G.M. - Edile A 2002/03 Moto rettilineo del punto materiale • Punto materiale – Punto geometrico dotato di massa • Traiettoria – Il luogo dei punti via via occupati dal punto materiale • Moto rettilineo – Moto con traiettoria rettilinea • Moto di caduta di un grave, moto alternativo dei pistoni nei cilindri, moto di una automobile lungo una strada diritta, etc.
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G.M. - Edile A 2002/03 Moto rettilineo del punto materiale
Punto materiale Punto geometrico dotato di massa Traiettoria Il
luogo dei punti via via occupati dal punto materiale Moto
rettilineo Moto con traiettoria rettilinea Moto di caduta di un
grave, moto alternativo dei pistoni nei cilindri, moto di una
automobile lungo una strada diritta, etc.
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G.M. - Edile A 2002/03 O Descrizione del moto rettilineo Studio
del moto di caduta di un grave lungo la verticale Sulla traiettoria
definiamo lasse di riferimento (origine e verso) Usiamo un orologio
per trovare la corrispondenza tra listante di tempo e la posizione
in cui si trova il punto materiale (t=0s inizio
dellosservazione)
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G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario Asse delle ascisse =
variabile indipendente (il tempo). necessaria una scala, per es.
1cm=0,1s Asse delle ordinate = variabile dipendente (la posizione).
Anche qui utile una scala, per es 1 cm=0,2 m I punti rappresentano
le misure, la curva linterpolazione. La curva interpolante deve
essere continua: il punto materiale passa per tutte le posizioni
intermedie. La legge di corrispondenza una funzione seria, ad ogni
istante di tempo corrisponde una sola posizione (il corpo non si pu
trovare in due luoghi diversi allo stesso istante di tempo). Per lo
stesso motivo la funzione continua
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G.M. - Edile A 2002/03 Legge oraria Il grafico orario pu anche
essere rappresentato mediante una espressione matematica (legge
oraria) Uso del grafico orario o della legge oraria: voglio
conoscere la posizione del punto allistante 0,2 s. Con il grafico
orario Con la legge oraria
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G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario di un punto materiale
fermo Il grafico orario una retta parallela allasse delle ascisse
(dei tempi) (pendenza = 0) Legge oraria corrispondente: x = x o
(x=0,31 m)
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G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario di un moto a velocit
costante La retta: x=mt+n n= intercetta asse ordinate m=
coefficiente angolare Il grafico orario una retta Legge oraria
corrispondente:
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G.M. - Edile A 2002/03 Moto di unautomobile su un tratto
rettilineo Esiste una relazione tra la pendenza del grafico orario
e la velocit dellautomobile.
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G.M. - Edile A 2002/03 Spostamento e percorso effettuato
Grafico orario di un corpo lanciato verso lalto. Legge oraria
corrispondente x = x o + v o t + 1/2a o t 2 x o = 7.2 m v o = 11.4
m a o = -5.0 m Consideriamo gli istanti Spostamento= x =x finale -x
iniziale x massimo Percorso effettuato: la lunghezza del tratto
effettivamente percorso Nel caso della figura d=(x massimo -x 1
)+(x massimo -x 2 ) x iniziale Iniziale: t iniziale x finale
finale: t finale
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G.M. - Edile A 2002/03 Il segno dello spostamento x massimo x
finale Spostamento x =x finale -x iniziale con t > 0 Nel caso di
un moto rettilineo non necessario far ricorso alla rappresentazione
vettoriale Il verso del moto viene rappresentato dal segno di x Se
x >0 allora vuol dire che x finale >x iniziale : il moto
avvenuto nella direzione positiva dellasse delle x Se x
G.M. - Edile A 2002/03 Velocit media Velocit scalare Sempre
positiva Velocit vettoriale Positiva -->x crescenti
Negativa-->x decrescenti
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G.M. - Edile A 2002/03 Alla guida di unautomobile, dopo aver
percorso una strada rettilinea per 8,4 km a 70 km/h, siete rimasti
senza benzina. Avete quindi proseguito a piedi, sempre nella stessa
direzione, per 2.0 km fino al prossimo distributore, dove siete
arrivati dopo 30 minuti di cammino. Qual Qual lo spostamento
complessivo Il tempo complessivo impiegato La velocit media
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G.M. - Edile A 2002/03 Velocit media Abbiamo definito la
velocit vettoriale media
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G.M. - Edile A 2002/03 Descrizione del moto attraverso la
velocit media Supponiamo di far muovere tra t 1 e t 2 il punto
materiale con la velocit media appena calcolata Valutiamo la sua
posizione allistante t=2s. Conclusione: La descrizione del moto
mediante la velocit media insoddisfacente Le predizioni sono
corrette solo agli estremi t 1 e t 2. Posizione al tempo t=2s
predetta con la velocit media Posizione vera al tempo t=2s
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G.M. - Edile A 2002/03 Determinazione della velocit media in
intervalli di tempo sempre pi piccoli Riduciamo gli intervalli di
tempo in cui calcolare la velocit media si ottiene una descrizione
del moto decisamente migliore Riducendo sempre pi gli intervalli di
tempo in cui si calcola la velocit media si otterr una descrizione
sempre migliore! Sarebbe opportuno ridurre a zero lampiezza degli
intervalli di tempo in cui si calcola la velocit media, cos la
descrizione del moto sar perfetta! Ridurre a zero lampiezza degli
intervalli di tempo equivale a calcolare la velocit del corpo ad
ogni istante: la velocit istantanea
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G.M. - Edile A 2002/03 La velocit istantanea Procediamo nel
seguente modo: Consideriamo listante t 1 in cui vogliamo calcolare
la velocit La velocit media corrisponder al coefficiente angolare
della retta passante per i punti 1 e 2 del grafico Riduciamo ora
lintervallo di tempo t facendolo tendere a zero. Osserviamo che
quando t tende a zero, il coefficiente angolare della retta che
rappresenta la velocit media in t, tende a diventare quello della
retta tangente al grafico allistante t 1. Consideriamo un
intervallo di tempo t maggiore di zero. Calcoliamo la velocit media
in t Si definisce velocit istantanea allistante t 1 il seguente
limite: t 1 + t x(t 1 + t) t x 2 x(t 1 ) t1t1 1
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G.M. - Edile A 2002/03 La velocit istantanea 2 Riassumendo: Nel
grafico essa rappresentata dal coefficiente angolare della retta
tangente al grafico allistante t 1. Il limite di: corrisponde anche
al valore della derivata rispetto al tempo della funzione x(t)
allistante t 1. Abbiamo definito la velocit istantanea come
allistante di tempo t 1 : x(t 1 ) t1t1 1 rapporto incrementale
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G.M. - Edile A 2002/03 Velocit istantanea ad ogni istante di
tempo Ripetendo loperazione di limite per altri istanti di tempo,
per esempio t 2 o t 3, possiamo conoscere la velocit istantanea (e
quindi la derivata rispetto al tempo della funzione x(t)) a questi
istanti di tempo. x(t 1 ) t1t1 x(t 2 ) t2t2 x(t 3 ) t3t3 Se
ripetiamo loperazione per tutti gli istanti di tempo dellintervallo
di osservazione del moto possiamo ricavare la velocit istantanea in
funzione del tempo v x (t) Questa funzione altro non che la
derivata rispetto al tempo della funzione x(t) Positiva --> x(t)
crescente Negativa --> x(t) decrescente
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G.M. - Edile A 2002/03 Velocit scalare istantanea e velocit
vettoriale istantanea Anche per la velocit scalare di pu definire
la velocit istantanea: x massimo x iniziale x finale Ma quando t
tende a zero, avremo Si ottiene quindi la seguente relazione La
velocit scalare istantanea uguale al valore assoluto, al modulo,
della velocit vettoriale istantanea
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G.M. - Edile A 2002/03 Grafico della velocit istantanea Nel
moto che stavamo studiando: La pendenza del grafico orario non
