Maurizio d'Amato Materiali Didattici
UNITA’ DIDATTICA 4
Riferimenti per Studiare
Per la preparazione dell’esame si richiede lo studio del capitolo 2 del testo M.Simonotti (2006), Metodi di Stima Immobiliare, Ed. Flaccovio, Palermo. Un’integrazione con il capitolo 7 del I.Michieli M.Michieli(2002), Trattato di Estimo, Edagricole, Bologna è consigliata.
Parole Chiave
1. Postulati di Preferenza Assoluta
2. Saggio di Attualizzazione e Saggio di Capitalizzazione
3. Regimi e Leggi di Sconto e di Capitalizzazione
4. Rate e Rendite
5. Accumulazione Finale Iniziale
6. Quote di reintegrazione ed ammortamento
7. Sovrapposizione degli Effetti Economici
8. Stima Finanziaria delle Aggiunte e Detrazioni
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Le due dimensioni dei fenomeni finanziari Tempo e Danaro
danaro
tempo
I°quadrante (x;y)
IV°quadrante (x;-y)
Aumento e diminuzione di effetti finanziari
positivi
Aumento e diminuzione di effetti finanziari
negativi
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OPERAZIONI FINANZIARIE
semplici
Ad una prestazione corrisponde una
controprestazione
Scambio fra prestazioni e controprestazioni avvenute ad istanti diversi e riferite ad una comune origine
Prestazioni - Uscite Controprestazioni - Entrate
complesse
Ad una o più prestazioni corrispondono diverse
controprestazioni
certe aleatorie
L’orizzonte dell’operazione è
certo
L’orizzonte della
operazione non è certo
Orizzonte - Insieme dei dati relativi ad una operazione
Ci sono due postulati che sono alla base dei fenomeni finanziari ed economico estimativi
PRIMO POSTULATO DI PREFERENZA ASSOLUTA - Fra due somme di diverso ammontare poste allo stesso istante di tempo si preferisce quella più grande
SECONDO POSTULATO DI PREFERENZA ASSOLUTA - Fra due somme di identico ammontare poste ad istanti di tempo differenti si preferisce quella a scadenza più ravvicinata
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RENDITE
Insieme di Prestazioni e Controprestazioni aventi scadenze diverse
La singola prestazione è
definibile RATA
TIPICHE
Annuali
n=1
Infrannuali
n<1
Periodicità
n > 1
ATIPICHE
Variabili nel tempo
Limitate
Illimitate
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Qualsiasi spostamento di flussi di cassa nel tempo comporta il sostenimento di un costo o la percezione di un ricavo: esiste un valore finanziario del tempo
• CAPITALIZZAZIONE- valore futuro di una somma corrente• ATTUALIZZAZIONE - valore attuale di un importo futuro
OPERAZIONI FINANZIARIE
PASSIVE
DETERMINANO UNA DIMINUZIONE DELLE RISORSE FINANZIARIE
•Anticipazione +
•Posticipazione -
•RIFERIMENTO COSTO DEL CAPITALE ( WACC; COSTO INDEBIT.BANCARIO)
OPERAZIONI FINANZIARIE
ATTIVE
DETERMINANO UN AUMENTO DELLE RISORSE FINANZIARIE
•Posticipazione +
•Anticipazione -
•RIFERIMENTO RENDIMENTO DEL CAPITALE
tempo
tempo
danaro
danaro
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Ma per comprendere operativamente come avvengono i fenomeni finanziari ed immobiliari dobbiamo rifarci agli strumenti utilizzati nel mercato dei capitali. In particolare è possibile operare una distinzione notevole: 1) REGIME DI INTERESSE ovvero particolare procedimento di calcolo dell’interesse 2) LEGGE DI INTERESSE determinata assegnando dei precisi valori alla funzione di determinazione
dell’interesse che è possibile definire attraverso I = F ( C;t;parametri…)SI POSSONO ASSEGNARE INFINITI VALORI AI PARAMETRI DI UNA FUNZIONSI POSSONO ASSEGNARE INFINITI VALORI AI PARAMETRI DI UNA FUNZIONE CHE ESPRIME UN E CHE ESPRIME UN REGIME DI INTERESSE DERIVA CHE UN REGIME DI INTERESSE REGIME DI INTERESSE DERIVA CHE UN REGIME DI INTERESSE PUOPUO’’ COMPRENDERE INFINITE COMPRENDERE INFINITE LEGGI DI INTERESSELEGGI DI INTERESSE((SimonottiSimonotti,1990),1990)
