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Insiemi e Logica nel Primo Ciclo

l'attività in classe di

M. Cattaneo e G. Tedeschi

E così, a metà pomeriggio, da povero in canna che era la mattina, Tom era diventato ricco sfondato. Oltre alle cose già dette adesso aveva: dodici biglie, un pezzo di scacciapensieri, un vetro di bottiglia blu da guardarci dentro, un rocchetto, una chiave spaiata, un pezzo di gesso, un tappo di vetro, un soldatino di piombo, due girini, sei petardi, un gattino con un occhio solo, una maniglia d'ottone, un collare da cane (senza cane), un manico di coltello, quattro bucce d'arancia e un vecchio telaio di finestra tutto rotto. ...

(Mark Twain "Le avventure di Tom Sawyer", 1876)

Premessa

Il contenuto delle tasche di Tom Sawyer costituisce un suggestivo esempio ante litteram di quell'universo di elementi, costruito con oggetti comuni, cui poniamo di fronte i bambini quando facciamo loro "formare gli insiemi". Le tasche di Tom e la didattica degli insiemi (o meglio: la didattica con gli insiemi, come si è avuto modo di specificare altrove [1]) dunque si incontrano, e non per caso, perché, quando all'inizio del primo ciclo impegnamo i bambini in attività di manipolazione e di classificazione di oggetti di uso comune, cerchiamo intenzionalmente di avviare il discorso prendendo le mosse dal loro universo affettivo e da quelle biglie, pezzi di vetro, chiavi spaiate di cui è composto.

In effetti, secondo un'impostazione abbastanza condivisa e sostenuta sia da motivazioni pedagogiche sia dall'esperienza viva della didattica, il gioco e la manipolazione di materiale non strutturato sono il punto di partenza dell'educazione, in qualunque settore disciplinare e in particolare in quello della matematica.

Credo però di poter aggiungere un'ulteriore osservazione a conferma di questa impostazione, anche dal mio punto di vista di "matematico militante" (ed emulo delle imprese di Tom Sawyer). Anche le mie tasche, infatti, erano piene di oggetti come quelle di Tom, a circa ottant'anni di distanza dai suoi tempi e a una quarantina da oggi. Mi è ancora facile elencane il contenuto: un sasso a forma di fagiolo, una pietra focaia e un pennino (spuntato) per trarne scintille, una cordicella, un elastico da fionda, il cilindretto di un carillon, un gessetto per giocare a campana, un temperino ... Sono convinto (forse a torto, per una di quelle illusioni ottiche della memoria) che il possesso di quegli oggetti abbia mosso la mia fantasia di bambino

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permettendomi di iniziare un processo di astrazione e invenzione che oggi continua con gli oggetti mentali con cui "si fa la matematica". Se si tratta di un'illusione è comunque un dato di fatto che il piacere di trattare questi oggetti mentali è perfettamente paragonabile a quello tutto bambino di manipolare quegli altri oggetti che mi portavo in tasca.

Forse al giorno d'oggi sono pochi i bambini con le tasche piene come quelle di Tom e forse è raro tra di loro il piacere di rincorrere forme e funzioni di cui gli oggetti comuni sono intrisi, ma se questo piacere è legato all'invenzione matematica c'è allora un motivo di più per partire dalle tasche di Tom per fornire ai bambini l'esperienza di cui hanno bisogno.

In questo fascicolo presentiamo e discutiamo il materiale di un percorso di "Insiemi e Logica" per il primo ciclo della scuola elementare, ispirato all'impostazione appena discussa e sperimentato nelle classi. L'ossatura del discorso fa riferimento al "percorso di interfaccia" messo a punto in un precedente fascicolo ([1]) e alla "matematica sottesa" che costituisce l'argomento di un fascicolo in preparazione. Le attività proposte cercano di condurre i bambini dalla concretezza delle tasche di Tom al controllo del loro linguaggio e delle loro capacità logiche.

Mimmo Iannelli

Trento, gennaio 1999 1- Introduzione. 2- Osservare, descrivere, confrontare. 3- Classificare. 4- Costruire insiemi. 5- Gli insiemi sul quaderno. 6- L’appartenenza e la questione dell’elemento estraneo. 7- L’esercizio inverso. 8- I termini specifici. 9- Sottoinsiemi. 10- Regole ed enunciati. 11- Negazione e complementare.

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1. Introduzione

Le attività didattiche che illustreremo si riferiscono agli argomenti di insiemi e

logica nel primo ciclo della scuola elementare. Fanno parte di un percorso articolato e

ampio che abbiamo sperimentato nelle nostre classi, soprattutto in prima elementare,

che ha come punti di riferimento:

- i programmi ministeriali di matematica del 1985;

- la teoria degli insiemi e i concetti matematici che da essa derivano;

- lo sviluppo e la capacità di pensiero dei bambini.

In particolare, partendo dalle prime osservazioni e classificazioni, ci soffermeremo

sul concetto di “insieme” e ci occuperemo di “sottoinsiemi”, dell'“insieme

complementare” e di “regole ed enunciati”.

Accanto alle attività didattiche cercheremo di illustrare alcuni processi mentali

che il bambino mette in atto per accedere ai concetti coinvolti, la metodologia

adottata e le difficoltà incontrate. Il nostro obiettivo didattico è quello di far

sperimentare ai bambini delle situazioni, appositamente predisposte, che inducano la

costruzione e l’interiorizzazione delle strutture mentali che stanno alla base degli

apprendimenti matematici e successivamente di interiorizzare regole e termini

linguistici formali.

L’educazione logica, partendo dalle prime operazioni concrete sugli insiemi e

procedendo con operazioni sempre più complesse, articolate e formali, attiva, stimola

e affina abilità logiche che, a livelli sempre più alti, concorrono a sviluppare capacità

di analisi, di generalizzazione, di sintesi, di astrazione; capacità che riguardano tutti i

campi della matematica, ma di fatto anche le altre discipline.

Per questo nei programmi ministeriali troviamo scritto che

L'educazione logica, più che oggetto di un insegnamento esplicito e

formalizzato, deve essere argomento di riflessione e di cura continua degli

insegnanti, a cui spetta il compito di favorire e stimolare lo sviluppo cognitivo

del fanciullo, scoprendo tempestivamente eventuali difficoltà e carenze.

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Sempre nei programmi ministeriali troviamo delle indicazioni metodologiche con cui

viene posta in evidenza l’importanza dell’esperienza e della manipolazione concreta:

L'insegnante proporrà fin dall'inizio, sul piano dell'esperienza e della

manipolazione concreta, attività ricche di potenzialità logica, quali:

classificazione mediante attributi, inclusioni, seriazioni etc… . Con gradualità

potrà introdurre qualche rappresentazione logico-insiemistica (si potranno

usare I diagrammi di Eulero-Venn, I grafici, etc…) che sarà impiegata per

l'aritmetica, per la geometria, per le scienze, per la lingua, etc… . Tuttavia

terrà presente che la simbolizzazione formale di operazioni logico-

insiemistiche non è necessaria, in via preliminare, per l'introduzione di interi

naturali e delle operazioni aritmetiche.

