geo Capitolo IV

CAPITQLO QUARTO ~

STATI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE NELLE TERRE

I 4.1 - Applicazione della meccanica del continuo ai mezzi granulari polifase

Sebbene ad una prima sensazione i corpi naturali appaiano come continui, nel senso che occupano una regione dello spazio senza apparente soluzione di continuit, ben noto invece che essi abbiano una struttura discontinua, a livello almeno molecolare o atomico. Per le terre, la struttura particellare si manifesta in molti casi - si pensi ad esempio alle sabbie - alla semplice osservazione visuale. Di conseguenza, lo studio del comportamento meccanico dei corpi granulari potrebbe essere affrontato in base alle forzeche le singole particelle si scambiano e ai corrispondenti spostamenti. Cos facendo, deriverebbe per una notevole complessit nella rappresentazione mate~atica_della defonnazio-. ne che tali corpi subiscono nel passare da una configurazione ad un'altra e dello stato di sforzo connesso con la defonnazione.

Per superare queste difficolt si fa l'ipotesi che il comportamento di un corpo particellare approssimi quello di un mezzo ideale continuo, ammettendo che un elemento infinitesimo abbia le stesse propriet del corpo nel suo insieme. Ancorch tale ipotesi possa apparire alquanto grossolana, i risultati ai quali si previene risultano molto soddisfacenti poich le dimensioni dei granuli sono sufficientemente piccole rispetto non solo a quelle dei corpi.di terrreno normalmente interessati dalle opere di ingegneria, ma anche a quelle dei provini impiegati in laboratorio per la determinazione sperimentale delle diverse propriet meccaniche.

4.2 - Tensioni e deformazioni nonnali e tangenziali Si consideri un elemento di terreno di area trasversale f>A e di altezza f>z( 1 )

(fig. 4.1). Si definisce tensione normale a il limite

f>FN a =-Hm

M-O f>A e deformazione unitaria lineare normale il limite

f>Q = -tim -

oz-o f>z Tenendo conto che ai terreni sono normalmente applicati sforzi di compressione e seguendo una convenzione largamente impiegata nella meccanica delle

e) In tutto il testo si indicher con da un incremento "infinitesimo" della grandezza a e con 6a e &, rispettivamente, un "piccolo", ma finito, e un "grande" incremento della stessa grandezza.

-----

42 LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE

(4.1)

oFS c) -

O C a) toFN

6FS b)

-

T= -lim M-O

'Y = - lim I)z-O

Fig. 4.1 - Tensioni e defonnazioni in un elemento: (a) dimensioni; (b) tensioni e defonnazioni normali; (c) tensioni e defonnazioni tangenziali.

terre, si considerano positive le tensioni e le defonnazioni di compressione. Analogamente, si definisce ten~ione tangenziale 7" il limite

l} Fs l}A

e deformazione unitaria tangenziale 'Y il limite l}x l}z

Convenzionalmente, la tensione T e la deformazione 'Y si considerano positive se producono un incremento degli angoli nei quadranti positivi dell'elemento

A (angolo AOC in fig. 4.1c). Occorre osservare chela definizione (4.1) alquanto imprecisa, anche-se largamente impiegata nella letteratura tecnica. Infatti, -la distorsione dell'elemento in fig. 4.1 c comprende anche una rotazione rigida dell'elemento stesso. Alla distorsione dell'elemento, depurata della rotazione rigida (come si vedr successivamente), viene dato il nome di deformazione unitaria di taglio puro.

I AREA 6A f- f 6FNdi! A B

6z

CAP. IV - STATI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE NELLE TERRE 43

4.3 - Tensioni totali, pressioni di contatto e pressioni interstiziali E' necessario comprendere chiaramente che le tensioni appena definite

non hanno nulla a che vedere con le tensioni di contatto dei singoli granuli. Infatti l'elemento di superficie fJA deve essere immaginato come appartenente ad un piano ideale che attraversa iI terreno e che comprende in generale sia le sezioni delle particelle solide che quelle dei fluidi interstiziali. A queste tensioni si da il nome di "tensioni totali".

Immaginando invece che l'elemento fJA passi proprio per le superfici di contatto dei granuli, indicando con fJ Ac la somma delle corrispondenti aree e con fJ FNC la componente nonnale della risultante delle forze di contatto, possibile definire una "pressione media di contatto".

_ fJFNCa =--c fJAc

Essendo fJAc fJA, risulta che le pressioni di contatto sono sempre molto maggiori delle tensioni totali. A parit di tensione totale a, quanto pi i granuli sono piccoli, tanto minori sono le pressioni di contatto. Mentre comunque i valori delle tensioni totali non superano qualche decina di kg/cm2 , le pressioni medie di contatto possono superare la decina di migliaia di kg/cm2 , il lfmite superiore essendo dato dai valori delle tensioni di plasticizzazione dei minerali costituenti i singoli granuli.

