I rapporti statistici

I RAPPORTI STATISTICI

1Cos’è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

Un modo semplice per analizzare dati statistici (siano rappresentativi di frequenze o intensità) consiste nell’istituire un CONFRONTO tra di essi.

La statistica descrittiva si occupa anche di confronti tra dati statistici riferiti:

• alle caratteristiche (frequenze o intensità) di parti di uno stesso collettivo;

• ad uno stesso fenomeno osservato su collettività diverse;• alla comparazione delle sintesi effettuate sulle distribuzioni riferite

ai collettivi (medie, indici di variabilità, ecc.);• a fenomeni diversi tra i quali sussista un nesso logico (“di parte al

tutto”, di “causa ed effetto”, ecc.)


Il confronto può essere effettuato in vari modi.• per differenza (variazioni assolute o relative)• per rapporto


Esempio

Numero di accessi totali alle reti civiche di Firenze e Prato – mese di novembre 2002


Rete civica di Firenze Rete civica di Prato

Numero di accessi (NF) Numero di accessi (NP)

1.726.798 1.255.582

Quanto sono diversi NF e NP ?

Per fare il confronto:• si può fare la differenza


NF - NP NP - NF

1.726.798-1.255.582=471.216

1.255.582-1.726.798= - 471.216

Sulla rete civica di Firenze ci sono 471.216 contatti in più rispetto alla

rete civica di Prato

Sulla rete civica di Prato ci sono 471.216 contatti in meno rispetto

alla rete civica di Firenze

Per fare il confronto:• si può fare la differenza relativa



[(NF - NP)/NP ]*100 = 37,5 [(NP - NF)/NF ]*100 = -27,2

Ogni 100 contatti sulla rete civica di Prato ce ne sono circa 37 in più in

quella di Firenze

Ogni 100 contatti sulla rete civica di Firenze ce ne sono circa 27 in meno

in quella di Prato


Per fare il confronto:• si possono fare vari rapporti:

5.137100NN

P

F

per ogni 100 contatti sulla rc di Prato ci sono circa 137 contatti sulla rc di Firenze

7.72NN

F

P

per ogni 100 contatti sulla rc di Firenze ci sono circa 73 contatti sulla rc di Prato

Rapporti di coesistenza


Quindi sono possibili MOLTEPLICI RISPOSTE: ogni misura della diversità serve a risolvere un problema differente.

8.15100N NNN

PF

PF

per ogni 100 contatti complessivi sulle rc di Firenze e Prato ce ne sono quasi 16 in più sulla rc di Firenze

8.15100NNNN

PF

Fp

per ogni 100 contatti complessivi sulle rc di Firenze e Prato ce ne sono quasi 16 in meno sulla rc di Prato

Rapporti di eccedenza


(1) CONFRONTO MEDIANTE DIFFERENZE

Occorre che le quantità raffrontate siano espresse in una stessa unità di misura.

Esempio: Prezzo del bene X nel mese 1 e nel mese 2:X1 = 50 €X2 = 55 €Prezzo del bene Y nel mese 1 e nel mese 2:Y1 = 5000 €Y2 = 5005 €

1


1.1 Differenze assoluteX2 - X1 = 5 l’incremento assoluto del prezzo fra il mese 1 e il mese 2 è di 5 € .Y2 - Y1 = 5 anche in questo caso l’incremento assoluto del prezzo fra il mese 1 e il mese 2 è di 5 €

MA:l’incremento assoluto nel prezzo di 5 € assume un diverso significato

a seconda che il prezzo iniziale sia 50€ o 5000€ .

1.2 Differenze relative (o variazioni relative)Si ottengono rapportando la differenza assoluta o al sottraendo o al minuendo o ad una media dei due termini (generalmente la media aritmetica).

2

3


Spesso si usano in termini percentuali.

1

12

XXX'

D 100X

XX'1

12

D

2

12

XXX''

D 100X

XX''2

12

D

21

12

XX21

XX'''

D

100

XX21

XX'''21

12

D

Esempi di formule per il calcolo delle differenze relative:


Ne segue, nell’esempio dei prezzi:

10100.50

0555100X

XX

1

12'

XD

1.01005000

00055500100Y

YY

1

12'

YD

Mentre per il bene X l’aumento di prezzo è stato del 10%, per il bene Y è dello 0.1%.