Diventa allora fondamentale che il bambino possa intervenire e agire in prima

persona o in gruppo, in contesti ricchi di stimoli, appositamente pensati e predisposti

come "occasioni di conoscenza".

Il gioco, soprattutto nel primo ciclo, diventa un canale privilegiato; la sua

valenza positiva può motivare ad agire e a scoprire l’interesse e il gusto per la

matematica. Si tratta di un gioco "pensato e scelto" appositamente dall’insegnante per

raggiungere gli obiettivi logici proposti.

Accanto all’esperienza, alla manipolazione e al gioco, sempre nei programmi

ministeriali, viene ribadita l’importanza del linguaggio verbale, sottolineando che

azione, pensiero e linguaggio sono strettamente collegati:

Particolare cura sarà rivolta alla conquista della precisione e della

completezza del linguaggio, tenendo conto che, soprattutto nei primi anni di

scuola, il linguaggio naturale ha ricchezza espressiva e potenzialità logica

adeguate alle necessità di apprendimento.

Riteniamo quindi utile fin dall’inizio abituare i bambini ad esplicitare verbalmente le

azioni che compiono, chiedendo loro di utilizzare un linguaggio sempre più

appropriato e preciso. Più avanti, quando le capacità lo permetteranno, si chiederà

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anche di motivare le scelte, di spiegare i procedimenti messi in atto per raggiungere

determinati risultati, di verificare l’attendibilità dei risultati raggiunti, in modo che il

linguaggio possa divenire completo, specifico e coerente.

Oltre a questi obiettivi specifici, sottolineiamo anche l'importanza della

metodologia proposta dal punto di vista della socializzazione; infatti il linguaggio

verbale dà la possibilità di comunicare con gli altri, di discutere, chiarire e mettere in

comune idee e opinioni anche diverse, e questa opportunità va colta fin dall'inizio e in

ogni situazione educativa.

Concludendo queste osservazioni preliminari, osserviamo che i concetti propri

della teoria degli insiemi e le attività ad essa ispirate, costituiscono uno strumento

privilegiato per raggiungere gli obiettivi indicati.

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2. Osservare, descrivere, confrontare

Il momento dell’entrata alla scuola elementare coincide approssimativamente

con l’età in cui il bambino inizia a manifestare e a utilizzare una certa capacità di

analisi che in seguito, maturando, affinerà e svilupperà. In questo contesto "Saper

analizzare" significa sviluppare la capacità di cogliere i diversi elementi che

compongono un oggetto, una figura ecc... superando la mera struttura globale;

significa anche saper ricercare qualità o aspetti non subito evidenti. La capacità di

analisi ha un ruolo fondamentale in diverse discipline, basta pensare

all’apprendimento della lettura e della scrittura, alla risoluzione di problemi (e non

solo problemi matematici), a tutte le attività che richiedono seriazioni ecc... .

Osservare, descrivere, confrontare sono i cardini di questa capacità di analisi e le

attività che proponiamo, pur avendo obiettivi diversi, concorrono a sviluppare nei

bambini un atteggiamento analitico preliminare alle attività più strutturate che

affronteranno in seguito. In particolare la nostra proposta si concentra su:

- osservazione e descrizione di oggetti;

- scoperta delle proprietà funzionali di un oggetto;

- scoperta di somiglianze e differenze tra oggetti.

Osservazione e descrizione di oggetti

L’attività di osservazione è qui intesa come assunzione di un atteggiamento di

curiosità da parte dei bambini che porta a ricercare e a scoprire nei diversi oggetti

quelle caratteristiche particolari non subito evidenti.

L’osservazione dei singoli oggetti, viene svolta attraverso il gioco e prevede

l’utilizzo dei cinque sensi. Viene data ai bambini la possibilità di riconoscere,

manipolare e giocare con oggetti, viene loro richiesto di osservare con attenzione e di

esprimere le loro osservazioni con un linguaggio appropriato.

Riteniamo queste esperienze indispensabili per poter in seguito accedere ai

primi elementi di insiemistica.

I giochi che proporremo utilizzano materiale diverso; è significativo chiedere

ai bambini di portarlo da casa; gli oggetti così raccolti vengono messi tutti assieme

per avere una grande varietà di materiali a disposizione del gruppo per giocare nei

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momenti liberi. Lo stesso materiale, o meglio parte di esso, in più occasioni viene

disposto su di un tappeto o su di un foglio di carta da pacco, al centro del cerchio

formato dagli alunni.

L’OGGETTO NASCOSTO

I bambini sono invitati ad osservare con attenzione gli oggetti. A turno uno di

loro viene invitato ad uscire un attimo dalla classe o a girarsi. Si nasconde uno

degli oggetti in un sacchetto. Il bambino rientra e, toccando l’oggetto nel

sacchetto, deve individuarlo.

L’OGGETTO MISTERIOSO

L’insegnante sceglie uno degli oggetti, senza toccarlo. I bambini, con domande

appropriate (“Di che colore è?”, “Di che materiale è fatto?”, “A che cosa

serve?”, ...) cercano di individuarlo.

Successivamente, a turno, i bambini scelgono uno degli oggetti e i compagni lo

devono individuare.

L’OGGETTO PARLANTE

Si sceglie insieme un oggetto e si prepara una carta d’identità descrivendone a

voce le caratteristiche, come se l’oggetto stesso parlasse: “Sono rosso”, “Sono

morbido”, “Sono di lana”...

In un secondo tempo uno dei bambini sceglie un oggetto presentando ai

compagni la sua carta d’identità. I compagni lo devono individuare.

In quest'ultimo gioco è utile, mentre si osservano gli oggetti presenti, fare paragoni

con oggetti che in quel momento non si possono vedere o toccare; questa richiesta

attiva la capacità di pensare a qualità comuni, che è fondamentale per il successivo

lavoro sulla formazione di insiemi.

I giochi proposti sono spesso già noti ai bambini che li hanno imparati nella

Scuola dell'Infanzia. In particolare il seguente è molto diffuso (vedi anche [1], [2])

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STREGA COMANDA COLOR

Il gioco si svolge in palestra, dove vengono collocati molti oggetti; i giocatori

sono in ordine sparso. La strega grida: “Strega comanda color... (esempio

verde)”; i giocatori devono correre verso un oggetto del colore indicato e

gridare il colore per "essere salvi”; la strega deve cercare di prendere un

giocatore che non ha ancora toccato il colore e che va a prendere il posto

della strega; se la strega non prende nessuno, ricomincia con un altro colore.

È poi ovvio che si possono considerare molte varianti: anziché il colore, la strega può

comandare altre caratteristiche (es “Strega comanda ... legno!”, “Strega comanda ...

quadrato!”). Infine si può tradurre i gioco stesso in un contesto differente:

IL RE E IL SUO FORZIERE (I versione)

Ogni bambino, a turno, interpreta il ruolo del re che, volendo riempire un suo

forziere, pronuncerà la frase: “Il re comanda...” ordinando così ai bambini di

cercare nella classe un oggetto con una qualche particolare caratteristica.

