Introduzione_numeri_complessi

8/18/2019 Introduzione_numeri_complessi

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LEZIONE 1

INTRODUZIONE AI NUMERI COMPLESSI

L’esigenza di introdurre l’insieme dei numeri complessi, nasce dal fatto che negli

insiemi numerici più ristretti (insieme dei numeri naturali, insieme dei numeri interi,

etc) non possi!ile effettuare alcune operazioni, ad esempio "ualun"ue insieme

numerico si scelga (al di fuori dell’insieme dei numeri complessi) non possi!ile fare

le radici "uadrate di numeri negati#i$

%icordiamo "ui !re#emente "uali sono gli insiemi numerici e "uali operazioni

possi!ile fare con ognuno di essi&

• N = {0,1,2, … } Insieme dei numeri naturali& in "uesto insieme sono definite le

operazioni di somma e di prodotto$• Z ={− N , 0, N } Insieme dei numeri interi& in "uesto insieme, oltre alle

operazioni che sono definite nell’insieme dei numeri naturali, anche definita

l’operazione di sottrazione$

• Q={mn , n≠ 0}, m , n∈Z Insieme dei numeri razionali& in "uesto insieme oltrealle operazioni che sono definite nell’insieme dei numeri interi, definita

anche l’operazione di di#isione$• R= {? } Insieme dei numeri reali& in "uesto insieme oltre alle operazioni

che sono definite nell’insieme dei numeri razionali, definita anche

l’operazione di radice "uadrata$

'n immagine pu chiarire !ene i concetti espressi (fig$1)$ L’insieme dei numeri reali

comun"ue non esaurisce le esigenze, infatti le !anale e"uazione x2+1=0 , non ha

soluzione in R , per "uesto necessario introdurre l’insieme dei numeri complessi

C $ iamo "uindi la definizione di insieme di numeri complessi

C ={a+ib :a , b∈ R } → Definizione diinsime dei n ° complessi

*ia z un "ualsiasi n+ complesso, sulla !ase della definizione appena data esso si

scri#er nel modo che segue

z=a+ib

e possiamo dire che

• a=ℜ ( z ) parte reale del n+ complesso z

1 -.IE -L/-NE*E, -N-LI*I 0-E0-I2- III


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LEZIONE 1

• b=ℑ( z) parte immaginaria del n+ complesso z

i detta unità immaginaria e per definizione #ale

i2=−1

e "uindi

i=√ −1

fig.1-Le relazioni tra gli insiei n!eri"i

Nell’insieme dei numeri complessi (che include tutti gli altri insiemi numerici citati,

come mostrato in fig$1) sono !en definite le operazioni di somma e prodotto$

∀ z1

, z2∈C

{

z1+ z2 ≝ (a1+a2 )+i (b1+b2 ) z

1∙ z

2≝ (a1 a2−b1b2 )+i ( a1b2+a2 b1 )

3er dimostrare "ueste due definizioni !asta prendere due numeri complessi

z1=a

1+i b

1 e z2=a2+i b2 ed andarli a sommare in un caso o a moltiplicarli in un

altro utilizzando le note regole del calcolo letterale$

Introduciamo ora alcune propriet che ci ser#iranno per dedurre le operazioni di

sottrazione e di di#isione$

ELE0ENO NE'%O (%I*3EO -LL- *O00- E -L 3%OOO)



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LEZIONE 1

∀ z∈C {∃ z0=0+ i0 : z+ z0= z∃ z1=1+i 0 : z∗ z

1= z

1

z0 detto elemento neutro rispetto alla somma, mentre z1 detto elemento

neutro rispetto al prodotto$E*I*ENZ- ELL’O33O*O E EL %E2I3%O2O

{ ∀ z∈C ,∃− z∈C : z+(− z)=0∀ z∈C −{0 } ,∃ z−1∈C : z∗ z−1=1− z detto opposto di z mentre z−1 detto reciproco di z $

