Funzioni Siano e due insiemi. Una funzione f definita in a valori in una corrispondenza che associa ad ogni elemento al pi un elemento . Linsieme degli a cui associa un elemento di forma il dominio di ; esso dunque un sottoinsieme di , che indicheremo con dom. Scriveremo quindi

: dom . Se dom = , diremo che definita su e scriveremo pi semplicemente : . Lelemento associato ad un elemento dom si dice limmagine di attraverso e si indica con = (). Talvolta si scrive

: (). Linsieme degli elementi di tipo = () forma limmagine di ; esso dunque un sottoinsieme di che indicheremo con im. Il grafico di il sottoinsieme () del prodotto cartesiano costituito dalle coppie ((()) al variare di nel dominio di , ossia () = , () : dom. Nel seguito, considereremo nella maggior parte dei casi funzioni che operano tra insiemi di numeri. Se

= , la funzione f dicesi reale. Se X= , la funzione dicesi di variabile reale. Osserviamo che il grafico di una funzione reale di variabile reale un sottoinsieme del piano cartesiano 2. Un caso particolare notevole di funzione si ha quando = e il dominio della funzione contiene un insieme del tipo { : 0} per un qualche intero 0 0. Una tale funzione dicesi successione. Solitamente, denotata con la successione, si preferisce indicare limmagine dellintero con la notazione , piuttosto che con il simbolo (); in altre parole scriveremo : . Immagine e controimmagine Sia un sottoinsieme di . Limmagine di A attraverso linsieme

() = {(): } im di tutte le immagini degli elementi di . Si osservi che () vuoto se e solo se non contiene elementi del dominio di . Limmagine () dellintero insieme gi stata indicata con im. Sia poi un generico elemento di ; la controimmagine di attraverso linsieme 1() = { dom: () = } degli elementi di che hanno come immagine . Notiamo che tale insieme vuoto se e solo se non sta nellimmagine di . Se un sottoinsieme di , la controimmagine di attraverso linsieme 1() = { dom: () = }, unione di tutte le contro immagini degli elementi di .

Definizione 2.3 Sia una funzione reale, e sia un sottoinsieme di dom. Chiamiamo estremo superiore di su (o in ) lestremo superiore dellimmagine di attraverso ; poniamo dunque sup () = sup() = sup{()| }.

Diciamo che superiormente limitata su se linsieme () superiormente limitato, cio se sup () < +

.

Se sup ()

finito ed appartiene ad (), allora esso il massimo di questo insieme. Tale numero viene detto il valore massimo (o semplicemente il massimo) di su e indicato con max ()

. I concetti di estremo inferiore e di minimo di su sono definiti in modo analogo. Infine, dicesi limitata su se linsieme () limitato. Talvolta si usano le notazioni sintetiche supA , maxA , . Notiamo che il valore massimo = maxA di sullinsieme caratterizzato dalle seguenti condizioni: un valore assunto dalla funzione su esiste tale che () = ; maggiore o uguale a ogni altro valore assunto dalla funzione su , cio per ogni , () .

Si dice funzione (o applicazione) una terna di oggetti, di cui i primi due, detti rispettivamente dominio e codominio, sono insiemi, e il terzo una legge che ad ogni elemento del dominio fa corrispondere uno ed un solo elemento del codominio. Si scrive : (e si legge f da A in B) per indicare che il dominio, il codominio ed la legge; se , lunico elemento di che la legge fa corrispondere ad si indica () e si dice immagine di , o valore assunto dalla funzione in . Dunque, perch sia una funzione occorre che

, ! : = (). Notiamo che una funzione pu far corrispondere lo stesso a diversi valori di . Si dice grafico di una funzione : il sottoinsieme di definito da = {(, ) : = ()}. Il grafico di ha la propriet che

, ! : (, ) = . Il concetto di successione vuol tradurre lidea di una sequenza di numeri (o altro) con un inizio ma senza una fine, come ad esempio la sequenza di tutti i numeri naturali 0,1,2, oppure la sequenza dei numeri pari 0,2,4, o la sequenza 1, ,, Nei primi due esempi, la sequenza ottenuta leggendo uno dopo laltro i valori assunti per n=0,1,2, da una funzione definita su : nel primo caso si tratta della funzione () = , nel secondo della funzione () = 2; il terzo caso un po diverso, perch si pu vedere come una sequenza dei valori della funzione () = 1 , che per non definita per = 0, oppure come sequenza dei valori della funzione definita su tutto da () = 1 ( + 1) . Per evitare queste inutili complicazioni, osserviamo che una semiretta di numeri naturali uninsieme del tipo { : }, cio formata da tutti i numeri naturali maggiori o uguali a qualche numero : possiamo allora dare la definizione di successione.

Si dice successione una qualunque applicazione definita in una semiretta di . Se il codominio dellapplicazione un insieme , si parla di successione di elementi di (o di successione a valori in ). Se : , si chiama immagine tramite la funzione : () () definita per ogni da

() = { : : = ()}. Linsieme (), immagine di tramite , dunque linsieme delle immagini dei punti di . Si capisce chiaramente con quale delle due funzioni ha per argomenti punti di , mentre la funzione immagine tramite ha per argomenti sottoinsiemi di . Se : , si chiama immagine inversa tramite la funzione 1: () ()definita per ogni da

1() = { : () }. Linsieme 1() allora linsieme dei punti di la cui immagine appartiene ad . La notazione 1 giustificata dal fatto che in certi casi la funzione immagine inversa linversa della funzione immagine. Se (, ) un insieme e un suo sottoinsieme, si dice che un elemento di un maggiorante di se , Linsieme dei maggioranti di si indica con . Si vede subito che se e allora . Da questa osservazione segue in particolare che se un insieme ha dei maggioranti, potrebbe averne parecchi altri. Questo non accade sempre: se

= { : 0} e = , linsieme ha un solo maggiorante in , lo zero. Se allora . Si dice che un sottoinsieme di un insieme ordinato limitato superiormente se ha dei maggioranti, cio se . Se (, ) un insieme ordinato e un suo sottoinsieme, si dice che un elemento di il massimo di se , In tal caso si scrive = max. Dunque, il massimo di B un maggiorante di che appartiene a . Notiamo che nella definizione di maggiorante si parla di un maggiorante dato che come abbiamo osservato vi possono essere molti maggioranti, mentre qui si dice il massimo, come giustificato dalla prossima proposizione. Il massimo, se esiste, unico. Se due sottoinsiemi e di un insieme totalmente ordinato hanno massimo, anche ha massimo e max[ ] = max{max , max}. Diciamo che un minorante di se , , diciamo che limitato inferiormente se ha dei minoranti, e che = min se un minorante di . Se un insieme ha sia massimo che minimo, abbiamo evidentemente min = max. Inoltre, min = max se e solo se costituito da un solo punto. Se due sottoinsiemi e di un insieme totalmente ordinato hanno minimo, anche ha minimo e min[ ] = min{min, min}. Diciamo che un insieme limitato se limitato sia superiormente che inferiormente.