Quando ciascun bambino ha trovato l’oggetto, lo porta al re e ne descrive le

caratteristiche (ad es. se è stato chiesto un oggetto di colore rosso, un bambino

può prendere un pennarello e dire così: “Ho scelto un pennarello rosso”).

Scoperta di proprietà funzionali di un oggetto

L'attività che presentiamo come esempio porta i bambini a scoprire in quanti e

in quali modi può essere utilizzato un oggetto.

Si sceglie un oggetto e ad ogni bambino viene dato un foglio con la consegna

di disegnare una modalità per utilizzare quel determinato oggetto. A turno, ogni

bambino incolla su di un cartellone la sua proposta e la verbalizza.

Nella figura 1 è riportato un cartellone sul quale l'insegnante ha disegnato le

proposte dei bambini in relazione all'oggetto scelto (un bicchiere).

È sorprendente vedere come i bambini, insieme, riescano a fornire una vasta

gamma di possibili utilizzazioni, alcune scontate e poco utili , altre originali e utili.

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Questa raccolta di proprietà funzionali, frutto della ricerca del gruppo, arrichisce il

singolo, portandolo ad uscire da una certa fissità e dalla tendenza ad utilizzare un

oggetto solo per determinate funzioni.

figura 1

È poi ovvio che i giochi precedenti possono essere utilizzati in questo contesto,

modificando opportunamente le consegne.

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Scoperta di somiglianze e differenze tra oggetti

Attraverso il gioco, a coppie o a gruppi, invitiamo i bambini a confrontare due

o più oggetti scoprendo e verbalizzando il maggior numero di somiglianze o di

differenze possibili.

figura 2

Nella scelta di oggetti o immagini, è opportuno partire da soggetti molto

diversi (vedi figura 2) o molto simili (vedi figura 3) per poi passare a soggetti dove

somiglianze e differenze sono meno evidenti, in modo da stimolare una ricerca attiva

da parte dei bambini (vedi figura 4).

Teniamo presente che la ricerca di differenze porta ad affinare la capacità di analisi;

la ricerca di somiglianze attiva la capacità di generalizzazione, capacità base per la

formazione di insiemi.

In questa prima fase, alla fine dell’attività il materiale viene riposto in alcune

scatole predisposte, ma in modo casuale. Talvolta ciò che è stato eseguito

praticamente viene poi registrato sul quaderno con il disegno o utilizzando delle

schede. Agli oggetti portati dai bambini si può aggiungere anche il materiale

strutturato (blocchi logici, regoli) da usare come gioco.

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figura 3

figura 4

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Le attività presentate sono state utilizzate più volte in classe. Ci sembra

opportuno riportare alcune considerazioni sulla base dell’esperienza svolta.

Anzitutto notiamo che accanto all’attività di osservazione e di confronto,

particolare importanza riveste il momento della verbalizzazione, durante il quale i

bambini vengono stimolati ad utilizzare un linguaggio sempre più appropriato e

preciso. Tutte le attività che abbiamo proposto portano ad un arricchimento del

linguaggio per i seguenti motivi:

- più si ricercano proprietà particolari, più nasce l’esigenza di conoscere vocaboli

specifici per poterle verbalizzare, di conseguenza il lessico si fa più appropriato;

- le parole "nuove" vengono scoperte mentre si manipolano gli oggetti, quindi

vengono interiorizzate più facilmente;

- la maggior parte di queste attività viene svolta in gruppo, quindi il numero di

vocaboli utilizzati aumenta, come pure la possibilità che questi divengano patrimonio

comune.

Inoltre c’è da dire che in queste prime attività fondamentale è la scelta del

materiale. Inizialmente abbiamo scelto il materiale occasionale; riteniamo possa

maggiormente stimolare l’attenzione e la fantasia dei bambini, inoltre è legato alla

loro esperienza e alla loro affettività e questo li rende protagonisti.

figura 5

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Il materiale strutturato è gia predisposto e, pur prestandosi a diverse modalità di

impiego, i criteri a cui far riferimento rimangono sempre la forma, il colore, la

grandezza e lo spessore. Il materiale occasionale consente invece di predisporre dei

contesti ricchi di stimoli, ma presenta delle particolarità che talvolta possono

complicare lo svolgimento dell’attività per i seguenti motivi:

- è vario, presenta molteplici caratteristiche e soprattutto nel primo periodo può creare

confusione e dispersione;

- presenta diverse sfumature che talvolta sono difficili da descrivere ed esprimere

verbalmente;

- presenta inoltre delle ambiguità che fin dall’inizio è opportuno affrontare e chiarire,

ad esempio quando nella descrizione di un oggetto interviene un giudizio soggettivo

(“è bello”; “è simpatico”; “è piccolo”). In queste situazioni è opportuno scegliere

assieme un riferimento o un criterio sul quale basarsi che sia accettabile per tutti.

Infine qualche osservazione sulle difficoltà incontrate. Le attività che abbiamo

illustrato sono talvolta di difficile gestione se si pensa che vengono proposte nel

primo periodo di scuola elementare, quando ancora i bambini non riescono a

rispettare alcune regole quali l’aspettare il proprio turno e l’ascoltare; in classi

numerose e in piccoli spazi poi tutto diventa più difficile. In ogni caso, valutando i

tempi brevi di attenzione e di ascolto, consigliamo di operare nelle prime ore del

mattino.

Per concludere, ci preme comunque sottolineare che il tempo dedicato a

queste attività è un tempo ben speso e un investimento per il futuro: più volte nei

programmi ministeriali viene infatti richiamata l’importanza della manipolazione e

dell’esperienza concreta come base per poter costruire concetti, per poter operare in

contesti sempre più complessi.

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3. Classificare

Le attività di classificazione che presentiamo in questo paragrafo sono

intermedie alla costruzione di insiemi; apparentemente sono molto semplici e

generalmente non presentano particolari difficoltà, se però le analizziamo

comprendiamo che il bambino deve compiere diverse operazioni per arrivare al

risultato richiesto. Rispetto al precedente lavoro di osservazione c’è un salto di

qualità, infatti ora si richiede di fissare l’attenzione non più su di un singolo oggetto,

ma su di un gruppo di oggetti. Il bambino deve scegliere dei criteri per ordinare il

materiale e per classificarlo. Questa scelta di criteri implica la capacità di confrontare

oggetti, di cogliere somiglianze e differenze, di scegliere alcune caratteristiche

scartandone altre. L’obiettivo di queste attività è quello di guidare il bambino a

ricercare, a scoprire, a scegliere criteri diversi talvolta non subito evidenti per operare

classificazioni.

