GEOMETRIA 1 - terza parteterza parte Gilberto Bini - Cristina Turrini 2017/2018 Gilberto Bini -...

GEOMETRIA 1terza parte

Gilberto Bini - Cristina Turrini

2017/2018

Gilberto Bini - Cristina Turrini (2017/2018) GEOMETRIA 1 1 / 51

Matrici rappresentative "semplici"

index

1 Matrici rappresentative "semplici"

2 Autovalori e autovettori

3 Il polinomio caratteristico

4 Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica

5 Ideali dell’anello dei polinomi

6 Polinomi di matrici e polinomi di endomorfismi

7 Il teorema di Cayley Hamilton e il polinomio minimo



Siano V e W spazi vettoriali f.g. sul campo K con n = dim(V),m = dim(W)e sia f : V → W un’applicazione lineare.

PROBLEMA - Esistono basi B di V e C di W tali che la matricerappresentativa di f in queste basi sia "particolamente semplice", ossia dielementiaij = 1 se i = j = 1, . . . k, aij = 0 in tutti gli altri casi, ovvero sia dellaforma

A =( Ik O

O O

).

Anzitutto, perché ciò sia possibile è necessario che sia k = dim(Im(f )) (ilrango della matrice rappresentativa coincide con la dimensione dell’immaginedell’applicazione).

Se k = dim(Im(f )) la risposta è SÌ.

Per il teorema nullità + rango, si ha dim(ker(f )) = n− k.Sia inoltre {vk+1, . . . , vn} una base di ker(f ) (se n > k) e la si completi ad unabase B = {v1, . . . , vk, vk+1, . . . , vn} di V.



Allora {f (v1), . . . , f (vk)} è una base di Im(f ). Si completi tale base ad unabase C = {f (v1), . . . , f (vk),wk+1, . . .wm} di W.

La matrice rappresentativa di f rispetto a tali basi ha la forma richiesta.

Ad esempio, per f : R3 → R2 definita da

f

(xyz

)=( 2x− y

z

),

si può prendere B = {

(010

),

(001

),

(120

)} e

C = {( −1

0

),( 0

1

)}.


Autovalori e autovettori

index










Endomorfismi diagonalizzabili

Siano ora V f.g. con dim(V) = n e f : V → V un endomorfismo.

PROBLEMA - Esiste una base B = {v1, . . . , vn} di V tale che la matrice Arappresentativa di f rispetto a tale base (sia in dominio che in codominio) siadiagonale

A =

λ1 0 . . . 00 λ1 . . . 0...

......

...0 0 . . . λn

?

Se la risposta è affermativa l’endomorfismo f viene detto diagonalizzabile e labase B viene detta diagonalizzante.

OSSERVAZIONE - I vettori di una base diagonalizzante verificano:

f (vj) = λjvj, ∀j = 1, . . . , n



Un vettore non nullo v ∈ V, v 6= 0 viene detto autovettore per f se esisteλ ∈ K tale che f (v) = λv.

Lo scalare λ (che è univocamente associato a v) viene detto autovalorerelativo all’autovettore v.

Una immediata conseguenza delle considerazioni fatte sopra è il

TEOREMA - Un endomorfismo f è diagonalizzabile se e solo se esiste unabase di V interamente costituita da autovettori di f .

Sia λ è un autovalore di f . Consideriamo l’insieme Aλ(f ) degli autovettori di frelativi a λ.

L’ insieme

Vλ(f ) = Aλ(f ) ∪ {0}è un sottospazio di V (verificarlo) detto autospazio relativo all’autovalore λ.



Qualche esempio nel caso di VectO(R2)

OSSERVAZIONE - Un autovettore, nel caso dei vettori geometrici, è unvettore trasformato in un vettore parallelo.

Riflessione rispetto alla retta r.



Nella riflessione rispetto alla retta r gli autovettori sono i vettori di r (conautovalore 1) e i vettori ortogonali a r (con autovalore −1).



Proiezione ortogonale sulla retta r.

Nella proiezione ortogonale sulla retta r gli autovettori sono i vettori di r (conautovalore 1) e i vettori ortogonali a r (con autovalore 0).



Rotazione di un angolo α attorno O.

Se α non è congruo a 0 o a π (mod. 2π), la rotazione di un angolo α attorno Onon ammette autovettori.



