Il condensatore Il condensatore (a volte detto capacitore) è uno strumento estremamente utile in elettronica e nei circuiti elettrici, poiché consente di immagazzinare e rilasciare energia elettrica in modo molto rapido. Il classico esempio è il flash della macchine fotografiche: l’energia di una normale batteria non sarebbe erogata abbastanza rapidamente da consentire l’emissione del lampo nei tempi brevissimi richiesti dall’esposizione ottica; si usa dunque l’energia del condensatore; altro esempio è il defribrillatore

Il concetto di condensatore si applica in realtà a moltissimi casi: per esempio il campo elettrico dell’atmosfera terrestre è come un enorme condensatore sferico carico, che periodicamente sfoga attraverso i fulmini l’eccesso di energia elettrostatica accumulata nell’atmosfera

Il condensatore Il condensatore è costituito da due piani conduttori carichi (anche detti piatti o armature) di carica q e –q; la forma precisa (rettangolare, cilindrica, ecc) in realtà è inessenziale fintanto che gli effetti di bordo sono trascurabili; vediamo in figura le linee di campo di un condensatore: al centro il campo è uniforme all’interno, e nullo all’esterno; vicino ai bordi però il campo può essere notevolmente distorto

Il condensatore si dice carico se le armature sono caricate da una carica q; si dice scarico se i piani sono neutri

Capacità del condensatore

L’unità di misura della capacità è il FARAD (F): un Farad è uguale ad un Coulomb su un Volt

La caratteristica più importante del condensatore è la sua capacità (C); essa determina la relazione tra la carica accumulata nel condensatore e la differenza di potenziale tra i due piatti:

VCq

La capacità del condensatore corrisponde alla quantità di carica che è necessario accumulare sui piatti per avere una differenza di potenziale unitaria

FV

C

V

qC

Attenzione a non confondere capacità e Coulomb, entrambi si indicano con C !!

Carica del condensatore Per caricare il condensatore inizialmente scarico è necessario inserirlo in un circuito elettrico, ovvero connetterlo ad una batteria. La batteria genera una d.d.p. tra i suoi poli: a circuito chiuso, la carica + si trasferisce dal polo + della batteria al piatto h del condensatore, e la carica negativa dal polo - della batteria al piatto l del conduttore, fino a che poli e piatti non siano allo stesso potenziale. A questo punto la corrente si blocca: lungo i fili del circuito il potenziale è costante in ogni punto, e la d.d.p. del condensatore si è portata ad un valore uguale a quello della batteria: il condensatore è totalmente carico. Se V è la d.d.p. della batteria e C la capacità del condensatore, la carica accumulata sui piatti è:

VCq

Capacità del condensatore piano Consideriamo un condensatore piano, con carica q, area dei piatti A, e distanza tra i piatti d; trascuriamo gli effetti di bordo ed assumiamo il campo uniforme in tutti i punti interni al condensatore. Calcoliamo la d.d.p. tra i piatti considerando un cammino rettilineo (linea verde) che va dal piatto negativo al piatto positivo (si noti che campo e spostamento hanno verso opposto):

d

A

V

qC 0

S

0 0

qV V V E ds E d d d

A

Si noti che V+-V- è positiva, ovvero all’interno del condensatore il potenziale cresce muovendosi verso il piatto positivo, decresce andando verso il piatto negativo

La capacità dipende soltanto da fattori geometrici: aumenta con l’area e si riduce con la distanza tra i piatti

Unità di misura della permittività dielettrica del vuoto

Ricordiamo quanto vale la permittività dielettrica del vuoto:

Nm

C

mC

N

C

V

CF

1

1

1

1

1

11

2

2

212

0 1085.8mN

C

12

0 8.85 10 8.85F pF

m m

0

AC

d

Dalla relazione:

si vede che la permittività deve potersi esprimere più semplicemente in Farad su metro

In effetti:

Condensatore cilindrico

S

qq

0 0

1 1

2 2

qE

r L r

In figura è mostrata la sezione di un condensatore cilindrico di lunghezza L costituito da due cilindri coassiali di raggi a e b, con carica +q e –q; sia L >> a,b, così da poter trascurare gli effetti di bordo. Il campo elettrico (linee blu) ha simmetria cilindrica. All’interno del condensatore il campo è generato soltanto dal cilindro interno carico +, ed è equivalente a quello di un filo carico:

Consideriamo il cammino radiale (linea verde) che va dal cilindro negativo a quello positivo (lungo il cammino, campo e spostamento sono anti-paralleli):

0 0

1ln

2 2

b b

a a

q q bV V V E ds E dr dr

L r L a

ab

L

V

qC

/ln2 0

la capacità è interamente

determinata da soli fattori geometrici

Condensatore sferico Per il condensatore sferico utilizziamo la stessa figura, immaginando che rappresenti la sezione di una sfera conduttiva interna di raggio a e carica +q ed un guscio concentrico di raggio b e carica –q. Il campo elettrico nel condensatore (linee blu) è determinato soltanto dalla sfera interna carica +, ed equivalente al campo della carica puntiforme posta nell’origine:

2

qE k

r

S

qq

Consideriamo il cammino radiale (linea verde) che va dal cilindro negativo a quello positivo (lungo il cammino, campo e spostamento sono anti-paralleli):

2

1 1 1 1b

b b

a aa

V V V E ds E dr kq dr kq kqr r a b

ab

abqV

04 ab

ab

V

qC

04

Sfera conduttiva isolata

04ab

Cb a

Consideriamo una distanza tra le sfere infinita: ponendo b si può definire la capacità di un conduttore sferico isolato.

aba

aC 00 4

)/(14

questo non è un caso privo di significato fisico: le linee di campo uscenti da una sfera conduttiva carica positivamente prima o poi dovranno andare a morire su un involucro carico negativamente che neutralizza l’intero sistema (ad esempio le pareti della stanza). Se il raggio della sfera è piccolo rispetto a questa distanza si può usare l’espressione per la sfera isolata. Il limite di distanza infinita ha senso solo nel caso di condensatore sferico, poiché la simmetria radiale si conserva nel limite infinito; nel caso cilindrico o uniforme l’aumento di distanza tra le armature produce effetti di bordo sempre maggiori, fino a distorcere completamente la simmetria originaria

Per il condensatore sferico:

Problema 25.1

1388.5 4.5 4 10 0.4q C V fF V C pC

Il numero degli elettroni si ottiene dividendo la carica di ciascuna armatura per la carica dell’elettrone:

Consideriamo un condensatore piano nei circuiti integrati della RAM di un calcolatore; sia A=1 mm2 l’area dei piatti, e d=0.1 mm la distanza tra i piatti 1) Calcolare la capacità del condensatore. 2) Carichiamo il condensatore con una tensione V = 4.5 V: quanti elettroni in

eccesso ci sono sulla sua armatura negativa?

136

19

4 102.5 10

1.6 10

q Cn

e C

23

0

18.85 8.85 1 88.5 10 88.5

0.1

A pF mm pFC cm pF fF

d m mm m

PICO (p) = 10-12; FEMTO (f) = 10-15

Un accumulo di carica di meno di un pico Coulomb corrisponde a 2.5 milioni di elettroni in eccesso !!

Condensatori in serie e in parallelo I circuiti elettrici presentano spesso un gran numero di condensatori, i quali possono essere combinati in due modalità fondamentali: serie e parallelo. Possiamo ricavare delle leggi che consentono di ridurre la capacità di molti condensatori a quella di un solo condensatore equivalente, in modo da semplificare le leggi che regolano il funzionamento dei circuiti. Studiamo quindi la capacità equivalente dei condensatori disposti in serie e parallelo.