Dopo aver utilizzato il materiale per un gioco, si può richiedere ai bambini di

cercare dei criteri per ordinarlo in scatole diverse. Nel corso di una discussione

preliminare, l’insegnante propone alcuni criteri semplici di classificazione, basati su

un solo attributo, lasciando anche che i bambini stessi propongano i loro. In

conclusione si decide un modo per ordinare il materiale, sistemandolo nelle scatole

(una caratteristica per scatola). L'attività può essere completata chiedendo ai bambini

di registrare sul quaderno il risultato, con un disegno che lo rappresenti (figura 6).

figura 6

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In genere, con questo lavoro, nasce la necessità di ricordare il contenuto della

scatole e si arriva a decidere di applicare un’etichetta con un disegno che rappresenti

il criterio scelto. È un primo approccio al simbolo, poiché l’etichetta non riproduce un

singolo oggetto, ma qualcosa di comune a più oggetti. Quest'ultimo aspetto sarà

ripreso nel momento in cui per l'introduzione dei numeri naturali si utilizzeranno le

scatole che raccolgono sacchetti "equipotenti" indicando sull'etichetta il numero

corrispondente.

Accanto all'attività di manipolazione, anche alcuni giochi possono essere

utilizzati per lo stesso scopo:

E' ARRIVATO UN BASTIMENTO CARICO DI...

Il comandante, un bambino a turno, prende uno scatolone mettendo dentro

un oggetto a sua scelta di cui indica una proprietà dicendo ad esempio: “È

arrivato un bastimento carico di oggetti di plastica”. I compagni scelgono

altri oggetti di plastica e caricano il bastimento.

IL VERSO DEGLI ANIMALI

Il gioco si svolge in palestra. L’insegnante sceglie alcuni animali e ne assegna

il verso a ciascun bambino. Al "via" tutti, in ordine sparso e utilizzando tutto lo

spazio della palestra, inizieranno a fare il verso dell’animale che è stato loro

assegnato. Poi ad un segnale dell’insegnante i bambini, proseguendo

nell’imitazione del verso e ascoltandosi, cercheranno di incontrarsi per

formare il gruppo dello stesso animale.

GIOCO DEI GRUPPI:

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Il gioco si svolge in palestra ; al “via” dell’insegnante i bambini inizieranno a

camminare, correre, saltare o strisciare a seconda della consegna, utilizzando

tutto lo spazio. Allo “stop” si immobilizzeranno per ascoltare l’insegnante che

darà ad esempio, il seguente comando:

"gruppo dei bambini con la tuta verde..."

"fila dei bambini con le scarpe tutte blu"

"riga dei bambini con i capelli ricci"

"girotondo dei bambini con la felpa rossa"

In queste attività è importante che ogni bambino assuma un atteggiamento

attivo e trovi lo spazio per manipolare, verbalizzare e fare proposte personali. Di fatto

abbiamo rilevato la tendenza dei bambini a classificare in base a caratteristiche subito

evidenti quali il colore e l’omogeneità degli oggetti; è importante invece che

l’insegnante li guidi a scoprire caratteristiche meno immediate.

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4. Costruire insiemi

Dopo questa fase preliminare, ma fondamentale, si passa alla costruzione di

insiemi; siamo partiti dai dati dell’osservazione, abbiamo sviluppato le capacità di

analisi e affrontato con le classificazioni una prima organizzazione dei dati stessi. In

questa nuova fase passiamo ad una gestione più sistematica dei dati percettivi

introducendo una struttura logica che porta ad identificare ed ad acquisire gli

strumenti adatti. L’ambiente offerto dalla "teoria degli insiemi", per il suo carattere

"fondazionale", si presta in modo particolare a perseguire l’obiettivo suddetto.

A lunga scadenza ci proponiamo di:

- fornire ai bambini gli strumenti necessari per analizzare contesti diversi, per

cogliere gli elementi più importanti, le relazioni più significative trascurando gli

aspetti non rilevanti;

- far comprendere che si può intervenire in un determinato contesto adottando dei

criteri, delle regole ben precise;

- far capire che alcune regole possono cambiare se cambia il contesto;

- abituare i bambini ad utilizzare una terminologia corretta, appropriata, specifica

per descrivere una determinata situazione, per motivare le proprie scelte o il

proprio procedimento operativo;

- portare i bambini a staccarsi gradualmente dal concreto, dalla situazione

particolare per arrivare, passando attraverso le rappresentazioni e i simboli, a

generalizzare e ad astrarre.

Inoltre queste attività concorrono alla costruzione del concetto di numero naturale.

Questo paragrafo è dedicato ad un primo passo corrispondente alla

"formazione di insiemi", la struttura essenziale dell’attività si articola nei seguenti

passi fondamentali:

1) Si fissa un universo;

si fissano cioè gli elementi con i quali decidiamo di lavorare; è il contesto di

riferimento dal quale "non è lecito uscire". Per definirlo in modo efficace sarà bene

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analizzare ed elencare gli elementi dell’universo togliendo così ogni possibilità di

ambiguità e confusione e stabilendo da subito una convenzione secondo cui

all’universo nulla va aggiunto e nulla va tolto.

2) Si fissa una regola;

si decide cioè un attributo che caratterizzi l'insieme che vogliamo formare; o

comunque si dà una precisa indicazione degli elementi che vogliamo costituiscano

l'insieme.

3) Si raccolgono tutti e soli gli elementi dell'universo che rispettano la regola;

tali elementi vengono delimitati ad esempio con una cordicella chiusa: dentro stanno

tutti e soli gli elementi che possiedono la caratteristica individuata, fuori tutti gli altri.

Vale la pena soffermarsi per qualche osservazione sul concetto di universo.

Come si è detto costituisce il riferimento per costruire l’insieme. Gli oggetti che

costituiscono l’universo, almeno inizialmente, non devono essere troppo numerosi in

modo che ogni bambino possa controllare la situazione e gli elementi stessi senza

disperdere l’attenzione. E' bene variare l’universo nel quale ci troviamo ad operare

per portare i bambini a comprendere che, variando il contesto, cambiano le possibilità

di classificazione.

Osserviamo poi che anche la forma e il colore della corda, lo spazio occupato

dagli oggetti e la loro posizione, le modalità per delimitare gli elementi (corda,

scatola, tappeto, foglio) vanno variati spesso perché l'attenzione deve essere fissata

sull’insieme e non sul modo di rappresentarlo.

Predisponiamo inoltre situazioni affinché i bambini possano sperimentare

"casi limite" come l'insieme che coincide con l’universo, insiemi costituiti da un solo

elemento, l'insieme vuoto (figura 7); i bambini infatti sono portati a pensare che un

insieme sia formato da molti oggetti.

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nell'universo delle bamboline in bacheca

indichiamo l'insieme delle bamboline con gli occhiali

figura 7

All'inizio dell'attività si utilizza il materiale portato dai bambini. Gli oggetti

vengono disposti a terra su di un foglio di carta da pacco o su di un tappeto,

precisando che quelli sono tutti e soli gli oggetti da considerare (figura 8).

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figura 8

L’insegnante propone una regola e i bambini avvicinano tra loro gli oggetti che la

rispettano circondandoli con una cordicella; si spiega bene, a voce, perché sono stati

isolati proprio quegli oggetti (figura 9). Si fa inoltre una conversazione su che cosa i

bambini intendono per "mettere insieme" e sui termini "gruppo", "raccolta",

"collezione" ...

figura 9

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Come abbiamo già osservato, in questa fase è importante che gli oggetti non

siano troppo numerosi in modo che ogni bambino possa controllare tutti gli elementi

e non disperdere l’attenzione.