-ssegnato un numero complesso z=a+ib , "uindi il suo opposto − z=−a−ib ,

mentre si pu dimostrarea che il suo reciproco z−1

= a

a2+b2+i

−b

a2+b2 e certamente

a2+b2≠0 in "uanto la definizione di reciproco stata data ∀ z∈C − {0 } , cio

omettendo lo zero, pertanto ha senso scri#ere "uesto numero complesso$

L’insieme dei numeri complessi unitamente alle due operazioni fondamentali (somma

e prodotto) definiscono un campo$ 'na #olta definito l’opposto ed il reciproco, siamo

pronti per definire le operazioni di sottrazione e di#isione, le "uali si deducono

rispetti#amente dall’operazione di somma e dall’operazione di prodotto$

{ ∀ z1, z2∈C , z1− z2 ≝ z1+(− z2)

∀ z1∈C ,∀ z

2∈C −{0 },

z1

z2

≝ z1∙ z

2

−1

5ueste operazioni sono giustificate in "uanto a!!iamo definito un opposto e un

reciproco per ogni numero complesso, tranne che per il numero complesso nullo, per

il "uale non esiste reciproco$

Oltre alle citate propriet, sono anche definite la propriet associati#a, commutati#a,

distri!uti#a (della somma rispetto al prodotto)$

%EL-ZIONE ’O%INE %- N'0E%I 2O03LE**I

a Omettiamo la dimostrazione$6 -.IE -L/-NE*E, -N-LI*I 0-E0-I2- III


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LEZIONE 1

%icordiamo che nell’insieme dei numeri reali esiste#a una relazione d’ordine tra i

numeri, cio presi due numeri reali a e ! "ualsiasi, si pote#a sempre scri#ere una

relazione del tipo a ≥ b & "uesto non possi!ile farlo con i numeri complessi, cio

non possiamo mai dire che un numero complesso più piccolo o più grande di un

altro numero complesso, per con#incercene facciamo un esempio$

3reso il numero complesso z=i , e#idente che z ≠0 supponiamo pertanto che

z>0 , cio

i>0

a#endo supposto i positi#o, moltiplicando primo e secondo mem!ro della

dise"uazione per i , il #erso della stessa non cam!ieri∗i>i∗0

ma per definizione

i2=−1

e "uindi otteniamo

−1>0

assurdo$*upponiamo adesso che l’unit immaginaria sia negati#a, o##ero

ii∗0

ma per definizione

i2=−1

e "uindi otteniamo ancora una #olta

−1>0

assurdo$

RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI COMPLESSI



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LEZIONE 1

2ome si rappresentano i numeri complessi8 I numeri complessi si rappresentano su

un piano chiamato piano immaginario (detto anche piano di 9auss o piano

complesso)& #ediamo come si arri#a a rappresentare un numero complesso su un

piano$

3rendiamo un generico numero complesso z=a+ib & ad ogni numero complesso

facciamo corrispondere due coppie di coordinate, costruiamo cio un’applicazione

dai numeri complessi ai numeri reali che possiamo sim!olicamente cos: scri#ere

C → R∗ R

%icordiamo che l’insieme dei numeri reali un sottoinsieme dei numeri complessi (

R⊂C possiamo rendercene conto dalla fig$1) e in particolare contiene tutti i n+complessi a parte immaginaria nulla$

3reso il numero complesso z=a+ib , possiamo costruire la coppia ordinata (a , b ) ,

e ad ogni coppia ordinata corrisponde uno ed un solo numero complesso& nota la

coppia ordinata, ad essa si fanno corrispondere le due citate coppie di coordinate

