GUIDO VAONA

LE TRASFORMAZIONI FRA DUE SPAZI CHE POSSEGGONO

IPERPIANI DI RETTE CARATTERISTICHE

INTRODUZIONE.

1. - Una trasformazione T fra due spazi proiettivi ad r (_> 2) dimensioni in ogni coppia regolare di punti corrispondenti pos-siede, in generale, 2r — 1 rette caratteristiche o inflessionali (1).

Esistono però trasformazioni che in ogni coppia regolare di punti corrispondenti posseggono infinite rette caratteristiche costi-tuenti coni di dimensione h-\-l (l^h^r — 2).

Esempi di trasformazioni che hanno co7* rette caratteristiche in ogni punto si trovano, per tut t i i valori di h da 1 ad r—2, fra le trasformazioni razionali quadratiche costruite ponendo una proiettività fra un sistema lineare cor di quadriche di Sr e gli iperpiani di Sr'. Per queste trasformazioni sono infatti caratte-ristiche le rette di Sr che congiungono un punto generico con i punti delle varietà base del sistema di quadriche.

Nasce così spontaneamente il problema di ricercare le trasfor-mazioni fra Sr die posseggono co

/4 (l

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b) da ogni punto generico escono oo7"-2 rette caratteristiche costituenti un iperpiano ed, in generale, altre r rette caratteristiche isolate (3).

Le tra sformazioni del tipo a) sono state diffusamente studiate da E. CECH (4).

Nel presente lavoro si determinano tutte le trasformazioni del tipo b) per r>_4. Il caso r=3 si presenta essenzialmente diverso ed abbisogna di una trattazione separata, poiché esistono tipi di trasformazioni che non hanno l'analogo per r > 3 . Per r = 2 ogni trasformazione è del tipo b).

Nella trattazione che segue useremo il metodo del riferimento mobile di E. CARTAN. Ci preoccuperemo tuttavia di dare sempre contenuto geometrico alla trattazione ed ai risultati ottenuti facendo il più possibile appello ad enti di natura puramente geo-metrica. Si palesano a tale scopo estremamente importanti alcune delle numerose nozioni geometriche introdotte dal VILLA sull'ar-gomento.

Nel § 1, premesse alcune generalità, vengono stabilite diverse proprietà locali. Si osserva fra l'altro che le rette caratteristiche residue a quelle dell'iperpiano sono le rette unite di certe omo-grafìe. Questa osservazione permette una semplice classificazione delle trasformazioni in base alla natura di tali omografìe. I casi proiettivamente distinti che si presentano sono numerosissimi, ma si riesce tuttavia a riunire la trattazione di molti di essi usufruendo dei risultati noti sulla classificazione delle omografie fra spazi sovrapposti.

Vengono distinti due casi:

I) Trasformazioni che posseggono due Sr_x di rette caratteristi-che per ogni ptinto',

II) Trasformazioni che posseggono un iperpiano e degli Sh1 con h

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cui il cono V^j2 di rette caratteristiche si spezza in due iper-piani distinti o coincidenti.

Si perviene alla determinazione di tre distinte classi di tra-sformazioni che vengono studiate nel § 2. Per ognuna di esse si assegna una costruzione geometrica ed una rappresentazione ana-litica in forma esplicita.

Vengono quindi prese in esame le trasformazioni del tipo II) . Facendo uso di una opportuna rappresentazione canonica delle omografìe fra spazi sovrapposti, si dimostra (§ 3) che le calotte iperpiane del 1° ordine luogo di direzioni caratteristiche sono organizzabili in oo1 ipersuperficie. Si dimostra inoltre che queste ipersuperficie sono o degli iperpiani o delle sviluppabili luogo di oo1 $,,_2 con /Sr_1 tangente fisso lungo ogni spazio generatore.

Nel 1° caso la trasformazione T subordina fra due iperpiani corrispondenti un'omografìa. Si dimostra quindi che ogni trasfor-mazione di quel tipo si può costruire al seguente modo: si fissi una famiglia co1 di omografie K(t) fra Sr, Sr' (dipendenti dal para-metro t), si fissi inoltre una famiglia oo1 di iperpiani H (t) di Sr in corrispondenza colle omografie. Ad un generico punto A di Sr appartenente alViperpiano H (t) si associ il punto di Sr' corrispon-dente ad A nella omografia K (t).

Si studiano poi (§ 4) le trasformazioni per le quali gli iper-piani luogo di rette caratteristiche inviluppano co1 ipersuperfìcie sviluppabili, distinguendole in due tipi secondochè tali ipersu-perfìcie sono:

1°) luogo degli co1 S (r —2)-osculatori ad una curva di $ r ; 2°) Sk-coni luogo di co

1 Sr_2 passanti per un Sk ed aventi Sr_1 tangente fisso lungo ogni spazio generatore.

Per ]e trasformazioni del 1°) tipo si dimostrano varie pro-prietà pervenendo infine alla seguente costruzione: in uno spazio S2r+1 (contenente Srì $/) si fissi una superficie integrale di una equazione di LAPLACE di tipo parabolico e possedente quindi un semplice sistema co1 di curve asintotiche. Si consideri la Vr luogo degli co2 S (r — 2)-osculatori alle asintotiche della super-ficie. Si associno punti A, B di Sr, Sr' che sono le proiezioni di uno stesso punto della Vr da due spazi fissi ad r dimensioni sghembi con Sri S/ rispettivamente.

Per le trasformazioni del 2°) tipo si provano pure alcune proprietà e si assegna la seguente costruzione: in uno spazio S2r+i

13

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(contenente Sr, Sr') si fissino un Sk ed una superficie integrale di un'equazione di LAPLACE di tipo parabolico e possedente quindi un semplice sistema co* di curve asintotiche. Si consideri la Vr luogo degli co2 8r_2 congiungenti VSk con gli S (r — le — ^-oscu-latori alle asintotiche della superficie. Si associno punti A,B di Srì 8r' che sono le proiezioni di uno stesso punto della Vr da due spazi fissi ad r dimensioni sghembi con Sk e con Srì Sr' rispetti-vamente.

§ 1. - PRELIMINARI E PROPRIETÀ' LOCALI.

2. - Sia Sr una spazio proiettivo ad r dimensioni nel quale si è fissato un sistema di coordinate proiettive omogenee. Indi-chiamo con le lettere A, B, ... indifferentemente punti di Sr e l'insieme delle loro coordinate proiettive omogenee, di guisa che, ad es., il simbolo A = A (u) significherà che le coordinate di A sono funzioni di una variabile u.

Una trasformazione puntuale T fra i punti A di una certa regione di Sr e i punti B di una regione di un altro spazio S/ si può rappresentare con equazioni del tipo

[1] A = A (Mj, U2. ...,Ur)

[l'I B = B{ulìu2,...ìur)1

convenendo di assumere come corrispondenti coppie di punti [A, B) le cui coordinate si ottengono dalle fi], [!'] per gli stessi valori dei parametri ut (i = 1, 2,..., r). Nel seguito supporremo sempre che le funzioni A e B siano definite in un campo E dello spazio (uXì u2,..., w>), essendo ivi generalmente continue e parzialmente derivabili fin che occorre, con i determinanti

. SA dA . 8A A

dul 3u2 '" dur B — — —

duì du2 '" dur

generalmente ^ 0 in E (5). A ciascuna coppia (A,B) di punti corrispondenti in T asso-

ciamo due riferimenti proiettivi mobili aventi come punti fon-

(n) Ciò assicura che la trasformazione T non è degenere.

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damentali rispettivamente A, Alt A29..., Ar e B, B17 B2i..., Br. Con-veniamo inoltre di assumere come punti fondamentali BlyB2ì...i Br i corrispondenti di AXì A2ì ...,Ar in una delle °o

r omografie tangenti a T nella coppia {A,B) (6).

I riferimenti fìssati dipendono così da (r+1) (r + 2) parametri: gli r parametri (principali) u19 u2, ..., ur che fissano la posizione di A e B; gli r ( r - J - l ) -\-r-\-2 parametri (secondari) che si pos-sono identificare con le r ( r + l) coordinate di A1,A2,...,Ar, con gli r parametri da cui dipende l'omografia tangente considerata e con i due fattori di proporzionalità a meno dei quali sono definite le coordinate di A e B.

1 differenziali delle funzioni A,Al,...,Ar,B,B1,...,Br si pos-sono scrivere nella forma

dA = OJ00A + COQIAJ + . . . + COQrAr [2]

dAt = (JOÌOA -}- coiiAl + ... + coir Ar ,

dB = co00B 4- o)01Bl + ... -f- a)orBr L ^ J — -— —

dBi = wi0# + w a S , 4- ... + «Hr Br , (i = 1, 2,. . . . r ) .

dove le co^ e le w>jk sono delle forme differenziali lineari (forme di PFAFF) nei differenziali degli (r-\-1) (r + 2) parametri da cui dipendono i riferimenti.

