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L’onda è un fenomeno spazio - temporale
Ogni punto del mezzo oscilla con lo stesso moto della sorgente dell’onda
L’oscillazione di ciascun punto del mezzo è un fenomeno temporale
Se il moto oscillatorio della sorgente è armonico, l’onda che si propaga
nel mezzo si dice onda armonica
Per una trattazione quantitativa di un’onda armonica è quindi necessaria
una funzione che descriva l’oscillazione (tempo)
di ogni punto (spazio) del mezzo
w = f(t,x,y,z)
x
y
O
Oscillazione del punto O (sorgente)
Px
v
Oscillazione del punto P (qualsiasi)
x
vT
π2t
T
π2senA'ttωsenAx,tfy P
t
T
π2senAtωsenA0,tfy O
x
y
O
Fissato un istante t1, la funzione d’onda dà una configurazione dei punti del mezzo (fotografia della corda)
v
Il periodo dell’oscillazione spaziale è = T = Tּּvvdove = lunghezza d’onda
x
vT
π2t
T
π2senAx,tfy 11
x
y
O P
xP
L’oscillazione del punto P è identica a quella della sorgente O per ogni istante t ≥ xP/v
PP x
vT
π2t
T
π2senAx,tfy
Fissato un punto P, la funzione d’onda descrive l’oscillazione di P nel tempo
L’onda armonica che avanza nel verso della velocità si dice ONDA PROGRESSIVA e la sua funzione è:
λ
x
T
tπ2senAx,tfy
L’onda armonica che avanza nel verso opposto alla velocità si dice ONDA RETROGRADA e la sua funzione è:
λ
x
T
tπ2senAx,tfy
Quando in un punto di un mezzo elastico giungono due o più onde, queste si sovrappongono
Una particolare sovrapposizione, che prende il nome di interferenza,
si ha quando si sommano onde provenienti da sorgenti coerenti
(cioè che oscillano con la stessa ampiezza, frequenza e mantengono costante la loro differenza di fase)Nell’interferenza il mezzo assume una particolare
configurazione che è detta onda stazionaria
Quando in un mezzo elastico unidimensionale di lunghezza L
si sovrappongono un’onda armonica e la sua onda riflessa
si produce interferenza e quindi si forma un’onda stazionaria perché le due onde hanno stessa frequenza, stessa ampiezza (quelle della
sorgente) e differenza di fase costante
Se l’onda incidente è progressiva e avanza a velocità v, la sua funzione d’onda sarà:
λ
x
T
tπ2Asen
v
xtωAsenx,tf i
L’onda riflessa avrà la stessa ampiezza e frequenza ma verso opposto (retrograda) e fase iniziale a0 , quindi la sua funzione d’onda sarà:
00r α
λ
x
T
tπ2Asenα
v
xtωAsenx,tf
La sovrapposizione da origine all’onda descritta da
f f f At
T
x t
T
x
Ax
t
i r
sen sen
cos sen
2 2
2 22 2
0
0 0
L’onda risultante varia sinusoidalmente sia con il tempo t che con la posizione x,
ma l’argomento della funzione sinusoidale non è più t x/v,
cioè l’onda non si propaga più lungo il mezzo ma è stazionaria
Ogni punto P del mezzo oscilla di moto armonico con ampiezza
2
α
λ
xπ2cosA2xA 0
che dipende dalla sua posizione x nel mezzo e varia da un massimo di 2A (VENTRI) ad un minimo di 0 (NODI)
Viceversa in ogni istante t il mezzo ha la forma di una sinusoide la cui ampiezza
2
αtωsenA2tA 0 dipende dal tempo
Consideriamo un mezzo elastico unidimensionale di lunghezza L con gli estremi fissi
