IL TEOREMA DEL PAPPAGALLO Talete, Pitagora, Euclide, Numeri Arabi e Numeri Amici
Scuola secondaria di primo grado “Don Milani” parte dell'Istituto Onnicomprensivo
annesso al Convitto Nazionale “C. Colombo” Genova
Referente: Prof.ssa Stefania Donadio Anno scolastico 2015 / 16 - Alunni della Classe 2 D
Talete, l'uomo dell'ombra
Zoe Ghezzi; Natalia Nicotra; Alyson Otoya; Roberto Panait; Abete Rizzo; Andrea Viarengo
Quest'anno, con la professoressa di matematica abbiamo letto un capitolo del libro “il Teorema del Pappagallo”, che si chiama “Talete, l'uomo dell'ombra”. Dopo la lettura dovevamo fare un lavoro di gruppo ed esporlo ai nostri compagni. Abbiamo anche avuto così la possibilità di scrivere un articolo su una rivista online di matematica per giovani, che si chiama “Euclide”. Secondo noi la professoressa ci ha proposto questo lavoro per mostrarci come la matematica può essere interessante e creativa e anche per capirla meglio.
L'uomo dell'ombra “Ogni volta, il professore aveva parlato loro del teorema, non dell’uomo; d’altra parte durante le lezioni di matematica non si parlava mai di esseri umani. Di tanto in tanto si sentiva echeggiare un nome: Talete, Pitagora, Pascal, Cartesio, ma era soltanto un nome, per l’appunto, come quello di un formaggio o di una stazione del metrò.” (Denis Guedj)
Talete è stato uno dei più grandi studiosi matematici dell'antichità; si occupava principalmente di geometria.
Gli angoli opposti al vertice
Gli angoli opposti al vertice sono formati da due rette che si intersecano in un punto, sono sempre una coppia. Talete affermò che le coppie di angoli opposti al vertice sono uguali.
Cerchio formato da tre punti o da un triangolo
Talete affermò che tre punti non allineati definiscono non solo un triangolo, che è una cosa evidente, ma anche un cerchio che passa per quei tre punti.
Come dividere un cerchio in due parti uguali
Talete affermò anche che per dividere un cerchio in parti uguali bisogna trac-ciare una retta passante per il centro, questa retta nel cerchio identifica il diametro.
La piramide di Cheope
Ma Talete è famoso per avere misurato l'altezza della piramide di Cheope, che era una misura molto difficile da prendere, perché non c'erano gli strumenti adatti o sofisticati come quelli di oggi, e perché la piramide era inaccessibile. Talete osservò che le ombre di vari oggetti (grandi e piccoli) cambiano a seconda del movimento apparente del Sole e, difatti si accorse che il Sole non fa differenze nel mutare le ombre dei diversi oggetti. Talete decise di usare il sole per misurare l'altezza della piramide seguendo il seguente ragionamento: visto che il Sole non fa differenze, quando la lunghezza della sua ombra fosse stata pari alla sua altezza anche la lunghezza dell'ombra della piramide sarebbe stata pari alla sua reale altezza. Aiutato da un beduino, Talete si mise vicino alla piramide e quando la sua ombra diventò lunga come la sua altezza, chiamò il beduino per fargli piantare un piolo sulla punta dell'ombra della piramide. Dopo di che, presa una corda, misurò la sua altezza e fece un nodo sulla corda. Con la corda appena utilizzata, Talete misurò la lunghezza dalla base della piramide fino al piolo.
La misura avvenne in “taleti”, cioè egli contò quante volte la lunghezza dall'inizio della corda fino al nodo (un talete) stava nella lunghezza dell'ombra della piramide (un Talete equivale a 1,70m). Ma quanto misura un talete? Per sapere quanto era alto Talete abbiamo fatto questo calcolo: L'altezza della piramide di Cheope è di 146 m. Dalla misura di Talete risultava alta 86 taleti. 146 : 86 = 1,7 Quindi un talete sono 1,70 m, cioè Talete era alto 1 metro e 70 centimetri!
