I solidi

I SOLIDI

PER ANDARE AVANTIFAI UN CLIC CON IL TASTO SINISTRO DEL MOUSE

Osserva i solidi geometrici disegnati

Se consideriamo le loro facce • alcuni solidi sono limitati da SUPERFICI PIANE

sfera

POLIEDRI

• alcuni da SUPERFICI PIANE e da SUPERFICI CURVE• uno di essi da una sola SUPERFICIE CURVA : la sfera

Circondiamo con una linea rossa tutti i solidi delimitati solamente da facce piane.

Abbiamo formato l’insieme dei POLIEDRI

I POLIEDRI

Possiamo distinguere:• Quelli che hanno una sola base di appoggio: le PIRAMIDI• Quelli che hanno due basi di appoggio CONGRURENTI e PARALLELE

Circondiamo con una linea rossa tutti i poliedri che hannodue basi congruenti e parallele.

Abbiamo formato l’insieme dei PRISMI

PRISMI

I PRISMI

Abbiamo formato l’insieme dei PARALLELEPIPEDI

Circondiamo con una linea rossa tutti i prismi che hanno per basi dei parallelogrammi

PARALLELEPIPEDI

SOLIDI GEOMETRICI

POLIEDRI NON POLIEDRI

PIRAMIDI PRISMI

PARALLELEPIPEDI

CUBO

RIASSUMIAMO CON IL DIAGRAMMA AD ALBERO

I solidiUn solido è una parte di spazio delimitata

da una superficie chiusa.

I solidi delimitati da poligoni vengono

chiamati poliedri.

I solidi che hanno superfici curve vengono chiamati

solidi rotondi.

I poliedri

I poligoni si dicono facce del poliedro;

i loro lati si dicono spigoli del poliedro.

i loro vertici si diconovertici del poliedro;

Si dice poliedro un solido delimitato da poligoni, situati su piani diversi e disposti in modo che ognuno dei lati

sia comune a due di essi.

due facce con uno spigolo comune si dicono facce adiacenti.

Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

LA PARABOLA E LA SUA EQUAZIONE/15

1. I POLIEDRI

DEFINIZIONE

PoliedroUn poliedro è una figura solida limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido.

Prisma

Piramide

La distanza fra il vertice (o la base superiore) e il piano della base (inferiore) si chiama altezza.

L’altezza delle facce laterali di una piramide retta è detta apotema.



2. POLIEDRI REGOLARI E SOLIDI DI ROTAZIONE

DEFINIZIONE

Poliedro regolareUn poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e anche i suoi angoloidi e i suoi diedri sono congruenti

DEFINIZIONE

Solido di rotazioneSi chiama solido di rotazione un solido generato dalla rotazione di una figura piana intorno a una retta r

Osserviamo il poliedro della figura a fianco. Indichiamo con:• V il numero dei vertici• F il numero delle facce• S il numero degli spigoli

Osserviamo che per tutti i poliedri vale la seguente relazione:

RELAZIONE DI EULERO

V + F − S = 2

o anche V + F = S + 2

Relazione di Eulero per i poliedri

Alcuni esempi• Quanti spigoli ha il poliedro a fianco?

I vertici sono 12 e le facce 8.Sostituiamo i numeri che conosciamo nella relazione di Eulero:V + F = S + 2 12 + 8 = S + 2Il numero degli spigoli è:S = 12 + 8 − 2 = 18

Prova tu• Quanti spigoli ha un poliedro con

6 facce e 8 vertici?…………………………….

V + F = S + 2S = V + F − 2 S = 8 + 6 − 2 = 12Il poliedro ha 12 spigoli

TRIANGOLARE

I prismiSi chiama prisma un poliedro delimitato da

due poligoni congruenti, detti basi, situati su piani

paralleli e da tanti parallelogrammi quanti

sono i lati di ciascuno dei due poligoni.

Un prisma prende il nome dal numero dei lati del poligono di base.

QUADRANGOLARE PENTAGONALE

I prismi rettiUn prisma si dice retto se i suoi spigoli laterali sono

perpendicolari ai piani delle basi.

Un prisma si dice regolare se è retto e ha per basi due poligoni regolari.

QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO

ESAGONO REGOLARE

Apriamo… un prismaConsideriamo il modello in cartone di un prisma retto a base triangolare.

