Giada  Macrifugi    Anna  Rita  Morena  

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei

quadrati costruiti sui cateti.

 

𝑐↑2 = 𝑎↑2 + 𝑏↑2   

a  

b  

c  

Leggenda  sulla  scoperta  del  Teorema  di  Pitagora:      

Si  racconta  che  …  Una  leggenda  racconta  che  Pitagora  abbia  formulato  il  suo  teorema  mentre  stava  aspe=ando  un'udienza  da  Policrate.  Seduto  in  un  grande  salone  del  palazzo  di  Samo,  Pitagora  si  mise  ad  osservare  le  piastrelle  quadrate  del  pavimento,  si  pensa  che  ne  abbia  vista  una  ro=a  perfe=amente  su  di  una  diagonale,  così  da  formare  due  triangoli  re=angoli  uguali.    

Dal  par6colare  al  generale  Pitagora  dove=e  aspe=are  alcune  ore  prima  di  essere  ricevuto  e  così  ebbe  tempo  di  scoprire  che  il  suo  teorema  era  vero  non  soltanto  nel  caso  parDcolare  del  triangolo  re=angolo  isoscele,  ma  anche  in  molD  altri  casi,  come  quello  qui  so=o.  In  praDca  è  valido  per  qualunque  triangolo  re=angolo.    

In  realtà  la  storia  del  teorema  è  molto  più  complessa  e  le  sue  origini  risalgono  a  un  migliaio  di  anni  prima  che  Pitagora  si  dedicasse  allo  studio  dei  triangoli  re=angoli.  

La tavoletta babilonese (1800-1600 a.C.), nella ricostruzione di O. Neugebauer,

Il  primo  numero  sulla  diagonale  è  1;24,51,10,  dove  il  punto  e  virgola  separa  la  parte  intera  dalla  parte  decimale  ed  è  in  notazione  sessagesimale.  Lo  stesso  numero  nel  sistema  decimale  è:    

che  è  un  valore  approssimato  della  radice  di  2.  Se  il  lato  del  quadrato  è  1,  la  diagonale  è  la  radice  quadrata  di  1^2  più  1^2,  cioè  di  2.    Se  il  lato  è  30,  sarà  naturalmente  il  prodo=o  di  30  per  la  radice  quadrata  di  2.  

...414213,16010

6051

60241 32 =+++

 Le  dimostrazioni  del  celebre  teorema  non  sono  infinite,  ma  nel  

corso  dei  secoli  ne  sono  state  proposte  diverse  cenDnaia.    

   

 La  dimostrazione  del  teorema  di  Pitagora  più  immediata  e  più  diffusa  nei  libri  scolasDci  consiste  nel  riempire  uno  stesso  

quadrato  di  lato  uguale  alla  somma  dei  cateD  prima  con  qua=ro  copie  del  triangolo  re=angolo  più  il  quadrato  costruito  

sull'ipotenusa  e  poi  con  qua=ro  copie  del  triangolo  re=angolo  più  i  quadraD  costruiD  sui  cateD,  come  nella  figura  a  pagina  seguente  

 

Si  prendano  due  quadraD  di  lato  a+b  e  si  dividano  come  in  figura.  Si  osserva  che  il  quadrato  sulla  sinistra  risulta  diviso  in  due  quadraD  di  area   𝑎↑2   e   𝑏↑2   e  in  due  re=angoli  di  dimensioni  a  e  b  (tagliaD  lungo  la  diagonale).  Il  quadrato  sulla  destra,  invece,  presenta  un  quadrato  al  centro  di  area  𝑐↑2   e  qua=ro  triangoli  re=angoli  

equivalenD.  Se  immaginiamo  di  togliere  dalla  prima  e  dalla  seconda  figura  tuW  i  triangoli  re=angoli,  che  sono  tra  loro  equivalenD,  

o=eniamo  figure  tra  loro  equivalenD  cioè:  

𝑎↑2 + 𝑏↑2 = 𝑐↑2   (I  quadraD  azzurri  

sono  rispeWvamente  quelli  costruiD  sui  

cateD  e    sull’  ipotenusa  di  un  triangolo  

re=angolo  giallo.)  

