Il Continuo DeformabileIl Continuo Deformabile

• Continuo Deformabile:– Deformabile cambia forma per effetto dello spostamento dei suoi punti;– Continuo gli spostamenti dei punti sono descritti da funzioni continue e differenziabili:

– Corrispondenza biunivoca tra posizione iniziale e finale (mappa di deformazioni );– Sono escluse lacerazioni o compenetrazioni di materiale.

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Il Continuo di CauchyIl Continuo di Cauchy

• Solido 3D di volume V in (X1, X2, X3), riferimento cartesiano ortogonale.

• Superficie esterna S = Su » Sf– Su superficie vincolata (a spostamenti us noti)

• Vincoli lisci (senza attrito)• Vincoli bilateri (senza possibilita’ di distacco)

– Sf superficie caricata (forze per unita’ di superficie t note)

• Forze per unita’ di volume (o di massa) b note.

• Ipotesi sulle forze (“di Cauchy”):– Nel volume elementare V e sulla superficie elementare S agiscono la

forza risultante f e la coppia risultante w, tali che:

– Si escludono: 1) coppie (di volume o di superficie) distribuite, 2) forze o coppie concentrate; 3) vincoli puntiformi.

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Statica dei Corpi RigidiStatica dei Corpi Rigidi

• L’applicazione di carichi esterni (forze e spostamenti noti) causa l’insorgere di sollecitazioni interne e di deformazioni, responsabili del cambiamento di configurazione del solido che cerca di addattarsi ai carichi.

• Nell’ipotesi che il solido non si rompa, esso si ferma in una configurazione finale deformata.

• La Meccanica Razionale afferma che C.N.S. affinche’ un Corpo Rigido sia in equilibrio (fermo) e’ che le resultanti delle forze applicate e i momenti resultanti delle forze applicate siano nulle (Equazioni Cardinali della Statica dei Corpi Rigidi):

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Postulato dei Vincoli AddizionaliPostulato dei Vincoli Addizionali

• Nel caso di corpi deformabili, occorre richiamare il postulato dei vincoli addizionali (non dimostrabile): – Se si aggiunge un vincolo qualsiasi a un corpo in equilibrio, esso permane

in equilibrio, e le condizioni che governano l’equilibrio non mutano.

• Al solido deformato e in equilibrio si aggiunge il vincolo di irrigidimento, con cui si fissano le distanze relative tra i vari punti.

• Al corpo irrigidito si possono applicare le equazioni cardinali della statica.

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Equazioni di Equilibrio GlobaleEquazioni di Equilibrio Globale

• Le equazioni cardinali della statica riguardano forze, nel caso del continuo occorre valutare la resultante attraverso espressioni integrali.

• Tra le forze di superficie occorre distinguere tra carichi esterni t(su Sf) e reazioni vincolari incognite r (su Su). L’equilibro alla traslazione e alla rotazione si scrive:

• In forma cartesiana:

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OsservazioniOsservazioni

• Le equazioni di equilibrio globale sono scritte nella configurazione finale deformata. La geometria della configurazione di equilibrio e’ incognita, ed interviene attraverso gli spostamenti e la geometria finale.

• Le equazioni di equilibrio sono in generale accoppiate, contengono incognite statiche (le reazioni vincolari) e cinematiche (gli spostamenti).

• Per sviluppare teorie sul comportamento del materiali che siano facilmente applicabili, occorre fare delle ipotesi semplificative sulla base dell’evidenza sperimentale.

• Nella meccanica dei solidi tradizionale (applicata all’ingegneria civile e meccanica) l’entita’ degli spostamenti e delle deformazioni e’ generalmente abbastanza modesta, tanto da suggerire di considerarli piccoli a tutti gli effetti, con lo scopo di:– Eliminare le non linearita’ nelle equazioni della cinematica;– Eliminare l’accoppiamento tra quantita’ statiche e geometria nelle

equazioni di equilibrio.

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Cinematica (Descrizione Lagrangiana)Cinematica (Descrizione Lagrangiana)

• Si etichetta la particella X con la posizione X da essa occupata nella configurazione di riferimento al tempo t = 0; e la posizione xoccupata dalla particella al tempo attuale t viene “riferita” a X:

• X sono dette coordinate materiali e x coordinate spaziali.

• In genere sono misurate nello stesso sistema di riferimento, e si considera un’unica configurazione di riferimento.

• La funzione x descrive le successive posizioni occupate dalla particella X. La sequenza delle posizioni occupate dalla particella nel tempo e’ detta traiettoria.

• La posizione corrente relativa a quella di riferimento e’ individuata dal vettore spostamento u.

