1

L’INTEGRALE DEFINITO

dx xfb

a

2

1. Mappa concettuale

2. Le successioni numeriche

3. Il Trapezoide – area del Trapezoide

4. L’integrale definito – def. Di Riemann

5. Funzioni integrabili secondo Riemann

6. Proprietà dell’integrale definito – teorema della media

7. La funzione integrale – teorema di Torricelli-Barrow e corollario

8. Regole d’integrazione – “per parti” e “per sostituzione”

9. Applicazioni dell’integrale definito - Calcolo di aree di domini piani – teorema di Archimede

- Calcolo di volumi - volumi di figure di rotazione - Lunghezza di un arco di curva - Calcolo dell’area di superfici di rivoluzione - Integrali impropri o generalizzati - Applicazioni del calcolo integrale alla fisica

ARGOMENTI

3

c

»

CONCETTOdi

LIMITE

L’INTEGRALE DEFINITOè il limite

di una successione

LA DERIVATAè il limite

del rapp.increm.

L’INTEGRALE INDEFINITO

è l’insieme infinitodelle PRIMITIVE

INTEGRALE DEFINITOe AREA del

TRAPEZOIDE

TEOREMA FONDAMENTALE

DEL CALCOLO INTEGRALE

4

LE SUCCESSIONI NUMERICHE

Una successione è una funzione reale di variabile naturale: f: N R (Dominio N e Codominio R)

Una successione può essere definita:

1. Mediante la formula che definisce il termine n-esimo: an = 2n2+1 nN

2. Per ricorrenza, cioè indicando i primi termini e la legge che lega un termine al precedente:

a0= 0, a1= 1, … , an+2= an+1+an

(a0=0, a1=1, a2=1, a3=2, a4=3, a5=5, a6=8, a7=13, a8=21 … successione di Fibonacci).

5

LIMITI DELLE SUCCESSIONI

Non ha senso considerare il limite di una successione per n tendente ad un valore finito, ma, essendo il

dominio N illimitato superiormente, è interessante studiare il limite di una successione per n + .

Definizioni:

1. Successione convergente: si dice che una successione {an} converge verso l, e si scrive

se R+ esiste un nN, tale che si verifichi |an-l| < an con n > n .

1. Successione divergente: diverge positivamente se

diverge negativamente se

3. Successione indeterminata: si dicono indertminate le successioni che non sono nè convergenti, nè divergenti.

lann

lim

nn

alim

nn

alim

6

DUE PARTICOLARI SUCCESSIONI

1. Progressione aritmetica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a1 e la legge che definisce i termini successivi nel modo seguente:

a1, a2=a1+d, a3=a2+d, … , an+1=an+d Il numero reale d prende il nome di ragione.

La somma dei primi n termini è data dalla formula:

d2

1nnna n

2

aa aS 1

1 nn

1kkn

2. Progressione geometrica: è una successione definita per ricorrenza dando il primo termine a1 e la legge

che definisce i termini successivi nel modo seguente: a1, a2=a1q, a3=a2q , … , an+1=anq

Il numero reale q prende il nome di ragione.

La somma dei primi n termini è data dalla formula:

1qse a nS

1qse q-1

q-1a aS

1

1

n

nn

1kkn

7

IL TRAPEZOIDE

Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a;b] , con a < b, e supponiamo che ivi sia non negativa.

Definizione: Trapezoide è il quadrilatero mistilineo ABCD delimitato dalla curva γ di equazione y = f(x), dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y.

8

L’AREA DEL TRAPEZOIDE

Scomponiamo l’intervallo [a;b] in n intervallini parziali qualsiasi, che solo per comodità espositiva assumiamo uguali, e indichiamo con h l’ampiezza di questi intervalli. Siano mi e Mi , rispettivamente, il

minimo e il massimo dei valori di f(x) nell’iesimo intervallino (mi e Mi esistono per il teorema di

Weierstrass), e consideriamo le seguenti due somme:

hMS hmsn

iin

n

iin

11

9

hMS hmsn

iin

n

iin

11

sn prende il nome di plurirettangolo inscritto nel trapezoide, ed è la somma delle aree degli n rettangoli aventi per basi gli intervallini in cui è stato diviso l’intervallo [a;b] e per altezze le ordinate minime mi della curva in tali intervallini;

Sn prende il nome di plurirettangolo circoscritto al trapezoide, ed è …

Evidentemente sn≤ Sn , qualunque sia n. Il valore delle somme sn e Sn dipende, evidentemente, dalla scomposizione adottata per [a;b]:

sn e Sn sono due funzioni reali della variabile naturale n, sono cioè due successioni.