Imponendo che i covarianti bilineari dei secondi membri delle [2], [2'] siano identicamente nulli, si ottengono le equazioni di struttura

[3] (Ojk = [WjOMOkì + [jl WiJfcJ + •••+ fajrWrkì >

[ 3 ' ] ù)jk! = [COJQ CO0A-] Jr [(Oji Wifc] -f .-. + [jra>rk\ > (h * = 0, 1, 2 , . . . , f ) .

Le 2(r + l ) 2 forme di PFAFF coik, cojk dipendono soltanto da (ri-I) (r + 2) parametri e quindi devono sussistere (r+l)r rela-zioni fra esse. Queste si ottengono tenendo conto che i due rife-rimenti si corrispondono in una omografìa tangente K a T in (A, B). Si hanno così le (7)

[4] cuoi = U>OÌ •

(°) Per la nozione di omografia tangente si veda ad es. : M. VILLA, op. eit. in C) Nota I.

(7) Si veda: E. CECH. op. eit. in (''), voi. 74, pp. 36-37.

file://-/-r-/-2

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Indichiamo con cô le cooi = cooi e poniamo inoltre

[4'] tjk = (Ojk— Wjk •

Le [4] si scrivono

[5] T0< = 0 (i = l ,2 , . . . , r).

Differenziando esternamente le [5], per un noto lemma di OARTAN, si ha che esistono r forme quadratiche

Qi = Em>nclmn comcon (m,n=l,2...,r),

con émn =•-- < m , tali che

(."J tii T00 — ^ ^ ; — ^nGin(0n

[7] *m* = - ^ = i7n clmn con (per m ^ i) .

Le [5], [6] e [7] sono appunto le r (r + 1 ) relazioni lineari che sussistono fra le jk e rjk in conseguenza delle particolarità adottate per i due riferimenti mobili.

Indichiamo al solito con ò un simbolo di differenziazione ri-spetto al quale i parametri principali u^ sono considerati costanti e indichiamo con d un simbolo di differenziazione generica. Deno-tiamo inoltre con ejk ciò che divengono le forme coik quando si adopera il simbolo di differenziazione

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dB)]. Le direzioni caratteristiche di T nella coppia (A, B) sono rappresentate dalle equazioni ottenute annullando i minori del 2° ordine estratti dalla matrice

[9] CO,

a (8)

Le Qi dipendono dalla omografia tangente K nella quale si corrispondono i due riferimenti mobili; se si considera una nuova

omografìa tangente K, i coefficienti ~émn ad essa relativi sono dati dalle

dove ó*j e (¾ sono simboli di KRONECKER e ju17 /u2, ..., /ur sono r

parametri da cui dipende l'omografìa K. Le equazioni [9] sono però indipendenti dall'omografìa tan-

gente considerata. Il CECH chiama trasformazione K-linearizzante (9) di T, rela-

tiva alla coppia (A,B) e all'omografìa tangente K, la corrispon-denza razionale quadratica fra le direzioni della stella di centro A (opp. B) di equazioni

[11] aH* = Qi .

Si dicono poi rette I\-principali le eventuali rette singolari della trasformazione K-linearizzante. Tali rette, essendo relative a valori delle coi che annullano tutte le Qit sono rette caratteri-stiche.

Ricordo poi che una retta è iC-principale se e solo se l'omo-grafìa tangente K subordina su di essa e la corrispondente la relativa proiettività caratteristica del VILLA (10).

(8) Si veda: E. ÓECH, op. cit. in ('), voi. 74, p. 40. (°) Si veda: E. £ECH, op. cit. in ('), voi. 74, p. 40. Si veda anche: G. VAONA, Sulla

trasformazione linearizzante di una corrispondenza puntuale fra spazi lineari, « Boll. Un. Mat. Ital. », (3), 6, pp. 293-299 (1951). In tale lavoro si mostrano fra l'altro i legami esi-stenti fra la nozione di trasformazione linearizzante ed altri enti recentemente introdotti dal BOMPIANI (Sulle corrispondenze puntuali fra spazi proiettivi, « Atti Accad. Naz. Lincei » (8), 6, pp. 145-151, 1949).

(10) La nozione di proiettività caratteristica è stata introdotta dal VILLA. Si veda: M. VILLA, La configurazione caratteristica di una trasformazione puntuale fra due spazi. I. Proprietà generali, « Rend. Accad. d'Italia» (7), 4, pp. 137-142 (1943). La proposizione ricordata trovasi in L. MURACCHINI, Alcune proprietà in grande delle trasformazioni puntuali fra spazi, «Boll. Un. Mat. Ital.» (3), 7, pp. 123-131 (1952).

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4. - Il CECH nella I I a delle Memorie citate propone di clas-sificare le trasformazioni puntuali fra due Sr secondo la natura delle trasformazioni /^-linearizzanti. Si pone quindi e risolve il seguente problema: determinare le trasformazioni fra due Sr che posseggono un'omografìa tangente K per ogni coppia generica di punti corrispondenti la cui trasformazione K- linearizzante è degenere nel senso che ogni retta ha come corrispondente una retta fissa {totalmente K-linearizzante).

Tale problema, come ho osservato altrove ( n ) , coincide col problema a).

I] problema b)1 che è oggetto del presente lavoro, può essere formulato anche in altro modo facendo uso della trasformazione K-linearizzante di CECH. H O già dimostrato (12) che le trasfor-mazioni fra Sr soddisfacenti alla condizione b) sono quelle che posseggono almeno un'omografia tangente K per ogni coppia gene-rica di punti corrispondenti la cui trasformazione K-linearizzante è un'omografia.

5. - Per r = 2 si ha che ogni corrispondenza fra due piani appartiene al tipo in esame. Si prova poi che:

Esistono tre sistemi oo1 di omografia tangenti a T in una coppia generica (A,B) la cui trasformazione linearizzante è un'omografia. Queste omografìe tangenti sono quelle che subordinano su una cop-pia di rette caratteristiche la relativa proiettività caratteristica.

Per r = 2 le equazioni della trasformazione K-linearizzante si scrivono

* 1 2 1 1 *' 0)1 = C u (Di + 2^12 0 ) ,0 ) , f ('22°H

(Do =•• Cu COi + 2Ci2 0^0)2 + C22&>2 -

La trasformazione Z-linearizzante relativa ad un'omografia

tangente generica K [fa, /u2) ha le equazioni

0 ) i * - ( C u — 2 fa ) 0)1 + 2 (c\2 ~~ faj ft>iO>2 + ^22 0)1

eo2* = c\i a>ì + 2 (c\i— fa) «hcoi + (̂ 22 — 2^3) co2 .

Affinchè essa sia una proiettività occorre che i secondi mem-

(11) Si veda: G. VAONA, op. cit. in (°). (12) Si veda: G. VAONA, op. cit. in (°).

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bri delle [12] siano divisibili per un polinomio lineare OQ>1 + bco2. Deve aversi quindi

[ 1 3 ] 4 «2 - 2 (c\2 - ^,) ab + (di - 2 ^ ) 6

a = 0

(C22 — 2 ^ ) a2 — 2 (cu — ^,.) a& + c?i/;2 = 0 .

Eliminando a e & si ottiene un'equazione di 3° grado in pilf ju2. Si hanno così tre sistemi co

1 (distinti o no) di omografìe tangenti la cui trasformazione /C-linearizzante è una proiettività. D'altra parte le tre rette acox + bco2 = 0 relative a queste tre sem-plici infinità di omografìe tangenti sono /^-principali per queste; onde l'asserto.

6. - Supponiamo ora che sia r>_3. Assumiamo i punti fonda-mentali Av A2,..., Ar_x del riferimento mobile relativo al punto A sull'iperpiano di rette caratteristiche uscente da A. L'iperpiano di rette caratteristiche uscente da A avrà così l'equazione

cor — 0 .

Per quanto ho ricordato al n. 4 sarà possibile inoltre sce-gliere l'omografìa tangente K in guisa che la trasformazione /L-linearizzante relativa sia un'omografia. Si ha allora

4 = 0 (p,q,t = l,2,...,r-l).

Con evidente cambiamento di notazioni, le Qi divengono

[14] Qi = 2

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di a)r = 0 sono K-principali e quindi queste omografìe subordi-nano fra ciascuna coppia di rette caratteristiche dei due iper-piani cjr = 0 la relativa proiettività caratteristica (n. 3).

