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| Date post: | 19-Jun-2015 |
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Le funzioni
PROF. AURICCHIO ANTONIO
corso abilitante in Matematica applicata
Le funzioni
FUNZIONE: DEFINIZIONE
Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice applicazione o funzione
da A a B una relazione tra i due insiemi, che ad ogni x A fa
corrispondere uno ed un solo y B.
L'insieme A viene chiamato dominio (o insieme di definizione) della
funzione.
L'insieme degli elementi di B che hanno almeno una contro-immagine
in A, viene chiamato codominio della funzione.
Le funzioni
FUNZIONE: DEFINIZIONE
Se x è un elemento di A, il suo corrispondente y di B si indica anche con
f(x):
y = f(x)
Nel in cui A e B sono insiemi numerici si parla di funzioni numeriche, in
tal caso:
• x è detta variabile indipendente
• y è detta variabile dipendente
La funzione numerica è definita matematica qualora i valori della x e i
corrispondenti valori della y sono legati da operazioni matematiche,
viene detta, invece, empirica qualora i valori della x e i corrispondenti
valori della y sono legati dall’esperienza.
Le funzioni
FUNZIONE NON NUMERICA: ESEMPIO
Nell'insieme degli insegnanti della tua classe, si consideri la
relazione che ad ogni insegnante associa la classe in cui
insegna. E' una funzione?
La risposta corretta è NO.
Infatti solitamente ad un insegnante corrispondono più classi.
Le funzioni
Non è una funzione: un elemento di A ha più di una immagine
in B
Non è una funzione: un elemento di A non
ha immagine in B
E' una funzione: ad ogni elemento di
A ne corrisponde uno ed un solo di B
FUNZIONE NUMERICA
Quale dei seguenti grafici rappresenta una funzione numerica?
Le funzioniFUNZIONE NUMERICA MATEMATICA:
ESEMPIO
Si consideri la relazione che ad un elemento di x di R associa
il suo doppio. E' una funzione?
La risposta corretta è SI.
Infatti ad ogni elemento x di R corrisponde uno ed un solo
elemento doppio.
Le funzioni
FUNZIONE NUMERICA EMPIRICA: ESEMPIO
Si consideri la relazione che allo scandire di ogni ora della
giornata di domani associa la temperatura.
E’ una funzione?
La risposta corretta è SI.
Infatti ad ogni ora corrisponde un solo valore della
temperatura.
La seguente funzione è un esempio di funzione empirica,
infatti, i valori della y, in questo caso quelli della
temperatura, non si possono determinare con operazioni
matematiche, ma soltanto in seguito all’esperienza.
Le funzioniCLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI
MATEMATICHE
Da ora in poi ci occuperemo solo di funzioni matematiche.
E’ necessario prima di proseguire farne una classificazione:
razionali intere
funzion
itrascendenti
algebrich
erazionali fratte
irrazionali
esponenziali
logaritmiche
tutte quelle che non
sono algebriche
Le funzioni
Data la funzione f : A →B chiameremo grafico della funzione f l’insieme
Gf definito da:
Gf = {(x, y) A × B | y = f(x)}
GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Nel caso in cui A,B sono insiemi numerici questo insieme rappresenta
una curva nel piano (x, y).
Non tutte le curve nel piano sono grafici di funzione, affinchè lo siano
devono verificare la definizione di funzione, cioè che per ogni x A
esiste uno ed un solo y B tale che y=f(x)
Le funzioni
GRAFICO DI FUNZIONE: ESEMPI
Si, in quanto soddisfa la condizione di unicità; infatti come evidenziato
dalle linee tratteggiate ad ogni x corrisponde una ed una sola y.
La seguente curva rappresenta il grafico di una funzione?
Le funzioni
GRAFICO DI FUNZIONE: ESEMPI
No, in quanto non soddisfa la condizione di unicità; infatti come
evidenziato dalla linea tratteggiata esiste una x a cui corrispondono
ben tre y, ciò va contro la definizione di funzione che richiede che ad
ogni x deve corrispondere una ed una sola y.
La seguente curva rappresenta il grafico di una funzione?
Le funzioni
Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A
corrispondono elementi distinti di B.
FUNZIONE INIETTIVA: DEFINIZIONE
Si può anche scrivere
x1,x2 A, con x1 ≠ x2 allora f(x1) ≠ f(x2)
Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo y B da
questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento x A
Le funzioni
FUNZIONE INIETTIVA
.