costante Questo implica che la velocit non costante Possiamo
costruirci il grafico della velocit: la velocit decresce con il
tempo. La velocit maggiore di zero fino a quando il corpo non
raggiunge la sua posizione massima: si muove nella direzione
positiva dellasse x Poi diventa negativa: si inverte il moto, il
corpo si muove nella direzione negativa dellasse x. Quando x
massimo la velocit nulla
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G.M. - Edile A 2002/03 Accelerazione media e istantanea Se la
velocit di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con che
rapidit varia. Si definisce laccelerazione media nellintervallo di
tempo tra t 1 e t 2 il seguente rapporto: Come abbiamo fatto per la
velocit anche per laccelerazione possiamo passare allaccelerazione
istantanea: Laccelerazione istantanea allistante t 1 data da:
Tenendo conto della definizione di derivata:
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G.M. - Edile A 2002/03 Grafico dellaccelerazione istantanea
Ripetendo loperazione di limite per tutti gli istanti di tempo,
possiamo determinare la funzione accelerazione. Questo equivale a
determinare la derivata della funzione velocit. Dato che noi
conosciamo la velocit in funzione del tempo Laccelerazione costante
(negativa), come daltra parte ci aspettavamo dal grafico della
velocit. possiamo utilizzare questa relazione per determinare
laccelerazione in funzione del tempo.
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G.M. - Edile A 2002/03 Il segno dellaccelerazione Riguardando
la definizione dellaccelerazione media ( ma le stesse
considerazioni valgono per laccelerazione istantanea ), si vede
che: a xm maggiore di zero, diretta nella direzione positiva
dellasse x: v finale maggiore di quella iniziale (naturalmente
bisogna tenere conto del segno della velocit) Se la velocit
positiva il valore della velocit aumenta Se la velocit negativa il
valore della velocit con il segno aumenta, il suo valore assoluto
per diminuisce a xm minore di zero, diretta nella direzione
negativa dellasse x: v finale minore di quella iniziale
(naturalmente bisogna tenere conto del segno della velocit) Se la
velocit positiva il valore della velocit diminuisce Se la velocit
negativa il valore della velocit con il segno diminuisce, e quindi
il suo valore assoluto aumenta. Possiamo concludere: Se
laccelerazione ha lo stesso verso (segno) della velocit, il modulo
della velocit aumenta. se ha verso opposto il modulo della velocit
diminuisce.
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G.M. - Edile A 2002/03 Conclusioni Conoscendo la legge oraria:
x(t) la posizione in funzione del tempo Possiamo calcolarci la
velocit: v x (t) la velocit in funzione del tempo E quindi
laccelerazione: a x (t) laccelerazione in funzione del tempo
Combinando le due espressioni: Laccelerazione la derivata seconda
della funzione x(t) rispetto al tempo
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G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione Le seguenti equazioni
danno la posizione x(t) di una particella in quattro situazioni
diverse (in tutte comunque x in m e t in s e t>0) (1)x=3t(2)
x=-4t 2 -2(3) x=2/t 2 (4) x=-2 a)In quale situazione la velocit
vettoriale costante? b)in quale altra v diretta nel verso negativo
dellasse x? a) la velocit vettoriale costante nella situazione (1)
e (4) b)la velocit vettoriale diretta nella direzione negativa
dellasse x nei casi (2) e (3). Infatti:
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G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione Avete viaggiato sulla
Statale 100 da Bari a Taranto per met tempo a 55 km/h e per il
tempo restante a 90 km/h. Al ritorno percorrete met della distanza
a 55 km/h ed il resto della distanza a 90 km/h. Qual la velocit
scalare media allandata e al ritorno? Qual la velocit vettoriale
media complessiva? Tracciate il grafico orario ed indicate le
velocit medie Indichiamo con t il tempo impiegato per andare da
Bari a Taranto. Le distanze percorse nelle due parti sono: La
distanza totale percorsa sar la somma delle due distanze ed il
tempo impiegato t.