(a , b ) →{(a ,0 )(0,b ); e#idente "uindi che a!!iamo ottenuto due punti uno giacente sull’asse delle < e uno

giacente sull’asse delle =& a "uesto punto !anale rappresentare l’assegnato numero

complesso z su di un piano cartesiano (fig$4)$

-l punto 3 che #ediamo in fig$4 per con#enzione #iene fatto corrispondere il n+

complesso z , ed o##iamente anche la sua coppia ordinata (cos: come indicato in

fig$4)& il piano riportato in fig$4 il gi citato piano immaginario$

In "uesto piano immaginario, i numeri reali stanno sull’asse < in "uanto i numeri reali

sono numeri complessi a parte immaginaria nulla, mentre i numeri immaginari puri

stanno sull’asse = in "uanto essi sono numeri complessi a parte reale nulla$ a ci

deri#ano i nomi dei due assi, o##ero l’asse < prende il nome di asse reale, mentre

l’asse = prende il nome di asse immaginario$

> -.IE -L/-NE*E, -N-LI*I 0-E0-I2- III


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LEZIONE 1

*empre sullo stesso piano immaginario di fig$4 rappresentato un altro punto ( P ,

simmetrico di 3 rispetto all’asse reale) a rappresentanza del numero complesso z ,

"uesto numero complesso detto coniugato di z

z=a+i (−b )

efinito il numero complesso coniugato, possiamo definire due propriet connesse ad

esso

∀ z , !∈C { z∗!= z∗! z+!= z+!5ueste propriet ci dicono che il coniugato del prodotto, è pari al prodotto dei

coniugati e il coniugato della somma, è pari alla somma dei coniugati$

fig.#-Il generi"o n!ero "o$lesso e% il s!o "oni!gato

3er un n+ complesso z scritto in forma alge!rica (cio nella forma a+ib ), si

definisce modulo di z la seguente "uantit

| z|=√ a2+b2

? -.IE -L/-NE*E, -N-LI*I 0-E0-I2- III


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LEZIONE 1

%isulta interessante anche andare a definire il prodotto tra un n+ complesso e il suo

coniugato

∀ z∈C , z∗ z=| z|2

E*E%2IZIO, .E%I@I2- ELL- 3%O3%IEA z∗!= z∗!

.erificare la #eridicit della seguente propriet

∀ z , !∈C { z∗!= z∗!

Svolgimento

-ssegniamo due generici numeri complessi

{ z=a+ib!=c+ idfacciamone il prodotto

z∗!=(a+ ib)∗(c+id )=ac+iad+ ibc−bd=ac−bd+i ( ad+bc )

facciamo il coniugato del risultato, ossia cam!iamo segno alla parte immaginaria

z∗!=ac−bd−i ( ad+bc )

Ora prendiamo i coniugati dei numeri complessi assegnati

{ z=a−ib

!=c−id

facciamone il prodotto

z∗!=(a−ib )∗( c−id )=ac−iad−ibc−bd=ac−bd−i (ad+bc)

pertanto #erificato che

z∗!= z∗!

E*E%2IZIO, .E%I@I2- ELL- 3%O3%IEA z+!= z+!

B -.IE -L/-NE*E, -N-LI*I 0-E0-I2- III


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LEZIONE 1

.erificare la #eridicit della seguente propriet

∀ z , !∈C { z+!= z+!

Svolgimento

-ssegniamo due generici numeri complessi

{ z=a+ib!=c+ idfacciamone la somma

z+!=(a+ib )+(c+id )= (a+c )+i (b+d )

facciamo il coniugato del risultato

z+!=(a+c )−i (b+d )

ora prendiamo i coniugati dei numeri complessi assegnati

{ z=a−ib!=c−idfacciamone la somma

z+!=(a−ib)+(c−id )=( a+c )−i (b+d )

pertanto #erificato che

z+!= z+!

E*E%2IZIO, *2%I.E%E 'N N'0E%O IN @O%0- -L9E/%I2-

*cri#ere in forma alge!rica il n+ complesso

z=2−3 i

i+2

Svolgimento

Nostro scopo scri#ere il numero complesso assegnato in forma alge!rica, ossia nella

forma z=a+ib & preso il numero complesso assegnato, moltiplichiamo numeratore e

denominatore per il coniugato del denominatore cos: da fare CscomparireD la i dal

denominatore

z=2−3 i

i+2=

2−3 ii+2

∗−i+2

−i+2

da cui

-.IE -L/-NE*E, -N-LI*I 0-E0-I2- III


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LEZIONE 1

z=(2−3 i ) (−i+2 )(i+2 ) (−i+2 )

