Prof. F.Soramel Elementi di Fisica 2 - A.A. 2010/11 1 Induzione La legge dell’induzione di Faraday combina gli effetti dei campi elettrici e delle correnti, infatti sappiamo che Corrente + campo magnetico ⇒ momento torcente motore elettrico Momento torcente + campo magnetico ⇒ corrente generatore Osservazioni sperimentali 1. Corrente generata solo se c’è moto relativo tra spira e magnete, i = 0 quando il moto relativo termina 2. La rapidità del movimento influisce sull’ intensità della corrente 3. Avvicinando il polo N alla spira la corrente circola in senso orario, allontanandolo in senso antiorario, la situazione si inverte con il polo Sud
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Induzione La legge dell’induzione di Faraday combina gli effetti dei campi elettrici e delle correnti, infatti sappiamo che Corrente + campo magnetico ⇒ momento torcente motore elettrico Momento torcente + campo magnetico ⇒ corrente generatore Osservazioni sperimentali
1. Corrente generata solo se c’è moto relativo tra spira e magnete, i = 0 quando il moto relativo termina
2. La rapidità del movimento influisce sull’ intensità della corrente
3. Avvicinando il polo N alla spira la corrente circola in senso orario, allontanandolo in senso antiorario, la situazione si inverte con il polo Sud
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Se abbiamo una corrente indotta, allora il lavoro fatto nell’unità di tempo per far passare gli elettroni di conduzione attraverso la spira è la f.e.m. indotta. Induzione elettromagnetica
Tutto fermo, spire elettricamente isolate. Chiudo il circuito e vedo i2 nella seconda spira poi tutto a zero di nuovo. Apro S e per un istante vedo una corrente in senso opposto al precedente. Varia i1 ⇒ ho i2 indotta, i1 stazionaria ⇒ i2 = 0 Fenomeni di induzione dipendono dalla variazione del flusso del campo magnetico.
Legge di induzione di Faraday In una spira viene indotta una f.e.m. quando il numero delle linee di forza del campo magnetico che attraversano la spira varia.
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€
Φ B
= B • d
A
A∫ se B || d
A e B uniforme su tutta la spira
Φ B
= BA Φ B [ ] = Wb = Tm2
La f.e.m. indotta in una spira è uguale alla derivata temporale, cambiata di segno, del flusso del campo magnetico attraverso quella spira (Faraday + Lenz)
La f.e.m. si oppone alla variazione di flusso di B per ripristinare la situazione originaria. Se abbiamo una bobina con N spire
Considerando il flusso di B attraverso la spira, quantitativamente si ha
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Il flusso magnetico concatenato varia se:
1. varia l’intensità di B attraverso la bobina 2. varia l’area della bobina o la parte di essa interessata da B 3. varia l’angolo tra B e il piano in cui giace la bobina
C’è poi il caso di un tratto rettilineo di circuito che si muove tagliando le linee di flusso di B (flusso tagliato)
Legge di Lenz (1834) La corrente indotta nella spira ha un verso tale che il B’, generato dalla corrente indotta, si oppone alla variazione del B che l’ha originata.
Conservazione dell’energia La f.e.m. ha il verso della corrente indotta.
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Avvicino il magnete ⇒ B attraverso la spira ↑, si induce una i che si oppone all’aumento di B. Se il magnete si allontana la corrente è oraria (la spira presenta il Sud verso il magnete).
Se la barra è lontana il flusso attraverso la spira è piccolo. Quando la barra si avvicina con il N alla spira, il flusso concatenato aumenta ⇒ si generano i e Bi che si oppongono alla variazione di flusso
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Consideriamo due conduttori in grado di muoversi senza attrito uno rispetto all’altro. Il circuito (PQRS) così realizzato si trova in una zona in cui ∃ un B uniforme e ⊥ al circuito. Il tratto PQ si muove con velocità v Sulle cariche di PQ agisce la forza di Lorentz q(vxB) il cui effetto è quello di creare un campo elettrico equivalente Eeq tale che
Tra P e Q esiste una d.d.p. /
Sugli altri lati non ci sono cariche in moto ⇒ non ci sono forze
l v vxB
B
x z
y R
S
Q
P
VE
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Poniamo ora SP = x, l’area del circuito vale (lx) e il ΦB è
Pertanto abbiamo che il flusso di B aumenta e il segno della d.d.p. è quello del prodotto vettoriale vxB
ω
S
R
Q
P
x l
B v
vxB
θ un
Sui lati orizzontali globalmente non ci sono forze dovute a B
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La legge dell’induzione f.e.m.= -(dΦB/dt) può essere impiegata quando la variazione del flusso di B è dovuta ad una variazione di B, oppure ad una deformazione del circuito su cui si calcola la f.e.m. (varia S), o ad entrambe.
Quando, in seguito ad una variazione del flusso di B, nel circuito viene indotta una f.e.m. e quindi una corrente che, circolando, surriscalda il circuito stesso ⇒ si genera energia termica. Si deve quindi fornire energia al sistema magnete + spira per bilanciare la potenza dissipata per effetto Joule.
F
Per far muovere la spira con velocità v bisogna applicare una forza F che si deve opporre ad F1, la spira si muove con v = costante se F ed F1 sono uguali in modulo.
Per il flusso si ha
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La potenza in gioco vale
Sappiamo che f.e.m. = BvL ⇒ i = f.e.m./R = BvL/R, R è la resistenza globale della spira F2 ed F3 sono uguali ed opposte ⇒ solo F1 deve essere bilanciata da F
Potenza meccanica
La potenza termica dissipata è
Potenza termica
Le due potenze sono uguali quindi il lavoro fatto per spostare la spira viene convertito completamente in energia termica
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1. Campi elettrici generati da cariche: le linee di forza partono dalla carica positiva e finiscono su quella negativa 2. Campi elettrici generati da variazioni di flusso: le linee di forza sono chiuse su se stesse
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Un induttore od induttanza è un elemento di un circuito in grado di produrre un campo magnetico noto in una zona predeterminata dello spazio. L’induttanza è definita come
NΦB = flusso concatenato
Calcoliamo ora l’induttanza di un solenoide Prendiamo un solenoide molto lungo di sezione A e ne calcoliamo l’induttanza per unità di lunghezza. Prendiamo un pezzo di solenoide di lunghezza l vicino al centro del solenoide stesso, il flusso concatenato vale
L è una quantità puramente geometrica
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Autoinduzione Se in un’induttanza varia la corrente i, si genera una f.e.m. indotta EL EL = forza elettromotrice autoindotta
€
EL = −d NΦ
B ( )dt
NΦ
B
i= L
EL = −d Li( )
dt= −L di
dt
EL dipende dalla rapidità della variazione di i nella bobina. L’induttanza ideale ha resistenza nulla
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Circuiti RL Portiamo S in a e chiudiamo il circuito. Abbiamo una f.e.m = E improvvisa nel circuito e comincia a circolare una corrente i che cresce nel tempo. Nell’induttanza si genera un EL indotta in verso opposto alla di/dt
€
EL = −didtL
la corrente nella resistenza R è minore di E/R. Dopo un certo tempo i arriva asintoticamente al valore massimo ed EL cessa di esistere. Il ruolo di L è allora quello di contrastare inizialmente il crescere di i nel circuito, in seguito, raggiunto il valore massimo di i, L si comporta come un conduttore.
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Nel dettaglio si ha
€
E = iR + L didt
Abbiamo una equazione differenziale la cui soluzione i(t) deve soddisfare alla condizione iniziale i(0) = 0.
€
i t( ) =ER1− e
−tRL
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ τL =
LR
τC = RC
VR ⇒ E per t → ∞ 0 per t = 0
VR = iR
i(t) E/R
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€
VL = L didt
=LER
RLe−tτL = Ee
−tτL
Vediamo ora la fase di scarica
€
L didt
+ Ri = 0 i 0( ) =ER
i ∞( ) = 0
i =ER
e−
tτL = i0 e
−tτL
Energia immagazzinata in un campo magnetico
€
E = iR + L didt
Ei = i2R + Li didt
Conservazione dell’energia in un circuito formato da una maglia
VL ⇒ 0 per t → ∞ E per t = 0
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Se dq passa attraverso un generatore di f.e.m. E nel tempo dt, il generatore compie un lavoro Edq; potenza sviluppata dal generatore è
€
Edqdt
= Ei⇒ Ei energia immessa nel circuito dal
del generatore nell'unita' di tempo
La potenza dissipata per effetto Joule vale Ri2
€
dEL
dt= Li di
dt dEL = Lidi
potenza con cui l’energia magnetica viene immagazzinata in L
€
dEL0
EL∫ = Lidi0
i∫
EL =12i2L EC =
12q2
C
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Densità di energia del campo magnetico
Consideriamo un tratto di lunghezza l di un solenoide infinito di sezione A; il suo volume è (Al). In questo volume deve essere racchiusa tutta l’energia magnetica immagazzinata nel tratto l del solenoide dato che B = 0 fuori dal solenoide. L’energia deve essere distribuita in modo uniforme nel volume, essendo B uniforme nel solenoide.
€
uL =EL
Al
EL =12Li2 ⇒ uL =
12Li2
Al L
l= µ0n
2A
uL =12
µ0n2i2 =
12B2
µ0 B = µ0ni
densità di energia del campo magnetico
Per il campo elettrico avevamo ottenuto
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Mutua induttanza Accostiamo due bobine come in fig. (a) La bobina 1 è percorsa dalla corrente i1 e crea un campo B1 che induce una f.e.m. nella bobina 2. Viceversa se nella bob. 2 circola la corrente i2, si crea un campo B2 che induce una f.e.m. nella 1
In questi casi si parla di mutua induzione, caratterizzata dal coefficiente di mutua induzione M
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Dato che i1 varia nel tempo si ottiene
Ricordando la legge di Faraday, abbiamo
€
−N2dΦ12
dt= E2 = −M21
di1dt
Se adesso analizzo come 2 influisce su 1 ottengo
€
E1 = −M12di2dt
Si può dimostrare che M12 = M21=M che rappresenta il coefficiente di mutua induzione del sistema formato dalle due bobine. L’unità di misura di M è l’Henry (H).