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G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. Al ritorno diciamo d
la distanza totale tra Taranto e Bari. I tempi necessari per
percorrere le due met sono: Il tempo totale impiegato t per tornare
da Taranto a Bari sar la somma dei due tempi. La velocit vettoriale
media complessiva nulla.
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G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. Tracciate il grafico
orario ed indicate le velocit medie t x t t
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G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione La posizione di un oggetto
che si muove in linea retta data dallespressione x=3t-4t 2 +t 3,
ove x in metri e t in secondi. a)qual la posizione per t=1,2,3 e 4
s? b)qual lo spostamento delloggetto nellintervallo di tempo tra
t=0 e t=4s? c)qual la velocit vettoriale media nellintervallo tra
t=2s e t=4s? d)qual la velocit istantanea allistante di tempo t=3s?
e)costruire il grafico della funzione e costruire sul grafico alle
domande c) e d). a) per risponere alla domanda a) basta sostiuire
alla variabile t nellespressione della legge oraria gli istanti di
tempo richiesti:
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G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. b)qual lo
spostamento delloggetto nellintervallo di tempo tra t=0 e t=4s? d)
qual la velocit istantanea allistante di tempo t=3s? c) qual la
velocit vettoriale media nellintervallo tra t=2s e t=4s?
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G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. e)costruire il
grafico della funzione e costruire sul grafico alle domande c) e
d).
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G.M. - Edile A 2002/03 Il problema del moto Conoscendo la legge
oraria, ossia conoscendo la posizione del punto materiale ad ogni
istante di tempo: Con una prima derivazione possiamo determinare la
funzione velocit Con una seconda derivazione possiamo determinare
la funzione accelerazione Il problema che ora ci poniamo il
seguente: Se conosciamo laccelerazione ad ogni istante di tempo
nellintervallo di osservazione del moto, conosciamo cio la funzione
a(t), siamo in grado di determinare la legge oraria? determinare
come varia la posizione in funzione del tempo, la funzione x(t)? Si
tratta di risolvere la seguente equazione:
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G.M. - Edile A 2002/03 Lequazione differenziale Lequazione
precedente unequazione differenziale Contiene le derivate del
secondo ordine (contiene la derivata seconda) Cosa vuol dire
risolvere una equazione differenziale come quella precedente?
Occorre ricercare tra tutte le possibili funzioni del tempo, quelle
la cui derivata seconda rispetto al tempo coincide con la funzione
nota dellaccelerazione a(t).
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G.M. - Edile A 2002/03 Soluzioni dellequazione differenziale
Supponiamo di aver trovato una soluzione dellequazione
differenziale, di aver trovato cio una funzione x 1 (t) la cui
derivata seconda proprio uguale alla funzione nota a(t). La
funzione x(t)=k 1 +k 2 t+x 1 (t), con k 1 e k 2 due costanti reali
qualsiasi, anchessa soluzione della stessa equazione
differenziale.
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G.M. - Edile A 2002/03 Soluzione formale dellequazione
differenziale Cominciamo con il risolvere unequazione pi semplice:
Supporremo si conoscere la funzione velocit v x (t) e di voler
determinare la legge oraria x(t) Lequazione differenziale in questo
caso del primo ordine. Fissato un generico istante di tempo t* si
calcola lo spostamento subito dal punto materiale tra t=0 e t* Si
ripete il calcolo per tutti gli istanti di tempo si ottiene cos la
legge oraria
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G.M. - Edile A 2002/03 Soluzione formale dellequazione
differenziale Se conoscessimo la velocit media tra t=0 e t*, lo
spostamento varrebbe: Purtroppo conosciamo la velocit in tutti gli
istanti di tempo ma non quella media Possiamo fare delle ipotesi:
La velocit media uguale a quella a t=0 a quella a t*/2
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G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione
differenziale Lo spostamento complessivo invece Noi per non
conosciamo la velocit media v xm,i in ciascuno degli n intervalli
di tempo, sappiamo solo che essa compresa tra il valore minimo e
quello massimo assunti dalla funzione v x (t) nell'intervallo tra t
i-1 e t i Per fare una stima dello spostamento supporremo che la
velocit media nelli-esimo intervallo coincida con la velocit
allinizio dellintervallo stesso: La stima dello spostamento nel
grafico corrisponde allarea totale dei rettangoli di base t e
altezza v x (t i-1 ).