=−i2+4−3−i 6

1+i 2−i 2+4=1−i8

1+4=

1−i8

5

separando la parte reale dalla parte immaginaria si ottiene

z=1

5+i−85

-!!iamo "uindi scritto in forma alge!rica il numero complesso assegnato$

E*E%2IZIO

eterminare i #alori di " ∈ R per i "uali il n+ complesso z= "

1+i" un numero

reale$

Svolgimento

La prima cosa da fare scri#ere il numero complesso assegnato in forma alge!rica (si

usa lo stesso trucchetto #isto nel precedente esercizio)

z= "

1+i" =

"

1+ i" ∗1−i"

1−i" =

" −i " 2

1+" 2

separiamo la parte reale dalla parte immaginaria

z= "

1+ " 2+ i −" 2

1+" 2

5uesto numero complesso reale "uando il coefficiente dell’immaginario nullo, per

cui scri#iamo

−" 2

1+" 2=0

condizione che si realizza "uando

−" 2

=0o##ero "uando

" =0

In definiti#a

z= "

1+i" ∈ R⟺ " =0

F -.IE -L/-NE*E, -N-LI*I 0-E0-I2- III


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LEZIONE 1

&ORMA TRI'ONOMETRICA DI UN NUMERO COMPLESSO

3er rappresentare i punti del piano possi!ile adottare un sistema di riferimento

cartesiano oppure un sistema di riferimento polare$ .ediamo come utilizzare un

sistema di riferimento polare per andare poi a definire la forma trigonometrica di un

numero complesso$

3reso un punto detto polo, da esso facciamo partire una semiretta r orientata, cos:

come mostrato in fig$6& il punto 3 in "uesto sistema di coordinate indi#iduato

uni#ocamente dalle "uantit seguenti&

• dalla distanza del punto 3 dal polo O presa lungo una semiretta di origine O e passante per 3&

• dalla misura in radianti dell’angolo # formato tra la semiretta r e la semiretta

a#ente origine in O e passante per 3$

fig.(-Riferiento $olare $er l)in%i*i%!azione %i !n n!ero "o$lesso

La distanza $P prende il nome di modulo di 3 e per con#enzione si indica con la

lettera % $ # detto argomento del punto 3, esso indi#iduato a meno di multipli

di 2& & l’argomento definito per tutti i punti tranne che per il polo O$

1G -.IE -L/-NE*E, -N-LI*I 0-E0-I2- III


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LEZIONE 1

-rri#ati a "uesto punto #iene naturale trasportare "uesto sistema di coordinate polari

in un sistema di coordinate


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LEZIONE 1

*iccome i numeri complessi li a!!iamo definiti in un piano (il piano immaginario),

immediatamente si estendono "ueste considerazioni proprio ai numeri complessi$

3reso il n+ complesso z=a+ib , ad esso associamo il punto 3 di coordinate

cartesiane P (a , b ) e se nel piano immaginario Ccon#i#eD anche un sistema di

coordinate polari, al numero complesso z associamo anche il punto P ( % ,# ) & il

legame che esiste tra le coordinate cartesiane e "uelle polari di 3 identico a "uello

scritto prima per il generico punto$

2onsiderata "uindi la situazione di fig$>, scri#iamo

{a= %cos#b= %sin# →No"e≤coo(dina"e pola(idel p)n"o , (ica*o +)elle ca("esiane

{| z|= %=√ a2+b2tan #=b /a → No"e≤coo(dina"e ca("esiane del p)n"o ,(ica*o +)elle pola(i

fig.,-Piano Re-I

*i con#iene indicare l’argomento di un numero complesso z con la seguente

notazione

#=a(-( z ) → No"azionenon p(op(io esa""a, si *eda s)ccessi*amn"e



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LEZIONE 1

utti i numeri complessi hanno un argomento, tranne il numero complesso a parte

reale e parte immaginaria nulla, cio il punto di coordinate (0,0) $ a(- ( z ) la

misura di # definita a meno di 2& , cio

a(- ( z )=#+2. & , . ∈Z

*i definisce argomento principale del numero complesso z "uell’unico #alore di #

compreso tra 0 e 2& , e si indica con /(- ( z ) & si pu dire che l’argomento

principale "uell’unico #alore di # compreso tra 0 & e &

/(- ( z )∈ ¿−& , & ¿¿

cio

−&


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LEZIONE 1

La maggiore utilit della forma trigonometrica, si rile#a "uando si #a a fare il

prodotto tra due o più numeri complessi (iniziamo con due, per poi estendere al caso

