Incontro PLS del 16 gennaio 2017 con il Liceo Matema8co Newton · La presentazione non pretende di...

IncontroPLSdel16gennaio2017conilLiceoMatema8coNewton

Noiu&lizziamoinumerisostanzialmentedall’iniziodellanostravitapercontare,misurare,suddividere,…

Inumerisonol’alfabetodellamatema&ca.Sietesicuridiconoscerlibene?

InquestoenelprossimoincontroparleremodiNUMERI,OPERAZIONIenonsolo…Incontro1:CONTARE•  Originidelcontareedelmisurare•  Brevestoriadeisistemidinumerazione•  InumerinaturaliIncontro2:GLIINSIEMINUMERICI•  Inumeriinterirela&vi•  Inumerirazionali•  Inumerireali

Lapresentazionenonpretendediessereesaus&va,masolodiproporrespun&diriflessioneeapprofondimento.

Contareèunmeccanismoprimigeniooppureunaconquistaevolu&va?

Siri&enecheiconceQprimordialisiano

IndiziperquestosospeRo:Ø  capacitàpropriadeineona%;

Ø  etnomatema%ca,studiodellematema&chedeigruppisocioculturali:ancoraoggilepopolazioniindigenedeiPigmei(Africa),deiBotocudos(Brasile)edegliAranda(Australia)contanofinoadue.

Ø  riscontrilinguis%ci:•  inmoltelinguei“numerigramma&cali”sonotre:singolare,

dualeeplurale(linguean&che:sanscrito,greco.Linguemoderne:sloveno,lituano,arabo,egizio).

•  Ancheinlinguechenonhannoildualesonovisibiligli“effeQ”diquestomeccanismo:ambo(initaliano,perdire“tuQedue”),très(infrancesesignifica“mol&”)

UNO–DUE–MOLTI

L’esigenzadicontareinmanieraestesanascedaunproblemapra&co:“mol%:ok,maquan%?”Adesempio:“quan&animalidevonorientrarenelrecintodopoilpascolo?”Tecnica1:corrispondenzadinumerosità.Impilounsassoperognianimalecheescedalrecintoepoiusolapilapercontarlialrientro.Nota:nonc’ètracciadinumeri(neanchesuglistrumen&“porta&li”).Funziona,maèpocopra&co.Tecnica2:primistrumen&dimisurazioneecalcolo

Primistrumen&dimisurazioneecalcolo

OssodiBabbuinodiLebombo(Sudfrica,35.000a.C.)OssodizampadilupodiVestonice(RepubblicaCeca,30.000a.C.)OssodiBabbuinodiIshango(Africa,20.000a.C.)hRps://samanthacolombo.wordpress.com/2012/01/14/matema&ca-in-africa-osso-dishango/

?

50.000 a.C.LINGUAGGIO ARTICOLATO

35.000 a.C.STRUMENTI DI MISURAZIONE

3.500 a.C.SCRITTURA

0 oggi

Dovesicollocaneltempol’introduzionedeglistrumen&dicalcoloemisura?

Inconclusione:•  Il“contare”primigeniosembrerebbebasarsisolosuuno-due-mol%;

•  L’esigenzadelcontareèvenutaconl’evoluzioneedècomunquesignifica%vamenteprecedenteall’epocadellaciviltàedellascriRura;

•  ContarecorrispondevaameRereincorrispondenzabiunivocaelemen&didueinsiemidiversi: sassi/tacche pecore,fasilunari,etc.

Cos’èunacorrispondenzabiunivoca?

MeRereincorrispondenzabiunivocadueinsiemivuoldire•  accoppiareognielementodiuninsiemeconununicoelementodell’altroinsieme

•  inmanierachenonres%noelemen%spaia%

Passosuccessivo:contarecolcorpoAncorainuso,adesempio,pressoalcunepopolazionidelleisoledellostreRodiTorres(tral’AustraliaelaNuovaGuinea)

AbbiamocosìadisposizioneilconceKodinumero.Mancaancoraungrandepasso,chearriveràconlaciviltà:•  SaperASSOCIAREainumerideiSIMBOLI•  SaperOPERAREconinumeriARenzione!Inumerisonotan&ssimiequindièveramentecomplicatochiamarlituQpernome!LafortunadelleprimeciviltàèchenonsisonoresicontodelfaRochefosserocosìtan&…Allafinesièarriva&al

SISTEMAPOSIZIONALEINBASE10masolodopounlungopercorso.

