Sommario
1 Angoli
2 Funzioni trigonometrichesimmetrieformule
3 Equazioni trigonometriche
4 Proprietà dei triangoli
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 2 / 21
Angoli
Consideriamo due semirette (r , s) uscenti da un punto O nel piano
(r , s) coppia ordinata
rotazioni in senso antiorario
α angolo convesso
β angolo concavo
O
β
r
s
α
Angoli particolari (misure in gradi sessagesimali)se r = s =⇒ α = 0◦
se r⊥s =⇒ α = 90◦ cioè, r e s sono ortogonali
se r = −r =⇒ α = 180◦
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 3 / 21
RadiantiSistema cartesiano conorigine 0r semiasse positivo delleascisseC (0,R) circonferenza centro0 e raggio R > 0P = C (0,R) ∩ sAP lunghezza arco da A a P
0
P
A = (R,0)
R
C (0,R)
r
s
α
Misura in radianti dell’angolo (r , s): α = AP/R
Angoli particolari
gradi 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦
rad 0 π6
π4
π3
π2 π 3π
2 2π
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 4 / 21
Funzioni trigonometriche: y = sin x
C (0, 1) circonferenzagoniometrica (R = 1)
P = (cos x , sin x)
b
b
0
P
rx
La funzione seno
dom(f ) = R, im(f ) = [−1, 1]
periodica T = 2π;
sin(0) = sin(π) = 0;
sin(
π
2
)
= 1 e sin(
3π2
)
= −1;
sin(−x) = − sin(x).
xπ/2 π
−π/2−π
1
−1
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 5 / 21
Funzioni trigonometriche: f (x) = cos x
C (0, 1) circonferenzagoniometrica (R = 1)
P = (cos x , sin x)
b
b
0
P
rx
La funzione coseno
dom(f ) = R, im(f ) = [−1, 1]
periodica T = 2π;
cos(
π
2
)
= cos(
3π2
)
= 0;
cos(0) = 1 e cos(π) = −1;
cos(−x) = cos(x).
xπ/2
π
−π/2
−π
1
−1
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 6 / 21
Funzioni trigonometriche: f (x) = tan x
C (0, 1) circonferenzagoniometrica (R = 1)
P = (cos x , sin x)
b
b
0
P
rx
La funzione tangente
y = tan x = sin xcos x
dom(f ) = R \{
π
2 + kπ, k ∈ Z}
;
im(f ) = R
periodica T = π;
tan(0) = 0;
tan(−x) = − tan(x).
−π
−π/2
π/2
π
x
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 7 / 21
Formule trigonometriche fondamentali
C (0,1) circonferenzagoniometrica (R = 1)
P = (cos x , sin x)
b
b
0
P
rx
sin2 x + cos2 x = 1
Angoli notevoli
sin(
π6
)
= 12 sin
(
π3
)
=√
32 sin
(
π4
)
=√
22
cos(
π6
)
=√
32 cos
(
π3
)
= 12 cos
(
π4
)
=√
22
tan(
π6
)
=√
33 tan
(
π3
)
=√
3 tan(
π4
)
= 1
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 8 / 21
Angoli associati e simmetrie I
C (0,1) circonferenzagoniometrica (R = 1)
P = (cos x , sin x)
b
b
b
0
P
P1
rx
P1 = (cos(x + π), sin(x + π)) = (− cos x ,− sin x)
Relazioni notevolisin(π + x) = − sin(x)
cos(π + x) = − cos(x)
tan(π + x) = tan(x)
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 9 / 21
Angoli associati e simmetrie II
C (0,1) circonferenzagoniometrica (R = 1)
P = (cos x , sin x)
b
b
b
0
P
P1
rx
P2 = (cos(2π − x), sin(2π − x)) = (cos x ,− sin x)
Relazioni notevolisin(2π − x) = sin(−x) = − sin(x)
cos(2π − x) = cos(−x) = cos(x)
tan(2π − x) = tan(−x) = − tan(x)
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 10 / 21
Angoli associati e simmetrie III
C (0,1) circonferenzagoniometrica (R = 1)
P = (cos x , sin x)
b
bb
0
PP3
rx
P3 = (cos(π − x), sin(π − x)) = (− cos x , sin x)
Relazioni notevolisin(π − x) = sin(x)
cos(π − x) = − cos(x)
tan(π − x) = − tan(x)
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 11 / 21
Angoli associati e simmetrie IV
C (0,1) circonferenzagoniometrica (R = 1)
P = (cos x , sin x)
b
b
b
0
PP4
rx
P4 =(
cos(π
2+ x
)
, sin(π
2+ x
))
= (− sin x , cos x)
Relazioni notevoli