L'omografia linearizzante relativa all'omografia tangente K{u) ha le equazioni

[15] &>** = ff{lft>l + . . . + (Oii — fi) CO{ + air Ciò

Dalle [15] segue pure che: Le rette caratteristiche di T., residue a quelle delViperpiano

a)r = o, sono tutte e sole le rette unite di una qualsiasi delle co1

omografie K-linearizzanti [15]. Le equazioni delle rette caratteristiche residue a quelle di

wr = 0 si ottengono infatti annullando i minori del 2° ordine estratti dalla matrice

(Di

y»

Ma queste equazioni rappresentano appunto le rette unite di una qualsiasi delle omografie [15].

Tali rette caratteristiche sono quindi, in generale, in numero finito uguale ad r, ma, in casi particolari, possono riempire degli spazi lineari 8h con 1_< Jk

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D'altra parte se la [15] stessa ammette gli spazi di rette unite Sh,, #7l„, ..., Sh(i) distinti, esistono l e soltanto l valori di JU distinti che soddisfano alla [16]. Se tali valori sono rispettivamente JLI', JU", ..., (JL{1\ essi rendono la matrice [16] rispettivamente di carat-teristica r — h'i r — h", ..., r — h(l). Segue che Je omografìe tangenti ottenute per quei valori di /u ammettono omografìe linearizzanti degeneri delia specie h', /?", ..., h(l) rispettivamente. Si ha poi che ogni retta di Sh, è K'-principale per l'omografìa tangente K' e così ogni retta di 8h» è K"-principale per l'omografìa K" e così via.

§ 2. - TRASFORMAZIONI FRA DUE Sr (r>_4) CHE POSSEGGONO DUE IPERPIANI DI RETTE CARATTERISTICHE PER OGNI PUNTO.

7. - Nel numero precedente abbiamo fra l'altro rilevato che le rette caratteristiche residue a quelle dell'iperpiano cor = 0 sono le rette unite delle coi omografìe K-linearizzanti di equazioni [15].

Questa osservazione permette di ricondurre la classificazione delle trasformazioni in esame a quella delle omografìe fra due $r_i sovrapposti. Queste sono state classificate e diffusamente studiate da C. SEGRE (13) e da P. PREDELLA (14).

Come apparirà dal seguito, ciò permetterà di distinguere nel modo più naturale, dal punto di vista geometrico, i numerosis-simi casi che si presentano, evitando una trattazione analitica estremamente intricata.

D'ora in poi supporremo r>_à. Il caso r =•• 3 che, come ho già rilevato, esige una trattazione a parte, sarà oggetto di un altro lavoro.

Conviene anzitutto distinguere due casi:

I) Le co1 omografie K-linearizzanti sono omologie; II) Le co1 omografie K-linearizzanti sono omografie di tipo

qualsiasi ma non omologie (15).

(33) C. SEGRE, Sulla teoria e sulla classificazione delle omografie in uno spazio lineare ad un numero qualunque di dimensioni, «Memorie Acc. Lincei» (3), 19 (1884).

(u) P. PREDELLA, Le omografie in uno spazio ad un numero qualunque di dimen-sioni, «Annali di Mat. » (2), 17 (1889-90); Sulla teoria generale delle omografie, «Atti dell'Àcc. di Torino», 27 (1891-92).

C") Evidentemente escludiamo il caso in cui quelle omografie sono identità poiché T, essendo allora a direzioni caratteristiche indeterminate, si ridurrebbe ad una omo-grafia. Si veda: E. CECH, op. cit. in (''), voi. 74, pp. 45-46.

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In questo paragrafo ci occuperemo esclusivamente delle tra-sformazioni del tipo I).

8. - Supponiamo dunque che le e©1 omografìe Z-lineariz-zanti siano omologie. La trasformazione T possiede allora due iperpiani di rette caratteristiche per ogni punto e cioè un cono Y2r_x spezzato in due iperpiani; ne viene che T fa parte delle trasformazioni studiate dal CECH nelle Memorie citate.

Si tratterà semplicemente di vedere quali delle trasforma-zioni del CECH posseggono un cono V2T_X di rette caratteristiche per ogni punto spezzato in due iperpiani.

Per r >_ 4 le trasformazioni del CECH sono soltanto di due tipi:

1°) Trasformazioni fra due spazi 8r, 8r' ottenute al seguente modo: si fissi una famiglia OD1 di omografie K (t) fra 8r, 8r' (dipendenti dal parametro t), si fissi inoltre una famiglia oo1 di iperpiani H (t) di 8r in corrispondenza colle omografie e tali che per ogni punto X di H (t) si abbia KX = dK X. Ad ogni punto X di 8r appartenente alViperpiano H (t) si associ il punto di 8r' corrispondente ad X nella omografia K(t).

2°) Trasformazioni fra due spazi 8rì 8r' (supposti immersi in un 8r + 1) costruite nel seguente modo: si fissino in 8r+1 una ipersuperficie qualsiasi Vr e due punti 8, 8'-, si associno coppie di punti (A, B) di 8r, 8r' che sono proiezione, rispettivamente da 8 ed 8', di uno stesso punto P di Yr.

Tutte le trasformazioni del tipo 1°) fanno parte di quelle in esame, infatti il cono di rette caratteristiche di 8r si spezza in due iperpiani coincidenti negli iperpiani H (t).

Le trasformazioni del tipo 2°) non fanno tut te parte di quelle da noi studiate. Infatti il cono F^_1 di rette caratteristiche uscenti da un punto A (opp. B) è la proiezione da 8 (opp. da 8') del cono * V2r_x delle tangenti asintotiche in P a Vr. Le trasfor-mazioni del nostro tipo sono pertanto quelle fra le 2°) ottenute proiettando una Vr di 8r+1 avente in un suo punto generico il cono quadrico delle tangenti asintotiche spezzato in due 8r_l distinti o coincidenti.

Ma è d'altra parte noto che, se il cono quadrico delle tan-genti asintotiche di una Vr di $ r + 1 in un suo punto generico ha un 8j doppio, si può affermare che la Vr contiene tutt i gli 8

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nominati ed ha lungo ognuno di essi un iperpiano tangente fìsso (16). Le Vr che ci interessano sono quindi le Vr di 8r+1 luogo

di DO2 Sr_2 aventi lungo ognuno di tali spazi 8r tangente fisso; oppure le Vr di 8r+1 luogo di oo

1 ^r_x con 8r tangente fisso lungo ogni spazio generatore (sviluppabili ordinarie).

Si può allora concludere: Le trasformazioni fra due Sr (r >_4) che in ogni punto generico

posseggono due iperpiani di rette caratteristiche appartengono ad uno dei tre tipi:

1°) Trasformazioni del CECH del tipo 1°). 2°) Trasformazioni fra due spazi 8r, 8/ (supposti immersi

in un Sr + 1) che si costruiscono al seguente modo: si fissi in 8r+1 una Vr luogo di ce

2 Sr_2 avente VSr tangente fisso lungo ogni Sr_2 generatore. Si associno punti (A,B) di 8r, 8r' che sono le proiezioni da due punti fissi 8 ed 8' di uno stesso punto P della Vr.

3°) Trasformazioni fra due spazi 8r, 8r' [supposti immersi in unt8r + 1) che si costruiscono al seguente modo: si fissi in Sr+1 una Vr luogo di oo

1 8r_1 avente V8r tangente fisso lungo ogni Sr_1 generatore. Si associno punti (A, B) di Sr, Sr' che sono le proie-zioni da due punti fissi S ed S' di uno stesso punto P della Vr.

9. - Non ci indugeremo qui ad esaminare le trasformazioni del tipo 1°) sia perchè esse sono già state studiate dal CECH sia anche perchè costituiscono un caso particolare di trasformazioni che esamineremo nei nn. successivi.

Soffermiamoci piuttosto sulle trasformazioni del 2°) e 3°) tipo. Delle trasformazioni del 2°) tipo si possono assegnare le equa-

zioni in forma esplicita. Basterà a tale scopo scrivere le equazioni di una Vr di # r + 1 luogo di oo

2 Sr_2 con 8r tangente fìsso lungo ogni Sr_2 generatore. Una Vr siffatta si può sempre pensare come inviluppo di una famiglia oo2 di iperpiani di 8r + 1; essa risulta il luogo degli OD 2 spazi caratteristici degli iperpiani della famiglia (17).

Indicando con z^(j = 0, 1, . . . , r + l) le coordinate proiettive omogenee di punto in Sr+1, una famiglia e»

2 di iperpiani si può rappresentare con l'equazione

Ej bj Zj = 0 ,

(10) Si veda: C. SEGRE,Preliminari di una teoria delle varietà luogo di spazi, « Rend. Circolo Mat. di Palermo», 30. p. 137 (1910).

