Integrali di linea,

di superficie,

di volume

Inizio della lezione

5.Integrali di linea

campo di forze

AA

rr

BB

f

f

ff

f

f

f

f

ff

L f rLAVORO

AA

BB

f(A)

f(B)

f(x,y)f(x,y) f(x,y)

AA

BB

f((t1)) f((t 2)) f((t 3

))

f((a))

f((b))L t d t hi i i f ( ( )) ( )( ) L t d t

a

b f ( ( )) ( ) L t t dt

a

b f ( ( )) '( ) L d f ( )X X

INTEGRALE DI LINEA di f lungo la curva

INTEGRALE DI LINEA di f lungo la curva

BB

AA

CC

BB

AA

CC

ADDITIVITA’ :

f f f( ) ( ) ( )X X X X X X d d d

AA

BB

AA

BB

*

f f( ) ( )*

X X X X d d

Esercizi a pag. 428

F : Rn RF : Rn Rn

VICEVERSA :

f : Rn Rndato

esisteF : Rn R

F = F = f f tale che ??

F( dP X XA

P) : ( ) f

AA

P??

F( dP X XA

P) : ( ) f

AA

POCCORRE CHE L’INTEGRALE OCCORRE CHE L’INTEGRALE

SIA INDIPENDENTE SIA INDIPENDENTE

DALLA TRAIETTORIADALLA TRAIETTORIA

AA

B

0 f ( )X Xd

f f( ) ( )*

X X + X X d d

f f( ) ( )X X X X d d

f f( ) ( )X X X X d d

Un’applicazione:Campi di forze conservativied energia potenziale

AA

BB

L d f ( )X XA

B F( F(B A) )

f campo di forze conservativo

V F:energia potenziale

V V( ) ( )A B

f gradiente

f campo di forze conservativo

V F:energia potenziale

L d f ( )X XA

B

Esercizi a pag. 433

6.Integrali di superficiee di volume

n

ffXX

n(X)

f(X)

u

v

R2

x

y

z

RR33RR33

D S

x u v y u v z u v 1 2 3( , ) , ( , ) , ( , )

u :u

v :v

XXu

v

u vn

fuu du du

vv dv dvdS

dS du dv ( ) ( )u vdS dudv u v

FLUSSO FLUSSO ATTRAVERSOATTRAVERSO dSdS ::

d dS f n f n u v dudv f u v( ) dudv

FLUSSO TOTALE ATTRAVERSO FLUSSO TOTALE ATTRAVERSO SS ::

f n dSS

f n dSS

INTEGRALE DI SUPERFICIE

Sx

y

z

RR33RR33

u

v

D

D

idid k

Integrali doppi a pag.439

XXu

v

u vn

uu du du

vv dv dvdS

n u vdS du dv ( ) ( )

x

udu

y

udu

z

udu

x

vdv

y

vdv

z

vdv

u

v

u vn

u du

v dvdS

x

udu

y

udu

x

vdv

y

vdv

dx dy

( , , )dy dz dz dx dx dy

f

f n dS f dy dz f dz dx f dx dy1 2 3

FORMA DIFFERENZIALE BILINEARE

( ) ( ) ( ) ( )X X X X f dx f dy f dz1 2 3

d df dxj jj

n

1

f

xdx

f

xdx

f

xdx dxj j j

jj 1

12

23

31

3

f

xdx dx

f

xdx dx

f

xdx dxj

jj

jj

jj 1

12

23

31

3

f

xdx dx

f

xdx dx

f

xdx dx

f

xdx dx

f

xdx dx

f

xdx dx

f

xdx dx

f

xdx dx

f

xdx dx

1

11 1

1

22 1

1

33 1

2

11 2

2

22 2

2

33 2

3

11 3

3

22 3

3

33 3

f

xdx dx1

21 2

f

xdx dx2

32 3

f

xdx dx3

13 1

f

x

f

xdx dx

f

x

f

xdx dx

f

x

f

xdx dx

2

1

1

21 2

3

2

2

32 3

1

3

3

13 1

f

y

f

zdy dz

f

z

f

xdz dx

f

x

f

ydx dy3 2 1 3 2 1

rot f : , ,

f

y

f

z

f

z

f

x

f

x

f

y3 2 1 3 2 1

ROTORE DI f

d dy dx dx dz dz dx rot f ( , , )rot f n dS

f

y

f

zdy dz

f

z

f

xdz dx

f

x

f

ydx dy3 2 1 3 2 1

rot f : , ,

f

y

f

z

f

z

f

x

f

x

f

y3 2 1 3 2 1

ROTORE DI f

J

f

x

f

y

f

zf

x

f

y

f

zf

x

f

y

f

z

f

1 1 1

2 2 2

3 3 3

rot f 0 f J è simmetrica

f IRROTAZIONALE

rot f 0 f J è simmetrica

f f grad F J HF simmetrica

rot grad( )F 0

f f 0è un gradiente rotTeorema

f dy dz f dz dx f dx dy1 2 3

d df dy dz df dz dx df dx dy 1 2 3

df

xdx dy dz

f

ydy dz dx

f

zdz dx dy

1 2 3

df

x

f

y

f

zdx dy dz

1 2 3

div f :

f

x

f

y

f

z1 2 3

DIVERGENZA DI f d dxdydz div f

f g

rot : , ,

g

y

g

z

g

z

g

x

g

x

g

y3 2 1 3 2 1

div f

x

g

y

g

z y

g

z

g

x z

g

x

g

y3 2 1 3 2 1

div rot( )g 0

f fè un rotore div 0Teorema

dF F d grad Xd d ) dS( f f n X rotd dS) dV(g n g div

rot grad( )F 0 div rot( )f 0

è un differenziale d 0Teorema

chiusa

A

B

SS V

V

dF F( F( B A) )

dS

S

dV

V

grad X B AF d F( F( ) )

rot XS S

f n f dS d

divV V

f f ndV dS

Teorema del gradienteTeorema del gradiente

Teorema del rotore (di Stokes)Teorema del rotore (di Stokes)

Teorema della divergenza (di Gauss)Teorema della divergenza (di Gauss)

Formula di Green a pag. 455

Ricerca di un potenziale

f : Rn Rndato

esisteF : Rn R

F = F = f f tale che ??

Torniamo al problema:

f f 0è un gradiente rotTeorema

è sufficiente ? Teorema delle circuitazioni Teorema delle circuitazioni

f è un gradiente se e solo se:

f ( )X X d

0

f f 0è un gradiente rotTeorema

è sufficiente ? Teorema delle circuitazioni Teorema delle circuitazioni

f è un gradiente se e solo se:

f ( )X X d

0

S

f ( )X X d

rotS

f n dS0 n dSS

0

E

EE

SEMPLICEMENTE CONNESSOTeorema

f f 0è un gradiente rot

Esercizi a pag. 461

FINE DEL CORSO