Funzione iniettiva Funzione non iniettiva
Il primo grafico è una funzione iniettiva, infatti, ad elementi distinti del
primo insieme, corrispondono elementi distinti del secondo insieme. Il
secondo grafico non è invece una funzione, poiché non sempre ad
elementi distinti del primo insieme corrispondono elementi distinti del
secondo insieme.
Le funzioni
Dati gli insiemi A={1,2,3}, B={1,4,9,16} si consideri la funzione che
ad un elemento di x associa il suo quadrato.
La funzione è iniettiva.
Infatti ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. .
FUNZIONE INIETTIVA: ESEMPI
Dati gli insiemi A={-3,-2,-1,1,2,3}, B={1,4, 9,16} considera la funzione
che ad un elemento di x associa il suo quadrato.
La funzione non è iniettiva.
Infatti ad elementi distinti di A non corrispondono elementi distinti di B.
Ad esempio ad entrambi gli elementi -3, 3, corrisponde lo stesso
elemento 9
Le funzioni
Grafico di funzione
iniettiva, ad x distinte
corrispondono y distinte.
FUNZIONE INIETTIVA: ESEMPI
Grafico di funzione non
iniettiva, vi sono x distinte
a cui corrisponde la stessa
y (come evidenziato dai
punti rossi).
Le funzioni
Questa funzione non è suriettiva perché esiste un elemento di B (5) che non è immagine di qualche elemento di A
Questa funzione è suriettiva, infatti non esiste alcun elemento di B che non sia immagine di elementi di A
FUNZIONE SURIETTIVA: DEFINIZIONE ED ESEMPI
Una funzione da A a B si dice suriettiva se ogni elemento di B è
immagine di almeno un elemento di A.
In altre parole il codominio coincide con B.
Le funzioni
FUNZIONE SURIETTIVA: DEFINIZIONE ED ESEMPI
Sia f : R → R
La funzione non è
suriettiva: si ha
infatti che i numeri
negativi non hanno
controimmagine
Sia f : R → R
La funzione è suriettiva: si ha
infatti che ogni numero reale ha
controimmagine
Le funzioni
Una funzione da A a B che sia contemporaneamente iniettiva e
suriettiva viene detta biettiva (o corrispondenza biunivoca).
Poiché la funzione è iniettiva ad elementi distinti di A
corrispondono elementi distinti di B, ma la funzione è anche
suriettiva quindi non esiste alcun elemento di B che non sia
immagine di un elemento di A.
FUNZIONE BIETTIVA: DEFINIZIONE
Le funzioni
La funzione è suriettiva perché non esiste un elemento di B che non sia immagine di qualche elemento di A. Non è invece iniettiva.
La funzione è iniettiva perché ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B. Non è invece suriettiva.
La funzione è sia iniettiva che suriettiva.E' una corrispondenza biunivoca.
FUNZIONE BIETTIVA: ESEMPI
Le funzioni
FUNZIONE BIETTIVA: ESEMPI NON NUMERICI
Nell'insieme degli alunni di una classe, si consideri la funzione che
associa ad ogni alunno il suo nome (e cognome) sul registro dell’
insegnante di matematica.
Ad ogni studente corrisponde un solo nome e cognome. Viceversa
ad ogni nome e cognome corrisponde un solo studente.
La funzione è una corrispondenza biunivoca.
Sempre in riferimento all'esempio precedente si consideri la
relazione che associa ad ogni studente il suo numero d'ordine. La
funzione è biunivoca?
In genere la funzione sarà iniettiva, perché a studenti distinti
corrispondono numeri distinti, ma probabilmente non suriettiva,
perché ci saranno sul registro numeri ai quali non corrispondono
studenti.
Le funzioni
FUNZIONE BIETTIVA: ESEMPI
Sia f : R → R
La funzione è biettiva essendo sia iniettiva che suriettiva
Le funzioni
Sia data una funzione f biettiva di A in B. Allora ad ogni
elemento di A corrisponde un solo elemento di B, o meglio
ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A.
La relazione che ad ogni elemento di B fa corrispondere un
elemento di A è a sua volta una funzione: essa viene chiamata
funzione inversa e viene indicata con il simbolo f-1 .
Una funzione è quindi invertibile solo se è biunivoca.
FUNZIONE INVERSAINVERTIBILITA’ DI UNA FUNZIONE
Le funzioni
FUNZIONE INVERSA: ESEMPI
Si consideri la relazione che ad un elemento di x di R associa il suo
cubo.
Essa è una funzione. E' invertibile?
La risposta corretta è SI.
Infatti la funzione è biettiva, e la sua inversa sarà la funzione che ad
ogni elemento y di R associa la sua radice cubica.Si consideri la relazione che ad un elemento di x di R associa il suo
quadrato.
