Date post: | 01-May-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | carlita-grande |
View: | 226 times |
Download: | 2 times |
HALLIDAY - capitolo 19 problema 9
L’aria che inizialmente occupa un volume di 0,14m3 a una pressione relativa di 1,030×105Pa viene espansa isotermicamente alla pressione atmosferica di 101,3kPa e poi raffreddata a pressione costante finchè raggiunge il suo volume iniziale. Calcolare il lavoro svolto dall’aria. La pressione relativa è la differenza di pressione tra la pressione reale e quella atmosferica.
p
V
A
B
pA=2,043×105Pa
VA=0,14m3
pB=1,013×105Pa
TB=TA
C pC=pB=1,013×105Pa
VC=VA
Nella trasformazione AB si ha:
A
BA
B
A
AB
A
AB V
VlnnRTdV
V
nRTpdVL
Si hanno anche le relazioni segenti:
AAA nRTVp
B
A
A
BBBAA p
p
V
VVpVp
B
AAAAB p
plnVpL
Nella trasformazione BC si ha invece:
ABAAABBBCBBC VpVpVVpVVpL
Sommando i due contributi:
5644JVpVpp
plnVpLLL ABAA
B
AAABCAB
HALLIDAY - capitolo 19 problema 10
Una bolla d’aria con un volume di 20cm3 si trova sul fondo di un lago profondo 40m dove la temperatura è 4,0°C. La bolla sale in superficie, dove la temperatura è di 20°C. Supponete che la temperatura della bolla sia la stessa dell’acqua circostante e trovate il suo volume appena prima che raggiunga la superficie.
Alla profondità h=40m la pressione dell’aria nella bolla è pari alla pressione esterna esercitata dall’acqua sulla bolla:
dove p0=1,01·105 Pa è la pressione atmosferica e ρ=1000kg/m3 è la densità dell’acqua
Pa104,93ρghpp 501 h
Applicando l’equazione di stato dei gas perfetti quando la bolla è a profondità h, dove p=p1, V=V1=20·10-6m3 e T=T1=277K, possiamo calcolare il numero di moli di aria:
moli104,28RT
VpnnRTVp 3
1
11111
Sulla superficie del lago la pressione dell’aria sarà p2=p0 (pressione atmosferica) . Applicando l’equazione di stato dei gas perfetti quando la bolla è in superficie, alla pressione p2 e alla temperatura T2=293K possiamo calcolare il volume finale V2 della bolla:
334
2
22222 103cmm101,03
p
nRTVnRTVp
HALLIDAY - capitolo 19 problema 42
Un litro di gas con γ=1,3 è a 273K di temperatura e a 1,0bar di pressione. Esso è improvvisamente compresso adiabaticamente a metà del suo volume originario. Trovare la sua pressione e la sua temperatura finali. Il gas è ora raffreddato e riportato a 273K a pressione costante. Qual è il suo volume finale?
p
V
A
B
VAVB
pA
pBC
VC
VA=10-3m3
pA=1,0×105Pa
TA=273K
VB=VA/2
pB= ? TB=?
pC=pB TC=TA
VC=?
Trasformazione adiabatica AB:
Pa102,5V
VppVpVp 5
γ
B
AAB
γBB
γAA
336KV
VTTVTVT
1-γ
B
AAB
1-γBB
1-γAA
Trasformazione isobara BC (VB=0,5·10-3m3):
l 0,41m104,1T
TVV
T
V
T
V 34
B
CBC
C
C
B
B
HALLIDAY - capitolo 19 problema 45
Si tratta 1,00mol di un gas monoatomico ideale facendogli percorrere il ciclo in figura. La trasformazione 12 si svolge a volume costante, la trasformazione 23 è adiabatica e la trasformazione 31 si svolge a pressione costante. Per le tre trasformazioni 12, 23 e 31 e per l’intero ciclo calcolate: il calore Q scambiato, la variazione di energia interna ΔEint, il lavoro svolto L. La pressione iniziale nel punto 1 è 1,01bar. Trovate la pressione e il volume nei punti 2 e 3.
Calcoliamo le coordinate termodinamiche dei 3 punti del ciclo.
Nel punto 1 sappiamo che p1=1,01×105Pa e T1=300K:
Nel punto 2 sarà V2=V1 e sappiamo che T2=600K:
Nel punto 3 sappiamo che T3=455K e p3=p1:
32
1
11111 m102,47
p
nRTVnRTVp
Pa102,02T
Tpp
T
p
T
p 5
1
212
2
2
1
1
32-
1
313
3
3
1
1 m103,75T
TVV
T
V
T
V
Consideriamo la trasformazione 12:
3740JTTnR2
3TTnCQ 1212V12
0L12
3740JLQΔE 1212int,12
Consideriamo ora la trasformazione 23:
0Q23
-1810JTTnR2
3TTnCΔE 2323Vint,23
1810JΔELΔELQ int,2323int,232323
Consideriamo infine la trasformazione 31:
3220JTTnR2
5TTnCQ 3131P31
1290JVVpL 31131
1930JLQΔE 3131int,31
Consideriamo ora l’intero ciclo:
520JQQQQ 312312tot
520JLLLL 312312tot
0ΔEΔEΔEΔE int,31int,23int,12int,tot
In un ciclo è sempre ΔEint=0 e Q=L
HALLIDAY - capitolo 19 problema 47
3,00 moli di gas ideale si trovano inizialmente allo stato 1 con pressione p1=20,0bar e volume V1=1500cm3. Passano allo stato 2 con pressione p2=1,50p1 e volume V2=2,00V1. Poi allo stato 3 con pressione p3=2,00p1 e volume V3=0,500V1. Calcolare la temperatura del gas negli stati 1 e 2. Qual è la variazione complessiva di energia interna dallo stato 1 allo stato 3?