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G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione
differenziale Lapprossimazione v xm,i =v x (t i-1 ) tanto migliore
quanto pi piccola lampiezza degli intervalli t. Infatti al
diminuire di t diminuisce la differenza tra il valore massimo e
quello minimo della velocit in t. Otterremo una stima sempre pi
precisa dello spostamento man mano che t tende a zero, o,
equivalentemente, man mano che n, il numero delle suddivisioni,
tende allinfinito.
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G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione
differenziale Diremo quindi che lo spostamento tra t=0 e t* del
punto materiale uguale a: Questo limite si chiama integrale della
funzione v x (t) tra t=0 e t, e si indica: Si tratta di un
integrale definito, in quanto sono specificati gli estremi di
integrazione (t=0 e t*)
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G.M. - Edile A 2002/03 Risoluzione formale dellequazione
differenziale Lintegrale definito corrisponde allarea sotto la
curva tra t=0 e t*. Attenzione larea deve essere presa con il segno
Positiva nei tratti in cui la funzione positiva Negativa nei tratti
in cui la funzione negativa Calcolando lintegrale per ogni istante
t* si ottiene la legge oraria
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G.M. - Edile A 2002/03 La velocit media Siamo ora in grado di
valutare la velocit media nellintervallo tra t=0s e t*. Applicando
la definizione: Larea del rettangolo di base t e altezza v m ha un
area uguale a quella delimitata dal grafico della curva, lasse
delle ascisse e gli estremi dellintervallo t=0s e t* Da cui si
ottiene:
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G.M. - Edile A 2002/03 Come si risolve lintegrale definito
Lintegrale loperazione inversa della derivata Per calcolare
l'integrale definito della funzione f(t), occorre ricercare una
qualsiasi funzione della variabile di integrazione, F(t) tale che
la sua derivata, fatta rispetto alla variabile di integrazione, sia
proprio uguale alla funzione integranda: La funzione F(t) si chiama
primitiva della funzione f(t) Il valore dellintegrale si ottiene
calcolando la differenza tra i valori assunti dalla funzione
nellestremo superiore e nellestremo inferiore. In simboli:
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G.M. - Edile A 2002/03 Esempio Dalla definizione di velocit
sappiamo che: v(t) la velocit allistante t dt un intervallo di
tempo infinitesimo che comincia allistante t dx lo spostamento
infinitesimo subito dal punto nellintervallo infinitesimo dt questa
uguaglianza vale in tutti gli infiniti intervalli infinitesimi in
cui ho suddiviso lintervallo di osservazione del moto Luguaglianza
continuer a valere se sommo, membro a membro, su tutti gli infiniti
intervalli di tempo: 5=3+2 7=5+2 Totale 12=12 Valutiamo variabile
di integrazione x funzione integranda f(x)=1 primitiva F(x)=x
usualmente t i =0s x(0s)=x o
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G.M. - Edile A 2002/03 Propriet degli integrali Lintegrale
altro non che una somma, con lunica particolarit che fatta su
infiniti termini. Siccome in una somma il risultato non cambia
cambiando lordine con cui vengono sommati i vari termini, allora ne
deduciamo che lintegrale di una somma di funzioni uguale alla somma
degli integrali Inoltre, cos come in una somma, se tutti i termini
hanno un fattore comune, questo pu essere messo in evidenza, cos
nellintegrale, eventuali costanti che moltiplicano i vari elementi
infinitesimi da sommare, possono essere portate fuori del segni di
integrale.