Essa è una funzione. E' invertibile?
La risposta corretta è NO.
Infatti la funzione non è biettiva, in quanto non iniettiva: il quadrato
di un numero è infatti uguale a quello del suo opposto.
Le funzioniFUNZIONI PARI, DISPARI E PERIODICHE
DEFINIZIONI
Si consideri la funzione f di A in B
Diremo che f è una funzione
• pari se f(x) = f(−x) , per ogni x A
• dispari se f(x) = −f(−x) , per ogni x A
• periodica (di periodo T) se f(x + T) = f(x) , per ogni x
A
Le funzioni
FUNZIONI PARI E DISPARI: ESEMPI
Si consideri la funzione f che ad ogni x R associa il suo quadrato:
Che tipo di funzione è?
La risposta corretta è PARI. Infatti, come già evidenziato in
precedenza, il quadrato di un numero è infatti uguale a quello del suo
opposto. Ad esempio, f(2) = f(-2) = 4.
Si consideri la funzione f che ad ogni x R associa il suo cubo:
Che tipo di funzione è?
La risposta corretta è DISPARI. Infatti, il cubo di un numero e del suo
opposto sono a loro volta opposti. Ad esempio, f(3) = 9 ≠ f(-3) = -9.
Le funzioni
FUNZIONI PARI E DISPARI: ESEMPI
Come detto prima, la
funzione che ad ogni x
associa il suo quadrato è
pari, il suo grafico è
simmetrico rispetto all’asse
delle y come per tutte le
funzioni pari.
Come detto prima, la
funzione che ad ogni x
associa il suo cubo è dispari,
il suo grafico è simmetrico
rispetto all’origine come per
tutte le funzioni dispari.
Le funzioni
FUNZIONI MONOTONE
Una funzione f : A → B si dice crescente in senso stretto se:
x1 , x2 A, con x1 < x2 si ha che f(x1) < f(x2)
Una funzione f : A → B si dice crescente in senso lato se:
x1 , x2 A, con x1 < x2 si ha che f(x1) ≤ f(x2)
Una funzione f : A → B si dice decrescente in senso stretto se:
x1 , x2 A, con x1 < x2 si ha che f(x1) > f(x2)
Una funzione f : A → B si dice decrescente in senso lato se:
x1 , x2 A, con x1 < x2 si ha che f(x1) ≥ f(x2)
Le funzioni
FUNZIONI MONOTONE: ESEMPI
Una funzione si dice monotona in un determinato intervallo, se in
quell’intervallo risulta essere crescente in senso stretto o in senso
lato, oppure decrescente in senso stretto o in senso lato.
La funzione è
crescente.
La funzione è
decrescente
Le funzioni
FUNZIONI CONTINUE
Sia A R un insieme numerico, diremo che il punto
x0 A è un punto interno di A se esiste un intorno completo di
x0 costituito da soli elementi di A.
Prima di enunciare la definizione di funzione continua è
necessario richiamare la definizione di punto interno e punto di
frontiera.
Sia A R un insieme numerico, diremo che il punto
x0 A è un punto di frontiera (o punto estremo) di A se
comunque si prenda un intorno completo di x0, esso contiene
almeno un punto non appartenente ad A.
Le funzioni
FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONE
Intuitivamente possiamo dire che una funzione si dice continua
quando possiamo disegnarla senza staccare la penna dal foglio (o
il gessetto dalla lavagna); è necessario però darne una definizione
matematica precisa utilizzando il concetto di limite.
)()( 0lim0
xfxfxx
Diremo che una funzione f(x), definita in (a, b), è continua nel
punto
x0 ]a, b[, interno all’intervallo (a, b)
se accade che
In altre parole, una funzione è continua in un punto x0 se in quel
punto esistono il suo limite destro e sinistro ed i due limiti sono finiti
ed uguali.
Le funzioni
FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONE
Nella precedente definizione nell’indicare il dominio abbiamo
usato, invece del generico insieme A, un intervallo. Il motivo è
che, nella maggior parte dei casi, le funzioni sono definite in un
solo intervallo con la eventuale esclusione di qualche punto di
esso. E’ ovvio che quanto diremo sugli intervalli si può ripetere
per domini generici per esempio costituiti dall’unione di più
intervalli.
Le funzioni
FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONE
Diremo che una funzione f(x), definita in (a, b), è continua
nei punti di frontiera a, b, se accade che:
)()(lim bfxfbx
)()(lim afxfax
Ovviamente può accadere che la funzione sia continua in uno
solo dei punti di frontiera.