(") Si veda: C. SEGRE., op. cit. in (10), pp. 124-125.

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dove le fy sono funzioni di due parametri u, v che rendono d caratteristica 3 la matrice

Il 7 , U I V II

Il bj bj bj II •

Gli OD2 Sr_2 caratteristici hanno le equazioni

[17] .. Ej bjZj = 0 , Eitfzi = 0 , E, b)zj = 0 ,

py OI

indicando con bf e b" le derivate —•, -^-. Le [17] rappresentano

la più generale Vr del tipo richiesto. Fissiamo ora in 8r + 1 un riferimento proiettivo avente i punti

fondamentali (0, 0, . . . , 0, 3) e (0, 0, . . . , 1, 0) coincidenti con i due centri di proiezione 8 ed 8' e gli spazi fondamentali zr+1 = 0, zr = 0 coincidenti con 8r, 8/.

Indicando con (xv x2J ..., xr)< {yXì y2, ..., yr) le coordinate proiettive non omogenee di due punti A, B corrispondenti in 8r, 8r', si ha che la più generale trasformazione del tipo 2°) è rappresentabile con le equazioni

xi — z\ ih — z\ rp — v /ti — /v U/2 — " 2 / ' 2

— ^ 2

[18]

dove z17 s2, ..., zr_2l H, v sono parametri e zr_ly zr, zr + 1 sono le funzioni ottenute risolvendo il sistema [17], posto z0 = l (

18). Dalle [18] appare chiaramente che le due stelle di rette di

8rì 8r' di centri (0, 0, ..., 1) si corrispondono omograficamente, onde la direzione caratteristica uscente da un punto generico A (opp. B), residua a quelle di rette caratteristiche, è quella della retta congiungente A (opp. B) col punto (0, 0, ..., 1).

Mi pare infine non privo di interesse rilevare che le trasfor-

Cs) Si suppone che sia

cambiare in modo opportuno il riferimento

br-l br br-\-\

bu. b" b", 1

bv , bv bv,, r—l r r -r"l

5^ 0. Se ciò non fosse basterà

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mazioni [18], come anche più generalmente le trasformazioni del tipo 2°) di CECH, godono della seguente proprietà: esistono oor + 1 coppie di Vr_x di 8r, $ / . corrispondenti in T, e sulle quali

T subordina uri omografia. Basta infatti osservare che una generica Vr_x sezione iperpiana

della Vr di 8r+1, dà luogo ad una coppia di Vr_v corrispondenti in T, che sono trasformate omografiche l'una dell'altra (19).

10. - Anche delle trasformazioni del tipo 3°) si possono asse-gnare le equazioni in forma esplicita. Una Vr di Sr + l luogo di oox # ^ con Sr tangente fìsso lungo ogni Sr_t generatore si può

sempre pensare come l'inviluppo di una famiglia ce1 di iper-piani. Se

Z j c0 Zj = 0 ,

Oj funzioni di un parametro t, è l'equazione di una famiglia co1

di iperpiani, la Vr inviluppo è il luogo degli >S'.r_1 caratteristici di equazioni

[19] 2 7 ^ - = 0 , 2 7 , ^ , = 0 ,

dove e/ sono le derivate prime delle e-.

Supposto allora °r Cr + l

7^0, e scelto in Sr + 1 un riferi -cr cr + 1

mento proiettivo identico al precedente, si trova, per la più generale trasformazione del tipo 3°), la rappresentazione

xi ~ ~i ìli ~ zi

[20]

#V_i = &r-l ìlr-1 = # r - l

xr = zr yr — zr+1 ,

dove s1? «21 •••> zr-v t s o n o parametri e zr1 zr + l sono le funzioni

ottenute risolvendo il sistema [19], posto s0 = 1. Manifestamente anche queste trasformazioni godono delle pro-

prietà con cui termina il n. precedente (20).

('") Due Vr-\ siffatte sono infatti corrispondenti nella omografia ottenuta proiet-tando da S. S' su S'r, S\ i punti dello spazio segante.

(20) Le oo r + i coppie di Vr-i omografiche sono quelle ottenute proiettando le se-zioni iperpiane di Vr.

— 210 —

§ 3 . -TRASFORMAZIONI FRA DUE Sr ( r > 4 ) CHE POSSEGGONO UN

IPERPIANO E DEGLI Sh {h < r 1) DI RETTE CARATTERI-

STICHE PER OGNI PUNTO.

11. - Supponiamo ora che le omografie II-linearizzanti [15] non siano omologie ma possano essere anche di tipo particolare. Per una discussione esauriente si palesa opportuno fare uso della rappresentazione canonica di PREDELLA di un'omografia fra spazi sovrapposti.

Supponiamo che le omografìe If-linearizzanti [15] posseggano l spazi distinti luogo di rette unite di dimensioni h', h", ..., h(l)

e che in ciascuno di questi vadano anche eventualmente a cadere altri spazi luogo di rette unite. Più precisamente supponiamo che

in Sh> cadano gli spazi Sh\ , 8h%> , ..., Shpi' ( V Sì® S!^ K® Ch® < h{l)

— 211 —

Si consideri una matrice quadrata d'ordine r nella quale tu t t i gli elementi sono nulli trarrne quelli della diagonale principale e si pongano i primi g' di questi uguali a A', i successivi g" uguali a A", ..., ed infine gli ultimi g(l) uguali a A(0, essendo A', A", ... A(Z) valori distinti e non nulli. Si dividano poi i primi g' elementi della diagonale in p1 + l gruppi composti successiva-mente di hi, Ji2', ..., h^'f h' elementi. Si trasportino verticalmente verso il basso gli elementi del primo gruppo ciascuno di h^ posti e si attribuiscano agli elementi trasportati valori arbitrari ma diversi da zero. Analogamente si trasporti verso il basso il suc-cessivo gruppo di h2' posti attribuendo agli elementi trasportati valori arbitrari non nulli, e così di seguito fino al gruppo p^esi-mo; si lasci invece inalterato il gruppo degli ultimi li' elementi. Si proceda poi allo stesso modo col successivo gruppo di g" elementi e così coi successivi fino all'ultimo gruppo di g{ì) elementi.

In ciascuna riga (e colonna) figurano al più due elementi non nulli. Più precisamente se ci riferiamo alla s-esima riga sarà non nullo l'elemento ass ed eventualmente un altro elemento aSSl (S!

— 212 —

dalle formule

a>9 = eoo

co s_i = ojg_i

Bispetto al nuovo riferimento l'iperpiano delle direzioni carat-teristiche ha ora l'equazione wr = 0 in guisa che valgono le [14]. Le righe della matrice dell'omografia K linearizzante rimangono inalterate salvo la riga s-esima, la riga r-esima ed eventualmente un'altra riga che contenga cos. Se s = g' + g"+ ... -\ g

(l~1} + VZ) + + 7i2

(W+ ... +hc{l\ l'eventuale riga interessata è la s'-esima con

»' = »+*a.i. Le equazioni dell'omografìa restano quelle descritte salvo le

equazioni s-esima, r-esima ed eventuelmente la s'-esima. Queste -diventano (22)

COs = Clrri(Ori -f- G>ssCf)s

;[22'] cos* = a3>8 f El facol — cor\ + a s v « V

s - l s - l

cor* = li fa (an — arr) col + II faalh (»h — aSSl(osl + arrcor .

12. - Dalle [6], [7], [14] si hanno le

,,123] %v3> • T 0 0 = cipp cor

.(") Si suppone qui che sia nT±S. Nell'ipotesi opposta alle [22'} vanno sostituite le s - l

0)s* = arr^l fìl W/ + «« Ws 1

s-l s-l , -f ^ & % « ^ ~ % ">,, + arr °\

1 1

[25] rpi = a ipa)r (i ^p)

| 26] Trp = Zintipm-tom + apr ù)r

(* ,m = l , 2 , . . . , r ) , ( p = 1 , 2 , . . . , r - 1 ) .

Le formule di struttura, avendo riguardo alle [3], [3'], [4'J, si scrivono

[28] T^' - r7i [Tjh + (DihThk] + rfe[T^foAfc] (j, //,, A:, - 0, 1, ..., r).

Il problema da risolvere è espresso analiticamente dalle equa-zioni [23], [24], [25], [26], [27], [28].

Derivando esternamente le [23] e calcolando le derivate per mr = 0, avendo riguardo alle [23], ..., [28], si ottengono le re-lazioni

[29] Zq [ojq Tq0 + apqojpr + appojqr\-f [OJP ip0] = 0 (¢ = 1, 2, ..., r— 1).