La scelta tra l’una o l’altra delle tre formulazioni va fatta in relazione al termine che si ritiene abbia maggiore importanza per essere preso come riferimento.

NOTARE

Essendo rapporti, le differenze relative non dipendono dall’unità di misura in cui sono espresse X1 e X2

Per cui aumenta la possibilità di confronti


Esempio: In un anno Matteo è passato da 30 kg a 35 kg di peso e da 127 cm a 141 cm di altezza. Le differenze assolute 35 kg – 30 kg = 5 kg141 cm – 127 cm = 14 cmnon si possono confrontare (una è in kg e l’altra è in cm).Le differenze relative sono invece comparabili:

%17100kg 30

kg 30kg 35

%11100

cm271cm271cm411


(2) CONFRONTO MEDIANTE RAPPORTI

In realtà le differenze relative hanno avuto scarsa trattazione teorica in statistica, perché sono strettamente legate ai rapporti statistici e si preferisce utilizzare questi ultimi (vedi numeri indici).

Infatti:

1XX

XXX'

1

2

1

12

D 100100XX100

XXX'

1

2

1

12

D

2

1

2

12

XX1

XXX''

D 100

XX100100

XXX''

2

1

2

12

D


I Rapporti Statistici sono quozienti tra due dati, di cui almeno uno di natura statistica

Sono calcolati prevalentemente per eliminare l’influenza di circostanze che, altrimenti, non renderebbero confrontabili i dati.

Hanno un significato semplice e immediato:

esprimono quante unità del dato posto al numeratore corrispondono ad una unità del dato posto al denominatore


UNA POSSIBILE CLASSIFICAZIONE:

(A) INDICI DI STRUTTURA: permettono di confrontare la struttura di fenomeni rapporti di composizione (tra una parte e il tutto) rapporti di coesistenza (tra due parti di un medesimo tutto) rapporti di eccedenza (rapportando al tutto l’eccedenza tra

una parte e le altre)


(B) RAPPORTI DI DERIVAZIONE: quozienti tra determinazioni di fenomeni diversi che si suppone legati da un nesso logico

• rapporti di derivazione• rapporti di densità • rapporti di durata e di ripetizione

(C) NUMERI INDICE• Numeri indice semplici• Numeri indice complessi


UN’ALTRA POSSIBILE CLASSIFICAZIONE:

In base al tipo di fenomeno che si intende misurare:

Indicatori economici Indicatori finanziariIndicatori demograficiIndicatori sociali…

I fenomeni da misurare sono più complessi e difficoltosi degli stessi sistemi di misura


A.1 RAPPORTI DI COMPOSIZIONE

sono rapporti tra la quantità relativa ad una modalità e l’ammontare complessivo. Sono rapporti tra una parte e il tutto. Come variano le ripartizioni di due importi diversi tra le modalità di un carattere?

Occupati per settore di attività economica (migliaia)

Settore 1999 2000Agricoltura

1134 1120

Industria 6750 6767Servizi 12807 13193Totale 20692 21080


È necessario rendere i due “importi” totali uguali a 100 o a 1. Le distribuzioni percentuali rendono possibili il confronto fra le composizioni degli occupati, nei due anni indicati

Occupati per settore di attività economica (composizione percentuale)

Settore 1999 2000Agricoltura 5.5 5.3Industria 32.6 32.1

Servizi 61.9 62.6Totale 100 100

113420692


A.2 RAPPORTI DI COESISTENZA

Ogni rapporto tra la frequenza (o la quantità) corrispondente ad una modalità e la frequenza (o la quantità) corrispondente ad un’altra modalità.

Rapporti con cui si mette in relazione l’intensità di uno stesso fenomeno in luoghi diversi oppure l’intensità di due fenomeni in uno stesso luogo.

I rapporti di coesistenza possono superare, rispettivamente, 1 o 100 (a seconda che non siano o siano percentuali).

Def. 1

Def. 2


A.2 RAPPORTI DI COESISTENZA

Possono essere:(a) rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di

frequenze assolute;

(b) rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di intensità.

23Cos'è la Statistica - G. Garau, L. Schirru

A.2.a Distribuzione di frequenze assolute

Ripartizione Maschi Femmine R. di mascolinità alla nascita

Nord 116.816 109.874 106.3

Centro 50.171 46.958 106.8

Mezzogiorno 110.848 104.332 106.2

ITALIA 277.835 261.164 106.4

Nati vivi per sesso e ripartizione – Anno 2000.