In tale caso l’onda stazionaria data dalla sovrap-posizione dell’onda incidente e riflessa produce, per determinate frequenze, la configurazione del mezzo sopra rappresentata
O L x
2
αtωsen
2
α
λ
xπ2cosA2fff 00
ri
02
αcosA2
2
α
λ
0π2cosA20A 00
L’onda stazionaria
ESTREMO O:
deve avere ai due estremi del mezzo dei nodi
da cui 0/2 = /2 e quindi 0 =
λ
xπ2senA2
2
π
λ
xπ2cosA2xA
0λ
Lπ2senA2LA
...,2,1kcon,2
λkL...2,1kcon,πk
λ
Lπ2
L’ampiezza dell’onda stazionaria allora diventa:
ESTREMO L:
da cui:
PERCIÒ L’ONDA STAZIONARIA IN UN MEZZO
UNIDIMENSIONALE CON GLI ESTREMI FISSI
SI GENERA SOLO QUANDO LA LUNGHEZZA DEL MEZZO
È UN MULTIPLO INTERO DI MEZZA LUNGHEZZA D’ONDA
I NODI per i quali è
0λ
xπ2senA2xA N
N
si trovano nelle posizioni xN tali che:
Inoltre
...,2,1,0kcon,2
λkx...2,1,0kcon,πk
λ
xπ2 N
N
I VENTRI per i quali è
A2λ
xπ2senA2xA V
V
si trovano nelle posizioni xV tali che:
...,2,1,0kcon,2
λk
4
λx...2,1,0kcon,πk
2
π
λ
xπ2 V
V
Consideriamo un mezzo elastico unidimensionale di lunghezza L con gli estremi liberi
In tale caso l’onda stazionaria data dalla sovrap-posizione dell’onda incidente e riflessa produce, per determinate frequenze, la configurazione del mezzo sopra rappresentata
O L x
2
αtωsen
2
α
λ
xπ2cosA2fff 00
ri
A22
αcosA2
2
α
λ
0π2cosA20A 00
L’onda stazionaria
ESTREMO O:
deve avere ai due estremi del mezzo dei ventri
da cui 0/2 = e quindi 0 = 2
λ
xπ2cosA2π
λ
xπ2cosA2xA
A2λ
Lπ2cosA2LA
...,2,1kcon,2
λkL...2,1kcon,πk
λ
Lπ2
L’ampiezza dell’onda stazionaria allora diventa:
ESTREMO L:
da cui:
PERCIÒ L’ONDA STAZIONARIA IN UN MEZZO
UNIDIMENSIONALE CON GLI ESTREMI LIBERI SI GENERA SOLO QUANDO
LA LUNGHEZZA DEL MEZZO È UN MULTIPLO INTERO
DI MEZZA LUNGHEZZA D’ONDA
I NODI per i quali è
0λ
xπ2cosA2xA N
N
si trovano nelle posizioni xN tali che:
Inoltre
...,2,1,0kcon,2
λkx...2,1,0kcon,πk
λ
xπ2 V
V
I VENTRI per i quali è
A2λ
xπ2cosA2xA V
V
si trovano nelle posizioni xV tali che:
...,2,1,0kcon,2
λk
4
λx...2,1,0kcon,πk
2
π
λ
xπ2 N
N
Consideriamo un mezzo elastico unidimensionale di lunghezza L con gli estremi liberi
In tale caso l’onda stazionaria data dalla sovrap-posizione dell’onda incidente e riflessa produce, per determinate frequenze, la configurazione del mezzo sopra rappresentata
O L x
2
αtωsen
2
α
λ
xπ2cosA2fff 00
ri
02
αcosA2
2
α
λ
0π2cosA20A 00
L’onda stazionaria
ESTREMO O:
deve avere ai due estremi un nodo e un ventre
da cui 0/2 = e quindi 0 =
λ
xπ2senA2
2
π
λ
xπ2cosA2xA
A2λ
Lπ2senA2LA
...,2,1,0kcon,4
λk21
2
λk
4
λL...2,1,0kcon,πk
2
π
λ
Lπ2
L’ampiezza dell’onda stazionaria allora diventa:
ESTREMO L: da cui:
PERCIÒ L’ONDA STAZIONARIA IN UN MEZZO
UNIDIMENSIONALE CON GLI ESTREMI LIBERI SI GENERA SOLO QUANDO
LA LUNGHEZZA DEL MEZZO È UN MULTIPLO DISPARI DI
QUARTI DI LUNGHEZZA D’ONDA
I NODI per i quali è
0λ
xπ2senA2xA N
N
si trovano nelle posizioni xN tali che:
Inoltre
...,2,1,0kcon,2
λkx...2,1,0kcon,πk
λ
xπ2 N
N
I VENTRI per i quali è
A2λ
xπ2senA2xA V
V
si trovano nelle posizioni xV tali che:
...,2,1,0kcon,2
λk
4
λx...2,1,0kcon,πk
2
π
λ
xπ2 V
V