Oltre ai granuli, che nel loro insieme costituiscono lo "scheletro solido" delle terre, i terreni naturali comprendono anche dei fluidi, in genere acqua e gas, che occupano gli spazi interstiziali e che possono sostenere una certa pres.sione. Alla pressione dell'acqua viene normalmente associato il simbolo u e viene dato il nome di "pressione interstiziale". La pressione dei gas viene spesso indicata con il simbolo ug

4.4 - Il principio delle tensioni efficaci Per effetto della costituzione particellare delle terre ragionevole ritenere

che il loro comportamento meccanico dipenda, in qualche misura, dal valore delle tensioni presenti nelle singole fasi. La relazione che defmisce quantitativamente tale concetto stata stabilita nel 1936 da Terzaghi, attraverso il fond~entale uprincipio delle tensioni efficaci". La prima parte di tale principio-recita:

~'The stress in any point of a section Le tensioni in ogni punto di una sethrough a mass of soil can be zione attraverso una massa di terra computed from the total principal possono essere calcolate dalle ten- . stresses a}, a2 and a3 which act at sioni principali totali al, a2 e a3


this point. If the voids of the soil che agiscono in quel punto. Se i pori are filled with water under a stress della terra sono pieni d'acqua ad u the total principal stresses consist una pressione u, le tensioni princiof two parts. One part u acts in the pali totali si dividono in due parti. water and in the solid in every Una parte, u, agisce nell'acqua e neldirection with equal intensity. It is la fase solida, con uguale intensit called the neutraI stress (or the pore in ogni direzione. Le differenze pressure). The balance ai .:.... al - u, .ai == al - u, ai == a2 - U e a;; == a 3 + ai == a2 - u and a;; == a3 -u repre - u rappresentano un incremento risents an excess over the neutral spetto alla pressione interstiziale ed stress u and it has its seat exclusively hanno la loro sede esclusivamente in the solid phase of the soil. This ~elIa f~se solida della terra. Questa fracrion of the total principal stress frazione della tensione principale will be called the effective principal totale sar chiamata tensione princistress". pale efficace.

Il principio delle tensioni efficaci si esprime allora sinteticamente nella equazione:

a'==a-u (4.2)

dove a' indica la tensione efficace, a quella totale ed u la pressione int~rstizia. le.

Come alle tensioni totali, cos anche alle tensioni efficaci non possibile assegnare un preciso significato fisico. I problemi che sorgono sono gli stessi incontrati nel definire il significato di tensione in un materiale granulare. Questo concetto implicitamente espresso nella prima parte del principio delle tensioni efficaci, dove si afferma solo che queste risiedono nella fase solida, ed ulteriormente evidenziato nella seconda parte del principio stesso:

"Ali measurable effects of a chan Tutti gli effetti misurabili di una vage of stress,such a compression, riazione dello stato di tensione, codistortion and a change of me la compressione, la distorsione e shearing resistance, are exclusively la variazione di resistenza al taglio, due to changes in the effective sono dovuti esclusivamente a varia~ stresses". zioni delle tensioni efficaci.

Come si vede, Terzaghi si riferisce alla misura degli effetti delle tensioni efficaci e non a quella delle tensioni stesse.

Pur con i limiti appena indicati, ed allo scopo di meglio chiarire il concetto di tensione efficace, si consideri un volume di terra e una superficie piana

-

l r


che lo attraversi idealmente passando per i punti di contatto tra i granuli. Se fJA l'area di una porzione di tale superficie, si pu porre:

dove fJAc l'area complessiva delle superfici di contatto tra i granuli, fJAw l'area delle sezioni dei pori occupati dall'acqua e fJAg l'area delle sezioni dei pori occupati dal gas.

Indicando con fJn' e fJs' le forze normali e tangenziali che i granuli si trasmettono attraverso le superfici di contatto e con Uwe ug le pressioni dell'acqua e del gas, per l'equilibrio devono valere le relazioni:

fJFs = ~ fJs'

dove fJFN e fJFs sono le componenti normali e tangenziali delle forze che si trasmettono attraverso fJA.