più generale)$ -ssegniamo "uindi due numeri complessi z1 e z2

{ z1=( %1, #1 ) z

2=( %2, #2 )

il loro prodotto

∀ z1

, z2∈C − {0 }, { z1 ∙ z2 ≝ %1 %2 (cos (#1+#2)+ isin (#1+#2 ) )

5uello che si pu #edere che il prodotto di 4 numeri complessi "ualun"ue ancora

un numero complesso, il cui modulo il prodotto dei moduli e l’argomento la

somma degli argomenti& in pratica "uello che succede che nel piano immaginarioc’ una rotazione come mostrato "ualitati#amente in fig$?

fig.-Pro%otto %i %!e n!eri "o$lessi z1 e z2 ostrato grafi"aente

3OENZ- NE*I0- I 'N N'0E%O 2O03LE**O

-ssegnato un generico numero complesso z , #ogliamo calcolarne la potenza n

esima

z∈C , zn=?

3er calcolare "uesta potenza, !asta applicare la regola del prodotto tra numeri

complessi in forma trigonometrica

z= % (cos#+i sin# )



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LEZIONE 1

Esprimiamo "uindi la potenza nesima di z come z moltiplicato per se stesso n #olte,

applicando la regola del prodotto #ista prima

z1∙ z2= %1 %2 (cos (#1+#2 )+isin (#1+#2 ) )

regola che estesa al caso di nostro interesse ci permette di ottenere la seguente

zn= %n (cos (n# )+ isin (n# ) ) → 2o(m)la di 3oi*(e

3-**-99IO - @O%0- -L9E/%I2- - @O%0- %I9ONO0E%I2-

-ssegnato il generico numero complesso scritto in forma alge!rica z=a+ib , come

si passa alla sua scrittura in forma trigonometrica8

La forma trigonometrica ricordiamo che cos: espressa

z= % (cos#+i sin# )

o##ero

z=| z|(cos ( /(- ( z ) )+i sin ( /(- ( z )) )

con

{ | z|=√ a2+b2

/(- ( z )=tan−1( ba )"uindi potremmo scri#ere

z=√ a2+b2(cos( tan−1( ba ))+isin ( tan−1( ba )))→ 2o(ma"(i-onome"(ica a pa("i(e da +)ella al-eb(icaLa forma trigonometrica del numero complesso stata "uindi definita a partire dalla

forma alge!rica, senza l’aggiunta di nessun’altra informazione$

%-I2E NE*I0- I 'N N'0E%O 2O03LE**O

*i dice radice nesima di un numero complesso z "uel numero w che ele#ato ad n

restituisce z

!n= z

2i chiediamo se esiste "uesto numero w$ 3er rispondere a "uesto "uesito, assegniamo

un generico numero complesso z

z= % (cos#+i sin# )

1> -.IE -L/-NE*E, -N-LI*I 0-E0-I2- III


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LEZIONE 1

*e esiste ! tale che ! n= z , ragione#ole supporre che sar anch’esso un numero

complesso, pertanto a#r una sua forma trigonometrica del tipo

!=( (cos4+i sin4 )

- "uesto punto se w effetti#amente la radice nesima del numero complesso z , de#e

#alere la relazione

!n= z

-pplicando la formula di 0oi#re, la potenza nesima di w si scri#er

!n=(n (cos (n4 )+i sin (n4 ) )

con l’uguaglianza ! n= z che di conseguenza di#enta

(n

(cos (n4 )+i sin (n4 ) )= % (cos #+isin# )5uando #erificata "uesta uguaglianza8 5uesta uguaglianza #erificata "uando

