INGEGNERIA GESTIONALEcorso di Fisica Generale
Prof. E. Puddu
LEZIONE DEL 23 SETTEMBRE 2008
Introduzione
Sistemi di coordinate
Coordinate cartesiane. Ogni punto è individuato da due coordinate (x,y).
x
y
O
(x,y)
r
Coordinate polari piane. Ogni punto è rappresentato da una distanza r e dall'angolo , dove è misurato in senso antiorario a partire dall'asse x positivo.
x
y
O
(x,y)
Q(3,4)
P (7,2)
Sistemi di coordinate
C'è corrispondenza tra coordinate cartesiane e coordinate polari, come si può vedere dal triangolo in figura!
ry
x
Si può passare dalle une alle altre in questo modo:
cartesiane polari→
r= x2y2
=tan−1
yx
polari cartesiane→
x=r cosy=r sin
Grandezze vettoriali e scalari
Una grandezza scalare è specificata da un singolo valore con un'appropriata unità di misura e non ha direzione
Esempi di grandezze scalari●Temperatura (gradi Farenheit, Celsius, Kelvin)●Massa (grammo, oncia, kilogrammo)●Tempo (secondo)
Esempi di grandezze vettoriali●Posizione (P(x,y))●Spostamento, velocità, accelerazione●Forze, momento lineare, momento angolare●...
A
B
Se una particella si sposta da A a B lungo un percorso arbitrario,lo spostamento è il vettore indicato dalla freccia da A a B.
Un vettore è una quantità fisica che deve essere specificata in modulo, direzione e verso
Grandezze vettoriali
VersoIl verso di un vettore è quello che va dalla sua coda alla sua freccia
ModuloIl modulo è la lunghezza del vettore, quindi è uno scalare!
DirezioneLa direzione è la retta di appartenenza del vettore
r
Proprietà dei vettori
Uguaglianza di due vettoriDue vettori A e B sono uguali se hanno stessi modulo, direzione e verso.
AB
Somma di due vettoriIl vettore R risultante dalla somma A+B si può ottenere dai due metodi:
A
B
R
del parallelogrammo
AB
R
del triangolo
Proprietà dei vettori
Somma di più vettoriSe i vettori da sommare sono molti si può:●Applicare reiteratamente il metodo del parallelogramma●Estendere il metodo del triangolo che diviene metodo della poligonale
Opposto di un vettoreL'opposto di un vettore A è quel vettore A che sommato ad A mi da il vettore nullo
AB
R
Metodo della poligonale
CC
D
AA
Il vettore opposto di A possiede stesso modulo e direzione ma verso opposto
Proprietà dei vettori
A
B
AB
Si può applicare anche il metodo del parallelogramma: il vettore differenza giace sulla diagonale del parallelogramma!
Differenza di due vettoriLa differenza AB tra due vettori è la somma tra il vettore A e l'opposto di B.
A BB
B
A
AB
Moltiplicazione di un vettore per uno scalareSe un vettore A viene moltiplicato per una quantità scalare positiva m, il prodotto è un vettore che ha stessa direzione e verso di A e modulo mA. Se m è un numero negativo, il prodotto è un vettore con stessa direzione, verso opposto e modulo mA.
Componenti di un vettore
x
Scomposizione di un vettoreSe come due vettori si possono sommare per dare un terzo vettore, allora ogni vettore A può essere scomposto in due generici vettori, per esempio orizzontale e verticale, lungo gli assi cartesiani del piano! Ax ed Ax si chiamano vettori componenti/coordinate di A, dove A=Ax+Ax.
A
Ax
Ay
y
Le componenti di A hanno valore in modulo che si ricava dalla trigonometria:
ovveroAx=A cosAy=Asin
A=Ax2Ay
2
=arctanAy
Ax
I segni delle componenti dipendono dall'angolo secondo lo schema qui presentato!
x
yAx>0Ay>0
Ax<0Ay>0
Ax<0Ay<0
Ax>0Ay<0
Vettori unitari
Per i vettori unitari si usano i simboli i e j. Se prendo i e j nel verso di Ax e di Ay, allora posso riscrivere questi ultimi come Ax=Axi e Ax=Ayj, (Ax e Ay si chiamano coordinate) da cui
A=Axi + Ayj
Un vettore unitario è un vettore adimensionale di modulo 1.
