208 5 1 Il moto di un punto materiale Il punto materiale Consideriamo una barca a vela che si muove sospinta dal vento. 1 Descrivere il suo moto fra le onde è piuttosto complicato. Jim Larson / Shutterstock 2 Se però osserviamo la barca da molto lontano, il suo moto appare regolare e può essere descritto come il moto di un punto su un piano. Netfalls / Shutterstock Approssimare un corpo a un punto semplifica lo studio del suo moto. Un corpo può essere approssimato a un punto materiale quando le sue dimensioni sono trascurabili rispetto alle distanze che percorre. QUANTO? La Terra • puntiforme... La Terra può essere considerata un punto materiale nel suo moto attorno al Sole perché il suo diametro, circa 10 4 km, è trascurabile rispetto alla lunghezza della sua orbita, circa 10 9 km. Marema / Shutterstock CAPITOLO Elenamiv / Shutterstock Il moto in una dimensione
Transcript
208
5
1 Il moto di un punto materiale
Il punto materiale
Consideriamo una barca a vela che si muove sospinta dal vento.
1 Descrivere il suo moto fra le onde è piuttosto complicato.
Jim Larson / Shutterstock
2 Se però osserviamo la barca da molto lontano, il suo moto appare regolare e può essere descritto come il moto di un punto su un piano.
Netfalls / Shutterstock
Approssimare un corpo a un punto semplifica lo studio del suo moto.
Un corpo può essere approssimato a un punto materiale quando le sue dimensioni sono trascurabili rispetto alle distanze che percorre.
QUANTO? La Terra • puntiforme...
La Terra può essere considerata un punto materiale nel suo moto attorno al Sole perché il suo diametro, circa 104 km, è trascurabile rispetto alla lunghezza della sua orbita, circa 109 km.
Marem
a / Shutterstock
CAPITOLO
Elen
amiv / Shutterstock
Il motoin una dimensione
209
5 n Il moto in una dimensione
La traiettoriaQuando un corpo in moto può essere approssimato a un punto materiale si può parlare della sua traiettoria.
Si dice traiettoria l’insieme dei punti attraverso i quali passa un punto materiale duran-te il suo moto.
La traiettoria è quindi una linea che può essere anche molto complicata...
1 ... come quella di un aliante in evoluzione.
www.in
form
azione.it
2 ... come quella di uno scarabeo nel deserto.
S. Han
usch / Shutterstock
La traiettoria più semplice è quella rettilinea.
Un corpo si muove di moto rettilineo quando la sua traiettoria è un segmento di retta.
Il moto di un ascensore e la caduta di una goccia di pioggia, in assenza di vento, sono esempi di moti rettilinei.
Sistema di riferimento e posizioneUn treno Freccia Rossa è lanciato a grande velocità sulla linea Milano-Bologna in direzione di Bologna. Un passeggero si muove verso la coda del treno.
1 Osservato dall’interno del treno, il passeggero si sposta verso Milano.
2 Osservato da un viadotto, il passeggero si muove verso Bologna.
210
Cinematica
Osservatori diversi descrivono il moto del passeggero in modi diversi. Entrambe le de-scrizioni sono corrette, ma ciascuna di esse ha significato solo se si specifica il riferimento utilizzato per indicare le posizioni del passeggero.
In generale, per descrivere il moto rettilineo di un corpo si utilizza un sistema di riferi-mento costituito da:
O un asse coordinato che contiene la traiettoria del corpo; l’asse è una retta sulla qua-le sono fissati un punto detto origine, un verso positivo e un’unità di misura di lun-ghezza;
O un orologio per misurare i tempi.
–2–3 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 s (m)
PO
A ciascun punto della traiettoria corrisponde un punto dell’asse e quindi una coordinata s detta posizione del corpo. Mediante l’orologio si può determinare inoltre l’istante di tempo t in cui il corpo è in una particolare posizione.
La legge orariaLa descrizione del moto di un corpo è completa quando si conosce la posizione s del corpo a ogni istante t, cioè quando è nota la relazione che lega t e s.
La legge oraria di un corpo è la relazione che lega l’istante di tempo t e la posizione s del corpo a quell’istante.
In alcuni casi molto importanti, la legge oraria è una funzione s s t= ^ h che consente di calcolare la posizione s del corpo in un dato istante t.