Oltre alle attività legate alla manipolazione di oggetti, si possono organizzare

alcuni giochi che sviluppano le proposte precedenti esposte nel paragrafo 2.

IL RE E IL SUO FORZIERE II

L’ambientazione del luogo e` costituita da un’area delimitata, forse un tappeto

o un cerchio disegnato a terra, in cui sono raccolti oggetti, i più vari, scelti in

modo che (ma solo per comodità) possano corrispondere a caratteristiche

individuabili facilmente. Un bambino o l’insegnante interpreta il ruolo del re

ed è al centro del gioco.

Il re ha un forziere ed ordina di raccogliere oggetti con una data

caratteristica, i bambini, ad uno ad uno portano ciascuno un oggetto con la

caratteristica comandata e lo depongono nel forziere, fino a che tutti gli

oggetti soddisfacenti al requisito e presenti nell’area scelta per il gioco non

sono stati selezionati.

Alla fine del gioco il re apre il forziere e controlla che tutti gli oggetti raccolti

abbiano la caratteristica richiesta e che tra quelli fuori dal forziere non ci sia

alcun oggetto che la possegga.

Nei giochi in palestra i bambini stessi diventano elementi di insiemi sulla base

di caratteristiche proposte dall’insegnante o da loro stessi; cerchi, corde e materassini

diventano lo spazio che delimita l’insieme stesso.

Strumento molto utile per il nostro lavoro può essere una lavagna magnetica,

ricoperta di vernice bianca in modo che sia adatta per scrivere con pennarelli ad

alcool. Può essere utilizzata come ambiente per situazioni molto differenti e

circoscrive l’universo degli elementi in modo chiaro.

Nel caso della figura 10, sono state predisposte figurine con fotografie

ritagliate da riviste; piuttosto che disegni sono state scelte immagini reali riproducenti

mezzi di trasporto, animali, fiori ed oggetti diversi di uso comune. In altri casi,

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assieme ai bambini, sono state preparate delle bamboline di cartoncino e stoffa (vedi

figura 7) alle quali è stato incollato un magnete per poterle applicare sulla lavagna. In

generale abbiamo utilizzato piccoli oggetti (pupazzetti, bottoni...) e anche blocchi

logici.

l'universo delle figurine

l'insieme delle figurine dei camion

figura 10

Anche l'attività alla lavagna procede secondo lo schema già indicato. Si

decide un universo e attraverso una conversazione si osservano e si analizzano tutti i

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suoi elementi. Poi si sceglie una caratteristica fra quelle evidenziate e si riuniscono

tutti e soli gli oggetti che la possiedono, separandoli dal resto dell’universo; infine si

verifica il lavoro fatto controllando che l’insieme ottenuto sia formato da tutti e soli

gli elementi che possiedono la caratteristica scelta, sottolineando che nessun elemento

che la possiede è rimasto fuori (vedi ad esempio figura 10).

E' importante che il materiale a disposizione sia vario per abituare i bambini a

ricercare e scoprire criteri sempre diversi per classificare e formare insiemi.

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5. Gli insiemi sul quaderno

Dopo aver lavorato per un certo tempo con il materiale concreto si passa a

registrare, con il disegno sul quaderno, una sintesi dell'attività svolta.

Inizialmente si riproduce la situazione reale, mantenendo davanti a sé gli

oggetti. Successivamente si chiede ai bambini di ricordare e disegnare un insieme

formato poco prima concretamente.

Per alcune attività vengono date figurine da ritagliare che riproducono in

piccolo le immagini di alcune figure usate per la lavagna magnetica. Ogni bambino

inoltre ha una busta contenente altre figurine ritagliate da utilizzare per formare

insiemi sul quaderno (vedi ad esempio figura 11).

figura 11

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Nella rappresentazione grafica è necessario indicare anche gli elementi che

non appartengono all’insieme, ma fanno parte dell’universo considerato (l’insieme in

genere non coincide con l’universo).

Per indicare e ricordare la proprietà dell’insieme all’inizio si scrive per esteso:

"Abbiamo formato l’insieme..."; in un secondo tempo si propone di mettere un

cartellino nel quale disegnare un simbolo concordato collettivamente; non sempre la

ricerca di tale simbolo è semplice, perché deve rappresentare in modo chiaro

l’attributo prescelto, non i singoli oggetti. Più avanti si utilizzano lettere dell’alfabeto.

figura 12

Al momento opportuno, in genere verso la fine dell’anno, per rappresentare

gli elementi dell’insieme si utilizzano dei simboli (crocette, cerchietti, ecc.). Questo

passaggio va introdotto gradualmente, dopo aver lavorato a lungo sul concreto (vedi

figura 12).

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Abbiamo posto particolare attenzione alla scelta di schede sulle quali lavorare e

spesso è stato necessario realizzarle appositamente perché fossero più funzionali al

percorso progettato. Infatti negli esercizi deve sempre essere chiaro l’universo entro il

quale ci si trova ad operare. I disegni non devono presentare ambiguità (es, la sagoma

di un animale può rappresentare l’animale stesso o un giocattolo); è sempre

opportuno chiarire con i bambini di che cosa si tratti (vedi il paragrafo successivo).

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6. L’appartenenza e la questione dell’elemento estraneo

Nelle attività descritte nei paragrafi precedenti, le operazioni che si chiede di

svolgere ai bambini coinvolgono implicitamente la capacità di riconoscere

"l'appartenenza di un elemento ad un insieme". Per rafforzare quanto già ottenuto si

possono svolgere giochi ed esercizi che insistono esplicitamente su questo aspetto.

Figura 13

Due giochi in particolare sono funzionali a questo scopo. In un primo caso

l'insegnante costruisce un insieme di oggetti sulla base di una proprietà dichiarata

esplicitamente ed inserisce di proposito uno o più elementi che non possiedono tale

proprietà, quindi si chiede ai bambini di individuare l'elemento estraneo (o gli

elementi estranei), eventualmente procedendo in modo sistematico, elencando uno

per uno gli elementi e controllando la loro appartenenza all’insieme stesso sulla base

della proprietà dichiarata (vedi figura 13). In un secondo caso, viceversa, si presenta

un insieme che non contiene tutti gli elementi che dovrebbe e si corregge la situazione

con un controllo simile al precedente (vedi figura 14).

28

Figura 14

Queste attività possono essere svolte collettivamente con l’utilizzo della

lavagna magnetica e del materiale precedentemente descritto, o singolarmente con

schede adatte allo scopo.

Insistiamo sulla necessità di rispettare lo schema sopra indicato, affinché le

attività siano significative. Il senso da dare all’appartenenza di un elemento ad un

insieme è infatti ben preciso ed ha come base la relazione che si instaura tra un

elemento dell'universo e l' insieme costruito. Occorre però notare che su molti testi

operativi vengono invece riportati degli esercizi dove senza dare indicazioni

dell'universo o una chiara definizione dell'insieme, si trovano consegne del tipo

seguente

"cancella con una crocetta l’elemento estraneo"

"l’elemento x appartiene o non appartiene all’insieme?".