Fonte: Istat, Annuario Statistico Italiano 2001.

maschifemmine


• Rapporto di mascolinità:

• Rapporto di femminilità:

Gli stessi valori si ottengono sulla distribuzione di frequenze relative

Nati vivi maschiNati vivi femmine x 100

Nati vivi femmineNati vivi maschi

x 100

Esempi:


Indice di matrimonialità:

si ottiene rapportando il numero dei coniugati di un sesso (Cm o Cf) con quello dei coniugabili dello stesso sesso, ossia: celibi o nubili (cm o cf), vedovi (vm o vf) e divorziati (dm o df)

100c

CMe100c

CMf

f

m

m

ff

fmm

m dvdv


Indice di vecchiaia:

si ottiene rapportando la numerosità della popolazione senile (Ps) a quella popolazione della popolazione infantile e giovanile (Pg) (intendendosi generalmente per popolazione anziana coloro che hanno 65 anni o più e per giovani la popolazione in età 0-14)

(quanti vecchi ci sono nella popolazione ogni 100 giovani)

100PPI

g

s v


Indice di dipendenza degli anziani:

sintetizza il carico della popolazione anziana, che per l’età non è autonoma, su quella che si presume la debba sostenere (generalmente Ps è dato dal numero di coloro che hanno 65 anni ed oltre e Pa dal numero di coloro che hanno età compresa fra 15 e 64 anni)

100PP

Ia

s s


Indice di dipendenza:

dove al numeratore è posta la popolazione in età non attiva (0-14 anni e 65 e oltre) e che, quindi, dipende da coloro che sono presumibilmente attivi (Pa: popolazione in età tra i 15 e i 64 anni)

100P

PPI

a

sg

g


Fonte: Istat, Annuario Statistico Italiano 2001


A.2.b Distribuzione di intensità

Esportazioni per area geografica dell’anno 2000; miliardi di Lire correnti (fonte: Istat)

Area Esportazioni

Nord 359.846

Centro 82.428

Mezzogiorno 55.343


Sono possibili 6 rapporti di coesistenza:

1. tra le esportazioni provenienti dal Nord e quelle del Centro:

2. e il suo inverso:

3. tra le esportazioni provenienti dal Nord e quelle del Sud:


5. tra le esportazioni provenienti dal Centro e quelle del Sud:


366.482428359846

229.035984682428

502.655343

359846

154.035984655343

489.15534382428

671.08242855343


Grado di copertura delle esportazioni:

Indica il valore della merce esportata contro un’importazione pari a 100 (Euro, migliaia di Euro, ecc.).

100niImportazioniEsportazio


Scambi commerciali dell’Italia nel 1999 e nel 2000 in miliardi di lire correnti (fonte: Istat)

Tipo transazione 1999 2000

Esportazioni 427.994 498.201

Importazioni 400.837 495.499

8.106100400837427994

1999 I 6.100100495499498201

2000 I


A.3 INDICI DI ECCEDENZA

Per i collettivi ripartiti in due classi può essere interessante conoscere quanto una classe prevale sull’altra, ossia misurare lo squilibrio esistente fra le classi eliminando nel contempo l’influenza dell’ammontare complessivo del collettivo.

Rappresentano delle differenze tra due valori rapportate alla somma dei valori stessi (eventualmente moltiplicate per 100, 1000, ecc.).


La differenza a numeratore fornisce da sola scarse informazioni perché avrebbe un significato diverso a seconda dell’ammontare globale del fenomeno.

Indice di eccedenza dei nati vivi maschi sulle femmine:

Indice di eccedenza delle nate vive femmine sui maschi:

Indice di eccedenza delle importazioni sulle esportazioni:

100N NN - N

fm

fm

100N N

N - N

fm

mf

100Exp ImpExp - Imp


B.1 RAPPORTI DI DERIVAZIONE

Rapporto tra l’ammontare di un collettivo di movimento (o una quantità ad esso relativa) e l’ammontare di un collettivo di stato (o una quantità ad esso relativa), che del primo è il presupposto.

