Prof. Ing. Angelo MASI Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
Corso sulle Norme Tecniche Corso sulle Norme Tecniche per le costruzioni in zona sismicaper le costruzioni in zona sismica
(Ordinanza PCM 3274/2003, DGR Basilicata 2000/2003)(Ordinanza PCM 3274/2003, DGR Basilicata 2000/2003)
POTENZA, 2004POTENZA, 2004
GLI STATI LIMITE PER GLI STATI LIMITE PER SOLLECITAZIONI NORMALISOLLECITAZIONI NORMALI
Prof. Prof. Ing.Ing. Angelo MASIAngelo MASIDiSGG, UniversitDiSGG, Universitàà di Basilicatadi Basilicata
Centro di Competenza Regionale sul Rischio Sismico (Centro di Competenza Regionale sul Rischio Sismico (CRiSCRiS))
Prof. Ing. Angelo MASI 2Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO IPOTESI DI CALCOLO
• le sezioni piane rimangono piane;
• le deformazioni delle armature, sia tese che compresse, sono le stesse del calcestruzzo circostante (perfetta aderenza);
• la resistenza a trazione del calcestruzzo viene trascurata;
cdfα
ooo2 oo
o5,3ctkf
calcolodiDiagramma
idalediDiagrammaσ
ε
• le tensioni nel calcestruzzo compresso si ricavano dal diagramma tensioni-deformazioni di calcolo;
L’ordinata massima del diagramma è pari a: σc = 0.85 fcdper tenere conto della durata dei carichi
Prof. Ing. Angelo MASI 3Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
VERIFICA ALLO STATO LIMITE ULTIMO IPOTESI DI CALCOLO
• in sezioni soggette a compressione assiale semplice, la deformazione di compressione nel calcestruzzo è limitata a 0,002 (2 %0);
• per sezioni non completamente compresse, la deformazione limite a compressione nel calcestruzzo è pari a 0,0035 (3,5 %0).
ooo10
ydf calcolodiDiagramma
sE
syε
• le tensioni nell’armatura si ricavano dal diagramma tensioni-deformazioni di calcolo;
• la deformazione limite nell’acciaio teso è pari a 0,01 (10 %0)
Prof. Ing. Angelo MASI 4Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
Nel DM. 9/1/96 Il calcestruzzo viene classificato in funzione del valore caratteristico della resistenza cubica Rck espressa in N/mm2 (1 N/mm2 = 10 kg/cm2).
Consideriamo un calcestruzzo di classe Rck 25:Resistenza cilindrica a compressione fck:
fck = 0.83 Rck = 20.75 N/mm2
Resistenza di calcolo a compressione (SLU):
fcd = fck / γc γc = 1.6 fcd = 12.97 N/mm2
Resistenza ridotta per tener conto dell’effetto della durata dei carichi:
α fcd α = 0.85 σc = 0.85 fcd = 11.0 N/mm2
Resistenza caratteristica a trazione (per flessione):
fctk = 1.2 x 0.7 x 0.27 x (Rck)2/3 = 1.62 N/mm2
Modulo elastico:
Ec= 5700 (Rck)1/2 = 28500 N/mm2
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
ESEMPIO Caratteristiche del calcestruzzo
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S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
CONFIGURAZIONI DEFORMATE REGIONI DI ROTTURA
d
d’
d’
As
A’sx
10%o
εs’
εs
εcu=3,5%o
21
34
5
εcu=2%o
0
0
A
B
C
E’ possibile descrivere le modalità di rottura della sezione in funzione della posizione dell’asse neutro (distanza x).