29

figura 15

questi esercizi (definiti come "ricerca dell’elemento estraneo o appartenente") sono

senza senso perché non vengono rispettati i termini già indicati (vedi figura 15).

30

7. L’esercizio inverso

Rispetto alle attività precedenti, quelle che seguiranno presentano un maggior

grado di difficoltà: si passa infatti dall’attività diretta a quella inversa.

Nel caso precedente, erano assegnati un contesto (l’universo) e dei dati (gli elementi

dell’universo) e si chiedeva che a partire da questi venisse eseguita una determinata

operazione (la formazione di un insieme). Ora, si dispone dei dati (gli elementi

dell’universo) e del risultato finale (l’insieme) e si chiede di capire ciò che si è fatto,

cioè di individuare la caratteristica scelta.

figura 16

Questa attività, se ben programmata con un’attenta scelta del materiale (oggetti e

schede), presenta dei vantaggi. Si possono ad esempio predisporre situazioni in cui la

soluzione dell’esercizio non è unica, perché si potranno scoprire più caratteristiche

31

che individuano lo stesso insieme (figure 16 e 17). Talvolta poi basta aggiungere un

elemento all’universo perché l’attributo scelto non descriva più correttamente

l’insieme. Sono attività che danno la possibilità di chiarire l’importanza del contesto,

o meglio dell’universo.

figura 17

Va tenuto presente inoltre che lavorando a partire dal risultato e dovendo

ritornare al punto di partenza si agisce sulla “reversibilità del pensiero”.

All’inizio è l’insegnante a formare gli insiemi con il materiale portato dai

bambini. Si utilizzano pochi elementi con un unico attributo ben evidente (colore,

forma, ecc.). I bambini devono individuare l’attributo che caratterizza l’insieme

formato, successivamente troveranno un simbolo per riconoscerlo.

Una volta avviata questa attività, i bambini possono essere divisi in due o più

gruppi e ogni gruppo, utilizzando il materiale a disposizione, formerà insiemi secondo

un criterio che l’altro gruppo dovrà individuare. Si possono organizzare sfide alla

lavagna magnetica, aumentando il numero degli elementi dell’universo per stimolare

i bambini ad inventare insiemi con caratteristiche particolari, facendo leva sul loro

desiderio di sfidare i compagni.

32

8. I termini specifici

Durante lo svolgimento delle attività è importante approfondire e far capire ai

bambini il significato dei termini specifici: universo, insieme, elemento, tutti e soli,

appartiene, non appartiene. Come insegnanti utilizzeremo sempre una terminologia

corretta, richiedendo ai bambini di fare altrettanto per abituarli ad usare il linguaggio

degli insiemi, talvolta diverso da quello quotidiano.

Il significato dei termini, utilizzati “in situazione”, risulta quasi immediato; solo il

termine “elemento” richiede un tempo maggiore per essere interiorizzato, perché

prevede la capacità di staccarsi dall’oggetto concreto, essendo già una prima forma di

generalizzazione.

figura 18

Completa seguendo le consegne

33

Contemporaneamente, riflettiamo sull’impiego di una categoria di vocaboli

che esprimono una quantità: tutti, alcuni, ogni, nessuno... . Anche in questo caso

partiamo da situazioni molto concrete, che spesso coinvolgono i bambini stessi che in

palestra o in classe diventano “elementi” di un insieme. Invitiamo ad una

osservazione molto attenta e poniamo domande utilizzando i quantificatori.

figura 19

Le stesse attività potranno essere svolte sul quaderno; nelle figure 18 e 19

riportiamo come esempio due schede predisposte allo scopo.

Completa seguendo le consegne

34

9. Sottoinsiemi

Utilizzando il materiale precedentemente descritto, fissiamo un universo e

formiamo un insieme, quindi individuiamo una caratteristica che si adatta ad alcuni

dei suoi elementi: costruiamo così un sottoinsieme. Nella figura 20 è riportato un

esempio per l’individuazione di sottoinsiemi, alla lavagna magnetica.

l'universo in bacheca

l'insieme dei camion

il sottoinsieme dei camion da corsa

figura 20

35

Il concetto di sottoinsieme viene facilmente intuito dai bambini come un

insieme che sta dentro all’insieme di partenza. Questa operazione inizialmente risulta

semplice, quasi naturale per i bambini, in realtà e` una lenta conquista.

Infatti quando si passa ad analizzare i legami esistenti tra insieme, sottoinsieme e fra i

loro elementi, iniziano le difficoltà (difficoltà che ancora abbiamo rilevato, seppure in

misura minore, in alcune prove di entrata alle classi terze).

In questa fase entra in gioco la capacità di considerare contemporaneamente il

tutto (l’insieme), la parte (il sottoinsieme) e la loro relazione. Di fatto, generalmente il

sottoinsieme viene considerato dai bambini come un insieme a sé stante, non incluso

nell’insieme di partenza e l'inclusione passa in secondo piano.

figura 21

In figura 21 è illustrato un caso particolare in cui si verifica che "l’insieme dei

bambini" è un sottoinsieme degli elementi di colore arancione senza che sia

necessario "specificare due attributi".

Abbiamo cercato di ovviare a questa difficoltà ritornando spesso all’insieme

di partenza (il tutto) per costruire diversi sottoinsiemi. Indispensabile l’uso della

lavagna magnetica che ci ha dato la possibilità di manipolare e spostare di volta in

volta gli elementi presi in considerazione. Inoltre per questo lavoro abbiamo

predisposto alcune schede specifiche che possono essere utilizzate sia

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individualmente che per un lavoro di gruppo. La scheda in figura 22, nella quale il

sottoinsieme da considerare è già indicato, presenta minori difficoltà di quella

mostrata nella figura 23.

figura 22

37

figura 23

Per quanto riguarda la terminologia specifica, durante lo svolgimento attività abbiamo

chiarito che i termini "appartiene" e "non appartiene" si utilizzano in riferimento

agli elementi; i termini "è contenuto", "è incluso" si utilizzano per i sottoinsiemi in

riferimento ad un insieme.

38

10. Regole ed enunciati

In logica matematica, gli enunciati e le proposizioni sono quelle frasi alle

quali si può attribuire il valore “vero” o il valore “falso”, detti appunto valori di

verità (il pulcino ha le ali, il maiale è un rettile). La regola rappresenta un enunciato

aperto (“ … è rosso”, ” … è un animale”, “ … ha quattro zampe”…).

Il percorso sulle regole ed enunciati è in stretto rapporto con le attività

proposte precedentemente sulla formazione di insiemi. Si tratta di applicare una

procedura diversa per arrivare allo stesso risultato, in questo caso si tratta di passare

attraverso le regole e il valore di verità degli enunciati per formare insiemi.

Secondo questa nuova procedura (vedi [1]), dato un universo, si fissa una

regola che viene applicata a tutti gli elementi dell’universo (si formano tutti gli

enunciati) e si costruisce poi un insieme formato da tutti e soli gli elementi che

rendono vero l' enunciato.