Funzioni suriettive e iniettive; funzione inversa Una funzione a valori in dicesi suriettiva (su ) se im = ; in altre parole, ogni immagine di almeno un elemento . Una funzione dicesi iniettiva se ogni im immagine di un solo elemento dom. In altri termini, se si ha = (1) = (2) con 1, 2 elementi del dominio di , allora necessariamente deve essere 1 = 2. Ci, a sua volta, equivale alla condizione che, per ogni 1, 2 dom,

1 2 (1) (2) Se una funzione iniettiva, possiamo associare ad ogni elemento dellimmagine lunico elemento del dominio tale che () = . Tale corrispondenza determina dunque una funzione definita in a valori in , che viene detta funzione inversa di ed indicata con il simbolo 1. Si ha quindi = 1() = () La funzione inversa 1 ha come dominio limmagine di e come immagine l dominio di ; in formule dom1 = im, im1 = dom. Una funzione iniettiva dunque invertibile; i due concetti (iniettivit e invertibilit) coincidono. Qual il legame tra il grafico della funzione , e il grafico della funzione inversa 1? Abbiamo

(1) = , 1() : dom1 = {((), ) : dom}. Pertanto, il grafico della funzione inversa si ottiene da quello di scambiando tra loro le componenti di ciascuna coppia. Nel caso di una funzione reale di variabile, tale scambio corrisponde, nel piano cartesiano, alla riflessione rispetto alla retta = . Pertanto, il grafico della funzione inversa si ottiene ribaltando il grafico della rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. Osserviamo che, se una funzione non iniettiva su tutto il suo dominio, lo pu essere su un sottoinsieme dom. La restrizione di ad , cio la funzione |: tale che |() = (), , risulta quindi invertibile. Sia definita su a valori in . Se iniettiva e suriettiva su , si dice che una biiezione (o una funzione biiettiva) di in . In tal caso, la funzione inversa 1 definita su , ed anchessa iniettiva e suriettiva (su ); dunque, una biiezione di in . Se una biiezione di in , si dice che gli insiemi e sono in corrispondenza biunivoca attraverso : ad ogni elemento di corrisponde uno e un solo elemento di , e viceversa. Dire che la funzione suriettiva su equivale a dire che il problema o lequazione che ci interessa ha almeno una soluzione per ogni fissato in ; dire che iniettiva significa che la soluzione, se esiste, p unica; finalmente, dire che una biiezione di in equivale a dire che per ogni fissato in esiste una e una sola soluzione .

Si dice che una funzione : iniettiva se 1, 2 , (1 2) (1) (2) Una funzione dunque iniettiva se presi comunque due punti distinti in e loro immagini sono anchesse distinti distinte. Un modo equivalente per definire la iniettivit 1, 2 , (1) = (2) (1 = 2) importante non confondere lordine in cui scritta la formula precedente: infatti, la proposizione 1, 2 , (1 = 2) (1) = (2) una banalit, verificata da ogni funzione. Riassumendo, la caratteristica delle funzioni iniettive che se un certo punto immagine di qualche punto del dominio, allora immagine di un solo punto. Osserviamo che non tutti i punti del codominio sono necessariamente immagine di qualche punto del dominio. Si dice che una funzione : suriettiva se

, : = (). Una funzione dunque suriettiva se tutti i punti del codominio sono immagine di qualche punto del dominio. Osserviamo che le due nozioni di iniettivit e suriettivit sono indipendenti: vi possono essere funzioni iniettive ma no suriettive, cos come vi possono essere funzioni suriettive ma non iniettive. Si dice che una funzione : biunivoca (o biiettiva) se contemporaneamente iniettiva e suriettiva. Se : biunivoca, si ha: a) suriettiva, quindi per ogni esiste (almeno) un tale che = () b) iniettiva, quindi tale unico pertanto biunivoca se e solo se , ! : = (). La formula precedente (che equivalente a dire che biunivoca) una legge che ad ogni associa uno ed un solo , quello tale che () = : dunque, definisce una funzione da in . Se : biunivoca, si dice funzione inversa di la funzione 1: che allelemento associa lunico elemento tale che () = . un errore pensare che linversa della somma di due funzioni a valori reali sia la somma delle due inverse. Questo un falso anche in casi semplicissimi, come si vede prendendo ad esempio

() = () = 1() = 1() = ( + )() = 2 e ( + )1() = 2 ( + )1() 1() + 1() Osserviamo che se : biunivoca, il grafico della funzione inversa

1 = {(, ) : = 1()} = (, ) : (, ) : questo significa che il grafico dellinversa il simmetrico del grafico di , perch si ottiene scambiando con (se e sono sottoinsieme di il grafico di 1 il simmetrico di quello di rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante). Se : ed , si dice restrizione di ad la funzione |: definita da |() = () per ogni . Pi in generale, possiamo definire la restrizione di : anche ad un insieme che non sia contenuto nel dominio di , purch per linsieme non sia vuoto; queste, che si indica ugualmente con il simbolo | , ha allora dominio , ed definita da |() = ()per ogni .