sin(
π2 + x
)
= cos x
cos(
π2 + x
)
= − sin x
tan(
π2 + x
)
= − cot x
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 12 / 21
Angoli associati e simmetrie V
C (0,1) circonferenzagoniometrica (R = 1)
P = (cos x , sin x)
b
b
b
0
PP5
r
P5 =(
cos(π
2− x
)
, sin(π
2− x
))
= (sin x , cos x)
Relazioni notevoli
sin(
π2 − x
)
= cos x
cos(
π2 − x
)
= sin x
tan(
π2 − x
)
= cot x
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 13 / 21
Formule di addizione e di sottrazione
Formule di addizione
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos xcos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
Formule di sottrazioneUsare f (x − y) = f (x + (−y)), formule di addizione e simmetrie
sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x
Formule di duplicazioneUsare 2x = x + x e formule di addizione
sin(2x) = 2 sin x cos x
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 14 / 21
Formule di Werner e prostaferesi
Formule di Werner
sin x cos y = 12(sin(x + y) + sin(x − y))
sin x sin y = 12(cos(x − y)− cos(x + y))
cos x cos y = 12(cos(x + y) + cos(x − y))
Formule di prostaferesi
sin x ± sin y = 2 sin x±y2 cos x∓y
2
cos x + cos y = 2 cos x+y2 cos x−y
2
cos x − cos y = −2 sin x+y2 sin x−y
2
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 15 / 21
Equazioni trigonometriche I
Si cercanox ∈ R : sin(x) = c
se |c| > 1 =⇒ nessuna soluzione
se |c| ≤ 1 =⇒ infinite soluzioni della forma
α1 ∈[
−π2 ,
π2
]
, α1 + 2kπ
α2 = π − α1, α2 + 2kπ
x
c1
−1π 2π 3π x
c 1
−1π 2π 3π
α1 α2
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 16 / 21
Equazioni trigonometriche II
Si cercanox ∈ R : cos(x) = c
se |c| > 1 =⇒ nessuna soluzione
se |c| ≤ 1 =⇒ infinite soluzioni della forma
α1 ∈ [0, π] , α1 + 2kπ
α2 = 2π − α1, α2 + 2kπ
x
c1
−1π 2π 3π x
c1
−1π 2π 3π
α1α2
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 17 / 21
Equazioni lineari in seno e coseno
Dati a,b, c,∈ R, si cercano
x ∈ R : a sin(x) + b cos(x) = c
Si pongonot = sin(x), s = cos(x)
e si risolve, in t e s
at + bs = c
t2 + s2 = 1
Se (̄t , s̄) soluzioni, si cercano x ∈ R :
{
sin(x) = t̄cos(x) = s̄
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 18 / 21
Eqz. omogenee di II grado in seno e coseno
Dati a, b, c,∈ R, si cercano x ∈ R :
a sin2(x) + b cos2(x) + c sin(x) cos(x) = d
a = d
d = d(cos2(x) + sin2(x))
si risolve
cos(x) [(b−d) cos x+c sin x ]=0
a 6= d
d = d(cos2(x) + sin2(x))
si divide per cos2(x)
si risolve il sistema
(a−d)t2+ct+(b−d) = 0 ⇒ t
soluzioni x ∈ R :
tan(x) = t
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 19 / 21
Equazioni e disequazioni trigonometriche
Indicazioni generali
scrivere tutte le funzioni trigonometriche in termini di seno e coseno
scrivere le funzioni utilizzando lo stesso angolo
se non ci sono termini noti, scrivere l’equazione come prodotto di varifattori
studiare attentamente i valori ammissibili quando si fanno certeoperazioni algebriche, come, ad esempio, dividere per una certafunzione
metodo grafico
interpretazione geometrica ricorrendo all’esame della circonferenzatrigonometrica
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 20 / 21
Proprietà dei triangoli
Teorema dei senia
sinα=
bsinβ
=c
sin γA β B
Cγ
α
c
b a
Teorema di Carnota2 = b2 + c2 − 2bc cosαb2 = a2 + c2 − 2ac cosβc2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Caso: α =π2
b = a sinβ = a cos γc = a sin γ = a cosβb = c tanβc = b tan γ
Corso di accompagnamento Funzioni trigonometriche Lezione 5 21 / 21