{ (n= %

n4=#+2.& ,. ∈Z

ue numeri complessi sono uguali se rappresentano lo stesso punto del piano&

o##io che i due moduli de!!ano coincidere e che i due argomenti principali possano

differire di 2.& , per con#incersene !asta fare riferimento alla rappresentazione

trigonometrica del numero complesso$

-lla luce delle due precedenti condizioni, calcoliamo il modulo e l’argomento di w

{ (=n√ %

4=#+2.&

n , . ∈Z

-!!iamo pertanto definito w in "uanto stato definito il suo modulo ed il suo

argomento& sotto i nostri occhi che l’argomento di w funzione di k , pertanto lostesso w sar funzione di k , #ediamolo meglio andando a riscri#ere w$ In origine era

!=( (cos4+i sin4 )

che ora di#enta

! . =n√ %(cos( #+2.& n )+i sin( #+2.& n )) , . ∈Z

1? -.IE -L/-NE*E, -N-LI*I 0-E0-I2- III


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LEZIONE 1

In generale le ! . di#erse tra di loro sono in numero pari ad n& istinti#amente si

potre!!e dire che le ! . di#erse tra di loro sono infinite, pertanto andiamo a #edere

per "uale moti#o le ! . di#erse tra di loro sono solamente n$

2onsideriamo due radici nesime "ualun"ue ! . 1 e ! . 2 , "uando coincideranno8

2onsiderata la più generica espressione ! . possiamo scri#ere che

! . 1=! . 2

se

#+2. 1

&

n =

#+2. 2

&

n +25 & , 5∈Z

semplificando "uesta uguaglianza si ha

. 1=.

2+n5,5∈Z

un"ue le due radici nesime coincidono "uando . 1 e . 2 differiscono per

multipli di n, o##ero se #oglio ! . 1≠ ! . 2 de#o assegnare #alori a . 1 e a . 2 tali

che "uesti non differiscano per multipli di n, solo in "uesto modo non si a#ranno

radici coincidenti$ 5uindi in generale per a#ere radici distinte

. =0,1,2,… ,n−1

un esempio chiarir$

E*E03IO, 2-L2OLO ELLE %-I2I

-ssegnato il numero complesso

z=1+i

se ne calcoli la radice "uarta

Svolgimento

%icordiamo che la radice nesima di un numero complesso z generico

! . =n√ %(cos( #+2.& n )+i sin( #+2.& n )) , . ∈Z

!isogna "uindi calcolarsi il modulo e l’argomento principale di z

{ %=√ 1+1=√ 2#=tan−1(11 )=& 4tenendo anche presente che nel nostro caso n=4 , scri#iamo

1B -.IE -L/-NE*E, -N-LI*I 0-E0-I2- III


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LEZIONE 1

! . =4

√ √ 2(cos( &

4+2.&

4 )+ isin(

&

4+2.&

4 )) , . ∈Z

o##ero

! . =8√ 2(cos ( &. 2 + & 16 )+isin ( &. 2 + & 16 )), . ∈Z

3er "uanto scritto precedentemente, le radici distinte sono solamente 7,

#erifichiamolo

{ !

0=8

√ 2(cos( & 16 )+i sin( & 16 ))!

1=8

√ 2(cos(9 & 16 )+isin (

9& 16 ))

!2=8√ 2(cos( 17 & 16 )+isin (17 & 16 ))

!3=

8√ 2(cos( 25 & 16 )+i sin( 25& 16 ))

!4=

8

√ 2(cos(33 & 16 )+i sin( 33& 16 ))5uello che si osser#a, anche se non immediatamente che !0=!4 , "uesto accade

perchH

. 4=.

0+n5,5∈Z

o##ero

. 4=.

0+45 , 5∈Z

in "uesto caso essendo . 0=0 e . 4=4 , e#identemente 5=1 $ 5uindi

effetti#amente . 0 e . 4 differiscono tra di loro per multipli di n, e "uesto fa si che

le radici siano uguali 2$.$$


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