Matrici diagonalizzabili

Le nozioni di diagonalizzabilità, autovalori, autovettori introdotte per gliendomorfismi si trasferiscono alle matrici quadrate:

una matrice quadrata n× n A è diagonalizzabile se lo è l’endomorfismoLA : Kn → Kn;un autovettore di A è un vettore non nullo x ∈ Kn tale che A · x = λx;

lo scalare λ viene detto autovalore della matrice A.

Ricordando la nozione di matrici simili introdotta nella seconda parte diqueste note, si ha (verificarlo):

Una matrice quadrate n× n A è diagonalizzabile se e solo se è simile a unamatrice diagonale.



Sia f un endomorfismo di V f.g., con dim(V) = n.

Problema: ricerca (se esiste) di una base di autovettori.

TEOREMA - Se λ1, . . . , λk sono autovettori di f distinti tra loro, e v1, . . . , vksono autovettori relativi a λ1, . . . , λk (rispett.), allora i vettori v1, . . . , vk sonolinearmente indipendenti.

DimostrazionePer induzione su k.

Se k = 1, v1 è l.i. in quanto non nullo.Supponendo vero il risultato nel caso di k − 1 autovalori, dimostriamolonel caso di k autovalori.

Supponiamo che sia

(∗) a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk = 0 a1, . . . , ak ∈ K.



Applicando f a entrambe i membri di (∗) si ottiene

(◦) a1λ1v1 + a2λ2v2 + · · ·+ akλkvk = 0.

Moltiplicando entrambe i membri di (∗) per λk si ottiene

(◦◦) a1λkv1 + a2λkv2 + · · ·+ akλkvk = 0.

Sottraendo membro a membro (◦◦) da (◦) si ottiene

a1(λ1 − λk)v1 + a2(λ2 − λk)v2 + · · ·+ ak−1(λk−1 − λk)vk−1 = 0.

Per l’ipotesi di induzione allora deve essere:

a1(λ1 − λk) = a2(λ2 − λk) = . . . ak−1(λk−1 − λk) = 0,

e quindi, trattandosi di autovalori distinti tra loro,

a1 = a2 = · · · = ak−1 = 0 ⇒ ak = 0.

COROLLARIO - Se f ha n = dim(V) autovalori distinti, allora èdiagonalizzabile.


Il polinomio caratteristico

index










Sia f un endomorfismo di V (dim(V) = n).

OSSERVAZIONE - λ ∈ K è un autovalore di f se e solo se esistev ∈ ker(f − λidV), v 6= 0.

OSSERVAZIONE - Se λ ∈ K è un autovalore di f allora si ha

Vλ(f ) = ker(f − λidV).

In particolare, se λ = 0 è un autovalore per f , allora V0(f ) = ker(f ).

Sia ora B una base di V e A =MBB(f ) la matrice rappresentativa di f rispettoalla base B.

λ ∈ K è un autovalore di f se e solo se f − λidV non è un isomorfismo se esolo se A− λIn non ha rango massimo se e solo se det(A− λIn) = 0



Il polinomio

PA(t) = det(A− tIn) = det

a11 − t a12 . . . a1n

a21 a22 − t . . . a2n...

......

...an1 an2 . . . ann − t

viene detto polinomio caratteristico di A.

OSSERVAZIONE - Se A =MBB(f ) e B =MCC(f ) sono matricirappresentative dello stesso endomorfismo rispetto a basi diverse, allora

PA(t) = PB(t).

Infatti

det(B− tI) = det(C−1AC − tI) = det(C−1AC − tC−1IC) =

det(C−1(A− tI)C) = det(C−1) det(A− tI) det(C) = det(A− tI).

In particolare, per t = 0, si ha anche det(B) = det(A).



Per questo motivo il polinomio det(A− tIn) viene anche detto polinomiocaratteristico di f e denotato con Pf (t) e il determinante di A viene anchedetto determinante di f e denotato con det(f ).

OSSERVAZIONE - Il polinomio caratteristico Pf (t)ha grado n,ha coefficiente direttore (−1)n,

ha termine noto Pf (0) = det(f ),

le sue radici in K sono gli autovalori di f .

OSSERVAZIONE - Se K = C, tutte le radici di Pf (t) ∈ C[t] sono in K epertanto sono autovalori di f . Se invece K = R, allora solo le radici reali diPf (t) sono autovalori.