Applicando il solito lemma di CARTAN, dalle [29] segue l'esistenza di r—1 forme quadratiche in a>1? co2, ..., cor_j

[30] 6P= ZqtCp

qttoqcot .p,g,« = l , 2 , . . . , r - l ) ,

con G\\ =•• Cfq, tali che

1 80 [31] Tg0 + avqo)pr + «ppftv = - j-Z = £tGqtcot (p ^ ¢)

[32] 2 (Tp0 + ClppCDpr) = - T ^ =

— 214 —

con Cpqt = ( ¾ tali che

1 0(ypi ._, ^pi [35] «iP cogr + o«g Wpr = - -^- = E t Cqt cot (P ̂ h q ̂ i)

1 80 [36] Tpo + aepCOgr + aqqOJpr = - - ^ - ^ - =±= ItGgt^t ÌV ^ ? )•

Confrontando le [31] e [36] ne segue

[37] 0¾ = 0¾3 , per ogni p ^ q ed ogni $.

In particolare per t = q dalla [37] si ha

[38] G\p == Cg per ogni p ^ ?.

Le [32] si scrivono quindi

[39] 2 (Tpo + UppLOpr) = E tCppOJt.

Dalle [35], [36], per ogni q per cui aqt = 0 {t^q) e per ogni p ^q, si ha

[40 ] TpQ + aggWp,. - C ^ W g ( P ^ £ ) «

Inoltre, per ogni pr = 0Q5l cog + Ogxgi coffl.

Distinguiamo ora quattro casi secondochè le omografie K-linea-rizzanti [15] posseggono:

A) almeno quattro spazi distinti di elementi uniti;

B) tre spazi distinti di elementi uniti;

0) due spazi distinti di elementi uniti;

D) un solo spazio di elementi uniti.

Escludiamo inoltre che nei casi B),-C), D) le omografie [15] ammettano un Sr_2 luogo di rette unite e consideriamo a parte il caso in cui

E) le omografie [15] ammettono un 8r_2 luogo di rette unite.

— 215 —

13. - Nel caso A) dimostrerò che: Le calotte iperpiane del 1° ordine luogo di direzioni caratteristiche sono organizzatoli in OD1 ipersuperficie e queste si riducono ad OD1 iperpiani.

Affinchè gli iperpiani cor = 0 siano gli iperpiani tangenti ad oo1 ipersuperfìcie occorre che l'equazione cor = 0 sia integrabile

e cioè che la derivata esterna co/ si annulli per a>r = 0. Inoltre perchè queste ipersuperfìcie siano degli iperpiani occorre che le tangenti asintotiche siano indeterminate in ogni loro punto, ossia che la forma differenziale

9? = Etcot(otr

sia identicamente nulla (23). Ora noi dimostreremo appunto che le forme cotr sono iden-

ticamente nulle per cor = 0. Supponiamo che gli spazi di rette unite nelle omografìe [15]

siano effettivamente quattro. Come apparirà più innanzi, le argo-mentazioni usate valgono a maggior ragione se questi spazi sono in numero > 4.

Indichiamo con Sh,, Sh,>, Sh,„f Shiv i quattro spazi luogo di rette unite e indichiamo con g% g", g'", giy le somme delle dimen-sioni degli spazi di rette unite che cadono rispettivamente in 8h,, ..., 8hi\. Assumendo un riferimento mobile nella maniera indicata al n. I l , si avrà

,- X per 1

— 216 —

Ora essendo le coj, fra loro indipendenti e A, ju, v non nulli e fra loro distinti, ne consegue colr = rl0 = 0.

Ma altrettanto accade se l è compreso fra 1

— 217 —

del n. precedente e quindi colr = %l0 = 0 per ogni l compreso fra 1 ed r — 1.

Se un indice l siffatto non esiste, distinguiamo due casi: 1°) esiste un indice l compreso fra g'+g"+1 K^I 6 + 0?/zco6l .

Per 1^1 sussiste anche la

[46] rl0 + XOJJT = 0

donde, per la coesistenza delle prime due delle [45] e della [46], segue l'asserto. Se l = 1, basterà scrivere accanto alle [45] le analoghe che si ottengono scambiando l con a. Le condizioni di coesistenza di queste e delle [45] conducono alle Clbb = Cf/ = 0, o n d e a n c h e Clbbi = C

lbb

ibi = 0 e q u i n d i colr = rl0 = 0. Le stesse considerazioni e quindi lo stesso risultato sussistono

anche per g'+l_é, uno almeno dei due interi g' e g" risulta >_ 2.

Per fissare le idee sia g" >̂ 2 e supponiamo dapprima che esista un indice b compreso fra g' + l e g'+g" per cui si abbia

— 218 —

abt = 0 per ogni t^g' + l e t^b. Posto g'-ì-l — a, aba = Q, dalle [39], [40], [4.1], [42]' si hanno le

T1 0 + fUOir = l>aa b + Ciba (*>„

v. .. fta ^ 6 + _2 si conclude, in base alle [39], [40] che è pure colr = rl0 = 0 per ogni l compreso fra 1 ed r—1.

Bimane escluso il caso in cui g' = 1, g" = r—2, au = 0 per ogni 1^1 e per ogni l compreso fra 1 ed r— 1. Ma in tale caso la trasformazione possiede un Sr_2 luogo di rette unite.

15. - Passiamo ora ad esaminare il caso C) in cui le omo-grafie IL-linearizzanti [15] posseggono due spazi distinti di rette

— 219 —

unite senza possederne un intero Sr_2. Si prova che, anche in tali ipotesi, sussiste la stessa proprietà dimostrata nei casi pre-cedenti.

Indichiamo con Sh, e Sh„ i due spazi luogo di rette unite e con g' e g" le somme delle dimensioni degli spazi di rette unite che cadono rispettivamente in 8h, e 8h„. Si potrà allora assumere un riferimento mobile in modo che si abbia

j X p?r 1 _2 e g,f>_

— 220 —

16. - Esaminiamo il caso D) in cui le omografìe iC-linea-rizzanti [15] ammettono un solo spazio di rette unite senza, però possederne un intero Sr_2. Il risultato a cui si perviene è ancora quello del caso A).

Osserviamo che, in tali ipotesi, prima di applicare il cambia-mento di riferimento [22], esistono almeno tre indici a, b, e per cui si ha aat= 0 pei ogni t ^ a e t ^ ax ed analogamente per b e e. Eseguito il cambiamento [22] può accadere che uno o due di questi indici vengano a mancare. Due casi si possono distinguere a seconda che esistono due oppure uno degli indici che godono della proprietà precedente e che sono < r.

Nel 1° caso dalle [41], [42] segue che a)lr = rl0 — o per ogni l diverso da a, alf b, bv Inoltre, tenendo eventualmente conto della [33] se bt —a, si trova pure che 0)^ = 0)^=:0)^ = (0^ = 0.

Nel 2° caso, come appare dalla [22], [22'], esisterà sempre un indice t < r per cui art 9^ 0.. Tenendo allora conto delle [35] per l = r, p = t e q = 2, 3, ..., r— 1, si prova l'asserto.

17. - Dobbiamo da ultimo esaminare i casi in cui le tra-sformazioni [15] posseggono un $y._2 luogo di rette unite. Varie eventualità possono presentarsi secondochè gli elementi uniti residui all'#,._2 sono due rette oppure un intero piano e secon-dochè tali elementi sono o no fra loro incidenti. Si hanno così sei casi distinti per ognuno dei quali può darsi che l'$,,._2 appar-tenga oppure no all'iperpiano luogo di rette caratteristiche.

Se l'#r_2 non appartiene all'iperpiano luogo di rette carat-teristiche si dimostra, con gli stessi procedimenti usati nei nn. precedenti, che gli Sr_1 luogo di rette caratteristiche inviluppano delle ipersuperficie che si riducono a iperpiani.

Ci limiteremo qui a trattare i casi in cui VSr_2 appartiene all'#r_2 luogo di rette caratteristiche.

a) Supponiamo che le omografie [15] ammettano un 8r_2 luogo di rette unite e due rette residue, fra loro distinte e non giacenti nelP8r_2.

La matrice di un'omografia siffatta può ridursi ad una forma canonica nella quale tut t i gli elementi sono nulli esclusi

A, /i, v non nulli e diversi fra loro.

— 221 —

L'$r_2 luogo di rette unite ha le equazioni cox = w2 = 0. L ' ^ j luogo di rette caratteristiche, per contenere I 'AS^ , dovrà avere equazione del tipo aco1 + f}co2 = 0. Supposto P ^ 0, appli-cando la trasformazione di coordinate [22], si ha che la matrice dell'omografia ha tutt i gli elementi nulli esclusi

a\\ = l > a 22 = v ì aU = v ? ar\ = — -g (/" — V) 1 ilrr = f*

(2 = 3, 4, . . . , r - l ) .

Con opportuna scelta dell'omografìa tangente si può sempre far in modo che sia ^ = 0 (24).

Si ha allora dalle [39], [40]

[ 48] rl0 = 0 , la>lr = OÌ\ (Ul (Z = 2, 3, ..., r - 1)

[49 ] T10 = 0 , 2Ao>lr = Et C{\ a)t .

Posto — — ju = g, derivando esternamente le relazioni rlr = 0, r

xn = 0 (Z^l) , si hanno le

[(Dir QCO] + 2/ZCOr] + [ctyl OCOr] = 0

[ft)Zr « J + [C0Z1 C»r] = 0 .

Da tali relazioni, sia per Q y^0 che per ¢ = 0, segue, per cor = 0, colr = 0, a>lr = /e cov

Ma allora gli iperpiani / = 0 per wr = 0. Inoltre poiché la forma differenziale delle asintotiche si riduce a ~ku>\ = 0, si ha che:

Per lc^0 le ipersuperficie tangenti agli iperpiani luogo di rette caratteristiche sono sviluppabili (luogo di OD1 Sr_2 con $r_x tangente fisso lungo ogni spazio generatore); per h = 0 tali ipersuperficie si riducono ad iperpiani (25).

b) Supponiamo che le omografie [15] ammettano un Sr_2 luogo di rette unite e due rette residue coincidenti ma non giacenti nelV8r_2.

Nella matrice dell'omografìa, ridotta a forma canonica, sono

("') Basterà scegliere nelle [15] /' = v> ("') Si veda: E. CARTAN, op. cit. in (~'T), pp. 346-347.

— 222 —

non nulli soltanto gli elementi

a n = A, a2l = o, a22 = A, au == fi (Z = 3,4, ..., r),

A, fi, o non nulli e A ^ ^ . Applicando la trasformazione di coordinate [22], secondo-

che /# 5^ 0 oppure /? = 0, si ottiene una matrice dell'omografia avente gli elementi tut t i nulli esclusi

P s* 0) a n = A , a22 = fi, au= fi, ar\ = — o , a „ = A

( l - 3 , 4 , . . . , r - l ;

/3 = 0) ttj] = / i , Ct22 = A > &2r= = — ° ? *U ~ A* > ^ r r == A

(Z = 3, 4, . . . , ? • - 1 ) .

Sia nell'una che nell'altra ipotesi valgono le stesse argomenta-zioni e conclusioni che si avevano nel caso a).

e) Supponiamo che le omografìe [15] posseggano un 8r_2 luogo di rette unite e due rette unite distinte una delle quali appar-tenente alVSr_2.

Gli elementi non nulli della matrice dell'omografia, ridotta a forma canonica, sono

au = A, a22 = /i , a32 = o, an= fi (£ = 3. 4... , r),

A, fi, o non nulli e X ^ fi. Le [22], secondochè fi ^ 0 oppure /5 = 0, trasformano la matrice in un'altra i cui elementi non nulli sono rispettivamente

(i OL

/? =^ 0) an = A , ttM = = ^ , a3l = - -5 a , a3r=~a , a r l = — - (A— ^)

(t = 2 , 3 , ..., r) ;

/5 = 0) an=fi, «32 = a, a r r = A (J = 1,2, ...,»•—1) .

Nel 1° caso, se è a ^ O , basta considerare, oltre le [39], [40], [41], [42] anche le relazioni ottenute derivano le rlr = 0, T^ = 0 (Ir^l, 3), dopo aver scelto l'omografia, tangente in modo che risulti /i = 0 ; se a = 0 basta considerare anche la derivata di rrr — r00 = 0, per concludere che vale lo stesso risultato dimostrato nel caso a).

Nel 2° caso, scelta l'omografìa tangente in modo che sia fi = 0, considerando, oltre le solite relazioni, quelle ottenute dalle de-

223 —

rivate esterne di r2r = 0> rrr — T

— 224 —

Si vede subito che sussistino in questo caso le considerazioni e conclusioni del caso a).

/) Supponiamo infine che le omografie [15] posseggano un Sr_2 ed un piano, appartenente alV8r_2, di rette unite.

Sia dapprima r > 4. Supposto a ^ 0, la matrice, ridotta a forma canonica e trasformata al solito mediante le [22], ha non nulli soltanto gli elementi

« H = ^ , az2 = —-°, 2 — 2oa>r? rri = co2f segue

allora 0Z2 = 0 ( Z ^ 2 ) . Se /5 = 0, dalle derivate delle T23 = 0,

rr3 = —2acor, segue lo stesso risultato. Sia r = 4. La matrice dell'omografìa può ridursi ad una forma in cui non sono nulli solo gli elementi

P

Se /3 ^ 0, si può rendere — — a = 1, r\ = 1. Si giunge al solito ri-

sultato derivando le relazioni r21 == ft>4, T23 = &>4, r4l = ^2, r43 =

= «2 — 2o w4. Se /5 = 0 basta considerare le derivate delle T21 = = nmì, 723 = 0, T43 = — 2ow4.

18. - Dall'esame svolto nei numeri precedenti appare che, per r.> 4, due tipi di trasformazioni sono possibili secondoche le ipersuperfìcie inviluppate dagli iperpiani luogo di rette carat-teristiche sono

a) iperpiani;

P) ipersuperficie sviluppabili (luogo di ^1 Sr_2 con spazio tangente fìsso lungo ogni Sr_2 generatore).

— 225 —

Per le trasformazioni del tipo a) si ha che: La trasformazione subordina fra due iperpiani corrispondenti

luogo di rette caratteristiche un'omografia. Infatti per la corrispondenza G subordinata dalla trasforma-

zione T fra due Sr_1 siffatti ogni retta uscente da un punto ge-nerico è caratteristica. Ì3 d'altra parte noto (27) che ogni corri-spondenza analitica fra due spazi lineari per la quale si verifichi tale circostanza è un'omografìa.

Viceversa è chiaro come appartenga al tipo a) ogni trasfor-mazione ottenuta considerando co1 coppie di iperpiani omografici di Sri Sr' ed associando coppie di punti quando appartengano ad iperpiani corrispondenti e si corrispondano nella relativa omo-grafìa. Si ha pertanto che le trasformazioni del tipo a) sono quelle che si ottengono con la seguente costruzione:

Si fissi una famiglia oo1 di omografìe K (t) fra Sr1 # / (dipen-denti dal parametro t), si fissi inoltre una famiglia coi di iper-piani H (t) di 8r in corrispondenza colle omografìe. Ad un gene-rico punto A di Sr appartenente allHperpiano H (t) si associ il punto di Sr' corrispondente ad A nella omografia K(t).

Le trasformazioni del tipo a), con scelta opportuna dei para-metri e dei fattori di proporzionalità delle coordinate, si possono rappresentare con le equazioni

[50] A = A0 + u]Al -j- ... + % - U r - i

[50'] B = B0+ u1B1 + ... + Ur-\Br-i ,

dove le Aj e Bj sono funzioni arbitrarie di una variabile ur. Delle trasformazioni del tipo /5) tratteremo diffusamente nel

paragrafo successivo, rileviamo per ora la proprietà: La trasformazione subordina fra due ipersuperficie corrispon-

denti inviluppate dagli iperpiani di rette caratteristiche un'appli-cabilità proiettiva.

Siano A, B due punti corrispondenti generici appartenenti alle ipersuperfìcie inviluppo IA, LB. Si consideri una qualunque delle cor omografie tangenti a T in (A, B). Siccome ogni retta uscente da A e tangente a IA è caratteristica per T, ogni E2 di centro A appartenente ad 1A è mutato da T e dall'omografìa

(27) Si veda: E. CECH, op. cit. in ('), voi. 74, pp. 45-46. Si veda anche: M. VILLA, Caratterizzazioni differenziali di enti algebrici, « Rend. Sem. Mat. Fis. Milano », 21, pp. 51-58 (1950).

— 226 —

tangente nello stesso E2 di centro B e appartenente a 1B (28).

Segue che ogni omografìa tangente a T in Aì B trasforma IA in un'ipersuperfìcie avente un contatto geometrico del 2° ordine in JB con la IB e perciò le due ipersuperfìcie sono proiettiva-mente applicabili (29).

§ 4 . - E Q U A Z I O N I E C O S T R U Z I O N E G E O M E T R I C A D E L L E T R A S F O R M A -

ZIONI DEL TIPO fi).

