1
Filtri passivi 1
Introduzione ai filtriFiltri di ButterworthFiltri di Chebishev
Filtri passivi 2
2
Filtri passivi 3
Filtri passivi 4
3
Filtri passivi 5
Filtri passivi 6
4
Filtri passivi 7
Filtri passivi 8
5
Filtri passivi 9
N crescente
1/2
1
ωωωω0=1ωωωω
Filtri passivi 10
6
Filtri passivi 11
Filtri passivi 12
prolungando analiticamente s21(s) e s11(s)
( ))()(1)(essendo
212111 ssssss −−=
7
Filtri passivi 13
@
@ 2
2
2
Filtri passivi 14
@
@
8
Filtri passivi 15
(poli)
j
Filtri passivi 16
Hp. (R0=1)
jj
9
Filtri passivi 17
s
1
R0
Filtri passivi 18
10
Filtri passivi 19I filtri di Butterworth servono anche come base per i filtri digitali
Filtri passivi 20
L4C4L5C5
11
Filtri passivi 21
Filtri passivi 22
12
Filtri passivi 23
Filtri passivi 24
)(1)(21 sE
ssN
±=
Dal filtro passa-basso normalizzato, di cui si sono viste le tabelle, passiamo ora agli altri filtri, tramite delle trasformazioni in ω
13
Filtri passivi 25
ωωωωn ωωωω
Filtri passivi 26
L’induttanza diventa una capacità
La capacità diventa una induttanza
14
Filtri passivi 27
N.B. I filtri passa-basso avevano zeri di trasmissione all’infinito. Ora gli zeri sono nell’origine.
Filtri passivi 28
15
Filtri passivi 29
Filtri passivi 30
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Filtri passivi 31
Filtri passivi 32
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Filtri passivi 33
Filtri passivi 34
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Filtri passivi 35
Filtri passivi 36
Progetto di un filtro di Butterworth
In fase di progetto vengono fornite come specifiche
•L’ ATTENUAZIONE
• I LIMITI ESTREMI della banda passante e di quella oscura.
A partire dalle specifiche occorre determinare
•il grado del filtro N (il numero dei componenti)
•la frequenza di taglio f0
presenti nelle formule di trasformazione.
19
Filtri passivi 370>α
Filtri passivi 38
piccola attenuazione
grande attenuazione
massimo al rispettodB 3αff 0 =⇒=2N
20
Filtri passivi 39
Specifiche
Filtri passivi 40
10/2
21
21
10/2
21
21
10)(
)(log20
10)(
)(log20
s
p
js
js
js
js
ss
pp
α
α
ω
αωαα
ω
αωαα
−
−
≤
≥−⇒≥
≥
≤−⇒≤
I valori riportati in ordinate si ricavano dall’espressione di α
Si definisce inoltre la selettività del filtro
1<=s
p
ff
k
21
Filtri passivi 41
110
11010
10
−
−s
p
α
α
Filtri passivi 42
22
Filtri passivi 43
Filtri passivi 44
In cui e’ tutto noto tranne N
110
11010
10
−
−s
p
α
α
23
Filtri passivi 45
Caratteristica più ripida
Filtri passivi 46
24
Filtri passivi 47
Filtri passivi 48
HfLLL
FfCCC
nn
nn
µπω
µπω
1082
2162
00
00
===
===
n
n
LC
25
Filtri passivi 49
Specifiche
p
s
ffk =
110
11010
10
−
−s
p
α
α
Filtri passivi 50s s
p p
ffper ααffper αα
====
26
Filtri passivi 51
Filtri passivi 52
27
Filtri passivi 53
In alternativa si trasformano le specifiche dal passa-alto al passa-basso, ponendo
ωω 1' e
f1f' ==
Le specifiche del passa-basso sono
'
ss
'
p p
f1 ' f
f'1per
f1 ' f
f'1per
ss
pp
ff
ff
=≥→≤≥
=≤→≥≤
αα
αα
Si calcolano N e f0 per il passa-basso imponendo
