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Generazione di Numeri Industriale Casuali- Parte 2 0.2 0.25 0.3 Toolbox statistics–Programmi...

Date post:25-May-2020
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  • Statistica Applicata per l’Ingegneria Industriale - Generazione di numeri casuali – Parte 2 1

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

    Esercitazione con generatori di numeri casuali

    Seconda parte

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

    Sommario

    • Trasformazioni di Variabili Aleatorie

    – Trasformazione non lineare: numeri casuali di tipo Log- normale

    – Numeri casuali di tipo T di student

    • Vettori di numeri casuali

    2

  • Statistica Applicata per l’Ingegneria Industriale - Generazione di numeri casuali – Parte 2 2

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

    3

    Introduzione

    • Nelle lezioni di teoria si è visto come funzioni di variabili aleatorie siano anche esse variabili aleatorie.

    • Trasformazioni lineari preservano la natura del tipo di variabile aleatoria

    • In particolare, trasformazioni lineari di VA Gaussiane sono ancora Gaussiane

    • Tale proprietà non è in genere verificata per trasformazioni non lineari

    Teoria

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

    4

    Esercizio • Si generi un vettore di 10000 numeri casuali provenienti da una

    variabile aleatoria di tipo Gaussiano di media m = 1.0 e deviazione standard s=0.5 (Toolbox Statistics: normrnd; Stixbox: rnorm)

    • Di ciascun esito casuale valutare la seguente trasformazione non lineare

    – Z = exp(Y)

    • Calcolare media e varianza del nuovo campione di dati z

    1. Rappresentare graficamente il campione di dati

    2. Rappresentare in un opportuno istogramma normalizzato la distribuzione dei dati (comando histo)

    3. Confrontare l’istogramma con la funzione densità di probabilità di tipo lognormale con parametri lambda = 1.0 e zeta = 0.5

    – (la funzione densità di probabilità per la lognormale è disponibile con il toolbox statistics, con il comando lognpdf, e con stixbox con il comando dlognorm)

    4. Commentare eventualmente i risultati

    Toolbox statistics – Programmi WEB

  • Statistica Applicata per l’Ingegneria Industriale - Generazione di numeri casuali – Parte 2 3

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

    5

    Esercizio (continua)

    • La variabile aleatoria di tipo Lognormale è una derivata della gaussiana

    • La media e la varianza della lognormale non coincidono con la media e la varianza della Gaussiana generatrice

    0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    Toolbox statistics – Programmi WEB

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

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    Esercizio – Trasformazioni non lineari

    • Si generino i seguenti gruppi di numeri casuali:

    – 5 vettori colonna di numeri casuali provenienti da una variabile aleatoria normale di tipo standard ovvero di media 0 e varianza 1

    – Si consideri la seguente combinazione (non lineare) dei numeri casuali così generati

    • Rappresentare graficamente il nuovo vettore di numeri casuali z

    • Rappresentare i dati in un opportuno istogramma normalizzato usando il comando histo

    1

    2 2 2 2 2 3 4 5

    4

    x z

    x x x x 

      

    >> histo(z,400,0,1)

    Programmi WEB (stixbox)

  • Statistica Applicata per l’Ingegneria Industriale - Generazione di numeri casuali – Parte 2 4

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

    7

    • Per una rappresentazione grafica significativa si suggerisce di scalare gli assi in modo da evidenziare le variazioni nella zona di maggior interesse

    • Confrontare i risultati dell’istogramma con la funzione densita di probabilità della T di student a 4 gradi di libertà

    >> axis([-5,5,0, 0.45])

    Xmin Xmax Ymin Ymax

    >> xx = [-5:0.01:5]; >> yy = tpdf(xx,4); (o alternativamente: yy = dt(xx,4);) >> hold on >> plot(xx,yy,'r')

    Toolbox statistics - Programmi WEB

    >> histo(z,400,0,1)

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

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    Esercizio (continua)