Sièsemprecontatoemisuratocomesifaora?

IlprimosistemadinumerazionescriRarisaleaiSumeri(3.500a.C.)edèbasatasupochisimbolirappresentan&sassolini“spicciabili”Nell’ideadi“spicciabilità”sipuòleggereilconceRodifrazione.

Inumerisiscrivevanopergiustapposizione(somma),senzaunordinepreciso.

Usarelabase10èabbastanzanaturale(ades.legatoalnumerodelleditadellemani).Maperchébase60?CisonodiversecongeRure:Ø  Calcoliastronomici,moltopra&ca&all’epoca:

Ciclolunaredi(circa)30giorniAnnosolaredi(circa)360giorni

All’inizioicalcolisifacevanosuquestequan&tàfisse,chepoi,persemplicità,furonounificateinunasolaquan&tàfissa:60.Ø  60èincredibilmentericcodidivisori(12):

123456101215203060quindisipuòlavorarefacilmenteconmoltefrazionisignifica&ve.Questasembraunamo&vazioneimprobabilea priori,tropporaffinata,maèsicuramenteunodeimo&vipercuiilsistemasessagesimaleèancorainuso(misuradeltempoedegliangoli)

LabasedeiSumerièunpo’decimaleeunpo’sessagesimale

ConquestosistemanumericoiSumerieiBabilonesihannolavoratomolto,nonsolopercalcoli“pra&ci”diges&one,maanche“teorici”:TavoleKaPlimpton322(1.800a.C):15ternepitagoriche(lunghezzedipossibilila&ditriangolireRangoli)moltoprimadiPitagora(500a.C.)

Anchenell’an&coEgiRosisviluppò,inmanieraindipendente,lamatema&casiapra&cacheteorica.PapiroRhind(1800a.C.):tavolenumerichee84problemiaritme&ci,algebriciegeometrici.

Ilsistemanumericoegizioèinbase10,manonèposizionale:unità,decine,cen&naia,ecc.avevanosimbolidiversieilnumerosioRenevapergiustapposizione(somma)deivarisimboli.

DeltuRoanalogofuilsistemadinumerazioneebraicoequellodell’an&caGrecia,cheperònonusavasimboliadhoc,maleleReredell’alfabeto.

Inques%sisteminonc’eraloZERO

MentreintuRoilmondonascevanosisteminumericiconvariecaraReris&che,adesempio•  Cina(dalIIIseca.C.):sistemaposizionale,conusodello

zeroedeinumerinega&vi.PericalcolisiusavanoappositebaccheRe.

•  Maya(AmericaCentrale):sistemaposizionaleinbase20,conusodellozero.Pericalcolisiusaval’abaco.

intanto,inoccidente,iRomanilafacevanodapadroni…

InumeriromaniseRecaraReri:

I=1 V=5 X=10 L=50 C=100D=500 M=1000eregoleprecise:•  IlvaloredelnumeroèlasommadeivalorideicaraReri;•  IcaraReridi“decina”(I,X,C,M)sipossonoripeterealpiùtrevolte,

poisiprocedepersoKrazionedalcaraReredi“quin&na”successivo(IV=4,IX=9…);

•  IcaraReridiquin&nanonpossonoessereripetu&;•  lecifresonosemprescriRedallapiùgrandeallapiùpiccola.

Questosistemaèpessimoperfareicon%!InfaQicon&venivanofaQcondeisassolini(icalcoli:calculus,diminu&vodicalx,calcis)el’abaco(inusofinoal1700inEuropa)che,difaRo,usaunarappresentazionedecimaleposizionaledeinumeri.

Ilsistemanumericocheusiamoora,icosiddeQ“numeriarabi”:

novecifreelozeroinrealtànasceinIndia(400a.C.-400d.C.),arrivainAsiaOccidentalenelXsecolod.C.einEuropa(tramiteleoperedimatema&ciarabi)nell’XIsecolo.

L’introduzioneinEuropadell’aRualesistemanumericosiaRribuiscealpisanoLeonardoFibonacciconlapubblicazionedelLiberAbaci(1202d.C.).Pisaall’epocaeraunodeimaggioripor&commercialid’Europa.IlpadrediFibonaccifumandatocomefunzionariodoganaleaBugia(nell’aRualeAlgeria)esifeceraggiungeredalfiglio.AlrientroLeonardopubblicòillibroperinsegnareamercan&,banchieriestudiosiunamanieraperfaremeglioillorolavoro.