Prof. Ing. Angelo MASI 6Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
σ0f
10%o
εs’
S
S’
σ0f
10%o
εs’
S
S’
σ0f
10%o
εs’
S
S’
ζ=x/d
Punti Campo εc [%o] εs [%o] da A
A 1 Trazione con debole eccentricità 010 ⇒ +10 ∞− 0
A 2 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso
530 ,−⇒ +10 0 0,259
B 3 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso e del cls
-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−
−53
53
B 4
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore teso)
-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−
−53
53
1
B 4a
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore compresso)
-3,5 δ+
δ⋅−⇒
1530 ,
1 1+δ
C 5 Compressione con debole eccentricità
253 −⇒− ,
21
53−⇒
δ+δ⋅− ,
1+δ ∞+
Prof. Ing. Angelo MASI 7Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
10%o
fyd
εs’
S
S’ C
εcufcd
x
10%o
fyd
εs’
S
S’ C
εcufcd
x
10%o
fyd
εs’
S
S’ C
εcufcd
xx
ζ=x/d
Punti Campo εc [%o] εs [%o] da A
A 1 Trazione con debole eccentricità 010 ⇒ +10 ∞− 0
A 2 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso
530 ,−⇒ +10 0 0,259
B 3 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso e del cls
-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−
−53
53
B 4
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore teso)
-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−
−53
53
1
B 4a
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore compresso)
-3,5 δ+
δ⋅−⇒
1530 ,
1 1+δ
C 5 Compressione con debole eccentricità
253 −⇒− ,
21
53−⇒
δ+δ⋅− ,
1+δ ∞+
Prof. Ing. Angelo MASI 8Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
fyd S
S’
C
fcd
εsyd
εcu
x
fyd S
S’
C
fcd
εsyd
εcu
x
fyd S
S’
C
fcd
εsyd
εcu
xx
ζ=x/d
Punti Campo εc [%o] εs [%o] da A
A 1 Trazione con debole eccentricità 010 ⇒ +10 ∞− 0
A 2 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso
530 ,−⇒ +10 0 0,259
B 3 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso e del cls
-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−
−53
53
B 4
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore teso)
-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−
−53
53
1
B 4a
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore compresso)
-3,5 δ+
δ⋅−⇒
1530 ,
1 1+δ
C 5 Compressione con debole eccentricità
253 −⇒− ,
21
53−⇒
δ+δ⋅− ,
1+δ ∞+
Prof. Ing. Angelo MASI 9Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
S’
fcd
εsyd
εcu
Cx
S’
fcd
εsyd
εcu
Cx
S’
fcd
εsyd
εcu
Cxx
ζ=x/d
Punti Campo εc [%o] εs [%o] da A
A 1 Trazione con debole eccentricità 010 ⇒ +10 ∞− 0
A 2 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso
530 ,−⇒ +10 0 0,259
B 3 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso e del cls
-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−
−53
53
B 4
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore teso)
-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−
−53
53
1
B 4a
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore compresso)
-3,5 δ+
δ⋅−⇒
1530 ,
1 1+δ
C 5 Compressione con debole eccentricità
253 −⇒− ,
21
53−⇒
δ+δ⋅− ,
1+δ ∞+
Prof. Ing. Angelo MASI 10Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
S’
fcdεcu
C
S
xS’
fcdεcu
C
S
xS’
fcdεcu
C
S
xx
ζ=x/d
Punti Campo εc [%o] εs [%o] da A
A 1 Trazione con debole eccentricità 010 ⇒ +10 ∞− 0
A 2 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso
530 ,−⇒ +10 0 0,259
B 3 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso e del cls
-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−
−53
53
B 4
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore teso)
-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−
−53
53
1
B 4a
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore compresso)
-3,5 δ+
δ⋅−⇒
1530 ,
1 1+δ
C 5 Compressione con debole eccentricità