    • Confrontare infine con la funzione densità di probabilità di una Gaussiana standard

    >> yg = normpdf(xx,0,1); >> plot(xx,yg,‘k')

    alternativa (Stixbox): >> xx = [-5:0.01:5]; >> yg = dnorm(xx,0,1);

    -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0

    0.05

    0.1

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    0.4

    0.45

    Toolbox statistics - Programmi WEB

  • Statistica Applicata per l’Ingegneria Industriale - Generazione di numeri casuali – Parte 2 5

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

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    Variabili aleatorie vettoriali Introduzione

    • Nelle applicazioni, l’esito di un processo casuale può essere anche rappresentato da più componenti, e non da un semplice scalare

    • Esempi:

    – misure di concentrazione di più composti sullo stesso campione

    – Misure di pressione e temperatura in un reattore nelle stesse condizioni

    – etc. etc.

    • In tal caso l’esito dell’esperienza aleatoria non è più uno scalare ma un vettore ad N dimensioni

    Teoria

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

    10

    Variabili aleatorie vettoriali

    • Nella parte di teoria si è introdotto il concetto di variabile aleatoria di tipo Vettoriale.

    • Il Toolbox Statistics di Matlab® permette di generare anche numeri casuali legati a variabili aleatorie di tipo vettoriale.

    • L’unico tipo di VA presa in considerazione è di tipo normale (e quella cosiddetta di Student)

    • Interesse soprattutto dal punto di vista didattico

    Toolbox statistics

  • Statistica Applicata per l’Ingegneria Industriale - Generazione di numeri casuali – Parte 2 6

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

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    Istruzioni per l’uso

    • Per generare numeri casuali (di tipo scalare) provenienti da una VA di tipo normale era necessario definire:

    – La media

    – La deviazione standard

    • Nel caso di una VA vettoriale (di dimensione 2) sarà quindi necessario introdurre almeno:

    – Due medie

    – Due varianze

    Toolbox statistics

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    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

    12

    Istruzioni per l’uso

    • Le variabili da definire nel generatore di numeri casuali:

    – Un vettore mu delle medie delle singole componenti della VA

    – Una matrice sigma che includa le varianze delle singole componenti della VA e le covarianze esistenti tra le VA

    Toolbox statistics

  • Statistica Applicata per l’Ingegneria Industriale - Generazione di numeri casuali – Parte 2 7

    Statistica Applicata per l’Ingegneria

    Industriale

    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

    13

    Creazione di numeri casuali vettoriali Definizione media

    • Come primo passo si definiscano le medie delle singole componenti.

    • Ovvero:

    – La marginale relativa a Y1 ha media 0

    – La marginale relativa a Y2 ha media 0.

    >> mu = [0,0]

    mu =

    0 0

    Toolbox statistics

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    Generazione di Numeri Casuali- Parte 2

    14

    Creazione di numeri casuali vettoriali Definizione varianza

    • Le varianze delle singole marginali è definita nella matrice sigma. lungo la diagonale

    • I termini fuori diagonale sono nulli (per il momento)

    >> sigma = [1.0,0;0,2]

    sigma =

    1.0000 0

    0 2.0000

    Varianza di Y1

    Varianza di Y2

    Toolbox statistics

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    Generazione di numeri casuali vettoriali - Istruzioni

    • È possibile ora generare coppie di numeri casuali di tipo vettoriali con le medie e le covarianze definite prima.

    • Il comando da eseguire è:

    >> xvec= mvnrnd(mu,sigma,n);

    Output Input

    Vettore media

    della VA vettoriale

    [d×1]

    Matrice varianze della VA vettoriale

    [d×d]

    Numero di coppie di numeri

    casuali da generare

    (scalare: n)

    Toolbox statistics

    Matrice numeri casuali generati. [n×d]

    Ciascuna riga si riferisce ad un’esperienza.

    Le colonne sono le differenti componenti

    Statistica Applicata per