Funzioni monotne Sia una funzione reale di variabile reale. Indichiamo con il dominio di , oppure un intervallo contenuto nel dominio. Vogliamo descrivere in termini precisi la situazione in cui al crescere della variabile indipendente in si ha una crescita, o una diminuzione, della variabile dipendente. Ad esempio, se aumentiamo la temperatura di un gas confinato in un recipiente, la sua pressione aumenta; viceversa, allaumentare dei chilometri percorsi dallultimo rifornimento, la quantit di carburante in unautomobile diminuisce. Diamo la seguente definizione. Definizione 2.6 La funzione dicesi monotna crescente su se, presi comunque due elementi 1 e 2 in con 1 < 2, si ha (1) (2); in simboli, 1, 2 , 1 < 2 (1) (2). (2.7) La funzione dicesi monotna strettamente crescente su se vale la condizione 1, 2 , 1 < 2 (1) < (2). (2.8) Notiamo che se una funzione strettamente crescente allora anche crescente, cio la condizione (2.8) pi restrittiva della condizione (2.7). La definizione di funzione monotna decrescente e monotna strettamente decrescente su si ottengono dalle corrispondenti definizioni precedenti rovesciando le disuguaglianze tra (1) e (2). Si dice che una funzione (strettamente) monotna su se monotna (strettamente) crescente oppure monotna (strettamente) decrescente su . Un intervallo su cui sia monotna si chiama intervallo di monotonia di . Proposizione 2.8 Se strettamente monotna sul suo dominio, allora iniettiva. Dimostrazione: supponiamo, per fissare le idee, che sia strettamente crescente. Presi due numeri

1 < 2 dom con 1 2 , sar 1 < 2 oppure 2 < 1 . Nel primo caso, usando limplicazione (2.8) otteniamo (1) < (2) e dunque certamente (1) (2). Nel secondo caso, arriviamo alla stessa conclusione scambiando il ruolo di 1 e 2. Nellipotesi dellenunciato appena dimostrato, esiste dunque la funzione inversa 1; facile verificare che 1 risulta anchessa strettamente monotna, in modo concorde con (cio entrambe sono strettamente crescenti o strettamente decrescenti). utile osservare che la somma di funzioni monotne concordi (cio tutte crescenti oppure tutte decrescenti) ancora una funzione monotona dello stesso tipo ed strettamente monotna se almeno una delle funzioni lo . Se ed : , si dice che crescente se

, , [ < () < ()]; si dice che debolmente crescente (o non decrescente) se , , [ < () ()]; si dice che debolmente decrescente (o non crescente) se , , [ < () ()]; infine, si dice che decrescente se , , [ < () > ()]. Se verifica una delle quattro propriet precedenti, si dice che monotna; se crescente o se decrescente si dice che strettamente monotna. Dunque una funzione crescente una funzione che

conserva lordine: se due punti ed sono in un certo ordine, le loro immagini sono nello stesso ordine; invece, una decrescente inverte lordine. Osserviamo che una funzione crescente anche debolmente crescente, e una decrescente anche debolmente decrescente; a volte si parla di funzioni strettamente crescenti anzich semplicemente di funzioni crescenti (e lo stesso per le decrescenti), per sottolineare ancor pi la disuguaglianza stretta. Si dice che una funzione crescente su un insieme se la restrizione | crescente (e analogamente per i tre altri andamenti). Se monotona dello stesso tipo sugli intervalli (, ] e [, ) allora monotona su tutto lintervallo (, ). La somma di due funzioni crescenti ancora una funzione crescente; un multiplo positivo di una funzione crescente crescente, mentre un multiplo negativo di una funzione crescente decrescente. La composizione di due funzioni monotone monotona; se sono entrambe strettamente monotone, la composizione strettamente monotona; se sono entrambe debolmente crescenti o entrambe debolmente decrescenti, la composizione debolmente crescente; se una debolmente crescente e laltra debolmente decrescente, la composizione debolmente decrescente. La dimostrazione immediata se si pensa che una funzione crescente mantiene lordine tra due punti e le loro immagini, una decrescente inverte tale ordine; la regola, non a caso, somiglia a quella del segno di un prodotto, e si generalizza facilmente: la composizione di un numero qualsiasi di funzione monotona risulta debolmente crescente, o debolmente decrescente, a seconda che il numero di funzioni debolmente decrescenti nella composizione si pari oppure dispari. Una funzione monotona iniettiva. Vi sono due casi: strettamente crescente, oppure strettamente decrescente. Nel primo caso, presi due punti distinti , uno dei due sar minore dellaltro (lordine su totale), e possiamo supporre che sia < ; allora () < (), e in particolare () ed () sono diverse, dunque iniettiva. Il caso rimanente pressoch identico. Osserviamo che il risultato non vero in generale se debolmente crescente (o debolmente decrescente): basta pensare che le funzioni costanti sono monotone. Non bisogna per credere che le uniche funzioni iniettive siano quelle strettamente monotone. Se : monotona e invertibile allora 1: () monotona dello stesso tipo. Funzioni composte Indichiamo con , , tre insiemi. Sia una funzione definita in a valori in , e sia una funzione definita in a valori in . Possiamo costruire una nuova funzione definita in a valori in ponendo () = (). La funzione si dice funzione composta di e , e si indica con il simbolo = (che si legge composto ). Il dominio della funzione composta si determina, tenendo conto della definizione, in questo modo: affinch appartenga al dominio di , deve innanzitutto essere definito (), dunque deve stare nel dominio di ; inoltre, () deve essere un elemento del dominio di . Pertanto,

dom dom e () dom. Il dominio di dunque un sottoinsieme del dominio di .

Il prodotto di composizione non commutativo: se possibile definire tanto quanto (ad esempio quanto = = ), le due funzioni in generale non coincidono. Se e sono entrambe funzioni iniettive (oppure suriettive, oppure biiettive), non difficile verificare che la funzione composta ha la stessa propriet. In particolare, nel caso delliniettivit, vale la formula ( )1 = 1 1. Inoltre, se e sono funzioni reali di variabile reale monotone, anche la sar monotona: precisamente, sar monotona crescente se e sono entrambe monotone crescenti oppure monotone decrescenti, mentre sar monotona decrescente negli altri casi. Se : e : , si dice funzione composta di ed la funzione : definita dalla legge ( )() = (). Pi in generale, si pu definire la composizione di due funzioni : e : , purch vi siano punti in cui si pu calcolare (): ci accade quando c qualche punto del tipo () (cio dellimmagine di ) in cui possiamo calcolare ( cio nel dominio di ), vale a dire se:

() . Se questa condizione soddisfatta, la funzione composta ha dominio 1(() ) (che linsieme dei punti di la cui immagine tramite sta nel dominio di ). La composizione di funzioni associativa, cio ( ) = ( ). Se : e : sono biunivoche, anche lo , e la sua inversa ( )1 = 1 1. Che biunivoca segue dal fatto, pi generale, che se : e : sono iniettive la loro composizione iniettiva, mentre se sono entrambe suriettive la loro composizione suriettiva. Funzioni elementari e loro propriet Definizione 2.11 Sia : dom una funzione il cui dominio sia simmetrico rispetto allorigine cio tale che se dom allora anche dom. La funzione dicesi pari se () = () per ogni dom, mentre dicesi dispari se () = ()per ogni dom. Notiamo che il grafico di una funzione pari simmetrico rispetto allasse delle ordinate, mentre quello di una funzione dispari simmetrico rispetto allorigine. Osserviamo inoltre che se dispari e definita nellorigine, allora necessariamente si annulla nellorigine, in quanto si ha (0) = (0). Definizione 2.12 Una funzione : dom dicesi periodica di periodo (con > 0 reale) se dom un insieme invariante per traslazioni di (cio se dom per ogni dom) e se vale la condizione ( + ) = () per ogni dom. facile verificare che se periodica di periodo , allora periodica di ogni periodo ( {0}) multiplo di . Il pi piccolo periodo, se esiste, si chiama periodo minimo della funzione. Una funzione costante ovviamente periodica di ogni periodo > 0 e quindi non ha periodo minimo.