253 −⇒− ,
21
53−⇒
δ+δ⋅− ,
1+δ ∞+
Prof. Ing. Angelo MASI 11Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
ζ=x/d
Punti Campo εc [%o] εs [%o] da A
A 1 Trazione con debole eccentricità 010 ⇒ +10 ∞− 0
A 2 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso
530 ,−⇒ +10 0 0,259
B 3 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell'acciaio teso e del cls
-3,5 sydε⇒10 0,259 ysd,,ε−−
−53
53
B 4
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore teso)
-3,5 0⇒ε syd ysd,,ε−−
−53
53
1
B 4a
Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell'acciaio (acciaio inferiore compresso)
-3,5 δ+
δ⋅−⇒
1530 ,
1 1+δ
C 5 Compressione con debole eccentricità
253 −⇒− ,
21
53−⇒
δ+δ⋅− ,
1+δ ∞+
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
S’
fcdεcu
C
S
xS’
fcdεcu
C
S
xS’
fcdεcu
C
S
xx
Prof. Ing. Angelo MASI 12Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALECalcolo Nrd ed Mrd per sezioni rettangolari
C = 0.85 fcd ψ b x
xf.A
cd850=ψ
εs’
S
S’C
εc
Ax
H d
B
εs
As
A’s
d’
0,85fcd
λxεs’
S
S’C
εc
AAxx
H d
B
εs
As
A’s
d’
0,85fcd
λx
Congruenza xdcxx
ssc
−=
−=
εεε '
Equilibrio alla traslazione in direzione assiale: rdsss
x
s NAAdyyb =−+∫ σσσ '')(0
Posto: xf
dyy
cd
x
85.0
)(0∫
=σ
ψ si ha: rdsssscd NAAfxb =−+⋅⋅⋅ σσψ ''
Prof. Ing. Angelo MASI 13Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALEEquilibrio alla rotazione intorno al baricentro geometrico della sezione
rdsss
x
s McHAcHAdyyxHyb =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−∫ 22
''2
)(0
σσσ
Posto:
∫
∫ −⋅= x
x
dyy
dyyxy
x
0
0
)(
))((1
σ
σλ
si ha rdsssscd McHAcHAxHxfb =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅
22''
2σσλψ
C = 0.85 fcd ψ b x
xf.A
cd850=ψ
εs’
S
S’C
εc
Ax
H d
B
εs
As
A’s
d’
0,85fcd
λxεs’
S
S’C
εc
AAxx
H d
B
εs
As
A’s
d’
0,85fcd
λx
Prof. Ing. Angelo MASI 14Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
REGIONE 1 Trazione con debole eccentricità: -∞ ≤ (ξ = x/d) ≤ 0
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
dxcx
s ++
= 01,0'ε
rdydsss NfAA =+'' σ
Equilibrio alla traslazione:
Congruenza:
Equilibrio alla rotazione:
H d
B
fyd10%o
εs’
S
S’
rdydsss McHfAcHA =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
22'' σ
Prof. Ing. Angelo MASI 15Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
REGIONE 2 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell’acciaio teso : 0 ≤ (ξ = x/d) ≤ 0.259
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
Congruenza:xdcxx
sc
−=
−=
01,0'εε
Equilibrio alla traslazione:
rdydssscd NfAAfxb =−+⋅⋅⋅ '' σψ
Equilibrio alla rotazione:
rdydssscd McHfAcHAxHxfb =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅
22''
2σλψ
Per valutare x bisogna conoscere ψ(x) va adottato un procedimento iterativo.I valori di ψ e λ sono tabellati in funzione di x (profondità dell’asse neutro).
H d
B
x
fcd
fyd
εs’
S
S’ C
εcu
10%o
Prof. Ing. Angelo MASI 16Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
ξ ψ λ0,080 0,372 0,3470,090 0,413 0,3500,100 0,453 0,3520,110 0,491 0,3550,120 0,527 0,3580,130 0,561 0,3610,140 0,593 0,3640,150 0,623 0,3680,160 0,650 0,3720,170 0,675 0,3770,180 0,696 0,3810,190 0,716 0,3860,200 0,733 0,3910,210 0,749 0,3960,220 0,763 0,4000,230 0,777 0,4040,240 0,789 0,4090,250 0,800 0,4130,2593 0,8095 0,4160
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300
ξ = x / d
Prof. Ing. Angelo MASI 17Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
REGIONE 3 Pressoflessione e flessione con sfruttamento integrale dell’acciaio e del cls: 0.259 ≤ (ξ = x/d)
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
rdsssscd NAAfxb =−+⋅⋅⋅ σσ ''8095,0
Congruenza:
Equilibrio alla traslazione:
Equilibrio alla rotazione:H d
B
x
fyd S
S’C
fcd
εsyd
εcuxdcxxss
−=
−=
εε '0035,0