19. - Al § 3 abbiamo dimostrato che, per r ^ 4 , le calotte iperpiane del 1° ordine luogo di direzioni caratteristiche sono organizzabili in co1 ipersuperfìcie e queste sono o degli iperpiani o delle sviluppabili [tipi a) e /?)].

Abbiamo già studiato le trasformazioni del tipo a) al n. 18 e ci restano quindi da esaminare quelle del tipo fi). Ai risultati a cui giungeremo in questo paragrafo si potrebbe pervenire spin-gendo più a fondo l'esame delle condizioni analitiche che carat-terizzano il caso in questione, ma ho preferito seguire un'altra strada poiché essa permette di giungere più rapidamente e in maniera più semplice ai risultati stessi.

Mi servirò di una rappresentazione delle trasformazioni pun-tuali, mediante equazioni differenziali alle derivate parziali (30).

Sia T una trasformazione puntuale fra due $ r rappresentata dalle equazioni [1] A = A (% , % , ..., ur)

[!'] B = B (% , u2 , ..., ur) .

Le funzioni A (%, u2,..., ur) e B (%, u2,..., ur) si possono pensare come integrali di due sistemi completamente integrabili di equa-zioni differenziali alle derivate parziali lineari omogenee del

(~s) E' noto infatti che le direzioni caratteristiche di una trasformazione T in una coppia regolare {A, E) sono d'osculazione per T e una qualunque delle omografie tan-genti a T in (A, B). Un Ex di centro A si dice d'osculazione per due trasformazioni che in {A, E) sono tangenti, quando ogni E» che lo contiene è mutato nello stesso E2 dalle due trasformazioni. Si veda : M. VILLA, Direzioni (Vosculazione e d'iperosculazione di due trasformazioni puntuali, «Boll. Un. Mat. Ital. » (3), 2, pp. 188-195 (1947). Si veda anche: E. CECH, op. cit. in (J), voi. 74, p. 42.

(20) La proprietà è nota per r = 3. Si veda: L. MURACCHINI, op. cit. in (no), p. 131. (30) Riguardo a tale rappresentazione si veda: M. VILLA, Per mia geometria proiet-

tiva differenziale in grande delle trasformazioni puntuali. « Atti IV Congresso Un. Mat. Ital, Taormina (1951) », Casa Ed. Perrella, Roma, pp. 263-273 (1952).

— 227 —

2° ordine di tipo

[51]

[51']

r a mn^ ymn __ 7 iv) y -*- umn -1

(0) y . y.Ai) v i

7% ('*, w,?i = 1 , 2 , . . . . r). ,(0) • i - ' 1, t/m.r). X i umn

d2x . dY dove A"m = -—-—, .... r ? = 7— e le a e b sono funzioni definite

dumdun7 òii-i

in un campo .E dello spazio (%, M2, ..., ur) essendo ivi general-mente continue e parzialmente derivabili fin che occorre.

Le [51] e [51'] individuano, a meno di omografìe, una ed una sola trasformazione puntuale fra Sr, Sr'.

Viceversa note le funzioni A e B sono univocamente deter-minate le equazioni differenziali [51] e [51'] di cui esse sono in-tegrali. Posto

AA1... Ai-1AmnAi + 1 ... Ar

BB1 ... Bi-^BmnBi + 1 ... Br

[52] I =--lAA1 . .. Ar 9*0 , Mmn I

[53] J = BB1 . ..Br 5 * 0 i 7 Ci)

" mn ~

si ha

[54] (0 jii) 1 mn

I

[55] umn

— 228

Si avrà

[57] c{r) = 0 vpq yj

(p,g = l , 2 , . . . , r - l ) ,

ed inoltre dovranno essere identicamente nulli i minori del 2° ordine estratti dalla matrice

dut

•^-"pq C'pq Ctll-p Ctllq (Vi q,t--= 1,2,..., r - l ) .

ISTe segue quindi

[58] c{t) - 0 tpq — U

per p.q^t,

[59] l'tq — fS

fr_1

tangente fisso lungo ogni Sr_2 generatore.

20. - Nel 1°) caso sarà sempre possibile scegliere i parametri in modo che le [1] diventino del tipo

dP d2P dr~2P [61] A =P{ur-1 , Ur) + Ux + U2 ^ 2 + ... + Ur-2 ^7T2~ 9 8ur-i du r-l du r-l

essendo P una funzione soddisfacente alle solite condizioni di regolarità e derivabilità e tale che il determinante

[62] dP drP

dur-i 8u1

r-i ^ 0 .

Con tale scelta dei parametri segue dalle [52], [54]

[63] 4> = 0 (p= 1,2,..., r - l ; ¢ = 1,2, ..., r - 2 ) ?

e dalle [57] segue

[64] 'pq 0 .

— 229 —

Si dimostra che è sempre possibile fissare il fattore di pro-porzionalità delle coordinate dei punti di Sr' in guisa da rendere nulle tutte le %Q.

Applichiamo infatti alle [51'] la trasformazione

Y = QY,

dove Q è una funzione finita e non nulla in E ed ivi derivabile fin che occorre. Le [51'] diventano

r ^ = (...)r + ̂ T 1 + . . . + ( * S - £)T* + ... + (62ì- y)?n +

+ ... + b%nYr (m^n),

r™»= (...) Y + C Y H . . . + fes»- 2 ^ j r™+... + h%ny r mm -*- ?

do do dove gn = -—, pm = -—• e si sono indicati con (...) ì coefficienti

ùuj dum di Y, non interessando la loro espressione.

Affinchè le trasformate delle \ siano tutte nulle occorre sce-gliere la funzione Q in guisa che siano soddisfatte le relazioni

[65] ^ p + ^ 0 ( 0 - 1 , 2 , . . . . , 7 - 1 ) .

Le [65] costituiscono un sistema di equazioni differenziali com-pletamente integrabile poiché si dimostra che sussistono le (con-dizioni di integrabilità)

Derivando infatti Xpt rispetto ad va ed Xpq rispetto a ut, si deve

avere, identicamente rispetto ad X, X1, ..., Xr, XptQ=Xpat. Ugua-gliando i coefficienti di Xv in tale identità, avendo riguardo alle [63], [64], si ottiene

aa'PQ I y „&) n(8) _ aavt , j , Av) AB) i y _ - , o v i\

- ^ - + z s (¾ am - ——i- z s flse «p< (p, q, s, i — 1, ̂ ,..,, ? — i).

Considerando le analoghe condizioni di integrabilità per le [51/] 15

— 230 —

e sottraendo membro a membro; avendo riguardo alle [58], [59], [60], si ottengono appunto le [66].

Con tale scelta del fattore di proporzionalità delle coordinate in # / , le [57], [58], [59], [60] diventano

[67] c$ = 4 5 - ^ = = 0 (i = l ,2 , . . . , r ; p, q = 1, 2,..., r- 1).

21. - Avendo riguardo alle [67] e tenendo conto delle [61], il sistema di equazioni differenziali [51], diventa

X

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logamente sul sistema [68'] e sottraendo le relazioni ottenute mem-bro a membro colle corrispondenti delle precedenti, segue l'asserto.

Distinguiamo ora due casi secondoché: 8ur

a) -z— 5* 0 per almeno un valore di a compreso fra 1 ed r—2;

h) ^r°per ^ = 1 , 2 , . . . , ^ - 2 . Si dimostra che nel caso a) la trasformazione T è un'omografia.

Infatti dalle condizioni di integrabilità che si ottengono ugua-gliando la derivata di Xr~ì,a fatta rispetto ad ur_l alla derivata rispetto ad ua di X

ra, si trae che le ?;ì,a), v^\ ..., v^a) sono funzioni di W •••) V D /*o •••) /

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Dovendo sussistere la [62], ne consegue che le ultime r —3 delle precedenti equazioni devono essere tut te conseguenze differenziali della prima la quale deve ridursi semplicemente a

[69] 8P_ 8UV

— d10P + du 8P , d*p

4- et dur-t 12 %ul_Y

La [69] è un'equazione di LAPLACE di tipo parabolico, onde la superfìcie P (ur_v ur), luogo degli spigoli di regresso delle svilup-pabili, contiene un semplice sistema di asintotiche. Inoltre dalla [69] appare che le asintotiche della superfìcie sono le curve ur = costante e cioè gli spigoli di regresso delle sviluppabili. Si conclude quindi:

La superficie P (u^u ur), luogo degli spigoli di regresso delle oo1

ipersuperficie sviluppabili, è integrale di uri equazione di LAPLACE di tipo parabolico e gli spigoli di regresso costituiscono il sistema co1 delle curve asintotiche di tale superficie (31).

r

22. - Analizziamo ora il sistema di equazioni differenziali [68']. Le equazioni Yab = 0, Yr~1,c = Yc+1, ci assicurano che le equa-zioni [1'] sono del tipo

80 8r~2Q [61'] B = Q {Ur-i , Ur) + % ^~— + ... + Ur-2-n r_2 > 8ur-r-1 8UV-r-1

j{r) _ j(r) dove, poiché r-****-1 = jur = ^

- 1 ^ 1 J I

0

[621 Q 8Q

du. 8Ur-l

Si può allora senz'altro concludere che anche in J8r' le iper-superficie inviluppate dagli iperpiani luogo di rette caratteristiche sono sviluppabili ordinarie. Inoltre la superfìcie Q, luogo degli spigoli di regresso, è pure integrale di un'equazione di LAPLACE

(31) Le superficie integrali di un'equazione di Laplace sono state studiate da C. SEGRE (Su ima classe di superficie degli iperspazi legate colle equazioni lineari alle derivate parziali del 2° ordine, « Atti Accad. Torino », 42, 1907). Le superficie integrali di una equazione di Laplace di tipo parabolico posseggono un semplice sistema oo1 di curve asintotiche.