Si prendono in considerazione oggetti concreti, facilmente controllabili dai

bambini, per costruire proposizioni o enunciati. Contemporaneamente attraverso

conversazioni, si chiarisce il significato di “regola”, “vero”, e ”falso”.

Si introducino anzitutto dei giochi:

Il re il suo forziere III

Il gioco prevede di nuovo un'area delimitata in cui sono raccolti vari oggetti (vedi "Il re e il suo forziere II") e un bambino (o l'insegnante) che interpretando il ruolo del re, con il suo forziere, ordina di raccogliere oggetti con una data caratteristica. Questa volta i bambini, ad uno ad uno, portano ciascuno un oggetto qualunque tra quelli presenti nell'area del gioco e di fronte al re dichiarano che l'oggetto portato possiede la caratteristica richiesta. Ad esempio, supponendo che il re abbia chiesto oggetti di colore rosso, dichiarano:

"questo pennarello è rosso" oppure

"questo bottone è rosso"

indipendentemente dal fatto che l'oggetto sia effettivamente rosso o meno.

39

Il re risponde a ciascuno: "Vero!" e apre il forziere per accogliere l'oggetto

oppure "Falso!" e mette da parte l'oggetto

a seconda che l'affermazione del bambino sia vera oppure falsa. Il gioco va avanti fino a che a che tutti gli oggetti, presenti nell'area scelta per il gioco, non sono stati considerati. Alla fine il re apre il forziere e controlla che tutti gli oggetti raccolti abbiano la caratteristica richiesta e che tra quelli fuori del forziere non ci sia nessun oggetto che la possiede. A questo punto si può osservare che nel forziere si è raccolto "l'insieme degli oggetti che ..."

Un altro gioco che piace molto ai bambini perchè li vede coinvolti come

elementi degli insiemi che via via si vanno formando è il “Gioco del giudice”.

Il giudice e le sue regole

L’universo è formato dai bambini della classe. A turno ogni bambino interpreta

il ruolo del giudice. Il giudice ha in mano due cartelli con scritto “VERO” e

“FALSO”. In aula viene predisposto uno spazio delimitato con scritto “VERO”.

Ogni bambino del gruppo passa davanti al giudice che, in base alla regola

fissata, lo fa entrare nello spazio del VERO oppure non lo fa entrare. Alla fine

del gioco si osserva che, nello spazio del vero, è riunito l’insieme dei bambini

che possiedono la caratteristica indicata dalla regola.

Alcune di queste attività possono essere riprodotte alla lavagna magnetica o

sul quaderno, cercando di rappresentarle in modo sempre più schematico (figura.24)

40

sulla lavagna magnetica

sul quaderno

figura 24

Sempre nell’ottica di rappresentare ciò che succede in modo schematico, sia sulla

lavagna magnetica, sia sul quaderno ricorrendo a rappresentazioni grafiche,

41

proponiamo e utilizziamo la macchina che forma gli insiemi mostrata nella figura

25 (vedi [1]).

VERO FALSO

ha quattro ruote

REGOLA

figura 25

Ogni elemento entra nella macchina e passa attraverso la regola. Gli enunciati che

corrispondono al VERO vanno a formare l’insieme, gli enunciati che corrispondono al

FALSO vengono scartati.La stessa macchina può essere realizzata concretamente

nello scatolone del VERO e del FALSO1 di figura 26.

figura 26

1 Lo scatolone del Vero e del Falso è stato ideato dall’insegnate Umberta Rossi.

42

Lo scatolone ha due entrate, una per il VERO e una per il FALSO. Si fissano un

universo e una regola e, attraverso l’entrata “VERO”, vengono introdotti gli oggetti

che la soddisfano. Tali oggetti vengono a cadere un sacchetto precedentemente

predisposto all’estremità dell’entrata VERO. Si forma così l’insieme.

Infine le attività descritte si rafforzano utilizzando disegni e figurine per

costruire tabelle che riportano il valore di verità degli enunciati (vedi figura 27).

figura 27

Nello stesso contesto si possono inquadrare esercizi inversi dove dato un universo e

una tabella i bambini devono scoprire la regola.

Le attività legate all’applicazione di regole per formare insiemi sono di fatto

uno sviluppo delle attività già svolte. Si tratta di uno sviluppo nel senso di una

maggiore formalizzazione e precisione di linguaggio. Tutti gli aspetti che sono

intervenuti nelle discussioni con i bambini in occasione delle attività dei paragrafi 4-7

ritornano in questo nuovo contesto che è particolarmente adatto a raccoglierle. Questo

43

percorso è stato proposto verso la fine della classe prima, perché richiede al bambino

una certa abilità nel padroneggiare gli insiemi e un utilizzo preciso, consapevole e

coerente del linguaggio.

E' importante che la regola sia formulata con precisione e sia verificabile per

evitare confusione nello svolgimento del lavoro stesso. Riportiamo due esempi di

discussione che pensiamo particolarmente significativi per illustrare quanto detto

Sintesi di una conversazione in classe

Regola: AVERE LA TUTA

“La mia maglia fa parte della tuta”

“Anche i miei pantaloni”

“Non vale, deve essere intera”

“E con i colori giusti (abbinati)”

(I bambini concordano che deve essere completa)

“Io ce l’ho a casa”

“Tutti ce l’hanno, ma bisogna averla qui per vederla”

“Allora la regola deve diventare INDOSSARE LA TUTA”

(Il gruppo concorda)

Regola: ESSERE BIONDO/A

“Per me biondo vuol dire avere i capelli chiarissimi, come Luca”

“Io sono castano, ma quando vado al sole i miei capelli diventano biondi”

“Anche i miei hanno delle sfumature bionde”

“I miei capelli sono un pò biondi”

“Anche Anna li ha chiarissimi”

Si discute ancora, alla fine si decide che i capelli, per essere definiti biondi, devono

essere chiarissimi come quelli di Luca e individuano altri due compagni per i quali la

regola “essere biondo/a” corrisponde al valore VERO.

I casi precedenti riguardano situazioni in cui nasce la necessità di precisare ciò che la

regola (avere la tuta, essere biondo) richiede in un contesto variegato, altre situazioni

riguardano invece i problemi che sorgono quando la regola implica quello che nella

44

realtà comune è un “giudizio soggettivo” (essere simpatico; essere bello…). Queste

regole sembrano non poter essere utilizzate per la impossibilità di esprimere un

giudizio di verità, ma in realtà basta scegliere assieme un riferimento o un criterio sul

quale basarsi. Importante è che sia accettato da tutti come definitivo.

45

11. Negazione e complementare

È bene lavorare a lungo per far comprendere e rafforzare il concetto di

negazione di una propietà e per poter riconoscere gli elementi che godono di essa.