Teorema.

Se f(x) è una funzione continua e non negativa in [a;b], le due successioni sn e Sn sono convergenti e convergono verso lo stesso numero, cioè ammettono lo stesso limite finito per n + e risulta:

hM hmlimn

ii

n

ii

11 nn

lim

Definizione:

Chiamasi area del trapezoide ABCD, delimitato dalla curva di equazione y = f(x), con f(x) ≥ 0, dall’asse delle x e dalle parallele AD e BC all’asse delle y, il numero che rappresenta il limite comune per n + delle somme sn e Sn .

10

L’INTEGRALE DEFINITO

Definizione di integrale definito secondo Riemann:

Data la funzione f(x), continua in [a ; b], con a < b, il valore comune del limite delle successioni sn ed

Sn si chiama integrale definito della funzione continua f(x) esteso all’intervallo [a ; b], e si indica con la scrittura:

nnnn

b

aSlim slim dx xf

Si legge: integrale definito da a a b di f(x) dx .

I numeri a e b si dicono estremi dell’integrale: a - estremo inferiore, b - estremo superiore.

La funzione f(x) si chiama funzione integranda, la variabile x si chiama variabile d’integrazione.

N.B. In questa definizione non viene fatta l’ipotesi che f(x) sia non negativa in [a ; b].

11

Se per ogni x [a, b] la funzione f(x) è non negativa e integrabile, allora

rappresenta l'area dell'insieme: {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}.

0

4dxsinx 2Area infatti

4Area 0dxsinx

, mentre,

12

Esempi di calcolo dell’integrale definito.

1. Considero la funzione f(x) = px + q e calcolo l’integrale definito

La f(x) è continua in [a ; b].

. dx qpxb

a

βqβ1nap...βqβapβqpa

n

abm...

n

abm

n

abms

:quindiavrà Si

qn

abkapqpxM

qn

ab1kapqpxm

n21n

n

abβ pongo

kk

1kk

2

1nn

n

abpabqpaS:teanalogamene

2

1nn

n

abpabqpas

2

1nn1n...21 essendo

1n...21pββqpanβnqβ1n...21pnpa

2

2

:ottiene si 1)ragione di aritmeticane progressiouna di(somma

2

nn

13

Calcoliamo ora l’integrale definito:

. 1

n

1nnlim essendo

2

a-bp abqpa

b

a

dx qpx

n

1nnlim

2

a-bpabqpa

n

1nnlim

2

a-bpabqpa

b

a

dx qpx

2

1nn

n

abpabqpalim

2

1nn2

n

abpabqpa

b

a

lim dx qpx

Slim s

b

a

lim dx qpx

2n

2

2n

2

2n

2

2

nn

n n n

n

Si può anche scrivere :

a-b 2

qpbqpa

2

a-bp abqpa

b

a

dx qpx2

L’ultima espressione è la formula per l’area del trapezio !

14

Osservazione importante:

L’espressione precedente si può scrivere nel seguente modo:

b

a

qa2

2ap -qb2

2bp a-b 2

qpbqpa dxqpx

Il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [a ; b] della funzione

qpxxf di primitiva una è dxqpxxFdove qx 2

xpxF

2

Si può scrivere quindi: . b

a

aF b Fdxqpx

Il teorema fondamentale del calcolo integrale (Torricelli-Barrow) spiega tale concetto.

15

2. Considero la funzione f(x) = 2 x e calcolo l’integrale definito La f(x) è continua in [1 ; 2].

. dx 2 2

1

x

Dividiamo l’intervallo [1;2] in n parti uguali, mediante i punti

x0, x1, … , xn-1, xn :

22...22n

222...22

n

1

n

12S

2...221n

22...222

n

1

n

12s

2x ,n

1n1x ,

n

21x ,

n

11x 1,x

:avrà si ,n

1

n

ab poichè

n

1n

n

2

n

12n

1n1

n

21

n

11n

1i

xn

n

1n

n

2

n

1

n

1n1

n

21

n

111n

0i

xn

n1n210

i

i

Le somme fra parentesi sono quelle di n termini in progressione geometrica di ragione 21/n , perciò si può scrivere:

21

n1

22S ricava site analogamene

21

n1

2

21

1

n

2

21

21

n

2

21

21

n

2s

n

1n

1

n

n

1

n

1

n

1

n

1

n

n

1

n

16

e2log Hospitall'De ... 21

n1

22lim 21

n1

2 lim2

S lims lim2

2n1

n1

nn1n

2

1

nnnn

2

1

x

x

...dx

dx

Anche in questo caso osservo che il valore dell’integrale coincide con la differenza agli estremi dell’intervallo d’integrazione [1 ; 2] della funzione

x2 xf di primitiva una è dx2xFdove e log2xF xx2

Si può scrivere quindi: . 22

1

e 2loge 2log-elog 2 1F 2 Fdx222

x2

17

FUNZIONI INTEGRABILI

Teorema

Condizione necessaria affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia limitata in [a;

b] .

La condizione non è sufficiente.

Esempio: la funzione f(x) sia definita in [a; b] dalla seguente legge:

Questa funzione, pur essendo limitata in [a; b], ivi non è integrabile secondo Riemann, perché, come

si dimostra facilmente

TeoremaCondizione sufficiente affinché f(x) sia integrabile nell’intervallo [a; b] è che sia continua in [a; b] .

Classi di funzioni integrabili:• Ogni funzione f : [a, b] R continua è integrabile; • Ogni funzione f : [a, b] R limitata e monotona è integrabile;• Ogni funzione f : [a, b] R limitata con un numero finito o numerabile di punti di discontinuità di prima o terza specie è integrabile.

eirrazionalè x se 1,

razionaleè x se 0, xf

Ss nn

nn

limlim

18

19

PROPRIETA’ DELL’INTEGRALE DEFINITO

Definizioni:

1. se a < b si pone:

1. se a = b

Teoremi: 1.

2.

3.

4.

5.

6.

proprietà additiva

b

a

b

a

dxxf dx xf

20

7. Teorema della media

Sia f(x) una funzione continua sull'intervallo [a, b], allora esiste almeno un punto c [a, b] tale che

(*)

Il valore f(c) si chiama valor medio della funzione nell’intervallo [a ; b].

Dimostrazione: Indicati con m ed M il minimo e il massimo di f(x) in [a ; b], con a < b, si ha:

Mab

dxxf

m abMdxxfabm

b

ab

a

L’espressione

ab

dxxfb

a

è un numero compreso fra il minimo m e il massimo M della funzione; per il teorema dei valori intermedi, esiste almeno un punto c [a, b] in cui la f(x) assume tale valore, in cui cioè si verifica la (*).

21

Interpretazione geometrica del teorema della media.

Il valore della funzione in c, f(c), è il valore medio della funzione relativamente all’intervallo considerato.

Nota l’analogia con la definizione di media aritmetica ponderata.

In particolare, se la f(x) è non negativa in [a ; b] , l’integrale definito rappresenta l’area del trapezoide e il valore della funzione in c, f(c), è l’altezza del rettangolo avente per base l’intervallo [a;b] ed equivalente come area al trapezoide.

22

FUNZIONE INTEGRALE

Fissato x0 [a, b], per funzione integrale si intende la funzione F (x) definita sull'intervallo [a, b]:

Si osservi che la variabile della funzione F(x) è l'estremo superiore dell'intervallo di integrazione.

23

La Funzione Integrale – altra interpretazione grafica

24

TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE(Torricelli-Barrow)

Data una funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], la funzione integrale

è derivabile x [a, b], e si ha: F'(x) = f (x) e F(a) = 0 .

Dimostrazione: prendo due punti qualsiasi di [a;b], x e x + h, quindi considero il rapporto incrementale della F(x):

dt tfxFx

a

. hxx;c con cf mediadella teorema il per

h

dttf

h

dttfdttfdttf

additiva proprietà la per h

dttfdttf

h

xFhxF

hx

x

x

a

hx

x

x

a

x

a

hx

a

25

Calcolo il limite del rapporto incrementale per h 0:

. xfdella continuità di ipotesil' per xf cf

h

xFhxF

xchh 00limlim

Quindi ho dimostrato la prima parte della tesi: la F(x) è derivabile e risulta F’(x) = f(x) .

La seconda parte della tesi si dimostra immediatamente essendo:

. 2Ne definizionla per 0dxxfaFa

a

dxxfb F:neOsservaziob

a

26

Corollario del Teorema fondamentale del calcolo integrale

Data la funzione f(x) continua sull'intervallo [a, b], φ(x) sia una primitiva di f(x), allora si ha:

ba

b

a

x ab dxxf

Dimostrazione:

Le funzioni F(x) e φ(x) sono due primitive di f(x), quindi differiscono per una costante k, cioè

φ(x) = F(x) + k φ(x) = + k , quindi, poiché , si ha: x

a

dttf a

a

0dttf

. abdttf kdttfb

kab

a

b

a

Regola:

L’integrale definito tra a e b della f(x), continua in [a;b], è dato dalla differenza dei valori assunti da una primitiva φ(x), rispettivamente, nell’estremo superiore b e nell’estremo inferiore a dell’integrale stesso.

27

6

49x

2

3x

3

1x

2

3x

3

1x

2

3x

3

1

dx 3xxdx3xxdx3xx ...3x 0per x 03xx ...dx3xx 6.

2

ln2

4

π x1ln

2

1xarctgx ... parti)(per ... dxarctgx 5.

951110485xxxdx52x3x 4.

2

ln2 ln1

2

2ln lncos0

4

πlncos lncosx tgxdx 3.

1e e dxe 2. 2

314

2

1x

2

1xdx 1.

:Esempi

4

3

233

0

230

1

23

4

3

23

0

24

1

0

1

222

1

0

21

0

2

123

2

1

2

4π0

4π

0

1

0x

1

0

x2

1

22

1

28

. 2

1x

2

1y ;1x

2

10-y

(1)' Fm

1)-m(xF(1)-y

:ha si , x1

x(x)' F e 0

t1

tF(1) poichè :Risposta

1. xascissa di punto neldt t1

tF(x) funzione della grafico al tangenteretta della equazionel' Determina 8.

.altol' versoè F(x) della concavità la , x di valoriper tali e

k2

xkper 0sin2x ; 02sinxcosx ; 0(x)'' F

;2sinxcosx (x)'' F (x),sin (x)' F

0.(x)'' F che è altol' versoconcavità laper esufficient e necessaria condizione la quindi

,derivabile è F(x) :Risposta

.altol' versoconcavità la volgeessa cuiin intervalli gli Barrow,Torricelli di teoremadel servendoti determina,

,(t)dt sinF(x) funzione la Data 7.

4

1

14

x

14

2

x

0

2

29

Grafico della funzione integrale F(x)

Se fosse sempre facile determinare una primitiva di una funzione, per studiare la funzione integrale F(x),

basterebbe determinare una primitiva (x) della f(x), quindi porre F(x) = (x) - (a), come, per esempio:

Questo procedimento non sempre è agevole e conviene tener presente quanto segue.

Il teorema di Toricelli-Barrow afferma che, data una funzione f(x), continua sull'intervallo [a, b],

la sua funzione integrale è derivabile x [a, b], e si ha: F’(x) = f (x) e F(a) = 0 .

Osserviamo, quindi che:

a. se f(x) > 0 F(x) è crescente, se f(x) < 0 F(x) è decrescente;

b. se f(x) = 0 esistono punti stazionari (a tangente orizzontale) par la F(x);

c. se f(x) è dispari F(x) è pari;

d. se f(x) è pari e a = 0 F(x) è dispari.

Dalle due figure seguenti si comprende il significato della condizione ‘ a = 0 ’.

dt tfxFx

a

. 3

1x

3

1t

3

1dtt)x(F 3

1

3

1

2xx

30

31

32

Esempio: studia la funzione ( in questo caso non è facile trovare la primitiva! )

Poiché si ha che:

dominio F(x): tutto R; F(x) > 0 per x > 0 (la funzione integranda è sempre positiva!);

F(x) = 0 per x = 0 ( F(a) = 0), quindi passa per l’origine;

per quanto detto sopra, ai punti a,b,c,d, si ha:

a. F’(x) = f(x) > 0 x R F(x) è sempre crescente in R;b. F’(x) = f(x) = 0 per nessun valore di x, quindi F(x) non ha punti stazionari;d. f(x) è pari e a = 0, quindi la F(x) è dispari.

quindi concavità verso l’alto per x < 0, verso il basso perx > 0 e punto di flesso discendente nell’origine, con tangente y = x ( y =F’(0)x , con F’(0)=1 ).

Tenuto presente che , si riconosce che le tangenti al grafico di F(x) hanno, al

tendere di x a ± , coefficienti angolari sempre più piccoli: ciò suggerisce l’esistenza di due asintotiorizzontali, uno per x + e uno per x - .

Da quanto detto, il grafico sarà:

. R con x dte)x(Fx

0

2t

2xe)x(f

, 0per x 0)x(F ; xe2)x(F ' 'x' ' 2

0elim)x('Flim2x

xx

33

.2

π y equazione hanno iorizzontal asintoti gli cioè ,

2

πF(x)lim che dimostra Si

x

. 2

dxe : Gauss di integrale dell'

valoreil determina si scient., liceo V di programma il oltre vannoche i,particolar metodiCon

0

2x

34

REGOLE DI INTEGRAZIONE

1. Integrazione per parti

Siano f e g due funzioni continue con le derivate f ' e g' continue nell'intervallo [a, b], allora vale:

g(x) si dice fattore finito f '(x)dx si dice fattore differenziale Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:

35

2. Integrazione per sostituzione

Sia f : [a, b] R una funzione continua, sia φ : [α, β] [a, b] una funzione continua e derivabile con continuità.Sia inoltre φ: ([α, β] ) = [a, b], allora, preso un qualsiasi intervallo [c, d] [a, b], esistono due valori γ, δ tali che c = φ(γ), d = φ (δ) e vale la formula:

Si osservi che l'intervallo [γ, δ] non è univocamente determinato.

Se la funzione φ è invertibile allora l'intervallo [γ, δ] è univocamente determinato, in tal caso si può scrivere:

Per gli integrali indefiniti si ottiene la seguente relazione:

 

36

Esempio

Considero la funzione f(x) = x e l’integrale definito . xdx4

1

Sia inoltre φ(t) = t2, funzione non invertibile (si deve effettuare una restrizione per renderla invertibile) e sia

x = φ(t), cioè x = t2 e

Osservo che l’intervallo di x [1;4] è immagine di quattro intervalli di t:

[1;4] = φ([1;2]) = φ([-1;2]) = φ([1;-2]) = φ([-1;-2]) .

Effettuando la sostituzione x t2, ( dx = d(t2) dx = 2tdt ), si ha:

2

15 dtt2 dt t2 dtt2 dtt2 xdx

2

1

32

1

32

1

32

1

34

1

. xt

37

4

1

2

1

3dxx 2xdx

38

4

1

2

1-

3dxx 2xdx

39

4

1

-2

1

3dxx 2xdx

40

4

1

-2

1-

3dxx 2xdx

41

Altro esempio (integrazione per sostituzione)

Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua su tutto l’asse reale, tale che:

Di ciascuno dei seguenti integrali:

dire se le condizioni assegnate sono sufficienti per calcolarne il valore e, in caso di risposta affermativa, qual è questo.

Risoluzione.

Per il primo integrale le condizioni non sono sufficienti, per gli altri si, infatti:

per gli integrali 1, 2, 3, poniamo x/2 = t, cioè x = 2t , dx = 2dt e gli estremi d’integrazione diventano

x = 0 t = 0; x = 1 t = 1/2; x = 2 t =1, quindi

. 5dx xf (b) e 2dx xf (a)2

0

1

0

1

0

4

2

2

0

1

0

,dx 2xf 4. ;dx 2

xf 3. ;dx

2

xf 2. ;dx

2

xf 1.

42

2

0

1

0

2

0

0

1

2

1

4

2

1

0

2

0

21

0

1

0

(b). integralel'per 2

5- dt tf

2

1

) 2t1 x0,t0 xneintegraziod' estremicon

dt/2,dx t/2, xcioè t,2x poniamo dx 2xf 4.

(b). e (a) integrali gliper e additiva proprietà laper

-14 5-2-2 dttfdttf2 dttf2 dx 2

xf 3.

(a). integralel'per 4dttf2 dx 2

xf 2.

! valoreil calcolarneper isufficient sononon condizioni le

? dttf2 dx 2

xf 1.