Ricerca degli autovalori e autovettori

Sia f un endomorfismo di V (dim(V) = n). Per cercare autovalori eautovettori di f ;

Si considera una base B di V e si costruisce la matrice A =MBB(f )rappresentativa di f rispetto alla base B.Si calcola il polinomio caratteristico PA(t) e si determinano le sue radiciλ1, . . . , λk ∈ K che sono gli autovalori di f .Per ciascuno degli autovalori λi si risolve il sistema lineare(A− λiI)x = 0Le soluzioni non nulle x del sistema (A− λiI)x = 0 sono le coordinate,nella base B degli autovettori relativi a λi.



Esempi

(n = 2)

det( a11 − t a12

a21 a22 − t

)= t2 − (a11 + a22)t + det(A)

(n = 3)

det

(a11 − t a12 a13

a21 a22 − t a23a31 a32 a33 − t

)= −t3 + (a11 + a22 + a33)t2 −

(det( a11 a12

a21 a22

)+ det

( a11 a13a31 a33

)+ det

( a22 a23a32 a33

))t + det(A).

In generalePA(t) = (−1)ntn+(−1)n−1σ1tn−1+· · ·+(−1)n−iσitn−i+· · ·−tσn−1+σn,ove σi è la somma dei minori principali (ossia aventi come diagonaleparte della diagonale di A) di A.

In particolare σ1 = a11 + a22 + · · ·+ ann viene detta traccia di A eσn = det(A).


Molteplicità algebrica e molteplicità geometrica

index










Ricordo che una radice α ∈ K di un polinomio p(t) ∈ K[t] si dice averemolteplicità m > 0 se p(t) = (t − α)mq(t), con q(α) 6= 0, ovvero mè il massimo degli l tali che (t − α)l sia un fattore di p(t).

Abbiamo visto che un autovalore λ di f è necessariamente una radice in K delpolinomio caratteristico Pf (t) di f .

Si dice molteplicità algebrica ma(λ) dell’autovalore λ la suamolteplicità come radice del polinomio Pf (t).

Se λ è un autovalore di f , l’autospazio Vλ(f ) non è lo spazio nullo. Sidefinisce molteplicità geometrica mg(λ) dell’autovalore λ ladimensione dell’autospazio Vλ(f ).



TEOREMA - Siano V uno spazio vettoriale f.g. sul campo K, f : V → V unendomorfismo e λ ∈ K un autovalore di f . Si ha

1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ).

DimostrazioneLa relazione 1 ≤ mg(λ) segue dal fatto che, essendo λ un autovalore, si hadim(Vλ(f )) > 0.

Consideriamo una base {v1, . . . , vmg(λ)} di Vλ(f ) e completiamola a una base{v1, . . . , vmg(λ),wmg(λ)+1 . . .wn} di V.

In tale base f è rappresentato da una matrice della forma

λ 0 . . . 0 ? . . . ?0 λ . . . 0 ? . . . ?...

......

......

......

0 0 . . . λ ? . . . ?0 0 . . . 0 ? . . . ?...

......

......

......

0 0 . . . o ? . . . ?



Il polinomio caratteristico di f allora risulta

Pf (t) =

λ− t 0 . . . 0 ? . . . ?0 λ− t . . . 0 ? . . . ?...

......

......

......

0 0 . . . λ− t ? . . . ?0 0 . . . 0 ?− t . . . ?...

......

......

......

0 0 . . . o ? . . . ?− t

= (λ−t)mg(λ)q(t)

(segue iteratamente dallo sviluppo di Laplace del determinante secondo laprima colonna).

Pertanto si ha mg(λ) ≤ ma(λ).



TEOREMA - Siano V uno spazio vettoriale f.g. sul campo K e f : V → V unendomorfismo f è diagonalizzabile se e solo se

i) tutte le radici di Pf (t) sono in K;

ii) per ogni autovalore λ di f si ha mg(λ) = ma(λ).

OSSERVAZIONI1) Se K = C la condizione i) è sempre verificata.

2) Se ma(λ) = 1, allora mg(λ) = 1, quindi la condizione ii) è verificata.

3) In generale, per calcolare mg(λ) :

mg(λ) = dim(ker(f − λidV)) = n− car(A− λI).



ESEMPI

A =

(cos(θ) −sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)K = R.