La risultante della somma di due vettori allora sarà
R= AB=Ax iAy jBx iBy j=AxBx i AyBy j=Rx iRy j
Quindi il vettore risultante ha per coordinate la somma algebrica delle coordinate dei vettori addendi!
Prodotto scalare
Il prodotto scalare di due vettori A e B è un numero reale definito come
A⋅B=AB cos
Dove è l'angolo compreso tra i vettori; questa definizione è legata alle coordinate polari di A e B. Una definizione analoga, derivante dalle coordinate cartesiane è
ovvero il prodotto scalare è la somma del prodotto delle componenti aventi lo stesso indice.Proprietà del prodotto scalarei) Il prodotto scalare di due vettori ortogonali è nullo;ii) Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa:iii) Il prodotto scalare gode della proprietà distributiva:iv)v) se A è un vettore allora il suo modulo è
A⋅B=Ax BxAy By
A⋅B=B⋅AA⋅BC =A⋅BA⋅C
i⋅j=j⋅i=0A= A⋅A
A
B
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale di due vettori A e B è un vettore in modulo uguale a
∣A∧B∣=ABsin
Dove è l'angolo compreso tra i vettori. Per quanto riguarda direzione e verso di C dobbiamo usare la regola della mano destra
A
B
C
A∧B=−B∧A
A∧ BC =A∧BA∧Ci∧j=k ; j∧k=i ; k∧i=j
Proprietà del prodotto vettorialei) Il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo;ii) è anticommutativo:iii) Il prodotto scalare gode della proprietà distributiva:
iv)v) i∧i=j∧j=k∧i=0
j
i
k
Unità di misura
LUNGHEZZAIl metro (m) è la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un tempo uguale a 1/299792458 secondi.
MASSAIl chilogrammo (kg), definito come la massa di un particolare cilindro di lega platinoiridio conservato all'International Bureau di Pesi e Misure di Sèvres, Francia.
TEMPOUn secondo (s) è definito come 9192631770 volte il periodo delle vibrazioni di un atomo di cesio 133.
FORZAUn newton (N) è definito come la forza che, agendo su un corpo di massa 1 kg, produce un'accelerazione di 1 m/s2.
LAVOROÈ il lavoro compiuto da una forza di 1 N che muove un corpo per 1 m nella direzione della forza stessa.
Calcolo differenziale
In fisica è utilissimo utilizzare il calcolo differenziale in quanto permette studiare l'andamento nel tempo, o nello spazio, di una grandezza fisica.Data una funzione y(x)=f(x), la derivata ci da indicazioni sul fatto che la funzione, in un intervallo o in un punto preciso, sia crescente, decrescente o nulla. Definiamo derivata di y rispetto ad x il limite del rapporto incrementale
dydx
= limX 0
y x
= lim X 0
y x x −y x x
Dove x e y sono quelli di figura.
Bisogna precisare che la tangente trigonometrica dell'angolo è proprio la funzione derivata calcolata nel punto A!!! Da ricordare che quando y(x)=axn allora la sua funzione derivata è
y(x)
x
y
x
A
dydx
=naxn−1
Mentre la derivata di una funzione costante è uguale a zero.
Calcolo differenziale
Proprietà delle derivatei) Derivata del prodotto di due funzioni. Se f(x)=g(x)h(x) allora la derivata di f(x) è
ii) Derivata della somma di due funzioni. Se f(x)=g(x)+h(x) allora la derivata di f(x) è
iii) Derivata di funzioni composte. Se y(x)=f(x) e x=g(z) allora la derivata di y(x) rispetto a z è il prodotto di due derivate
iv) Derivata seconda. La derivata seconda di y(x) rispetto ad x è la derivata della derivata dy/dx
df x dx
=g x dh x
dxh x
dg x dx
df x dx
=dg x
dx
dh x dx
dy x dz
=dy x
dxdxdz
d 2 y x
dz2=
ddx
dy xdx
Calcolo integrale
L'integrazione è la funzione matematica inversa della derivazione e si indica con
y x =∫ f x dx
L'integrale definito di una funzione rappresenta l'area della funzione stessa ed si rappresenta con il simbolo
y(x)
x
L'integrale indefinito I(x) è definito come
dove f(x) è la funzione integranda e f(x)=dI(x)/dx.
I x =∫ f x dx
xi xf
∫xi
x f
f x dx
L'integrale definito di una funzione rappresenta l'area della funzione stessa ed si rappresenta con il simbolo