QUANTO? Il lancio dello Shuttle
Nei primi 5 minuti dopo il lancio, il moto verso l’alto dello Shuttle è descritto dalla seguente legge oraria (fonte NASA):
, ,s t t t611 105 5 57 0 01432 3$ $ $= - + -
Possiamo calcolare l’altezza s dello Shuttle in alcuni istanti di tempo t:
O per t 20 s= si ha , ,s 611 105 20 5 57 20 0 0143 20 6 10 m2 3 2$ $ $ $= - + - =
O per t 40 s= si ha , ,s 611 105 40 5 57 40 0 0143 40 4 10 m2 3 3$ $ $ $= - + - =
O per t 60 s= si ha , ,s 611 105 60 5 57 60 0 0143 60 1 10 m2 3 4$ $ $ $= - + - =
SpostamentoConsideriamo un corpo che all’istante t1 è nella posizione s1 e all’istante t2 è nella posi-zione s2.
Si dice spostamento s s s2 1T = - la variazione di posizione del corpo.
L’unità di misura dello spostamento è il metro (m).
NASA
211
5 Il moto in una dimensione
1 Lo spostamento è positivo se s s>2 1: il corpo compie un movimento totale nel verso positivo dell’asse di rife-rimento.
s s s 4 1 3m m m2 1T = - = - =+
�s
–2 –1 0 1 2 3
s1 s2
4 5 6s (m)
2 Lo spostamento è negativo se s s<2 1: il corpo compie un movimento totale nel verso negativo dell’asse di rife-rimento.
s s s 2 5 3m m m2 1T = - = - =-
�s
–2 –1 0 1 2 3
s1s2
4 5 6s (m)
Lo spostamento effettuato da un corpo in moto e la distanza da esso percorsa non sempre coincidono. Consideriamo il moto di un ascensore che descriviamo rispetto a un asse verti-cale con l’origine al pianterreno. All’istante t1 l’ascensore è al pianterreno.
1 All’istante t2 l’ascensore è a 20 m dal pianterreno. Nell’intervallo t t12 - lo sposta-mento è
s s s 20 0 20m m m2 1T = - = - =
e perciò la distanza percorsa è
d 20 m=
Δs d
2 All’istante t3 l’ascensore è a 8 m dal pianterreno. Nell’intervallo t t3 1- lo spo-stamento totale è
s s s 8 0 8m m m3 1T = - = - =
però la distanza percorsa è
d 20 8 28m m m= + =
Δs
d
In un moto rettilineo lo spostamento e la distanza hanno lo stesso valore solo quando il corpo non cambia il verso del moto.
2 la velocità
la velocità media
Per caratterizzare la rapidità del moto di un corpo non basta considerarne lo spostamento; bisogna anche valutare quanto tempo impiega a compierlo. Più precisamente, bisogna cal-colare la sua velocità media.
La velocitˆ media v di un corpo è il rapporto fra lo spostamento sT del corpo e l’inter-vallo di tempo tT in cui è avvenuto:
vt
s
T
T= (1)
212
Cinematica
DENTRO LA FORMULA
O La velocità media si misura in metri al secondo: m s .
O Se un corpo è nella posizione s1 all’istante t1 e nella posizione s2 all’istante t2, la sua velocità media nell’intervallo di tempo fra t1 e t2 si calcola con la formula:
vt ts s
2 1
2 1=
-
-
Ds
–2 –1 0 1 2 3
s1 s2
4 5 6s (m)
Esempi
Camminata veloce 2 m s
Corsa veloce 1 10 m s$
Aereo di linea 3 10 m s2$
Suono nel vetro 5 10 m s3$
Terra nel moto attorno al Sole 3 10 m s4$
L’intervallo di tempo tT è sempre positivo, per cui il segno della velocità media dipende dal segno dello spostamento.