IlsistemaposizionaledecimaleSiusano•  diecicaraReri:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9•  significatoprecisodellaposizione:apar&redadestraogniposizionecorrispondealcoefficientedellarela&vapotenzadi10.

Neseguonodeglieviden&vantaggi:•  Potendoconsiderarequalsiasipotenzadi10,abbiamounarappresentazionepertuQinumeri,grandiquantovogliamo.

•  InoltreleoperazionipossonoessereintrodoReconsemplicimeccanismialgoritmici(quellichecihannoinsegnatoalleelementari).

CONTAREdall’osso di babbuino agli assiomi di Peano

(seconda parte)

Annalisa Malusa

LICEO MATEMATICO NEWTON

Annalisa Malusa 16/01/17 1 / 13

I numeri naturali

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . . .}

Sono i primi numeri che ci vengono insegnati e vengono introdotti intermini di CARDINALITA’ DEGLI INSIEMI FINITI (ricordate la questionedella corrispondenza biunivoca?).

Invece N non è un insieme finito (infatti succedono cose sorprendenti)


N non è un insieme finito!

Quale di questi insiemi ha più elementi?

N P = {2n, n in N} D = {2n + 1, n in N} Q = {n2, n in N}

0 1 2 3 4 n

0 2 4 6 8 2n

0 1 2 3 4 n

0 1 4 9 16 n2

L’insieme N ha sottoinsiemi propri che hanno la sua stessa cardinalità!Altra stranezza: l’albergo di Hilbert ha sempre una stanza disponibile:





0 1 2 3 4 n

0 2 4 6 8 2n

0 1 2 3 4 n

0 1 4 9 16 n2

L’insieme N ha sottoinsiemi propri che hanno la sua stessa cardinalità!

Altra stranezza: l’albergo di Hilbert ha sempre una stanza disponibile:





0 1 2 3 4 n

0 2 4 6 8 2n

0 1 2 3 4 n

0 1 4 9 16 n2

L’insieme N ha sottoinsiemi propri che hanno la sua stessa cardinalità!Altra stranezza: l’albergo di Hilbert ha sempre una stanza disponibile:


Definizione dei numeri naturali N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . . .}Cosa serve per descrivere tutti i numeri naturali?1) dire qual è il primo: si è deciso che il primo numero naturale si chiamaZERO (talvolta si parte da 1);

0

2) avere una nozione di passaggio al successivo n 7→ n + 1 con dueproprietà:

0 non è il successivo di nessun numero;successivi di numeri diversi sono diversi.

0 1

y

2

y

3

y

4 5 6

L’operazione di passaggio al successivo ci definisce 1 a partire da 0, poi 2 apartire da 1 e così via. Ma dovremmo fare questa operazione infinite volteper intercettare tutti i numeri naturali.


Definizione dei numeri naturali N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . . .}3) dare una nozione che corrisponda a "e così via":

PRINCIPIO DI INDUZIONEse E è un sottoinsieme dell’insieme N tale che

E contiene 0E contiene il successivo di ogni suo elemento

allora E coincide con N.

Metaforicamente è come dire che, per salire una scala (infinita!!!!) basta

01

23

mettersi sul primo gradinosapere come passare da un gradino all’altro

Un’altro modo per visualizzare il principio di induzione è pensare all’effettodomino (ogni tessera che cade appartiene all’insieme).


Assiomi di Peano

Riepilogando, l’insieme di tutti i numeri naturali è essenzialmenteindividuato dagli

ASSIOMI DI PEANO (1858-1932)1) esistenza del primo elemento;2) nozione di successivo e sue proprietà;3) principio di induzione.

Questo è un esempio di definizione assiomatica:non si dichiara quali sono gli elementi dell’insieme, ma solo il minimoindispensabile delle proprietà che devono soddisfare.Le proprietà sono indipendenti tra di loro e indispensabili perdeterminare l’insieme che ci interessa.


Cos’è un assioma?

Detto in maniera tanto generica quanto imprecisa, la matematica usa iprincipi della logica deduttiva per fornire predizioni certe a partire da unamodellizzazione iniziale. Le fondamenta di una teoria matematica sono

- gli enti primitivi: oggetti di base, definiti a buon senso;- gli assiomi: proprietà di base, assunte per vere, che devono essere

indipendenti (nessun assioma può essere dedotto dagli altri) e coerenti(non possono implicare sia una proprietà che la sua negazione).