Capitalizzazione semplice
Può essere utilizzata per intervalli di tempo inferiori all’anno In questo caso il signore che investe tiene per sé i risparmi riscossi alla fine del periodo spendendoli (PAPERINO)
Capitalizzazione composta
Può essere utilizzata per intervalli di tempo superiori all’annoIn questo caso il signore che investe lascia che i risparmi riscossi si sommino al capitale alla fine del periodo (Zio PAPERONE)
Co = C1 = C2 Co = C1 = C2
Il capitale iniziale Il capitale iniziale èè sempre lo sempre lo stesso.Un attimo prima che si ritirino stesso.Un attimo prima che si ritirino gli interessi il capitale gli interessi il capitale èè
C1 = Co + Co i tC1 = Co + Co i t
CtCt = Ct= Ct--1 + 1 + CtCt--11 ii
Il capitale iniziale Il capitale iniziale èè la somma fra la somma fra capitale dellcapitale dell’’anno precedente ed anno precedente ed interessi maturati , linteressi maturati , l’’intervallo di intervallo di riferimento riferimento èè sempre lsempre l’’anno per cui t =1anno per cui t =1
Capitalizzazione mista
E’ la fusione fra i due , generalmente utilizzata per intervalli di tempo intermedi quali 1 anno e tre mesi . In questo
caso si utilizza per l’intervallo intero la
capitalizzazione composta e per quello
che rimane la semplice
MONTANTE = C+I = Fattore di Capitalizzazione = (1+i)t
MONTANTE = C+I = Binomio di Capitalizzazione = (1+it)
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Interesse composto
Composto Discontinuo Annuo - Gli Interessi Vengono Aggiunti al Capitale una volta l’anno
Composto Convertibile - Gli interessi maturati vengono sommati al capitale piùvolte l’anno
Composto Continuo -Gli interessi si convertono continuamente in capitale
1
1
C(1+it)
C(1+i)t
Le relazioni fra la capitalizzazione semplice e composta
C(1+i)t = interesse composto
C(1+it) = interesse semplice
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Composto Frazionata - Gli interessi maturati vengono sommati al capitale più volte l’anno
Composto Continuo - Gli interessi si convertono continuamente in capitale
In questo caso gli interessi vengono capitalizzati più volte all’interno di un anno. E’ un caso ricorrente nell’indebitamento bancario laddove gli interessi vengono capitalizzati più volte l’anno.
1kt
kjM Ck
= +
Jk = tasso convertibile k volte all’interno dell’anno
K = numero di volte in cui si converte il tasso
t = numero di anni
L’espressione è facilmente ricavabile se si applicano i concetti della capitalizzazione composta più volte all’interno dell’anno. Si avranno due tassi uno nominale annuo ed un altro effettivo. Infatti, il secondo considererà anche gli interessi maturati e reinvestiti in ogni conversione.Per la determinazione del tasso annuale effettivo si procederà semplicemente:
ktM Ce=In questo caso gli interessi vengono capitalizzati continuamente all’interno dell’intervallo di tempo.
Il riferimento per questo specifico regime di capitalizzazione è la quotazione borsistica che presenta nel continuo una valutazione dei titoli e del lororendimento in termini di capital gain
2
1 1
0, 06. 1 1 0.0609; 0, 062
k
R
R
iik
SEMESTR i i
= + − =
= + − = =
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Oppure possiamo conoscere la differenza fra due valori posti anche in istanti diversi di tempo
In particolare possiamo determinare la differenza fra un valore futuro ed uno presente di una stessa somma, opportunamente resi omogenei attraverso i regimi a cui si è fatto cenno.
Una operazione in particolare è quella dello sconto riportata a fianco assai diversa da quella di attualizzazione
In essa quantifichiamo la fruttuosità del capitale fra o ed n
Sconto= V.Nominale Sconto= V.Nominale --V.AttualeV.Attuale
S = S = VnVn -- VaVa
VoVoVnVn
A seconda del tipo di capitalizzazione a cui fare A seconda del tipo di capitalizzazione a cui fare riferimento avremo la determinazione della riferimento avremo la determinazione della corrispondente corrispondente legge di sconto CONIUGATElegge di sconto CONIUGATE : : semplice composta e mistasemplice composta e mista
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SCONTO
SEMPLICE ( Razionale )SEMPLICE ( Razionale )
COMPOSTO ( Esponenziale)COMPOSTO ( Esponenziale)
MISTOMISTOQualora ci serva...Qualora ci serva...
Possiamo unire le due forme di Possiamo unire le due forme di sconto definendo lo sconto definendo lo sconto mistosconto misto
COMMERCIALE
S = Cit
Anticipazione di una somma la cui scadenza è prevista in un’epoca futura che comporti LO SCAMBIO FRA LA SOMMA C CON SCADENZA IN t E LA SOMMA ATTUALE V CON SCADENZA IN to
V C
S = C - V
+ −= − = − =+ +n
n a n n
C (1 i) 1S V V C C
(1 i) (1 i)
= − = − =+ +
n nn a n
C C itS V V C
(1 it) (1 it) + + −=+ +
t
n t
(1 i) (1 it) 1S.misto C
(1 i) (1 it)
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Per fare questo dobbiamo richiamare le indicazioni offerteci dalPer fare questo dobbiamo richiamare le indicazioni offerteci dal matematico ed economista matematico ed economista IrvingIrving FisherFisher agli inizi di questo secolo circa il valore dei beni durevoliagli inizi di questo secolo circa il valore dei beni durevoli
Egli cerca di offrire una possibile risposta alla ricerca del vaEgli cerca di offrire una possibile risposta alla ricerca del valore di un bene lore di un bene durevole,applicando ad essi ldurevole,applicando ad essi l’’InwoodInwood Premise:Premise:
““Il Valore di qualsiasi proprietIl Valore di qualsiasi proprietàà , o diritti di ricchezza , , o diritti di ricchezza , èè il suo valore come fonte di reddito il suo valore come fonte di reddito e si trova scontando quel reddito attesoe si trova scontando quel reddito atteso……Ma il problema fondamentale della valutazione Ma il problema fondamentale della valutazione temporale che la natura ci propone temporale che la natura ci propone èè sempre quello di tradurre il futuro nel presente, ciosempre quello di tradurre il futuro nel presente, cioèèdi determinare il valor capitale del reddito futuro .Il valore ddi determinare il valor capitale del reddito futuro .Il valore del capitale deve essere el capitale deve essere calcolato sul valore del suo reddito futuro netto stimato...calcolato sul valore del suo reddito futuro netto stimato...”” IrvingIrving FisherFisher,Teoria ,Teoria delldell’’Interesse,Interesse,UtetUtet
00
nn
11 22
Supponiamo di avere un bene durevole che eroghi dei redditi nettSupponiamo di avere un bene durevole che eroghi dei redditi netti costanti i costanti per un numero FINITO n di per un numero FINITO n di annianni…… A cosa sarA cosa saràà uguale il suo valore finale ? Alla somma di tutte queste utiliuguale il suo valore finale ? Alla somma di tutte queste utilittàà rese omogenee ovverorese omogenee ovvero
V = RV = R1 1 (1+i)(1+i) nn--11 + R + R 22(1+i) (1+i) nn--22 ++……+ R + R nn--11(1+i) + R(1+i) + R
V = R ( 1+q+V = R ( 1+q+……+q +q nn--22 + q + q nn--11))
Mi trovo di fronte ad una Mi trovo di fronte ad una progressione geometricaprogressione geometrica
Che si riscrive:
1 1 11
n nq q qVq i
− − −= =−
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Numero di AnnualitNumero di Annualitàà LimitateLimitate
I F
P
A
Numero di AnnualitNumero di Annualitàà IllimitateIllimitateP
A
−=n
n
q 1V R
rq−=
nq 1V R
r
−=n
n
q 1V Rq
rq−=
nq 1V R q
r
= nRV
r
= nRV q
r
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RINNOVANDO LA SIMBOLOGIA (convenzione di Madrid,1956)
|n iRa
|n iRs |n iRα
|n iRσREINTEGRAZIONE – MONTANTE –
VAL FINALE
AMMORTAMENTO – VAL. ATTUALE
..
|n iR a..
|n iR s..
|niRα..
|niRσ|iRa∞
..
|iRa∞
−=n
n
q 1V R
rq
−=nq 1
V Rr
−=n
n
q 1V R q
rq
−=nq 1
V R qr
= nRV
r
=−
n
n
rqR V
q 1
=−n
rR V
q 1
=−
n
n
rqRq V
q 1
=−
n
n
rqRq V
q 1= nRV q
r
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Si può trasformare un fenomeno straordinario in un effetto economico annuo (finito o infinito) Ea considerandone una “media economica”. Il fenomeno S è eguagliato per questa finalità alla accumulazione in un punto qualsiasi di un certo numero n di rate
nS
ee’’ possibile quindi ricavare possibile quindi ricavare EaEa
S
ee’’ possibile quindi ricavare possibile quindi ricavare EaEa
Il fenomeno straordinario potrà essere trasformato in una rata costante anticipata o posticipata in relazione alle specifiche esigenze del problema valutativo
1(1 )
n
a n
S qEq it rq
−=+
(1 )aES
q it r=
+
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Due modalità di risoluzione dei fenomeni
0 n
1nn
RVr q
=
1nn
n n
R qV Rr rq
−= −
1 1nn
on n
R qV Sr q rq
−= −
0 n
0 n
0 n
1 1 1n n nn n
n o Ln n n
R Rq q qV R S Rr rq rq r rq
− − −= − − = −
Caso 1
Caso 2
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Nel caso di fenomeni mensili , bimestrali , trimestrali, quadrimestrali, semestrali è utile seguire il seguente schema
ANTICIPATA POSTICIPATA
mensilità Ma(12+6,5i) Mp(12+5,5i)
bimestralità Ba(6+3,5i) Bp(6+2,5i)
trimestralità Ta(4+2,5i) Ta(4+1,5i)
quadrimestralità Qa(3+2i) Qp(3+i)
semestralità Sa(2+1,5i) Sp(2+0,5i)
Si riesce quindi a trasformare un fenomeno mensile o bimestrale o semestrale ecc. in un fenomeno annuo consentendo l’applicazione delle formule di matematica finanziaria, ovvero trattando i fenomeni come se fossero rendite tipiche annuali. Vi sono delle formule…
0 1
+×+=2
1.. RateNsaggioRateNM
−×+=2
1.. RateNsaggioRateNM
anticipate posticipate
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r = i = 0.05 R = 100 r = i = 0.05 R = 100
Un bene durevole che ha una durata di 80 anni presenta una differenza in termini di valore rispetto ad un bene a durata infinita pari a V1 - V2 ovvero 20 - 19.59 cioe’ 0.41.
Rispetto al Valore di 20 lire 0.41 rappresentano ca. il 0.02. LA DIFFERENZA FRA L’ACCUMULAZIONE DI UN NUMERO INFINITO DI RATE E QUELLO DI UN NUMERO FINITO PARI AD 80 E’ DI CIRCA IL 2%.
Nel mercato dei capitali si percepisce maggiormente l’utilità dei redditi maggiormente ravvicinati. I saggi di sconto sono saggi che esprimono la preferenza temporale fra diverse somme.