1 Quando il moto avviene nel verso positivo dell’asse, cioè s s>2 1 , e quindi lo sposta-mento s s s2 1T = - è positivo, la velocità media è positiva:
v3 17 1 3
s sm m m s=-
-=+
–2 –1 0 1 2 3
t1 = 1 s
s1 = 1 m
t2 = 3 s
s2 = 7 m
4 5 6 7 8 9 s (m)
2 Quando il moto avviene nel verso negativo dell’asse, cioè s s<2 1 , e quindi lo sposta-mento s s s2 1T = - è negativo, la velocità media è negativa:
v4 21 9 4
s sm m m s=-
-=-
–2 –1 0 1 2 3
t2 = 4 s
s2 = 1 m
t1 = 2 s
s1 = 9 m
4 5 6 7 8 9 s (m)
213
5 n Il moto in una dimensione
Conversione tra m/s e km/hNel Sistema Internazionale la velocità si misura in metri al secondo, ma nella vita quoti-diana si usano quasi sempre i kilometri all’ora. Per convertire queste unità una nell’altra ricordiamo che 1 1000km m= e 1 3600h s= . Si ha:
, ,1
11
36001000
3 6 101 10
3 61km h
hkm
sm
sm m s3
3
$
$= = = =
Quindi:
1 Per convertire in sm una velocitàespressa in km h bisogna dividereil suo valore numerico per 3,6
km/h _ m/sdividi per 3,6 ,
903 690 25km h m s m s= =
2 Per convertire in km h una velocitàespressa in sm bisogna moltiplicareil suo valore numerico per 3,6
m/s _ km/hmoltiplica per 3,6
,20 20 3 6 72m s km h km h$= =
La velocitˆ istantaneaIl treno a levitazione magnetica Transrapid percorre i 30 km che separano Shanghai dall’ae-roporto a una velocità media di 250 km h .
Simen
s
Durante il tragitto, la velocità del treno cambia: per esempio, in alcuni istanti raggiunge una velocità massima di 431 km h . Per determinare la velocità in un dato istante, cioè la velocità istantanea v, bisogna misurare lo spostamento sT del treno in un intervallo di tempo tT molto piccolo e calcolare la velocità media v s tT T= . Se tT è molto piccolo, la velocità del treno rimane praticamente invariata durante la misurazione e coincide proprio con la velocità media durante quell’intervallo di tempo. Quindi la velocità istantanea è
v vts
T
T= = quando tT è sufficientemente piccolo
Più precisamente:
la velocità istantanea è il valore limite a cui tende il rapporto s tT T quando tT tende a zero: limv
ts
t 0 T
T=
"T
214
Cinematica
DENTRO LA FORMULA
O La formula si legge così: «v è il limite a cui tende il rapporto s tT T per tT tendente a zero».
O Lo spostamento sT diminuisce al diminuire dell’intervallo di tempo tT in cui si misura: quindi sT tende a zero quando tT tende a zero. Però il rapporto tsT T non perde signifi-cato, ma tende alla velocità istantanea v.
Esempio
Per stimare con buona approssimazione la velocità istantanea di un corpo in moto è in genere sufficiente utilizzare un intervallo di tempo di 10 3- s.
Il tachimetro indica la velocità istantanea di un’automobile, ma in realtà misura la velocità media in un intervallo di tempo molto piccolo.
3 Il grafico spazio-tempo Durante le Olimpiadi di Pechino, Usain Bolt stabilì il record del mondo dei 100 m col tempo di 9,69 s. La tabella riporta i suoi tempi di passaggio ogni 10 m.
www.sport.it
t (s) s (m)
0 0
0,17 0
1,85 10
2,87 20
3,78 30
4,65 40
5,50 50
6,32 60
7,14 70
7,96 80
8,79 90
9,69 100
Per descrivere il moto dell’atleta usiamo una rappresentazione detta grafico spazio-tempo. Riportiamo i dati raccolti in un diagramma cartesiano, in cui l’asse dei tempi è orizzontale e l’asse delle posizioni è verticale. Ogni dato corrisponde a un punto del diagramma: l’insie-me dei punti è detto grafico spazio-tempo del moto.
10
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
s (m
)
t (s)
Joingate / Shutterstock
215
5 Il moto in una dimensione
Se aumentiamo il numero di istanti in cui rileviamo la posizione dell’atleta, il grafico spazio-tempo diventa una linea continua.
10
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
s (m
)
t (s)
Ogni punto del grafico spazio-tempo dà la posizione dell’atleta nell’istante di tempo corri-spondente. Per esempio, nell’istante ,t 5 5 s= dopo la partenza, Bolt si trova nella posizione s 50 m= .
pendenza e velocità media
Il grafico spazio-tempo contiene molte informazioni sul moto di un corpo. Conside-riamo per esempio il moto di Bolt tra gli istanti ,t 5 5 sA = e ,t 8 0 sB = , cioè nell’in-tervallo di tempo , , ,t t t 8 0 5 5 2 5s s sB AT = - = - = . Durante questo intervallo la posizione dell’atleta cambia da s 50 mA = a 80s mB = , quindi lo spostamento è
.s s s 80 50 30m m mB AT = - = - =+ Il rapporto tsT T è chiamato pendenza o coeffi-
ciente angolare della retta passante per A e B:
,t
s
2 530
12pendenzasm
m sT
T= =
+=+
10
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
B
s (m
)
t (s)
v = 12 m/s
Secondo l’equazione (1), il rapporto s tT T è proprio la definizione di velocità media. Quindi:
la velocità media in un certo intervallo di tempo è uguale alla pendenza della retta che congiunge i due punti del grafico spazio-tempo corrispondenti agli estremi di quell’in-tervallo.
216
Cinematica
Nel caso di un corpo che si muove nel verso positivo del sistema di riferimento, la velocità è positiva. In questo caso, minore è la pendenza del grafico spazio-tempo, minore è la sua velocità. La pendenza del grafico spazio-tempo fra i punti O e C è minore di quella fra i punti A e B. Infatti, la velocità media nei primi 2,0 s di gara è solo
, , ,,v
t
s
2 0 0 012 0
2 012
6 0s sm m
sm
m sT
T= =
-
-= =
10
0
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C
A
B
O
s (m
)
t (s)
∆s = 12 m
v = 6 m/s
∆t = 2,0 s
pendenza e velocità istantanea
La velocità istantanea ha una interessante interpretazione geometrica nel grafico spazio-tempo di un corpo. Consideriamo un intervallo t t t4 1T = - che contiene l’istante T. La velocità media del corpo in questo intervallo è uguale alla pendenza della retta passante per i due punti del grafico spazio-tempo corrispondenti agli estremi dell’intervallo. Questa retta è una secante del grafico spazio-tempo. Prendendo intervalli di tempo sempre più piccoli contenenti T, la secante tende a diventare la retta tangente al grafico nel suo punto di ascissa T.
s1
s2
s3
s4
s
t1 t2 t3 t4 tT
La velocità all’istante T è la pendenza della tangente al grafico spazio-tempo nel suo punto di ascissa T.
217
5 n Il moto in una dimensione
4 Il moto rettilineo uniformeIl moto più semplice è quello che ha luogo su una retta a velocità costante.
Un corpo si muove con moto rettilineo uniforme quando si sposta lungo una retta con velocità costante.
In un moto rettilineo uniforme la velocità non cambia col passare del tempo. Comunque si scelga un intervallo tT , la velocità media v del corpo è sempre la stessa ed è uguale alla velocità istantanea v.
Poiché la velocità è costante, gli spostamenti sT sono proporzionali agli intervalli di tempo tT in cui avvengono. Infatti, per la definizione di velocità secondo l’equazione (1) si ha:
vts
T
T=
e quindi
s v tT T= (2)
QUANTO? Quanto • lungo un battito di ciglia?
La luce viaggia a 300000 km s. Nella durata di un battito di ciglia, circa 0,2 s, la luce copre una distanza
s 3 10 2 10 6 10m s s m8 1 7$ $ $= =-^ ^h h
cioè 60000 km, una volta e mezza la circonferenza terrestre.
La legge oraria del moto rettilineo uniformeLe caratteristiche del moto uniforme sono contenute nella sua equazione oraria.
Se un corpo si muove lungo una retta con velocità costante v e all’istante t 0 s0 = occupa la posizione s0, al generico istante t la sua posizione è data dalla formula
s s vt0= + (3)
detta legge oraria del moto rettilineo uniforme.
Per dimostrare la (3), consideriamo un corpo che si muove di moto rettilineo uniforme dalla posizione iniziale s0 all’istante t0 e che raggiunge la posizione s nel generico istante t. In queste ipotesi, s s s0T = - e t t t0T = - e l’equazione (2) diviene:
s s v t t0 0- = -^ h
Se poniamo t 0 s0 = , si ha
s s vt0- =
Yurchycks / Shutterstock
217
218
Cinematica
da cui si ottiene la (3):
s s vt0= +
Il grafico spazio-tempo del moto rettilineo uniformeLa velocità è la pendenza del grafico spazio-tempo: se la velocità è costante allora anche la pendenza del grafico spazio-tempo è costante. L’unica curva che ha pendenza costante è la retta. Quindi
il grafico spazio-tempo di un moto rettilineo uniforme è una retta.
Le caratteristiche fisiche della legge oraria s s vt0= + corrispondono a proprietà geometri-che del suo grafico spazio-tempo:
O la posizione s0 all’istante t 0 s= è l’ordinata del punto di intersezione fra la retta e l’asse verticale;
O la velocità v è la pendenza della retta; la pendenza è positiva se il corpo si muove nel verso positivo dello spostamento, è negativa se si muove con verso opposto.
1 Il corpo si muove con velocità 0,5 m s nel verso positivo dello spostamento. Nell’istante t 0 s= la sua posizione è 1+ m rispetto all’origine.
1
0
2
3
4
5
6
10 2 3 4 5 6 7 8 9
s (m
)
t (s)
s = 1 m + (0,5 m/s) t
2 Il corpo si muove con velocità 0,6 m s- nel verso negativo dello spostamento. Nell’istante t 0 s= la sua posizione è 5+ m rispetto all’origine.
1
0
2
3
4
5
6
10 2 3 4 5 6 7 8 9
s (m
)
t (s)
s = – 5 m – (0,6 m/s) t
219
5 n Il moto in una dimensione
5 L’accelerazione
L’accelerazione mediaPartendo da ferma, un’auto sportiva impiega circa 4 s per raggiungere i 100 km h, mentre un’utilitaria può impiegarci più di 13 s. Durante il moto la velocità delle auto è cambiata della stessa quantità, 100 km h, ma il cambiamento ha avuto luogo in intervalli di tempo molto diversi.
La grandezza che descrivere in termini quantitativi la rapidità con cui varia la velocità è l’accelerazione media.
L’accelerazione media a di un corpo è il rapporto fra la variazione di velocità vT del corpo e l’intervallo di tempo tT in cui è avvenuta:
atv
T
T= (4)
DENTRO LA FORMULA
O Nel Sistema Internazionale l’accelerazione si misura in metri al secondo al secondo o m s s m s2=^ h .
O Nella pratica l’accelerazione si può misurare anche in kilometri all’ora al secondo o km h s^ h .
O Se un corpo ha la velocità v1 all’istante t1 e la velocità v2 all’istante t2, la sua accelerazio-ne media nell’intervallo di tempo fra t1 e t2 si calcola con la formula:
at tv v
2 1
2 1=
-
-
t1
v1 v2
a
t2
Esempi
Mezzofondista che inizia la volata 1 m s2
Monoposto di Formula 1 durante la partenza 1 10m s2$
Lingua di un camaleonte mentre cattura un insetto 3 10 m s2 2$
Pallone calciato con forza 3 10 m s3 2$
Palla da baseball colpita dalla mazza 9 10 m s4 2$
220
Cinematica
Il segno dell’accelerazione media dipende dal segno della variazione della velocità.
1 Quando la velocità finale è maggiore di quella iniziale, v v v 0>2 1T = - e l’accelerazio-ne media è positiva.
a
b
v1 v2
a>0
s
Δv>0
v2 v1
a>0
s
Δv>0
2 Quando la velocità finale è minore di quella iniziale, v v v 0<2 1T = - e l’accelerazione media è negativa.
c
d
v1 v2
a<0
s
Δv<0
v2 v1
a<0
s
Δv<0
Quando l’accelerazione ha il segno opposto alla velocità, come nei casi B e C, il corpo rallen-ta. In questo caso si dice che subisce una decelerazione.
QUANTO? La decelerazione durante una staccata
In una gara di MotoGP, i motociclisti effettuano frenate molto violente dette «staccate». In una tipica staccata, alla fine di un rettilineo, la velocità passa da 280 km h a 80 km h in circa 5 s, con una decelerazione media di
,a
5280 80
403 640 1 10
skm h km h
skm h
sm s
m s2$=-
= = =
LÕaccelerazione istantaneaIn genere durante il moto l’accelerazione cambia. Per determinare l’accelerazione istanta-nea si procede in modo analogo al caso della velocità istantanea: si misura la variazione di velocità sT in un intervallo di tempo tT molto piccolo e si calcola l’accelerazione media
Afaizal / Shutterstock
221
5 n Il moto in una dimensione
a v tT T= . Se tT è molto piccolo, l’accelerazione rimane praticamente invariata durante la misurazione e coincide proprio con l’accelerazione media durante quell’intervallo di tempo.
L’accelerazione istantanea è il valore limite a cui tende il rapporto v tT T quando tT tende a zero:
limatv
t 0 T
T=
"T
DENTRO LA FORMULA
O La formula si legge così: «a è il limite a cui tende il rapporto v tT T per tT tendente a zero».
O La variazione di velocità vT diminuisce al diminuire dell’intervallo di tempo tT in cui si misura: quindi vT tende a zero quando tT tende a zero. Però il rapporto v tT T non perde significato, ma tende all’accelerazione istantanea a.