DIMOSTRAZIONE  DI  POMI  CON  I  QUADRATI  CONCENTRICI  

 di  laD  rispeWvamente  pari  all’ipotenusa  c  e  alla  somma  dei  due  cateD  del  triangolo  

re=angolo  a+b      

Come  si  vede  dalla  figura,  tolD  al  quadrato  più  grande  (di  lato  a+b)  i  qua=ro  triangoli  re=angoli  (in  giallo,  di  area  𝑎∗𝑏/2 ),  si  oWene  il  quadrato  più  piccolo  (di  lato  c),  rappresentato  in  bianco.  Quindi      da  cui  

(𝑎+𝑏)↑2 −4∗𝑎∗𝑏/2 = 𝑐↑2   

𝑎↑2 + 𝑏↑2 +2𝑎𝑏−2𝑎𝑏= 𝑐↑2     𝑎↑2 + 𝑏↑2 = 𝑐↑2   

   

 

     

Consideriamo  una  copia  del  triangolo  re=angolo  in  

quesDone,  ruotata  di  90  gradi  in  modo  da  allineare  i  due  cateD    differenD.  Si  uniscono  

poi  gli  estremi  delle  ipotenuse,  e  si  oWene  un  

trapezio.  Uguagliando  l'area  del  trapezio  alla  somma  di  

quelle  dei  tre  triangoli  reW,  si  dimostra  il  teorema.    

   

         

222

222

2

2

222))((

222

2))((

zyxzxyxyyxzxyyxyx

zxyyxyx

=+

+=++

+=++

+=++

Dimostrazione  di  Garfield  (1876)  Questa  dimostrazione  si  basa  sul  calcolo  

dell’area  del  trapezio.    

In  questo  caso  non  dobbiamo  costruire  nessun  quadrato.  

 

Dimostrazione  con  il  1°  Teorema  di  Euclide  

21212211

RRQQRQRQ

+=+

=

=

In  ogni  triangolo  re=angolo  il  quadrato  costruito  su  un  cateto  è  equivalente  al  re=angolo  che  ha  per  laD  l’ipotenusa  e  la  proiezione  del  cateto  sull’ipotenusa.  

DIMOSTRAZIONE  (triangoli  simili)  

A  

B  

C  

D  

AD  è  l’altezza  relaDva  all’ipotenusa    Osserviamo  che  i  triangoli    ABC,  ABD  e    ADC  sono  simili  dunque:  

𝐴𝐵/𝐵𝐶 = 𝐵𝐷/𝐴𝐵             ,               𝐴𝐶/𝐵𝐶 = 𝐷𝐶/𝐴𝐶       allora    𝐴𝐵∗𝐴𝐵=𝐵𝐶∗𝐵𝐷                    𝐴𝐶∗𝐴𝐶=𝐵𝐶∗𝐷𝐶  

Sommando  le  ulDme  due  equazioni  o=enute  si  ha:  𝐴𝐵∗𝐴𝐵+𝐴𝐶∗𝐴𝐶=𝐵𝐶∗𝐵𝐷+𝐵𝐶∗𝐷𝐶  𝐴𝐵↑2 + 𝐴𝐶↑2 =𝐵𝐶(𝐵𝐷+𝐷𝐶)  ma  𝐵𝐷+𝐷𝐶=𝐵𝐶  allora   𝐴𝐵↑2 + 𝐴𝐶↑2 =𝐵𝐶∗𝐵𝐶  

        𝐴𝐵↑2 + 𝐴𝐶↑2 = 𝐵𝐶↑2       

Definizione:  Due  triangoli  si  dicono  simili  se  hanno  ordinatamente  gli  angoli    uguali  e  i  laD  in  proporzione.  

 II°  criterio  di  similitudine  

Se  due  triangoli  hanno  due  laD  in  proporzione  e  l’angolo  compreso  uguale  sono  simili.  

