Funzioni elementari: logaritmi
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Logaritmi
La funzione logaritmica é definita come
g : (0,+∞)→ Rx 7→ logax
con a > 0 e a 6= 1.
In particolare si ha che
y = logax⇔ ay = x
per cui la funzione logaritmo é la funzione inversadell’esponenziale.
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Logaritmi
La funzione logaritmica é definita come
g : (0,+∞)→ Rx 7→ logax
con a > 0 e a 6= 1.
In particolare si ha che
y = logax⇔ ay = x
per cui la funzione logaritmo é la funzione inversadell’esponenziale.
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Logaritmi
La funzione logaritmica é definita come
g : (0,+∞)→ Rx 7→ logax
con a > 0 e a 6= 1.
In particolare si ha che
y = logax⇔ ay = x
per cui la funzione logaritmo é la funzione inversadell’esponenziale.
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Logaritmi
Valgono pertanto le seguenti relazioni fondamentali:
logaax = x, ∀x ∈ R
alogax = x, ∀x ∈ R,x > 0
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Logaritmi
Valgono pertanto le seguenti relazioni fondamentali:
logaax = x, ∀x ∈ R
alogax = x, ∀x ∈ R,x > 0
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Grafico di funzione inversa
Siano A,B⊆ R e sia f : A→ B una funzione invertibile.Allora il grafico di f−1 e il grafico di f risultano uno il sim-metrico dell’altro rispetto alla bisettrice y = x.Ossia:
Γf−1 = {(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ B}
= {(f (x), f−1(f (x))) ∈ R2 : x ∈ A}
= {(f (x),x) ∈ R2 : x ∈ A}
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Proprietá
Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha
• logaa = 1
• loga1 = 0
• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R
• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)
• loga(x1)− loga(x2) = loga
(x1x2
)• logbx = logax
logab
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Proprietá
Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha
• logaa = 1
• loga1 = 0
• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R
• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)
• loga(x1)− loga(x2) = loga
(x1x2
)• logbx = logax
logab
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Proprietá
Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha
• logaa = 1
• loga1 = 0
• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R
• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)
• loga(x1)− loga(x2) = loga
(x1x2
)• logbx = logax
logab
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Proprietá
Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha
• logaa = 1
• loga1 = 0
• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R
• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)
• loga(x1)− loga(x2) = loga
(x1x2
)• logbx = logax
logab
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Proprietá
Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha
• logaa = 1
• loga1 = 0
• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R
• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)
• loga(x1)− loga(x2) = loga
(x1x2
)• logbx = logax
logab
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Proprietá
Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha
• logaa = 1
• loga1 = 0
• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R
• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)
• loga(x1)− loga(x2) = loga
(x1x2
)
• logbx = logaxlogab
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Proprietá
Per a,b,x,y ∈ R+, con a,b 6= 1 si ha
• logaa = 1
• loga1 = 0
• loga(x)k = klogax ∀k ∈ R
• loga(x1)+ loga(x2) = loga(x1x2)
• loga(x1)− loga(x2) = loga
(x1x2
)• logbx = logax
logab
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Logaritmi
x
y
a > 1x
y
0 < a < 1
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Numero di nepero
Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero
e≈ 2,71828
Rappresenta la base piú utilizzata per i logaritmi.
Il logaritmo in base e viene detto logaritmo naturale, eindicato solitamente come lnx o impropriamente conlogx.
La funzione esponenziale con base e, ex, vienesemplicemente detta funzione esponenziale.
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Numero di nepero
Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero
e≈ 2,71828
Rappresenta la base piú utilizzata per i logaritmi.
Il logaritmo in base e viene detto logaritmo naturale, eindicato solitamente come lnx o impropriamente conlogx.
La funzione esponenziale con base e, ex, vienesemplicemente detta funzione esponenziale.
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Numero di nepero
Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero
e≈ 2,71828
Rappresenta la base piú utilizzata per i logaritmi.
Il logaritmo in base e viene detto logaritmo naturale, eindicato solitamente come lnx o impropriamente conlogx.
La funzione esponenziale con base e, ex, vienesemplicemente detta funzione esponenziale.
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Numero di nepero
Il seguente numero irrazionale viene detto numero di Nepero
e≈ 2,71828
Rappresenta la base piú utilizzata per i logaritmi.
Il logaritmo in base e viene detto logaritmo naturale, eindicato solitamente come lnx o impropriamente conlogx.
La funzione esponenziale con base e, ex, vienesemplicemente detta funzione esponenziale.
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Esempi
log28 = 3 perché 23=8
log 13
(19
)= 2 perché
(13
)2= 1
9
log 12x =−3 =⇒ x =
(12
)−3= 8
logx16 = 2 =⇒ x2 = 16 =⇒ x = 4
3log35 = 5
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Esempi
log28 = 3 perché 23=8
log 13
(19
)= 2 perché
(13
)2= 1
9
log 12x =−3 =⇒ x =
(12
)−3= 8
logx16 = 2 =⇒ x2 = 16 =⇒ x = 4
3log35 = 5
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Esempi
log28 = 3 perché 23=8
log 13
(19
)= 2 perché
(13
)2= 1
9
log 12x =−3 =⇒ x =
(12
)−3= 8
logx16 = 2 =⇒ x2 = 16 =⇒ x = 4
3log35 = 5
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Esempi
log28 = 3 perché 23=8
log 13
(19
)= 2 perché
(13
)2= 1
9
log 12x =−3 =⇒ x =
(12
)−3= 8
logx16 = 2 =⇒ x2 = 16 =⇒ x = 4
3log35 = 5
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Esempi
log28 = 3 perché 23=8
log 13
(19
)= 2 perché
(13
)2= 1
9
log 12x =−3 =⇒ x =
(12
)−3= 8
logx16 = 2 =⇒ x2 = 16 =⇒ x = 4
3log35 = 5
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Esercizi
Determinare il dominio delle seguenti funzioni:
y = log(x+2), y = log|x+1|, y = log2(8− x2)
log(x2 +4x)+√
x
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.
Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:
• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.
Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.
• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.
Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.
• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.
Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = ex e la retta di equazione x = 2.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = ex:• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.
Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 5?
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.
Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):
• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.
Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.
• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.
Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.
• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.
Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?
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Esercizi
• Determinare il punto di intersezione tra il grafico dellafunzione f (x) = log3(x) e la retta di equazione x = 9;x = 0.
• Stabilire per quali valori di x il grafico della funzionef (x) = log3(x):• interseca la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sopra la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 2.• sta sotto la retta di equazione y = 1; y = 0; y = 3.
Per quali valori di x, la funzione assume valorimaggiori di 2?
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