I bambini potranno gradualmente constatare che l’attributo di un sottoinsieme può

essere anche la negazione di un altro. Inoltre comprenderanno il funzionamento della

negazione verificando che il “non” muta il valore di verità di una frase (si osserva che

quando una frase è vera il “non” la fa diventare falsa; quando invece la frase con il

“non” è vera, togliendo il “non” diventa falsa, vedi figura 28).

figura 28

Si preciserà maggiormente la differenza fra NEGAZIONE e CONTRARIO (es.

dolce/amaro/non dolce, bianco/nero/non bianco), scoprendo che non è detto che la

negazione significhi il contrario. Si partirà da situazioni semplici e concrete,

facilmente sperimentabili, lavorando inizialmente sulla classificazione ad un criterio

per la formazione di un sottoinsieme, la descrizione degli elementi non appartenenti

al sottoinsieme e la loro definizione mediante la negazione.

Ovviamente alcuni dei giochi già svolti si presteranno alla nuova attività, ad esempio,

nel gioco “strega comanda …” si potranno formulare richieste con una negazione:

41

“STREGA COMANDA … NON ROSSO”

“STREGA COMANDA … NON DI LEGNO”

Dopo il lavoro sulle regole e sulla negazione si passa in modo abbastanza naturale a

formalizzare "la regola complementare". Questa verrà successivamente ripresa ed

approfondita nella risoluzione di problemi di sottrazione.

42

12. Calendario delle attività

Al termine di questo lavoro proponiamo un calendario che illustra la

scansione temporale delle attività sopra descritte e la sequenzialità con la quale

introdurre i diversi argomenti. I tempi da noi proposti sono indicativi; essi variano

secondo il contesto classe con il quale ogni insegnante si trova ad operare. La

realizzazione di questo percorso richiede comunque che sia rispettata la sequenzialità

delle diverse tappe, sia per la costruzione della struttura concettuale sia per il

collegamento con altri apprendimenti matematici (concetto di numero, relazioni …).

1

SETTEMBRE OTTOBRE NOVEMBRE DICEMBRE GENNAIO FEBBRAIO MARZO APRILE MAGGIO GIUGNO

ACCERTAMENTO DEI PREREQUISITI

OSSERVARE OGGETTI, RILEVARE COLORI FORME DIMENSIONI FUNZIONI

COMPIERE ATTIVITA’ DI CLASSIFICAZIONE

COSTRUIRE INSIEMI SULLA BASE DEGLI ATTRIBUTI DEGLI ELEMENTI

SAPER RAPPRESENTARE GRAFICAMENTE UN INSIEME

DEFINIRE GLI INSIEMI SULLA BASE DI UNA PROPRIETA’

ESPRIMERE L’APPARTENENZA (A VOCE)

INDIVIDUARE L’INSIEME VUOTO INDIVIDUARE ED INDICARE SOTTOINSIEMI

REGISTRARE L’APPARTENEN-ZA INDIVIDUARE IL

COMPLEMENTARE DEL SOTTOINSIEME

SAPER USARE IN MODO CORRETTO LE ESPRESSIONI VERO FALSO

2

SETTEMBRE OTTOBRE NOVEMBRE DICEMBRE GENNAIO FEBBRAIO MARZO APRILE MAGGIO GIUGNO

CLASSIFICARE SECONDO UNA PROPRIETA’

REGISTRARE L’APPARTENENZA E LA NON APPARTENENZA

USO DEL CONGIUNTIVO “NON”

VERO E FALSO ENUNCIATO

INDIVIDUARE SOTTOINSIEMI

REGISTRARE L’APPARTE-NENZA DI UN ELEMENTO AL SOTTO- -INSIEME

INDIVIDUARE IL COMPLEMENTARE DEL SOTTINSIEME

1

Conclusione e bibliografia

La proposta didattica che abbiamo presentato nelle pagine precedenti, costituisce una

rivisitazione di quelle attività che in un modo o nell’altro, da circa trent’anni, in tutto

il mondo, vengono svolte nelle prime classi del ciclo elementare sotto il nome di

“insiemi e logica”.

Si tratta di una rivisitazione svolta con l’intenzione di riflettere e ripensare cercando la

strada di un percorso organico che abbia un senso. Quindi le attivita’ che abbiamo

descritto rappresentano essenzialmente il terreno su cui si e’ esercitata la nostra

sperimentazione e non vogliono proporsi ne’ come novita’ ne’ come “summa” di

riferimento. Cio’ che ci interessa trasmettere sono invece le osservazioni che sono

sorte durante il percorso e, nel suo complesso, l’ottica entro cui abbiamo svolto il

nostro lavoro. Il materiale descritto resta un esempio, certamente utilizzabile, ma da

modificare continuamente a seconda delle esigenze didattiche e degli obiettivi

educativi: e’ su queste esigenze e su questi obiettivi che abbiamo cercato di portare la

discussione sperando di dare un contributo utile.

Al termine di questo lavoro desideriamo innanzitutto ringraziare il prof. Mimmo

Iannelli del Dipartimento di Matematica dell’Università di Trento. Il suo

fondamentale supporto scientifico e la continua disponibilità al confronto nelle

diverse fasi della stesura del fascicolo, hanno reso possibile la realizzazione di questo

lavoro. Ringraziamo inoltre Alessandro Pontalti e Umberta Rossi, colleghi

dell’interclasse, con i quali abbiamo programmato e sperimentato diverse attività

proposte; Emanuela Franceschini e Silvana Marchi, colleghe impegnate nel

Laboratorio di Matematica della Scuola “Pigarelli”, per averci fornito prezioso

materiale da loro realizzato; Marta Cazzanelli del Laboratorio di didattica della

matematica dell’Università di Trento per il supporto tecnico.

Per cio’ che riguarda la bibliografia facciamo stretto riferimento al fascicolo

2

[1] Lucia Alessandrini, Giorgio Bolondi, Mimmo Iannelli, Fascicolo 1, Insiemi e Logica nel Primo Ciclo: un percorso di interfaccia tra la matematica sottesa e l’attività in classe, Fascicolo del Laboratorio LRM3D2,

Dip. di Matematica, Università di Trento

che, redatto con gli stessi scopi di questo lavoro, ne e’ in un certo senso parte

integrante e al fascicolo

[2] Giorgio Bolondi, Tiziana Ceol, Luisa Fontanari, Mimmo Iannelli,

Fascicolo 6, Giochi disegni e filastrocche: la matematica nascosta nella scuola

dell’infanzia, Fascicolo del Laboratorio LRM3D2, Dip. di Matematica, Università di Trento

inoltre riportiamo alcuni testi standard cui rimandiamo per consultazione

[3] M. L. Altieri Biagi, F. Speranza

OGGETTO, PAROLA, NUMERO Nicola Milano Editore

[4] Renato Reggiori

Matematica in Prima Elementare Istituto Geografico De Agostini

[5] Renato Reggiori

Matematica in Seconda Elementare Istituto Geografico De Agostini

[6] Clara Colombo Bozzolo

Primi Elementi di Logica-Insiemi-Relazioni Editrice La Scuola

[7] Clara Colombo Bozzolo

Primi Elementi di Logica-Insiemi-Relazioni

Proposte Didattiche Editrice La Scuola

[8] Michele Pellerey

Oltre gli Insiemi Tecnodid Edizioni