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G.M. - Edile A 2002/03 Moto uniforme Valutiamo ora il secondo
membro: necessario specificare la funzione v x (t). Supponiamo che
v x (t) sia costante, moto uniforme, e pari a v xo variabile di
integrazione t funzione integranda f(t)=v xo primitiva F(t)= v xo t
Si ricava Questa relazione valida comunque noi scegliamo listante t
f in cui vogliamo smettere losservazione del moto. Si pu sopprimere
lindice f Si ottiene cos la legge oraria del moto uniforme:
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G.M. - Edile A 2002/03 Considerazioni La legge oraria trovata
soluzione dellequazione differenziale: come ce laspettavamo, la
posizione varia linearmente con il tempo : 0,00 0,20 0,40 0,60 0,80
1,00 1,20 0,005,0010,0015,00 t (s) x (m) xoxo tan =v xo Osserviamo
che per qualunque valore di x o, la funzione precedente soluzione
dellequazione differenziale. Ci sono infinito alla uno soluzioni
delleq. diff. Infatti lequazione differenziale del primo ordine.
Lequazione differenziale non determina la costante x o, essa viene
determinata dalle condizioni iniziali (nel nostro caso x o proprio
la posizione iniziale, a t=0s). Lanalisi ci dice che esiste una ed
una sola soluzione dellequazione differenziale che soddisfa anche
le condizioni iniziali Il numero delle condizioni iniziali pari al
grado delleq. diff.
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G.M. - Edile A 2002/03 Legge oraria del moto uniformemente
accelerato Abbiamo trovato come varia nel tempo la velocit nel caso
in cui laccelerazione costante: Per arrivare alla legge oraria
dobbiamo risolvere la seguente eq. diff. Sappiamo che la soluzione
di tale eq. diff. data da:
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G.M. - Edile A 2002/03 La legge oraria del moto uniformemente
accelerato Come gi osservato in precedenza, la legge oraria
precedente, per qualunque valore delle costanti x o e v xo
soluzione delleq. diff. Lequazione differenziale non determina tali
costanti: Esse vanno determinate utilizzando le condizioni
iniziali: La posizione x o allistante iniziale t=0 La velocit v ox
allistante iniziale t=0 Lanalisi ci dice che esiste una ed una sola
soluzione delleq. diff. che soddisfa anche al problema delle
condizioni inziali. Le due equazioni in testa alla pagina vanno
interpretate come lintegrale generale dellequazione differenziale
del moto uniformemente accelerato e vanno poi adattate al problema
specifico inserendo le corrette condizioni iniziali. la soluzione
della eq. diff.
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G.M. - Edile A 2002/03 Grafico orario del moto uniformemente
accelerato Il grafico orario del moto uniformemente accelerato un
arco di parabola. x o la posizione allistante t=0s (lintercetta con
lasse delle ordinate). v xo la velocit iniziale, ossia la pendenza
del grafico allistante iniziale. Landamento della velocit in
funzione del tempo lineare. xoxo
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G.M. - Edile A 2002/03 Moto uniforme ed uniformemente
accelerato Il moto uniformemente accelerato, contiene, come caso
particolare il moto uniforme, quando cio laccelerazione a xo uguale
a zero.
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G.M. - Edile A 2002/03 Moto di caduta dei gravi Galilei ha
determinato che in vicinanza della superficie terrestre, in assenza
di aria Tutti i corpi cadono verso il basso con accelerazione g g
non dipende dalla natura dei corpi (ferro, alluminio, legno, etc)
g, allinterno di un volume limitato (il laboratorio), non dipende
dalla posizione del corpo. g, quindi anche indipendente dal tempo
(costante). Se il volume non limitato g dipende dalla quota g
dipende dalla latitudine, pi grande ai poli, ed pi piccola
allequatore Alle nostre latitudini g vale circa g=9.81 m/s 2