G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione La batteria della figura ha una differenza di potenziale di 10 V e i cinque condensatori hanno una capacità di 10 F. Determinare la carica sui condensatori C 1 e C 2 C 3 C 4 C 5 Osserviamo che la differenza di potenziale ai capi di C 1 è proprio la forza elettromotrice generata dalla batteria (10 V). La carica su C 1 sarà data da: Q C 1 = VC 1 =10V ×10μF = 100μC Per determinare la carica su C 2 , chiamiamo C 3 , C 4 , C 5 gli altri condensatori presenti e ci calcoliamo la capacità equivalente del secondo ramo. C 2 e C 3 sono in serie (stessa carica) =C eq C eq C 5 C 4 1 C eq = 1 C 2 + 1 C 3 = C 3 +C 2 C 2 C 3 ⇒ C eq = C 2 C 3 C 2 +C 3 = C 2 2C = C 2 = 5μF
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Applicazione
La batteria della figura ha una differenza di potenziale di 10 V e i cinque condensatori hanno una capacità di 10 F. Determinare la carica sui condensatori C1 e C2
C3
C4
C5
Osserviamo che la differenza di potenziale ai capi di C1 è proprio la forza elettromotrice generata dalla batteria (10 V).
La carica su C1 sarà data da:
QC1=VC1 =10V ×10μF =100μC
Per determinare la carica su C2, chiamiamo C3, C4, C5 gli altri condensatori presenti e ci calcoliamo la capacità equivalente del secondo ramo.
C2 e C3 sono in serie (stessa carica) =Ceq
Ceq
C5
C4
1Ceq
=1
C2
+1
C3
=C3 +C2
C2C3
⇒ Ceq =C2C3
C2 +C3
=C2
2C=
C2
=5μF
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Applicazione
La batteria della figura ha una differenza di potenziale di 10 V e i cinque condensatori hanno una capacità di 10 F. Determinare la carica sui condensatori C1 e C2
Ceq e C4 sono in parallelo (stessa differenza di potenziale ai loro capi) =C’eq
Ceq
C5
C4
C"eq=C'eqC5
C'eq+C5
=15×10
25μF =6μF
C’eq
C5
C'eq=Ceq+C4 =5μF +10μF =15μF
C’eq e C5 sono in serie (stessa carica) =C’’eq
C’’eq
La carica su C’’eqQC"eq
=VC"eq=10V ×6μF =60μC
Questa è anche la carica su C’eq e C5 perché sono in serie.
QC5=60μC
La tensione ai capi di C’eq è data da: VC'eq=
QC'eq
=60μC15μF
=4V
La carica su C4QC4
=VC'eqC4 =4V ×10μF =40μC
La carica su Ceq e quindi su C2 QCeq=QC2 =VC'eqCeq =4V ×5μF =20μC
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Applicazione
Un condensatori a piatti piani paralleli di area A viene riempito con due dielettrici come mostrato in figura.
Si dimostri che la capacità è data dall’espressione
A)
B)
C =εoAd
εr1 +εr2
2⎛ ⎝
⎞ ⎠
C =2εoAd
εr1εr2
εr1 +εr2
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
Prima di passare alla soluzione del problema guardiamo più da vicino il comportamento dei dielettrici in un campo magnetico.
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I dielettrici
• In contrapposizione ai conduttori, i dielettrici non hanno cariche capaci di muoversi su tutto il volume da essi occupati.
• Ciononostante anche i dielettrici sono costituiti da atomi e da molecole
• quindi da particelle come elettroni e protoni che trasportano carica elettrica.
• Queste particelle nei dielettrici sono obbligati a mantenere delle posizioni fisse: possono solo oscillare rispetto alla loro posizione di equilibrio
• In ogni caso i dielettrici, essendo costituiti da oggetti che trasportano cariche elettriche, subiscono l’influenza del campo elettrico
• Si distinguono in – Dielettrici polari
– Dielettrici non polari
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Dielettrici polari
• Tipica molecola polare quella dell’acqua– Nella figura precedente sono disegnate due molecole di
acqua• La sfera rosa rappresenta l’ossigeno (negativo)
• Quella avio l’idrogeno (positivo)
• Sono mostrati i legami tra l’idrogeno e l’ossigeno e quello tra l’ossigeno di un molecola e l’idrogeno dell’altra (legame molecolare)
• Il centro di “carica” della carica negativa non coincide con quello della carica positiva
• Una molecola polare posta in un campo elettrico tende ad orientarsi in accordo al campo elettrico applicato
• Gli urti tra le molecole, dovuti all’agitazione termica, disturbano l’allineamento.
• L’allineamento sarà comunque tanto maggiore quanto maggiore è il campo elettrico
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Dielettrici non polari
Nei dielettrici non polari il centro di “carica” della carica positiva coincide, in assenza di campo elettrico, con quello della carica negativa, fig. a).La presenza del campo elettrico tenderà a spostare gli elettroni dell’atomo da una parte e il nucleo dall’altra. I due centri di “carica” non saranno più coincidenti (fig. b)
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Riduzione del campo elettrico per effetto del dielettrico
• Consideriamo un condensatore piano inizialmente nel vuoto, fig a
• Introduciamo poi un dielettrico, fig b:esso si polarizza
• L’effetto della diversa localizzazione delle cariche positive e negative in ciascuna atomo o molecola
– Si compensa all’interno del dielettrico
– Crea delle distribuzioni di carica sulle superficie del dielettrico
• di segno opposto rispetta alla carica distribuita sulle armatore del condensatore nel vuoto
• Il cui effetto è quello di far diminuire il campo elettrico all’interno del dielettrico rispetto al valore del campo elettrico nel vuoto
• Si definisce costante dielettrica relativa il rapporto tra il campo elettrico nel vuoto e quello in presenza di dielettrico a parità di carica sulle armature
E =Eo
εr
C =εrεoAdPer il condensatore piano
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Applicazione
Un condensatori a piatti piani paralleli di area A viene riempito con due dielettrici come mostrato in figura.
Si dimostri che la capacità è data dall’espressione
Il caso A può essere considerato come due condensatori piani in parallelo di armatura di area A/2, spessore d, e costanti dielettriche relative r1 ed r2.
C1 =εr1εo
A2
d
C2 =εr2εo
A2
d
⇒ Ceq=C1 +C2 =εo
A2
dεr1 +εr2( )
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Applicazione
Un condensatori a piatti piani paralleli di area A viene riempito con due dielettrici come mostrato in figura.
C1 =εr1εoAd2
C2 =εr2εoAd2
⇒ Ceq =C1C2
C1 +C2
=εr1εo
Ad2εr2εo
Ad2
εr1εoAd2
+εr2εoAd2
=εoAd2
εr1εr2
εr1 +εr2
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
Nel caso B, tenendo conto che, sulla base della simmetria del dispositivo, si deduce che le superficie equipotenziali sono delle superfici parallele alle armature.
Pertanto la superficie di separazione tra i due dielettrici è equipotenziale e può essere sostituita da una sottile lastra metallica.
Ne segue che l’intero condensatore può essere considerato come due condensatori piani in serie aventi armatura di area A, spessore d/2, e costanti dielettriche relative r1 ed r2.
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Applicazione
• Dalla definizione di corrente elettrica• Dove dq è la carica che attraversa una sezione del conduttore
nell’intervallo di tempo dt• si ottiene cheLa carica Q che attraversa una particolare
seziona del conduttore• Per i costante
Una corrente di 5 A scorre in una resistenza di 10 per 4.0 min.
Quanti a) coulomb e quanti b) elettroni passano attraverso una qualsiasi sezione trasversale della resistenza in questo intervallo di tempo?
i =dqdt
Q = dq0
t
∫ = idt0
t
∫Q = idt
0
t
∫ =i dt0
t
∫ =i t[ ]0t =it
t =4min=4×60s=240s
Q =it =5A ×240s=1200C
• Ogni elettroni ha una carica di 1.60x10-19C• Il numero n di elettroni transitati in 4 min attraverso
una sezione del conduttore sarà
n =Qe
=1200
1.60×10−19 =7.5×1021elettroni
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Applicazione
• Per la legge di Ohm
• La potenza dissipata per effetto joule è
• L’energia dissipata in 4 min è
• Un kWh è l’energia sviluppata da una potenza di 1kW in un’ora (3600 s) 1kWh=3600kJ
• Esprimendo l’energia dissipata sulla resistenza in 4 min in kWh si ottiene
Una corrente di 5 A scorre in una resistenza di 10 per 4.0 min.
Qual è la caduta di potenziale ai capi della resistenza?
Qual è l’energia dissipata, in kWh, nella resistenza per effetto joule in 4 min?
V =Ri =10Ω ×5A =50V
P =Ri2 =10Ω ×25A2 =250W
ΔE =Pt =250W ×240s=60kJ
ΔE =60kJ =60kWh3600
=0.0167kWh
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Applicazione
• Calcoliamo la resistenza attraverso la legge di Ohm
• La resistenza è legata alla geometria del conduttore e alla sua conducibilità dalla relazione
– In cui è la resistività del materiale– e la sua conducibilità (
• La conducibilità sarà data da:
Un filo di nichlecromo (una lega di nichel-cromo-ferro comunemente usata per le resistenze da riscaldamento) è lungo 1.0 m ed ha una sezione di area pari ad 1.0 mm2.
Esso è percorso da una corrente di 4.0 A quando viene applicata una differenza di potenziale di 2.0 V ai suoi capi. Si calcoli la conducibilità del materiale.
R =ddp
i=
Vi
=2.0V4.0A
=0.50Ω
R =ρ
lS
=1σ
lS
σ =
1R
lS
=1.0m
0.50Ω×1.0×10−6m2 =2×106Ω−1m−1
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Resistività di alcuni materialia) lega appositamente progettata per avere bassi
valori di b) silicio drogato con atomi di fosforo fino ad ottenere una densità di portatori di 1023 m-3
c) silicio drogato con atomi di aluminio fino ad ottenere una densità di portatori di 1023 m-3
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Applicazione
• La resistività di un materiale varia in accordo alla legge
• Dove è il coefficiente termico della resistività per il tungsteno =4.5x10-3 K-1
• Se la geometria del filamento resta costa costante con la temperatura, allora anche la resistenza del filamento varia con la stessa legge
• Dove R è la resistenza alla temperatura T ed Ro è la resistenza alla temperatura ambiente To.
• la resistenza alla temperatura ambiente Ro è 1.1 • La resistenzaalla temperatura T sarà:
• La temperatura di esercizio del filamento sarà:
Una comune lampadina per lampeggiatore viene alimentata, in condizioni operative da una tensione di 2.9 V e una corrente 0.30 A. Se la resistenza del filamento alla temperatura ambiente (20°C) è pari a 1.1 , qual è la temperatura del filamento quando la lampadina viene accesa? Il filamento è fatto di tungsteno.