Esperimento in classe In classe abbiamo provato a rifare l'esperimento di Talete, per questo abbiamo costruito una piramide con un foglio di cartoncino, abbiamo usato una scala 1:100. I dati della piramide modellino sono: lato del quadrato di base = 23 cm; lato dello spigolo laterale della piramide = 22 cm circa; altezza della piramide = 14,6 cm; altezza di talete (modellino) = 1,7 cm; alette pieghevoli di spessore a piacere. Abbiamo anche usato una torcia per proiettare l'ombra della piramide di carta e di talete sul banco, abbiamo inclinato la torcia finché l'ombra della piramide era lunga 14,6 cm. Così abbiamo verificato che anche l'ombra di Talete era di circa 1,7 cm.
Il metodo scientifico Una cosa importante che abbiamo notato è che nel misurare l'altezza della piramide, Talete usa un procedimento scientifico e segue questo schema:
1. Parte dall'osservazione, osserva che il Sole nel suo moto apparente fa girare le ombre, le allunga e le accorcia a seconda dell'ora nella giornata 2. Formula un'ipotesi, “Il Sole non fa differenze, tratta tutti gli oggetti nello stesso modo” 3. Fa un esperimento, utilizza una corda per misurare l'ombra della piramide facendo tanti nodi quanti sono i taleti 4. Fa una deduzione e conferma l'ipotesi, nel momento in cui la sua stessa ombra sarebbe stata lunga quanto la sua altezza (1 talete), allora il Sole avrebbe proiettato un'ombra della piramide pari all'altezza 5. Arriva alla conclusione, la piramide è alta 86 taleti, cioè 146 metri
Conclusioni
Questa lettura ci è sembrata bella, secondo noi è stato interessante scoprire come Talete avesse misurato l'altezza della piramide usando l'ombra, una corda e un piolo. Scrivere questo testo è stato impegnativo ma divertente, perché ci piaceva l'argomento e avevamo capito bene l'esperimento di Talete, e poi è stato importante per noi poter scrivere il testo insieme usando i computer. Lavorare in gruppo non è stato facile, tutti volevano fare il leader o usare il computer e abbiamo perso un po' di tempo a discutere e spesso la professo-ressa doveva intervenire per assegnare i compiti e i ruoli. Ci siamo divertiti e incuriositi a fare l'esperimento in classe, che è servito anche per capire meglio, ma anche parlare della piramide di Cheope ci è piaciuto, ricostruirla con un modellino e confrontarla con l'omino. Quando abbiamo fatto la prova con la torcia è stato emozionante, perché abbiamo visto come nasce la scoperta di cose nuove.
Pitagora
Christian Longo; Lorenzo Martino; Sara Parodi; Alessio Parrella
Introduzione
La professoressa ci ha proposto la lettura di un capitolo di un libro “il teorema del pappagallo”, che parlava di Pitagora. Poi abbiamo esposto alla classe il teorema di Pitagora, la musica matematica e la dimostrazione per assurdo. All'inizio pensavamo che fosse troppo difficile parlare di questi argomenti, poi abbiamo capito e alla fine questo lavoro ci è proprio piaciuto.
Pitagora
Pitagora, anche se tutti lo conoscono per il suo teorema, si è occupato di tantissime cose di matematica, ma anche di musica: provò addirittura a trovare le leggi matematiche partendo dalla musica. Pitagora scoprì la musica matematica, cioè si accorse che le altezze dei suoni erano legate tra loro da precisi rapporti numerici. Lo scoprì percuotendo un bicchiere pieno d'acqua che poi, riempito ancora, faceva la stessa nota ma più acuta. Ma un'altra cosa per cui è famoso è la dimostrazione per assurdo.
