Induzione elettromagnetica

La scoperta di Oersted (1820) che correnti elettriche sono in grado di generare campi magnetici fu sbalorditiva; altrettanto sorprendente fu scoprire che è vero anche il viceversa, ovvero che i campi magnetici sono in grado di generare campi elettrici e quindi correnti elettriche. Il legame tra campo magnetico e campo elettrico da questo generato è descritto dalla legge di Faraday sull’induzione elettromagnetica (1831)

Michael Faraday (Southwark, UK, 1791 – 1867)

L’induzione magnetica è alla base di moltissime applicazioni che sono parte della nostra esistenza quotidiana: dalla chitarra elettrica agli elettrogeneratori che alimentano di corrente elettrica le città e le linee di trasmissione; dalle piastre da cucina ai grandi forni ad induzione delle fonderie.

Aspetti fenomenologici dell’induzione

Cosa succede ??

Si genera corrente solo se spira e magnete sono in moto relativo, ovvero se uno dei due si muove rispetto all’altro; se sono fermi non succede nulla Un moto più veloce produce corrente più intensa Se avviciniamo alla spira prima il polo nord e poi il polo sud la corrente nella spira si inverte

1) Consideriamo una spira isolata, con un amperometro inserito in grado di misurare corrente; non c’è generatore né ovviamente corrente nella spira; 2) Avviciniamo un magnete in modo che le linee di campo del magnete entrino nella spira: l’amperometro segnerà una corrente nel circuito 3) Manteniamo il magnete immobile vicino alla spira: la corrente cessa 4) Allontaniamo il magnete dalla spira: comparirà una corrente di verso opposto.

La corrente che compare nella spira è detta corrente indotta, la d.d.p. è detta forza elettromotrice indotta, e il fenomeno induzione elettromagnetica

Aspetti fenomenologici dell’induzione Consideriamo due spire vicine ma non in contatto; il circuito di destra è inizialmente aperto, e nei due circuiti non scorre corrente chiudiamo il circuito di destra: nel momento dell’accensione si produce una corrente indotta nel circuito di sinistra, ma solo fin quando la corrente a destra non raggiunge il regime stazionario: dopo un istante la corrente nel circuito di destra va a regime, e a sinistra non scorre corrente Apriamo l’interruttore S: di nuovo, per un istante, registreremo corrente nella spira di sinistra, ma in verso opposto Dopo un istante si torna allo stato iniziale, col circuito di destra aperto e quello di sinistra privo di corrente

Interpretazione: una variazione di corrente nella spira di destra induce una f.e.m. e dunque una corrente nella spira di sinistra; se la corrente è costante nel tempo non si produce alcuna corrente indotta.

Qualcosa di variabile nel tempo produce la corrente indotta; cos’è che varia ? E’ stato Faraday a scoprirlo

Flusso del campo magnetico Faraday capì che nei due casi illustrati ciò che varia è l’intensità del campo magnetico attraverso la spira in cui si induce la corrente, ovvero varia il numero di linee di forza che attraversano l’area della spira. Attenzione: non è l’intensità del campo (ovvero il numero assoluto di linee forza) che conta, ma il fatto che questo stia variando nel tempo; quanto più rapida è questa variazione, tanto più forte la corrente indotta

flusso del campo magnetico attraverso la superficie A è:

Come quantifichiamo il campo magnetico che attraversa la spira? Al solito, le linee di un campo che attraversano una superficie sono quantificate dal FLUSSO:

A

B AdB

Nel caso più semplice di una spira piana di area A, e di un campo uniforme su tutti i punti della superficie, e perpendicolare alla superficie:

L’unità di misura del flusso magnetico è il Weber (Wb):

BAB

2mTWb

Legge di Faraday

La forza elettromotrice indotta in una spira conduttrice è uguale alla derivata temporale del flusso magnetico attraverso l’area della spira, cambiata di segno.

Se invece di una singola spira si ha una bobina con N spire, le f.e.m. indotte su ciascuna spira si sommano come N batterie collegate in serie; per cui la f.e.m. totale indotta nella bobina è

Il segno (–) indica che la corrente indotta si oppone all’aumento di flusso.

Vi sono diversi modi per far variare il flusso attraverso la spira: Utilizzando un campo B variabile nel tempo Variando l’area o deformando la spira Se B è non uniforme variando la posizione della spira rispetto al campo Ruotando la spira, in modo che cambi l’angolo tra B e dA

t

B

E

tN B

E

Legge di Lenz Nel 1834 Heinrich Friedrich Lenz enunciò un principio per descrivere il verso della corrente indotta in una spira: la corrente indotta nella spira ha verso tale che il campo magnetico generato dalla corrente si oppone alla variazione di campo magnetico che genera la corrente

Avvicinandosi o allontanandosi dalla spira, il campo prodotto dal cilindro nel piano della spira ha una variazione DB diretta come mostrato in Figura; la corrente indotta i circola con verso tale che il corrispondente campo indotto Bi è sempre opposto a DB

x

Problema 30.1 Consideriamo un lungo solenoide composto da n=220 spire/cm, percorso da corrente i0=1.5 A, di diametro D=3.2 cm; nel centro del solenoide è inserita una bobina di sezione circolare con N=130 spire, e diametro d=2.1 cm; la corrente nel solenoide viene diminuita con progressione costante (varia linearmente con t) fino a diventare nulla dopo un tempo Dt=25 ms; calcolare la f.e.m. indotta nella bobina interna mentre la corrente del solenoide varia, ed il verso della corrente indotta nella bobina

ctiti 0)(

Il lungo solenoide può essere considerato ideale, per cui il campo interno è uniforme e vale:

xniB ˆ0

La corrente del solenoide viene ridotta linearmente nel tempo, per cui varia secondo la legge:

La corrente deve annullarsi dopo un tempo Dt per cui: t

i

t

i

t

titi

t

ic

D

D

D 0

00 ;1)(

Problema 30.1 n=220 spire/cm; i0=1.5 A; N=130 spire; d=2.1 cm; Dt=25 ms

Vs

Tm

m

Vs

m

s

C

NT

s

CmTAmTN

2

2

Essendo B perpendicolare all’area A della bobina, il flusso di B attraverso l’area è:

Dalla legge di Faraday:

t

inNA

t

inNA

t

BNA

tN B

D

0

00 E

22

46.34

; cmd

ABAB

Vs

Am

mA

Tm 2

3

2447 105.7

1025

5.11046.3130102.2104

E

Problema 30.1

B è diretto verso l’asse x positivo, ma la corrente del solenoide decresce col tempo, dunque dB/dt è diretto in senso opposto; per la legge di Lenz, la corrente nella bobina deve scorrere in verso tale da generare un campo indotto Bin che si opponga alla variazione del campo esterno; dunque Bin è concorde con B ed opposto a dB/dt. Si noti un altro modo per leggere la legge di Lenz: poiché la corrente del solenoide diminuisce nel tempo, la corrente indotta nella bobina fluisce nello stesso verso in modo da compensarne la riduzione

t

B

B

inB

x

Problema 30.2 In figura vediamo una spira di resistenza R connessa ad una batteria; la spira è formata da un semicerchio di raggio r e 3 tratti rettilinei; il semicerchio è immerso in un campo magnetico variabile nel tempo B uscente dal piano

TttBmrRVbat 324;2.0;2;2 2 E

a) Calcolare la f.e.m. indotta ed il verso della relativa corrente indotta nella spira all’istante t=10 s

22

063.02

; mr

ABAB

Il flusso magnetico attraverso il semicerchio è:

s

Ttm

t

tBA

t

Bi 28063.0

)( 2

E

La forza elettromotrice indotta dalla variazione del flusso (omettiamo il segno -):

Per t=10 s: Vs

Tmi 16.582063.0 2 E

s

Tzt

t

tBˆ28

)(

Se indichiamo con z l’asse perpendicolare al foglio in verso uscente, si ha

Problema 30.2

VV ibat 16.5;2 EE

B è uscente dalla pagina e la sua variazione dB/dt positiva e dunque uscente anch’essa; il campo indotto deve essere opposto e dunque entrante nella pagina, dunque iin circola in senso orario

iE

ib) Calcolare la corrente totale nella spira all’istante t=10 s

RiRi batin

batin

EEEE

bati ini

AV

i 58.12

16.3

Problema 30.3 La spira rettangolare in figura di lati W ed H giace in un campo magnetico non uniforme e variabile nel tempo, perpendicolare alla pagina con verso entrante

TtxBmHmW 224;2;3

Calcolare la f.e.m. indotta ed il verso della corrente indotta nella spira all’istante t=0.1 s

VHWts

TmHWt

t

B

3

23

3

8

3

8 Per t=0.1 s:

Poiché B è entrante nella pagina e la sua variazione positiva, anche DB è entrante nella pagina; dunque il campo indotto deve essere uscente dalla pagina; per la regola della mano destra, la corrente indotta deve circolare in senso antiorario

x

232

00

22

3

44 TmHWtdyxdxtdABAdB

HW

AA

B

VVi 4.142271.03

8

E

La chitarra elettrica La Fender Stratocaster (Leo Fender, 1954) ha 3 gruppi di 6 microfoni elettrici (uno per corda) che catturano le vibrazioni delle corde, rispettivamente per frequenze alte, medie, e basse.

Ciascun microfono è costituito da una bobina connessa all’amplificatore, arrotolata attorno ad un piccolo magnete. La funzione del magnete è polarizzare il segmento di corda al di sopra del magnete. Far vibrare la corda equivale a far oscillare avanti e indietro una barra magnetica puntata verso la bobina: nella bobina si genera una variazione di flusso magnetico e dunque una corrente indotta il cui verso oscilla con la stessa frequenza della corda che vibra. La frequenza viene quindi trasmessa all’amplificatore e poi alle casse che la traducono in onda sonora.

corda

Induzione e trasferimento di energia Se avviciniamo la barra magnetica alla spira sentiamo una forza repulsiva che tende a repellere la barra e la spira: dobbiamo applicare una forza e dunque spendere una certa energia per avvicinare spira e barra magnetica Se allontaniamo la barra magnetica dalla spira sentiamo una forza attrattiva che tende ad avvicinare la barra e la spira: dobbiamo applicare una forza e dunque spendere una certa energia per allontanarle

A cosa è dovuta questa spesa energetica, e dunque questa necessità di esercitare forza dall’esterno per avvicinare o allontanare spira e barra? la spira (a meno che sia superconduttiva) ha sempre una sua resistenza, dunque far circolare la corrente indotta richiede una energia termica da spendere nel circuito: una corrispondente quantità di energia meccanica deve dunque essere fornita dall’esterno

B

DiB

Calcolare questa energia nel caso mostrato in figura è complicato; consideriamo un caso più semplice

Induzione e trasferimento di energia Consideriamo un campo B uniforme entrante nella pagina all’interno della regione tratteggiata, ed una spira rettangolare immersa nel campo, di resistenza R; estraiamo la spira dal campo muovendola con velocità v costante; durante l’estrazione, il flusso magnetico attraverso la spira varia nel tempo; se x è la porzione di lato orizzontale della spira immersa nel campo, si ha:

A seguito della corrente indotta, nella regione della spira immersa nel campo si genera la forza di Lorentz (per il caso di filo rettilineo):

Chiaramente se v è costante:

BLxdABAdBAA

B

vtxx 0

R

BLviBLv

t

Bi

;E

BLiFB

Sui lati 2 e 3 della spira le forze sono uguali ed opposte in verso, conta solo la forza sul lato 1: x

R

vBLxLBiF ˆˆ

22

1

Induzione e trasferimento di energia

E’ necessario dunque applicare una forza F uguale in modulo ed opposta in verso ad F1 per estrarre la spira dalla regione del campo magnetico (si noti che F1 è costante, essendo v costante)

R

BLviBLv

t

Bi

;E

Il lavoro meccanico necessario ad estrarre un tratto dx della spira dal campo è:

xR

vBLxLBiF ˆˆ

22

1

dxFdL

La corrispondente potenza meccanica: R

vBLvFP

222

La potenza dissipata in energia termica: R

vBLRiP

2222

Come volevasi dimostrare, la potenza dissipata in energia termica dalla corrente indotta è uguale alla potenza meccanica che si deve spendere per estrarre la spira dal campo magnetico

Correnti di Focault o parassite

Immaginiamo di ripetere lo stesso esperimento ma estraendo dal campo magnetico una lastra conduttiva invece della spira: si genera lo stesso fenomeno, ovvero correnti indotte si generano nel conduttore, di verso tale da opporsi all’estrazione della lastra. A differenza della spira, in cui le cariche mobili hanno ‘la strada segnata’, nel caso della lastra le correnti sono libere di muoversi senza restrizioni; in pratica queste correnti, dette di Focault o anche parassite, generano dei vortici, o mulinelli di corrente (“eddy currents”) all’interno della piastra. Nella figura in basso consideriamo una bacchetta conduttiva che oscilla attorno ad un perno, e oscillando attraversa una regione di campo magnetico: ogni volta che la bacchetta attraversa il campo, la variazione di flusso genera mulinelli di Focault nella bacchetta che dissipano una certa quantità di energia; dopo alcune oscillazioni sempre meno ampie, la bacchetta si fermerà in posizione verticale, poiché avrà esaurito la sua energia cinetica iniziale, interamente dissipata in energia termica dovuta alle correnti parassite

Risonanza magnetica nucleare (RMN) Nella RMN un paziente giace in un apparato in cui sono presenti due campi: un intenso campo statico Bstat ed un debole campo B(t) variabile nel tempo in modo sinusoidale. Al dito del paziente è applicato un pulsossimetro, apparecchio che misura la pressione di ossigeno nel sangue, connesso al rilevatore esterno mediante un cavo conduttore.

E’ accaduto che il cavo, toccando il braccio del paziente, creasse un loop conduttivo col braccio: la variazione di flusso nel loop dovuta a B(t) ha così generato una corrente indotta capace di ustionare il paziente nei punti di contatto braccio-filo e dito-filo. Consideriamo che il rivestimento del filo è sufficiente ad isolarlo ed a prevenire corto circuiti in caso di normali correnti di basso voltaggio; inoltre abbiamo detto che B(t) è debole: il punto cruciale è che la f.e.m. indotta non dipende dal valore del campo in un dato istante, ma dalla sua variazione nel tempo: se la frequenza di oscillazione di B(t) è molto elevata (come nel caso della RMN), la sua derivata, e quindi la derivata del flusso, può essere grandissima, anche se il valore di B è piccolo !! Nelle apparecchiature medicali, in presenza di campi magnetici varabili nel tempo, è quindi imperativo accertarsi che i fili elettrici non tocchino in alcun modo il corpo del paziente, onde evitare possibili ustioni dovute all’induzione magnetica di Faraday.

Campo elettrico indotto Consideriamo un campo magnetico uniforme B(t) variabile nel tempo, all’interno di un volume cilindrico di raggio R, perpendicolare alla pagine in verso entrante. Poniamo un anello conduttore di raggio r all’interno del campo, concentrico al cilindro: la variazione di flusso produce una f.e.m. e dunque una corrente i nell’anello. Se B(t) aumenta nel tempo dB(t)/dt è orientato in verso entrante come B(t), dunque i scorre in senso antiorario, come prescritto da Lenz.

Ma se nell’anello esiste una f.e.m. che produce la corrente, ciò vuol dire che deve esistere un campo elettrico indotto E prodotto da dB(t)/dt. Questo porta alla seguente riformulazione della legge di Faraday: Un campo magnetico variabile nel tempo genera un campo elettrico

Il campo elettrico prodotto da dB(t)/dt è tanto reale quanto quello prodotto dalle cariche elettriche. Come il campo prodotto da cariche, esso esiste a prescindere dalla presenza di altre cariche su cui esercita una forza. Ovvero, anche in assenza dell’anello di rame, il campo elettrico indotto è presente nello spazio ed in grado di accelerare le cariche elettriche e generare una corrente.

Campo elettrico indotto

Dunque anche E deve avere simmetria radiale e la sua direzione tangenziale alla circonferenza. Le linee di flusso di E sono cerchi concentrici che si addensano allontanandosi dal centro, poiché il flusso magnetico (e dunque l’intensità di E) cresce con l’area. Il verso di E è dettato da Lenz, concordemente al verso della corrente.

Eliminiamo l’anello di rame e disegniamo idealmente un cerchio di raggio r, concentrico al cilindro: in ogni punto del cerchio esiste un campo E indotto in grado di generare una corrente lungo la circonferenza di verso antiorario. Essendo B uniforme, il flusso e dunque la f.e.m. hanno simmetria radiale, poiché per un qualunque cerchio di raggio r: 2)( r

t

BA

t

Br

E

NB: le linee di flusso del campo elettrico generato da cariche elettriche hanno un inizio (dalla carica positiva) ed una fine (nella carica negativa); al contrario, le linee del campo generato da dB(t)/dt devono essere linee chiuse, ovvero non possono né iniziare né finire in alcun punto dello spazio

Riformulazione della legge di Faraday

Nel caso di simmetria radiale:

Consideriamo una carica q0 che si muove lungo la circonferenza di raggio r, spinta dalla f.e.m. indotta. Il lavoro del campo elettrico speso per muovere q0 di un giro completo lungo la circonferenza è, per definizione:

sdEqsdFqL

00E

rt

BErErEqqL

2

12200 EE

sdE

E

Ovvero la f.e.m. di un circuito chiuso è uguale alla circuitazione del campo elettrico lungo il circuito

Possiamo quindi riscrivere la legge di Faraday come: t

sdE B

Dunque, la variazione nel tempo del flusso magnetico genera un campo elettrico avente circuitazione non nulla rispetto ad un qualsiasi cammino chiuso interno al campo magnetico variabile

Riformulazione della legge di Faraday

Consideriamo la circuitazione attorno ai 4 cammini chiusi disegnati in rosso in figura, tutti aventi la stessa area. I cammini 1 e 2, interamente interni al campo magnetico, benché abbiano una diversa distribuzione dei valori di E lungo il cammino, devono avere uguale f.e.m. poiché dB/dt è uniforme in tutti i punti e la loro area è la stessa. La f.e.m. del cammino 3 è inferiore a quella di 1, 2, poiché, essendo parzialmente fuori dal campo magnetico, il corrispondente flusso magnetico sarà minore. La f.e.m. del cammino 4 è nulla, essendo interamente al di fuori del campo magnetico, benché il campo non sia affatto nullo in quella regione.

tsdE B

Si noti che E esiste anche al di fuori della regione di campo magnetico: ad esempio, la circuitazione di E lungo una circonferenza di raggio r > R è chiaramente non-nulla, per cui anche il campo elettrico in ciascun punto deve esserlo

Problema 30.4

Utilizziamo la legge di Faraday per il campo elettrico prodotto dal flusso:

Consideriamo un campo magnetico uniforme B(t) variabile nel tempo, all’interno di un volume cilindrico di raggio R = 8.5 cm, perpendicolare alla pagine in verso entrante. Sia dB(t)/dt = 0.13 T/s. a) Calcolare il campo elettrico nel punto r = 5.2 cm

tsdE B

)2( rEsdE

2rt

B

t

B

Sfruttando la simmetria radiale, la circuitazione di E lungo il cerchio di raggio r è:

La derivata del flusso del campo magnetico attraverso l’area racchiusa dal cerchio:

m

Vr

t

BE 31038.3

2

1

Vs

Tm

2

Problema 30.4 R = 8.5 cm, dB(t)/dt = 0.13 T/s

r

)2( rEsdE

2Rt

B

t

B

la circuitazione di E lungo il cerchio di raggio r è:

Adesso r > R, dunque il flusso magnetico attraverso r è tutto il flusso attraverso il cerchio di raggio R:

C

N

r

R

t

BE 3

2

107.32

1

Intensità del campo elettrico generato dal campo magnetico uniforme interno ad una regione cilindrica di raggio R: all’interno del cilindro il campo cresce linearmente; all’esterno decresce come 1/r

r

R

t

BE

2

2

1

rt

BE

2

1

R

b) Calcolare il campo elettrico nel punto r = 12.5 cm (fuori dal cilindro)

Induttori e induttanze

i

NL B

Si definisce induttore un dispositivo in grado di generare un campo magnetico di forma specifica. E’ dunque l’analogo magnetico del condensatore, capace di generare un campo elettrico di forma nota nello spazio (ad es. il condensatore piano genera un campo elettrico uniforme). Tipici induttori sono solenoidi, toroidi, e bobine.

Dato un induttore caratterizzato da N spire, corrente i, e flusso magnetico B, si definisce induttanza dell’induttore la quantità:

Il prodotto NB, si definisce flusso concatenato; dunque l’induttanza di un dispositivo è uguale al flusso concatenato per unità di corrente. L’unità di misura dell’induttanza è l’Henry (H), dal nome di Joseph Henry (contemporaneo di Faraday): un Henry è uguale a un Weber su un Ampère:

HA

Wb

A

TmL

2

Induttanza del solenoide

lAni

NL B 2

0

Consideriamo un solenoide abbastanza lungo da poterlo supporre ideale; sappiamo che il campo magnetico interno è

Analogia formale tra induttanza e capacità del condensatore piano: entrambe dipendono da fattori geometrici e da una costante universale

Calcoliamo l’induttanza del solenoide in una regione centrale (ovvero lontana dai bordi) di lunghezza l; il numero di spire da considerare è quindi N= nl, e l’induttanza:

inB 0

Calcoliamo il flusso attraverso la sezione di area A:

inABAB 0

Anl

L 2

0Possiamo considerare l’induttanza per unità di lunghezza:

dAC /0

Analogia concettuale: la capacità è il rapporto tra carica sui piatti e potenziale da essa generato tra i piatti; l’induttanza è il rapporto (inverso) tra corrente nel filo e flusso di campo magnetico generato dalla corrente all’interno del solenoide

Autoinduzione Un campo magnetico variabile nel tempo genera una forza elettromotrice ed una corrente indotta in un qualsiasi circuito immerso nel campo. Se il campo magnetico è a sua volta generato da una bobina o da un circuito qualsiasi, una f.e.m. indotta verrà generata dal campo magnetico anche nella bobina generatrice del campo: in tal caso si dice che la f.e.m. è autoindotta. Proprio come una qualsiasi f.e.m. indotta, anche la f.e.m. autoindotta obbedisce alla legge di Faraday.

Consideriamo un induttore qualsiasi, caratterizzato da N spire, corrente i, e flusso magnetico B; per definizione, flusso e corrente sono legate dalla relazione:

Se il flusso varia nel tempo a causa di una corrente variabile nel tempo, nell’induttore si genera una f.e.m. autoindotta data da:

BNiL

t

iL

tN B

L

E

Negli induttori i fattori geometrici che determinano L sono tipicamente fissi, per cui il flusso varia esclusivamente attraverso la variazione di corrente, mentre L resta costante.

Dunque, in un qualsiasi induttore, ogni volta che la corrente varia nel tempo si genera una f.e.m. autoindotta. Si noti che il valore di i(t) non influenza affatto la f.e.m. autoindotta, conta soltanto la derivata di/dt.

Verso della corrente autoindotta Il circuito in figura è costituito da un generatore, un induttore L, ed una resistenza R; immaginiamo che una punta scorrevole si muova lungo R, in modo da variare la corrente i del circuito, nel tempo; mentre la punta si muove, nell’induttore si genera una variazione di flusso magnetico ed una corrente autoindotta. Assumiamo che i scorra nelle spire dell’induttore in verso orario, per cui il campo magnetico nell’induttore è diretto verso il basso

Quando i cresce dB/dt è rivolto verso il basso: la corrente autoindotta scorre in verso antiorario, ovvero si oppone all’incremento di i Quando i decresce, dB/dt è rivolto verso il basso: la corrente autoindotta ha lo stesso verso di i, ovvero si somma ad i in modo da compensarne il decremento

i

B

i

Bd

iB

ini

iBd

iB

ini

i aumenta i diminuisce

Circuito RL Si dice circuito RL un circuito a singola maglia contenente una resistenza R e un’induttanza L (in figura); quando l’interruttore chiude il circuito nel punto a, la batteria inizia a far circolare corrente; durante il periodo transiente necessario ad arrivare allo stato di regime stazionario, la corrente aumenta progressivamente attraversando l’induttanza, generando un campo B(t) e di conseguenza una corrente autoindotta.

In assenza di L, la corrente del circuito raggiungerebbe in un tempo rapidissimo il suo valore stazionario: R

iE

t

iLL

EDi contro, a causa di L, si genera nel circuito una f.e.m. autoindotta :

e quindi una corrente autoindotta di verso opposto a quella della batteria; l’effetto netto della contrapposizione tra f.e.m. costante della batteria e f.e.m. variabile dovuta all’induzione è una corrente che cresce sempre più lentamente, raggiungendo il valore stazionario nel limite asintotico. Una volta raggiunto il regime di corrente stazionaria, la corrente autoindotta si annulla e l’induttanza si comporta come un ordinario pezzo di filo conduttore.

Circuito RL Applichiamo Kirchoff al circuito RL in figura:

Dobbiamo risolvere questa equazione differenziale di primo ordine in i(t) con la condizione iniziale: i(0)=0, simile a quella già vista per il circuito RC; la soluzione è:

L

Rt

eR

ti 1)(E

R

LL

definiamo la costante di tempo induttiva L (dalla (1) si vede che L può esprimersi in Vs/A, per cui L/R ha dimensione di un tempo)

Rit

iLL

EEE

)1(t

iLRi

E

L

t

eR

ti

1)(E

Rii

E )(;0)0(

è facile dimostrare che questa espressione soddisfa la (1); inoltre:

RCC

Ricordiamo che per il condensatore:

Circuito RL la differenza di potenziale ai capi di R è

VR è proporzionale alla corrente, dunque è nulla inizialmente e tende esponenzialmente alla f.e.m. della batteria.

Lt

L et

iLV

/

E

Lt

R etiRtV/

1)()(

E

per t=0, VL è uguale (ed opposta in verso) alla f.e.m. della batteria, in modo che la corrente iniziale è nulla; ovvero, a t=0 l’induttanza si comporta come un circuito aperto. A regime stazionario, VL si annulla, ovvero l’induttanza diventa un cortocircuito.

VHLKR 10;4;2 E

E63.0)( LRV Dopo un tempo t = L:

la differenza di potenziale ai capi di L è

E37.0)( LLV Dopo un tempo t = L:

Circuito RL Una volta raggiunta la condizione di regime stazionario, spostiamo l’interruttore sul punto b, in modo da escludere la batteria dal circuito: la corrente non svanisce istantaneamente, poiché L compensa la riduzione con un contributo di corrente indotta.

La soluzione dell’eq.(2) è:

Ovvero, a t=0 la corrente è uguale a quella a regime i(0), e la tensione ai capi di L deve compensare la tensione ai capi di R: entrambe diminuiscono esponenzialmente nel tempo, con una costante di tempo induttiva uguale a quella del processo di corrente crescente

)2(0

t

iLRi

LL tteie

Rti

//)0()(

E

R

LL

Ri

E)0(

Lt

R etRitv/

)()(

ELt

L edt

diLtv

/)(

E

d.d.p. ai capi di R: d.d.p. ai capi di L:

Problema 30.5 Il circuito in figura contiene 3 resistenze R uguali, due induttanze L uguali, ed una batteria ideale:

a) Calcolare la corrente attraverso il ramo della batteria all’istante iniziale, subito dopo la chiusura del circuito

La corrente scorre in 3 rami paralleli, ai cui capi c’è la stessa d.d.p, uguale alla f.e.m. della batteria; le equazioni per i 3 rami sono:

2131 2; iiiii

VmHLR 18;2;9 E

1i2i

3i

i

t

iLiRiR

t

iLiR

3

321

1 ;; EEE

Chiaramente, primo e terzo ramo sono identici per cui:

All’istante iniziale sappiamo che l’induttanza si comporta come un circuito aperto, dunque:

031 ii AV

Rii 2

9

182

E

Problema 30.5 Il circuito in figura contiene 3 resistenze R uguali, due induttanze L uguali, ed una batteria ideale:

b) Calcolare la corrente attraverso il ramo della batteria nel regime stazionario, ovvero molto tempo dopo la chiusura del circuito

2131 2; iiiii

VmHLR 18;2;9 E

1i2i

3i

i

t

iLiRiR

t

iLiR

3

321

1 ;; EEE

A regime la corrente non varia più e l’induzione si annulla; dunque l’induttore diventa un corto circuito: ne deriva che le correnti nei 3 rami devono essere tutte uguali:

Aii 63 2

321 iRiRiR E

Problema 30.6 Consideriamo un solenoide con resistenza interna R e induttanza L, collegato ad una batteria

Calcolare il tempo necessario alla corrente per raggiungere metà del suo valore di equilibrio

;53;37.0 mHLR

Il solenoide è dotato di una propria resistenza R; a regime diventa quindi un resistore di resistenza R, per cui: R

iE

)(

Dobbiamo determinare l’istante t per cui: R

eR

ti Lt EE

2

11)(

/

L

L

tt

te L

69.069.0)5.0ln(

2

1/

smH

R

LL 14.0

37.0

53

st L 1.069.0

sH

s

TmV

A

TmH

2

2

Energia immagazzinata nel campo magnetico Quando si collega l’induttanza alla batteria, durante la fase di corrente variabile, una porzione dell’energia erogata dal generatore è spesa per ‘caricare’ l’induttanza, ovvero generare il campo magnetico nell’induttore; a regime, questa energia rimane immagazzinata nel campo magnetico dell’induttore, ed eventualmente rilasciata nel circuito se la batteria viene eliminata.

Consideriamo l’equazione del circuito in figura, avendo moltiplicato entrambe i membri per i:

potenza erogata nel circuito dalla batteria dt

dqi EE

Questa equazione esprime la conservazione dell’energia:

t

iLiRii

2

E

2Ri potenza dissipata in energia termica sulla resistenza R

t

iLi

potenza immagazzinata nel campo magnetico dell’induttore

Energia immagazzinata nel campo magnetico

L’espressione generale che lega potenza e d.d.p. ai capi di un generico componente del circuito è:

Ai capi dell’induttore:

)1(2

t

iLiRii

E

dt

diLiP

Dalla potenza ricaviamo l’energia immagazzinata nell’induttore (assumiamo nulla la corrente e l’energia all’istante iniziale)

)2(Vidt

Vdq

dt

dLP D

D

dt

diLV D

C

qU

2

2

1

Notiamo l’analogia con l’energia accumulata nel campo elettrico del condensatore:

2

2

1LidiiLU

dt

diLi

dt

dUP

Dunque il terzo termine dell’eq.(1) è la potenza trasferita dal generatore all’induttore.

Problema 30.7 Consideriamo una bobina con resistenza interna R e induttanza L, collegato ad una batteria:

La bobina viene collegata ad una f.e.m. di 12 V. a) Calcolare l’energia immagazzinata dal campo magnetico della bobina all’equilibrio.

;53;35.0 mHLR

La bobina, come una qualsiasi induttanza, nel regime stazionario si comporta come un ramo chiuso di resistenza uguale alla resistenza interna dell’induttore, per cui:

AV

Ri 3.34

35.0

12)(

E

L’energia immagazzinata è quindi:

JAmHiLU 17.31)3.34(5.262

1 22

JVCVAsHAA

VsH 2

Problema 30.7 Consideriamo una bobina con resistenza interna R e induttanza L, collegato ad una batteria:

La bobina viene collegata ad una f.e.m. di 12 V. b) Calcolare il tempo (espresso in multipli della costante di tempo) necessario ad immagazzinare metà dell’energia totale di equilibrio

;53;35.0 mHLR

L’energia immagazzinata in funzione del tempo è:

Dobbiamo calcolare l’istante in cui U(t) è uguale a:

23.12

11ln

2

11

2

11

/2/

L

tt tee LL

2

2

4

1

4

1

2

1

RLiLU

E

2/

2

2 12

1)(

2

1)( Lt

eR

LtiLtU

E

Densità di energia del campo magnetico

Consideriamo un solenoide ideale di lunghezza l ed area A. Poiché il campo magnetico nel solenoide (ideale) è uniforme, anche l’energia deve essere distribuita uniformemente. La densità di energia del solenoide è quindi:

Valida in generale per qualunque campo magnetico

Nel solenoide l’induttanza per unità di lunghezza è:

Notiamo l’analogia con la densità di energia del campo elettrico:

lA

A

i

l

LiL

AlAl

Uu

22

12

2

Anl

L 2

0

0

2

0

222

022

022

1

2

1

Bininu

2

02

1Eu ricavata dal condensatore piano

ma valida per qualsiasi valore di E

Problema 30.8 Consideriamo un lungo cavo coassiale costituito da due cilindri conduttori molto sottili; il cilindro interno ha raggio a, quello esterno raggio b; la corrente scorre lungo il cilindro interno in un verso e lungo quello esterno (che funge da conduttore di ritorno) nel verso opposto.

Per B possiamo assumere simmetria cilindrica, e calcolarlo in qualsiasi punto dello spazio utilizzando la circuitazione attorno ad una circonferenza di raggio r. Chiaramente B=0 in qualsiasi punto interno al cilindro piccolo o esterno al cilindro grande (le correnti nei due cilindri sono uguali in modulo ed opposte in verso): solo nell’intercapedine tra i due cilindri il campo magnetico è diverso da zero. Applicando Ampère sulla circonferenza di raggio r (linea tratteggiata in figura) si ottiene:

Aimlmmbmma 7.2;1;5.3;2.1

Calcolare l’energia immagazzinata nel campo magnetico in un tratto l del cavo.

2

2

2

0

0

2

0

)2(22

)()(

2)(

r

irBru

r

irB

Problema 30.8 Aimlmmbmma 7.2;1;5.3;2.1

2

2

2

0

)2(2)(

r

iru

b

adArulU )(

rdrdA 2

In simmetria radiale, conviene assumere come dA una corona di raggio r e spessore dr:

a

bildr

r

ilrdrrulU

b

a

b

aln

4

1

4)(2

2

0

2

0

JAA

TmU 72

27 108.7

2.1

5.3ln3.710

JHAATmA

TmH 22

2

In questo caso B ed u non sono uniformi nel piano; dunque per calcolare l’energia in una sezione finita di cavo è necessario integrare:

Mutua induttanza

la mutua induttanza è il un flusso magnetico 21 per unità di corrente prodotto da B1 concatenato con le N2 spire della bobina 2

21

1

2

1

21221 AdB

i

N

i

NM

Ovviamente, il campo B1 produce anche un flusso concatenato con la bobina 2 (a patto che questa sia abbastanza vicina alla 1); definiamo mutua induttanza la quantità:

11

1

1

1

1111 AdB

i

N

i

NL

Consideriamo due bobine vicine, rispettivamente aventi N1 ed N2 spire; nella bobina 1, collegata ad un generatore, scorre una corrente i1 che crea un campo B1. Abbiamo definito induttanza, o anche autoinduttanza, il flusso concatenato alla bobina 1 per unità di corrente:

Mutua induttanza

Mediante una punta a scorrimento lungo R, facciamo variare nel tempo la corrente i1; si ha:

dt

dN

dt

diM 21

21

21

Per la legge di Faraday, il secondo membro è la f.e.m. indotta nella bobina 2:

Nel caso dell’autoinduzione si ha:

dt

diM

dt

dN 1

2121

22

E

dt

diL

dt

dN 1

111

11

E

212121 NiM

Mutua induttanza Togliamo la batteria dalla bobina 1 e inseriamola nella bobina 2: il flusso generato dalla 2 sulla 1 genera una corrente indotta sulla bobina 1; la mutua induttanza in questo caso si esprime come

MMM 1221

e la f.e.m. indotta nella bobina 2:

ovvero la f.e.m. indotta in una bobina è sempre proporzionale alla variazione di corrente nell’altra bobina.

2

12112

i

NM

dt

diM

dt

dN 2

1212

11

E

Diamo (senza dimostrazione) il seguente risultato:

Ovvero, anche se le bobine sono diverse, l’induzione esercitata da una bobina su un’altra è sempre uguale all’induzione esercitata da quest’ultima sulla prima

Mutua induttanza

dt

diM 1

2 Edt

diM 2

1 E

Problema 30.9

cmRcmRNN 1.1;15;1200 2121

Il campo della bobina è meno simmetrico di quello del solenoide, e non possiamo applicare Ampère; abbiamo però visto che nella regione attorno al centro il campo è circa uniforme; ricordando la formula di Biot-Savart applicata all’arco, si ha che il campo generato dalla bobina 1 nella regione attorno al centro è:

Consideriamo due bobine circolari coassiali, di raggi R1 ed R2 (con R1 >> R2) e spire N1 ed N2; calcolare il coefficiente di mutua induzione M

zR

iNB ˆ

2 1

1101

Supponendo che i1 scorra in verso antiorario, B1 è ovviamente perpendicolare ed uscente dalla pagina

La bobina 2 ha un’area molto piccola attorno al centro, dunque possiamo supporre B1 costante in ogni punto del piano della bobina 2; il flusso di B1 attraverso la 2 è quindi:

2

2

1

1102

2121212

2

RR

iNRBAdB

A

1R

2R

1i

1B

x

y

Problema 30.9 cmRcmRNN 1.1;15;1200 2121

Dal flusso concatenato con la bobina 2 calcoliamo la mutua induttanza:

2

2

1

11021

2R

R

iN

mHR

RNN

i

NM 3.2

2 1

2

2210

1

212

Come l’induttanza, anche la mutua induttanza dipende soltanto da fattori strutturali della bobina, ovvero raggio e numero di spire.

A

TmH

2

NB: se avessimo calcolato il flusso generato dalla bobina 2 sulla 1 avremmo ottenuto esattamente lo stesso risultato M = 2.3 mH. Il calcolo di B2 e del relativo flusso attraverso l’area della bobina 1 è molto più complesso, può essere realizzato mediante integrazione numerica al computer.

1R

2R

1i

1B

x

y

Sommario induzione magnetica

potenza dissipata nella spira

R

vBLRiP

2222

A

B AdB

2mTWb t

N B

EFaraday/Lenz

tsdE B

E

i

NL B

Induttanza:

A

WbH

lAnL 2

0Per il solenoide:

Lte

Rti

/1)(

E

Corrente nel circuito RL:

Lte

Rti

/)(

E

Fase crescente:

Fase decrescente: t

iLiP

2

2

1iLU

Potenza, energia, e densità di energia immagazzinate nel campo magnetico

0

2

2

Bu

t

iL

tN B

L

E

Autoinduzione:

dt

diM 1

2 Edt

diM 2

1 E

Mutua induttanza: