Gli insiemi N e Z I numeri naturali sono quelli che formano l’elenco illimitato e a tutti noto I numeri naturali 1 0 1 2 3 4 5 6 7….. L’insieme N si può rappresentare su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale sia fissato un verso di percorrenza. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Scelto un segmento a di lunghezza arbitraria, a partire dall’origine della semiretta lo riportiamo su di essa consecutivamente in modo da posizionare i numeri naturali sulla semiretta stessa: a Definizione e caratteristiche
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Gli insiemi N e Z
I numeri naturali sono quelli che formano l’elenco illimitato e a tutti noto
I numeri naturali
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0 1 2 3 4 5 6 7…..
L’insieme N si può rappresentare su una semiretta orientata, cioè una semiretta sulla quale sia fissato un verso di percorrenza.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Scelto un segmento a di lunghezza arbitraria, a partire dall’origine della semiretta lo riportiamo su di essa consecutivamente in modo da posizionare i numeri naturali sulla semiretta stessa:
a
Definizione e caratteristiche
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Dalla rappresentazione grafica possiamo dedurre l’ordinamento di N:
Diciamo che a è minore di b, e scriviamo a < b, se il punto corrispondente ad a viene prima del punto corrispondente a b sulla semiretta.
Diciamo che a è maggiore di b, e scriviamo a > b, se il punto corrispondente ad a segue il punto corrispondente a b sulla semiretta.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a
I numeri naturali
Ordinamento
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Dati due numeri naturali a e b, il numero c = a + b è il numero naturale che si ottiene contando b unità verso destra a partire da a:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
3 + 6 = 9 1 2 3 4 5 6
L’operazione introdotta si chiama ADDIZIONE. a + b = c
addendi somma
L’addizione è un’operazione interna ad N perche la somma di due numeri naturali è sempre un numero naturale.
L’addizione è commutativa, cioè a + b = b + a
L’addizione è associativa, cioè (a + b) + c = a + (b + c)
I numeri naturali
Operazioni
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Dati due numeri naturali a e b, il numero c = a − b, se esiste, è il numero che addizionato a b dà a:
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9 − 4 = 5 1234
L’operazione introdotta si chiama SOTTRAZIONE. a − b = c
minuendo differenzaIl numero c può non esistere (la sottrazione non è
un’operazione interna a N) sottraendo
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
5 − 7 = ? 12345
I numeri naturali
Operazioni
La sottrazione è possibile solo se a ≥ b
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La sottrazione non è né commutativa né associativa
La sottrazione gode della proprietà invariantiva: la differenza tra due numeri a e b non cambia se ad entrambi si aggiunge o si toglie uno stesso numero:
a – b = (a + k) – (b + k)
= (a − k) – (b − k) con a ≥ k e b ≥ k
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Una moltiplicazione tra numeri naturali è un modo abbreviato di scrivere una somma di addendi tutti uguali tra loro:
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2 4 = 8
L’operazione di moltiplicazione ci porta alla definizione di multiplo:
a b = c
prodottofattori
a b sgnifica a + a + … + a
b volte
1 volta 2 volte 3 volte 4 volte
Si dice che un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b secondo n se a = b n.
Per esempio: poiché 5 4 = 20 20 è multiplo di 5 secondo 4
ma anche 20 è multiplo di 4 secondo 5
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Operazioni
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ESEMPI
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è commutativa, cioè a b = b a
è associativa, cioè (a b) c = a (b c)
La moltiplicazione gode delle stesse proprietà dell’addizione:
proprietà distributiva rispetto all’addizione e, quando è possibile, alla sottrazione:
Vale inoltre la seguente proprietà:
( a ± b) c = (a c) ± (b c) e c (a ± b) = c a ± c b
(2 + 5) 4 = (2 4) + (5 4) = 8 + 20 = 28
6 (8 – 5) = 6 8 – 6 5 = 48 – 30 = 18
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Operazioni
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Dati due numeri naturali a e b, con b ≠ 0, il numero c = a : b, se esiste, è il numero che, moltiplicato per b, è uguale ad a:
L’operazione definita si chiama DIVISIONE. a : b = c
dividendo quoziente
a : b = c se e solo se c b = a
15 : 4 = ? Perché non esiste un numero naturale che, moltiplicato per 4, dà come prodotto 15.
divisoreIl numero c può non esistere, per esempio:
L’esistenza di c è garantita solo se a è multiplo di b, da cui deriva che la divisione non è un’operazione interna a N.
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Operazioni
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proprietà invariantiva: il quoziente tra due numeri a e b non cambia se entrambi vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero non nullo.