La dimostrazione per assurdo I matematici devono sempre dimostrare le loro teorie, a volte questo è un compito difficile e faticoso. I Pitagorici sono riusciti a trovare un modo molto interessante per dimostrare le proprie teorie, cioè la dimostrazione per assurdo. Per capire come funziona dobbiamo prima sapere che quando si deve dimo-strare un teorema si parte da una premessa che si chiama “ipotesi” e si deve arrivare a una conclusione che si deve dimostrare, e si chiama “tesi”. Per esempio nel teorema di Pitagora, l'ipotesi di partenza è “In un triangolo rettangolo” e la tesi, cioè quello che dobbiamo dimostrare è “la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.”
Nella figura si vede il teorema di Pitagora in un grafico fatto con Geogebra. La dimostrazione per assurdo consiste nel volgere al contrario la tesi e crederci, se poi la teoria che ne viene fuori è assurda o si contraddice, allora dobbiamo prendere per buona la tesi iniziale, che sarà giusta. Vediamo alcuni esempi.
Esempio n. 1 Supponiamo di dover dimostrare: se Pippo legge “I promessi sposi” allora non è un analfabeta. Questa affermazione ha una premessa (l'ipotesi), che Pippo legge “i promessi sposi”. Ma ha anche una conclusione (la tesi), che Pippo non è analfabeta. Se vogliamo dimostrarlo per assurdo, dobbiamo volgere la contrario la conclusione e dire “Pippo è analfabeta.” Ma dicendo questo cadremmo in una contraddizione perché se è vero che Pippo legge non può essere analfabeta. Quindi è giusta la frase iniziale.
Esempio n.2 Supponiamo di dover dimostrare che “tutti i numeri primi, a parte il due, sono dispari”. Volgiamo la tesi al contrario: “esiste un numero primo, a parte il due che è pari”. Questa affermazione è assurda, perché un numero pari è divisibile per due quindi non potrebbe essere primo. Allora la frase precedente era corretta.
Euclide
Giacomo Agnese, Maya Agostino, Giulia De Laurentiis, Mame Ndiaye
Introduzione
Quando la professoressa ci ha proposto questo lavoro, avevamo pensato che
fosse una ricerca in cui avremmo dovuto scrivere poche righe sul quaderno per
ogni matematico descritto nel libro “Il teorema del pappagallo” di D. Guedj.
Infatti si trattava di leggere e poi documentarsi su un capitolo del libro, quello
su Euclide.
Invece ci abbiamo messo ben più di una lezione e abbiamo dovuto ricorrere a
una decina di fonti da cui trarre informazioni. Abbiamo dovuto usare anche
Geogebra, che è un software di geometria dinamica.
L'opera di Euclide Abbiamo fatto una lettura su Euclide. Viveva ad Alessandria di Egitto, dove si
occupava di una biblioteca che conteneva tutti i volumi riguardanti la
matematica, come richiesto dal re Alessandro Magno.
Il re in persona lo aiutava a radunare i libri emanando leggi che permettevano
di prenderli dai viaggiatori di passaggio nel porto di Alessandria, del tipo: “ogni
libro contenente teoremi matematici deve essere sequestrato, copiato e
restituito (solo se non si tratta della copia autentica)”.
Euclide si è occupato di:
• Definizioni. Le definizioni servono per descrivere un elemento evidenziando le
sue caratteristiche. Per esempio:
1. Un punto è ciò che non ha parti.
2. La linea è una lunghezza senza larghezza.
3. Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
4. Un angolo nel piano è l'inclinazione reciproca di 2 linee le quali si in-
contrino tra loro e non giacciano in linea retta. Tra le linee ne esiste una
notevole, la linea retta.
5. Una linea retta è una linea che giace uniformemente rispetto ai suoi
punti. Fra le superfici ne esiste una notevole la superficie piana.
6. E' piana la superficie che, tra tutte le altre è disposta in maniera uguale
rispetto alle rette che vi sono disposte.
• Assiomi. Gli assiomi sono regole indiscutibili, non devono essere dimostrati.