==
=='s
'p
ff' per
ff' per
s
p
αααα
Si realizza la rete e si effettuano le trasformazioni per tornare al passa-alto
nnn
nnn
n
CCfLC
LLfCL
sfsf
ss
00
00
'0
00
12
1
12
1
22
ωπ
ωπ
ππω
==→
==→
===
Filtri passivi 54
EsempioProgettare un filtro passa-alto che soddisfi le seguenti specifiche
≤≥≥≤
1kHz fper 5010kHzfper 1
dBdB
αα
Le specifiche del passa-basso corrispondente
≥≥≤≤
Hz10 fper 50Hz10f'per 1
-3
-4
dBdB
αα
382.21
)1052.1log(log
log
1052.110
23.0110110
1.01010
31
32/510/
10/
1
3
4
'
'
=⇒=⋅=≥
⋅=≅−−=
====
−
−
−
−
NkKN
k
ff
ff
k
s
p
p
s
s
p
α
α
28
Filtri passivi 55
Sovraspecificando in banda passante, si impone
40
3'
00
4'0
6
0
's
's
1028.4 Hz;10813.61f
Hz101.468fff
110log50
cui daff'per
−−
−
⋅=⋅==
⋅=→
+=
==
ω
αα
f
s
1 1
2
10-4/4.28 10-4/4.28
10-4/8.56
Passa-basso normalizzato Passa-alto
Filtri passivi 56
Specifiche
29
Filtri passivi 57
ωωωωns
ωωωωnp
−−−−ωωωωnp
−−−−ωωωωns
Filtri passivi 58
30
Filtri passivi 59
DiminuireAumentare
Filtri passivi 60
110110
10/
10/
−−
s
p
α
α
31
Filtri passivi 61
Filtri passivi 62
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Filtri passivi 63
Filtri passivi 64
αα
33
Filtri passivi 65
Filtri passivi 66
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Filtri passivi 67
Filtri passivi 68
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Filtri passivi 69
Filtri passivi 70
arccos(x)]cos[N(x)TN ⋅=
ℜ∈ℜ∈=+==
∈>≥=
pb,a,con ,cosh(p)jb)cos(as(x)]cos[Narcco(x)T cui da C,arccos(x) 1,xPer
1cosh(x)cos(jx) essendo
N
36
Filtri passivi 71
Filtri passivi 72
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Filtri passivi 73
Filtri passivi 74
ε
38
Filtri passivi 75
Filtri passivi 76
e(s)ℜ
Im(s)
POLI
il cui numero dipende da N. Il rapporto tra i 2 assi dipende da ε.
39
Filtri passivi 77
ε
PN,ε è un polinomio con le radici nel semipiano sinistro
Filtri passivi 78
[ Per N pari, s21(0)=1/(1+εεεε2) ]
40
Filtri passivi 79
Filtri passivi 80
41
Filtri passivi 81
ε (ovvero da αp come vedremo).
Specifiche
Filtri passivi 82
Passa-basso normalizzato
2
21
2
21 )1(s)(s passante banda la in tutta che nota Si ≥ω
42
Filtri passivi 83
.
2
p
222p
11
10
)1log(10))1(1log(10)1(Dim.
εα
εεωαα
+=−
+=+=== Nnp T
Filtri passivi 84
43
Filtri passivi 85
Filtri passivi 86
pα
44
Filtri passivi 87
0.83 H
1.68 F1.68 F
Filtri passivi 88
0< )1(6 −≅ N
Chebyshev funziona quindi meglio di Butterworth, nel senso che le stesse prestazioni sono ottenute con meno componenti (N minore)
45
Filtri passivi 89
Specifiche
Filtri passivi 90
per il passa-basso era k=fp/fsp
46
Filtri passivi 91
sono apici, non esponenti
pαα = pαα =pα
Filtri passivi 92
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Filtri passivi 93
Specifiche
Filtri passivi 94
48
Filtri passivi 95
Filtri passivi 96
49
Filtri passivi 97
Filtri passivi 98
Utilizzando un Chebyshev ed un Chebyshev inverso si hanno i FILTRI ELLITTICI. Essi permettono di ottenere la massima ripidità nella transizione tra le 2 bande, col n. minore di componenti.