 

DIMOSTRAZIONE:  

B   A  

C  

a   b  

c   D   E  

Consideriamo  il  triangolo  re=angolo  ABC  re=o  in   𝐶 .    Tracciamo  la  circonferenza  di  centro  A  e  raggio   𝐴𝐶 =𝑏;  essa  individua  i  punD  D  e  E  (rispeWvamente  su  𝐴𝐵   e  sul  suo  prolungamento).  Il  triangolo  AEC  è  isoscele  dunque  𝐴𝐶 𝐸=𝐶𝐸 𝐴    

𝐷𝐶 𝐸  è  re=o        (1)  ogni  angolo  alla  circonferenza  è  metà  dell’angolo  al  centro      (2)  tuW  gli  angoli  alla  circonferenza  che  insistono  sul  diametro  sono  reW  

Allora  𝐵𝐶 𝐷=𝐴𝐶 𝐸  (in  rosso)  e  𝐴𝐶 𝐸=𝐶𝐸 𝐴  (per  quanto  già  de=o).  I  triangoli  DBC  e  EBC  hanno  l’angolo  𝐷𝐵 𝐶  in  comune  e  𝐵𝐶 𝐷=𝐵𝐸 𝐶    dunque  sono  triangoli  simili  𝐵𝐶/𝐵𝐸 = 𝐵𝐷/𝐵𝐶                      𝑎/𝑐+𝑏 = 𝑐−𝑏/𝑎   𝑎↑2 =(𝑐+𝑏)(𝑐−𝑏)= 𝑐↑2 − 𝑏↑2                        𝑎↑2 + 𝑏↑2 =𝑐↑2   B  

C   C  

D   B   E  

GENERALIZZAZIONI  DEL  TEOREMA  DI  PITAGORA  

 Solitamente,  una  generalizzazione  è  una  relazione  che  si  applica  a  tuW  i  triangoli,  e  che  risulta  essere  equivalente  al  teorema  di  

Pitagora  nei  triangoli  re=angoli.    

 

   TEOREMA  DEL  COSENO      TEOREMA  DEI  SENI          

TEOREMA  DEL  COSENO  o  di  Carnot  

In  ogni  triangolo  il  quadrato  di  un  lato  è  uguale  alla  somma  dei  quadraD  degli  altri  due  laD  meno  il  doppio  prodo=o  degli  stessi  

laD  per  il  coseno  dell'  angolo  fra  essi  compreso  

   In  formule:              a2  =  b2  +  c2  -­‐  2bc  cos  α            b2  =  a2  +  c2  -­‐  2ac  cos  β          c2  =  a2  +  b2  -­‐  2ab  cos  γ  

a  b  

c  

α  β  

γ  

DIMOSTRAZIONE  1:  Si  tracci  l’altezza  BH;  essa  individua  due  triangoli  re=angoli  ai  quali  è  possibile  applicare  il  Teorema  di  Pitagora.  Da  cui  si  ha:    

a  

b  

c  

α  

β  

γ  A  

B  

C  H  

𝐵𝐶 ↑2 = 𝐶𝐻 ↑2 + 𝐵𝐻 ↑2                              𝐵𝐻 ↑2 = 𝐴𝐵 ↑2 − 𝐴𝐻 ↑2                          𝐶𝐻 ↑ = 𝐴𝐶 − 𝐴𝐻   

𝐵𝐶 ↑2 = ( 𝐴𝐶 − 𝐴𝐻 )↑2 +( 𝐴𝐵 ↑2 − 𝐴𝐻 ↑2 )    𝐵𝐶 ↑2 = 𝐴𝐶 ↑2 + 𝐴𝐻 ↑2 −2𝐴𝐶 𝐴𝐻 + 𝐴𝐵 ↑2 − 𝐴𝐻 ↑2     𝐵𝐶 ↑2 = 𝐴𝐵 ↑2 + 𝐴𝐶 ↑2 −2𝐴𝐶 𝐴𝐻             poiché    

𝐴𝐻 =  c  cosα    si  ha:              a2  =  b2  +  c2  -­‐  2bc  cos  α    Le  altre  relazioni  si  dimostrano  analogamente.  

DIMOSTRAZIONE  2:  

Una  seconda  dimostrazione  del  teorema  è  basata  sul  calcolo  ve=oriale.  Dato  il  triangolo  ABC  (in  figura),  consideriamo  la  seguente  relazione  ve=oriale:    

𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 + 𝐴𝐶   ed  eleviamo  al  quadrato  entrambi  i  membri.  Si  oWene:    