Per esempio:
1. Due grandezze uguali ad una terza sono uguali tra loro.
2. Se a grandezze uguali se ne aggiungono altre uguali, si ottengono
grandezze uguali.
3. Se a grandezze uguali, si sottraggono grandezze uguali si ottengono
grandezze uguali.
4. E se, a grandezze disuguali si aggiungono grandezze uguali, i risultati
sono disuguali.
5. Grandezze che coincidono tra loro sono uguali.
6. I doppi della stessa grandezza sono uguali tra loro.
7. La metà della stessa grandezza sono uguali tra loro.
• Postulati. Sono come assiomi particolarmente evidenti. Ad esempio:
1. Per due punti passa una retta.
2. Un segmento di retta può essere prolungato di una lunghezza qualsiasi.
3. In ogni punto è possibile tracciare un cerchio di cui tale punto sia il
centro con un raggio di lunghezza qualsiasi.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali tra loro.
5. In un piano per un punto esterno ad una retta data, passa una sola
parallela a tale retta.
• geometria nello spazio. Ad esempio, Euclide scoprì che:
1. I poligoni regolari sono infiniti. Si dimostra con il metodo di esaustione.
2. i poliedri regolari sono al massimo 5.
Quest'ultima affermazione sui poliedri ci ha molto incuriosito. Nella figura
seguente si vedono i cinque poliedri regolari, sono il tetraedro con quattro facce
uguali triangolari, l'esaedro (cubo) con sei facce uguali quadrate, l'ottaedro con
otto facce uguali triangolari, il dodecaedro con dodici facce uguali pentagonali e
l'icosaedro, che ha venti facce uguali.
Con geogebra abbiamo costruito un tetraedro, nella figura seguente.
Conclusioni
Durante lo svolgimento di questa attività ci siamo divertiti molto e abbiamo
imparato un sacco di cose.
Fare questo lavoro è stato molto interessante, abbiamo imparato tante cose
nuove riguardanti la geometria euclidea ed è stato un modo per fare delle belle
lezioni e prendere un bel voto nell'esposizione orale ai nostri compagni.
I numeri arabi
Nuraddin Aluan; Edoardo Mescoli; Lorenzo Pinzelli
Introduzione
La professoressa di matematica ci ha chiesto di fare un lavoro nuovo, di riassumere e discutere un capitolo di un libro che parla di matematica e che si intitola “il Teorema del Pappagallo”. Il capitolo che dovevamo leggere parlava della storia dei numeri arabi, che sono i numeri che usiamo oggi. Dopo averlo letto ne abbiamo discusso tra di noi, poi abbiamo esposto alla classe la storia dei numeri, abbiamo scritto un articolo per una rivista di matematica che si chiama Euclide.
Storia dei numeri arabi L'algebra non è nata in Grecia! Nel libro di Denis Guedj, c'è la storia dei numeri arabi, il protagonista è il signor Ruche, che racconta la matematica ad un gruppo di ragazzi. Ad un tratto il signor Ruche incominciò a raccontare la una storia per spiegare cos'è l'algebra: “ un uomo camminava per la strada, in cerca della sua meta. Un passante lo superò e l'uomo gli domandò :”dovrei andare in via X sa indica-rmela?”. Il passante gli rispose: ”ma se non sa dov'è non ci vada!”. Invece l'algebra serve proprio per trovare il valore di un numero sconosciuto. Come nacque l'algebra? Tutto ebbe inizio nell'anno 773, quando la capitale del-l'Egitto era una città rettangolare mentre Baghdad era circolare. L'avevano soprannominata la città rotonda. Aveva una cinta di mura di una forma geo-metrica perfetta, circondava il centro esatto del cerchio, con la moschea e il palazzo del califfo da cui si diramavano le strade nella direzione dei quattro punti cardinali. Le grandi arterie si concludevano con quattro porte aperte nelle mura, che erano l'unica via d'accesso alla città. A Baghdad i mercanti usavano i nostri numeri, ma di chi è stata la brillante idea di inventare la numerazione posizionale? Di Brahmagupta, un matematico e astronomo indiano. Nelle pagine di Brahmagupta era contenuto un tesoro, egli ha inventato quelle dieci cifre con le quali facciamo i calcoli tutti i giorni: eka, dva, tri, catvar, panca, sast, sapta, asta, nava. E sunya. Uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove. Senza dimenticare l'ultimo: lo 0 (zero). In sanscrito Sunya significa 'vuoto'. Lo 0 è rappresentato da un piccolo cerchio. Perché un cerchio? In effetti non si sa. Si sa invece che, tradotto in arabo, sunya
diventa sifr, che, tradotto in latino, diventa zephirum, che, in italiano, dà luogo a zefiro. E da zefiro a zero il passo non è lungo. Invece il nome arabo dello zero, sifr, diventa l’appellativo per indicare tutte le cifre: sifr = cifre. A forza di sentire questi numeri i carovanieri avevano finito per impararli a
memoria e li portarono verso l'ovest. Quelle dieci cifre costituiscono i tasselli per scrivere i numeri e fare i calcoli.