A partire da questi, che fissano gli elementi fondanti (in maniera piuttostolibera e unicamente basata su un’idea degli oggetti da considerare e di ciòche deve essere sicuramente vero per tali oggetti), tutto il resto deveseguire, secondo precise regole di deduzione, anche queste fissate una voltaper tutte. Questo processo porta a introdurre

- le definizioni: enti complessi;- i teoremi: nuove proprietà dedotte da quelle note.


Sistemi di Peano, modellizzazione

Abbiamo detto che N è essenzialmente determinato dagli assiomi diPeano. Specifichiamo cosa intendiamo con "essenzialmente".Ci sono altri insiemi che verificano tali assiomi, ad esempio?

P = {numeri pari}, primo elemento=2, (successivo di n) = n + 2.

Abbiamo visto che P è identificabile con N.

Si può dimostrare che ogni sistema di Peano, ossia ogni insieme a cui sipuò assegnare un primo elemento e una nozione di successivo che verifichigli assiomi di Peano, è identificabile con N, che quindi risulta essere unmodello per queste strutture.

La comodità di partire da una definizione assiomatica è che si può lavorarecon un modello e tutte le proprietà che valgono per il modello restanovalide per tutti gli altri insiemi che verificano gli stessi assiomi.
















Operazioni in N

Gli assiomi di Peano sono tutto quello che serve anche per introdurre leoperazioni in N:

ADDIZIONE m + n: a partire dal numero m faccio n successiviMOLTIPLICAZIONE m · n: sommo n volte m +m + · · ·+m.

e la relazione d’ordinem ≥ n: se esiste un numero naturale p tale che m = n + p

che, a sua volta, permette di definire laSOTTRAZIONE: se m ≥ n e, quindi, m = n + p, scriveremop = m − n.

Es: se m = 14, n = 4, allora p = 10.L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto alle operazioni di addizionee moltiplicazione (somma e prodotto di numeri naturali è un numeronaturale), ma non è chiuso rispetto all’operazione di sottrazione (4− 14non è un numero naturale).


Proprietà di base delle operazioni in N

Proprietà dell’operazione di addizione

(A1) n +m = m + n (commutatività);(A2) (n +m) + p = n + (m + p) (associatività);(A3) n + 0 = n (0 elemento neutro dell’addizione);

Proprietà dell’operazione di moltiplicazione

(M1) n ·m = m · n (commutatività);(M2) (n ·m) · p = n · (m · p) (associatività);(M3) 1 · n = n (1 elemento neutro della moltiplicazione);

Le due operazioni soddisfano la seguente condizione di compatibilità:Proprietà distributiva

(D) p · (n +m) = p · n + p ·m.


Esempi di dimostrazione di altre proprietà

A partire da queste poche proprietà, si dimostrano tutte le altre.Facciamo qualche esempio

0 è l’unico elemento neutro per l’addizione.

Se così non fosse, dovrebbe esistere un altro numero naturale 0̃ tale chen + 0̃ = n per ogni numero naturale n. In particolare avremmo

0[(A3) per 0̃]

= 0+ 0̃[(A1)]= 0̃+ 0

[(A3) per 0]= 0̃.

0 · n = 0.

n[(M3)]= 1 · n [(A3)]

= (1+ 0) · n [(D)]= 1 · n + 0 · n [(M3)]

= n + 0 · n.

Abbiamo mostrato che 0 · n è elemento neutro per la somma, ma sappiamoche l’unico elemento neutro per la somma è 0, quindi deve essere 0 · n = 0.


Conclusioni

insiemi e operazioni possono essere definiti in maniera assiomatica,fissando le proprietà che devono soddisfare i loro elementi, leoperazioni e l’ordinamento;l’assiomatizzazione ha il vantaggio di utilizzare modelli e descriverecompletamente l’insieme attraverso poche informazioni, ma si pagail prezzo di dover ricavare tutto il resto tramite dimostrazioni;quelle che vengono spesso chiamate regole sono in realtà proprietàdegli insiemi e delle loro operazioni, ottenute a partire dagli assiomiattraverso dimostrazioni (o, più in generale, l’uso della logicadeduttiva).Quindi un buon matematico non colleziona mnemonicamentecentinaia di formule, ma assimila, possiede e utilizza le proprietàdi base, utilizzandole nella maniera che serve di volta in volta.


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