p
VV1
p1
V2
p2
V3
p3
Nello stato 1 si ha:
120KnR
VpTnRTVp 11
1111
Nello stato 2 si ha:
361KnR
VpTnRTVp 22
2222
Nello stato 3, infine, si ha:
133
3333 T120KnR
VpTnRTVp
Poichè T3=T1 l’energia interna dello stato 3 è uguale all’energia interna dello stato 1. Pertanto ΔEint,13=0
HALLIDAY - capitolo 20 problema 25
A 1,00mol di un gas ideale monoatomico viene fatto percorrere il ciclo mostrato in figura. Il processo bc è un’espansione adiabatica (pb=10,1bar, Vb=1,00×10-3m3). Si calcoli per ogni ciclo il calore fornito al gas, il calore restituito dal gas, il lavoro totale compiuto dal gas e il rendimento.
Nel punto b si ha pb=10,1×105Pa e Vb=1,00×10-3m3:
Nel punto c sappiamo che Vc=8,00Vb=8,00m3. Dall’equazione della trasformazione adiabatica bc si ha:
Applicando poi l’equazione di stato dei gas perfetti nel punto c:
Nel punto a è pa=pc=3,17×105Pa e Va=Vb=10-3m3. Si ha:
122KnR
VpTnRTVp bb
bbbb
30,5KV
VTTVTVT
1γ
b
cbc
1-γcc
1-γbb
Pa103,17V
nRTpnRTVp 4
c
ccccc
3,81KnR
VpTnRTVp aa
aaaa
Calcoliamo ora i calori scambiati dal gas nel ciclo:
1470JTTnR2
3TTnCQ ababVab
0Qbc
554JTTnR2
5TTnCQ cacaPca
In un ciclo ΔEint=0 e quindi Q=L:
Il rendimento è dato da:
916JQQQL cabcab
0,623Q
L
Q
Lη
abass
HALLIDAY - capitolo 20 problema 26
1,00mol di un gas ideale monoatomico viene utilizzata come fluido di lavoro in una macchina termica che funziona lungo il ciclo mostrato in figura. Supponete che sia p=2p0, V=2V0, p0=1,01×105Pa e V0=0,0225m3. Calcolate il lavoro compiuto in ogni ciclo, il calore fornito ad ogni ciclo durante la trasformazione abc e il rendimento del ciclo. Qual è il rendimento di una macchina termica di Carnot funzionante tra la temperatura più alta e quella più bassa del ciclo? Com’è quest’ultimo rispetto a quello del ciclo in esame?
Nel punto a: pa=p0=1,01×105Pa e Va=V0=0,0225m3
273KnR
VpTnRTVp aa
aaaa
Nel punto b: pb=p=2p0=2,02×105Pa e Vb=Va=0,0225m3
547KnR
VpTnRTVp bb
bbbb
Nel punto c: pc=pb=2,02×105Pa e Vc=2V0=0,0450m3
1090KnR
VpTnRTVp cc
cccc
Nel punto d: pd=pa=1,01×105Pa e Vd=Vc=0,0450m3
547KnR
VpTnRTVp dd
dddd
Consideriamo i calori scambiati dal gas nel ciclo:
3420JTTnR2
3TTnCQ ababVab
11300JTTnR2
5TTnCQ bcbcPbc
-6770JTTnR2
3TTnCQ cdcdVcd
-5690JTTnR2
5TTnCQ dadaPda
Il lavoro si può calcolare sommando i calori scambiati:2260JQQQQL dacdbcab
Il lavoro si può anche calcolare come area del ciclo: 2270JVVppL bcab (la differenza tra i risultati, al livello della
terza cifra significativa, è dovuta al calcolo)
Calore assorbito dalla macchina:
14700JQQQ bcabass
Rendimento:
0,154Q
Lη
ass
Le temperature estreme del ciclo sono Ta=273K e Tc=1090K.
Il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra Ta e Tc è:
0,750T
T1η
c
aC
Si noti che ηC>η
HALLIDAY - capitolo 20 problema 28
Una mole di un gas ideale viene utilizzata come sostanza che compie lavoro in una macchina termica che funziona lungo il ciclo mostrato in figura. BC e DA sono processi adiabatici reversibili. Il gas è monoatomico, biatomico o poliatomico? Qual è il rendimento della macchina termica?
Per stabilire la natura del gas occorre determinare γ da uno dei processi adiabatici BC o DA. Consideriamo il processo BC:
3
532logγ328
32p
p
2V
16V
p
p
V
VVpVp
8γ
0
0
γ
0
0
C
B
γ
B
CγCC
γBB
Il gas è di tipo monoatomico
Poichè nel ciclo Q=L, ed essendo QBC=QDA=0, per calcolare il rendimento occorre calcolare soltanto QAB e QCD
ABABPAB TTnR2
5TTnCQ
CDCDPCD TTnR2
5TTnCQ
Per determinare QAB e QCD occorre conoscere le temperature applicando l’equazione di stato nei punti A, B, C e D:
nR
VpTnRTVp 00
AA00 (A):
(B):nR
V2pTnRT2Vp 00
BB00
(C):2nR
VpTnRT16V
32
p 00CC0
0
4nR
VpTnRT8V
32
p 00DD0
0 (D):
00ABAB Vp2
5TTnR
2
5Q
00CDCD Vp8
5TTnR
2
5Q
00CDAB Vp8
15QQL 0,75
Q
Lη
AB