Le funzioni
FUNZIONI CONTINUE: DEFINIZIONE
Diremo che la funzione f(x) definita nell’intervallo (a, b)
(aperto o chiuso) è ivi continua se essa è continua per ogni
x (a, b), cioè se la funzione è continua sia in tutti i punti
interni ad (a,b), sia nei punti di frontiera.
Le funzioniFUNZIONI DISCONTINUE: DEFINIZIONE
Sia f(x) una funzione definita in (a, b) e sia x0 (a, b). Se
• f(x) è non dotata di limite in x0, cioè se il limite in tal punto non esiste,
oppure
• se pur essendo convergente si ha:
allora
x0 si dice punto singolare o punto di discontinuità della funzione f(x).
)()( 0lim0
xfxfxx
Le funzioniFUNZIONI DISCONTINUE: DEFINIZIONE
)()( limlim00
xfxfxxxx
1. Discontinutà di I specie
Sia f(x) una funzione definita in (a, b) e sia x0 (a, b).
Diremo che x0 è un punto di discontinuità di I specie se la funzione, non è dotata di limite in x0, cioè è dotata di limite destro e sinistro distinti e finiti, cioè:
2. Discontinutà di II specie
Diremo che x0 e un punto di discontinuità di II specie se almeno
uno (o entrambi) dei limiti destro o sinistro di f(x), per x che tende a x0
non esiste o non esiste finito.
3. Discontinutà di III specie
Diremo infine che x0 è un punto di discontinuità di terza specie o eliminabile della funzione quando esiste finito il limite per x che tende a x0 di f(x), ma f(x0) o non esiste o è diversa dal valore del limite.
Le funzioni
FUNZIONI CONTINUE: ESEMPI
Sia f : R → R
Esempio di funzione
continua; in qualsiasi
suo punto il limite
destro e sinistro
coincidono
Esempio di funzione
discontinua; nel punto 0
infatti il limite destro e
sinistro non coincidono
(discontinuità di prima
specie).
Sia f : R → R
Le funzioniSTUDIO DI FUNZIONE - PROCEDIMENTO
In matematica per studio di funzione si intende quell'insieme di
procedure che hanno lo scopo di analizzare una funzione f(x) al fine di
determinarne alcune caratteristiche qualitative. Uno studio di funzione
correttamente condotto permette di tracciare il grafico della funzione.
In sintesi, il procedimento per un corretto studio di funzione sono:
• Determinazione dell'insieme di definizione
• Intersezioni con gli assi
• Segno della funzione
• Calcolo dei limiti di frontiera
• Continuità / Discontinuità della funzione
• Individuazione degli asintoti
• Monotonìa
• Concavità/Convessità
Le funzioni
STUDIO DI FUNZIONEINSIEME DI DEFINIZIONE
Per determinare l'insieme di definizione (dominio) di una funzione
assegnata in termini di funzioni elementari, a meno di indicazioni
esplicite, si deve individuare il sottoinsieme dei reali più esteso entro il
quale l'espressione che la definisce non perda di senso.
In particolare conviene porre l'attenzione alle seguenti evenienze:
• le funzioni fratte non esistono nei punti dove il denominatore si
annulla,
• le funzioni sotto radice di esponente pari non esistono se il
radicando è minore di zero,
• le funzioni logaritmiche non esistono nei punti dove l'argomento è
minore o uguale a zero.
Le funzioni
STUDIO DI FUNZIONE INTERSEZIONE CON GLI ASSI
Può essere utile a questo punto cominciare ad individuare alcuni punti del piano che stanno sul grafico della funzione; in particolare si è soliti cercare le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani.
Per determinarle si opererà come segue:
intersezioni con l'asse x: sono i punti di coordinate (x,0) dove x è soluzione dell'equazione f(x) = 0. Si possono presentare diverse eventualità:
• l'equazione potrebbe non avere soluzioni, e in questo caso la funzione non ha intersezione con l'asse x,
• potrebbe avere una o più soluzioni, ma comunque un numero finito di soluzioni (e quindi un numero finito di punti di intersezione),
• potrebbe avere infinite soluzioni.
intersezione con l'asse y: l'intersezione con l'asse y esiste solamente se lo zero appartiene al dominio della funzione, nel qual caso questa intersezione è unica per definizione stessa di una funzione, e sarà il punto di coordinate (0,f(0)).
Le funzioni
STUDIO DI FUNZIONE – IL SEGNO
Ci si chiede ora di studiare il segno della funzione, cioè ci si chiede
quando la funzione è positiva (sopra l'asse x) o negativa (al di sotto
dell'asse x). In altre parole quali sono i valori della x appartenenti al
dominio tali che sia soddisfatta la disequazione f(x) > 0 e quali
invece siano tali che sia soddisfatta la f(x) < 0.