rdydsydscd McHfAcHfAxHxfb =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅
22'416,0
28095,0
Prof. Ing. Angelo MASI 18Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
REGIONE 4 Pressoflessione e flessione con sfruttamento incompleto dell’ acciaio ed integrale del cls
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
xdcxxss
−=
−=
εε '0035,0
rdssydscd NAfAfxb =−+⋅⋅⋅ σ'8095,0
Congruenza:
Equilibrio alla traslazione:
Equilibrio alla rotazione:
H d
B
x
S’fcd
C
εsyd
εcu
rdssydscd McHAcHfAxHxfb =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅
22'416,0
28095,0 σ
Prof. Ing. Angelo MASI 19Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
REGIONE 4a Pressoflessione con sfruttamento incompleto dell’acciaio (acciaio inferiore compresso)
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
dxcxxss
−=
−=
εε '0035,0
rdssydscd NAfAfxb =++⋅⋅⋅ σ'8095,0
Congruenza:
Equilibrio alla traslazione:
Equilibrio alla rotazione:
H d
B
x
S’fcd
C
εcu
rdssydscd McHAcHfAxHxfb =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅
22'416,0
28095,0 σ
Prof. Ing. Angelo MASI 20Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
REGIONE 5 Compressione con debole eccentricità
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
dxcxHxss
−=
−=
−εε '
7/30020,0
rdssydscd NAfAfHb =−+⋅⋅⋅ σψ '
Congruenza:
Equilibrio alla traslazione:
Equilibrio alla rotazione:
H d
B
S’fcd
C
2%o
x=+�S
rdssydscd McHAcHfAcHxfb =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅⋅⋅
22'
2σλψ
Prof. Ing. Angelo MASI 21Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
VERIFICA DELLA SICUREZZA
Nel caso di presenza contemporanea di momento flettente Msd e forza assiale Nsd agenti in una sezione, la sicurezza allo stato limite ultimo èverificata per la condizione:
considerando Nsd = Nrd risulta Msd ≤ Mrd
Essendo rispettivamente Nrd ed Mrd la forza assiale e il momento resistenti della sezione.
In assenza di sforzo normale deve risultare
Msd ≤ Mrd
Prof. Ing. Angelo MASI 22Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
Se al variare della posizione dell’asse neutro si calcolano la forza assiale resistente e il momento flettente resistente, si ottiene sul piano N-M una curva che rappresenta la frontiera del dominio di resistenza.Il dominio nel piano N-M così ottenuto rappresenta il luogo dei punti corrispondenti alle coppie di coordinate M (momento flettente) ed N (sforzo normale) che determinano la crisi della sezione
0100002000030000400005000060000700008000090000
100000110000
-500 0 500 1000 1500 2000
N
MIncremento γc (x 1.25)
Prof. Ing. Angelo MASI 23Corso Ordinanza 3274 / 2003Ordine degli Ingegneri di Potenza
S.L.U. FLESSIONE E FORZA ASSIALE
0100002000030000400005000060000700008000090000
100000110000
-500 0 500 1000 1500 20000
100002000030000400005000060000700008000090000
100000110000
-500 0 500 1000 1500 20000
100002000030000400005000060000700008000090000
100000110000
-500 0 500 1000 1500 20000
100002000030000400005000060000700008000090000
100000110000
-500 0 500 1000 1500 20000
100002000030000400005000060000700008000090000
100000110000
-500 0 500 1000 1500 2000
N
M
As= A’s = 2 φ 10 cm2
As= A’s = 2 φ 12 cm2
As= A’s = 2 φ 14 cm2
As= A’s = 2 φ 16 cm2
As= A’s = 2 φ 18 cm2
Si possono costruire i domini M-N per diverse quantità di armatura. Si riporta sul diagramma il punto di coordinate (NSd, MSd) dovuto alle sollecitazioni esterne. Si determina la quantità di armatura necessaria per la sezione.
La stessa procedura può essere ulteriormente estesa costruendo dei domini adimensionalizzati sia rispetto alla quantità di armatura sia rispetto alle dimensioni della sezione. Le operazioni di progetto e verifica riguarderanno quindi sia le dimensioni della sezione che le quantità di armatura necessarie