  𝐵𝐶 ↑2 = 𝐵𝐴 ↑2 + 𝐴𝐶 ↑2 +2𝐵𝐴 ∙ 𝐴𝐶   da  cui  (per  le  proprietà  del  prodo=o  scalare):  

               a2  =  b2  +  c2  -­‐  2bc  cos  α  

a  

b  

c  

α  

β  

γ  A  

B  

C  

TEOREMA  DEI  SENI          𝑎/𝑠𝑒𝑛α = 𝑏/𝑠𝑒𝑛β = 𝑐/𝑠𝑒𝑛γ   

DIMOSTRAZIONE  1  :                    Consideriamo  il  triangolo  ABC  (nell’immagine  

so=ostante)  e  tracciamo  le  sue  altezze  𝐴𝑀   e   𝐵𝑁 .  Prendendo  in  esame  dapprima  il  triangolo  re=angolo  AMC  e  poi  il  triangolo  

re=angolo  AMB,  si  oWene:  𝐴𝑀 =𝑎𝑠𝑒𝑛β  e   𝐴𝑀 =𝑏𝑠𝑒𝑛α;  perciò:  𝑎𝑠𝑒𝑛β=  𝑏𝑠𝑒𝑛α  da  cui  segue:𝑎/𝑠𝑒𝑛α = 𝑏/𝑠𝑒𝑛β .  Analogamente,  prendendo  in  esame  i  triangoli  re=angoli  BNA  e  BNC,  si  oWene:  𝐵𝑁 =𝑐𝑠𝑒𝑛β,   𝐵𝑁 =𝑏𝑠𝑒𝑛γ;  da  cui  segue:   𝑏/𝑠𝑒𝑛β = 𝑐/𝑠𝑒𝑛γ .  In  definiDva,  come  si  voleva  dimostrare:  

                                                                                       𝑎/𝑠𝑒𝑛α = 𝑏/𝑠𝑒𝑛β = 𝑐/𝑠𝑒𝑛γ     

 

c  

C  

A  

B  M  

N  

Osserviamo  che  questa  dimostrazione  condo=a  avendo  implicitamente  supposto  che  il  triangolo  ABC  fosse  acutangolo,    sostanzialmente  non  

cambia  se  esso  è  o=usangolo.  

a   b  

c  α  β  

γ  

DIMOSTRAZIONE  2:  

molDplichiamo  scalarmente  entrambi  i  membri  per  il  ve=ore  𝐶𝐻   ,  dove  H  è  il  piede  dell’altezza  relaDva  al  lato  AB:  

  𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐻 =( 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) ∙ 𝐶𝐻   tenendo  ora  presente  che  i  ve=ori  𝐴𝐵   e   𝐶𝐻   sono  tra  loro  ortogonali  e  perciò  il  loro  prodo=o  scalare  è  nullo,  

allora  ( 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵) ∙ 𝐶𝐻 =0.  Osserviamo  che  l’angolo  tra  i  ve=ori  𝐴𝐶   e   𝐶𝐻   è  il  supplementare  di  𝐴𝐶 𝐻  che  misura  π  −(𝜋/2 −α)e  che,  analogamente,    l’angolo  tra  i  ve=ori  𝐶𝐵   e   𝐶𝐻   (H 𝐶 B)  è   𝜋/2   −  β  

allora:     𝐴𝐶 𝐶𝐻 cos( 𝜋/2 +   α)+   𝐶𝐵 𝐶𝐻 cos( 𝜋/2   −  β) =0  -­‐  𝑏𝐶𝐻 sin α +𝑎𝐶𝐻 sin β =0

𝑎𝑠𝑖𝑛𝛽 =𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼          𝑎/𝑠𝑒𝑛𝛼 = 𝑏/𝑠𝑒𝑛𝛽         

A   B  

C  

H  

K  

Una  seconda  dimostrazione  del  teorema  è  basata  sul  calcolo  ve=oriale.  Dato  il  triangolo  ABC  (in  figura),  consideriamo  la  seguente  

relazione  ve=oriale:  𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵   e  

α   β  

γ  

b   a  

c  

Le  dimostrazioni  grafiche  che  vi  proponiamo  di  seguito  sono  un  felice  connubio  tra  geometria  e  arte;  si  basano  tu=e  sulla  scomposizione  dei  quadraD  costruiD  sui  cateD  del  triangolo  

re=angolo  e  la  ricomposizione  dei  pezzi  sul  quadrato  costruito  sull’ipotenusa.  

I  «puzzle  pitagorici»  che  seguiranno  hanno  il  vantaggio  di  avere  una  rappresentazione  visiva  semplice  e  dire=a  che  richiede  

solamente  lo  spostamento  di  forme  geometriche.    