Può essere molto utile a questo punto annerire su un piano
cartesiano tutte le zone in cui il grafico della funzione non può
passare, se ad esempio nell'intervallo (a,b) la funzione risultasse
positiva si annerirà la zona del piano sotto l'asse x, dove x è
compresa fra a e b.
Le funzioni
STUDIO DI FUNZIONELIMITI DI FRONTIERA
Una volta stabilito il dominio e le particolari caratteristiche che può
avere la funzione, si studia il comportamento della funzione sulla
frontiera del dominio. In particolare si andrà a calcolare i limiti:
per x che tende a -∞ se il dominio è illimitato inferiormente
per x che tende a +∞ se il dominio è illimitato superiormente
Per c R se c è punto di accumulazione (un punto si dice di
accumulazione se qualunque suo intorno contiene sempre almeno un
punto del dominio diverso da esso stesso) del dominio ma non è un suo
punto interno. In alcuni casi sarà necessario limitarsi a calcolare solo il
limite destro o il limite sinistro
Le funzioni
STUDIO DI FUNZIONECONTINUITA’ ED ASINTOTI
Il calcolo dei limiti permette di verificare la continuità di una funzione o
di valutarne le discontinuità in quel punto.
Infatti, basterà analizzare il limite destro e sinistro nei punti di
accumulazione. Se essi coincidono, allora la funzione è continua,
altrimenti in quel punto presenta una discontinuità.
Le funzioni
STUDIO DI FUNZIONECONTINUITA’ ED ASINTOTI
Con il calcolo dei limiti si è in grado di individuare anche l'esistenza di
eventuali asintoti sia verticali, orizzontali che obliqui.
asintoto orizzontale: è la retta di equazione y = l se
asintoto obliquo: è la retta di equazione y = mx + q se si verificano
nell'ordine le seguenti proprietà:
asintoto verticale: è la retta di equazione x = c se
dove c è un eventuale punto di discontinuità o un estremo finito del
dominio.
dove più o meno infinito sono gli eventuali estremi infiniti del
dominio.
Quindi se la funzione ha un dominio limitato non può ammettere né
asintoti orizzontali né obliqui.
Le funzioni
Si devono inoltre precisare alcune caratteristiche specifiche:
• le funzioni goniometriche non presentano alcun asintoto,
• una funzione che ammette asintoti orizzontali, non ammette quelli
obliqui e viceversa, mentre non c'è alcuna restrizione per gli asintoti
verticali,
• un asintoto verticale esiste se e solo se ci sono dei candidati
asintoti nel campo d'esistenza; quindi, se la funzione è definita su
tutto il campo dei numeri reali, non esiste alcun asintoto verticale.
STUDIO DI FUNZIONE - ASINTOTI
Le funzioni
STUDIO DI FUNZIONEMASSIMI E MINIMI
Uguagliando a zero la derivata della funzione, cioè risolvendo
l’equazione
f ’ (x) = 0
si individuano i punti stazionari della funzione.
Si studia, poi, il segno di f’(x), cioè si risolve la disequazione:
f ’ (x) > 0
e si determinano gli eventuali punti di massimo relativo, minimo
relativo e punto di flesso a tangente orizzontale.
Detto x0 uno di questi punti, esso sarà punto di massimo o di minimo
relativo per la funzione, se la derivata prima cambia di segno
passando dalla sinistra alla destra di x0, cioè se la derivata cambia di
segni ‘attraversando’ x0.
Se invece non cambia di segno esso sarà un punto di flesso a
tangente orizzontale.
Le funzioni
STUDIO DI FUNZIONEMONOTONIA, CONCAVITA’ E
CONVESSITA’
Infine, vanno ricercati gli intervalli in cui la funzione è concava
(convessa).
Ciò si ottiene calcolando la derivata seconda della funzione, risolvendo la
disequazione
f ’’ (x) > 0 (f ’’ (x) < 0) Risolvendo l’equazione
f ’’ (x) = 0
vengono individuati eventuali punti di flesso della funzione. Detto x0 uno
di questi punti, esso sarà un punto di flesso nel caso in cui la derivata
seconda, a destra e a sinistra di x0 cambia di segno.
Il punto di massimo (minimo) in cui la funzione assume il valore
maggiore (minore) è detto “punto di massimo (minimo) assoluto”. Gli
altri punti sono detti di massimo (minimo) relativo