La divisione non è né commutativa, né associativa.
proprietà distributiva (solo a sinistra) della divisione rispetto all’addizione e alla sottrazione (se queste operazioni sono possibili in N):
a : b = (a k) : (b k) Per esempio: 12 : 4 = (12 5) : (4 5) = 60 : 20 = 3
La divisione gode delle seguenti proprietà:
a : b = (a : h) : (b : h) Per esempio: 180 : 45 = (180 : 9) : (45 : 9) = 20 : 5 = 4
( a ± b) : c = (a : c) ± (b : c) Per esempio: (15 + 20) : 5 = (15 : 5) + (20 : 5) = 3 + 4 = 7
(27 – 12) : 3 = (27 : 3) – (12 : 3) = 9 – 4 = 5
La divisione non è però distributiva a destra, per esempio:
60 : (12 + 3) 60 : 15 = 4 non è uguale a (60 : 12) + (60 : 3) 5 + 20 = 25
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ESEMPI
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Il numero q si dice quoziente intero di a : b, il numero r è il resto di tale divisione.
Qualunque siano i numeri naturali a e b, con b ≠ 0, si può dimostrare che esistono e sono unici due naturali q e r tali che:
a = b q + r con 0 ≤ r < b
nella divisione 25 : 4, si ha che q = 6 e r = 1 perché 25 = 4 6 + 1
nella divisione 314 : 23, si ha che q = 13 e r = 15 perché 314 = 23 13 + 15
I numeri naturali
Operazioni
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Il numero 0 è l’elemento neutro dell’addizione,
Da quest’ultima proprietà segue la legge di annullamento del prodotto:
a + 0 = 0 + a = ainfatti:
Inoltre: a 0 = 0 a = 0
Il prodotto di due numeri è zero se almeno uno di essi è uguale a zero.
Il numero 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione,
infatti: a 1 = 1 a = a
I numeri naturali
Operazioni
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• Insieme N dei numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, 4…}
• Insieme No: No = {1, 2, 3, 4…}
Operazioni Proprietà
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Operazioni Proprietà
I numeri naturali
Operazioni
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Il prodotto di più numeri naturali uguali fra loro si abbrevia mediante il simbolo di potenza. Se a è un numero naturale e n è un numero naturale maggiore di 1, si pone
Proprietà delle potenze
an = 00 non ha significato.
a a a… a
a
1
se n > 1
se n = 1
se n = 0 e a ≠ 0
n volte
am an = am + n esempio: 34 32 = 34 + 2 = 36
am : an = am − n con m > n esempio: 34 : 32 = 34 – 2 = 32
(am)n = am n esempio: (34)2 = 3 4 2 = 3 8
(a b)n = an bn esempio: (2 3)4 = 24 34
(a : b)n = an : bn esempio: (8 : 2)3 = 83 : 23
I numeri naturali
La potenza
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Un numero è divisibile per:
2 se termina per cifra pari (0 è ritenuto cifra pari)
3 o 9 se lo è la somma delle due cifre
5 se termina per 0 o per 5
4 o 25 se lo è il numero formato dalle ultime due cifre a destra, o termina con due zeri
11 se la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e la somma delle cifre di posto pari (o viceversa) è divisibile per 11 o è zero.
I numeri naturali
Criteri di divisibilità
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Ci sono infiniti numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, … ma ad oggi non si conosce una regola che li possa generare tutti.
Ad esempio: 288 = 25 32
Se un numero maggiore di 1 non ha altri divisori all’infuori di se stesso e dell’unità, si dice primo.
Un numero che non è primo si può scomporre in modo unico nel prodotto di fattori primi.
Due numeri si dicono primi tra loro se non hanno divisori comuni all’infuori dell’unità.
I numeri naturali
Numeri primi e primi tra loro
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ESEMPIO
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Dati due numeri naturali a e b, si chiama loro massimo comun divisore il maggiore fra i divisori comuni. Per indicarlo si scrive M.C.D. (a,b)
Per determinare il M.C.D. tra due o più numeri si segue la regola:
Quindi M.C.D. (40, 36) = 4I divisori di 40 sono 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
I divisori di 36 sono 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Si determina la scomposizione di ciascun numero in fattori primi e si calcola il prodotto dei soli fattori comuni, prendendoli una sola volta, con il minimo esponente.
Dati due numeri naturali a e b, si chiama loro minimo comune multiplo il più piccolo fra i multipli comuni. Per indicarlo si scrive m.c.m. (a, b).
Per determinare il m.c.m. di due o più numeri si segue la regola:
Quindi m.c.m. (15, 12) = 60I multipli di 15 sono 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, …
I multipli di 12 sono 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …
Si determina la scomposizione di ciascun numero in fattori primi e si calcola il prodotto di tutti i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente.
Spesso nella vita quotidiana si utilizzano numeri preceduti da un segno –
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Ad esempio la temperatura di – 5° gradi indica che siamo 5 gradi sotto lo zero.
4 3 2 1 0 1 2 3 4
Sulla retta orientata, partendo dall’origine, possiamo muoverci in senso opposto rispetto a quello indicato dalla freccia.
Possiamo cioè costruire la rappresentazione grafica dei numeri negativi.
Ai numeri così costruiti si dà il nome di numeri interi o anche numeri interi relativi. I numeri che sono preceduti dal segno + si dicono positivi e si trovano a destra dello zero, quelli preceduti dal segno – si dicono negativi e si trovano a sinistra dello zero; il numero zero non è né positivo né negativo e si scrive senza alcun segno.