Permettono di confrontare un fenomeno relativo a più collettivi di movimento, che provengono da più collettivi di stato, fra loro diversi, eliminando la diversità di questi ultimi collettivi.


EsempioNati vivi e popolazione media in Toscana e Sardegna – Anno 2000 (Fonte: Istat)

nati vivi in Toscana > nati vivi in Sardegnaci sono state più nascite in Toscana

MApopolazione Toscana > popolazione Sardegna

Se le due regioni avessero avuto la stessa popolazione dove ci sarebbero state più nascite?es. 1000 abitanti Toscana: 28.386 : 3.541.998 = xT : 1000Sardegna: 13.865 : 1.649.966 = xS : 1000

Nati vivi Pop. MediaToscana 28386 3541998Sardegna 13865 1649966

4.8966.649.1

865.130.81000 3.541.998

28.386 ST xx



Tassi (o quozienti) di natura demografica:

1000 annonell' residenteepopolazion della medio ammontare

annodell'vivinatinatalità di tasso

1000 annonell' residente epopolazion della medio ammontare

annonell' decessi di numeromortalità di tasso

mortalità di tasso- natalità di tassonaturale crescita di tasso

1000 epopolazion

immigratineimmigrazio ditasso 1000 epopolazion

emigratieemigrazion di tasso

1000 epopolazion

migratorio saldo migratorio tasso

saldo migratorio = iscrizioni per immigrazioni dall’estero -cancellazioni per emigrazioni per l’estero

tasso di crescita totale = tasso di crescita naturale + tasso migratorio.


B.2 RAPPORTI DI DENSITA’

Eliminano l’influenza del campo di osservazione su un dato statistico.

Sono ottenuti rapportando il dato alla dimensione del suo campo di osservazione (anche non spaziale)

Esempio tipico: densità demografica (numero abitanti per kmq)



Altri esempi: Indice di affollamento (popolazione residente su numero di stanze)

Indice di affollamento per regione


Altri esempi: Indice di affollamento (popolazione residente su numero di stanze per 100)

Indice di affollamento per provincia


Indice di affollamento nelle province metropolitane- 1991(Fonte: Censimento 1991)

N° occupanti delle abitazioni occupate

N° stanze abitazioni. occupate Indice di affollamento

Torino 2.213.470 3.213.560 68,9Milano 3.710.455 5.281.367 70,3Venezia 813.342 1.295.054 62,8Genova 940.034 1.642.378 57,2Bologna 896.809 1.462.396 61,3Firenze 954.966 1.580.533 60,4Roma 3.715.950 5.444.654 68,2Napoli 2.998.941 3.424.015 87,6Bari 1.521.943 1.903.608 80Catania 1.030.667 1.415.635 72,8Palermo 1.218.615 1.689.768 72,1Cagliari 757.776 1.093.156 69,3

B.3 RAPPORTI DI DURATA E DI RINNOVO

Ottenuti rapportando il dato relativo alla consistenza media di un fenomeno a quello che esprime il ritmo di rinnovamento del fenomeno stesso (e viceversa).

Rapporto di rinnovo: esprime il numero di volte che le merci si sono rinnovate nel mese

Rapporto di durata: esprime la permanenza media delle merci nel magazzino durante il mese

Affinché i due rapporti possano essere correttamente interpretati devono valere alcune ipotesi (ad es. che i flussi in entrata e in uscita siano uguali e costanti).

econsistenz delle mediaflussi dei media

/2CC/2UE

10

R

flussidei mediaeconsistenz delle media

/2UE/2CC 10

D


Esempio: dati relativi ad un mese di osservazioni

• C0=1800• E = 3900 • U=3700• C1=2000

• R=2 il numero di volte in cui si sono rinnovate le scorte in un mese• D = 0.5 (15 giorni) permanenza media delle scorte in magazzino

Es. giacenze di magazzino.Legenda:Periodo di riferimento: mese C0 = consistenza iniziale merciE = acquisti nel meseU = vendite nel meseC1 = consistenza finale merci

2

/200028001/270033900

/2CC/2UE

10

R

5.0

/270039003/200028001

/2UE/2CC 10

D


Altri esempi:

Giacenza media annuale dei depositi:

Turn-over della manodopera (in un certo settore di attività economica):

annol'duranteeffettuatiprelievideieversamentideimedia

depositi dei annuo medio ammontare

annonell'settorequelinaddettideglimedia

annonell' settore nel addetti degli entrate delle e uscite delle media


C. I NUMERI INDICE

I Numeri Indice sono dei rapporti che servono per confrontare le intensità di uno stesso fenomeno rilevato in due situazioni o circostanze diverse.Tipico ambito di applicazione sono i confronti temporali e i confronti spaziali.

1. Per i confronti temporali si utilizzano i Numeri Indice nel tempo: si rapportano tutti i valori ad un anno scelto come base, che si pone uguale a 1 o a 100.

2. Per i confronti spaziali si utilizzano i Numeri Indice nello spazio: in questo caso si rapportano i valori ad una area geografica scelta come base (es. comune, nazione, resto del mondo.).


C.1 I Numeri Indice nel tempo.

Anno Popolazione

1951 374.6251961 436.5161971 457.8031981 448.3311991 403.294

Iniziamo con un esempio: A quanto ammonterebbe la popolazione del 1991 se quella del 1951 fosse stata di 100 unità?

7.107100 374625

403294x persone

Utilizzando la seguente proporzione 403.294 : 374.625 = x : 100

Si ottiene:


Notare

NE SEGUE: X = 107.7 significa che dal 1951 al 1991 la popolazione ha subito un incremento del 7.7%

100100P

PP1001P

PP10011PP100

PPx

51

5191

51

5191

51

91

51

91

EPERCENTUALRELATIVA VARIAZIONE100P

PP100x51

5191

-

P91 = numero di persone nel 1991

P51 = numero di persone nel 1951

Se confrontiamo il 1991 con il 1981: 95.89100448331403294100

PPx

81

91

X = 89.95 significa che dal 1951 al 1991 la popolazione ha subito un decremento di circa il 10% (89.95 - 100 = - 10.05)

Attenzione


ANCHE SE LA VARIAZIONE SUBITA DAL FENOMENO È NEGATIVA, IL NUMERO INDICE ELEMENTARE È SEMPRE POSITIVO

Nei numeri indice espressi in termini percentuali il valore di riferimento è 100:X 100 INCREMENTOX 100 DECREMENTOX = 100 SITUAZIONE INVARIATA

Si utilizzano anche numeri indice non espressi in termini percentuali. In tal caso:X’ > 1 INCREMENTOX’ < 1 DECREMENTOX’ = 1 SITUAZIONE INVARIATA


NUMERI INDICE ELEMENTARI A BASE FISSA E A BASE MOBILE

La serie storica si indica così

La serie dei numeri indice a base fissa si ottiene rapportando l’intensità del fenomeno ai vari tempi con l’intensità dello stesso fenomeno ad un tempo di riferimento h (eventualmente moltiplicando per 100):

La serie dei numeri indice a base mobile (o a catena o concatenati o a base variabile) si ottiene rapportando l’intensità del fenomeno ai vari tempi con l’intensità dello stesso fenomeno al tempo immediatamente precedente (eventualmente moltiplicando per 100):

x,... , x, ... ,x,x,x Tt210

xx ,... ,

xx , ... ,

xx,

xx,

xx

h

T

h

t

h

2

h

1

h

0

xx ,... ,

xx , ... ,

xx,

xx,

xx

1-T

T

1-t

t

2

3

1

2

0

1

Sono possibili più serie a base fissa, a seconda della base.

La serie a base mobile è unica.


Popolazione di Firenze ai censimenti e corrispondenti serie di numeri indici a base fissa(1951=100) e a base mobile

Anno Popolazione n.i.b. fissa (1951=100)

n.i.b.mobile

1951 374.625 100 100

1961 436.516

1971 448.331

1981 457.803

1991 403.294

436.516/374.625= 116,52

448.331/374.625= 119,67

457.803/374.625= 127,00

403.294/374.625= 107,65

436.516/374.625= 116,52

448.331/436.516= 102,71

457.803/448.331= 102,11

403.294/457.803= 88,09

Nel 1991 la popolazione è diminuita rispetto al censimento precedente (1981) del 11,91%

Nel 1991 la popolazione è aumentata del 7,65% rispetto al 1951 .


I NUMERI INDICI SEMPLICI, O ELEMENTARI pongono a confronto le intensità – tra due situazioni diverse – di un carattere riferito ad un fenomeno “elementare”, quale il prezzo o la quantità di UN determinato bene

Se ho più indici elementari – relativi, ad esempio, al prezzo di beni diversi in due situazioni distinte – nasce il problema di procedere ad una loro sintesi, in un solo indice, che metta in evidenza le variazioni di insieme intervenute tra le due situazioni considerate. A questo scopo si utilizzano i NUMERI INDICE SINTETICI.


Per studiare la dinamica di più beni, ad esempio la variazione del livello generale dei prezzi la semplice media aritmetica rappresenterebbe adeguatamente tale dinamica solo nel caso in cui tutti gli n beni considerati avessero la stessa importanza. In realtà ciò non accade mai. La composizione del paniere rispecchia quella della spesa di una famiglia media (per approfondimenti si rimanda al sito dell’Istat: http://www.istat.it/prezzi/).

Considerando che ogni bene ha la sua importanza:

Per ottenere l’indice sintetico si calcola una media ponderata:

C.2 NUMERI INDICE SINTETICI

p

1i 1

1i11

ii

ii

qpqw

L’Indice di Laspeyres (IL)

11

12

11

11

1

21

1

2

ii

ii

ii

ii

i

ii

i

iL qp

qpqpqp

ppw

ppI

Questo indice valuta la variazione del complesso di beni a quantità costanti del tempo iniziale. Se invece si pondera con wi2 (quantità correnti) si ottiene:

21

22

22

21

22

22

2

12

2

1

111

ii

ii

ii

ii

ii

ii

i

ii

i

iP qp

qp

qpqp

qpqp

ppw

ppIL’Indice di Paasche (IP)


http://www.istat.it/prezzi/

I Numeri Indice sintetici: l’Indice di Fisher

Esistono almeno due modi per calcolare la variazione del prezzo in un insieme di beni: l’Indice di Laspayres e l’Indice di Paasche.

Quale è la differenza tra i due? La struttura dei pesi

L’indice di Fisher calcola una media geometrica tra i due precedenti indici:

PLF III


Indici di quantità di Laspeyres, Paasche e Fisher

1

12

22

2

12

11

211

1

2

PQLQFQ

ii

ii

i

ii

PQ

ii

iii

i

iLQ

III

qpqp

qqw

I

qpqp

wqqI

Se si vuole tener conto sia delle variazioni di prezzo che delle variazioni di quantità si deve utilizzare l’Indice della Spesa:

11

22

ii

iiS qp

qpI


La tabella mostra la spesa media mensile per consumi delle famiglie, per ripartizione geografica - Anno 2000 (migliaia di Lire correnti).

Ripartizione Geografica

Spesa media

Nord 4726Centro 4162Mezzogiorno

3507

Italia 4217

I Numeri Indice nello Spazio - Esempio

Se si calcola il numero indice nello spazio utilizzando il Sud come base:

8.13410035074726100

CC I

Sud

NordN/S Il risultato si legge così:

In media, nel 2000 una famiglia dell’Italia settentrionale ha speso mensilmente 134.8 lire contro le 100 lire spese da una famiglia del Mezzogiorno (ha speso il 34.8% in più).

2.7410047263507100

CC I

Nord

SudS/N

Se si calcola il numero indice nello spazio utilizzando il Nord come base:

Il risultato si legge così:In media, nel 2000 una famiglia dell’Italia meridionale ha speso mensilmente 74.2 lire contro le 100 lire spese da una famiglia del Settentrione (ha speso il 25.8% in meno).


L’uso della tecnica dei numeri indice nei confronti spaziali origina dall’esigenza di confrontare i livelli di benessere nei diversi paesi in cui si trovavano dislocati i dipendenti delle organizzazioni internazionali, al fine di costruire per essi dei redditi equivalenti. In seguito l’uso dei numeri indice nei confronti internazionali (ma anche nazionali) si è estesi anche ad esigenze di studio per capire ad esempio le reali differenziazioni spaziali nelle variabili economiche (es. PIL, Consumi, Investimenti) attraverso la creazioni di deflatori che consentano di confrontare, ad esempio il Capitale aggregato in Belgio e in Italia.Per una trattazione esaustiva di questo argomento si rimanda ad un corso e ad un testo di Statistica Economica.

C.2 I Numeri Indice nello spazio


Date post:	13-Apr-2017
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I rapporti statistici

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