= = =1
R 1V 20
r 0.05
=2V R
−= =80
2 80
q 1V R 19.59
rq
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Saggio 1 anno 10 anni 20 anni1% 990.099 905.287 819.5442% 980.392 820.348 672.9714% 961.538 675.564 456.3876% 943.396 558.395 311.8058% 925.926 463.193 214.54810% 909.091 385.543 148.644
Riportando il valore nominale di 1.000.000 ad oggi
Si noti come diminuisce il valore in funzione della lunghezza dell’intervallo di tempo in cui i capitali vengono anticipati ed in funzione della crescita del saggio
Reintegrazione
Ammortamento
( )1re i f n
iQ V Vq
= −−
( )1
n
amm i f n
iqQ V Vq
= −−
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( )1re i f n
iQ V Vq
= −− ReammQ Q I= +
( ) ( ) ;1amm i f i fn
iQ V V V V iq
= − + −−1 1 1( ) 1 ; ( )
1 1
n
amm i f amm i fn n
qQ V V i Q V V iq q
+ −= − + = − − −
( )1
n
amm i f n
iqQ V Vq
= −−
Quota di Reintegrazione e Quota di Ammortamento
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Una proprietà fondamentale dei regimi esponenziali è costituita dalla scindibilità delle operazioni finanziarie. Il suo significato algebrico è facilmente verificabile di sotto
La scindibilità forte e debole consente di separare gli effetti economici rappresentati dalla matematica finanziaria ottenendo effetti rappresentativi maggiormente vicini alla realtà.
La proprietà ha un’immediata verifica empirica per le note proprietà degli esponenti
SCINDIBILITA’ debole
SCINDIBILITA’ forte
Le legge di capitalizzazione con una variabile è scindibile se e solo se la sua intensità di interesse risulta essere costante. Di conseguenza tutte e sole le leggi esponenziali sono scindibili
−+ = +7 7 tC(1 i) C(1 i)
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E SE CI TROVASSIMO DI FRONTE A FENOMENI ALEATORI?
Ricordando che esistono funzioni di probabilitàdiscrete e continue . Le prime rispettano le
condizioni che f(x)>0 e che1
1n
iix
==∑
Mentre per le seconde saranno verificate le
condizioni f(x)>0 e ( ) 1f x dx+∞
−∞
=∫
1° caso: IL REDDITO NETTO E’ VARIABILE ALEATORIA DISCRETA
Rn Px
100
110
120
0,50
0,30
0,20
Sostituiamo alla parte aleatoria il suo valore medio o valore atteso
1( ) ( )n
n
qM V M Rrq
−=
M(R) = 100x0.50+110x0.30+120x0.20 = 107
Media PonderataValore Atteso
1 ;n
nqRrq−=V
= Pars incerta
= Pars certa
R = parte aleatoria
3. La probabilità è una misura cardinale dell’incertezza P(A∪B) = P(A) + P(B). La somma di tutti gli eventi è pari a 1
2. Se A ⊇ B allora P(A) < P(B)
1. Se A = 0 allora P(A) = 0
Assiomi della Teoria della Probabilità
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2° caso: IL TEMPO E’ VARIABILE ALEATORIA
n Px
10
11
12
0,50
0,30
0,20
1 ;n
nqRrq
n = parte aleatoria
−=
Isoliamo la parte aleatoria e sostituiamo ad essa il suo valore atteso. Bisogna fare attenzione che in questo caso fra la parte aleatoria e la parte non aleatoria non c’e’ relazione lineare
= + +
n 10 11 12
1 1 1 1M x0.50 x0.30 x0.20
q 1,05 1,05 1,05
−= = − = −
n
n n n
q 1 R 1 R 1M(V) R ; V 1 1 M
rq r q r q
V = Pars certa
= Pars incerta
0 t1 t2 t3
−= = −n
n n
q 1 R 1V R ;V (1 )
rq r q
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3° caso: IL SAGGIO E’ VARIABILE ALEATORIA
i Px
0.10
0.11
0.12
0,50
0,30
0,20 Esistendo una relazione lineare fra la parte certa e quella aleatoria èpossibile definire il valore attraverso il prodotto
−=
n
n
q 1M ( V ) R M
r q
4° caso: RATA E SAGGIO VARIABILI CASUALI
−=
n
n
q 1M ( V ) M (R )M
r qUna fusione dei casi precedentemente esposti
= =
R 1M ( V ) ; V R M
r r
1 ;n
nqRrq−=V
i = r - parte aleatoria
= Pars certa
= Pars incerta
Giova sottolineare l’indipendenza dei predetti eventi…