Unaltra propriet interessante di alcune funzioni la simmetrica. Ricordiamo che un insieme si dice simmetrico (rispetto allorigine) se = , cio se , . Sia un insieme simmetrico, e sia : ; si dice ce una funzione pari se

, () = (), mentre si dice che una funzione dispari se , () = (). Il nome dovuto al fatto che le potenze pari di sono funzioni pari, le potenze dispari sono funzioni dispari. Dire che una funzione pari equivale a dire che il suo grafico simmetrico rispetto allasse delle ordinate, mentre dire che una funzione dispari equivale a dire che il suo grafico simmetrico rispetto allorigine degli assi. Non tutte le funzioni sono pari o dispari. Facili propriet delle funzioni pari e dispari sono le seguenti: la somma di due funzioni pari definite sullo stesso insieme, o un multiplo di una funzione pari, ancora pari; la somma di due funzioni dispari definite sullo stesso insieme, o un multiplo di una funzione dispari, dispari; ogni funzione dispari che definita per = 0, si annulla in quel punto. Il prodotto di due funzioni pari o di due funzioni dispari, definite sullo stesso insieme, apri, mentre il prodotto di una funzione pari e una dispari dispari. Sia +; se pari la funzione positiva su {0}, crescente su + e decrescente su ; se dispari, la funzione crescente su , positiva su + e negativa su . Da questa proposizione si ricava in particolare che per ogni + la funzione : [0, +[ [0, +[ iniettiva, e se dispari la funzione : iniettiva. Sia +, la funzione : [0, +[ [0, +[ suriettiva; se dispari, la funzione : suriettiva. Una conseguenza fondamentale delle proposizioni precedenti lesistenza delle radici. Sia +, esiste la funzione inversa della funzione : [0, +[ [0, +[, che si chiama radice n esima, : [0, +[ [0, +[. La radice n-esima di un numero non negativo lunico numero non negativo la cui potenza n-esima vale . Se dispari, esiste linversa di : , che

: . Se individuo sulla circonferenza goniometrica, cio la circonferenza centrata nellorigine del piano cartesiano e avente raggio 1, il punto corrispondente ad un angolo , le coordinate di sono (cos , sin ). Se non sullasse delle ordinate (cio se cos 0), la retta che passa per e per lorigine degli assi interseca in un punto la retta tangente alla circonferenza nel punto di coordinate (0,1). Osserviamo che i valori di seno e coseno si ripetono ogni 2: questa la caratteristica delle funzioni periodiche. Se e > 0, una funzione : si dice periodica di periodo , o , se 1) , [ ( + ) ]; 2) , () = ( + ). Osserviamo che la funzione seno verifica la condizione precedente con = 2, ma anche con = 4, = 6 eccetera: facile verificare che una funzione periodica di periodo anche periodica di periodo per ogni = 2,3,4, ; in particolare, se allora

() = ( + ) , Se una funzione (che per comodit pensiamo definita su tutto ) , basta conoscerla sullintervallo [0, [ per determinarla su tutto : infatti ogni numero si pu scrivere = + con e [0, [, quindi () = (). Ricaviamo immediatamente dalla definizione del seno e del coseno alcune propriet che ci saranno utili in seguito: anzitutto, la funzione seno dispari e la funzione coseno pari, cio sin = sin() cos = cos()

Funzioni polinomiali e razionali Una funzione polinomiale o, semplicemente, polinomio del tipo () = + + 1 + 0 0; dicesi grado del polinomio. Essa definita su tutto ; la funzione pari (rispettivamente dispari) se e solo se tutti i coefficienti di indice dispari (rispettivamente pari) sono nulli (ricordare che 0 un numero pari). Una funzione razionale del tipo () = () () , con e polinomi. Se e non hanno fattori comuni, il dominio della funzione sar privato degli zeri del denominatore. Funzioni esponenziali e logaritmiche Sia un numero reale > 0. In base a quanto visto sopra, la funzione esponenziale = risulta definita per ogni valore reale ; essa soddisfa (0) = 0 = 1. Se > 1, la funzione strettamente crescente; se = 1, la funzione costante uguale a 1, mentre se < 1, la funzione strettamente decrescente. Se 1, limmagine (0, +). utile ricordare le seguenti propriet delle potenze: per ogni , , si ha

+ = , =

, () = . Se 1, la funzione esponenziale strettamente monotona su , dunque invertibile. La funzione inversa la funzione logaritmo = log , definita su (0, +) con immagine ; essa soddisfa (1) = log 1 = 0. La funzione strettamente crescente se > 1, strettamente decrescente se < 1. Le propriet delle potenze sopra ricordate si traducono nelle seguenti relazioni: log() = log + log , , > 0,log = log log , , > 0,log() = log > 0, .

Funzioni trigonometriche e loro inverse Indichiamo qui con , le coordinate nel piano cartesiano 2 . Introduciamo la circonferenza trigonometrica, ossia la circonferenza di centro lorigine = (0,0) e raggio unitario, avente quindi equazione 2 + 2 = 1. A partire dal punto = (1,0) di intersezione tra la circonferenza e il semiasse positivo delle ascisse, percorriamo la circonferenza in senso antiorario oppure in senso orario. Precisamente, detto un qualunque numero reale, indichiamo con () il punto sulla circonferenza ottenuto percorrendo la circonferenza in senso antiorario per un arco di lunghezza se 0, oppure in senso orario per un arco di lunghezza se < 0. Il punto () individua un angolo nel piano, avente vertice in e delimitato dalle semirette uscenti da e passanti rispettivamente per e per (). Il numero rappresenta la misura dellangolo in radianti. Osserviamo che se incrementiamo o decrementiamo di 2 la lunghezza , compiamo un intero giro della circonferenza rispettivamente in senso antiorario o orario, ritornando allo stesso punto (). In altre parole, vale la relazione di periodicit ( 2) = (), .