Esempio
Gli accelerometri che attivano gli airbag in caso di urto misurano le variazioni di velocità di un’automobile in un intervallo di tempo di 10 s2- .
6 Il grafico velocità-tempoDurante un Gran Premio gli ingegneri analizzano l’andamento della velocità di una moto in funzione del tempo. I dati telemetrici inviati dalla moto vengono organizzati in un grafico velocitˆ-tempo, in cui l’asse dei tempi è orizzontale e l’asse delle velocità è verticale.
4
0
8
12
16
20
0,40 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6
v (
m/s
)
t (s)
Ogni punto del grafico velocità-tempo dà la velocità della moto nell’istante di tempo cor-rispondente. Per esempio, nell’istante ,t 1 6 s= dopo la partenza la velocità della moto è circa 18 m s.
Pendenza e accelerazione mediaNel grafico spazio-tempo la pendenza corrisponde alla velocità. In modo analogo si può affermare che:
Melissa Brandes / Shutterstock
222
Cinematica
l’accelerazione media in un certo intervallo di tempo è uguale alla pendenza dellaretta che congiunge i due punti del grafico velocità-tempo corrispondenti agli estremi di quell’intervallo.
Per esempio, fra gli istanti ,t 0 45 sA = e ,t 1 3 sB = la velocità passa da ,v 3 0 m sA = a v 16 m sB = . La pendenza della retta passante per i punti A e B del grafico velocità-tempo è proprio l’accelerazione media fra gli istanti tA e tB:
, ,,
,a
1 3 0 4516 3 0
1 213
15s s
m s m ss
m sm s2=
-
-= =
4
0
8
12
16
20
0,40 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6
v (
m/s
)
t (s)
�v
�tA
B
Pendenza e accelerazione istantaneaL’accelerazione media calcolata in intervalli di tempo sempre più piccoli e contenenti T ten-de a diventare l’accelerazione nell’istante T. Nel grafico velocità-tempo, le secanti tendono a diventare la tangente al grafico nel punto di ascissa T.
L’accelerazione all’istante T è la pendenza della tangente al grafico velocità-tempo nel suo punto di ascissa T.
4
0
8
12
16
20
0,40 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 3,2 3,6
v (
m/s
)
t (s)
T
Decelerazione e grafico velocitˆ-tempoUn corpo decelera quando l’accelerazione ha segno opposto rispetto alla velocità. In questi casi il corpo rallenta, cioè la sua velocità diminuisce in valore assoluto.
223
5 n Il moto in una dimensione
1 L’accelerazione è negativa e la velocità è positiva.
v1 v2
a<0
s
Δv<0
v (
m/s
)
t (s)
2 L’accelerazione è positiva e la velocità è negativa.
v2 v1
a>0
s
Δv>0
v (
m/s
)
t (s)
Spostamento e grafico velocità-tempoConsideriamo il grafico velocità-tempo di un corpo che si muove con velocità costante v. L’accelerazione è nulla, quindi la pendenza è zero e il grafico è una retta orizzontale.
t1 t2
v (
m/s
)
t (s)�t
area = v �t
Lo spostamento sT del corpo nell’intervallo tT è s v tT T= . Notiamo che v tT è l’area sotto il grafico velocità-tempo del corpo. Questo è un risultato che vale in generale per qualsiasi tipo di moto:
lo spostamento di un corpo durante un intervallo di tempo t t t2 1T = - è uguale all’area della parte di piano sotto il grafico velocità-tempo fra gli istanti t1 e t2.
7 Il moto rettilineo uniformemente accelerato Il moto accelerato più semplice è quello che ha luogo su una retta con accelerazione co-stante.
Un corpo si muove con moto rettilineo uniformemente accelerato quando si sposta lungo una retta con accelerazione costante.
In un moto rettilineo uniformemente accelerato l’accelerazione non cambia col passare del tempo. Comunque si scelga un intervallo tT , l’accelerazione media a del corpo è sempre la stessa ed è uguale all’accelerazione istantanea a.
SIMULAZIONE
Velocità e accelerazione
(PhET, University of Colorado)
224
Cinematica
La legge velocità-tempo del moto rettilineo uniformemente accelerato
Un corpo che all’istante t 0 s= ha velocità iniziale v0 e si muove con accelerazione co-stante a, all’istante t ha velocità:
v v at0= + (5)
Per dimostrare la (5), consideriamo un oggetto in moto rettilineo con accelerazione costante a. Indichiamo con v0 la velocità iniziale e con v la velocità al generico istante t. Poniamo inoltre l’istante iniziale t 0 s0 = . La formula (4) diventa:
atv v
at
v v0
0 0&=
-
-=
-
Dopo aver moltiplicato entrambi i membri per t, esplicitiamo rispetto a v e otteniamo la (5), v v at0= + .