−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4
I numeri interi relativi
Definizione e caratteristiche
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Nei numeri positivi il segno + può essere sottinteso
Sottoinsiemi di Z:
L’insieme dei numeri relativi si indica con Z: Z = {…, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
Insieme degli interi senza zero:
Z0 = {…, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, …}
Insieme degli interi positivi: Z+ = {1, 2, 3, 4, …}
Insieme degli interi positivi: Z− = {…, −4, −3, −2, −1}
I numeri interi relativi
Definizione e caratteristiche
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Alcune definizioni:
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numeri concordi: numeri con lo stesso segno es. −7, −9 ; +3, +27
numeri discordi: numeri con segni diversi es. +2, −3 ; −2, +3
valore assoluto di un numero: numero stesso senza segno es. |−7| = 7 ; |+7| = 7
numeri opposti: numeri con lo stesso valore assoluto e segno diverso es. +7 , − 7
I numeri interi relativi
Definizione e caratteristiche
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L’ordinamento dei numeri relativi corrisponde a quello dei punti associati sulla retta orientata dei numeri.
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−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
tra due numeri discordi, il numero positivo è maggiore del negativo es. +7 > −8
lo zero è maggiore di qualsiasi numero negativo e minore di qualsiasi numero positivo es. 0 > −3 ; 0 < +2
tra due numeri positivi è maggiore quello con valore assoluto maggiorees. +7 > +5 perché |+7| >|+5|
tra due numeri negativi è maggiore quello con valore assoluto minorees. −2 > −8 perché |−2| = 2 < |−8| = 8
I numeri interi relativi
Ordinamento
Quindi:
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ESEMPI
La somma di due numeri concordi si ottiene addizionando i valori assoluti dei due numeri attribuendo al risultato lo stesso segno degli addendi.
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(+5) + (+7) = + (5 + 7) = +12
(−4) + (−3) = − (4 + 3) = −7
La somma di due numeri discordi si ottiene facendo la differenza fra i valori assoluti dei numeri (il maggiore meno il minore) e attribuendo al risultato il segno del numero che ha valore assoluto maggiore.
(+12) + (−8) = + (12 − 8) = +4
(−26) + (+15) = − (26 − 15) = −11
ESEMPI
I numeri interi relativi
Addizione
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ESEMPIO
La differenza a – b di due numeri interi è il numero c che, addizionato a b, restituisce a; si calcola facendo la somma del primo con l’opposto del secondo.
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(+5) − (+7) = (+5) + (−7) = −2
La sottrazione può sempre essere eseguita in Z e rappresenta l’operazione inversa dell’addizione.
Quindi l’espressione: (+2) − (+3) = (+2) + (−3) si trasforma in +2 – 3 omettendo il
segno di addizione e le parentesi
Poiché una sottrazione può sempre essere trasformata in un’addizione, si parla in generale di somma algebrica.
I numeri interi relativi
Differenza e somma algebrica
Gli insiemi N e Z
ESEMPI
Il prodotto di due numeri interi non nulli si esegue moltiplicando i valori assoluti dei due numeri e attribuendo al risultato il segno indicato nella seguente tabella:
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+ −
+ + −
− − +
(+3) (+5) = +15
(+3) (−5) = −15
(−3) (−5) = +15
(−3) (+5) = −15
I numeri interi relativi
Moltiplicazione, divisione e potenza
Gli insiemi N e Z
ESEMPI
La divisione a : b tra due numeri si può eseguire solo se il valore assoluto di a è multiplo del valore assoluto di b. In questo caso il quoziente c = a : b è un numero intero che ha :
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per modulo il quoziente dei moduli di a e b
segno negativo se a e b sono discordi
segno positivo se a e b sono concordi
(−24) : (+6) = −4
(+24) : (−6) = −4 (+24) : (+6) = +4 (+15) : (−4) = non esiste in Z
(−24) : (−6) = +4
I numeri interi relativi
Moltiplicazione, divisione e potenza
Gli insiemi N e Z
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se a è un numero positivo, il valore della potenza è ancora positivo qualunque sia l’esponente:
I numeri interi relativi
La potenza
La potenza an con a Z e n N viene definita come nell’insieme dei numeri naturali.
€
∈
€
∈
(+3)4 = +81 (+2)5 = +32
se a è un numero negativo, il segno della potenza dipende dall’esponente:
Il prodotto di due numeri positivi è sempre positivo
• se n è pari si ha un numero positivo:
• se n è dispari si ha un numero negativo:
(−5)2 = +25 (−2)4 = +16
(−2)5 = −32 (−3)3 = −27
Il prodotto di un numero pari di numeri negativi è sempre positivo, il prodotto di un numero dispari di numeri negativi è sempre negativo.
![Ingegneria Meccanica e dei Materialifimec.altervista.org/Informatica_&_Programmazione... · –numeri naturali –numeri interi relativi [val assoluto e segno, complemento a due]](https://static.documenti.site/doc/80x56/5f4fc48b4839761ac300474e/ingegneria-meccanica-e-dei-ampprogrammazione-anumeri-naturali-anumeri.jpg)