Conclusioni
Durante questo lavoro, la cosa che ci ha colpiti è il fatto che tutti sbagliano quando dicono che i nostri numeri sono arabi, perché in realtà sono stati inventati dagli indiani. Abbiamo inoltre capito che in Grecia è nata la geometria, ma i numeri sono nati in India e poi sono stati portati in Occidente dagli arabi. Abbiamo avuto tante difficoltà a completare questo lavoro perché non sempre riuscivamo a lavorare insieme. Poi è stato complicato rendere più semplice questa lettura, la professoressa ci ha aiutato molto. Secondo noi la professoressa ci ha proposto questo lavoro per vedere come reagivamo e se sappiamo esporre alla classe quello che leggiamo, e anche se sappiamo lavorare in gruppo. E' stato un modo per prendere un bel voto e abbiamo anche visto che siamo abbastanza in gamba per essere riusciti a finire il compito, riuscendo a interpretare una lettura così difficile.
Numeri amici
Aurora Barbieri, Stefano Bonardi, Pietro La Spisa, Virginia Sanfelici
La professoressa sembrava impazzita: ci ha detto che ci dava da leggere un testo sui numeri amici, ma abbiamo trovato solo una lettera che usava questo termine come paragone per un'amicizia. La lettera era in un romanzo, si chiama il “Teorema del pappagallo” di D. Guedj, il protagonista è un filosofo appassionato di matematica. Secondo questo filosofo, funziona anche per le persone quello che accade tra numeri amici: egli scrive una lettera ad un suo amico dicendoli che dovrebbero sommare i propri divisori e vedere se la somma crea un rapporto di amicizia tra loro due. Con questo intende dire che se si sommano i divisori di due numeri e la somma di uno crea l'altro, si hanno due numeri amici. Non eravamo sicuri di aver capito, poi abbiamo chiesto alla professoressa e abbiamo fatto un esempio.
Un esempio di numeri amici
I due numeri amici più celebri sono 220 e 284. Vediamo come. Un divisore è un numero che è in grado di dividere un altro numero senza produrre resto. I numeri 220 e 284 sono amici?
I divisori di 220 sono: 1-2-4-5-10-11-20-22-44-55-110 e la loro somma fa 284
I divisori di 284 sono: 1-2-4-71-142 e la loro somma fa 220.
Quindi sono amici e questo esempio spiega tutto quello appena detto.
Abbiamo scoperto anche che questi sono solo un tipo di numeri amici, ma ne esistono altri. Per esempio ci sono i numeri “amici per la pelle”: si trovano quando la somma delle loro cifre è la stessa in tutti e due casi.
Un esempio di numeri amici per la pelle
I numeri 102 e 12 sono amici per la pelle: è molto facile vederlo, basta fare le seguenti operazioni: 1 + 0 + 2= 3 e 1 + 2= 3
Siccome danno lo stesso risultato (3), sono amici per la pelle.