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di tipo parabolico ed infine gli spigoli di regresso costituiscono il sistema coi di asintotiche di tale superficie. Ma si dimostra anche che:

Le due superficie di Srì # / , luogo degli spigoli di regresso delle coi ipersuperficie sviluppabili inviluppate dagli iperpiani di rette caratteristiche, sono integrali di una medesima equazione di LAPLACE di tipo parabolico.

Indichiamo con

r«Q + ou a - — + ò1

l'equazione di LAPLACE a cui soddisfano le funzioni Q. Indicato con II il determinante [62], si ha

I = d^Ur-tM-i Ir-l,r-2 = (-l) d12Uf- i Ur-%H ,

4-~i!V-2 = — d12 ur-2B (*=1, 2,..., r — 2; u0 = 1) ,

[70]

Ir-l,r-l = {Ur-2)2H ,

T(J) Ti (?) r r • * r - l , r-1 = 1 d U >

dove con .F^ si è indicata una funzione razionale intera delie ut e delle d10ì dlx, d12 e loro derivate rispetto ad ur_v

Analogamente, indicato con K il valore del determinante [62'], si ha

Jl-^l-2 = — à[2ur_2K (* = 1,2, ...,r — 2; w0 = l ) ,

5*o . . ^ ¾

[70'] J

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dove con F{p si è indicato il valore che assume la funzione F$ quando alle d si sostituiscono le ò corrispondenti.

Dalle [52], [53] segue allora ^10=^10 ^n = (5ii? ^12= /*r-l - j - j ,

jM j(r) Lr~l, r-1 ^ r-1, r-1

fXr - —j— - — - j — .

23. - Inversamente se le funzioni P e Q soddisfano alla stessa equazione di LAPLACE di tipo parabolico, la trasforma-zione [61], [61'] possiede un iperpiano di rette caratteristiche per ogni punto e questi iperpiani inviluppano delle sviluppabili ordinarie.

Dai precedenti teoremi segue una semplice costruzione delle trasformazioni in esame:

In uno spazio 82r + 1 {contenente 8rJ #/) si fissi una superficie integrale di un'equazione di LAPLACE di tipo parabolico e posse-dente quindi un semplice sistema 00 * di curve asintotiche. Si consideri la Vr luogo degli °°

2 8 (r — 2) • osculatori alle asintotiche della superficie. Si associno punti A, B di 8rJ 8r' che sono le proie-zioni di uno stesso punto della Vr da due spazi fissi ad r dimen-sioni, sghembi con 8rJ 8r' rispettivamente (

32).

24. - Supponiamo infine che le oo1 ipersuperfìcie di 8r invi-luppate dagli iperpiani luogo di rette caratteristiche siano $ft-coni sviluppabili (ipersuperficie sviluppabili i cui 8r_2 generatori pas-sano per un 8k fisso). Ogni ipersuperficie siffatta si può ottenere congiungendo un 8k fìsso con gli 8 (r — le — 3)-osculatori ad una curva appartenente ad uno spazio di dimensione r — & — 1 almeno (33).

Si potranno sempre scegliere i parametri in modo che le [1]

(32) E' evidente che le asintotiche della superficie fissata devono essere immerse in uno spazio di dimensione r almeno. Ciò perchè sussistano le [62], [62'].

(88) Ciò perchè il luogo degli spazi osculatori considerati non si riduca ad uno spa-zio lineare.

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diventino 8P ^r-k-3p

A=P {Ur-i , Ur) + UX j - ~ + ... + %r-h-Z _ r,fe_3 + [71] óUf-x ad = 0 (d = r ~ f c — 2 , . . . , r — 2 )

Z ^ 1 » ^ 1 = //„ X + ...• + /j,r X*

X« == „WX + ... + *«> Xr, (i = 1, 2, ..., r)

[75]

e le equazioni [51'] si scrivono

yr - i . c __ Yc + 1

[75 '] Yr-l.r-A-S = ^ Jl + ... + Xr_k_^ X ^ "3 + V i ^ - 1

yr -1 , r - l _ ^ r + . . . + ,Ur X>

Y ^ - a f J + ... + a?} Jf.

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Come al n. 21, si dimostra che se -— ^ 0 per almeno un va-d-U-a

lore di a compreso fra 1 ed r— 2 la trasformazione T è un'omo-grafia.

25. - Nel caso opposto e cioè se -r-1 — 0 per ogni 1 ̂ a r-iRr-2-

Derivando rispetto ad u^, tenendo conto della [74], segue che

/7 iì /7 C\ ^-1, r-k-l _ _ Sdì, r -1 _ 0 U/Ur-l (jUr-l

Si hanno pertanto le relazioni

R'r-l-2 = ^Z,r-fc-l Pr-k-2 + ••• + ^l,r-l Pr-2 ,

dove le d sono funzioni di ur. Queste relazioni assicurano che la varietà descritta dagli J3k vertici ha dimensioni fc, onde l'asserto.

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Potremo quindi supporre che nelle [71] le B siano costanti ed inoltre che la superfìcie P appartenga ad un Sr-k-i sghembo con VSk vertice comune delle sviluppabili.

Dalle [76] segue, con ragionamento analogo a quello usato al n. 22, che la superfìcie P è integrale di un'equazione di LAPLACE di tipo parabolico e che gli spigoli di regresso delle sviluppabili sono le asintotiche di tale superfìcie.

26. - Dalle [75'] si ha che le [!'] sono del tipo

[71/] B = Qiur-i, ur) + u, ~^- +... + ¢ 7 ^ . 3 £ L _ v + dQ , , „ dr-k~3Q

+ ur-k-2 Tr-k-2 + ••• + V-r-2 ̂ r-2 »

non essendo tutti nulli i minori d'ordine massimo estratti dalle matrici

jj dU-r-1 SUr-ì

L73'] Il Tr-k-2... Tr-2 II ,

L'-t J V — - —k-Ii Jr-k-2 - ±r-2

Segue pure Anche in $ / le OD1 ipersuperficie inviluppate dagli iperpiani di rette caratteristiche sono degli ^-coni col vertice in comune. La superficie Q è integrale della stessa equazione di LAPLACE di cui è integrale la P ed infine le T sono costanti.

Ciò si dimostra con procedimento analogo a quello usato al n. 22 per le sviluppabili ordinarie. Inversamente, se le fun-zioni P e Q soddisfano alla stessa equazione di LAPLACE di tipo parabolico e le B e T sono costanti, le equazioni [71], [71'] rappresentano una trasformazione che possiede un iperpiano di rette caratteristiche per ogni punto e questi iperpiani invilup-pano degli Sic coni sviluppabili.

Le trasformazioni del tipo esaminato si ottengono quindi tut te mediante la costruzione seguente:

In uno spano #2r+i [contenente Sr, Sr') si fissino un Sic ed una superficie integrale di un''equazione di LAPLACE di tipo para-

lo*

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bolico e possedente quindi un semplice sistema OD1 di curve asin-totiche. Si consideri la Vr luogo degli oo

2 Sr-2 congiungenti VjSk con gli S (r — le — 3) - osculatori alle asintotiche della superficie. JSi associno punti A, B di Sr, Sr' che sono le proiezioni di uno stesso punto della Vr da due spazi fissi ad r dimensioni, sghembi con VSk v con Sr, S/ rispettivamente (

34).

(34) Le asintotiche della superficie fissata devono avere come spazio d'immersione almeno un Sr-k-i, perchè non si annullino tutti i minori di ordine massimo estratt/ dalle matrici [72], [72'].