Condensatori in parallelo

1 1 2 2 3 3q C V q C V q C V

Se q è la somma delle cariche sui condensatori e Ceq la somma delle capacità si ha:

In figura è mostrato un circuito con 3 condensatori in parallelo; per parallelo si intende che i condensatori sono posti lungo 3 fili paralleli in modo da avere tra le armature la stessa d.d.p. V; all’equilibrio (ovvero dopo la fase di carica) V è costante ed uguale alla tensione stabilita dalla batteria (B). Se i condensatori hanno diversa capacità, anche le rispettive cariche saranno diverse, ovvero:

VCVCCCqqqq eq )( 321321

Dall’ultima equazione segue che possiamo sostituire il circuito reale con un circuito fittizio avente un solo condensatore, con carica uguale alla somma delle cariche e capacità Ceq (detta capacità equivalente) uguale alla somma delle capacità

V V VV

VV

Condensatori in serie

321

321

111

CCCqVVVV

Definiamo capacità equivalente del sistema in serie:

In figura è mostrato un circuito con 3 condensatori in serie, ovvero allineati lungo un ramo del circuito; ciascun condensatore ha diversa d.d.p. ma uguale carica. La batteria carica esclusivamente i piatti collegati dal filo con i poli, gli altri piatti si caricano per induzione. La carica dei condensatori è uguale poiché in ogni coppia di piatti connessi (come quelli interni alla curva rossa tratteggiata) viene indotta una carica uguale ed opposta. La somma delle d.d.p. dei condensatori è uguale alla d.d.p. della batteria, per cui:

Il circuito in serie equivale a quello con un condensatore con stessa carica, e capacità equivalente il cui inverso è la somma dell’inverso delle capacità

VCq eq

321

1111

CCCCeq

V 2V

1V

3V

V

Problema 25.2

Notiamo ora che C12 e C3 sono connesse in serie: possiamo quindi sostituirle con una capacità equivalente:

Il circuito in figura è collegato ad una batteria avente d.d.p. V=12 V; i condensatori hanno capacità C1=12 mF, C2=6 mF, C3=6 mF. 1) Calcolare la capacità equivalente dell’intero circuito

312123

111

CCC

Notiamo che C1 e C2 sono connessi in parallelo, con differenza di potenziale comune tra i punti A e B. Dunque possiamo sostituirli con una C12 equivalente data da:

12 1 2 18C C C Fm

12 3123

12 3

4.5C C

C FC C

m V

V

1V 2V

3V

V

12V

3V

Problema 25.2

Questa carica è la stessa accumulata su C12 e su C3. Utilizziamola per calcolare la tensione ai capi di C12 e C3

Il circuito in figura è collegato ad una batteria avente d.d.p. V=12 V; i condensatori hanno capacità C1=12 mF, C2=6 mF, C3=6 mF. 2) Calcolare le d.d.p. ai capi dei 3 condensatori

Procediamo a ritroso: calcoliamo la carica ai piatti di C123:

123 123 4.5 12 54q C V F V Cm m

1212

12

543

18

q CV V

C F

m

m 3

3

3

549

6

q CV V

C F

m

m

Come verifica del risultato notiamo che la somma di V12 e V3 è uguale alla tensione V della batteria; inoltre si ha V12 = V1 = V2

notiamo ; abbiamo quindi calcolato tutte le d.d.p. ai capi dei condensatori

V

V

12V

3V

V

1V 2V

3V

Problema 25.2 Il circuito in figura è collegato ad una batteria avente d.d.p. V=12 V; i condensatori hanno capacità C1=12 mF, C2=6 mF, C3=6 mF. 3) Calcolare le cariche sui piatti dei 3 condensatori

1 1 1 12 3 36q C V F V Cm m

Conosciamo tutte le d.d.p. ai capi dei condensatori, e le rispettive capacità ; possiamo quindi calcolare le cariche presenti su ciascun condensatore:

2 2 2 6 3 18q C V F V Cm m

3 3 3 6 9 54q C V F V Cm m

Come verifica del risultato notiamo che la somma delle cariche q1 e q2 equivale alla carica precedentemente calcolata del condensatore equivalente C12