Se lo tagliamo lungo i suoi spigoli in modo da poterlo distendere su un piano, otteniamo una figura piana che si chiama sviluppo della superficie del prisma.

La superficie di tutte le facce di un solido è detta

superficie totale, mentre quella delle sole facce laterali è detta superficie laterale.

Alcuni esempiIl solido P è un prisma quadrangolare regolare, quindi è retto, le facce laterali sono 4 rettangoli R congruenti e le sue basi sono due quadrati Q congruenti.

Disegna lo sviluppo della superficie di un prisma triangolare regolare.

Prova tu

Qui sotto è disegnato lo sviluppo della superficie del solido P.

P

Le piramidiSi dice piramide un

poliedro limitato da un poligono qualunque, detto base, e da tanti triangoli quanti sono i

lati del poligono, aventi tutti un vertice comune.

Una piramide prende il nome dal numero di lati del poligono di base.

PIRAMIDE TRIANGOLARE

PIRAMIDE QUADRANGOLARE

PIRAMIDE PENTAGONALE

faccialaterale

Piramidi rette e regolariUna piramide si dice retta se ha per

base un poligono circoscrittibile a una circonferenza, il cui centro coincide con il piede dell’altezza.

Una piramide si dice regolare se è retta e se ha per base

un poligono regolare.

QUADRATO TRIANGOLO EQUILATERO

PENTAGONOREGOLARE

Alcuni esempiIl solido P è una piramide quadrangolare regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza inscritta nel poligono di base.

Le sue facce laterali sono quattro triangoli T isosceli congruenti, la sua base è un quadrato Q.

• Quante sono le facce laterali di una piramide regolare esagonale? …….

Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati? ……………………..

Prova tu6

isoscele

Poliedri regolariUn poliedro si dice regolare se: tutte le sue facce

sono poligoni regolari congruenti; tutti gli angoli diedri, formati da facce adiacenti, sono congruenti.

Tetraedro regolare4 facce(triangoli equilateri)4 vertici, 6 spigoli

Cubo (esaedro regolare)6 facce (quadrati)8 vertici, 12 spigoli

Dodecaedro regolare12 facce (pentagoni regolari)20 vertici, 30 spigoli

Icosaedro regolare20 facce (triangoli equilateri)12 vertici, 30 spigoli

Ottaedro regolare8 facce(triangoli equilateri)6 vertici, 12 spigoli

• Un poliedro è un ......................... delimitato da ........................ posti in .............. diversi e disposti in modo che ognuno dei lati sia comune a ................. di essi. Indicando con V il numero di ......................., con F quello delle ........................ e con S quello degli ......................., la relazione di Eulero stabilisce che: V + F − S = .......

Esercitati

• Osserva la figura del poliedro e inserisci i nomi che indicano le sue parti. Determina il numero di spigoli, vertici e facce del poliedro in figura e verifica per questo la relazione di Eulero.

faccia

vertice

spigolo

S = 12

V = 6

F = 8

6 + 8 − 12 = 2

solido

piani

due

vertici

facce spigoli

2

poligoni

Esercitati• Collega il nome dei solidi con la loro definizione e con il loro sviluppo.

2), b)

3), a)

1), c)

Esercitati• Completa scegliendo tra i termini e i simboli regolare, retta,

poligono circoscrivibile, poligono regolare.Una piramide si dice ................ se ha per base un ................ ..................................... e il piede dell’altezza coincide con il centro della circonferenza circoscritta.Una piramide si dice ...................... se è ............. e ha per base un .................................

regolare retta

poligono regolare

retta

poligono circoscrivibile

• Traccia le altezze delle seguenti piramidi e stabilisci quale delle tre è regolare e quale è retta:

………….. ………….. …………..

retta regolare

I solidi rotondiAlcuni solidi hanno una caratteristica forma “rotonda” e la loro superficie non è costituita da poligoni. Per esempio:

CILINDRI CONO SFERA

Facendo ruotare di 360° una figura piana intorno a unaretta (detta asse di rotazione) otteniamo i solidi di rotazione.Non tutti i solidi rotondi sono solidi di rotazione.

Solidi di rotazioneRuotando di 360° un rettangolo attorno a un suo lato, si genera un cilindro retto.

Ruotando di 360° un triangolo rettangolo attorno a uno dei suoi cateti, si genera un cono retto.

Ruotando di 360° un semicerchio attorno al suo diametro, si genera una sfera.

Apriamo… un solido di rotazioneÈ sempre possibile ottenere lo sviluppo della superficie di un cilindro o di un cono.

CILINDRO RETTO

CONORETTO

Esercitati• Collega il nome dei diversi solidi con la figura piana che li genera

(ruotando di 360° attorno a un proprio lato) e con l’opportuno sviluppo della superficie. Perché gli sviluppi delle superfici sono soltanto 2?

1), b)

3),a)

2)

SOLIDI DI ROTAZIONE

SI OTTENGONO FACENDO RUOTARE UN POLIGONO, PER 3600, INTORNO AD UN SUO LATO

UN RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UNA DIMENSIONE

CILINDRO RETTO

ASSE DI ROTAZIONE

RAGGIO DI BASE

UN TRIANGOLO RETTANGOLO RUOTA INTORNO AD UN CATETO

CONO

ASSE DI ROTAZIONE

RAGGIO DI BASE

APOTEMA

QUALI POLIGONI HANNO GENERATO QUESTI SOLIDI DI ROTAZIONE?

INTORNO A QUALE LATO E’ AVVENUTA LA ROTAZIONE?



I SOLIDI

4. CALCOLO DELLE AREE

DEFINIZIONE

Superficie di un poliedroLa superficie di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue facce.

Al = 2p . h Al = π . r . a

Ricordiamo che alla superficie laterale va aggiunta la superficie delle basi.

Scomponendo un solido (anche non poliedrico) è possibile calcolarne la superficie laterale:



5. CALCOLO DEI VOLUMI

TEOREMA

Volume del cuboLa misura del volume del cubo è uguale alla misura del suo spigolo elevato alla terza potenza:V = a3

TEOREMA

Volume del prismaLa misura del volume del prisma è uguale al prodotto della misura dell’area di base per la misura dell’altezza:V = Ab . h

TEOREMA

Volume del cilindroLa misura del volume del cilindro è uguale ap prodotto dell’area del cerchio di base per la misura dell’altezza:V =π .r2 . h

Vediamo che, in generale, il volume delle tre figure può essere espresso come prodotto tra l’area della superficie di base e l’altezza.



I SOLIDI


TEOREMA

Volume della piramideLa misura del volume di una piramide è uguale alla terza parte del prodotto della misura dell’area di base per la misura dell’altezza: V =⅓.Ab . h

TEOREMA

Volume del conoLa misura del volume di un cono è uguale alla terza parte del prodotto della misura dell’area del cerchio per la misura dell’altezza.V =⅓.Ab . h

Volume della piramide e volume del cono.La piramide e il cono sono equivalenti, rispettivamente, alla terza parte di un prisma o di un cilindro di base equivalente. Quindi:

Ac

Ab

Pb = C

Al

Al = Pb x h

C

Al = C x h

Al = 2πrh

At = Al + 2AbArea

cerchio

At = 2πrh + 2πr2

At = 2πr x ( r + h )

Superficie del cilindro

Ab

Pb = C

apotema

Al

Al = pb x a

2

Al = 2πra

2

Al = πra

At = Al + Ab At = πra + πr2

At = πr x ( a + r )

Superficie del cono

1 2 3

h1 = h2 = h3

Ab1 = Ab2 =Ab3

V1 = V2 = V3

VOLUME DEL CILINDRO

V = Ac x h V = πr2h

volume del cilindro

1 2

h1 = h2

Ab1 = Ab2

V1 = V2

VOLUME DEL CONO

V = πr2 x h

3

Volume del cono



3. LA SFERA

La sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro…

… ma, aumentando il numero di lati delle facce di un poliedro regolare, si approssima sempre meglio una sfera…

Quindi, la sfera è un solido di rotazione o un poliedro?



4. CALCOLO DELLE AREE

Area della sfera.La misura dell’area della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo cerchio massimo:

Ssfera = 4 π r2

Riscrivendo l’espressione della superficie sferica come Ssfera=2πr . 2r, troviamo che la superficie di una sfera è equivalente alla superficie laterale del suo cilindro circoscritto.



I SOLIDI


TEOREMA

Volume della sferaLa misura del volume di una sfera è uguale al prodotto di (4/3 π) per la misura del raggio della sfera elevaro al cubo: V =4/3 . π. r3




Date post:	24-Feb-2016
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