abbiamo applicato la formula l=d/1,414 avendo posto uguale a 1 il lato del primo quadrato costruito sui cateti


passo figura Area

0 2

1

2

2 2

n 2

L’area non cambia perché a ogni passo, secondo il teorema di Pitagora, sommando l’ area dei quadrati sui cateti del triangolo rettangolo isoscele si ottiene l’area del quadrato sull’ ipotenusa.


C H E C O S A A B B IA M O O S S E R V A T O

Ad ogni passo• il numero dei quadrati raddoppia• il perimetro aumenta secondo un fattore costante 1,414• l’area resta costante

classe IIB I.C. Rodari di Baranzate (MI) docente Susanna Abbati

a.s.2004/05

CARATTERISTICHE DEL TRIANGOLO DI SIERPINSKI • perimetro infinito • area costante

ALBERO DI PITAGORA CON ANGOLI DI 30° E 60°


MERLETTO DI KOCK

COSTRUZIONE

• dividere in tre parti uguali il segmento

• eliminare il segmento centrale costruendo su di esso un triangolo equilatero

Il nome deriva dal matematico svedese Helge Von Koch che nel 1904 studiò tale curva


passo figura N lati misura lato perimetro Rapporto perimetro rispetto al precedente

0 1 1 3

1 4=22 1/3 4x1/3 4/3

2 16=24 1/32 16x1/32 4/3

n …=22n 1/3n 22n x1/3n 4/3

PERIMETRO TRIANGOLO MERLETTO DI KOCK



Ad ogni passo• il numero dei lati quadruplica• la misura dei lati diventa 1/3 della misura del lato precedente• il perimetro aumenta secondo un fattore costante 4/3

Dimensione frattale log4/log3=1,262


passo figura N lati misura lato perimetro Rapporto perimetro rispetto al precedente

0 3 1 3

1 12=22x3 1/3 12 x1/3 4/3

2 48=24x3 1/32 48x1/32 4/3

n …=22nx3 1/3n 22nx3 x1/3n 4/3

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a.s. 2004/05

PERIMETRO FIOCCO DI NEVE


Il fiocco di neve si ottiene applicando al triangolo equilatero la stessa iterazione del merletto di Kock quindi si mantengono le stesse caratteristiche ma il

FIOCCO DI NEVE NON E’ AUTOSIMILE



Rotazione del triangolo di Sierpinski


Rotazione di 60°del triangolo di Sierpinski con centro di rotazione su un vertice

Anche noi abbiamo utilizzato la struttura ricorsiva per creare con compasso china acquarelli matite colorate tavole da disegno seguendo le indicazioni fornite dall’insegnante di educazione artistica

• composizione con ritmo radiale uniforme alternato su struttura circolare

• composizione paesaggio con cinque piani spaziali (minimo)







arterie e vene coronariche tipico esempio di frattali applicati nello studio di strutture fisiologiche.

vasi sanguigni del cuore presentano ramificazioni di tipo frattale.

Calco di bronchi

I neuroni hanno una struttura simile ai frattali

Anche nel corpo umano si possono ritrovare strutture riconducibili ai frattali


http://www.galileimirandola.it

http://www.frattali.it

SITOGRAFIA


Date post:	13-Jul-2015
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