Conosciamo ed anche alla carica del condensatore in serie C3

V

1q 2q

3q

Problema 25.3

Se q0 è la carica di C1 ricevuta dalla batteria, all’equilibrio questa si deve conservare, per cui le cariche finali sui condensatori sono tali che

Il condensatore C1=5 mF viene caricato con una batteria a potenziale V0=12 V; la batteria viene poi rimossa e C1 collegato ad un altro condensatore C2=10 mF. A circuito chiuso una certa quantità di carica si trasferisce da C1 a C2 fino a raggiungere una condizione di equilibrio con uguale differenza di potenziale ai capi dei due condensatori; calcoliamo la differenza di potenziale comune V a circuito chiuso

210 qqq

10

1 2

512 4

15

CV V V V

C C

1 0 1 2C V C V C V

Energia immagazzinata nel condensatore L’energia immagazzinata nel condensatore è quella erogata dalla batteria nel processo di carica, e corrisponde al lavoro effettuato (dalla batteria) per trasportare tutta la carica del condensatore da un piatto all’altro, ovvero l’energia potenziale della carica trasferita tra i piatti. Calcoliamo questa energia: consideriamo un condensatore piano, sia q’ la carica sui piatti in un certo istante del processo di carica; consideriamo lo spostamento di una carica dq’ dal piatto negativo a quello positivo; la variazione di energia potenziale associata allo spostamento di carica dq’ da un piatto all’altro è

Immaginiamo di partire dal condensatore scarico (q’=0) e trasferire carica progressivamente fino ad un totale di carica q (q’=q); la corrispondente energia potenziale è data dall’integrale:

'

'' 'q

qdU dq V dq

C

2

'0 0

' 1' '

2

q q

q

q qU dq V dq

C C

C

d

'dq

'q 'q

Energia immagazzinata nel condensatore

Mai confondere la carica che genera il potenziale con la carica spostata all’interno del campo! In a) la carica q è all’interno del campo e viene spostata dalla d.d.p., mentre in b) la carica q è quella che genera il campo e la d.d.p. Nel procedimento corretto abbiamo distinto la carica spostata dq’ dalla carica dei piatti q’ che genera il campo. Alla fine del processo di carica (ovvero dopo l’integrazione in q’) la carica totale q sui piatti coincide con la carica totale spostata da un piatto all’altro; ma ciò è vero soltanto alla fine, non DURANTE il processo di carica.

q C V poiché

ATTENZIONE: potevamo essere tentati di scrivere 2

) )q q

a U q V b V UC C

saremmo caduti in errore…

221 1

2 2

qU C V

C

Si noti che queste espressioni sono valide in generale, non dipendono dal tipo di condensatore considerato (piano, cilindrico, sferico)

Energia immagazzinata nel condensatore Consideriamo 2 condensatori piani C1 e C2; la distanza tra i piatti è 2d per C1 e d per C2, mentre l’area A dei piatti e la carica q sui piatti è la stessa:

Avendo stessa q, anche il campo elettrico interno ai condensatori è lo stesso:

2

1 2

1

12

2

qU U

C

10201 2;2

Cd

AC

d

AC

A

qE

0

A parità di carica, l’energia immagazzinata cresce con la distanza tra i piatti, ovvero col volume di spazio compreso tra di essi. Dunque l’energia, è come se fosse immagazzinata nello spazio compreso tra i piatti.