L’accelerazione è la pendenza del grafico velocità-tempo: se l’accelerazione è costante, allo-ra anche la pendenza del grafico velocità-tempo è costante. Quindi
il grafico velocità-tempo di un moto rettilineo uniformemente accelerato è una retta.
Le caratteristiche fisiche della legge v v at0= + corrispondono a proprietà geometri-che del suo grafico velocità-tempo. Vediamo un esempio relativo alla legge
,v t2 0 5m s m s2=- + ^ h
1 La velocità iniziale è 2 m s- : ciò si-gnifi ca che il corpo si sta muovendo nel verso negativo dell’asse di riferimento. Nei primi 4 s del moto il corpo rallenta, quin-di si muove sempre meno rapidamente nel verso negativo dell’asse.
–1
–2
–3
0
1
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
v (
m/s
)
t (s)
v = –2 m/s + (0,5 m/s2) t
s
2 All’istante t 4 s= la velocità è nulla: il corpo è fermo. A partire dall’istante t 4 s= il corpo si muove sempre più rapidamente nel verso positivo dell’asse.
–1
–2
–3
0
1
1 2 3 4 5 6 7 8
2
3
v (
m/s
)
t (s)
v = –2 m/s + (0,5 m/s2) t
s
225
5 n Il moto in una dimensione
La velocità media di un moto rettilineo uniformemente acceleratoIn molte situazioni è utile calcolare la velocità media di un corpo.
La velocitˆ media di un corpo che compie uno spostamento sT in un intervallo di tempo tT è la velocità costante che il corpo dovrebbe mantenere per compiere lo stesso sposta-
mento nello stesso intervallo di tempo.
Nel caso di un corpo che si muove con accelerazione costante a, la velocità media v è la media delle velocità iniziale v1 e finale v2:
v v v21
1 2= +^ h (6)
Per esempio, un’automobile che parte da ferma e raggiunge i 100 28km h m s=^ h in8,6 s ha una velocità media:
v21 0 28 14m s m s m s= + =^ h
e compie uno spostamento:
,s v t 14 8 6 120m s s mT T= = =^ ^h h
MINDBUILDING La velocitˆ media di un moto con accelerazione costante
Per dimostrare la formula (6), consideriamo un corpo che accelera in modo costante passando dalla velocità v1 all’istante t1 alla velocità v2 all’istante t2 e compie uno spostamento sT .
1 Il suo spostamento è uguale all’area del trapezio sotto il suo grafi co velocità-tempo nell’intervallo tT .Considerando le basi v1 e v2 e l’altezza tT si ha / .s v v t1 2 1 2T T= +^ ^h h
t1
v1
v2
t2
v (
m/s
)
t (s)
Dt
2 Un corpo che si muove a velocità co-stante v nello stesso intervallo di tempo tT compie uno spostamento s v tT T= uguale all’area del rettangolo colorato.
t1
v1
v2
v
t2
v (
m/s
)
t (s)
Dt
I due spostamenti sono uguali quando le due aree sono uguali:
v t v v t21
1 2T T= +^ h
cioè quando
v v v21
1 2= +^ h
226
Cinematica
La legge oraria del moto rettilineo uniformemente acceleratoLe caratteristiche del moto uniformemente accelerato sono contenute nella sua legge oraria.
Se un corpo si muove lungo una retta con accelerazione costante a e all’istante t 0 s=
occupa la posizione s0 e ha velocità v0, al generico istante t la sua posizione è data dalla formula
s s v t at21
0 02= + + (7)
DENTRO LA FORMULA
O Se a 0 m s2= la velocità resta costante e la (7) si riduce alla legge oraria del moto ret-tilineo uniforme s s vt0= + .
O Il termine v t0 è il contributo allo spostamento dato dalla velocità iniziale v0.
O Il termine at1 2 2^ h è il contributo allo spostamento dovuto al fatto che la velocità cam-bia durante il moto.
Esempio
Se un corpo parte da fermo con accelerazione costante, il suo spostamento cresce col qua-drato del tempo.