Indichiamo con cos e con sin rispettivamente lascissa e lordinata del punto (), vale a dire poniamo () = (cos , sin ). La funzione coseno = cos e la funzione seno = sin sono dunque definite su ed assumono tutti i valori dellintervallo [1,1]; sono funzioni periodiche di periodo minimo 2. Esse soddisfano la relazione trigonometrica fondamentale cos2 + sin2 = 1, . evidente dal significato geometrico che la funzione seno dispari, mentre la funzione coseno pari. sin = 0 per = , cos = 0 per = 2 + ,sin = 1 per = 2 + 2, cos = 1 per = 2,sin = 1 per = 2 + 2, cos = 1 per = + 2.

Di notevole importanza sono le formule di addizione e sottrazione sin( ) = sin cos cos sin cos( ) = cos cos sin sin . Da esse, con opportune scelte degli argomenti, si ottengono ad esempio le formule di duplicazione sin 2 = 2 sin cos , cos 2 = 2 cos2 1, oppure le formule di prostaferesi sin sin = 2 sin 2 cos + 2 , cos cos = 2 sin 2 sin + 2 , oppure ancora le relazioni sin( + ) = sin , cos( + ) = cos , sin + 2 = cos , cos + 2 = sin . La funzione tangente = tan (indicata anche con = tg e la funzione cotangente = cotan (indicata anche con = cotg ) sono definite rispettivamente come

tan = sin cos , cotan = cos sin . facile vedere che tali funzioni sono periodiche di periodo minimo , anzich 2. Dal punto di vista geometrico, la quantit tan rappresenta lordinata del punto () intersezione tra la semiretta uscente dallorigine e passante per () e la retta verticale passante per . Le funzioni trigonometriche, in quando periodiche, non sono ovviamente invertibili su tutto il loro dominio. Per effettuare linversione, esse vengono ristrette ad un intervallo massimale di monotonia stretta; per ciascuna funzione, si sceglie un intervallo principale di invertibilit.

La funzione = sin strettamente crescente nellintervallo 2

, 2

. La funzione inversa su tale intervallo viene detta funzione arcoseno e indicata con = arcsin ; essa definita in [1,1], ivi strettamente crescente e ha come immagine lintervallo 2

, 2

. una funzione dispari. Similmente, la funzione = cos strettamente decrescente nellintervallo [0, ]. Restringendola a tale intervallo, se ne introduce la funzione inversa = arccos , detta funzione arco coseno, che risulta dunque definita in [1,1], ivi strettamente decrescente e con immagine lintervallo[0, ]. Infine, la funzione = tan strettamente crescente nellintervallo 2

, 2

. La funzione inversa su tale intervallo viene detta funzione arcotangente e indicata con = arctan . Essa definita su , ivi strettamente crescente e ha come immagine lintervallo 2

, 2

. Anchessa una funzione dispari. Similmente, possibile definire la funzione arcocotangente = arccotan come funzione inversa della funzione cotangente sullintervallo (0, ). importante ricordare ce la radice quadrata non linversa della funzione 2, che non neppure iniettiva, bens linversa della restrizione di 2 a[0, +[, pensata come funzione a valori in [0, +[; infatti, non vero che = 2 , e neppure che = 2: basta provare con = 1; queste uguaglianze sono vere se e solo se 0. Dalle propriet finora viste segue in particolare che le potenze razionali positive di sono crescenti e positive su +, le potenze razionali negative sono decrescenti e positive su+; per le potenze razionali con esponente a denominatore dispari, la monotonia su dipende dalla parit del numeratore. La funzione valore assoluto (che ha dominio e codominio uguali a ) definita come quella legge che ad ogni numero associa || = max{, }. Notiamo che la funzione valore assoluto ben definita, perch un sottoinsieme finito e non vuoto di ha sempre massimo. Per ogni , 1) ||; 2) || = se 0, mentre || = se 0; 3) || 0; 4) || = 0 = 0; 5) || = ||; 6) || ||; Inoltre per ogni , 7) || ; 8) || [( ) ( )]; 9) || < < < ; 10) || > [( > ) ( < )]. Un insieme limitato se e solo se esiste. > 0 tale che , || . La proposizione precedente implica che una funzione : limitata se e solo se

> 0: |()| .

Limiti e continuit I Nel definire i concetti di limite e di continuit, siamo condotti a considerare numeri reali vicini ad un certo numero reale fissato, o, con linguaggio geometrico equivalente, punti della retta vicini ad un punto fissato. Pertanto, iniziamo con il precisare il concetto matematico di intorno di un punto. Definizione 3.1 Sia 0 un punto della retta reale, e sia > 0 un numero reale. Chiameremo intorno di 0 di raggio lintervallo aperto e limitato

0 = (0 , 0 + ) = { : | 0| < }. Interpretando la quantit | 0| come la distanza euclidea tra il punto 0 e il punto , possiamo dire che (0) formato dai punti della retta reale che distano meno di da 0. Interpretando invece la quantit | 0| come lo scarto, o errore (assoluto), con cui il numero approssima 0, possiamo dire che (0) formato da tutti i numeri reali che approssimano 0 con un errore assoluto inferiore a . conveniente introdurre anche il concetto di intorno di uno dei punti allinfinito + o . Definizione 3.3 Per ogni numero reale 0, chiamiamo intorno di + di estremo inferiore lintervallo aperto superiormente illimitato

(+) = (, +). Analogamente, lintorno di di estremo superiore sar definito come () = (, ). La seguente notazione sar utile nel seguito. Diremo che una propriet matematica () vale in un intorno (o nellintorno) di un punto (dove indica tanto un numero reale 0 quanto + o ), se esiste un intorno di tale che in ogni suo punto , () vera. Limiti di successioni Definizione 3.5 Si dice che la successione : tende al limite (oppure converge a , oppure ha limite ), e si scrive lim

= , se, per ogni numero reale > 0 esiste un intero tale che

0, > | | < . Con la terminologia degli intorni, la condizione > pu essere riscritta come (+), mentre la condizione | | < equivale a (). Pertanto, la condizione di limite pu essere espressa nel modo equivalente: per ogni intorno () di , esiste un intorno(+) di + tale che 0, (+) (). Definizione 3.7 Si dice che la successione : tende a + (oppure diverge a +, oppure ha limite +), e si scrive

lim

= +, se, per ogni numero reale > 0 esiste un intero tale che 0, > > . (3.1) In termini di intorni, possiamo dire che per ogni intorno (+) di +, esiste un intorno (+) di + tale che

0, (+) (+). La definizione di lim

= analoga alla precedente: ora limplicazione (3.1) va sostituita da 0, > < . Una successione pu dunque essere convergente, oppure divergente . Se non n convergente n divergente, diciamo che la successione indeterminata. Una condizione sufficiente, che permette di escludere il comportamento indeterminato di una successione, la monotonia. Per le successioni, le condizioni di monotonia assumono una forma pi semplice, nel senso che sufficiente limitare il confronto a tutte le coppie di indici consecutivi , + 1 appartenenti al dominio della successione. Cos, ad esempio, una successione monotona crescente se

0, +1. Teorema 3.9 Sia : una successione monotona. Allora, essa convergente oppure divergente. Precisamente, nel caso in cui la successione sia crescente, si ha: i) Se la successione superiormente limitata, cio se esiste un maggiorante tale che per ogni 0, allora la successione converge verso lestremo superiore della sua immagine: lim

= = sup{: 0}. ii) Se la successione non superiormente limitata, allora essa diverge a +. Nel caso in cui la successione sia decrescente, lenunciato precedente si modifica in modo ovvio. Limiti di funzioni; continuit Sia una funzione reale di variabile reale. Vogliamo descrivere il comportamento della variabile dipendente = (), allorch la variabile indipendente si avvicina ad un punto 0 , oppure ad uno dei punti allinfinito o +. Limiti allinfinito Supponiamo che sia definita nellintorno +. In analogia con quanto fatto per le successioni, diamo le seguenti definizioni. Definizione 3.11 Si dice che tende al limite finito per tendente a +, e si scrive

lim+

() = , se, per ogni numero reale > 0, esiste un numero reale 0 tale che dom, > |() | < . In forma equivalente, la condizione ora enunciata richiede che per ogni intorno () di , esista un intorno (+) di + tale che

dom, (+) () (). Definizione 3.12 Si dice che tende a + per tendente a +, e si scrive lim+

() = +, se, per ogni numero reale > 0, esiste un numero reale 0 tale che dom, > () > . La condizione di funzione tendente a si ottiene dalla precedente sostituendo la condizione () > con la condizione () < . Invece, la notazione lim

+() = , significa lim

+|()| = +. Se definita nellintorno di , le Definizioni 3.11 e 3.12 si modificano in definizione del limite (finito o infinito) per tendente a ; sufficiente sostituire la condizione > con < . Si scriver lim

() = . Infine, la notazione lim

() = significa che ha lo stesso limite (finito o infinito) sia per +, sia per . Continuit. Limiti al finito Ci occupiamo ora di studiare il comportamento dei valori = () di una funzione , quando si avvicina ad un punto 0 . Supponiamo che sia definita in tutto un intorno di 0 , tranne eventualmente nel punto 0 stesso. Definizione 3.14 Sia 0 un punto del dominio di una funzione . La funzione dicesi continua in 0 se per ogni > 0 esiste un > 0 tale che

dom, | 0| < |() (0)| < . (3.6) Con il linguaggio degli intorni, la condizione di continuit pu essere espressa come: per ogni intorno (0) di (0) esiste un intorno (0) di 0 tale che

dom, (0) () (0).

Definizione 3.15 Sia una funzione definita in un intorno di 0 , tranne eventualmente nel punto 0. Si dice che ha limite (o tende a ) per tendente a 0, e si scrive lim

() = , se per ogni > 0 esiste un > 0 tale che dom, 0 < | 0| < |() | < . (3.8) Con il linguaggio degli intorni: per ogni intorno () di esiste un intorno (0) di 0 tale che dom, (0) {0} () (). Esaminiamo comparativamente le due definizioni appena date. Nella definizione di continuit, i valori

() vengono confrontati con il valore (0), mentre nella definizione di limite, essi vengono confrontati con un valore , che pu essere diverso da (0), se definita in 0. Inoltre, nella definizione di limite si esclude dal confronto il punto = 0: la condizione 0 < | 0| significa proprio 0; al contrario, limplicazione (3.6) nella definizione di continuit banalmente soddisfatta da = 0. Sia una funzione definita in un intorno di 0. Se continua in 0 , allora senzaltro soddisfatta la condizione (3.8) con = (0); viceversa, se ha limite = (0) per tendente ad 0 , allora la condizione (3.6) soddisfatta. Dunque, dire che continua in 0 equivale a dire che lim0

() = (0). Notiamo poi che, in entrambe le definizioni, fissato un valore arbitrario > 0, viene richiesto di determinare almeno un valore (esiste un ) strettamente positivo per cui valga limplicazione (3.6) oppure (3.8). Se limplicazione vera per un certo , essa sar sicuramente vera anche per ogni < . La definizione non richiede affatto di determinare il pi grande possibile per cui limplicazione sia soddisfatta. Tendendo ben presente questo concetto, sovente la verifica della condizione di continuit o di limite pu essere resa pi agevole. Definizione 3.19 Sia un insieme contenuto in dom. La funzione dicesi continua su (o in ), se continua in ogni punto di . Il risultato che ora enunciano di particolare importanza e verr usato implicitamente in diverse occasioni in seguito. Proposizione 3.20 Tutte le funzioni elementari (polinomi e funzioni razionali, funzioni elevamento a potenza, funzioni trigonometriche, funzioni esponenziali e loro funzioni inverse) sono continue in tutto il loro dominio. Definizione 3.21 Sia una funzione definita in un intorno di 0 , tranne eventualmente nel punto 0. Si dice che ha limite + (o tende a +) per tendente a 0 , e si scrive lim0

() = +, se per ogni > 0 esiste un > 0 tale che dom, 0 < | 0| < () > .

Con il linguaggio degli intorni, diremo che per ogni intorno (+) di + esiste un intorno (0) di 0 tale che dom, (0) {0} () (+). La definizione di lim

0() = , si ottiene dalla precedente sostituendo la condizione () > con () < . Scriveremo inoltre lim

0() = , per indicare che lim

0|()| = +. Limiti destro e sinistro; punti di discontinuit Se consideriamo la funzione mantissa = (), in un intorno di 0 = 1 di raggio < 1 si ha

() = se < 1, 1 se 1. Dunque, assume valori sempre pi vicini a 0 quando assume valori > 1 via via pi prossimi a 1, mentre assume valori sempre pi vicini a 1 quando assume valori < 1 via via pi prossimi a 1. Siamo dunque portati a introdurre il concetto di limite destro e limite sinistro. A tale scopo, definiamo intorno destro di 0 di raggio > 0 lintervallo semiaperto e limitato

+(0) = [0, 0 + ) = { : 0 0 < }. Lintorno sinistro di 0di raggio > 0 sar definito in modo analogo:

(0) = (0 , 0] = { : 0 0 < }. Esplicitiamo la definizione nel caso del limite finito. Definizione 3.22 Sia una funzione definita in un intorno destro di 0 , tranne eventualmente nel punto 0. Si dice che ha limite destro per tendente a 0 , se per ogni > 0 esiste un > 0 tale che

dom, 0 < 0 < |() | < . In termini di intorni: per ogni intorno () di esiste un intorno +(0) di 0 tale che dom, +(0) {0} () (). Definizione 3.23 Sia una funzione definita in un intorno destro di 0 . Si dice che la funzione continua da destra in 0 se lim

0+

() = (0).

Proposizione 3.24 Sia una funzione definita in un intorno di 0 , tranne eventualmente nel punto 0. La funzione ha limite (finito o infinito) per tendente a 0 se e solo se esistono i limiti destro e sinistro di per tendente a 0, e tali limiti sono entrambi uguali a . Una funzione definita in un intorno di 0 continua in 0 se e solo se continua da destra e da sinistra in 0. Se 0 . Si dice intorno di 0 qualunque intervallo ], [ , tale che < 0 < ; si dice intorno di + qualunque semiretta ], +[ con , e analogamente si dice intorno di qualunque semiretta ], [ con . Linsieme degli intorni di un punto 0 si indica con il simbolo 0 . Se 0 , si dice intervallo di centro 0 e raggio > 0 lintervallo ]0 , 0 + [. Tale intervallo si indica con il simbolo (0) oppure (0, ). Se 0 , allora 0 appartiene ad ogni suo intorno. Inoltre, per ogni 0 esiste > 0 tale che (0) . Se ed , si dice che un punto isolato di se

: = {}. Si dice che un punto di accumulazione di se , ( {}) 0, ossia di accumulazione per se in ogni suo intorno cadono punti di diversi da stesso. Notiamo che un punto di accumulazione pu appartenere o non appartenere ad . Vedremo che il concetto di punto di accumulazione sar fondamentale nel seguito perch riproduce lidea di un punto al quale ci si pu avvicinare stando in . Notiamo che nellavvicinarsi compreso un concetto di movimento: non diciamo che ci avviciniamo ad un punto isolato di (che pure appartiene ad ) stando in , mentre lo possiamo fare per un punto di accumulazione: ogni suo intorno infatti, contiene punti di diversi da se stesso. Se ed un punto di accumulazione di , ogni intorno di contenente infiniti punti di . Dalla caratterizzazione dellestremo superiore e dalla definizione di punto di accumulazione segue facilmente che se non ha massimo, allora sup un punto di accumulazione di . Indipendentemente dallesistenza del massimo, su sup allora sup punto di accumulazione dellinsieme dei maggioranti di . Se 0 , si dice intorno sinistro di 0 qualunque intervallo ], 0[ tale che < 0, e si dice intorno destro di 0 qualunque intervallo ]0, [ tale che 0 < . Notiamo che, per definizione, il punto 0 non appartiene ad alcun suo intorno destro o sinitro.

Successioni Successioni e loro limiti Si dice successione una qualunque applicazione definita in una semiretta di . Se il codominio dellapplicazione un insieme , si parla di successione di elementi di (o successione a valori in ). Si dice sottosuccessione di una successione {} (o successione estratta da {}) la composizione della successione data con una qualunque applicazione crescente : . Notiamo che se unapplicazione data dalla composizione di con si usa la scrittura anzich (). Estrarre una sottosuccessione da {} corrisponde a eliminare alcuni termini (anche infiniti) dalla sequenza dei valori della successione, lasciandone per infiniti e (per lipotesi di crescenza di ) nello stesso ordine in cui comparivano nella successione di partenza. Sia {} una successione; se esiste tale che definitivamente allora la successione {} limitata superiormente inferiormente. Diciamo che la successione {} ha limite , o pi brevemente che {} tende ad , se

, : , . In tal caso scriviamo lim+

= , o anche . Il limite di una successione, se esiste, unico. Se 1 ed 2 con 1 2, possiamo scegliere due intorni disgiunti 1 1 e 2 2; per definizione di limite, definitivamente 1 e definitivamente 2 cio 1 2, che per assurdo perch 1 2 . Se allora per ogni sua estratta si ha . Se una successione ha limite, tutte le sue estratte hanno lo stesso limite. Se possiamo dividere una successione {} tra due sottosuccessioni, in modo che tutti gli elementi della successione appartengano a qualcuna di esse, e se entrambi hanno lo stesso limite , allora tutta {} che ha limite 1. Si dice che una successione convergente se ha limite finito, cio appartenente ad ; si dice che divergente positivamente negativamente se ha limite + ; infine, si dice che infinitesima se ha limite zero. Una successione {} converge ad se e solo se > 0, : , | | < . Una successione {} diverge positivamente negativamente se e solo se , : , > < . Una successione {} infinitesima se e solo se la successione dei suoi valori assoluti {||} infinitesima. Teoremi di confronto e teoremi algebrici Teorema di limitatezza Se e, e s < < e, allora definitivamente < < ; in particolare, ogni successione divergente positivamente negativamente limitata inferiormente superiormente. Se allora per ogni < definitivamente < , e per ogni > definitivamente >

. Teorema di permanenza del segno

Se lim+ 0 allora definitivamente ha lo stesso segno del limite. Se e frequentemente allora . Siano {} e {} due successioni tali che definitivamente ; allora, se + si ha anche + Teorema dei due carabinieri Siano {} , {} e {} tre successioni tali che definitivamente

e che , ; allora anche la successione {} ha limite, e . Osserviamo anzitutto che questo teorema ha interesse solo nel caso , perch se = il risultato gi compreso nella proposizione precedente. Fissato dunque un intorno ], [ di , abbiamo

< < , quindi per il teorema di limitatezza definitivamente < e definitivamente < . Allora definitivamente < < , cio ], [. Il teorema dei carabinieri di uso molto frequente; sostanzialmente, ci permette di partire da una successione complicata {} e approssimarla dallalto e dal basso con due successioni pi semplici; se queste sono state scelte in modo da avere lo stesso limite allora anche il limite della successione di partenza. Siano {} e {} due successioni tali che , ; allora, se ha senso la scrittura + abbiamo (+) (); e se ha senso la scrittura abbiamo

. Se + e {} limitata inferiormente superiormente allora (+) + . Se {} divergente ed esiste > 0 tale che definitivamente allora {}diverge dalla stessa parte dalla parte opposta di {} . Il prodotto di una successione infinitesima per un limitata una successione infinitesima Se e allora || ||. Notiamo che non vero il viceversa della preposizione precedente, cio se || || non detto che . Siano e due successioni; 1) Se < allora definitivamente < ; 2) Se frequentemente allora ; 3) non segue affatto che , e da < non segue che < . Osserviamo poi che nella proposizione precedente si richiede lesistenza dei limiti: se {} e {} sono due successioni delle quali sappiamo che , non possiamo scrivere subito che lim

+ lim

+ , perch questi limiti potrebbero non esistere (cos come sapendo che non possiamo scrivere max max , perch questi potrebbero non esistere). Se , si dice che + se e definitivamente > < . Dunque, 1 0+, ma (1)

, pur essendo infinitesima, non tende n a 0+ n a 0. Notiamo che se 0, la successione

1

esiste.

Se allora = + 1

0+ 0;

{0} 1

1

; = 0+ 0 1

+ . Se 0, ma non ha segno definitivamente costante, allora 1non ha limite. Continuit Osserviamo che, se indichiamo con la funzione valore assoluto, abbiamo dimostrato che per ogni

vale la seguente propriet: indicando con il dominio di , {} , [ () ()]. Una funzione : che per un certo verifica la formula precedente si dice continua in ; se

continua in ogni punto di si dice semplicemente che continua. Le funzioni sin e cos sono continue. Iniziamo dal caso = 0; dalle formule |sin | || e 1 || cos 1 ricaviamo 0 |sin | ||, 1 || cos 1, e dal teorema dei carabinieri otteniamo 0 [sin 0, cos 1] (5.12) Nel caso generale, se , poniamo = , cos che 0: dalla formula per il seno della somma otteniamo sin = sin( + ) = sin cos + cos sin . Applicando alla successione {} la propriet (5.12), per il teorema sul limite della somma e del prodotto ricaviamo dalluguaglianza precedente sin sin . La dimostrazione della parte relativa al coseno analoga. Se e sono continue in , anche + e lo sono; lo stesso vale per se () 0. Se e sono continue, lo sono anche + , e . Il corollario segue immediatamente dal teorema, tenendo presente che il dominio di contenuto nellinsieme dove 0. Un caso particolare quello in cui il numeratore 1: allora, il reciproco di una funzione continua anchesso una funzione continua. La funzione tan continua. Le funzioni + e sono continue. Per questo, basta ricordare che

+ = ( + ||)2 , = (|| )2 . Per ogni la funzione continua. Inoltre, per ogni {0} + () + se > 0() 0+ se < 0. Successioni monotone Abbiamo visto che per le successioni la definizione di monotonia assume una forma particolarmente semplice. Notiamo che per dire che una successione crescente non basta provare che 0 < 1, e neppure che 0 < 1 < < 100: questo dimostra che non decrescente, neppure debolmente, ma non prova che monotona; la crescenza si ha se la disuguaglianza < +1 provata per tutti i valori di .

Ogni successione monotona ha limite. In particolare, una successione debolmente crescente debolmente decrescente ha come limite il suo estremo superiore inferiore. Osserviamo che una successione crescente anche debolmente crescente, quindi questo teorema copre tutti i casi di monotonia. Osserviamo che una successione monotona debolmente crescente decrescente sempre limitata inferiormente superiormente dal suo primo termine, pertanto per una successione monotona debolmente crescente decrescente dire che limitata superiormente inferiormente equivalente a dire che limitata. Una successione monotona e limitata convergente; una successione monotona e non limitata divergente, positivamente se la successione debolmente crescente, negativamente se debolmente crescente. Teorema di Bolzano Weierstrass Ogni successione limitata di numeri reali ha almeno una sottosuccessione convergente. Se una sottosuccessione della successione {} converge ad , allora scelto un qualsiasi intorno di definitivamente , pertanto per infiniti indici (tutti quelli della forma con abbastanza grande). Allora, il possibile limiti di unestratta andr cercato tra i punti in ogni intorno dei quali la successione {} cade infinite volte, ammesso che tali punti esistano. Dimostrazione Se la successione {} limitata, esistono due numeri reali 0, 0 talli che

, [0, 0], cio, posto = [0, 0], linsieme 0 = {: }, infinito, ovvero cade infinite volte in [0, 0]. Usando il cosiddetto metodo di bisezione, costruiremo due successioni {} e {} tali che, posto

= [, ] e = {: }, il predicato () = 0 , 0 = + 0 02

infinito sia vero per ogni , quindi in particolare cade infinite volte in [ , ]. Abbiamo gi determinato 0 e 0 che verificano(0). Procedendo per induzione, supponiamo di aver determinato per ogni dei numeri , in modo che sia vero (). Indichiamo con = (+ )2 il punto medio dellintervallo e osserviamo che

= {: [ , ]} {: [, ]}. Poich infinito, almeno uno dei due insiemi al secondo membro deve essere infinito. Se il secondo di essi infinito, poniamo +1 = , +1 = , (cio scegliamo il semi-intervallo destro), altrimenti poniamo +1 = , +1 = . In ogni caso, posto +1 = [+1, +1] e +1 = {: +1}, abbiamo che +1 infinito, che

+1 e +1 e che +1 +1 = 2 = 0 02+1 , quindi ( + 1) verificato. Osserviamo che la successione {} debolmente crescente mentre {} debolmente decrescente, quindi in particolare per ogni < 0. Allora la successione debolmente crescente {} limitata superiormente (da 0), quindi per il corollario precedente converge ad un limite . Osserviamo poi che per la disuguaglianza di Bernoulli con = 1 abbiamo 2 = (1 + 1) (1 + ) +, quindi 2 + e

= + 0 02 1. Esiste una sottosuccessione tale che per ogni , cio , quindi per il teorema dei carabinieri 1 e la dimostrazione conclusa. Il teorema di Bolzano - Weierstrass dice sostanzialmente che una successione che sta in un intervallo limitato non pu essere cos sparpagliata da non riuscire a estrarre neppure una sottosuccessione che si avvicina a qualche punto dellintervallo.