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La Deformazione LocaleLa Deformazione Locale

• Nella trasformazione , il segmento dX (Q-P) diventa il segmento dx (q-p). La condizione di regolarita’ permette di descrivere la posizione x del punto q (ex Q) in funzione della posizione x0 del punto p (ex P) con lo sviluppo di Taylor:

• Il gradiente di deformazione Fdescrive il cambiamento locale diconfigurazione da quellainiziale a quella corrente:

• Il determinante di F e` detto lo Jacobiano della trasformazioneed e` sempre positivo. Definisce anche il rapporto tra le densita` iniziale e finale:

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Il Gradiente di DeformazioneIl Gradiente di Deformazione• Il cambiamento di configurazione e’ globalmente descritto dalla

funzione traiettoria, e la variazione tra punti vicini e’ espressa dal suo gradiente F:

• Il tensore F contiene la derivata della configurazione correnterispetto a quella di riferimento:

• Tensore doppio non simmetrico che si riduce all’identita’ quando la configurazione finale coincide con quella iniziale.

• F e’ legato anche al vettore spostamento u tramite il tensore derivato del vettore spostamento :

• F coincide con l’identita’ I anche nel caso in cui il moto sia di traslazione rigida (non c’e’ differenza di spostamento tra i vari punti), ma non nel caso in cui siano incluse rotazioni rigide.

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La Decomposizione Polare e Cauchy-GreenLa Decomposizione Polare e Cauchy-Green

• Il gradiente di deformazione puo’ essere sempre decomposto nella sequenza di una rotazione rigida R e in una deformazione pura (U o V):

• R rappresenta la rotazione rigida della configurazione deformata rispetto a quella deformata, e’ una matrice ortogonale e la sua trasposta RT rappresenta la rotazione inversa. U e V sono tensori simmetrici detti tensore di stretch destro e sinistro.

• Ogni trasformazione puo` essere vista come una deformazione pura U a cui segue una rotazione rigida R, oppure una rotazione rigida R a cui segue una deformazione pura V.

• Si possono introdurre altre misure di deformazione che non includono la rotazione rigida, e che quindi sono insensibili al cambiamento del sistema di riferimento. Molto usato e’ il tensore di Cauchy-Green C, che include solo gli stretch.

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Decomposizione Polare per Taglio PuroDecomposizione Polare per Taglio Puro

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• Il gradiente di deformazione non e’ particolarmente adatto all’impiego come misura di deformazione perche’:– Include anche le rotazioni rigide, non responsabili di deformazione;– Non e’ simmetrico;– I suoi valori sono unitari quando la deformazione e’ nulla.

• Ingegneristicamente, una misura di deformazione deve:1. Essere insensibile al cambiamento di osservatore (material frame

indifference);2. Essere nulla se la deformazione e’ nulla;3. Ridursi sempre alla stessa espressione nel caso di piccole deformazioni;4. Crescere monotonamente con la deformazione.

• Il tensore di Green-Lagrange e’ molto usato nei calcoli:

Il Tensore di Green-LagrangeIl Tensore di Green-Lagrange

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L’ipotesi di Piccoli SpostamentiL’ipotesi di Piccoli Spostamenti

• A) I valori numerici delle componenti del vettore spostamento e delle loro derivate spaziali sono infinitesimi. Quindi la cinematica puo’ essere assimilata ad un atto di moto a partire dalla configurazione indeformata.

• B) Gli spostamenti sono cosi’ piccoli che l’equilibrio si instaura nella configurazione indeformata; le equazioni di equilibrio vengono scritte con riferimento alla geometria iniziale, nota.

• Si possono svolgere calcoli in cui si assumono entrambe le ipotesi (calcoli del primo ordine); calcoli in cui si rimuove solo la seconda ipotesi (calcoli del second’ordine); e calcoli in cui non si fanno ipotesi restrittive sull’entita’ degli spostamenti (calcoli in grandi spostamenti e deformazioni).

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Il Tensore delle Piccole DeformazioniIl Tensore delle Piccole Deformazioni

• Ai fini della cinematica e’ pertinente solo la prima parte dell’ipotesi di piccoli spostamenti, quella che limita l’entita’ degli spostamenti e delle loro derivate prime. I due riferimenti (iniziale e finale coincidono, x=X). Valgono le seguenti relazioni:

• Green-Lagrange (in funzione di ) diventa il tensore di Biot:

• Esiste una dipendenza lineare tra le componenti di e le componenti di u. E’ come se anziche’ considerare uno spostamento, si considerasse un atto di moto a partire dalla configurazione indeformata (campo vettoriale di velocita’).

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Deformazioni Normali e Scorrimenti AngolariDeformazioni Normali e Scorrimenti Angolari

• Il tensore delle piccole deformazioni definisce le equazioni di congruenza esterna.

• Componenti ad indici uguali (sulla diagonale principale) rappresentano il rapporto tra la variazione di lunghezza e la lunghezza originaria di una fibra diretta come uno degli assi di riferimento (deformazione normale).

• Componenti ad indici diversi rappresentano meta’ della variazione d’angolo tra due fibre che originariamente erano ortogonali, nel piano definito dalla giacitura originaria. La variazione d’angolo nel proprio piano tra due giaciture originariamente ortogonali e’ detta scorrimento angolare.