Per dimostrare la (7) determiniamo lo spostamento sT del corpo a partire dalla sua velocità media v nell’intervallo tT :
s v tT T=
Se il corpo è nella posizione s0 all’istante t 0 s0 = , la sua posizione s al generico istante t è
s s vt0= +
Nel moto uniformemente accelerato, la velocità media è data dalla (6):
v v v21
0= +^ h
in cui la velocità iniziale è v0 e la velocità all’istante t è v:
s s vt s v v t21
0 0 0= + = + +^ h
La velocità v è legata alla velocità iniziale v0 e all’accelerazione a dalla (5) v v at0= + . Sostituendo nella formula precedente si ottiene:
s s v v t s v v at t s v at t21
21
21 20 0 0 0 0 0 0= + + = + + + = + +^ ^ ^h h h
da cui deriva la (7):
s s v t at21
0 02= + +
227
5 n Il moto in una dimensione
Nel diagramma spazio-tempo, il grafico della legge oraria del moto uniformemente accele-rato è un arco di parabola.
1 All’istante iniziale t 0 s0 = : 0s m0 = , v 0 m s0 =
Accelerazione: a 1 m s2=
Legge oraria: ,s t0 5 m s2 2= ^ h
1
0
2
3
4
5
10 2 3 4
s (m
)
t (s)
s = (0,5 m/s2) t2
2 All’istante iniziale t 0 s0 = : 4s m0 = , v 0 m s0 =
Accelerazione: ,a 0 6 m s2=-
Legge oraria: ,s t4 0 3m m s2 2= - ^ h
1
0
2
3
4
5
10 2 3 4
s (m
)
t (s)
s = 4 m – (0,3 m/s2) t2
3 All’istante iniziale t 0 s0 = : s 1 m0 = , v 2 m s0 =-
Accelerazione: a 2 m s2=+
Legge oraria: s t t1 2 1m m s m s2 2= - +^ ^h h
1
0
2
3
4
5
10 2 3 4
s (m
)
t (s)
s = 1 m – (2 m/s) t + + (1 m/s2) t2
Una formula utileNella risoluzione di molti problemi è utile conoscere la relazione che lega lo spostamento alla velocità. Per determinarla, consideriamo un corpo che parte all’istante t 0 s0 = con velocità v0 e poi si muove con accelerazione costante a; nell’intervallo t t t t0T = - = il suo spostamento sT è dato dall’espressione
s vtT =
dove v è la sua velocità media. La sua velocità all’istante t è v v at0= + ; risolvendo rispetto a t si ha:
t av v0
=-
Sostituendo questa relazione nella precedente si ottiene:
s v av v0
T =-
La velocità media è:
v v v21
0= +^ h
Quindi
s v v av v
21
00
T = +-
^ h
228
Cinematica
Eseguendo i calcoli si ottiene la relazione cercata:
sa
v v2
202
T =-
(8)
Questa può essere scritta anche nella forma:
v v a s2202 T= + (9)
QUANTO? L’accelerazione di un proiettile
Un proiettile esce dalla canna di un fucile lunga 0,7 m alla velocità di 200 m s. La sua accelerazione media è:
,s
av a
sv
2 2 2 0 7
2 103 10
m
m sm s
2 2 2 2
4 2&
$
$$T
T= = = =
^ h
8 Il moto di caduta libera
L’accelerazione di gravitàIl moto di un oggetto lasciato cadere verso il basso è influenzato dalla presenza dell’aria. Infatti l’aria oppone una resistenza al moto che dipende dalla forma dell’oggetto: un foglio di alluminio cade molto più lentamente di un foglio identico ma appallottolato.
Con una serie di esperimenti che segnano l’inizio della fisica mo-derna, Galileo Galilei (1564-1642) dimostrò che le differenze fra i moti di caduta dipendono solo dalla resistenza dell’aria. Infatti
quando la resistenza dell’aria è trascurabile, tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione g, detta accelerazione di gravitˆ.
Sulla superficie terrestre l’accelerazione di gravita è (con due cifre significative):
,g 9 8 m s2=
In realtà il valore di g cambia da punto a punto, perché dipende fra l’altro dall’altezza del punto sul livello del mare e dalla sua latitudine. Sulla superficie terrestre g è compreso fra ,9 78 m s2 e ,9 83 m s2; nei calcoli useremo sempre il valore ,9 8 m/s2.
Accelerazione in unità gPossiamo renderci conto se una velocità è grande o piccola confrontandola con una velocità nota, come quella che abbiamo quando camminiamo (circa 5 km h 1,4 m s= ), corriamo (circa 25 km h 6,9 m s= ) o procediamo in autostrada alla massima velocità consentita(130 km h 36 m s= ).