2C

d

q q

1C

d2

q q

1 22 2V d E V

Invece la d.d.p. tra i piatti e l’energia immagazzinata da C1 sono il doppio rispetto a quelle di C2:

Densità di energia del campo elettrico

L’energia del condensatore può interpretarsi come energia immagazzinata nel volume compreso tra i piatti; nel caso di un condensatore piano, poiché il campo interno al condensatore è uniforme, possiamo facilmente determinare la densità di energia dividendo l’energia per il volume Ad compreso tra i piatti:

22

2

1

2

1VC

C

qU

22 2 20 0 0

2

1 1 1 1

2 2 2 2

AU Vu C V V E

Ad Ad d Ad d

2

0

1

2u E

Questa è un’espressione fondamentale dell’elettromagnetismo, qui ricavata nel caso semplice di un condensatore piano, ma in realtà VALIDA in GENERALE per QUALUNQUE CAMPO ELETTRICO: dato un campo elettrico qualsiasi E in un punto dello spazio, la densità di energia elettrostatica immagazzinata in quel punto è proporzionale al quadrato del campo elettrico

Il defibrillatore Una batteria carica un condensatore ad elevata d.d.p, immagazzinando una grande quantità di energia in meno di un secondo. Una volta carico, gli elettrodi vengono applicati sul petto del paziente ed il circuito viene chiuso: l’energia si scarica attraverso una corrente che fluisce tra le due piastre attraverso il corpo umano (che è un buon conduttore elettrico).

Esempio pratico: un condensatore da C=70 mF può essere caricato fino a V=5 kV ! Calcoliamo l’energia immagazzinata:

2 6 21 170 25 10 875

2 2U C V F V Jm

Scaricare questa energia nel tempo di un millisecondo equivale a scaricare sul corpo del paziente una POTENZA (energia per unità di tempo):

kWs

J

t

UP 875

10

8753

Condensatore con dielettrico

Il concetto di capacità si deve al grande Michael Faraday, uno dei padri dell’elettromagnetismo classico (in Figura sono riportati sfere e gusci in ottone usati da Faraday come condensatori sferici). Nel 1837 Faraday fece un’altra scoperta importantissima:

Inserendo un materiale isolante (DIELETTRICO) come olio minerale o plastica tra i piatti del condensatore, la capacità può aumentare enormemente. Rispetto al condensatore vuoto (chiamiamo Cvuoto la sua capacità), dopo l’inserimento del dielettrico la capacità aumenta di un fattore moltiplicativo adimensionale che dipende dalla sostanza, detto COSTANTE DIELETTRICA

RELATIVA r

r vuotoC CNB: la formula è valido sole se

Il dielettrico riempie TOTALMENTE il condensatore

Condensatore con dielettrico Possiamo quindi scrivere la formula GENERALE della capacità come:

0rC L /

2 / ln( / )

4 / ( )

A d piano

L b a cilindrico

ab b a sferico

L

L è il fattore geometrico, ed ha la dimensione fisica dimensione di lunghezza

1rcol vuoto: 1rcol dielettrico:

Condensatore con dielettrico Caso di potenziale costante: inseriamo il dielettrico nel condensatore quando il condensatore è scarico, e poi connettiamo il condensatore ad una batteria avente d.d.p. V; ai piatti del condensatore si genera la stessa V che si ha per il condensatore vuoto; poiché l’inserimento del dielettrico aumenta la capacità del condensatore, ne segue che la carica ai piatti q e l’energia immagazzinata U aumentano anch’esse dello stesso fattore di proporzionalità r :

VCq vuoto

qVCq rvuotor '

21'

2r vuoto rU C V U

2

2

1VCU vuoto

condensatore vuoto:

condensatore con dielettrico:

Lo stesso accade inserendo il dielettrico nel condensatore carico mentre è connesso con la batteria: la d.d.p. ai piatti è fissata dal valore della batteria, mentre q e U aumentano; questo surplus di carica ed energia è fornito dalla batteria

Condensatore con dielettrico Caso di carica costante: introduciamo il dielettrico nel condensatore quando esso è CARICO di carica q, ed isolato (staccato dalla batteria); in tal caso la carica sui piatti del condensatore non può variare; poiché l’inserimento del dielettrico aumenta la capacità del condensatore, ne segue che dopo l’inserimento del dielettrico la d.d.p. V ai piatti del condensatore e l’energia immagazzinata U devono diminuire di un fattore r :

vuotoC

qV

rvuotor

V

C

qV

'

vuotorC

qU

2

2

1'

vuotoC

qU

2

2

1

Con l’inserimento del dielettrico il condensatore ha perso d.d.p, ed energia; ma l’energia non può scomparire, dov’è finita ? A dopo la soluzione…