PA(t) = (cos(θ)− t)2 + sin2(θ) = t2 − 2cos(θ)t + 1

che ha discriminante ∆ = 4(cos2(θ)− 1), quindi se θ 6= 0, π non vale lai).

A =

(1 1 10 1 10 0 1

)K = R.

PA(t) = (1− t)3

L’unica radice è λ = 1, quindi vale la i), inoltre ma(1) = 3.

car(A− I) = 2, quindi mg(1) = 1, per cui non vale la ii).



A =

(1 1 01 1 00 0 0

)K = R.

PA(t) = −t2(t − 2)

Le radici sono 0, 2, quindi vale la i), inoltre ma(0) = 2,ma(2) = 1.

Ovviamente ma(2) = 1 = mg(2).car(A) = 1, quindi mg(0) = 3− car(A) = 2 = ma(0), per cui valeanche la ii) e la matrice è diagonalizzabile.



Diagonalizzazione simultanea

TEOREMA - Siano A e B due matrici diagonalizzabili in Matn(K).Allora esiste una matrice M invertibile tale che D1 = M−1AM eD2 = M−1BM siano diagonali se e solo se A e B commutano, cioè AB = BA.

Dimostrazione - Se esiste M, si ha

AB = MD1D2M−1 = MD2D1M−1 = BA.

Supponiamo che A e B siano diagonalizzabili e che commutino. Perquest’ultima condizione, l’applicazione lineare LB è un endomorfismo diciascun autospazio di A (verificarlo).Dato che LB è diagonalizzabile, ciascun autospazio di A si scompone inautospazi di B.Per ciascun autospazio di A prendiamo una base fatta da autovettori di LBristretta a tale autospazio. Si genera una base che per costruzione diagonalizzaA e B simultaneamente.


Ideali dell’anello dei polinomi

index










Sia (A,+, ·) un anello commutativo.

Si dice ideale di A un sottoinsieme non vuoto I ⊂ A tale che∀i1, i2 ∈ I si ha i1 − i2 ∈ I;∀j ∈ I,∀a ∈ A si ha a · j ∈ I.

Ad esempio, nel caso degli interi (Z,+, ·), fissato un intero n, l’insiemeI = nZ dei multipli di n è un ideale.

Un ideale I ⊂ A si dice principale se esiste j ∈ I tale che, ∀j ∈ I, esiste a ∈ Atale che sia j = a · j.

Un elemento j come sopra si dice generatore di I.



Nel caso dell’anello K[x] dei polinomi a coefficienti in un campo K tutti gliideali sono principali.

TEOREMA - Sia I ⊂ K[x] un ideale. Esiste un g(x) ∈ I tale che ∀f (x) ∈ I siabbia f (x) = q(x)g(x), per qualche q(x) ∈ K[x].

DimostrazioneSe I = {0}, il risultato è ovvio. Possiamo quindi supporre I 6= {0}.

Sia g(x) un polinomio di grado minimo tra i polinomi non nulli di I. Proviamoche g(x) è un generatore di I.

Sia f (x) ∈ I. L’algoritmo della divisione di polinomi garantisce l’esistenza (eunicità ) di due polinomi q(x), r(x) (rispettivamente quoziente e resto delladivisione di f (x) per g(x)) tali che sia

f (x) = q(x)g(x) + r(x);

o r(x) ≡ 0, o deg(r(x)) < deg(g(x)).



Allora r(x) = f (x)− g(x)q(x) ∈ I.

Non può allora essere deg(r(x)) < deg(g(x)) (perché g(x) ha il grado minimotra i polinomi di I), per cui è necessariamente r(x) ≡ 0.

Pertanto si ha f (x) = g(x)q(x).

OSSERVAZIONE - Il generatore di un ideale di I non è unico, però lo è ilgeneratore monico, ossia che ha 1 come coefficiente direttore.

Infatti, se g1, g2 fossero due diversi generatori monici di I allora g1 − g2apparterrebbe a I ed avrebbe grado minore di quello di g1 e g2.


Polinomi di matrici e polinomi di endomorfismi

index










Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n su K.

Siano poi A ∈ Matn(K) e f un endomorfismo di V.

Dato un polinomio p(t) ∈ K[t] :

p(t) = a0 + a1t + a2t2 + · · ·+ aktk.

Si definisce p(A) (rispett. p(f )) la matrice (rispett. il polinomio) cosìottenuta/o

p(A) = a0 · I + a1 · A + a2 · A2 + · · ·+ ak · Ak,

(ove I è la matrice identica di ordine n e le operazioni sono l’usuale somma eprodotto riga per colonna di matrici, ossia Ah = A · A · . . .A, riga per colonna)

e



p(f ) = a0 · idV + a1 · f + a2 · f 2 + · · ·+ ak · f k,

(ove idv è l’endomorfismo identico e le operazioni sono l’usuale somma ecomposizione di endomorfismi, ossia f h = f ◦ f · · · ◦ f .)

ESEMPIO - SianoA =

( 1 10 2

)∈ Mat2(R), f : R2 → R2, f (

( xy

)=( 2x

0

)e

p(t) = t2 − 1.

Risulta

p(A) =( 1 1

0 2

)·( 1 1

0 2

)−( 1 0

0 1

)=( 0 3

0 3

)p(f )(

( xy

)) = f (f (

( xy

)))−

( xy

)= f (

( 2x0

))−

( xy

)=( 4x

0

)−( x

y

)=( 3x−y

).



OSSERVAZIONE - Se p, q ∈ K[t], e λ ∈ K, si ha

(p + q)(A) = p(A) + q(A), (p + q)(f ) = p(f ) + q(f );

(p · q)(A) = p(A)q(A), (p · q)(f ) = p(f )q(f );

(λp)(A) = λp(A), (λp)(f ) = λp(f ).

Si dice che il polinomio p(t) si annulla su A (rispett. su f ) sep(A) = O ∈ Matn(K) (rispett. p(f ) = 0 ∈ End(V)).

Ad esempio, per A =( 1 1

0 2

)e p(t) = (1− t)(2− t) = 2− 3t + t2

(polinomio caratteristico di A), si ha

p(A) = 2( 1 0

0 1

)− 3

( 1 10 2

)+( 1 1

0 2

)( 1 10 2

)=

( 2 00 2

)−( 3 3

0 6

)+( 1 3

0 4

)=( 0 0

0 0

)Gilberto Bini - Cristina Turrini (2017/2018) GEOMETRIA 1 36 / 51


Siano A ∈ Matn(K) e f un endomorfismo di V.

L’insieme

J (A) = {p(t) ∈ K[t] | p(A) = O}è un ideale di K[t] (verificarlo).

Lo stesso accade per

J (f ) = {p(t) ∈ K[t] | p(f ) = 0}

Il polinomio monico generatore di J (A) (rispettivamente J (f )) viene dettopolinomio minimo di A (rispett. f ). Denoteremo il polinomio minimo di A(rispett. f ) con µA(t), (rispett. µf (t)).



OSSERVAZIONE - Se A e B sono matrici simili, allora J (A) = J (B).In effetti, per ogni polinomio p(t) risulta p(A) = O se e solo se p(B) = O.Se è B = M−1 · A ·M, allora

Bn = (M−1 ·A·M)·(M−1 ·A·M)·· · ··(M−1 ·A·M)·(M−1 ·A·M) = M−1 ·An ·M.

Quindi, se p(t) = a0 + a1t + a2t2 + · · ·+ aktk, allora

p(B) = a0I + a1B + a2B2 + · · ·+ akBk =

a0M−1·I·M+a1M−1·A·M+a2M−1·A2·M+· · ·+akM−1·Ak·M = M−1·p(A)·M.Pertanto, se p(A) è la matrice nulla allora anche p(B) lo è (e, per la simmetriadella relazione, vale anche il viceversa).

CONSEGUENZA - Matrici simili hanno lo stesso polinomio minimo.


Il teorema di Cayley Hamilton e il polinomio minimo

index










Sia A ∈ Matn(K), e

PA(t) = det(A− tI) = a0 + a1t + · · ·+ an−1tn−1 + antn

il suo polinomio caratteristico.

TEOREMA (di Cayley-Hamilton) - Per ogni A ∈ Matn(K), si ha

PA(A) = a0I + a1A + · · ·+ an−1An−1 + anAn = O,

ossia PA(t) ∈ J (A).

DimostrazioneRicordo che, data una matrice quadrata M si ha

M ·t (cof (M)) = det M · I.

Ponendo M = A− tI e B =t (cof (M)) si ha

(A− tI) · B = pA(t)I = (a0 + a1t + · · ·+ an−1tn−1 + antn)I.



Gli elementi della matrice B sono cofattori di A− tI e pertanto sono polinomidi grado n− 1 in t. Si può allora scrivere

B = B0 + B1t + · · ·+ Bn−1tn−1,

dove le Bj sono matrici di costanti.Nell’equazione di polinomi di matrici

(A−tI)·(B0+B1t+B2t2+· · ·+Bn−1tn−1) = (a0+a1t+· · ·+an−1tn−1+antn)I

ordiniamo i due membri secondo diverse potenze di t :

A ·B0 +(A ·B1−B0)t+(A ·B2−B1)t2 + · · ·+(A ·Bn−1−Bn−2)tn−1−Bn−1tn =

a0I + a1It + · · ·+ an−1Itn−1 + anItn.



Uguagliando le matrici coefficienti delle diverse potenze di t si ottengono lerelazioni

A · B0 = a0I

A · B1 − B0 = a1I

A · B2 − B1 = a2I...

A · Bn−1 − Bn−2 = an−1I

−Bn−1 = anI.

Moltiplicando a sinistra tali relazioni rispettivamente perI,A,A2, . . . ,An−1,An e sommando otteniamo:

A·B0+A·(A·B1−B0)+A2·(A·B2−B1)+. . .An−1·(A·Bn−1−Bn−2)+An·(−Bn−1)

= a0I + a1A + · · ·+ an−1An−1 + anAn

ossiaO = a0I + a1A + · · ·+ an−1An−1 + anAn = PA(A).



Il teorema di Cayley-Hamilton vale ovviamente anche per un endomorfismo fdi uno spazio vettoriale.

TEOREMA (di Cayley-Hamilton) - Ogni endomorfismo f annulla il suopolinomio caratteristico, ossia Pf (t) ∈ J (f ).

COROLLARIO - Il polinomio minimo (di una matrice o di un endomorfismo)divide il polinomio caratteristico.

Si può dimostrare che (v. dopo):

le radici in K del polinomio minimo sono le stesse del polinomiocaratteristico (eventualmente con molteplicità diversa);un endomorfismo f è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimodi f è della forma

µf (t) = (t − λ1)(t − λ2) . . . (t − λh),

con λ1, λ2, . . . λh ∈ K tutti distinti tra loro.



ESEMPIO 1

A =

(0 0 10 0 00 0 0

)PA(t) = −t3;

Si ha µA = t2 infatti A2 = O, ma A 6= O.

ESEMPIO 2

A =

(2 0 00 2 00 0 1

)PA(t) = (1− t)(2− t)2;

Si ha µA = (1− t)(2− t) infatti

(I − A) · (2I − A) =

( −1 0 00 −1 00 0 0

)·

(0 0 00 0 00 0 1

)=

(0 0 00 0 00 0 0

)ma I − A 6= O e 2I − A 6= O.



Sia A una matrice quadrata n× n a coefficienti in K.

Il teorema di Cayley-Hamilton garantisce che le radici (in K) del polinomiominimo µA(t) siano autovalori di A (il polinomio minimo infatti divide ilpolinomio caratteristico).

Mostriamo viceversa che ogni autovalore di A è anche radice di µA(t).

Sia λ un autovalore di A e sia v 6= 0 un autovettore relativo a λ. Si ha:

Av = λv, A2v = Aλv = λ2v, . . . , Ahv = λhv, . . .

quindi, per ogni polinomio p(t) = a0 + a1t + · · ·+ ahth si ha

p(A)v = (a0I + a1A + · · ·+ ahAh)v = (a0 + a1λ+ · · ·+ ahλh)v = p(λ)v.

Quindi anche µA(A) · v = µA(λ)v. Ma sappiamo che µ(A) = O, quindiµA(λ)v = O, per cui, essendo v 6= O, deve essere µA(λ) = 0.



Vogliamo ora dimostrare che

una matrice A è diagonalizzabile se e solo se il suo polinomio minimo èdella forma

µA(t) = (t − λ1)(t − λ2) . . . (t − λh),

con λ1, λ2, . . . λh ∈ K tutti distinti tra loro.

Se A è diagonalizzabile, A è simile a una matrice diagonale

B =

λ1 0 0 . . . 0 00 λ1 0 . . . 0 0...

...... . . . 0 0

0 0 0 . . . λk 00 0 0 0 0 λk

e per la matrice B una verifica diretta mostra che

(A− λ1I) · (A− λ2I) · · · (A− λkI) = O.



Quindi il polinomio p(t) = (t − λ1)(t − λ2) · · · (t − λk) si annulla su A.Sappiamo che il polinomio minimo µA(t) ha λ1, λ2, dotsλk come radici equindi è un multiplo di p(t). Per definizione di polinomio minimo allora si haµA(t) = p(t).

Per il viceversa premettiamo un

LEMMA - Siano U,V,W spazi vettoriali su K, e φ : U → V , ψ : V → Wapplicazioni lineari. Allora

dim(ker(ψ ◦ φ)) ≤ dim(ker(φ)) + dim(ker(ψ)).

Dimostrazione - Poniamo K = ker(ψ ◦ φ). Si ha K = φ−1(ker(ψ).Consideriamo la restrizione θ di φ a K:

θ = φ|K : K → ker(ψ).



Si ha ker(θ)) ⊆ ker(φ), infatti, se u ∈ ker(θ)) allora θ(v) = 0 per cuiφ(v) = 0.

Quindi:dim(ker(ψ ◦ φ)) = dim(K) =

dim(ker(φ)) + dim(Im(θ)) ≤ dim(ker(φ)) + dim(ker(ψ)),

ossia si ha la tesi.

Per induzione si ha anche

(∗) dim(ker(φ1 ◦ φ2 ◦ · · · ◦ φk)) ≤ dim(ker(φ1)) + . . . dim(ker(φk)).

Supponiamo ora che sia

µA(t) = (t − λ1)(t − λ2) . . . (t − λh),

e mostriamo che A è diagonalizzabile.

Il fatto che µA(A) = O ci dice che

(A− λ1I) · (A− λ2I) · · · (A− λkI) = O,



ossia che(LA − λ1id) ◦ (LA − λ2id) ◦ (LA − λkid)

è l’operatore nullo.

Per il Lemma allora si ha

n = dim(V) = dim(ker((LA − λ1id) ◦ (LA − λ2id) ◦ · · · ◦ (LA − λkid)))

≤ dim(ker((LA−λ1id)) + dim(ker(LA−λ2id)) + · · ·+ dim(ker((LA−λkid))

= dim(ker((LA − λ1id))⊕ ker(LA − λ2id))⊕ · · · ⊕ ker((LA − λkid)

= dim(Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλk) ≤ n

(perchè gli autospazi relativi ad autovalori diversi hanno in comune solo ilvettore nullo).Di conseguenza nella formula precedente tutti i ≤ sono =, e pertanto si haanche

V = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλk ,

ossia esiste una base di autovettori e la matrice A è diagonalizzabileGilberto Bini - Cristina Turrini (2017/2018) GEOMETRIA 1 49 / 51


La matrice dell’esempio 1 è una matrice nilpotente: una matrice quadrata Anon nulla si dice nilpotente se esiste un intero k > 1 tale che Ak sia la matricenulla. Analoga definizione si ha nel caso di un operatore f (nilpotente:f k = O).

Il polinomio minimo di una matrice nilpotente è della forma th, h > 1.

Una matrice quadrata A non nulla e diversa dalla matrice identica si diceidempotente se A2 = A. Analoga definizione si ha nel caso di un operatore f(idempotente: f 2 = f ).

Il polinomio minimo di una matrice idempotente è della forma t2 − t.

Un esempio di operatore idempotente f : Rn → Rn è una proiezione

f

x1...

xhxh+1

...xn

=

x1...

xh0...0

.



Il teorema di Cayley-Hamilton può essere usato anche per calcolare l’ inversadi una matrice,o le potenze di una matrice.

ESEMPIOData A =

( 1 41 1

)si ha pA(t) = (1− t)2 − 4 = t2 − 2t − 3 quindi

A2 − 2A− 3I = O. Allora A · (A− 2I) = 3I, quindi

A−1 =13

(A− 2I) =13

( −1 14 −1

).

Inoltre A2 = 2A + 3I per cui, ad esempio,

A5 = A·(A2)2 = A·(2A+3I)2 = A·(4A2+12A+9I) = A·(4(2A+3I)+12A+9I)

= A · (20A + 21I) = 20A2 + 21A = 20(2A + 3I) + 21A = 61A + 60I =( 121 24461 121

).


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