 

Consideriamo  qua=ro  triangoli  re=angoli  idenDci  disposD  in  modo  da  formare  un  quadrato  con  il  lato  uguale  all’ipotenusa.  Se  ridisponiamo  le  stesse  figure  nel  modo  indicato  nella  figura  a  destra,  possiamo  osservare  che  o=eniamo  due  quadraD  che  hanno  per  laD  uno,  il  cateto  minore  e  l’altro  quello  maggiore.  

DIMOSTRAZIONE  DI  PERIGAL  (1873)  

 Si  divide  il  quadrato  costruito  sul  

cateto  maggiore  in  qua=ro  parD,  con  due  segmenD  passanD  per  il  centro  del  quadrato  stesso,  uno  dei  quali  

parallelo  e  l’altro  perpendicolare  alla  ipotenusa,  e  si  ricompongono  poi  i  qua=ro  pezzi,  insieme  al  quadrato  costruito  sull’altro  cateto,  nel  quadrato  dell’ipotenusa.    

DIMOSTRAZIONE  DI  LIU  HUI  (Cina  III  sec  a.C.)    Per  suddividere  il  quadrato  costruito  sul  cateto  maggiore:  

 

 

!  si  traccia  il  segmento  simmetrico  dell'ipotenusa  rispe=o  al  cateto  maggiore  

!  si  traccia  il  quadrato  piccolo  !  si  traccia  la  diagonale  del  

quadrato  grande  !  si  traccia  quindi  l'ulDmo  

segmento  

Il  quadrato  costruito  sul  cateto  minore  del  triangolo  re=angolo,  è  invece  tagliato  dalla  diagonale.    

DIMOSTRAZIONE  DI  BOETTCHER  (1898-­‐1967)    

Per  scomporre  i  quadraD  costruiD  sui  cateD:  tracciare  una  diagonale  a  ciascun  quadrato.  Dagli  altri  due  verDci  di  ciascun  quadrato  tracciare  la  

perpendicolare  all'ipotenusa  fino  ad  incontrare  la  diagonale  del  quadrato  precedentemente  rappresentata.  Ciascuno  dei  quadraD  costruiD  sui  cateD  risulterà  così  scomposto  in  qua=ro  triangoli.    

1  

2  3  

4  

5  6  

7  

8  

Gli  o=o  pezzi  così  o=enuD,  possono  essere  assemblaD  per  coprire  il  

quadrato  costruito  sull'ipotenusa.    

DIMOSTRAZIONE  DI  THABIT  IBN  QURRA  Questa  dimostrazione  si  basa  unicamente  sul  ribaltamento  del  quadrato  costruito  sull'ipotenusa.  Esso  scompone  i  quadraD  costruiD  sui  cateD  in  cinque  parD  che,  tagliate,  possono  essere  ricomposte  per  coprire  esa=amente  il  quadrato  costruito  sull’ipotenusa.  

1  

2  

3  

4  

5  

1  

2  3  

4  

5  

DIMOSTRAZIONE  SENZA  NOME  (forse  di  derivazione  cinese)  

La  scomposizione  del  quadrato  costruito  sul  cateto  minore  si  oWene  prolungando  il  lato  del  quadrato  costruito  sull'ipotenusa.  La  scomposizione  del  quadrato  costruito  sul  cateto  maggiore  inizia  dalla  linea  parallela  all'ipotenusa  che  parte  dal  verDce  del  quadrato.  Essa  individua  sia  la  fascia,  orizzontale  sul  disegno,  

che  il  lato  del  quadraDno  in  fondo  a  destra.  L'ulDmo  triangolo,  il  più  piccolo  si  oWene  tracciando  la  perpendicolare  all'ipotenusa  

partendo  dal  verDce  del  quadrato  fino  all'incontro  con  la  fascia  orizzontale  descri=a  sopra.  

 

http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ Elisha Scott Loomis, The Pythagorean proposition (ristampa, 1968) A. Cerasoli, Mr. Quadrato, Sperling & Kupfer 2006 B.Vitrac, Sur Pythagore et le “théorème de Pythagore”, in Euclide, Les Éléments, PUF, vol.1 1990, pp.310-321 Pitagora e il suo teorema, a cura di E.Giusti, Firenze, Polistampa 2001 http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ http://www.palais-decouverte.fr/index.php?id=858%20

Alcuni  riferimenD  bibliografici  e  sitografici