Problema 25.6 Un condensatore carico a piatti paralleli con capacità a vuoto Cv=20 pF , non connesso alla batteria, presenta una Vi=10 V. Si inserisce tra i piatti una lastra di porcellana con r =5; calcolare l’energia immagazzinata dal condensatore senza e con dielettrico. In questa situazione la carica si conserva (in figura il condensatore è connesso ad un voltmetro che misura la d.d.p. ai piatti del condensatore; la resistenza del voltmetro è grande per cui il condensatore è isolato (il circuito è aperto)

senza dielettrico:

22 9 21 20 (10 )

10 12 2

i v i

pF VU C V FV nJ

con dielettrico:

0.2if

r

UU nJ

Risposta dielettrica e polarizzazione In un conduttore il campo elettrico non può penetrare: per induzione elettrica, si formano cariche sulla superficie che SCHERMANO il campo esterno. In un materiale isolante all’interno di un campo elettrico, gli elettroni del materiale non sono liberi di muoversi; si verifica comunque un effetto di polarizzazione: le cariche negative (elettroni) e positive (nucleo) di ogni atomo si divaricano leggermente, formando dipoli elettrici di dimensione atomica. Questi dipoli generano un loro campo elettrico che si oppone fortemente a quello esterno, riducendolo di molto (effetto di schermo dielettrico, o risposta dielettrica)

Atomo non polarizzato: la nuvola elettronica (giallo) è centrosimmetrica rispetto al nucleo positivo

In presenza di campo elettrico E (blu) l’atomo si polarizza: elettroni e nucleo si spostano in verso

opposto formando un dipolo microscopico p (verde); il campo elettrico E’ del dipolo (rosso) è orientato in verso opposto, ovvero si oppone, al campo esterno 'E

E

Risposta dielettrica e polarizzazione

Consideriamo la carica q (blu), vicina alla superficie di una sfera isolante; in un punto a distanza r nel vuoto (o nell’aria) il campo elettrico è quello dato dalla legge di Coulomb; in un punto r’ interno alla sfera (con r=r’) il campo è ridotto di un fattore r, e dunque molto più piccolo che nel vuoto

2ˆ '

r

k qE r

r

2ˆ

qE k r

r

q

r

'r

La costante dielettrica relativa r rappresenta la ‘risposta dielettrica’ del materiale all’azione del campo esterno: in presenza di campo, la materia isolante si polarizza, dando lungo ad un campo indotto che scherma (riduce) il campo elettrico esterno; la riduzione del campo dovuta alla risposta

dielettrica è quantificata da r : all’interno di un materiale dielettrico bisogna sostituire:

0 0 r

Leggi dell’elettrostatica all’interno di un materiale dielettrico

r 00

0

0

1 1

4r r r

k q qV V

r r 02 2

0

1 1

4r r r

k q qE E

r r

potenziale e campo generati dalla carica puntiforme in un punto distante r dalla carica:

All’interno di un materiale dielettrico, tutte le relazioni dell’elettrostatica viste per il caso del vuoto restano valide se si moltiplica la permittività dielettrica del vuoto per la costante dielettrica del materiale:

0

0

1

r r

E E

0

0

1

r r

V z V

potenziale e campo generati dallo strato conduttore in un punto distante z dal piano:

Esempi:

Risposta dielettrica nel condensatore Consideriamo un dielettrico in Figura (a); i cerchi indicano atomi neutri. Inseriamo il dielettrico in un condensatore che genera un campo E0; gli atomi si polarizzano (Figura (b)) formando catene di dipoli parallele al campo del condensatore. Ogni catena di dipoli corrisponde ad un dipolo unico avente stessa carica del singolo dipolo, ma lunghezza uguale a quella dell’intera catena. La risposta dipolare del dielettrico equivale alla creazione di un doppio strato isolante di segno opposto rispetto al doppio strato del condensatore In altre parole, la risposta del dielettrico genera un campo indotto E’ opposto in verso e minore in modulo di E0; il campo netto è E (vedi Fig.(c))

Legge di gauss nei dielettrici il dielettrico tra i piatti del condensatore sviluppa, come risposta al campo generato dai piatti, un doppio strato carico che si OPPONE a quello dei piatti; sia q’ la carica di questo doppio strato; applichiamo la legge di Gauss alla superficie Gaussiana disegnata in rosso:

0

'(1)

q qE dA EA

0

1' (2)

r r

E qq q

E

r esprime la riduzione di carica dovuta alla polarizzazione del dielettrico; sostituendo la relazione (2) nella (1) si ottiene la legge di Gauss all’interno del dielettrico:

0 0

0

qE dA E A

0

'E q q

E q

nel vuoto:

0r

qE dA

E è il campo totale (campo dei piatti più campo di polarizzazione), q è la carica sui piatti

Riduzione di energia potenziale nel condensatore con dielettrico

Adesso capiamo dove finisce l’energia persa dal condensatore: a causa dell’interazione tra carica del condensatore e carica di dipolo indotta nel dielettrico, il dielettrico viene ‘risucchiato’ all’interno del condensatore. Dunque l’energia potenziale è spesa dal campo del condensatore per attrarre a sé il dielettrico

2

01

2 r vuoto r

UqU

C

Abbiamo visto che nel condensatore carico isolato l’energia è diminuita dopo l’inserimento del dielettrico

Problema 25.7 La figura mostra un condensatore piano con piatti di area A=(10 cm)2 distanti d=2 cm; si carica il condensatore a vuoto con una tensione V0=100 V; a condensatore isolato si inserisce tra i piatti una lamina dielettrica di spessore b=1 cm e r =2; calcolare: 1) La capacità C0 a vuoto 2) La carica sui piatti 3) Il campo elettrico E0 nell’intercapedine

vuota tra piatti e lastra

003) 5000

V VE

d m

0 02) 4.42 100 0.442q C V pF V nC

pFm

m

m

pF

d

AC 42.4

102

1085.8)1

2

22

00

NB: nell’intercapedine il campo è uguale a quello del condensatore a vuoto

Problema 25.7 La figura mostra un condensatore piano con piatti di area A=(10 cm)2 distanti d=2 cm; si carica il condensatore a vuoto con una tensione V0=100 V; a condensatore isolato si inserisce tra i piatti una lamina dielettrica di spessore b=1 cm e r=2; calcolare: 4) Il campo elettrico E dentro la lastra 5) La d.d.p. tra i piatti V dopo

l’introduzione della piastra 6) La capacità C con la lastra inserita

04) 2500r

E VE

m

0 05) ( ) ( ( / )) 75rV E d b Eb E d b b V

10

2

4.42 106) 5.9

0.75 10

q CC pF

V V

Il dielettrico NON riempie totalmente il condensatore !!

pFCCNB r 85.8: 0

Problema 25.5: sfera conduttiva isolata Su una sfera conduttiva di raggio R=10 cm è collocata una carica q=1 nC; calcoliamo:

04 4 8.85 0.1 11.1pF

C R m pFm

2 271 1 ( )

0.45 102 2 11.1

q nCU J

C pF

2

2 4 5

0 3

1 18.85 81 10 0.36 10

2 2

pF V Ju E

m m m

29 2 2

2 2 2

0

1 19 10 9 10 9 10

4 (10 )

q Nm nC N VE

R C cm C m

La densità di energia sulla superficie della sfera

La capacità della sfera carica:

L’energia immagazzinata nel campo elettrico all’esterno della sfera:

Il campo elettrico sulla superficie della sfera: