Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento sulla retta 1 Se a è il numero associato al...

Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento sulla retta

1

Se a è il numero associato al punto P, questa corrispondenza si evidenzia scrivendo P(a) e si dice che P ha ascissa a.

I punti di una retta orientata, una volta fissato un segmento di lunghezza unitaria, sono in corrispondenza biunivoca con i numeri reali.

A

−3 0 +2 92

BO C

+

A (-3)

B (+2)

C (+ )92

u


2

Un segmento sulla retta è individuato dai suoi punti estremi.

O

0 +632

A B r

+

Il segmento AB è individuato dai

punti B(+6) e BA(+ )32

Per trovare la misura di AB (si indica con AB):

AB = OB – OA = (+6) – (+ ) = 6 − = 3

23

2

9

2

ascissadi B

ascissadi A

u

Il piano cartesiano e la retta

ESEMPI

Sistema di riferimento sulla retta

3

La misura di un segmento AB si determina calcolando la differenza fra le ascisse dei suoi punti estremi A e B, presi in un ordine qualsiasi, e considerandone poi il valore assoluto in modo da garantire la positività del risultato. Se A(xA) e B(xB), la misura di AB è data dalla relazione

AB = |xA – xB| = |xB – xA|

Se A(+4) e B(−2), allora AB = |−2 – (+4)| = |+4 – (−2)| = 6

Se A(−3) e B(−8), allora AB = |−8 – (−3)| = |−3 – (−8)| = 5


4

Il punto medio M di un segmento è il punto per il quale si verifica che AM ≅ MB.

M

xM xB

A B r

xA

Se A(xA) e B(xB) si ha che: AM = xM – xA e MB = xB − xM

Possiamo allora concludere che l’ascissa del punto medio di un segmento AB è data dalla semisomma delle ascisse dei suoi estremi.

ESEMPIO

Se A(+2) e B(−7), allora+2 − 7

2xM = = −

5

2

Quindi xM − xA = xB − xM , cioè risolvendo rispetto a xM

xA + xB

2xM =

Il piano cartesiano e la retta Sistema di riferimento nel piano

5

I punti del piano cartesiano sono in corrispondenza biunivoca con le coppie ordinate (x, y) di numeri reali.

Consideriamo due rette orientate qualsiasi r e s, incidenti, distinte e perpendicolari.

O

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

-1-1

s

r

Fissiamo su ciascuna di esse un sistema di ascisse in modo che il punto origine O sia il loro punto di intersezione e supponiamo che l’unità di misura sia la stessa su entrambe le rette.


6

O P’(x)

P’’(y) P

r

s

Viceversa assegnati un punto P’ di ascissa x sulla retta r ed un punto P’’ di ascissa y sulla retta s e tracciate da essi le parallele ad s e r, si viene ad individuare come loro intersezione un unico punto P.

La coppia ordinata (x, y) di numeri reali rappresenta le coordinate del punto P e si scrive

P(x, y)

Da un punto qualunque P del piano, tracciamo le parallele ad r e s che le incontrano rispettivamente nel punto P’ associato al numero x e nel punto P” associato al numero y.


7

Questi due assi perpendicolari definiscono un sistema di riferimento cartesiano ortogonale.

L’asse r viene detto asse delle ascisse (asse x)

O

asse delle ascisse x

y

ass

e d

elle

ord

ina

te

L’asse s viene detto asse delle ordinate (asse y)

Il piano cartesiano viene diviso in quattro quadranti.O

I Quadrante

x

y

II Quadrante

III Quadrante IV Quadrante


8

I segni delle coordinate dei punti nel piano cartesiano variano a seconda della posizione del punto.

Ox

y

D (−4, 3)

A (3, 2)

C (−2, −1)

B (2, − )7

2

u


ESEMPIO

Segmenti

9

Dati nel piano cartesiano due punti A(xA, yA) e B(xB, yB), la

misura del segmento AB è data dalla formula:

AB = √(xB – xA)2 + (yB – yA)2

O

x

y

A

B

C

xA xB

yA

yB

A(−2, 1) ; B(3, 4)

AB 3 2 2 4 1 2 3 2 2 32 259 34


ESEMPIO

Segmenti

10

In particolare:

• se il segmento AB è parallelo all’asse delle ascisse

AB = |xB – xA|

O

x

y

A B

A’ (xA)

yA

yA = yB

B’ (xB)

A(3, 2) ; B(−5, 2) AB = |−5 −3| = 8


ESEMPIO

Segmenti

11

• se il segmento AB è parallelo all’asse delle ordinate

AB = |yB – yA|

O

x

y

AA” (yA)

xA = xB

B” (xB) B

A(3, −4) ; B(3, 7) AB = |7 − (−4)| = 11


ESEMPIO

Segmenti

12

Dati i punti A(xA, yA) e B(xB, yB), le coordinate del loro punto medio M sono date dalla formula:

xM =xA + xB

2yM =

yA + yB

2

O

x

y

AA” (yA)

B” (xB)B

MM” (yM)

A’ (xA) M’ (xM) B’ (xB)

A 5, 1 B 3, 5 xM 532

4 yM 152

2 M 4, 2

Il piano cartesiano e la retta Isometrie

13

Un’isometria è una funzione che ad ogni punto del piano fa corrispondere un altro punto in modo che a segmenti congruenti corrispondano segmenti congruenti.

• La simmetria assiale

Data una retta r, la simmetria assiale di asse r è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P’ in modo che r sia l’asse del segmento PP’; del punto P’ si dice che è il simmetrico di P.

In pratica, per trovare il simmetrico di un punto P rispetto a r si traccia da P la perpendicolare a r che la incontra in H e si prende su di essa, da parte opposta rispetto a r, il punto P’

in modo che sia PH ≅ P’H.


14

• Simmetrie assiali nel piano cartesiano

- Simmetria rispetto all’asse x

P x,y P x, y

- Simmetria rispetto all’asse y

P x,y P x,y

ESEMPIO

I simmetrici del punto P(−1, 2) rispetto all’asse x e all’asse y sono P’(−1, −2) e P’’(1, 2).


15

• La simmetria centrale

Dato un punto A, la simmetria di centro A è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P’ in modo che A sia il punto medio de segmento PP’.

In pratica per trovare il simmetrico di un punto P rispetto al centro A si traccia da P la semiretta PA e si prende su di essa,

da parte opposta rispetto a A, il punto P’ in modo che sia PA ≅ P’A.


16

• Simmetria centrale nel piano cartesiano

ESEMPIODato il punto P(5, −4):

- Simmetria rispetto all’origine

P x,y P x, y

- Simmetria rispetto al punto A(a, b)

P x,y P 2a x,2b y

• il suo simmetrico rispetto all’origine è il punto P’(-5, 4)

• il suo simmetrico rispetto ad A(−1, 2) ha coordinate:

x 2 1 5 7

y 2 2 4 8

P 7,8


ESEMPIO

Isometrie

17

• La traslazione

Dato un segmento orientato v, la traslazione è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P’ in modo che il segmento v abbia il primo estremo in P ed il secondo in P’.

Il vettore v = AB con A(3,−1) e B(−2,4) ha componentivx = −2 − 3 = −5 e vy = 4 + 1 = 5, cioè v (−5, 5),

vx x2 x1

vy y2 y1 e si scrive

v vx ,vy

Un segmento orientato del piano si chiama anche vettore; un vettore si individua facilmente mediante le sue componenti lungo gli assi cartesiani, che sono i segmenti orientati vx e vy che si ottengono proiettando il vettore v su tali assi o su due rette ad essi parallele; se A(x1, y1) e B(x2, y2) sono rispettivamente il primo e il secondo estremo del vettore, si ha che:


18

ESEMPIO

ascissa: 1 − 5 = −4

ordinata: −4 + 3 = −1 P’(−4, −1)

La traslazione di vettore v(−5, 3) trasforma il punto P(1, −4) nel punto P’ di coordinate:

• La traslazione nel piano cartesiano

Dato un vettore v di componenti (vx, vy) ed un punto P(x, y) del piano, le coordinate del punto P’ ad esso corrispondente nella traslazione di vettore v si ottengono aggiungendo vx e vy rispettivamente alla sua ascissa e alla sua ordinata:

x P x vx

y P y vy

Il piano cartesiano e la retta La retta

19

• I punti che appartengono all’asse x hanno ascissa variabile ma ordinata sempre uguale a zero.

equazione asse x:

y 0

• I punti che appartengono all’asse y hanno ordinata variabile ma ascissa sempre uguale a zero.

equazione asse y:

x 0


20

Analogamente:

• L’equazione di una retta parallela all’asse x è:

y k

• L’equazione di una retta parallela all’asse y è:

x h


21

L’equazione di una retta passante per l’origine.

Per i punti A, B, C, ... che appartengono ad una retta per l’origine O, il rapporto

yC

xC

yB

xC

yA

xA

è costante.

Indicata con m tale costante si ha:

yx

m o anche:

y mx

coefficiente angolare


22

In questo caso è il rapporto che si mantiene costante:

yx

yB yA

xB xA

yC yB

xC xB

yD yC

xD xC

m

yx

Una retta di questo tipo ha equazione:

y mx q

L’equazione di una retta non passante per l’origine.

ordinata all’origine

coefficiente angolare


23

rappresenta la pendenza della retta (rispetto all’asse x)

m yx

Significato geometrico di m.

m 0 acuto

m 0 ottuso


24

•bisettrice del primo e terzo quadrante

m 1 : y = x

Rette significative passanti per l’origine sono le seguenti:

•bisettrice del secondo e quarto quadrante

m 1 : y x


25

Nell’equazione

y mx q per x = 0 si ottiene y = q

Significato geometrico di q.

Il punto di coordinate (0; q) rappresenta il punto di intersezione tra la retta e l’asse delle y.

q si dice ordinata all’origine.


26

L’equazione generale della retta può essere espressa:

• in forma implicita:

ax by c 0

• in forma esplicita:

y mx q

ESEMPI

L’equazione

y 1

4x 3 (forma esplicita) può essere scritta in forma implicita:

4y x 12 x 4y 12 0

Viceversa

2x 3y 1 0 (forma implicita) può essere scritta in forma esplicita:

3y 2x 1 y 2

3x

1

3


27

• Nel caso b ≠ 0 le relazioni che legano la forma esplicita a quella implicita sono:

ESEMPIO

Data la retta di equazione

2x 3y 1 0

Il coefficiente angolare è

m 2

3

m ab

q cb

e

L’ordinata all’origine è

q 1

3

• Nel caso b = 0 l’equazione diventa:

ax c 0

x c

ache individua una retta parallela all’asse y.

In tal caso non si può definire il coefficiente angolare.


28

Il grafico di una retta, così come quello di una qualsiasi curva, è costituito da tutti e soli i punti le cui coordinate ne soddisfano l’equazione.

Sappiamo che per due punti del piano passa una e una sola retta.

Quindi per disegnare la retta di equazione

2x 3y 1 0 si segue la seguente procedura:

• scriviamo l’equazione in forma esplicita

y 2

3x

1

3

• troviamo il primo punto attribuendo il valore 1 alla variabile x:

y 2

31

1

31 il punto ha coordinate (1, 1)

• troviamo il secondo punto attribuendo il valore −2 a x:

y 2

3 2

1

3 1 il punto ha coordinate ( 2, 1)

x 1 −2

y 1 −1


29

• Per scrivere l’equazione di una retta che passa per un punto P(x0, y0) dato e che ha coefficiente angolare m noto, si usa la formula:

y y0 m x x0

ESEMPIO

La retta passante per A(2, −3) di coefficiente angolare m = 4 ha equazione:

y 3 4 x 2

y 3 4x 8

in forma implicita

4x y 110

y 4x 11in forma esplicita


30

• Per scrivere l’equazione della retta che passa per i punti A(x1, y1) e B(x2, y2) si usa la formula:

y y1

y2 y1

x x1

x2 x1

ESEMPIO

La retta passante per A(1, −3) e B(3, −2) ha equazione

y 3 23

x 13 1

y 12

x 52

Calcolando si ottiene


31

Date due rette

r : y mx q e

s : y m x q

• La condizione di parallelismo è

m m

ESEMPIO

La retta r di equazione 3x − 2y + 1 = 0 è parallela alla retta s di equazione 6x − 4y −5 = 0

Infatti

mr ab

3 2

32

ms ab

6 4

32

mr ms

La retta r è perpendicolare alla retta t di equazione

2x 3y 0

Infatti

mt ab

23

mr mt 32 2

3

1

• La condizione di perpendicolarità è

m m 1 cioè

m 1m


32

Per studiare la posizione reciproca di due rette: 11 qxmy

22 qxmy

si considera il sistema lineare formato dalle loro equazioni

22

11

qxmyqxmy

Rette incidenti nel punto PSistema determinato

Rette paralleleSistema impossibile

Rette coincidentiSistema indeterminato

Si possono presentare i seguenti casi:


33

Per studiare la posizione reciproca di due rette: 11qxmy

22qxmy

si considera il sistema lineare formato dalle loro equazioni

22

11

qxmyqxmy

Rette paralleleSistema impossibile

Rette coincidentiSistema indeterminato

Si possono presentare i seguenti casi:

Rette incidenti nel punto PSistema determinato


34

La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta.

Se P ha coordinate (x0, y0) e ax + by + c = 0 è l’equazione della retta r in forma implicita, è possibile calcolare tale distanza, d (P, r), con la formula:

d P, r ax0 by0 c

a2 b2

P 3, 5 r : x 2y 6 0

d P, r 3 25 6

12 22 7

57 5

5

ESEMPIO

Il piano cartesiano e la retta I fasci di rette

35

• Fascio proprio: insieme di tutte e sole le rette che passano per un punto P assegnato.

ESEMPIO

Equazione del fascio:

P x0;y0

y y0 m x x0

: centro del fascio

Equazione del fascio proprio di centro

P 2, 3

y 3 m x 2

y 3 mx 2m

y mx 2m 3

I Fasci di rette

Il piano cartesiano e la retta I fasci di rette

36

• Fascio improprio: insieme di tutte e sole le rette parallele a una retta data.

ESEMPIO

Il fascio di rette parallele a quella di equazione

3x 5y 10

ha equazione

3x 5y k 0

Al variare di k le rette del fascio hanno tutte lo stesso coefficiente angolare.

L’equazione di questo fascio ha un coefficiente angolare fisso e un’ordinata all’origine variabile.

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