Dalla definizione di tensione totale si ottiene: ~fJn' Uw fJA w + ugfJAg

a = -lim = -Hm -- +lim (4.3a) 6A-O 6A-O fJA 6A-O fJA

fJFs 1.:fJs' T = -lim = -Hm (4.3b)

6A-O fJA 6A-O fJA Se il grado di saturazione sufficientemente elevato (Sr > 0.8 - 0.9), cio quando il volume di gas piccolo rispetto a quello dell'acqua, si pu porre con sufficiente approssimazione ug :::: Uw = u. In queste condizioni risulta

U w fJAw + ug fJAg :::: u fJAw + fJAg = u ( 1 _ fJAc ) . fJA fJA fJA

Poich l'area di contatto tra i granuli molto piccola (fJAc/fJA 1), si pu porre u(1 - fJAc/fJA) :::: u e pertanto la (4.3a) assume la forma:

~fJn' a= -lim +u . (4.4)

. 6A-O fJA Ponendo

~fJn' a' = -lim

6A-O fJA


~c5s' r' = -lim

6A~O c5A si ottengono infine le relazioni

a =a' + u (4.5a)

T =r' (4.5b)

che corrispondono alla (4.2). In notazione indiciale le (4.5) possono essere rappresentate dall'unica re

lazione

(4.6)

Il per i =jdove 15 = il simbolo ,di Kronecker. . 1) Oper i * j E' opportuno notare che per le terre granulari (sabbie, ghiaie), in cui la

differenza tra ug e Uw sempre piuttosto piccola, il campo. di validit della (4.6) si estende a valori del grado di saturazione minori di quelli indicati. Il principio delle tensioni efficaci non risulta invece pi verificato sperimentalmente per a' > 200 ,- 300 kg/cm2 ; in effetti, in questi casi, l'area eli ontatto tra i granuli risulta relativamente elevata e la condizione c5Ac/c5A l non risulta pi soddisfatta. Peraltro questi valori delle tensioni efficaci sono molto elevati rispetto a quelli usuali nei problemi di geotecnica e pertanto, in questo ambito, la (4.6) da considerarsi esatta. .

Il principio delle tensioni efficaci indispensabile per lo studio delle propriet meccaniche delle terre e per la soluzione dei problemi. applicativi. .Dal riconoscimento del ruolo delle tensioni efficaci nel comportamento dei terreni ha avuto origine la geotecnica moderna.

4.5 - Stati di tensione e di defonnazione piani Per l'analisi di tutti i problemi di meccanica del continuo necessario de

scrivere gli stati di tensione e di deformazione in ogni punto del mezzo in esa-~ - me rispetto ad un qualunque stato di riferimento, prodotti d~ una variazione

delle condizioni al contorno. Poich la maggior parte dei problemi che si trattano nella meccanica delle

terre riguarda sistemi piani o riconducibili a piani, conveniente, oltre che pi semplice, riferirsi preliminarmente a tali condizioni.

...

z

:.Q 't' N (O",'t'l'})'t' ~zzx 1:X~!Dix Q(Oz.'t'zx) ~ o~1:.(]x O C 't'xz Tt'zx " Ol'} , O, Oz , R

r

l i

.

.1

:

l

.e

e


Si consideri un piccolo elemento piano OABC (fig. 4.2) sollecitato da tensioni normali e tangenziali su tutti i lati.

x x x,'t'xz

a) b) c)

Fig. 4.2 - Stati di tensione in elementi bidimensionali e il corrispondente cerchio di Mohr.

Al tendere a zero delle dimensioni dell'elemento, tutte le tensioni possono essere pensate come applicate al punto O. Se l'elemento in equilibrio deve ne'cessariamente risultare 'T'xz ='T'zx.

Il problema che si pone quello di determinare le tensioni O" e 'T'l'} che 'agisconosu un arbitrario pial)O inclinato di un angolo -e rispetto all'asse x, noti i valori di 0x, Oz e 'T'x z. A tale fine, lo stato tensionale in un punto viene rap

o presentato mediante il relativo cerchio di Mohr. Nella sua costruzione, e solo a questo scopo, le tensioni tangenziali sono considerate positive se formano una coppia antioraria (ad esempio 'T'zx in fig. 4.2a). Supponendo nota la derivazione analitica del cerchio di Mohr, si ricorda qui solo la definizione del polo K inteso come quel punto sulla circonferenza tale che, se si traccia una retta da K al punto corrispondente alle tensioni Oi e Ti, allora nel piano fisico x, z tale retta parallela al piano su cui agiscono ai e n . Di conseguenza, se da K si traccia una retta inclinata dell'angolo -e rispetto all'asse delle ascisse nel piano di Mohr, la sua intersezione con la circonferenza individua il punto N che ha come coordinate le tensioni O" e 'T'" rispettivamente nonnale e parallela al piano EF (fig. 4.2). Variando l'angolo -e possibile in questo modo detenni!lare -le tensioni su ciascun piano.

Le intersezioni del cerchio di Mohr con l'asse delle ascisse corrispondono a due piani, ortogonali tra loro, su cui lelensioni tangenziali sono nulle e quelle normali assumono i va10ri estremi. Questi piani sono detti "piani principali" e le tensioni su cui agiscono ''tensioni principali",

Cosi come per l'analisi delle tensioni, anche per quella delle deformazioni

48 LEZIONI DI MECCfu"lICA DELLE TERRE

ci si riferisce, per semplicit, a stati bidimensionali. Si considerano, in partico,.. lare, le deformazioni sul piano (x,z) supponendo che sia y =O(stato di defor

mazione piana). In queste condizioni ci si riferisca alla fig. 4.3. L'elemento OABC, per effetto di una variazione dello stato di tensione, assume, in generale, la nuova configurazione O'A'B 'C'. Prima di esaminare lo stato di deformazione dell'elemento, necessario separare lo spostamento 00' e la rotazione ex dalle deformazioni unitarie.

zz

x a)

Fig. 4.3 - Componenti della deformazione - (a) Spostamento e rotazione dell'elemento - (b) Defonnazioniunitarie.

In definitiva, ci che interessa la configurazione riportata nella fig. 4.3b. Tenendo conto della definizione di deformazione unitaria , per piccole deformazioni risulta:

A'B' =C'O' = l - x A'O' = B'C' = l - z

avendo assunto pari a l i lati dell 'elemento OABC. Le deformazioni unitarie di taglio puro sono date invece dalle rotazioni dei la

ti dell'elemento, a meno della rotazione rigida ex. Dalla figura risulta:

xz =zx

Inoltre dalle figure 4.2 e 4.3 risulta che la deformazione unitaria di taglio puro xz associata alla tensione tangenziale r xz, cos che i valori positivi di xz e

- zx implicano che l'angolo fra i lati OA e OC dell'elemento aumentino. Dal confronto delle figure 4.1 c e "4.3b si- ricavano immediatamente le re

lazioni

'zx = zx + xz = 2zx 'xz =xz + zx =2xz

-

b) x

---

L

o

e


Si osserva, pertanto, che la deformazione unitaria tangenziale, definita dalla (4.1), pari al doppio di quella di taglio puro. Questo il motivo per cui la rappresentazione degli stati di deformazione ottenuta associando le deformazioni unitarie normali, Ex e Ez , alle deformazioni unitarie di taglio puro, 1/2 'Yxz e 1/2 'Yzx, cos espresse per mantenere la pi usuale rappresentazione letterale delle distorsioni.

Cos come per le tensioni, anche ora possibile costruire il cerchio di Mohr per rappresentare lo stato di deformazione di un elemento piano unitario OEFG, ruotato, intorno ad 0, di un angolo {J rispetto all'elemento OABC su cui sono note le deformazioni Ex, Ez e. 'Yxz (fig. 4.4). In conformit con le convenzioni assunte per la descrizione dello stato tensionale nel costruire il cer- . c-hio di Mohr, si considerano positive le deformazioni di taglio ~che formano una coppia antioraria nella rappresentazione data in fig. A.4a.

l'2

x x

a) b) c) Fig. 4.4 - Stati di deformazione in elementi bidimensionali e il corri

spondente cerchio di Mohr.

I punti di intersezione del cerchio di Mohrcon l'asse 'Y =Odefiniscono le deformazioni principali El e E3 e l'inclinazione dei corrispondenti piani principali.

A conclusione di questo paragrafo opportuno osservare che la stretta somiglianza formale tra la rappresentazione degli stati di tensione e quelli di deformazione non deve indurre alla errata convinzione che le deformazioni riportate in fig. 4.4 derivino immediatamente dalle tensioni di fig. 4.2. Lo stato di deformazione di un corpo in generale, e delle terre in particolare, associato ad una variazione dello stato di tensione, dipende da moiti fattori. Allo studio sperimentale e teorico delle relazioni tra sforzi e deformazioni verr dedicato, successivamente, ampio spazio riconoscendo il significato fondamentale che i legami costitutivi assumono nella Meccanica delle Terre.

so LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE

4.6 - Invarianti e percorsi di tensione e deformazione Nel paragrafo precedente si visto come, mediante la costruzione del cer

chio di Mohr, sia possibile rappresentare lo stato di sforzo o di deformazione di un elemento materiale in un qualunque istante, al variare delle sollecitazioni agenti sul corpo a cui tale elemento appartiene.

Il comportamento di alcuni materiali ideali particolarmente semplici, come quelli perfettamente elastici, dipende solamente dagli stati iniziale e finale e non da come questi sono connessi tra loro. Al contrario, il comportamento della maggior parte dei materiali naturali, e tra questi in modo particolarmente evidente le terre, dipende anche da come evolve lo stato di sforzo e di deformazione. Per rappresentare, quindi, l'insieme dei diversi stati raggiunti da un corpo durante un gen~rico processo di carico, sarebbe necessario costruire in uno stesso diagramma l'insieme dei diversi, corrispondenti cerchi di Mohr. In tal modo, per, la rappresentazione grafica risulterebbe molto pesante e difficilmente utilizzabile in pratica. E' questo il motivo per cui stato introdotto il concetto di "percorsi di tensione e di deformazione" (stress and strain paths).. L'illustrazione di tale concetto richiede alcune considerazioni preliminari.

Assimilando il terreno ad un solido continuo, lo stato di sforzo in ciascun punto individuato dal tensore simmetrico a 9 componenti Oij'

Se il sistema di riferimento viene cambiato, anche il tensore delle tensioni cambia. E' tuttavia evidente che lo stato di sforzo in un punto nel terreno non pu dipendere dal modo in cui viene rappresentato. Dovr dipendere pertanto da quantit proprie del tensore delle tensioni, che rimangono costanti anche se cambia il sistema di riferimento. Tali quantit sono dette appunto "invarianti" del tensore (1). Gli invarianti del tensore delle tensioni possono essere ottenuti come segue.

(1) Se A un tensore simmetrico del 2 ordine di componenti

(Al= [a l1 ::: :::JSIMM. a33

i tre invarianti sono dati dalle espressioni:

Il = tr A =ali + a22 + aH I - . . 2 2 2 2 - ali a22 + au aH + aH ali - a12 - aH - aH -13 = det A.

Se le direzioni l, 2 e 3 coincidono con quelle principali, gli invarianti assumono la forma

Il = al + a2 + a3 12 = al a2 + a2 a3 + a3 al

13 = al a2 a3

- - -

~l cer.zione lzioni

:;i, cofinale nento nente deforda un lire in ,hl. In' : diffiIdotto laths). ' l. iascun

nsioni Lonon rtanto .che se ianti" :tenuti


Il tensore delle tensioni pu essere decomposto in una parte isotropa e in una parte deviatorica, cio

dove am = l /3(a 11 + an + a33) la pressione media e D'ij il tensore deviatore di tensione. Le componenti di D'ij sono

a Il - am a12 a13

[Uijl= an-am aB SIMM

I ,due invarianti nonnalmente impiegati per descrivere lo stato di sforzo in un elemento di terreno sono l'invariante primo del tensore isotropo am ~ij,

Il =all + an + a33 , (4.7)

e l'invariante secondo del deviatore di tensione (1), esprimibile in funzione degli invarianti Il e 12 del tensore delle tensioni secondo la relazione

- - l Id2 = 12 -3"" Il (4.8)

'essendo

n significato fisico de'gli invarianti Il e Id 2 si scopre considerando la rappresentazione grafica di fig. 4.5.

n generico vettore tensione pu essere decomposto in una componente nonnale ed in una tangenziale al piano ottaednco (fig. 4.5a). Queste componenti sono esprimibili nella fonna generale

l aott = -(all + a22 +a33) (4.9) ~ - 3

Tot! =3l J (a ll -an)2 +(an -a33)2 +(a33 -al.)2 +6(aI2 +a~3 +a~d

(4.10)

(1) L'invariante primo del tensore deviatore identicamente nullo.


(4.12)

(4.11)

R

N I I I I I

x3 I 0'3 I

."' I .....

~J

a) b)

In tennini di tensioni principali le (4.9) e (4.10) divengono 1

Oott = 3 (01 + 02 + 03)

Fig. 4.5 - Rappresentazione dello stato di sforzo nello spazio fisico (a) e nello spazio delle tensioni (b).

che risulta essere invariante rispetto alla tema di riferimento. Si ha infatti 1

ott = 3 Il

Lo stato di sforzo pu essere rappresentato anche nello spazio delle tensioni (fig. 4.5b). -

Da questa figura si osserva inoltre che, per descrivere completamente la posizione del vettore li, occorre conoscere un terzo invariante; questo pu essere convenientemente scelto come l'angolo ex che il piano passante per OMN forma con il piano ORN. Nel caso particolare, ma che si incontrer frequentemente in seguito, in cui 02 =03 (stato di sforzo in condizioni di simmetria ra


diale), si ha Ci =Oed inoltre: l

aott = ""3 (al + 2 a3)

(4.13)

3 q =al - a3 = ..j2 Tott . (4.14)

A p e q, ed ai corrispondenti invarianti p' e q', definiti in tennini di tensioni efficaci, si far continuo riferimento nel seguito.

E' immediato mostrare che valgono le fondamentali relazioni, che derivano dal principio delle tensioni efficaci,

p' =p - u

q'=q.

Analogamente alle tensioni, possibile detenninare gli invarianti del tensore delle defonnazioni Eij. Decomponendo Eij in una parte isotropa e in una deviatorica, si ottiene:

dove Ev =EIl + E22 + E33 e dove le componenti del deviatore ij sono: Ev

Eu - 3" l2" 'Y12 l2" 'Y13 Ev

E22 - -3

l"'2 'Y23

SIMM. Ev

E -33 3

-


EvL'invariante primo di - 5ij dato da 3 (4.15)

e l'invariante secondo di Eij 1

Ed 2 = E2 - - El. (4.16) . 3

Gli invarianti E l e Ed 2 possono essere espressi in funzione delle defonnazioni normale e tangenziale sul piano ottaedrico:

1 Eott = - (ElI + E22 + E33)3

2 'Yott = ""3 J (ElI - E22)~ + (E22 - E33)2 + (E33 - ElI)2 + 6(E~2 + E~3 + ~d risultando

Eott = 31 El

'Y~tt = - 38 Ed 2 . Nel seguito verranno impiegati gli invarianti Ev , Es che, in tennini di defor

, -mazioni principali, assumono la forma:

Se ci si riferisce ad uno stato di deformazione dotato di simmetria radiale (ad esempio E2 == E3), i corrispondenti invarianti divengono

Ey = El + 2 E3 Es =2/3(EI -E3).

E' opportuno osservare che l'invariante Ey semplicemente la defonna- . zione volumetrica. Infatti se V il volume iniziale di un cubo infinitesimo di

)

)

)

'

)

)

. j


lati dx, dy e dz e se per effetto di una defonnazione, il volume fmale dato da V + dV, si ha

nell'ipotesi che dV > O per un aumento di volume e Ex, Ey ,Ez siano positivi in compressione. Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo si ottiene:

dV Ex + Ey + Ez =Ev = - --. V

A conclusione delle considerazioni fm qui svolte sulla _definizione e la . scelta degli invarianti _di tensione e di deformazione, necessario mostrare che tale scelta congruente, controllando che i prodotti degli invarianti di tensione e deformazione corrispondano al lavoro compiuto dalle sollecitazioni esterne. A tale scopo si consideri un elemento di dimensioni (al, a2' a3), come illustrato in fig. 4.6.

8 3

Fig. 4.6 - Elemento di terra sollecitato da un sistema di forze esterne.

Si supponga che le facce dell'elemento appartengano ai piani principali, che su tali facce agiscano le forze F l, F2, F3 e che nell'interno dell'elemento agisca . una pressione interstiziale costante u. Se in un piccolo intervallo di tempo gli spigoli dell'elemento subiscono un incremento

I

{ti..',1. !l"

'


Il lavoro per unit di volume

5W =~ .(_ 5a1 ) + F2 (_ 5a2 ) + F3 (_5a3 )+u 5V V a2 a3 al al a3 a2 al a2 a3 V

tenendo conto del fatto che, se l'elemento saturo e i granuli solidi e il fluido interstiziale sono considerati incompressibili, deve essere

Si ha quindi: 5W -- = al Ol + a2 52 + a3 O3 - u Oy

V ovvero, essendo u Oy = U(Ol + O2 + O3),

5W -- = a~ O} + ai 52 + ai O3 (4.19) .

V L'espressione (4.19) deve essere ottenuta anche calcolando il lavoro per

unit di volume in termini di invarianti. Deve, cio, risultare

V5W = P'Oy + q' 5s (4.20) Ponendosi, per semplicit; nelle condizioni di simmetria radiale (ai - ai e 2 == 3 ) si ha:

1 p' = "3 (a'l + 2 aj) q' = a'l - ai

5y = 5 l + 2 53 2

, 59 = - (OI - O3) . . 3

Di conseguenza la (4.20) diviene -

oW -- = ai Ot + 2 ai O3

V che coincide con la (4.19) scritta nel caso di simmetria radiale.

Definiti correttamente gli invarianti di tensione e di deformazione, possibile mostrare con un esempio il concetto di percorso di tensione.

:r

e

)s-

CAP. IV - STAtI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE NELLE TERRE 57

Si consideri un elemento di terreno sollecitato, in condizioni di simmetria radiale, secondo il seguente programma di carico:

l) a, ai e aj vengono incrementati ugualmente a partire da zero; 2) a viene incrementato ulteriormente, rimanendo ai e ai costanti; 3) ai e ai vengono incrementati, lascandocostante a .

Il percorso delle tensioni riportato in figura 4.7 dove i segmenti O'A', A'B' e B'C' corrispondono ai passi l), 2) e 3).

q,ql

- - B - - -

-u- - --...

p,plo'

Fig. 4.7 -Percorsi di tensione in termini di tensioni efficaci e totali.

Il tratto O'A' caratterizzato da q' = O. Nel tratto A'B' si ha: l _ l


ne interstiziale u, il punto B rappresenta lo stato dell'elemento in termini di tensioni totali.

4.7 - Tensioni litostatiche Il peso proprio produce uno stato tensionale che influenza il comporta

mento meccanico del terreno, e che pertanto occorre determinare. Ci possibile in sistuazioni morfologiche e stratigrafiche semplici e in particolare nel caso in cui la superficie del terreno orizzontale per una estensione sufficientemente grande rispetto alla profondit considerata e si ha una uniformit orizzontale delle propriet del terreno, condizioni che si verificano frequentemente nei terreni di origine sedimentaria.

Le tensioni nel terreno dovute al solo peso proprio si dicono geostatiche o litostatiche. Se la superficie del terreno orizzontale, i piani verticali e orizzontali sono piani principali. In queste condizioni le equazioni di equilibrio per un cubo e

lementare le cui facce sono parallele a tali piani si riducono alle equazioni

oa3 = oah = O ox OX 002 oah-=--=0

oy oy OOI oav---"(=---"(=0oz OZ

dove Oy e Oh sono le tensioni litostatiche, verticali e orizzontali, totali e "( il peso dell'unit di volume del terreno. Se "( variabile con continuit con la profondit z, si ha in generale

Oy = J"((z)dz. Nel caso in cui il peso di volume possa essere ritenuto costante a tratti (come spesso avviene, ad esempio, nei terreni stratificati) si ha:

Questa espressione si semplifica ulteriormente ed assume la forma

Oy = "(z

CAP. IV - STATI DI TENSIONE E DE FORlviAZIONE NELLE TERRE 59

se il terreno uniforme lungo la direzione verticale. Nella maggior parte dei terreni naturali, gli spazi intergranulari sono par

zialmente o totalmente pieni di acqua. Ad una data profondit, a, dal piano di campagna si incontra un piano che delimita superiormente l'acqua presente e che, in condizioni statiche (acqua in quiete) determina la pressione dell'acqua sottostante. In un punto posto a profondit z tale pressione vale

u = 'Yw (z - a) = 'Yw Zw

avendo indicato con Zw = z - a la distanza del punto dalla superficie piezometrica e con 'Yw il peso specifico dell'acqua (fig. 4.8).

SUP.

DI CAMPAGNA

PIEZOMETRICA a

TUBO PIEZOMETR ICO

z

I I I I

z~ I I

A

Fig. 4.8 - Schema di terreno naturale parziabnente sommerso in acqua

La tensione litostatica verticale efficace risulta dalla applicazione della (4.2) e, per un terreno uniforme, si ha:

a~ == av - u= 'Yz - 'Yw Zw. (4.21 )

Introducendo il peso di volume sommerso 'Yb = 'Y - 'Yw, la (4.21) pu es-sere scritta nella forma

F

'" W'" :,'l: l,l 60 LEZIONI DI MECCANICA DELLE TERRE ;li

La tensione verticale efficace in un terreno parzialmente o completamente sommerso in acqua, in condizioni litostatiche, si ottiene perci direttamente, come la tensione totale, dalla somma dei prodotti dei pesi unitari, strato per strato, per i corrispondenti spessori di terreno sovrastante il punto considerato, purch si attribuisca ai volumi sommersi il peso di volume 'Yb del terreno sommerso.

Le equazioni della statica, con l'espressione delle condizioni di equilibrio, non possono fornire il valore delle tensioni orizzontali ah. L'equilibrio di un elemento di terreno, come il cubo prima esaminato, possibile per qualsiasi valore delle tensioni orizzontali.

Considerazioni diverse sull'origine dei depositi naturali, come si vedr nel seguito, e dati sperimentali forniscono un valore approssimato delle tensioni orizzontali in condizioni litostatiche, se non sono intervenuti fenomeni naturali o cause artificiali a provocare spostamenti orizzontali nel terreno. In generale le tensioni efficaci orizzontali vengono espresse in funzione di quelle verticali, attraverso un ,coefficiente K

a'hK=- (4.22)a'y

Per il rapporto tra le tensioni efficaci, orizzontale e verticale in condizioni litostatiche si usa il simbolo detto comunemente "coefficiente di spinta in quiete" Ko = ah/a~ il cui valore in genere compreso tra 0,5 e 2. I valori pi frequenti sono per inferiori all'unit (Ko =0,5 - l).

Nel caso particolare in cui il terreno non abbia mai subito nel passato tensioni verticali maggiori di quelle presenti (per effetto di carichi applicati o di depositi successivamente asportati), il coefficiente K o si ottiene con discreta approssimazione dalle caratteristiche di resistenza del terreno. In queste condizioni: Ko = 0,45 - 0,55 in sabbie e ghiaie, e Ko =0,55 - 0,7 in limi e argille. Noto Ko , si pu definire completamente lo stato tensionale in condizioni litostatiche attraverso le seguenti relazioni:

ay = 'Y z , ay-ay-u

ah =Ko a~ ah =ah +u.

4.8 - Tensione superficiale e capillarit Una facile esperienza permette di mostrare come un mezzo poroso sciol

to, ad esempio una sabbia, possa assumere una certa consistenza in particolari


condizioni di umidit. Per giustificare teoricamente questo comportamento, apparentemente in contrasto con l'assenza di coesione e, pi in generale, per studiare una caratteristica interazione tra fase liquida e fase solida, necessario introdurre il concetto di tensione superficiale e di risalita capillare dei liquidi. Per effetto delle interazioni molecolari, sulla superficie dei liquidi si manifesta una sorta di resistenza a trazione, cos che le superfici libere tendono a comportarsi come membrane in tensione. Se ci si riferisce alla condizione del tutto generale di superficie di separazione curva, nell'ipotesi di semplice curvatura la condizione di equilibrio alla traslazione nella direzione dell'asse di simmetria x-x (fig. 4.9) pu essere espressa nella forma:

Ix I I I I

I Ix

Fig. 4.9 - Tensione superficiale lungo una superficie a semplice curvatura.

"o . (p 1 - P2 ) cos~ ds - 2 Ts sin ~o = OJ-"o

:. 2(PI -P2) R 1:0 cosD dO -2 T, sin Do =0 Si ha quindi:

Ts ~p =Pl - P2 = R


Nel caso di superficie a doppia curvatura, se R} e R2 sono i raggi principali, si ottiene

6p = T ( l + l )s ~ ~ e se R} =R 2 =R (superficie sferica)

2 Ts6p= R

Per effetto della tensione superficiale, la pressione agente sulla faccia concava della superficie di separazione maggiore della pressione agente sull'altra faccia e tale differenza tanto pi accentuata quanto minore il raggio di curvatura.

Le azioni molecolari che si stabiliscono al contatto tra un liquido e una superficie solida danno luogo a un ben definito angolo di contatto (3 e quindi ad una curvatura della superficie liquida vicino al contorno (fig. 4.10a). Immergendo parzialmente in acqua un tubo di vetro di piccolo diametro, si osserva una risalita del liquido nel tubo fino ad 'una quota di~ersa da-quella del livello esterno dell'acqua (fig. 4.1 Ob). Poich nel caso di contatto acqua-vetro si ha {3 = O, la superficie aria-acqua pu divenire sferica con raggio pari a quello del tubo.

L'altezza di risalita pu essere determinata imponendo l'equilibrio delle forze agenti sulla sezione del fluido passante per il punto E, dove la pressione evidentemente uguale a quella del punto A e cio nulla (con riferimento alla pressione atmosferica). Allora:

d2 d2 PE 1r 4 = he 'Yw 1r 4 - ~p 1r

2Tg :. he 'Yw - R = O

da cui: 4 Tg

he = -- (4.23)'Yw d

Poich per l'acqua a temperatura ambiente Tg = 75 dine/cm = 75/980 gfcm, si ha:

4,75 0.3 ~ (con d in cm)

980 d d

--


Queste considerazioni possono essere riferite ai pori della terra, che costituiscono un insieme di tubi capillari in cui, per effetto della tensione superficiale, se non satura, si stabilisce una pressione dell 'acqua negativa (- hc 'Yw ). Per il principio delle tensioni efficaci, se le tensioni totali sono nulle, ad un valore negativo della pressione interstiziale corrisponde un ugual valore positivo delle tensioni efficacL

CTs '-"

Ts

D -

d :.---

hc

SOLIDO

EA L1aUIDO

-

a) b)

Fig. 4.10 - Angolo di contatto tra solido e liquido e risalita capillare lungo un tubo di piccolo diametro.

La relazione (4.23) stabilisce una corrispondenza fra altezza di risalita capillare e diametro del tubo, valida biunivocamente nell'ipotesi di tubi cilindrici a direttrice circolare. Se queste condizioni non sono soddisfatte, come si verifica nei mezzi porosi naturali, la determinazione della risalita capillare molto complicata e, soprattutto, viene a mancare la corrispondenza biunivoca con le dimensioni dei pori. Inoltre la configurazione di equilibrio della superficie di

,

separazione acqua-aria dipende dai fatti avvenuti in precedenza, in particolare da una eventuale immersione preventiva. Ci si constata facilmente osservando l'altezza di risalita dell'acqua in tubi di forma diversa e con diametro variabile (fig. 4.11).

Se l'altezza di risalita hc superiore alla lunghezza h2 del tubo (caso nO 2) la superficie limi te assumer la curvatura corrispondente ad h2 cio:

-

64 LEZIONI DI MECCAN:- " DELLE TERRE

2 Ts > ~.r2 = h 2, 'Yw 2

Le differenti configurazioni di equilibrio nei tuLi 3. 4 e 5 si realizzano rispettivamente con il tubo precedentemente vuoto o pieno d'acqua.

Date post:	09-Jan-2016
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geo Capitolo IV

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